díar A íar en operator och H hamiltonoperatorn. Fíor att utvíardera sçadana uttryck kan

Transkript

1 CHALMERS TEKNISKA H í OGSKOLA Avdelningana fío tillíampad, teoetisk expeimentell fysik samt MINA Bengt Lundqvist ètfybil@fy.chalmes.seè KVANTFYSIK fío F3 KF Inlíamningsuppgifte I2: Denna omgangs inlíamningsuppgifte ía: 0.è Fío att undelíatta líosandet av inlíamningsuppgiftena bío Du fíost íova Dig genom att t.ex. líosa bl.a. de uppgifte som ges i veckoschemat..è Líos uppgift VI. i exempelsamlingen, vavid en av deluppgiftena gíos exakt. 2.è Kommuteingselatione behíovs t.ex. fío att beskiva hu kvantmekaniska obsevable utveckla sig i tiden, t.ex. ih dhai dt = hëa; Hëi; día A ía en opeato H hamiltonopeaton. Fío att utvíadea sadana uttyck kan det vaa ba med eæektiva epesentatione med fíoenklande kommuteingsegle. aè Visa pa ett stikt explicit síatt att x 3.è bè Visa pa ett stikt explicit síatt, att fío en funktion fèxè av líageskoodinaten x fío en funktion gèpè av íoelsemíangden p fíoljande kommuteingsegle gíalle: ëp; ëx; : cè Beíakna ègíana med hjíalp av aè oèe bèè d2 hxi dt 2 fío en patikel med laddningen q i ett elektiskt fíalt E jíamfío med motsvaande klassiska uttyck. De æesta atome ía æepatikelsystem. Samtidigt sta víateatomen, som genom en enkel tansfomation gíos till ett enelektonsystem, fío den enda schíodingeekvation som vi kan líosa exakt. Dess híoga symmeti, makead genom centalfíaltspotentialen V èè =,e 2 =4æ 0,gío sfíaiska koodinate ;;'sjíalvklaa klotytfunktione Y lm anvíandbaa. Det voe ju synd om sadana æna hjíalpmedel inte kunde anvíandas till alla de anda me ían hunda atomena. Fío den som tíanke sa, ænns det ett evangelium: Natuen ha tíankt pa det. I vaje atom ænns ju ett kaftcentum, kíanan, som attahea vaje elekton med en centalpotential V èè =,Ze 2 =4æ 0, día Z ía kíanladdningen. Alltsa ganska likt víateatomen, men íanda annolunda, eftesom det i den neutala atomen dessutom ænns de anda Z, elektonena, som ocksa paveka den elekton vi valt att fíolja. Motsvaande potentialenegi ía inte en centalpotential. Natuen ía dock sa ænulig att ett centalfíalt V CF èè hía ía en ba appoximation. I íakningana gío man fíost "med vald" ett sfíaiskt medelvíade èjf Kap. XIVè sa ta man híansyn till koektionena i fíoænade íakninga. Centalfíaltsappoximationen, dvs. en enelektonappoximation, día vaje elekton ío sig i en centalpotential V CF èè ía

2 en sa ba appoximation att den tillsammans med paulipincipen duge till att bygga upp det peiodiska systemet, sa det komme alltsa mycken "mileage" u den "moton". Som det papekas i Kap. XIV, kan enelektonappoximationen, díamed centalfíaltsappoximationen, ges en fast gund av bade Hatee- Hatee-Fock-metodena samt tíathetsfunktionalteoin èdft; se ocksa utdelat mateialè. Dessa svaa mot olika, successivt allt noggannae, ansatse i vaiationsmetodens uttyck fío systemets enegi, som nía man fíoæna botom centalfíaltsappoximationen ge olika esultat, vavid DFT ha en mycket híog pediktiv fíomaga èanvíands bl.a. i en av kusens datolaboationeè. I "Anteckninga fan metodfíoelíasninga" ænns det en hel del víadefulla esultat, som komme till anvíandning i centalfíaltssammanhang. Líos med den utgangspunkten fíoljande poblem: aè Om A ía en æx punkt med koodinatena èæ; æ; æè P en vaiabel punkt èx; y; zè, om avstadet AP skivs R, ía gavitationspotentialen i en punkt P p.g.a. en enhetsmassa i punkten A è ==R en patikulíalíosning till den Laplaceekvation som gíalle. Ibland kan det vaa íonskvíat att utveckla è i potense av elle,,día =èx 2 + y 2 + z 2 è =2 ía avstandet fan oigo O till P. Visa, att man, om vinkeln mellan iktningana OA OP infíos, avstandet mellan O A síatts till a, kan skiva 8 é è = : a P n=0, aæ n Pn èè; éa; P n=0, a æ n Pn èè; éa; día = cos, gedepolynomp n èè, som gíalle fío n =0,,23. bè Visa fan deænitionen av deivatan i katesiska koodinate att 2 @ 2 h 2 L2 : cè Visa att klotytfunktionena fío l = 2;m = l = ;m = 0 ía otonomeade. dè I centalfíaltsappoximationen fa enelektonvagfunktionena fomen è nlm = R nl Y lm : Huvudkvanttalet n = ; 2; 3;::: deænea elektonskal. Om man ta híansyn till paulipincipen, dvs. late en elekton med "spinn upp" en med "spinn ne" vaaivaje enelektonvagfunktion, hu manga elektone ænns det plats fío iskal, 2, 3 esp. 4? e+fè Visa med hjíalp av additionssatsen fío klotytfunktione èse Olle Bandes fomelsamling i metodfíoelíasningsanteckninganaè att den elektostatiska víaxelvekansenegin mellan de tva elektonena i heliums gundtillstand ía 5e 2 Z=è8a 0 è, nía gundtillstandets vagfunktion kan skivas èè ; 2 è= Z3 exp, Z è a è ; 0 a 0 día a 0 ía bohadien.

3 4.è Den stationíaa schíodingeekvationen fío den hamonisk oscillaton kan skivas 2, d2 èèè =æèèè: 2 d 2 aè Vilka tansfomatione, uttyckta i patikelmassan m oscillatofekvensen!, ha híavid gjots av íoelsemíangd, koodinate enegi fío den oscilleande patikeln? bè Tva opeatoe A A +, som deænieas av A = + d d 2 2 A + =, d d 2 2 bukas kallas stegopeatoe. Visa att opeaton A tansfomea en enegiegenfunktion èèè svaande mot enegiegenvíadet æ till en annan è 0,somsvaa mot ett enegiegenvíade en enhet líage, att A + è æ è è æ+. cè Visa med hjíalp av uttycket ; 5.è att C n =è2 n n!è, 2 2m! h Aè n èè =n 2 è n, èè 4 =è2 n n!è, 2 C 0 A + è n èè =èn +è 2 è n+ èè gíalle i fallet n =3èè n èè =C 3 è8 3, 2è expè, 2 2 è. dè Visa att enegiegenvíadena ía èn + 2 èh!. eè Figu visa esultat fan enegifíolustexpeiment, día toppana makea vibationsegenenegie fío víate- deuteiummolekyle pa en Cu-yta. Stíamme eæekten av isotoputbytet med hamoniska oscillatons fíoutsíagelse? Geige-Nuttall-diagam fío toium: Livstide èi divese enheteè obseveade æ-patikelenegie E æ èi MeVè fío síondefall hos olika toiumisotope èz = 90è ges i fíoljande tabell:

4 Figue : Elektonenegifíolustspektoskopi èeelsè fío víateisotope pa en Cu-yta. Masstal E æ èmevè 232 :4 æ 0 0 a 4: :7 æ 0 4 a 4: :34 æ 0 3 a 4: :9 a 5: :7 daga 6: min 6: min 6: :04 s 7: :66 s 7: :9 ms 7:98 22 :68 ms 8: s 8:79 29 :05 s 9: : s 9:67 Fío æ-síondefall hos tunga kíano buka man ange tunneleæekten som den gíallande mekanismen. Uppgiften ía att visa att tabellens data ge stíod at detta. aè Visa fío enklast tíankbaa fall èita ægu!è att tunnelsannolikheten ía popotionell mot e,2a,día èhè2 2m = V 0, E, a = baiíabedden V 0 =,híojden, samt E èé V 0 è enegin fío den tunnlande patikeln. bè Nu ía ju inte baiíaen fío æ-síondefall sa enkel. En nagot me elevant modell fío denna pocess anta att æ-patikeln ío sig i en potential fío dottekíanan, som ía en kombination av en attaktiv potentialgop en Coulomb-epulsion enligt Fig. 2, V èè =,V fío ér ZZ2Ke2 fío ér. Visa, genom att fíost anvíanda esultatet i aè pa enfíoljd av dx-tunna baiíae enligt Fig. 3 fa en tunnelsannolikhet popotionell mot exp ë,2 P i idxë sedan ta gíansen dx! 0, att man fío

5 Figue 2: Baiía fío æ-síondefall ovanstaende potential fa en tunnelsannolikhet popotionell mot è =2 Z b è 2m Z Z 2 Ke 2 exp,2 h 2 d, E : R Stohetena R, Z, Z 2, K, m, a b ía kaakteistiska paameta fío poblemet med en natulig tolkning. cè Finn ett líampligt síatt att ëplotta" tabellens - E æ -víaden sa att datapunktena ëpassa" till en íat linje. Ge detta stíod fío att tunnelmekanismen gíalle fío æ-síondefall? Figue 3: Endimensionell tunnling - geneell potentialbaiía Bedíomning: Bedíomningen av de inlíamnade líosningana ske summaiskt, men ungefía som vid tentamen: "Uppgiftena kan ge upp till 3 poíang vadea èfío betyg 3 kíavs 6 poíang, fío fya 9 poíang fío femma 2 poíang, men hía gíalle det de viktade poíangtalen fío hela kusenè. Vid bedíomningen líaggs inte baa vikt pa ev. íatta sva pa diekta fago utan ocksa pa klahet i pesentationen, med fullstíandiga meninga, med logik i agumenten med tydliga efeense till kompendiet oèe boken samt tabelle fío mateial som híamtats día. Obsevea att ocksa en edigt skissead pinciplíosning kan ge vissa poíang."