Modellering av axisymmetriska galaxer med Vlasov-Poissonsystemet

Transkript

1 Modelleing av axisymmetiska galaxe med Vlasov-Poissonsystemet En numeisk studie av diskfomade galaxe med centala utbuktninga, mök mateia samt deas otationskuvo och stabilitet Kandidatabete inom civilingenjösutbildningen vid Chalmes Rolf Andéasson Hanna Ek Johan Kolvik Ludvig Svensson Institutionen fö Matematiska vetenskape CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA GÖTEBORGS UNIVERSITET Götebog, Sveige 19

2

3 Modelleing av axisymmetiska galaxe med Vlasov-Poissonsystemet En numeisk studie av diskfomade galaxe med centala utbuktninga, mök mateia samt deas otationskuvo och stabilitet Kandidatabete i matematik inom civilingenjöspogammet Teknisk Matematik vid Chalmes Rolf Andéasson Hanna Ek Kandidatabete i matematik inom civilingenjöspogammet Teknisk Fysik vid Chalmes Johan Kolvik Ludvig Svensson Handledae: Håkan Andéasson Matematiska vetenskape Examinato: Ulla Dinge och Maia Roginskaya Institutionen fö Matematiska vetenskape CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA GÖTEBORGS UNIVERSITET Götebog, Sveige 19

4

5 Populävetenskaplig pesentation Stjänona vi se på natthimlen och även solen tillhö galaxen Vintegatan. Vintegatan ä ett exempel på en spialgalax vilka känns igen på att de ha tydliga ståk av stjäno i spiale utgående fån galaxens centum. Galaxena ä tunna elativt sin stolek och kan beskivas som diskfomade. Föklaingen bakom spialgalaxenas fom ä att det så kallade öelsemängdsmomentet ä bevaat. Röelsemängdsmoment ä en egenskap hos sake som snua liksom hastighet ä en egenskap hos sake som ö sig. Ett objekt som snua snabbt och ha mycket tyngd långt ifån sin otationsaxel ha ett stot öelsemängdsmoment. Bevaing av öelsemängdsmoment ä en fundamental fysikalisk lag som kan illusteas av en konståkae som snua snabbae i en piuett genom att da in sina hände nämae koppen. Fenomenet föklaa även anda sake vi se i natuen såsom fomen på till exempel Satunus inga. Vintegatan ä baa en av många spialgalaxe i univesum och att föstå hu de fungea ä av stot intesse fö både fysike och matematike. Astonomen Vea Rubins gjode unde 6- och 7-talet obsevatione av hu stjäno otea i spialgalaxe. Stjänonas hastighet unt galaxens mitt mättes och tabelleades. Resultatet av dessa obsevatione va spännande eftesom de inte alls såg ut som man hade föväntat sig. Stjänona tycktes öa sig på ett sätt som inte den tidens teoie kunde beskiva. Dessa motstidighete mellan teoi och obsevatione ä en av anledningana till inföandet av så kallad mök mateia. Teoin om mök mateia påstå att majoiteten av massan i univesum ä mök, dvs att mateian inte ge ifån sig med ljus elle annan stålning och kan dämed inte obseveas. Det enda sättet som substansen gö sig till känna ä att den påveka sin omgivning genom gavitation. Genom att inföa denna typ av mateia kan det undeliga öelsemönstet hos stjänona beskivas. Den möka mateians existens ä dock ännu inte bevisad och många foskae abeta idag med att lösa mysteiet. Rubins obsevatione av otationshastigheten hos spialgalaxe ha inte baa lett till inföandet av mök mateia, de ha även väckt ett intesse fö att få en djupae matematisk och fysikalisk föståelse av spialgalaxe. De senaste åen ha flea matematiska modelle abetats fam fö att fösöka beskiva galaxena. Dessa modelle ha använts fö att undesöka om öveensstämmelse mellan teoi och obsevatione kan uppnås utan mök mateia elle om dess inföande ä oundvikligt. I den hä studien används en samling av matematiska ekvatione som tillsammans kallas Vlasov-Poissonsystemet fö att beskiva galaxe. Lösningen till systemet beskive vad stjänonas position och hastighet föväntas vaa i en galax. Modellen komme u att man se galaxen som ett moln av gas, dä gaspatiklana i detta fallet utgös av stjäno som enbat påveka vaanda genom gavitation. Kaften mellan stjänona, gavitationen, beskivs enligt den klassiska modellen som Isaac Newton pesenteade å Vlasov-Poissonsystemet ä en välstudead modell fö galaxe, systemet ä dock väldigt svåt att lösa med penna och pappe. Matematiken övesätts dämed till ett datopogam som hitta en appoximativ lösning. Pojektets handledae, Håkan Andéasson, och hans kollega, Gehad Rein, skev å 14 en atikel om deas studie av Vlasov-Poissonsystemet. I detta abete hittades lösninga till systemet som beskev en typ av galax som likna spialgalaxena ute i ymden. Den platta diskfomen uppnåddes men de spialfomade amana som vi se hos spialgalaxe utelämnades u modellen. Istället infödes axisymmeti hos galaxena. En galax med axisymmeti kan oteas en godtycklig vinkel king dess otationsaxel utan att den ända fom. Då dessa diskfomade galaxes egenskape undesöktes hittades många tillfedsställande öveensstämmelse med obsevatione av iktiga galaxe, och detta utan inföandet av möka mateia! Hade alltså en modell hittats som kunde beskiva vekligheten utan möka mateia? Betyde det att möka mateia inte behöve finnas? Inga bevis kunde tyvä läggas fam, dessutom syntes i abetet att total öveensstämmelse med obsevatione inte hade uppnåtts vilket vidae skvallade om att modellen va ofullständig. Men då den ha visat mycket lovande esultat ä ett logiskt nästa steg i abetet att utveckla modellen fö att se om bätte esultat kan ehållas. Detta abete ta vid dä Andéasson och Rein avslutade sitt, genom att utveckla typen av galaxe som modelleas av Vlasov-Poissonsystemet. Utvidgningen som gös ä i huvudsak att intoducea en cental utbuktning till de platta diskgalaxena. Denna tedimensionella del av galaxen infös då obsevatione visa på att spialgalaxe tendea att vaa me massiva king dess centum och att de dessutom buka ha en viss tjocklek. Den anda typen av galaxe som modelleas ä diskgalaxe med en sto sfä som inneslute disken. Denna typ kan tolkas som en diskgalax innesluten i en volym av mök mateia som används fö att undesöka vilka födela som teoin om mök mateia ebjude. En tedje typ ä en

6 blandning av de två ovannämnda. I Figu 1 visas en skiss av de galaxe som kan simuleas med metodena famtagna i pojektet. Den bestå av te dela: Disken utgö mepaten av den synliga delen av galaxen. Det ä denna del som ofta se spialliknande ut fö de galaxe vi obsevea i ymden. Centala utbuktningen tecknas som en sfä i diskgalaxens mitt och gö dess centum tynge och ge galaxen en utstäckning i alla te dimensione. Volymen av mök mateia som inneslute galaxen. I kosmologin uppskattas mök mateia utgöa unt 8 % av mateian i univesum. Resultatet av abetet ä de galaxe som kan modelleas av det utvidgade systemet och de egenskape som galaxena ha. Den me kompliceade modellen ge me spännande beteenden fö de stjäno som galaxena innehålle. Exempel på detta ä hu snabbt de ö sig i cikla king galaxens centum. Jämföelse med vekliga galaxe visa att utvidgningen ä ett steg i ätt iktning då ytteligae obsevatione kan matchas med våa galaxe. Modellen ä fotfaande inte komplett då vi se liknande poblem som uppkommit i tidigae abeten. Anda spännande egenskape hos axisymmetiska galaxe upptäcks också i abetet då en utav lösningana till Vlasov-Poissonsystemet tillåts utvecklas i tiden. Med detta menas att man studea hu en galax föändas nä alla dess stjäno släpps lösa och böja öa sig enligt Newtons gavitationslag. Det visa sig att galaxens fom tycks svänga fam och tillbaka i tiden på ett sätt som i vå vetskap aldig tidigae studeats fö denna typ av lösninga. Resultaten visa alla på att det finns mycket kva att upptäcka king galaxe och univesum. Hu ä egentligen galaxe uppbyggda? Hu mycket mök mateia innehålle de? Fågona ä många och foskningsomådet ä ständigt aktuellt. Vi ha än så länge baa skapat på ytan av dessa mysteie men mycket ha hänt baa på en geneation, fö 6 å sedan itade Rubin sina gafe fö hand medan det idag gå att fotogafea svata hål. Så en sista fåga väd att ställa ä: vad komme vaa möjligt att göa om ytteligae 6 å? Mök mateia Galaktisk disk Cental utbuktning Figu 1: Hä visas en galax som kan geneeas av metodena famtagna i pojektet. Vi se en disklik galax i mitten med mepaten av sin tyngd i centum. Detta epesenteas med en utbuktning som ä placead i galaxens mitt. Galaxen omslute sig även i en sto volym av mök mateia som i bilden ses som en sto mök sfä.

7 Sammandag Vlasov-Poissonsystemet intoduceas och häleds i det geneella fallet och Jeans sats bevisas. Jeans sats möjliggö att hitta statiska, axisymmetiska lösninga till systemet genom att ansätta fasumsdistibutionen till en funktion av enegin och z-komponenten av öelsemängdsmomentet. Detta specialfall av Vlasov-Poissonsystemet löses numeiskt som ett fixpunktspoblem. Lösninga till olika axisymmetiska galaxmodelle och deas tillhöande otationskuvo pesenteas. De olika modelle av galaxe som undesöks ä singuläa diska, singuläa diska med en cental utbuktning, singuläa diska omgivna av en halo samt en kombination av de två sistnämnda. Platta otationskuvo fö testpatikla i potentialen tillhöande diskgalaxe med cental utbuktning pesenteas och jämfös med lösninga med en mökmateiahalo. Existensomådet fö cikuläa bano i galaxen påvekas inte signifikant av de olika ansatsena och detta omåde beäknas till adie [,.6R max]. Den genomsnittliga tangentiella hastigheten fö lösningana stämme ej väl öveens med otationskuvan fö testpatikla fö någon av de pesenteade lösningana. Fö att undesöka stabilitet av statiska lösninga intoduceas en metod fö att lösa det tidsbeoende Vlasov-Poissonsystemet, Paticle-incell-metoden. Tidsutveckling av en tooidal statisk lösning, utsatt fö en stöning, uppvisa nästintill peiodiska oscillatione öve tid. Detta ha i föfattanas vetskap inte tidigae undesökts i axisymmeti. Abstact The Vlasov-Poisson system is intoduced and deived in a geneal setting and a poof Jeans theoem is pesented. Jeans theoem allows fo finding static, axisymmetic solutions by making the ansatz that the phase space distibution is a function of only the enegy and z-component of the angula momentum. This special case of the Vlasov-Poisson system is solved numeically as a fixed point poblem. Solutions to diffeent axisymmetic galactic models ae found and thei otation cuves ae pesented. The diffeent models consideed ae singula disks, singula disks with a cental bulge, singula disks with suounding halo and a combination of the two last mentioned. Flat otation cuves fo test paticles in the potential associated with disk galaxies with a cental bulge ae pesented and compaed to ones fom a galaxy with suounding halo. The egion of existence fo cicula obits in the galaxy is not heavily dependant on the type of ansatz and is calculated to be aound [,.6R max]. The aveage tangential velocity of the solutions does not match the otation cuves obtained fom test paticles fo any of the pesented solutions. To analyse stability a method fo solving the time dependent Vlasov-Poissons system is intoduced, the Paticle-in-cell method. Time evolution of a tooidal static solution, with its amplitude petubed, displays nealy peiodic oscillations in time. This has, to the knowledge of the authos, not been studied befoe in axisymmety.

8 Innehållsföteckning 1 Intoduktion 1 Teoi 1.1 Vlasov-Poissonsystemet Häledning av Vlasov-Poissonsystemet Appoximation av en galax som en kollisionslös gas av patikla Jeans sats Enegikonseveing och Viialteoemet Cikuläa bano och otationskuvo Reduceing av Vlasov-Poissonsystemet Tvådimensionell del Tedimensionell del Potentialen i cylindiska koodinate Stabilitet och tidsutveckling av statiska lösninga 9 5 Ansats 1 6 Numeiska algoitme Statisk algoitm Paticle-in-cell Lösning av det kaakteistiska systemet Numeiska esultat och diskussion Diskfomade galaxe med cental utbuktning Disk utan cental utbuktning Cental utbuktning Diskfomade galaxe med mök mateia Genomsnittliga tangentiella hastighete Singulä disk med cental utbuktning och omgivande halo Stabilitet Jämföelse med obsevatione Famtida utvidgninga av pojektet 19 A Häledning av potentialen i cylindiska koodinate B Kompletteande figue 3

9 Föod Vi vill tacka vå handledae Håkan Andéasson fö all hjälp genom abetets gång samt fö utkasten av kod som möjliggjode de numeiska beäkningana i abetet. Vi vill även tacka fackspåk och alla anda som ha läst appoten fö vägledningen genom skivandet.

10 1 Intoduktion I slutet av 197-talet och böjan av 198-talet obseveades att stjänona i spialgalaxe otea med ungefä samma hastighet obeoende av avståndet till galaxens mitt, botsett fån stjänona nämast centum. Detta stämde inte öveens med den tidens fysikaliska och matematiska modelle. Unde antagandet att mepaten av galaxens massa befinne sig i centum ge Newtons gavitationslag samt klassisk mekanik att otationshastigheten minska som 1/. Obsevatione att stjänos otationshastighet va till synes samma obeoende adien va en av anledningana till intoduktionen av mök mateia, en teoi om att galaxe delvis bestå av mateia som inte ge ifån sig mätba stålning. Efte att denna teoi intoduceats ha olika modelle, både med och utan mök mateia, använts i syfte att modellea galaxe med liknande egenskape som de obseveade galaxena. En av dessa modelle som påvisat sto potential utgå fån en kinetisk tolkning av galaxen genom att betakta den som ett moln av kollisionslösa patikla som växelveka unde gavitation. Detta system av patiella diffeentialekvatione kallas Vlasov-Poissonsystemet. Pojekthandledaen H. Andéasson tillsammans med kollegan G. Rein skev 14 en atikel, se [1], dä det statiska Vlasov-Poissonsystemet, häefte VP-systemet, tillämpades fö att beskiva platta diskgalaxe. Lösningen till detta system av patiella diffeentialekvatione ä en massfödelning öve de positione och hastighete som stjänona i galaxen kan anta. I atikeln studeade föfattana platta axisymmetiska galaxe, en föenklad modell av spialgalaxe, dä alla stjäno befinne sig i ett plan. Genom en ansats av funktionen som beskive densiteten av patiklana på fasummet löstes VP-systemet numeiskt och appoximativa lösninga pesenteades. En intessant egenskap hos lösninga till systemet ä hastigheten hos testpatikla som befinne sig på en cikulä bana med en given adie i galaxens gavitationspotential; detta komme häefte benämnas som otationskuvo. De otationskuvo som hittades i [1] stämde väl öveens med obsevatione. Detta va en spännande upptäckt då de fysikaliska paametana som använts i ansatsen baa hade tagit hänsyn till galaxens synliga massa och ingen mök mateia hade inföts. En matematisk modell hade alltså lyckats beskiva ealistiska otationskuvo, fö testpatikla, utan att behöva inföa mök mateia. Resultatet motivea till fotsatt studie av otationskuvo tillhöande lösninga till VP-systemet. Andéasson och Rein pesentea ett bevis fö att patiklana som beskivs av deas lösninga inte kan befinna sig i cikuläa bano i utkanten av galaxen. De numeiska lösningana lyde unde detta teoem då de typiskt tillät cikuläa bano fö adie R [,.6R max ], dä R max beteckna galaxens yttesta adie. Resultatet ä inte kaakteistiskt fö obseveade diskfomade galaxe dä stjänona obseveas öa sig i nästintill cikuläa bano. Detta motivea utveckling av modellen använd av Andéasson och Rein vilket ä syftet med detta pojekt. En sådan utveckling av abetet motiveas av ett esultat pesenteat i []. I atikeln visades existens av en speciell typ av axisymmetiska statiska lösninga till VP-systemet. Den pesenteade modellen bestod av en singulä del som ä begänsad till ett plan och en fullt tedimensionell del. Den matematiska existensen av sådana lösninga motivea en undesökning av dessa system numeiskt vilket lede till syftet av detta pojekt. Abetets syfte ä att utveckla galaxmodellen fån Andéasson och Reins abete i enlighet med modellen pesentead i [] och att implementea en numeisk algoitm i C som finne lösninga till detta system. Exempel på lösninga som undesöks ä diskgalaxe med en cental utbuktning och diskgalaxe inneslutna i en s.k. halo av mök mateia. Lösninganas egenskape jämfös sedan med tidigae esultat. Speciellt undesöks egenskape såsom otationskuvo och i vilka omåden galaxe tillåte existens av cikuläa patikelbano. Sekundät fokus ä att implementea en Paticle-in-cell-metod i C som tillåte en tidsutveckling av axisymmetiska lösninga. Syftet med detta ä att undesöka stabilitet hos de statiska lösninga som geneeas och undesöka espons vid stöning av dessa. Rappoten ä uppbyggd på följande sätt. I avsnitt häleds och intoduceas VP-systemet som används fö att modellea galaxe. Systemet educeas sedan i avsnitt 3 fö lättae implementeing i den numeiska algoitmen. I avsnitt 4 ges matematisk bakgund till tidsutveckling av det statiska systemet, vilket undesöks numeiskt enligt metoden Paticle-in-cell. Avsnitt 5 innehålle en föklaing av ansatsfunktionen som används i de numeiska beäkningana samt diskussion av de ingående paametana till systemet. De numeiska algoitmena som används fö att lösa VP-systemet intoduceas i stycke 6. I avsnitt 7 pesenteas och diskuteas numeiska esultat fö de olika modellena. Avsnitt 8 ge en kot slutsats king appotens esultat samt tanka och idée på fotsatta studie av galaxes otationskuvo. Teoi I detta avsnitt pesenteas VP-systemet och teoin bakom de antagandena som gjots fö att beskiva galaxe med hjälp av VP-systemet. 1

11 .1 Vlasov-Poissonsystemet Fö att undesöka egenskape hos spialgalaxe modelleas de med hjälp av Vlasov-Poissonsystemet, f t + v xf x U v f =, U = 4πρ, lim U(t, x) =, x ρ = f(x, v, t)d 3 v. R 3 I detta system ä funktionen f : R 6 R + R + en massfödelning på det 6-dimensionella fasummet med en tidskoodinat. Stoheten ρ beskive massfödelningen på positionsummet elle densiteten av galaxen som används fö att beäkna den gavitationspotentialen U. Notea att enhetena ä omskivna så att gavitationskonstanten G, som annas ä en del av Poissons ekvation, ä lika med 1 samt att massan fö en enskild stjäna ä 1. I nästa avsnitt ges en kot häledning av detta system.. Häledning av Vlasov-Poissonsystemet Ett dynamiskt system kan momentant beskivas fullständigt med enbat positione och hastighete. Detta kallas systemets tillstånd. Fasummet ä ett um som utgös av alla möjliga tillstånd fö ett system. Alla möjliga tillstånd, unikt epesenteade av uppsättninga av positions- och hastighetskoodinate, bilda i det allmäna fallet ett F -dimensionellt um, med F positions- och F hastighetskoodinate, dä F ä antalet fihetsgade fö systemet. Fö en patikel i te dimensione ha fasummet således 6 dimensione, fö två patikla ha fasummet 1 dimensione och om systemet beskive en galax med N stjäno ha fasummet 6N dimensione. Vi betakta tidsutvecklingen av ett godtyckligt tillstånd, epesenteat av en punkt w i fasummet. Med te fihetsgade kan vi uttycka w i kanoniska koodinate 1 w = (q, p), dä q, p R 3 epesentea position espektive öelsemängd. Tidsutvecklingen beskivs av en s.k bana, w(t) = (q(t), p(t)), vilken ä entydigt bestämd fö alla t med Hamiltons ekvatione 3, ṗ = q H, q = p H, ett system av 6 odinäa diffeentialekvatione som elatea q till p via hamiltonianen H. Fö att beskiva ett system med N patikla måste vi således lösa ett system av 6N odinäa diffeentialekvatione. Man kan dämed föeställa sig att ett 6N-dimensionellt fasum, dä N ä antalet stjäno i en galax, ä svåt att hantea. Fö ett system av så många fihetsgade ä det välmotiveat att tillämpa en statistisk beskivning. Fomellt 4, i gänsen då N, så kan systemet beskivas av en masstäthet på fasummet. Låt f(t, w), t R +, w R 6, beskiva patiklanas massa födelad öve fasummet, dvs födelad öve alla enpatikeltillstånd w, vid tiden t. Masstätheten f på fasummet ä analog med en konventionell massdensitet på positionsummet. Skillnaden hä ä att massan i vaje position i ummet även ä födelad öve olika hastighete. Liouvilles teoem, ett viktigt esultat inom statistisk mekanik, säge att en födelningsfunktion på fasumet ä konstant längs bano i systemet. Längs en bana, w(t), gälle alltså att df(t, w(t))/dt =. Utveckla vi detta uttyck ehålls en kontinuitetsekvation fö en lokalt konsevead stohet på fasummet 5, (.1) (.) f t + w (fẇ) =. (.3) I kanoniska koodinate kan vi använda (.) fö att utveckla den anda temen i (.3). Vi få att w (fẇ) = q (f q) + p (fṗ) = q (f p H) p (f q H) = = q f p H + f p q H p f q H f q p H = q q f + ṗ p f. Insatt i (.3) ehålles Vlasovs ekvation, även kallad kollisionslösa Boltzmannekvationen, (.4) f t + q qf + ṗ p f =. (.5) 1 En uppsättning koodinate på fasummet som kan beskiva ett system i vaje given tidpunkt. I litteatuen kallad tajectoy. 3 Två ekvatione som tillsammans entydigt beskive ett systems tidsutveckling. Funktionen H = H(w) kallas Hamiltonianen och beskive ett systems totala enegi. 4 Det ä ett öppet poblem att visa att denna gäns gå att genomföa igoöst. 5 Ekvationen kallas ibland fö Liouvilles ekvation.

12 I ett inetialsystem 6 med katesiska koodinate w = (x, v), x, v R 3, kan Hamiltonianen fö systemet beskivas enligt H = v / + U(t, x), dä U ä ett potentialfält. Notea att vi hä anta att samtliga patikla ha enhetsmassa. Unde detta antagande anta (.5) fomen f t + v xf x U v f =. (.6) Vi anta att potentialen U ä en gavitationspotential som i klassisk mekanik ges som lösningen till Poissons ekvation U = 4πρ, dä ρ ä en masstäthet. Notea att enhete ha valts så att gavitationskonstanten G = 1. Notea också att det ä enkelt att byta ut växelvekan till annan typ, till exempel kan ett plasma beskivas om Newtonsk gavitation byts ut till Maxwells fältekvatione. Ett annat elevant exempel ä att koppla Vlasovs ekvation till Einsteins teoi fö gavitation, dä Poissons ekvation byts ut till Einsteins fältekvatione och uttycken fö ( q, ṗ) byts ut mot geodetekvationena på den kökta umtidsmångfalden, se [einsteinvlasov]. Att istället använda Newtonsk gavitation ä en appoximation men också en sto föenkling. Fö att koppla Vlasov och Poissons ekvatione gös obsevationen att densiteten ρ kan beskivas med hjälp av massfödelningen på fasummet f enligt ρ(t, x) = f(t, x, v)d 3 v. (.7) R 3 Då vi studea ett isoleat system gälle andvillkoet att potentialen fösvinne i oändligheten, dvs lim U(t, x) =. x Potentialen ges då som faltningen av ρ med Geensfunktionen till Laplaces ekvation på R 3, ρ(t, y) U(t, x) = x y d3 y. (.8) R 3 Ekvationena (.6), (.7) och (.8) bilda tillsammans Vlasov-Poissonsystemet (.1), ett system av patiella diffeentialekvatione som kan användas fö att modellea patikla som växelveka genom en gavitationspotential..3 Appoximation av en galax som en kollisionslös gas av patikla Den pesenteade modellen beskive galaxe som kollisionslösa gase av patikla. Kollisionslösheten uppkomme i häledningen då högeledet i kontinuitetsekvationen (.3) sätts till. Om två patikla skulle kollidea unde ett tidselement dt föändas deas hastighete i det geneella fallet inte kontinueligt. Således kan ett sådant fölopp inte beskivas av (.3) och dämed inte helle av systemet som helhet. Skulle ett högeled inkludeas fö att även modellea kollisione åtefås istället Boltzmannekvationen, en kinetisk ekvation som används fö att beskiva gase dä kollisione dominea öve kafte som växelveka på stoa avstånd. Vi måste således agumentea fö att galaxe ä kollisionsfia fö att kunna använda modellen. En skillnad mellan en gas av stjäno och t.ex en atomä gas ä kaften som utgö gaspatiklanas växelvekan. Patikla i en atomgas växelveka på kot avstånd, de uppleve en stak epulsiv kaft nä de befinne sig näa vaanda, annas ä kaften elativt liten. De uppleve således kaftiga acceleatione nä de kollidea och nästintill fösumba acceleation i övigt. Stjäno känne emelletid kafte på långt avstånd fån vaanda och acceleationen vaiea me slätt. Båda system kan beskivas med liknande kinetiska modelle. De två olika modellena ha olika svåighete, egenskape och användningsomåden och i vissa fall kan de kombineas men då i esultatet av en oehöt geneell men avancead patiell intego-diffeentialekvation. I ett stycke u Galactic Dynamics av J. Binney och S. Temaine, se [3], definieas kollisionsfia tidsfölopp som tide i stoleksodning t t elax, dä t elax beteckna elaxationstiden. Detta ä analogt med att patiklana ö sig i ett effektivt slätt gavitationsfält, det vill säga ett gavitationsfält geneeat av en kontinuelig massfödelning och inte en samling punktmasso. Relaxationstiden kan ses som tiden det ta fö en stjänas bana att föändas mäkvät fån banan stjänan hade haft om den befann sig i ett 6 Ett efeenssystem i vilket töghetslagen, F = ma, gälle. 3

13 gavitiationsfält geneeat av en kontinuelig massfödelning. Skillnaden beo på gavitationella möten med anda stjäno som stö stjänöelsen. Efte t elax ha stjänan haft tilläckligt många sådana möten att den inte ha något minne av sin tidigae bana. En uppskattning av t elax ges av t elax.1n ln N t coss, (.9) dä kosningstiden, t coss, definieas som tiden det ta fö en typisk stjäna att fädas fån ena sidan av galaxen till den anda, och N beteckna antal stjäno i galaxen. Kosningstiden ges av kvoten mellan galaxadien och den typiska hastigheten fö en stjäna i en cikulä omloppsbana i utkanten av galaxen, t coss = R/ v. Vi se att elaxationstiden, givet en kosningstid, beo på antalet stjäno i galaxen enligt t elax N/ ln N; alltså minska effekten av gavitionella möten på stjänonas bano med ökande N. Galaxe innehålle typiskt omking 1 11 stjäno [3], dämed kan vi enligt (.9) uppskatta t elax 1 8 t coss. I Galactic Dynamics uppskattas elaxationstiden vaa väl öve univesums ålde, 1 1 å, fö galaxe i stoleksodningen N = 1 11 vilka dämed kan betaktas som kollisionslösa unde alla tänkbaa tidsfölopp..4 Jeans sats Att hitta lösninga till VP-systemet, ett sjudimensionellt olinjät system av patiella diffeentialekvatione, ä kompliceat. Vi studea hä lösninga som ä statiska i fasummet, dvs funktione f som löse (.5) och (.8) dä f/ t =. Angeppssättet ä via Jeans teoem, efte den engelska matematiken och astonomen James Jeans. Vi böja med att definiea begeppet öelseintegale 7. Definition. En öelseintegal Q : R 6 R ä en funktion på fasummet som ä konsevead längs med bano (X, V)(t) i en potential. En bana i en potential U ges av lösningana till systemet av odinäa diffeentialekvatione, d X(t) = V(t) dt d dt V(t) = xu(x(t), t). Vi intoducea nu Jeans sats som möjliggö lösningen av VP-systemet. (.1) Sats. En funktion löse den tidsobeoende Vlasovekvationen om och endast om det ä en funktion av endast öelseintegale. I detta abete ä endast den vänsta implikationen av intesse, dvs att en funktion f av endast öelseintegale löse den tidsobeoende Vlasovekvationen. Beviset pesenteas nedan. Bevis. Antag att f ä en funktion av öelseintegale, f = f(q 1,..., Q n ), n 1. Vi betakta f längs en godtycklig bana (X, V)(t) och ta en total tidsdeivata, df dt = n i=1 f dq i (X(t), V(t)) =. (.11) Q i dt Dä vi använt antagandet att Q i, i = 1,.., n ä konstant längs bano. Vi kan också skiva, df dt = n i=1 f dq i = Q i dt n i=1 f ( X Q i dx Q i dt + VQ i dv dt ) = = X f V V f U. (.1) Dä vi använt kedjeegeln bakvänt samt Newtons ekvatione (.1). Eftesom detta gälle fö en godtycklig bana och vi ha existens av lösninga till Newtons ekvatione fö godtycklig statpunkt fån teoin om odinäa diffeentialekvatione så ge (.11) och (.1) att gälle i hela fasummet vilket ä statiska Vlasovs ekvation. 7 I litteatuen kallade Integals of Motion. x f v v f x U = (.13) 4

14 Notea att detta endast löse Vlasovs ekvation och att än så länge så ha potentialen inte behandlats. Det kan tyckas vaa ett smäe poblem då Poissons ekvation enkelt löses med Geens metod. Svåigheten uppkomme då de två PDE:ena ä kopplade med vaanda. I appoten väljs uteslutande öelseintegalena till enegin E = v / + U(x, t) samt z-komponenten av öelsemängden L z = x 1 v x v 1 = xv y yv x. Enegin ä en öelseintegal unde antagandet att systemet ä statiskt så att U(x, t) = U(x). L z ä en öelseintegal unde antagandet att systemet ä axisymmetiskt. Notea hä att enegin beo på potentialen. Denna implicitet gö systemet svåt att lösa analytiskt vilket tala fö numeiska metode..5 Enegikonseveing och Viialteoemet Stohete så som massa och enegi konseveas i Vlasov-Poissonsystemet. Detta ä viktigt fö att föstå huvida lösninga till systemet existea. Det ä också viktigt i numeik då detta ge en möjlighet att uppskatta de numeiska felen. Algoitmen, se sektion 6., som används fö att tidsutveckla lösninga konsevea automatiskt massan, men den totala enegin konseveas inte pe automatik och ä däfö en uppskattning av de numeiska felen. Den totala enegin E tot (t) fö en lösning till Vlasov-Poisson ges av E tot (t) = 1 v f(t, x, v)d 3 xd 3 v + 1 ρ(t, x)u(t, x)d 3 x. (.14) R 3 R 3 R 3 Ett annat sätt att analysea det numeiska felet i lösninga ä via viialteoemet, detta funka även i det statiska fallet. Satsen säge att fö ett stabilt system av patikla som inteagea via en potential, som ä popotionelig mot dä ä avståndet mellan patikla, gälle följande samband, T = U. (.15) Beteckningen benämne tidsmedelvädet av en stohet och T och U ä kinetisk espektive potentiell enegi givna av fösta och anda temen i (.14) 8. Eftesom vi söke statiska lösninga kan tidsmedelvädet utelämnas..6 Cikuläa bano och otationskuvo Fö att analysea otationskuvo tillhöande lösninga fö olika modelle av galaxe komme samma pocedu som använts i [1] tillämpas. Två olika definitione av otationskuvo studeas. Den fösta kan ses som hastigheten fö testpatikla som ö sig i cikuläa bano i potentialen fö galaxen och den anda som tangentiella medelhastigheten fö stjänona i den statiska fasumsfödelningen f. Vi böja med att studea otationskuvo fö testpatikla i den statiska lösningens potentialfält. Vi påminne oss om öelseekvationena i cylindiska koodinate fö adiella positionen och adiella hastigheten w och benämne den tangentiella hastigheten med v θ. Vi ha alltså följande öelseekvatione, ṙ = w ẇ = v θ U () = L z 3 U (). (.16) Dä L z ä öelsemängdsmomentet i z-led som i cylindiska koodinate ä L z = v θ och U ä potentialen. Fö en cikulä bana ha vi w = och följaktligen ẇ =, vilket ge att Den cikuläa hastigheten v c = v θ kan dämed skivas som, L z 3 = U (). (.17) v c = U (). (.18) Detta ge oss ett sätt att bestämma otationskuvan som en galax ge upphov till genom att fån lösningen beäkna U () och däigenom v c (). Vi kan även använda detta esultat fö att säga någonting om existensen av cikuläa bano fö stjänona i vå statiska lösning. Enegin fö en patikel längs en cikulä bana kan vi nu skiva enligt E = v c + U() = U () + U(). (.19) Givet en öve begänsning på enegin, E ge detta ett kav fö existensen av cikuläa bano fö en given adie. Nämligen att om Γ := E E existea inga cikuläa patikelbano. Vi sätte in ekvation 8 Ett bevis av viialteoemet fö fasumsdistibutione i det statiska fallet på tenso samt skaläfom hittas i Galactic Dynamics [3], s.36. 5

15 (.19) i uttycket fö Γ vilket ge oss följande omåde i vilket cikuläa bano inte existea, nämligen alla adie fö vilket, Γ() := E U () U() <. (.) I [1] pesenteas numeiska simuleinga och beäkning av Γ. Ett av deas esultat visa att fö de diskfomade galaxena som studeas dä tillåts endast existensen av cikuläa bano på omådet [,.6R max ], dä R max ä galaxens totala adie. Detta esultat stämme inte öveens med obsevatione enligt samma atikel. Ett annat sätt att definiea otationskuvan fö en diskfomad lösning ä att studea väntevädet av den tangentiella hastigheten fö fasumstätheten f och tillhöande densitet ρ given av v θ () = 1 ρ() R 3 v θ fd 3 v, (.1) dä v θ ä den tangentiella hastigheten fö en patikel givet dess position och totala hastighet. En viktig sak att notea ä att detta v θ inte ä samma som det i häledningen av v c. 3 Reduceing av Vlasov-Poissonsystemet I detta avsnitt intoduceas en vaiant av VP-systemet fö att beskiva galaxen. Vi utgå ifån axisymmeti king z-axeln likt tidigae esultat men i detta fallet betaktas två sepaata system sammankopplade genom en gemensam potential. Ett av systemen ä begänsat till xy-planet i ummet, vinkelätt mot symmetiaxeln, och det anda leve i hela R 3. I de två fösta avsnitten educeas uttycken fö densitetena tillhöande de två olika systemen. I det tedje avsnittet educeas uttycket fö potentialen med hjälp av symmetiantaganden. En vaiant av (.6), intoducead i [], dä fasumsfödelningen delats upp i en tedimensionell del samt en del som begänsas till xy-planet studeas. Vi låte f(t, x, v) = f 1 (t, x, v)δ(z)δ(v z ) + f (t, x, v) dä x och v ä punkte i xy- espektive v x v y -planen medan x och v tillhö hela R 3. Det motsvaande VP-systemet bli f 1 t vf 1 x U + x f 1 v = f t vf x U + x f v = U = 4π f 1 d v + 4π f d 3 v. R R 3 Fö att finna statiska lösninga används Jeans teoem fö att ansätta f 1 och f så att de endast beo på öelseintegale. Vi ä också intesseade av axisymmetiska lösninga vilket gö att både enegin E = v / + U(x) samt z-komponenten av öelsemängdsmomentet L z = xv y yv x ä konseveade längs bano. Lösningen ansätts däfö som en funktion av dessa öelseintegale (3.1) f 1 = f 1 (Ê, ˆL z ), f = f (E, L z ), (3.) dä (Ê, ˆL z ) ta hänsyn till den begänsade definitionsmängden fö f 1. Lösningana ä implicita då fasumsdistibutionen fotfaande beo på den okända potentialen. Poissons ekvation löses med hjälp utav Geensfunktionen till Laplaceopeaton i R 3 given av G(x, y) = 1 x y. Lineaiteten i beäkningen tillåte även en uppdelning potentialbidagen vilket ge ρ 1 U(x) = U 1 (x) + U (x) = R x x d x ρ R x x d3 x, (3.3) 3 dä ρ 1 och ρ ä densitetena givna av ρ 1 = f 1 d v, R ρ = f d 3 v. R 3 (3.4) 3.1 Tvådimensionell del Betakta delen av systemet som ä begänsat till att endast existea i xy-planet. Utgående ifån ansatsen och symmetiantaganden utfös ett pa föenklinga. Den tvådimensionella integalen fö ρ 1 skivs om 6

16 med hjälp av vaiabelbytet (v x, v y ) (Ê, ˆL z ). Bytet definieas av systemet Ê = v x + vy + U() ˆL z = x 1 v y x v x, (3.5) dä potentialen U endast beo av = x 1 + x då vi uteslutande betakta axisymmetiska lösninga. Avbildningen ovan kallas hädanefte fö T (v x, v y ). Detta systems inves ä en fleväd funktion av E och L z, ( ) v x = ˆL z x ± x 1 (Ê U()) ˆL z v y = ( ) ˆL z x 1 ± x (Ê U()) ˆL z. De två genana komme u valet av plus-/minustecken vid otdagning. Notea att teckenvalet gälle fö både v x och v y så att funktionen få två gena. Efte vaiabelbytet kan den sökta integalen uttyckas som f 1 det J T 1 dêd ˆL z, (3.7) T (R ) dä J T 1 ä Jacobianen fö vaiabelbytet. Vi använde denna notation tots den fleväda invesen då båda genanas Jacobian ä lika till beloppet: v x v x det J T 1 = Ê ˆL z 1 v y v y = ± Ê ˆL. (3.8) (Ê U()) ˆL z z Den fysikaliska tolkningen av stohetena (Ê, ˆL z ) ge nu begänsninga på dess väden 9. Enegin Ê fö en patikel begänsas endast undeifån av potentialen U() medan öelsemängdsmomentet ˆL z anta väden mellan ± vx + vy (3.6) = ± (Ê U()). Dessa begänsninga definiea nu omådet T (R ) som utgö den sista delen i vaiabelbytet. Efte bytet beäknas alltså ρ 1 enligt (3.6) ρ 1 () = U() (Ê U()) (Ê U()) f 1 (Ê, ˆL z )d ˆL z dê (Ê U()) ˆL z (3.9) dä en fakto inkludeas på gund av att vaiabelbytets två gena ge samma Jacobian. 3. Tedimensionell del Vi betakta nu det tedimensionella systemet och föenkla uttycket fö masstätheten på ett liknande sätt som i avsnitt 3.1. Vi påminne om uttycket fö ρ i ekvation (3.4). Vi vill genomföa ett vaiabelbyte som ta oss till (E, L z )-ummet i integalen. Eftesom vi integea öve te dimensione och vill byta till ett tvådimensionellt um vill vi beäkna en av integalena explicit. Vi intoducea cylindiska koodinatsystem i både positions- och hastighetsummet (x, y, z) (, θ, z), (v x, v y, v z ) (v ρ, ψ, v θ ). Bytet i hastighetsummet definieas enligt v ˆ = v ρ cos ψ, v ẑ = v ρ sin ψ, v ˆθ = v θ, (3.1) dä (ˆ, ˆθ, ẑ) ä cylindiska enhetsvektoe i positionsummet. Fö vaje position x infös alltså ett cylindiskt koodinatsystem i hastighetsummet dä höjdkoodinaten v θ ä i den azimutiska iktningen hos det cylindiska koodinatsystemet i positionsummet. Det speciella koodinatsystemet visualiseas i Figu. Bytet innebä att d 3 v = v ρ dv ρ dψdv θ vilket ge att ρ = f v ρ dv ρ dψdv θ. (3.11) R 3 9 Notea att den fysikaliska tolkningen inte ä nödvändig i vaiabelbytet. Det ä endast en hjälp i häledningen. 7

17 I det nya koodinatsystemet ges uttycken fö E och L z av E = v ρ + vθ + U(, z) L z = v θ. (3.1) Notea att vaken E elle L z beo på ψ och dämed så ä även f obeoende av ψ. Vi kan beäkna integalen öve ψ och få ρ (, z) = π f v ρ dv ρ dv θ. (3.13) R Vi kan nu byta till E och L z. Låt S(E, L z ) vaa invesen av koodinatbytet i (3.1), den ges av v ρ = (E U(, z)) L z/ v θ = L z /. (3.14) Notea att vi inte få ett minustecken vid otdagningen eftesom v ρ >. De nya integalgänsena ges helt analogt till de tvådimensionella fallet. Beloppet av deteminanten av Jacobianen ges av Vi utfö vaiabelbytet och få det J S = 1 v ρ. (3.15) ρ (, z) = π E U(,z) f (E, L z )dl z de. (3.16) U(,z) E U(,z) z v ρ ψ v v θ ˆθ x ˆθ θ ˆ y x Figu : En visualiseing av koodinatsystemet som används fö att föenkla integalen i uttycket fö den tedimensionella densiteten. 3.3 Potentialen i cylindiska koodinate De två systemen vi betaktat ovan beo på ett potentialfält U vilket i sin tu beo på densitetena ρ 1 och ρ. Vi betakta nu potentialen i cylindiska koodinate vilket tillåte vissa föenklinga i ljuset av de symmetiantaganden vi abeta med. Genom att utgå fån ekvation (3.3) kan följande samband visas: U 1 (, z) = 4 U (, z) = 4 sρ 1 (s) K(k ζ= )ds. (3.17) ( + s) + z sρ (s, ζ) ( + s) + (z ζ) K(k)dζds. (3.18) 8

18 I detta uttyck används vaiabeln k = s ( + s) + (z ζ) (3.19) som agument till fösta odningens elliptiska integal som definieas enligt K(ξ) = Häledningen till denna educeing ges i appendix A. 1 dt 1 ξ t 1 t ξ 1. (3.) 4 Stabilitet och tidsutveckling av statiska lösninga I detta avsnitt pesenteas en metod fö att undesöka stabiliteten av en statisk lösning. Stabilitet gå att definiea på en mängd olika sätt, hä anses en numeisk lösning till ett statiskt system vaa stabil om den inte fångå sin uspungliga lösning nä den utsätts fö en stöning. Stabilitet fö Vlasov- Poissonsystemet gå till viss del att undesöka analytiskt vilket gös i avsnitt av [REIN]. Numeisk stabilitet av sfäisksymmetiska lösninga till systemet ha studeats i [4], dä pesenteas hu små stöninga av en statisk lösning ge upphov till peiodiska vaiatione i potentiell och kinetisk enegi. Det ä en vedetagen hypotes, tots att inget bevis finns, att den numeiska algoitm som behandlas i pojektet ge stabila lösninga. Detta ha till viss del numeisk uppbackning i [5]. Det ä intessant att undesöka om statiska lösninga till systemet som studeas ä stabila enligt definitionen ovan. Det visa sig att det ä poblematiskt att tidsutveckla lösninga i cylindiska koodinate med massa i oigo på gund av singulaiteten i det cylindiska koodinatsystemet. Födelen med cylindiska jämföt med katesiska koodinate ä att den numeiska algoitmen bli betydligt effektivae. I [4] ha man valt att utveckla skalfomade lösninga i sfäisk symmeti utan massa i ett omåde unt oigo. På liknande sätt begänsas de axisymmetiska lösningana i appoten till att inte ha massa i oigo vilket ge tooidala galaxe. Detta fö att testa stabiliteten fö ett specialfall genom tidsutveckling av den statiska lösningen. Innan den numeiska metoden intoduceas ges en kot intoduktion till kaakteistiska system fö linjäa PDE:e av fösta odningen. Denna typ av ekvation kan skivas på fomen n i=1 a i (x 1,..., x n ) u x i = c(x 1,..., x n, u), (4.1) dä (a i ) n i=1 och c ä godtyckliga funktione. Givet ett kaftfält ä Vlasovs ekvation (.6) en linjä PDE dä c och (a i ) 7 i=1 ä koefficientena famfö de patiella deivatona. Det kaakteisktiska systemet fö en linjä PDE ä ett system av ODE:e i teme av en paametiseing s på fomen dx i ds = a i(x 1, x,..., x 7 ), i = 1,... 7, (4.) dä (x i ) 7 i=1 epesentea våa sex fasumsvaiable samt vå tidsvaiabel (t, x, v) och (a i) 7 i=1 ä koefficientfunktionena i Vlasovs ekvation (4.1) i våat fall. Lösninga till detta system, (x i (s)) 7 i=1, kallas kaakteistiska kuvo. Betakta nu f(s) = f(t(s), x(s), v(s)), en lösning till Vlasov-Poissonsystemet längs en kaakteistisk kuva. Diffeentieing med avseende på paametiseingen s ge oss att d 7 f(t, x, v) = ds i=1 f x i dx i ds = 7 i=1 f x i a i (x 1,..., x 7 ) =, (4.3) dä Vlasovs ekvation används i sista steget. Vi ha dämed att alla lösninga f till (.6) ä konstanta längs kaakteistiska kuvo. Det följe att en lösning f till (.6) föbli en lösning tots popageing i enlighet med det kaakteistiska systemet, se [6]. Genom att guppea deivato efte våa positions- och hastighetsvaiable kan vi skiva om (4.3) som Då Vlasovs ekvation kan skivas på följande fom d f(t, x, v) = ( f ds t, xf, v f) ( dt ds, dx ds, dv ) =. (4.4) ds ( f t, xf, v f) (1, v, x U) =, (4.5) 9

19 ehålls diekt följande ekvationssystem dt ds = 1, t() := = t = s dx dx ds = v, dt = v dv ds = xu, dv dt = xu Vi notea att om massan fö en stjäna m sätts till 1 så sammanfalle det kaakteistiska systemet fö Vlasovs ekvation med Newtons öelseekvatione dx dt = v, (4.6) dv dt = 1 F(t, x(t), v(t)), (4.7) m dä F = U/ x fö gavitationspotentialen U i fallet av VP-systemet. Med U(t, x) given så hade alltså det tidsbeoende VP-systemet kunnat lösas genom att föst placea ut ett stot antal vituella patikla 1 enligt en initialfödelning f som momentant löse VP-systemet. Däefte popageas patiklana genom att lösa (4.7). I våt fall beo dock potentialen U på lösningen f och systemet kan dämed inte lösas analytiskt. Denna metod, som i PDE-litteatu kallas method of chaactestics, kan då ej tillämpas men inspiea numeiska lösningsmetode. Paticle-in-cell-metoden som tillämpas i denna appot ä ett exempel på en sådan numeisk lösning och beskivs i detalj unde avsnitt Ansats Ansatsen fö fasumsfödelningen som undesöks ä på fomen f 1 (E, L z ) = A 1 (E,1 E) k1 + (1 Q 1 L z ) l1 +, f (E, L z ) = A (E, E) k + (1 Q L z ) l +, dä E,1, E, <, A 1, A, Q 1, Q, k 1, k, l 1, l > och (x) + = x om x > och annas. Nomaliseingskonstantena A 1 och A väljs genom att bestämma massona på galaxens beståndsdela, M 1 och M. Va fö sig ha dessa ansättninga använts till att hitta statiska lösninga till både Vlasov-Poissonsystemet och det elateade Vlasov-Einsteinsystemet dä Newtonsk gavitation byts ut mot Geneell Relativitetsteoi. Det gå inte på föhand gå att säga hu galaxen komme se ut fö olika val av paameta. Detta visa på ett syfte med abetet; systemet bestående av två olika komponente ha undesökts analytiskt i [] men hu dessa lösninga se ut ha ännu inte studeats numeiskt. Tots komplexiteten i ansatsen kan hypotese das angående hu galaxen påvekas vid olika val av de ingående paametana. Till exempel ge E,1 en öve gäns fö enegin hos patikla i den tvådimensionella födelningen, då potentialen i allmänhet öka med adien så möjliggö ett stöe E,1 patikla länge ut fån galaxens centum. Tillsammans med M 1 ge E,1 möjlighet att ända galaxens stolek. Motsvaande esonemang gälle fö den tedimensionella delen. Givet att galaxen ha en viss stolek kan födelningen av massa utmed diskens adie vaieas, detta åstadkoms genom att vaiea k 1 och k. I (5.1) se vi att ett ökat k 1 vikta fö höge täthet i de dela av fasummet dä enegin ä liten, vilket motsvaa centum dä potentialen ä liten. Stöe k 1 espektive k ge alltså ett me massivt centum på galaxen i den diskfomade espektive tedimensionella. De anda paametana påveka fasumsfödelningens beoende på L z dä 1/Q 1 och 1/Q ge öve begänsninga på öelsemängdsmomentet. I huvudsak komme den tedimensionella delen att ansättas isotopiskt 11, däfö kan det hädanefte antas att Q = l = om inget annat sägs. 6 Numeiska algoitme I detta avsnitt pesenteas och föklaas de numeiska metodena som används fö att hitta lösninga till VP-systemet. Föst pesenteas metoden som löse det statiska VP-systemet hälett i avsnitt 3, däefte intoduceas Paticle-in-cell-metoden som används fö att tidsutveckla statiska lösninga. 6.1 Statisk algoitm Uttycken fö densiteten och potentialen fö de två systemen (3.9) och (3.17) samt (3.16) och (3.18) definiea tillsammans ett fixpunktspoblem fö den totala potentialen och densiteten i galaxen. Fixpunktspoblemet kan lösas numeiskt genom att anta initialfödelninga av ρ 1 och ρ genom vilka potentialen 1 Dessa behöve inte nödvändigtvis motsvaa de fysikaliska patikla vi modellea. 11 Isotopiska fasumsfödelninga beo endast på enegin. (5.1) 1

20 fö galaxen beäknas enligt (3.17) och (3.18). Utifån detta kan nya densitete ρ 1 och ρ beäknas enligt (3.9) och (3.16). Densiteten nomaliseas i vaje steg så att massan på de olika delana i galaxen hålls konstant. Sedan kan potentialen beäknas utifån de nya densitetena. Detta utgö idén fö den statiska algoitmen. Iteationsschemat fö de numeiska beäkningana se ut på följande sätt: 1. Föst ansätts en statfödelning av massan i systemet genom att välja ρ 1 och ρ, dä ρ 1 leve i xy-planet och ρ leve i hela R 3. Densitetena ansätts så att de ha total massa M 1 espektive M. Fö iteation n utfös sedan följande steg:. Potentialen U n beäknas som summan av ekvatione (3.17) och (3.18) med massfödelninga ρ n 1 espektive ρ n. 3. Ickenomeade densitete ˆρ n+1 1 och ˆρ n+1 beäknas enligt (3.9) espektive (3.16) givet potentialen U n. 4. Nomeingskonstante N 1 och N beäknas fö disken espektive sfäen. Densitetena uppdateas genom ρ n+1 1 = N 1 ˆρ 1 n+1 och ρ n+1 = N ˆρ n+1 så att massan efte en hel iteation ä oföändad. 5. Steg utfös med n = n + 1. Ovanstående steg uppepas till -nomen av diffeensen ρ n+1 k ρ n k, fö k = 1,, ä minde än en vald toleans elle tills maximalt antal iteatione uppnås. I beäkningen av potentialen (3.3) används anda odningens elliptiska integal K(k) given i (3.). Det ä en tung numeisk beäkning då en integalevalueing gös fö alla punkte (, z), i vaje iteation av den statiska algoitmen. Däfö inleds de pogam som beäkna potentiale med en beäkning av K(k) fö alla (, s, z, ζ) som används senae i algoitmen, dä k = s ( + s) + (z ζ). (6.1) K(k) beäknas med funktionen gsl_sf_ellint_kcomp hämtad fån mjukvaubiblioteket GSL (GNU Scientific Libay). Fö ( = s, s, z = ζ, ζ), s, ζ ä k = 1 och K(k) singulä enligt (3.); funktionen kan inte hantea dessa indata vapå en appoximation efodas. I punktena ( = s, s, z = ζ, ζ) då min < s < max dä min och max ä minsta espektive stösta adien, appoximeas dämed K(k). Fö dessa k sätts K(k) till medelvädet av K evalueat i punktena ( = s + step, s, z = ζ, ζ) och ( = s step, s, z = ζ, ζ), dä step ä steglängden i. I punktena ( min, min, z = ζ, ζ) samt ( max, max, z = ζ, ζ) appoximeas K(k) med funktionsväden i de näliggande punktena ( min + step, min, z = ζ, ζ) espektive ( max step, max, z = ζ, ζ) ζ. Hu singulaitete i K hanteas ä något som döms kunna föbättas och betaktas som en potentiell källa till de numeiska felen i modellen. 6. Paticle-in-cell Paticle-in-cell-metoden implementeas fö att lösa det tidsbeoende VP-systemet, detta ä en välanvänd metod inom plasmafysik fö att lösa Vlasovekvationen kopplad till elektomagnetisk växelvekan. Som initialvillko till tidsutvecklingen används en lösning, altenativt en stöd lösning, till det statiska systemet fö en uppsättning paameta. Fån lösningen fås fasumsfödelningen f(x, v) = f(w) som används fö att placea ut de vituella patiklana som används i metoden. Metoden ha två konceptuella dela. Den ena ä en disketiseing av det femdimensionella fasummet som paametiseas med (, z, v, v z, L z ) fö att utnyttja axisymmetin och att L z ä konsevead längs bano. På det utnät som ges av positionvaiablena hanteas fälten i poblemet: densiteten, potentialen, samt gadienten av potentialen. Den anda delen ä ett stot antal, N, vituella patikla 1. Patiklana initieas i mitten av de celle som utgö disketiseingen av fasummet och tilldelas en massa given av m j = f(w j ) V dä w j ä disketa fasumskoodinate, V ä motsvaande fasumsvolym och j = 1,,..., N. Disketiseingen av fasummet och patiklana ä sammankopplade på följande sätt. Densiteten i ummet ges genom att extapolea patiklanas massa till kingliggande utnätspunkte. Poissons ekvation kan då lösas på utnätet och gadienten av potentialen ehålls. Denna intepoleas tillbaka till patiklana som sedan kan föflyttas enligt det kaakteistiska systemet till Vlasovs ekvation, i detta fall Newtons öelseekvatione. Notea alltså att patiklana inte ä begänsade till utnätet utan kan anta godtycklig 1 De vituella patiklana motsvaa sällan fysikaliska patikla, däav namnet. 11

21 position. Däemot ä fälten endast specificeade på utnätet. Födelen med detta jämföt med att till exempel numeiskt lösa ett gavitionellt flekoppspoblem ä att det ä betydligt me beäkningseffektivt att hantea potentialen på ett utnät istället fö att summea ihop potentialbidag ifån vaje enskild patikel. Dessutom fösvinne singulaiteten som uppkomme nä två patikla komme mycket näa vaanda. Nedan följe en beskivning av den numeiska algoitmen som används fö att utföa tidsutveckling enligt Paticle in cell-metoden. 1. Det statiska systemet löses föst med metodena fån avsnitt 6.1. Potentialen vid t =, U, fås däefte som den statiska lösningens potential, som i sin tu ge fasumsfödelningen via ansatsen i (5.1).. Ett utnät initieas i det aktuella fasummet och patiklana placeas i mitten av cellena. De tilldelas en massa motsvaande det volymselementet i fasummet de epesentea multipliceat med vädet på initiala fasumstätheten f i punkten. Dvs m j = f(w j ) V fö j = 1,,..., N dä N ä antalet patikla. Tidsloopen statas däefte med t 1 =. Fö tiden t i ske: 3. Densiteten ρ ti beäknas i utnätet genom att extapolea vaje patikels massa till de fya nämsta utnätspunktena i (, z)-ummet och dividea med stoleken på espektive cell. 4. Potentialen U ti beäknas i (, z)-utnätet enligt ekvation (3.18) med hjälp av ρ ti. Potentialens gadient beäknas också i dessa punkte. 5. Gadienten av potentialen vid patikelpositione bestäms genom att intepolea fån de omgivande utnätspunktena. 6. Patiklanas positione och hastighete uppdateas genom numeiska metode fö lösning av odinäa diffeentialekvatione. Steg 3 till 6 uppepas med t i+1 = t i + dt tills t i = t max. 6.3 Lösning av det kaakteistiska systemet I cylindiska koodinate x = (, θ, z) byts Newtons öelseekvatione (4.7) ut mot motsvaande i cylindiska koodinate med ineta kafte. Vi paametisea fasummet med L z istället fö v θ fö att utnyttja att L z ä bevaad längs patikelbano. Det esulteande systemet bli dx dt = v, dv dt =L z 3 U (x), dl z =, dt dv z dt = U z(x) Vi påminne oss om den begänsning som gjots fö stabilitetanalysen diskutead i 4. Det ä tydligt att de cylindiska koodinatena ge upphov till en singulaitet i oigo. En naiv lösning till detta ä att tidsutveckla i katesiska koodinate. Detta ge dock ett sexdimensionellt fasum och tidskomplexiteten föväas avsevät. Däfö tidsutvecklas systemet i cylindiska koodinate men de galaxe som undesöks begänsas till sådana utan massa i oigo. Fö att numeiskt integea systemet i (6.) används mittpunkts-algoitmen (midpoint algoithm). v n+1 =v n + a n dt x n+1 =x n + 1 (v (6.3) n+1 + v n )dt. Det finns ett pa me avanceade metode fö att lösa Newtons öelseekvatione. Dessa kan dock endast användas i Paticle-in-cell-metoden om de inte använde a n+1 i beäkningen av v n+1. (6.) 1

22 7 Numeiska esultat och diskussion Teoin och den numeiska algoitm som beskivits kan användas fö att modellea olika statiska galaxe, som till exempel singuläa diskgalaxe, sfäiska galaxe och kopplade system av dessa. Paametana i ansatsfunktionen kan vaieas vilket ge oss möjligheten att modellea och undesöka egenskape hos olika galaxe. I detta avsnitt pesenteas numeiska esultat fö att svaa på de fågo som ställdes i inledningen. Rotationskuvo till galaxe bestående av enbat en singulä disk, en singulä disk med en cental utbuktning, en singulä disk omgiven av mök mateia och en singulä disk med cental utbuktning omgiven av mök mateia betaktas och jämfös. Numeiska lösninga fö tidsutveckling av statiska galaxe pesenteas fö att undesöka stabiliteten fö lösninga fån den statiska numeiska algoitmen. Till sist jämfös numeiska esultat med obsevatione. 7.1 Diskfomade galaxe med cental utbuktning Utgående fån de esultat som pesenteats i [1] med platta otationskuvo åteskapas en av lösningana och jämfös med en lösning bestående av en singulä disk med cental utbuktning. Målet ä att se hu lösningana påvekas av den exta tedimensionella massan i mitten samt att undesöka om det gå att poducea lösninga fö galaxe med betydande cental massa som ha platta otationskuvo Disk utan cental utbuktning I Figu 3 visas en ekonstuktion av en lösning ifån [1] fö en singulä disk. Notea att otationskuvan ä platt, utan inföande av mök mateia i fom av en halo som inneslute galaxen vilket ä den allmänt accepteade modellen fö spialgalaxe. Det ä viktigt att dessa otationskuvo tolkas koekt. Det ä inte hastigheten fö patiklana i lösningen utan hastigheten fö testpatikla som fädas på cikuläa bano i tillhöande potential, något som föklaas i avsnitt.6. Genom att beäkna Γ definiead i (.) fås att kavet fö existens av cikuläa bano hos testpatikla ä uppfyllt fö adie inom [,.61R max ], dä R max ä galaxens slut. Om slutet istället definieas som den adie dä 99% av galaxens massa ä innesluten bli omådet istället [,.64R 99% ] ρ1 4 U. vc Figu 3: Singulä disk med paametana: M 1 =.3, M =, k =, l = 1., Q =., E =.1. Figuena visa densiteten, potentialen och otationshastigheten fö testpatikla placeade i potentialen fån galaxen. 13

23 7.1. Cental utbuktning ρ1 ρ. vc Figu 4: Singulä disk med cental utbuktning och följande paameta, M 1 =.3, M =.1, k 1 =., l 1 =.5, Q 1 =.5, E,1 =.1, k = 3.5, l =., Q =., E, =.15. Till vänste: densiteten fö disken. I mitten: densiteten fö utbuktningen längs z =. Till höge: otationshastigheten fö testpatikla i potentialen ρ ρ. 4 6 vc..1 M =. M =.5 M = Figu 5: Singulä disk och cental utbuktning med paameta k 1 =., k = 3.5, l 1 =.5, l =., Q 1 =.5, Q =., E,1 =.1, E, =.15. Figuena visa densiteten vid z = fö de två delana av galaxen samt otationskuvan vid z =. Massan hos den centala utbuktningen anta väden M =.,.5,.8. Notea att [ρ 1 ] = ML, [ρ ] = ML 3 Figu 6: Singulä disk med cental utbuktning och samma paameta som i Figu 4. Figuen visa ρ i en del av det plan som ges av konstant θ. Den ljusa linjen ä inlagd fö att illustea diskens utbedning. Vi infö en cental utbuktning till lösninga liknande den i Figu 3. Om utbuktningen ä tilläckligt massiv och kompakt ä det imligt att anta att otationskuvan näma sig den tillhöande en punktmassa, alltså v c 1/. Det finns fall dä inföandet av en cental utbuktning kan göa otationskuvan plattae 14

24 öve ett stöe omåde vilket visas i Figu 5. Det ä också av intesse att föstå hu sto den centala utbuktningen kan vaa gentemot den singuläa disken samtidigt som otationskuvan ä platt. Detta gå givetvis att heuistiskt testa sig fam till ett sådant löst definieat gänsfall. Ett exempel på en lösning med den kaakteistiken visas i Figu 4. I lösningen stå den centala utbuktningen fö en fjädedel av galaxens totala massa och som syns till höge i Figu 4 så ä otationskuvan elativt platt. Detta ä möjligt då paametana som vikta beoendet på L z ha ändats gentemot lösningen i Figu 3. En annan egenskap som flea av de lösninga med massiv cental utbuktning dela ä att deas otationskuvan ä banta fö små jämföt med lösningen i Figu 3. Nämnvät ä att ingen stöe skillnad ses fö omådet dä cikuläa bano kan existea och lösningen i Figu 4 stödje cikuläa bano i omådet [,.61R max ], elle [,.64R 99% ]. 7. Diskfomade galaxe med mök mateia ρ ρ 1 vc Figu 7: Disk med omslutande halo dä M 1 =.1, M =.5, k 1 = 1., l 1 = 1., Q 1 =., E,1 =.1, k =., l =., Q =., E, =.5. Figuena visa fån höge till vänste, densiteten fö disken, densiteten fö utbuktningen längs z = och otationshastigheten fö testpatikla i potentialen längs disken. Rotationskuvan sluta dä disken sluta. I föa avsnittet begänsades stoleken på den centala utbuktningen och disken vaa betydligt stöe. Nu gös det motsatta och det som tidigae va en cental utbuktning inneslute istället disken. Detta kan ses som en enkel modell fö en diskfomad spialgalax som ä innesluten i en halo av mök mateia. I föegående del visas att galaxe utan en mökmateiehalo kan ha platta otationskuvo, även med en elativt massiv cental utbuktning. Däfö undesöks vilka anda egenskape som inföandet av en halo ge en diskgalax. Likt tidigae finns många paameta och vå utgångspunkt ä att finna lösninga dä ρ stäcke sig en bit utanfö disken samt att otationskuvan ä platt på f 1 s suppot 13. Fån kosmologin vet vi att massföhållandet mellan synlig och mök mateia i univesum ä king 1 : 6. Det finns dock väldigt lite konsensus king hu mycket mök mateia en typiskt spialgalax innehålle. Dessa lösninga ha ett liknande massföhållandet fö att fixea åtminstone en ytteliggae paamete. Huvudsakligen väljs stoleken på de olika delana med E,1 och E, så att halon inneslute disken. En sådan lösning visas i Figu 7 och Figu 8. Fö denna lösning beäknas omådet dä testpatikla på Figu 8: Halon tillhöande lösningen i Figu 7. Figuen visa densiteten i halon dä den singuläa diskens utstäckning ä makead med en vit linje. cikuläa bano kan existea till [,.61R max ], elle [,.78R 99% ]. Hä ses en betydande skillnad gentemot systemen med utbuktning elle halo. Men baa om 13 En funktions suppot ä den delmängd av definitionsmängden som inte avbildas på noll. 15

25 vi låte galaxen ta slut dä 99% av massan ä innesluten. En me extem lösning visas i Figu 14 och 15. Fö den lösningen föbli omådet fö existens av cikuläa bano åteigen oföändat om galaxens slut definieas med R max, men till [,.95R 99% ] med den anda definitionen. Notea att diskens densitet ä oehöt låg fö stöe adie. 7.3 Genomsnittliga tangentiella hastighete I avsnitt.6 diskuteas två olika sätt att definiea otationshastigheten fö en galax, cikuläa otationskuvo fö testpatikla i galaxens potential samt den genomsnittliga tangentiella hastigheten fö stjäno i galaxen. Hittills ha enbat otationskuvo fö testpatikla betaktats, men det ä även elevant att betakta den genomsnittliga tangentiella hastigheten fö stjänona. Däfö beäknas v θ, enligt (.1), fö de te galaxena pesenteade i Figu 3, 4 samt 7; esultatet pesenteas i Figu 9. Tots en makant skillnad i galaxenas stuktu skilje sig inte kaakteistiken fö v θ galaxena emellan. Fö de enskilda galaxena mäks däemot tydliga skillnade mellan v θ och v c. Notea att v θ epesentea otationshastigheten fö stjänona i galaxen medan v c beäknas fån testpatikla. Att mäta otationskuvo fö stjänona i en galax ä kompliceat, däfö gös istället mätninga på gasmoln som omge stjänona. En gaspatikels massa ä liten elativt massan fö en stjäna vilket gö att mätningana av gaspatiklanas otationskuvo kan liknas vid otationskuvo fö testpatikla i en galax potentialfält, vilket ä vad v c beskive. v c fö de te galaxena ses i Figu 3, 4 och 7. Vaken inföandet av en cental utbuktning elle en omgivande halo av mök mateia, med de ansatse som använts, ge att de två otationskuvona v c och v θ bli nämnvät me öveensstämmande än fö den singuläa galaxen i Figu 3. Det ä den allmänna uppfattningen att obsevatione av gaspatiklanas otationskuvo bode öveensstämma med otationskuvona fö stjäno i en veklig galax då stjänona bildas ifån gaspatiklana och öelsemängdsmomentet ä bevaat. Diskepansen mellan v c och v θ fö de te lösningana utgö däfö en bist i modellen. Det ä viktigt att notea att esultaten inte nödvändigtvis ä geneella, utan gälle fö de ansatse och paameta som pesenteats. Det ä ett intessant poblem att titta på om anda ansatsfunktione kan ge platta otationskuvo även fö v θ och om anda ansatse kan ge att v c och v θ öveensstämme, med det ä inget som undesökts vidae i denna studie vθ. vθ. vθ Figu 9: Medelvädet av den tangentiella otationshastigheten med anseende på adien fö te olika galaxe. Vänste: v θ fö galaxen i Figu 3. Mitten: v θ fö galaxen i Figu 4. Höge: v θ fö galaxen i Figu 7. 16

26 7.4 Singulä disk med cental utbuktning och omgivande halo ρ1 1 ρ ρ Figu 1: Singulä disk med cental utbuktning och omslutande halo av mök mateia. M 1 =.1, E,1 =.7, Q 1 =., l = 1., k =., M =.1, E, =.15, Q = 1., l =., k =., M 3 =., E,3 =.5, Q 3 = 1., l 3 =. och k 3 =.. Till vänste: Densiteten fö disken, paameta betecknade med index 1. I mitten: Densiteten fö utbuktningen längs z =, paameta betecknade med index. Till höge: Densiteten fö halon längs z =, paameta betecknade med index vc Figu 11: Rotationskuvan längs z = fö galaxen med samma paameta som fö galaxen i Figu 1. Vi betakta en galax bestående av te dela: en singulä disk, en cental utbuktning och en halo av mök mateia fö att undesöka existens av en sådan galax och fö att betakta dess otationskuva. I Figu 1 visas densiteten fö galaxens te olika dela längs vid z =. I Figu 11 visas otationskuvan fö galaxen. Existensomådet fö cikuläa bano i galaxen ä [,.6R max ] elle [,.63R 99% ]. Radien R max ä avståndet fån oigo till diskens slut och R 99% ä anståndet fån oigo till dä 99% av diskens massa innesluts. Inföande av en massiv omgivande halo av mök mateia lede inte till någon skillnad i existensomådet jämföt med lösningen i Figu 4. Vät att belysa ä att paametana fö galaxen inte ä valda fö att maximea omådet fö existens av cikuläa bano utan istället fö att få önskat föhållande mellan galaxens te dela samt en platt otationskuva. En annan egenskap som en cental utbuktning ge både lösningen i Figu 4 och lösningen i Figu 1 ä att otationskuvan ä bantae och dämed plattae fö minde, en önskväd egenskap utgående fån de obsevatione som gjots, se [ubin]. 17

27 7.5 Stabilitet Figu 1: Figuen visa tidsutvecklingen av en statisk lösning stöd genom att öka massan med 1% med ansats given av 7.1 med paameta givna av M =.5, E, =.4, k =., l =., Q =., C = 1.. Till vänste visas densiteten fö olika adie vid z = vid olika tide. Till höge visas kinetiska (T), potentiella (U) och totala (E) enegin vid olika tidpunkte. Cika 4.6 miljone patikla används fö att appoximea fasumsfödelningen. Det ä av intesse att tidsutveckla fullt tedimensionella axisymmetiska statiska lösninga med stöd initialdata fö att undesöka lösninganas stabilitet. I ljuset av begänsningen i metoden att inte kunna hantea massa vid = måste föst en klass av godtagbaa lösninga hittas. Detta gös genom att modifiea ansatsen i (5.1) till att vaa f (E, L z ) = { f (E, L z ) om L z > C annas, (7.1) dä C ä en unde begänsing på L z. Enbat en unde begänsning på L z = v θ föhinda inte massa fån att befinna sig näa mitten av galaxen. Däemot, i kombination med en öve begänsning på enegin, som samtliga av våa ansatsfunktione inkludea, tillåts inte hastigheten fö stjänona vaa godtyckligt hög. Således fås en unde begänsning på adien och ingen massa tillåts i en omgivning till oigo som bestäms av C och E. I [4] visas numeiskt hu sfäisksymmetiska statiska lösninga till VP-systemet oscillea fö tilläckligt små sfäisksymmetiska stöninga. I [4] stös lösninga på en handfull olika sätt, med liknande esultat. De finne att fö tilläckligt små stöninga beo fekvensen av oscillationen endast på lösningen och inte på vilken typ av stöning. I Figu 1 visas en tidsutveckling av en statisk lösning. Stöningen som tillämpas ä av typen amplitude petubation pesentead i [4]. den statiska lösningen f stös enligt f = (1 + ɛ)f, ɛ =.1. Vät att notea ä att lösningen ä axisymmetisk på fasummet, således bli även stöningen axisymmetisk. Lösningen upphö att vaa statisk, men en tilläckligt obust lösning föväntas inte öa sig avsevät ifån sitt ostöda läge. Vät att notea ä att en stöning inte ä helt nödvändig fö att få till en oscillation på de numeiska statiska lösningana. Med den noggannhet som uppnåtts i den statiska lösningsmetoden så ä de numeiska felen nog fö att geneea oscillatione. Detta kan ses genom att studea totala kinetiska och potentiella enegin fö galaxen och se hu väl viialteoemet uppfylls. Fö en ostöd lösning med samma ansats som den i Figu 1 så ges T = och U = Viialteoemet ä alltså uppnått till en noggannhet på endast cika 1% och lösninga bode uppvisa oscillatione. I Figu 16 i Appendix B pesenteas tidsutvecklingen av lösningen utan stöning. Även utan en explicit stöning av amplituden syns liknande oscillatione som i Figu 1. Noggannheten i tidsutvecklings-metoden ä bestämd av en ad paameta och det ä inte tivialt hu dessa skall väljas fö att minimea felet givet en viss beäkningskapacitet. Antalet patikla som föflyttas ä diekt kopplat till disketiseingen av fasummet och påveka hu väl initialfödelning kan 18