TENTAMEN. Datum: 11 feb 2019 Skrivtid 8:00-12:00. Examinator: Armin Halilovic Jourhavande lärare: Armin Halilovic tel

Transkript

1 Kus: HF9, Matematik, atum: feb 9 Skivti 8:-: TENTAMEN momet TEN aals Eamiato: Ami Halilovic Jouhavae läae: Ami Halilovic tel Fö gokät betg kävs av ma poäg Betgsgäse: Fö betg A, B, C,, E kävs, 9, 6, espektive poäg Kompletteig: 9 poäg på tetame ge ätt till kompletteig betg F Kompletteig ske c:a två vecko efte att tetame ä ätta Om kompletteig ä gokä appoteas betg E, aas appoteas F Hjälpmeel: East bifogat fomelbla miiäkae ä ite tillåte Till samtliga ilämae uppgifte foas fullstäiga lösiga Skiv east på e sia av pappeet Skiv am och pesoumme på vaje bla lämae uppgifte skall makeas me kss på omslaget Stuet få ite behålla tetameslelse elle skiv- och klapappe som aväts ue tetame ===================================== Uppgift p E kuva beskivs av följae ekvatio: Bestäm kuvas taget i pukte, Uppgift p Vi betakta fuktioe f, 6 Bestäm fuktioes statioäa pukte och eas tp mi/ma/saelpukt Uppgift p Beäka ubbelitegal, å efiieas geom, Va go vä

2 Uppgift p Beäka följae gäsväe a lim l b lim Uppgift p Vi betakta fuktioe f a Bestäm evetuella asmptote loäta/vågäta/sea b Bestäm samtliga statioäa pukte och eas kaaktä mi/ma/teass c Rita gafe Uppgift 6 6p Ett omåe Ω efiieas av 9 och se figue a Beäka aea av Ω b Låt T c, c vaa omåets tgpukt Bestäm tgpuktes kooiate c Beäka omåets ttöghetsmomet kig -ael Beäka omåets ttöghetsmomet kig -ael = Uppgift 7 p Bestäm volme av e kopp som efiieas av z 7, och Uppgift 8 p Låt si si Bevisa att Tips: Skiv högeleet si si si och avä patiell itegatio på itegale i Lcka till

3 FACT: Uppgift p E kuva beskivs av följae ekvatio: Bestäm kuvas taget i pukte, Lösig: Vi impliciteivea ekvatioe och få Häav Vi substituea, i och få Alltså Tagetesekvatio: vs Sva: Rättigsmall: Koekt eiveig vs koekt till ge p Allt koekt=p Uppgift p Vi betakta fuktioe f, 6 Bestäm fuktioes statioäaa pukte och eas tp mi/ma/saelpukt Lösig: f 6 f f f 6 E statioä pukt P, A f B f C f AC B Eftesom AC B och A, ä e mipukt Gafe till fuktioe: Sva: Fuktioe ha e statioä pukt, som ä e mipukt Rättigsmall: Koekt bestämigs av pukte, ge p Allt koekt=p

4 Uppgift p Beäka ubbelitegal, å efiieas geom, Lösig: Sva: 6 Rättigsmall: Koekt till Koekt till ge p Allt koekt=p 6 ge p Uppgift p Beäka följae gäsväe a lim l b lim Lösig: a lim sättig visa att gäsväet ä av tp f f Ma ka å aväa L Hospitals egel: lim lim, a g a g Alltså: si lim lim [tp ] lim ä L Hospitals egel ha aväts gg eftesom e fösta gåge gav ett tt gäsväe av tp l b lim Täljae och ämae gå båa mot å Äve hä ka ma aväa L Hospitals egel:

5 l lim [tp ] lim lim Sva: a b Rättigsmall: a och b vaea poäg Rätt elle fel Uppgift p Vi betakta fuktioe f a Bestäm evetuella asmptote loäta/vågäta/sea b Bestäm samtliga statioäa pukte och eas kaaktä mi/ma/teass c Rita gafe Lösig: a Loäta vetikala asmptote fås å ämae = och täljae Alltså ä = -ael e loät asmptot Vågäta/sea asmptote fås me polomivisio, vilke bli mcket ekel i etta fall Alltså fis e se asmptot, åt höge och åt väste, me ige vågät hoisotell asmptot b Statioäa pukte ä lösiga till ekvatioe f : f två statioäa pukte Fuktioes väe i puktea som vi aväe i gafe ea: f 6 och f 6 6 Pukteas kaaktä ka bestämmas me aaeivata: f 6 f alltså ä = e mipukt 6 f alltså ä = e mapukt c Gafe:

6 Sva: a = -ael ä e loät asmptot ä e se asmptot åt höge och åt väste Vågät asmptot sakas b Två statioäa pukte = e mipukt och = e mapukt c Se gaf ova Rättigsmall: a p fö alla koektaa asmptote b ma p E poäg fö båa statioäa pukte = och = E poäg om e pukt och puktes tp ä koekta p om allt ä koektt c p fö koekt gaf Uppgift 6 6p Ett omåe Ω efiieas av 9 och se figue f a Beäka aea av Ω b Låt T c, c vaaa omåets tgpukt Bestäm tgpuktes kooiate c Beäka omåets ttöghetsmomet kig -ael Beäka omåets ttöghetsmomet kig -ael =

7 Lösig: a Meto : Aea: A Meto : A b Aea c 6 si 6 6 si si si Aea c 6 6 si 6 Alltså 6, T c Yttöghetsmomet me avseee på -ael si si Vi aväe fomel si si si Yttöghetsmomet me avseee på -ael ä

8 Yttöghetsmomet me avseee på -ael Vi aväe fomel si si Yttöghetsmomet me avseee på -ael ä Sva: a Aea b Tgpukte: 6, T c Yttöghetsmomet me avseee på -ael ä Yttöghetsmomet me avseee på -ael ä Rättigsmall: a Rätt aea ge p b ma två p poäg fö vaje koekt kooiat Koekt e av c elle ge p Båe c och koekta =p Uppgift 7 p Bestäm volme av e kopp som efiieas av 7 z, och Lösig: Vi betecka 7, f och, f V= f f = = 7

9 7 Sva: Rättigsmall: Koekt till V ge p Koekt till ge p Allt koekt= p Uppgift 8 p Låt si si Bevisa att Tips: Skiv högeleet Lösig: Vi ha si si si och avä patiell itegatio på itegale i si si si Vi aväe patiell itegatio på itegale i högeleet u si v si u si v och få si si si si si Alltså si si si si si si Häav si si

10 och slutlige si vilket skulle bevisas Rättigsmall: Koekt till si si si ge poäg Allt koekt =p