Lösningsförslag nexus B Mekanik

Transkript

1 Lösningsföslag 1 Mekanik 101. Stenen falle stäckan s. s gt 9,8 1, 6 m 1,6 m Sva: 1 m 10. Vi kan använda enegipincipen: mv mgh v gh Hastigheten vid nedslaget bli då: v gh 9,85 m/s 6 m/s Sva: 6 m/s 10. a) Då basketspelaen hoppa uppåt ha han öelseenegi. Denna enegi omvandlas till lägesenegi unde upphoppet. Tyngdpunkten höjs h 0,70 m. Enegipincipen ge att mv mgh v gh 9, 8 0, 70 m/s,7 m/s b) Tiden fö upphoppet ä lika sto som tiden fö fallet nedåt. Denna tid ä tiden fö ett fitt fall 0,70 m. s gt s t g 0, 70 s 0,8 s 9,8 Den totala tiden bli alltså dubbelt så sto, dvs. 0,8 s 0,76 s Sva: a),7 m/s b) 0,76 s 104. Vi sätte nollnivån vid munstyckets öppning. Den totala tiden t som vattnet ä i luften beäknas genom s v o t gt 9,8 t Vi få andagadsekvationen 0 0 t Vi faktoisea genom att byta ut t och få då 9,8 t 0 t(0 ), vilket ge två lösninga: 9,8 t t 0 och (0 ) 0 Lösningen till denna andagadsekvation ä t 4,07 s (Lösningen t 0 s fökastas) Vi sätte nollnivån 4, m öve vattenytan, dvs. dä hennes tyngdpunkt befinne sig nä hon stå still på svikten. a) Hennes tyngdpunkt höjs (5, 4,) m 1,0 m vid upphoppet. Röelseenegi övegå i lägesenegi. Enligt enegipincipen få vi mv mgh v gh 9, 8 1, 0 m/s 4,4 m/s b) Då hon nå vattenytan befinne hon sig (4, 1,) m,0 m unde nollnivån. Tiden beäknas u s v o t gt. 9,8 t Vi få,0 4,4 t Denna andagadsekvation ha lösningen t 1,5 s (Lösningen t 0,45 s fökastas). Sva: a) 4,4 m/s b) 1,4 s 106. a) vetikal led beskive skidåkaen ett fitt fall utan begynnelsehastighet. Falltiden beäknas u s gt s t g 0 9, 8 s,47 s b) Hastigheten v x i hoisontell led beäknas u s v x t v x s 40 m/s 16, m/s t, 47 Sva: a),5 s b) 16 m/s 107. a) I vetikal led beskive Julia ett fitt fall utan begynnelsehastighet. Falltiden beäknas u s gt s t g 1, 9, 8 s 0,51 s Hastigheten v x i hoisontell led beäknas u s v x t v x s,1 m/s 4,08 m/s t 0, 51 b) Om hastigheten ökas med 0% bli den 1,0 4,08 m/s 4,90 m/s Tiden ä densamma. Hon kan däfö flyga stäckan s v x t 4,90 0,51 m,5 m, dvs. (,5,1) m 0,4 m länge 0, 4 0%,1 Stäckan ä diekt popotionell mot hastigheten. Sva: a) 4,1 m/s b) 0 % elle 0,4 m länge Sva: 4,1 s Lösningsföslag nexus B Mekanik 1

2 108. a) Den hoisontella hastigheten påveka inte falltiden. Fomeln s gt kan däfö användas. s gt s t g 1,0 s 0,45 s 9,8 b) Då vi nu vet både hastighet och tid kan stäckan ut fån bodet beäknas. s t v 0, 45 1,6 0,7 x fall 0x Sva: a) 0,45 b) 0,7 m o 109. a) Hoisontell led: v 0x 4 cos 60 1 o Vetikal led: v 0y 4 sin 60 0,8 b) Kastet i vetikal led kan ses som ett omvänt fitt fall dä begynnelse- och sluthastighet ä ombytta. v y 0,8 v y gt t,1 (,118 ) g 9,8 c) I vändpunkten ha stenen ingen hastighet i vetical led. Däfö bli den totala hastigheten v v0 x 1 m/s d) Den totala kasttiden bli en dubbleing av svaet i deluppgift b. Kastets längd beo på denna tid och på hastigheten i vetikal led. smax tstig v0 x, ,8 e) Eftesom kastpaabeln ä symetisk (om luftmotståndet fösummas) ä hastigheten och vinkeln lika stoa i böjan och slutet, speglade i den vetikala symmetilinjen unde kastets högsta punkt. Sva: a) v ox 1 m/s, v oy 0,8 m/s b),1 s c) 1 m/s d) 50,8 m e) 4 m/s och 60 o 110. a) På tiden t ha delfinen nått sin högsta höjd. v y v oy gt I högsta punkten ä v y 0 v oy 0 v oy gt t g Då ä delfinen,0 m upp i luften. s y v oy t gt,0 insättning av vädet på t ovan ge: v oy v oy v oy g g g,0 v oy, 0 9,8 m/s 7,68 m/s På den dubbla tiden ha delfinen föflyttat sig 5,0 m i hoisontell led med den konstanta faten v x v xo v oy 5,0 v x g v x 5,0 1,56 v x 7,68 9,8 m/s,0 m/s v x 1,56 Delfinens hastighet vid upphoppet ehålls då med Pythagoas sats: v v oy + vox 7,68 +, 0 m/s 8, m/s b) Vinkeln vid upphoppet ä α, dä 7, 68 tan α a 67,4 o,0 Sva: a) 8, m/s b) 67 o 111. Bollen skall hinna falla halva sin diamete, dvs. 0,015 m ned i hålet innan den ha hunnit passea hålet. På tiden t falle bollen stäckan s gt om begynnelsehastigheten i vetikal led ä noll. s Vi få t g 0, 015 s 0,066 s 9,8 Låt bollens maximala hoisontella hastighet vaa v. Bollen passea då hålet på tiden 0,066 s. Hålets bedd ä 0,108 m. Stäckan bollen hinne innan den slå i hålets vägg ä då hålets diamete minus bollens 0,04 halva diamete: s 0,108 0, 0865 m s v t 0,0865 v 0,066 v 0,0865 m/s 1, m/s 0,066 Sva: 1, m/s 11. Din läae kan kanske tipsa dig hu du kan använda din gafitande äknae. 11. Se bokens facit Se bokens facit Se bokens facit. Lösningsföslag nexus B Mekanik

3 116. A: Lägesenegin öka då kulan stige och minska då den falle. B: Hastigheten minska då kulan stige och öka då den falle. C: Tyngdacceleationen ä konstant hela tiden. D: Röelseenegin minska då kulan stige och öka då den falle. Sva: a) C 117. Hans lägesenegi övest i banan ä W p mgh 48 9,8 1, J 5751 J Denna enegi ha övegått i fiktionsväme. F s 5751 J, dä F ä bomskaften. F 5751 N 69 N 8 Sva: 69 N 118. Kaften på föaens kopp beo endast på koppens massa och acceleation. F m a 80 1,1 9,8 N 864 N Sva: 860 N 119. a) Kaften på bilen beo på bilens massa och acceleation. Acceleationen fås u gafens iktningskoefficient. Δv 10 a m/s 0,4 m/s 5 Kaften: F m a ,4 N 600 N b) Efte 0 sekunde ä hastigheten 8 m/s enligt diagammet. mv Röelseenegin: Wk J 48 kj c) Vid t 0 s ä öelseenegin noll eftesom hastigheten ä noll. mv 1500 t 5 s Wk J kj Ökningen bli således kj mv d) t 0 s Wk J 48 kj mv t 5 s Wk J 75 kj Ökningen bli således 75 kj 48 kj 7 kj Sva: a) 600 N b) Röelseenegin ä 48 kj c) kj d) 7 kj 10. a) Föload lägesenegi W p mgh 84 9,8 (8, + 0,88) J 7490 J b) Enegin finns nu hos det spända seglet. Fö att spänna seglet stäckan s kävs den geneomsnittliga kaften F, dä F s W p W p F 7490 s 0, 88 N 8511 N Sva: a) 7,5 kj b) 8,5 kn 11. a) Acceleationen ehålls som iktningskoefficienten hos tangent till kuvan dåm t 5,0 s. Den mäts till ca 4 m/s b) Vattendoppens massa m ρ V ρ 4π 4π 0, kg 1, kg Nettokaften på vattendoppen ä F ma 1, N 6, N c) Fallstäckan ehålls genom att uppskatta aaen av omådet unde kuvan i intevallet 0 t 5 s. Om detta omåde appoximeas med en tiangel få vi 4 5 m 90 m Sva: a) 4 m/s b) N c) 90 m Lösningsföslag nexus B Mekanik

4 1. a) Röelsemängden p 0,86 p m v m kg 0,0 kg v 4, b) Vi välje uppåt som positiv iktning. Impulsen Δ p mvefte mvföe 0, 0,8 0, 0 ( 4,) kgm/s 1,6 kgm/s (iktning uppåt eftesom svaet ä positivt) Δp 1, 6 c) Kaften F N 65 N 0,05 Sva: a) 0,0 kg b) 1,6 kgm/s (uppåt) c) 65 N 1. Bollen ända sin öelsemängd m Δv 0,50 18 kgm/s 9,0 kgm/s Impulslagen ge att F 9,0 dä ä stöttiden F 9, 0 Sva: 450 N 9,0 0, 0 N 450 N 14. a) Läs av i diagammet i de gänse dä kuvan föändas. Kaften Δp mvefte mvföe 1, 4 1, 7 F N 0, 7 0,15 5,6 N 6 N (minustecknet betyde att impulsen ä motiktad öelsen föe impulsen) b) Vid tiden 0, s luta gafen som mest. Då ä kaften stöst. c) Genom att da tangenten till gafen vid tiden 0, s och läsa av två punkte kan man beäkna den stösta kaften. Δp mvefte mvföe 0, 5 1 F N 15 N 0, 4 0, (minustecknet betyde att impulsen ä motiktad öelsen föe impulsen) Sva: a) 6 N b) 0, s c) 15 N 15. a) Vagnen få impulsen Δ p F Δ t 10 1,0 Ns 10 Ns Δ p mvefte mvföe Δ p+ mvföe vefte m/s 4,6 m/s m 6 b) Vi använde lagen om öelsemängdens bevaande föe och efte att issäcken landa i vagnen. m v + m v m v + m v vagn vagn föe is is föe vagn vagn efte is is efte 6 4, vvagn + 10 vis efte Eftesom både vagnen och iset ha samma hastighet efteåt kan vi skiva: 6 4, (6+ 10) v efte 6 4, vefte m/s, m/s Sva: a) 4,6 m/s b), m/s 16. a) Bollens öelsemängd föe täff: pföe m v 0, kgm/s,4 kgm/s b) Bollens öelsemängd efte täff: pefte m v 0, 060 ( 10) kgm/s 0,6 kgm/s c) Impulsen: Δ p pefte pföe 0,6, 4 kgm/s kgm/s minustecknet betyde att impulsen bomsa bollens öelse. Δp d) Kaften: F N 70 N 0,060 0,015 e) Vid tiden 0 ms luta gafen som mest. Då ä kaften stöst. f) Genom att da tangenten till gafen vid tiden 0 ms och läsa av två punkte kan man beäkna den stösta kaften. Δp mvefte mvföe 0, 060( 7 40) F N 140 N 0,040 0,00 Sva: a),4 kgm/s b) 0,6 kgm/s c) kgm/s (i bomsande iktning) d) 70 N e) 0 ms f) 140 N 17. Se bokens facit. 18. Se bokens facit. Lösningsföslag nexus B Mekanik 4

5 19. (Upplaga 1) Eftesom öelsemängden va noll fån böjan komme den att vaa noll även efte knuffen. Låt Claudios hastighet vaa v efte knuffen Om vi välje den iktning som Andes ö sig i som positiv iktning Lagen om öelsemängdens bevaande (LRB) 9 1, + 6 v 0 9 1, v m/s 1,8 m/s 6 Claudio få således hastigheten 1,8 m/s i en iktning som ä motsatt Andes. Sva: 1,8 m/s (Upplaga ) Lagen om öelsemängdens bevaande (LRB) 70 1, + 5 v , v m/s,4 m/s 5 Andea få således hastigheten,4 m/s i en iktning som ä motsatt mammans. Sva: 1,8 m/s 10. a) Föbänningsgasena påveka ymdfäjan med en kaft av 0 MN. Enligt Newtons :e lag påvekas gasena av en lika sto men motiktad kaft. Impulslagen: F m Δv m F Δv Sva: 7500 kg kg 7500 kg 11. a) Impulsen på bollen: Δ p mvefte mvföe (0, 450 ( 0) 0, 450 5) kgm/s 9 kgm/s (minustecknet betyde att bollen bomsas) b) Kaften på Pete: Δp 9 F N 1040 N 0,08 c) Omvandlad öelseenegi: mvföe mvefte Δ Wk Wk föe Wk efte m 0, 450 ( v föe v efte ) (5 0 ) J 7 J Sva: a) 9 kgm/s b) 1040 N c) 7 J 1. a) Impulsen: Δ p Fdt 0,4 kgm/s (Uppskatta aean unde F-t-gafen med hjälp av utsystemet.) b) Eftesom pilen stoppas helt ä hastigheten föe täff samma som hastighetsskillnaden. Δp 0, 4 vföe Δ v m/s 19 m/s m 0,0 Sva: a) 0,4 kgm/s b) 19 m/s 1. Röelsemängd föe ä (400 7, ,1) kgm/s 450 kgm/s Röelseenegin föe ä mv o1 + mv o 400 7, ( ,1 ) J 170 J Vid en elastisk stöt ä både öelsemängd och öelseenegi bevaad. Låt Ranas hastighet efte vaa v 1 och Kalles hastighet efte v. Röelsemängden bevaas: 400 v v 450 (1) Röelseenegin bevaas: 400 v v 170 () Ekv. (1) ge: v 1 + v 11, v 1 11, v () Ekv. () ge: v 1 + v 68,65 (4) Vädet fö v 1 fån ekv. () insättes i ekv. (4): (11, v ) + v 68,65 17,69,6v + v + v 68,65 v 11,v + 9,5 0 Lösningen till denna ekvation ä v 7, m/s (Lösningen v 4,1 m/s fökastas. Ranas hastighet måste vaa minde än Kalles.) Insättning av detta väde på v i ekv. () ge: v 1 (11, 7,) m/s 4,1 m/s Sva: Ranas hastighet ä 4,1 m/s och Kalles hastighet ä 7, m/s. De byte således hastighet med vaanda. Lösningsföslag nexus B Mekanik 5

6 14. Den enda kaft som veka på satelliten ä dess tyngd som ä centipetalkaft. Vi botse då fån kafte fån solen och anda himlakoppa. satellit 17. a) På cyklisten veka i vaje situation endast två kafte, Nomalkaften F N och tyngden mg. F N F N Joden mg mg Sva: D (både öelsemängd och öelseenegi bevaas) F N mv 15. Centipetalkaften: F mv mv a) Radien halveas F m( v) 4mv b) Faten dubblas 4F 1, mv c) Massan öka med 0% 1, F Sva: a) F b) 4F c) 1,F 16. a) Den esulteande kaften på Allan ä centipetalkaft. Den ä alltså iktad in mot kuvans centum. b) Kaften ä F mv 76 8, 0 N 1 N c) Ja, han acceleea. Acceleationen ha alltid samma iktning som den esulteande kaften, i detta fall in mot centum. Sva: a) in mot centum b) 0 N c) in mot centum mg b) Den kitiska läget ä den övesta punkten i loopen. Om cyklisten skall kunna ha kontakt med undelaget måste det finnas en nomalkaft F N. Vi äkna på gänsfallet och sätte F N 0. Den enda kaft som veka på cyklisten i det öve läget ä då hans tyngd, vilken komme att vaa den efodeliga centipetalkaften. mg mv Man kan uppskatta cyklistens höjd till m. Loopens diamete se då ut att vaa ca 6 m, dvs. adien m. v g 9,8 m/s 5,4 m/s Sva: b) 5 m/s (0 km/h) 18. a) Vi sätte gungans bottenläge som nollnivå fö lägesenegin. I vändlägena ä h 1,0 m Denna enegi omvandlas till öelseenegi i bottenläget. mv mgh v gh 9, 8 1, 0 m/s 4,4 m/s b) I bottenläget veka en kaft F uppåt fån gungans lino. Nedåt veka tyngden mg. Den esulteande kaften till dessa två kafte ä centipetalkaft. mv F mg F mv 0 4,4 + mg (, ,8) N 488 N 490 N Sva: a) 4,4 m/s b) 490 N Lösningsföslag nexus B Mekanik 6

7 19. Centipetalkaften F mv 78 10,0 0 N 60 N 141. Gungan svänge ut vinkeln α med lodlinjen. Den svänge ut stäckan (11 7,8) m, m. Se figu (figuen ej skalenlig).- Sva: 60 N 140. Vi sätte nollnivån fö lägesenegi i den lägsta punkten. Nä kulan befinne sig i sitt vändläge ä den på höjden h öve lägsta punkten. Av fig. nedan famgå att h 1,8 1,8 cos 50 o 0,64 m 5,0 m α S, m F α 7,8 m 11 m mg I lägsta punkten ha lägesenegin omvandlats till öelseenegi. Bollen ha dä hastigheten v. mv mgh v gh 9,8 0, 64 m/s,55 m/s I den lägsta punkten ä kulans tyngd motiktad tådkaften. Belastningen på tåden ä dämed stöst i detta läge. På kulan veka tådkaften F uppåt och tyngden mg nedåt. Den esulteande kaften ä centipetalkaft. mv F mg l F mv 1, 5, 55 + mg ( + 1,5 9,8) N 5 N l 1, 8 Av figuen famgå att sin α, 5, 0 α 9,8o På gungan veka två kafte, stäckkaften S i kedjan och gungans egen tyngd mg. Den esulteande kaften till dessa båda ä F som ä centipetalkaft. Av kafttiangeln famgå att tan α F mg F mg tan α mv Radien i cikelbanan ä 11 m. v g tanα 9,8 11 tan9, 8 o m/s 9,5 m/s Sva: 9,5 m/s 14. Halleys komet åtekomme vat 76: å. Nästa gång bli således å ( ) å 06 Sva: å 06 Sva: Belastningen på tåden ä stöst i det nede läget. Tådkaften ä dä 5 N. Lösningsföslag nexus B Mekanik 7

8 mm Dagningskaften: F G mm 1 a) Massan födubblas G F mm 1 mm 1 F b) Avståndet födubblas G G ( ) 4 4 mm 1 F c) Jodens massa halveas G Sva: a) Kaften födubblas (F) b) Kaften minska till en fjädedel (F/4) c) Kaften halveas (F/) 144. Enligt Keples :e lag ä T konstant, dä T ä a planetens omloppstid och a dess avstånd till solen. Vi beteckna jodens omloppstid esp. avstånd med index J och asteoidens med index A. Vi få då: T A a T J a A J Vi vet att a A a J T J 1 å T J aa T T A J (aj ) a J a J T J 8aJ a J 1 8,8 å 146. Callisto betcknas med index C, Io med index I. T C 16,7 dygn T I 4,8 dygn a I 4 Keples :e lag ge att T C a T I C a I 1 T a C C ai 16, T I 4,8 enhete 9, enhete Sva: 9, enhete 147. U tabell fås: Jodens massa: m j 5, kg Månens massa: m m 7,49 10 kg 8 Månens avstånd fån joden:, m Kaften: mm j m 11 5, ,5 10 F G 6, (,84 10 ) 0,0 10 N Newtons anda lag ge acceleationen: 0 F,0 10 ac m/s 0,007 m/s m 7,5 10 Sva: Kaften ä, N och acceleationen ä 0,007 m/s 4 4 N Sva:,8 å 145. Enligt Keples :e lag ä T konstant, dä T ä månens a omloppstid king Jupite och a dess avstånd till Jupite. Vi beteckna Ios omloppstid esp. avstånd med index I och Ganymedes med index G. T G a T I G a I a I 4 a G 10,7 T I 4,8 dygn T I ag 4, 8 10, 7 T G a I 4 1 dygn Sva: 1 dygn 148. a) Hastigheten: v 7671 km/h 7686 m/s Om banan ska vaa konstant måste gavitationskaften va lika sto som centipetalkaften: m m j mv G m 4 j ,97 10 G 6, km v 7686 Höjden öve maken fås genom att da bot jodens adie eftesom det beäknade avståndet ä till jodens centum. Höjden: h ( )km 70 km 6 π π 6,74 10 b) Omloppstiden: T s v s 1,5 h Sva: a) Höjden öve maken ä 70 km b) Omloppstiden ä cika 1,5 h Lösningsföslag nexus B Mekanik 8

9 A-Uppgifte 149. a) Lägesenegin vid högsta punkten ä lika med öelseenegin vid uppkastet Enegipincipen: mgh mv o Höjden h v o g 14 9, 8 m 10,0 m b) v v o gt I högsta läget ä hastigheten v 0 0 v o gt, dä t ä stigtiden t v o g 14 9,8 s 1,4 s Tiden fö hela kastet, dvs. den tid som bollen ä i luften ä dubbelt så lång, dvs. 1,4 s,9 s Sva: a) 10 m b),9 s 150. m 1, ton 100 kg v 90 km/h 90 m/s 5 m/s,6 a) Röelseenegin ä mv b) Röelsemängden ä m v kgm/s 0000 kgm/s Sva: a) 80 kj b), kgm/s J 75 kj 151. Om stenen landa efte 6,4 s så befinne den sig i högsta punkten efte halva denna tid, dvs. efte t, s. v v o g m t, dä g m 1,61 m/s. I högsta punkten ä v 0. 0 v o g m t v o g m t 1,61, m/s 5, m/s Lägesenegin i högsta punkten ä lika med öelseenegin vid uppkastet. mg m h mv o v h o g m 5, 1, 61 m 8, m Sva: utgångshastighet 5, m/s höjd 8, m 15. I vetikal led nå leduvan höjden 40 m. v y v oy gt I högsta punkten ä v y 0. 0 v oy gt v oy Stigtiden t (1) g s y v oy t gt 40 Insättning av vädet på t fån ekv. (1) ge: v oy v oy v oy v oy g g g 40 v oy g 40 9, 8 40 m/s 8,0 m/s v oy Fån ekv. (1) få vi stigtiden t g 8, 0 9, 8 s,85 s På den dubbla tiden, dvs.,85 s 5,71 s nå kulan maken på 70 m avstånd. 70 v ox 5,71 70 v ox m/s 1, m/s 5, 71 Utgångshastigheten v o ehålls med Pythagoas sats u: v o Sva: 1 m/s v ox + voy 1, + 8,0 m/s 0,6 m/s 15. I vetikal led beskive motocykeln ett fitt fall utan begynnelsehastighet. Falltiden beäknas u s y gt s y 6 t g 9,8 s 1,1 s I hoisontell led ä hastigheten konstant 0 m/s. Avståndet fån stupet bli då s x 0 1,1 m m (Med hänsyn till luftmotståndet bö man nog lägga madassen något nämae.) Sva: m fån stupet 154. Om hela hoppet ta 0,8 s så ä stigtiden, tiden tills man ä på den högsta punkten hälften av denna tid, dvs. 0.4 s v y v oy gt dä t ä stigtiden. I högsta punkten ä v y 0. 0 v oy gt v oy gt 9,8 0,4 m/s,9 m/s Den höjd tyngdpunkten då nå ä s y v oy t gt 9,8 0, 4 (,9 0,4 ) m 0,79 m Tyngdpunkten höjs således endast 0,79 m. Sva: 0,8 m Lösningsföslag nexus B Mekanik 9

10 155. Falltiden t ehålls u s gt s t g 5 9, 8 s,66 s Hoppets längd bli då 5,66 m 66,7 m Sva: 67 m 156. a) Centipetalacceleationen a v 10 0 m/s 5 m/s b) Centipetalkaften F m a 80 5,0 N 400 N Sva: a) 5 m/s b) 400 N 157. a) Deas gemensamma hastighet efte stöten ä v. Röelsemängd föe: 0,56, + 0,6 0 1,79 kgm/s Efte stöten väge vagnana tillsammans (0,56 + 0,6) kg 0,8 kg Röelsemängd efte: 0,8 v LRB: 0,8 v 1,79 v 1,79 m/s,18 m/s 0, 8 b) Om stöten hade vait helt elastisk hade öelseenegin bevaats. Eftesom vagnana fastnade i vaanda ä stöten ej elastisk och en del av öelse enegin föloas. mv 0,56, Wk föe,87 J mv (0, , 6),18 Wk efte J 1,95 J Δ W Wk föe Wk efte (,87 1,95) J 0,9 J Andelen föload (omvandlad) öelseenegi: ΔW 0,9 0, % Wk föe,87 c) Det mesta bli väme. Sva: a), m/s b) % c) Väme 158. Bilen hade hastigheten v. Dess öelseenegi föe inbomsningen va mv. Denna öelseenegi omvandlas till fiktionsväme F s, dä F ä fiktionskaften och s bomsstäckan. F μ F N μ mg mv μ mg s v μ g s 0, 8 9,8 m/s 18,6 m/s 18,6,6 km/h 67 km/h AU 1, m (avståndet till solen) 9,5 AU 9,5 1, m 1, m 1, km Sva: 1, km 160. Solens massa m S ehålls u tabell: m S, kg Gavitationskaften på joden ä centipetalkaft. Centipetalkaften F m J v G mj m S m J v Vi löse ut v och få G m v S 6, , , m/s 9800 m/s Centipetalacceleationen a v , m/s 0,0059 m/s Sva: Banhastigheten ä 0 km/s, centipetalacceleationen ä 6 mm/s 161. Vi ö oss i en cikelbana med adien 400 km och fullboda detta vaav på tiden T 4 h s s Omketsen ä π π, m, m,1 107 Banhastigheten v m/s 47 m/s Centipetalacceleationen a v 47, m/s 0,018 m/s Sva: Banhastigheten ä 50 m/s, centipetalacceleationen ä 0,018 m/s 16. a) Riktningen måste vaa in mot cikelns centum. b) Centipetalkaften F mv 1100 N N 4 Sva: a) in mot cikelns centum b) 16 kn Sva: 18,6 m/s elle 67 km/h Lösningsföslag nexus B Mekanik 10

11 16. Sätt nollnivån fö lägesenegi dä talliken befinne sig. Då vattnet lämna kanen ha det lägesenegi mgh och öelseenegi mv o. Då vattnet täffa talliken ha det öelseenegi mv, dä v ä vattnets hastighet. Enegipincipen ge att mv o + mgh mv v v o + gh, + 9,8 0, 4 m/s 4, m/s Sva: 4, m/s 164. Centipetalkaften F mv N 1944 N 14 Sva: 1,9 kn 165. Efodelig centipetalkaft ä F mv. Tillgänglig kaft ä fiktionen F f μ mg mv μ mg v μ g 0, 75 9,8 1 m/s 9,4 m/s 9,4,6 km/h 4 km/h Sva: 9,4 m/s elle 4 km/h 167. Sätt månens massa till m M och joden massa till m J. Denna punkt ligge på avståndet x fån jodens centum. Avståndet fån joden till månen ä, m. Vi placea ett föemål med massan m i denna punkt. Gavitationskaften fån joden ä G m m J x m m Gavitationskaften fån månen ä G M (, x) Dessa sätts lika. m m G M (, x) G m m J x x m M (, x) m J Rotutdagning u båda leden ge: x m M, x) m J x ( m M + m J ), m J Med tabellväden fö m M och m J få vi: x, m J, , m M + m J 7, , m, m Denna punkt ligge således mycket näa månens centum, nämligen (, , ) m, m fån månens centum. (Månadien ä enligt tabell 1, m, så punkten ligge inte inne i månen.) Sva:, m fån jodens centum i iktning mot månen 166. a) Den esulteande kaften på klädnypona bestå av deas tyngd och nomalkaften fån hinkens botten. Denna esulteande kaft ä iktad akt nedåt. Klädnypona ö sig inte å det håll kaften ä iktad utan åt det håll hastigheten ä iktad. Klädnyponas hastighet ä iktad tangentiellt till den cikelbana som klädnyponas öelse beskive. b) Klädnypona amla ut nä de inte länge ha kontakt med hinkens botten, dvs. nä nomalkaften ä noll. Den enda kaften på klädnypona ä då deas tyngd som få tjänstgöa som centipetalkaft. mv mg v g 9,8 1, m7s,4 m/s Sva: b),4 m/s Lösningsföslag nexus B Mekanik 11

12 168. a) Vattnet stige (,8 1,4) m 1,4 m uppåt. Vattnets öelseenegi omvandlas till lägesenegi. mv mgh v gh 9, 8 1, 4 m/s 5, m/s b) Vattnets fallhöjd ä 1,4 m. Tiden fö fallet beäknas u s gt s t g 1, 4 9, 8 s 0,5 s Med utgångshastigheten 5, m/s komme vattnet på denna tid 5, 0,5 m,8 m bot c) Vattnets utgångshastighet i hoisontell led v ox v o cos α 5, cos 0 o m/s 4,5 m/s Vattnets utgångshastighet i vetikal led v oy v o sin α 5, sin 0 o m/s,6 m/s Vi sätte s y 0 i den punkt dä munstycket befinne sig. Vattnet nå då maken i s y 1,4 m s y v oy t gt 1,4,6 t gt 1,4 t 5, t, 8 g g 0 Denna ekvation ha lösningen t 0,86 s (Lösningen t 0, s fökastas.) Kastlängden bli då v x t 4,5 0,86 m,9 m Sva: a) 5, m/s b),8 m c),9 m Lösningsföslag nexus B Mekanik 1

13 B-Uppgifte 169. Hastighet vid upphoppet v o 11, m/s Hopplängden x v x t 8,60 Tiden fö hoppet t 8,60 (1) v x Vi sätte nollnivån y 0 i hoppaens tyngdpunkt vid upphoppet. Hans tyngdpunkt sänks (1, 0,) m 1,0 m unde hoppet. Han landa således i en punkt med koodinatena (8,60, 1,0). y v oy t gt 1,0 Tiden fån ekv. (1) insätts i detta uttyck: v 8,60 oy g 8,60 1,0 v x v x Insättning av: v oy v o sin α 11, sin α v x v o cos α 11, cos α dä α ä upphoppsvinkeln, ge g 8,60 8,60 tan α 11, cos a 1,0 Fån tigonometin vet vi att 1 cos α 1 + tan α Vi få då: 8,60 tan α,84 (1 + tan α) 1,0 Vi få då en andagadsekvation i tan α: tan α,0 tan α + 0,648 0 Lösningen till denna ekvation ä tan α,79 α 70 o (vilket ä oimligt) elle tan α 0, α 1 o Hastigheten i höjdled vid upphoppet ä v oy 11, sin α 11, sin 1 o,6 m/s Sva:,6 m/s 170. a) Opelns massa ä 1000 kg. Opelns hastighet efte kollisionen ä v. LRB: , v v 11, m/s b) Volvons öelsemängd minska med ( ) 1100 Den få en impuls F t 1100 F N 187 kn t 0, 06 c) Samma kaft veka på Opel enligt Newtons :e lag a) 700 lite 700 dm vatten väge 700 kg Eftesom öets tväsnittsaea ä 1,0 dm komme vatten motsvaande 700 dm ölängd att sputas ut vaje sekund. 700 dm 70 m. vattnet få alltså hastigheten 70 m/s. b) På 1 s sputas vatten ut med en öelsemäng av kgm/s kgm/s. Fatyget få lika sto öelsemängd åt anda hållet. Vi kan skiva F F F 49 kn Sva: a) 70 m/s b) 49 kn 17. Bollen kastas och gå in i målet på samma höjd, 1,9 m öve golvet. Vi kan däfö botse fån dessa 1,9 m och betakta kastet som ett kast med den högsta höjden (, 1,9) m 1, m. Kastlängden ä 7,0 m. v y v oy gt dä t ä stigtiden. I högsta punkten ä v y 0. 0 v oy gt v oy Stigtiden t g (1) s y v oy t gt 1, Insättning av vädet på t fån ekv. (1) ge: v oy v oy v oy g g g 1, v oy g 1, 9, 8 1, m/s 5,1 m/s v oy Fån ekv. (1) få vi stigtiden t g 5,1 9,8 s 0,51 s På den dubbla tiden, dvs. 0,51 s 1,0 s nå kulan målet på 7,0 m avstånd. 7,0 v ox 1,0 v ox 7, 0 m/s 6,8 m/s 1, 0 Utgångshastigheten v o ehålls med Pythagoas sats u: v o v ox + voy 6,8 + 5,1 m/s 8,5 m/s Kastvinkeln α beäknas u v oy tan α 5,1 α 6,6 o v ox 6,8 Sva: Bollen kastas med hastigheten 8,5 m/s med vinkeln 7 o snett uppåt Sva: a) 11, m/s b) 190 kn c) 190 kn Lösningsföslag nexus B Mekanik 1

14 17. Vi sätte nollnivån fö lägesenegi i lianens bottenläge. Tazans lägesenegi 7 m upp omvandlas således till öelseenegi i lägsta punkten. Han få dä hastigheten v Enegipincipen ge: mv mgh v gh 9, 8 7 m/s 11,7 m/s I lägsta punkten veka två kafte på Tazan, dels hans tyngd mg nedåt, dels stäckkaften F i lianen uppåt. esulteande kaft F mg ä centipetalkaft. F mg mv F mg + mv 95 11,7 (96 9,8 + ) N 40 N 10 Sva: Lianen hålle inte 174. Det hustak de ska landa på ligge 1 m bot och m länge ne än uthoppshöjden. Antag att de hoppa hoisontellt och beäkna hu lång tid det ta att falla fitt vetikalt m. gt sy s y t s 0,78 s g 9,8 Denna tid används fö att se hu långt de hinne i vetikal led. 70 km/h 19,4 m/s sx vx t 19, 4 0,78 m 15, m Detta ä me än de 1 m som kävdes a) Kulans hastighet ä v o. Nä kulan ha täffat pendeln så väge kulan och pendel tillsammans m (6 + 0,01) kg 6,01 kg (Man kan i paktiken hä botse fån kulans massa.) mv De få hastigheten v.dess öelseenegi övegå till lägesenegi mgh. mv mgh v gh 9,80,14 m/s 1,65 m/s LRB: 0,01 v o + 0 m v mv 6,01 1,65 v o m/s 81 m/s 0, 01 0,01 b) Den uspungliga öelseenegin hos kulan 0,01 81 J 414 kj Lägesenegin hos den lyfta pendeln mgh 6,01 9,8 0,4 J 8,7 J 8, 7 Åtestående enegi 0,0019 0,19% 414 Således ha 99,81% gått föload. Sva: a) 80 m/s b) 99,8% Sva: Ja, de klaa nog hoppet Lösningsföslag nexus B Mekanik 14

15 176. Låt bilens hastighet efte studsen vaa v 1 och bollens hastighet efte ä v. Bilens massa ä M och bollens massa ä m. Vi låte bilens hastighet vaa positiv. LRB: M 0 m 40 M v 1 + m v (1) I en elastisk stöt bevaas öelseenegin. M 0 + m 40 M v 1 + m v () Fån ekv. (1) få vi: M 0 M v 1 m 40 + m v M (0 v 1 ) m (40 + v ) () Fån ekv. () få vi: M 0 + m 40 M v 1 + m v M 0 M v 1 m v m 40 M (0 v 1 ) m (v 40 ) M (0 + v 1 ) (0 v 1 ) m (v + 40)(v 40) Med hjälp av ekv. () kan denna ekvation educeas till 0 + v 1 v 40 v 1 v 60 Bilens hastighet efte stöten föväntas inte påvekas i någon väsentlig gad, dvs. v 1 0 m/s Vi få då: 0 v 60 v 80 m/s Sva: Bollen vände och få hastigheten 80 m/s efte studsen 177. a) 100 g-vikten acceleea nedåt och 50 g-vikten acceleea uppåt (med samma acceleation). b) På 100 g-vikten veka tyngden 0,100g nedåt och spännkaften S i snöet uppåt. Newtons :a lag ge: 0,100g S 0,100 a (1) På 50 g-vikten veka tyngden 0,050g nedåt och spännkaften S i snöet uppåt. Newtons :a lag ge: S 0,050g 0,050 a () S 0,050g + 0,050 a () insättes i ekv. (1): 0,100g (0,050g + 0,050 a) 0,100 a 0,150 a 0,050g 0, 050g 0, 050 9, 8 a m/s, m/s 0,150 0,150 c) Insättning av detta väde fö a i ekv. () ge:* S 0,050g + 0,050 a (0,050 9,8 + 0,050,) N 0,65 N 179. a) Släggan ha öelsemängden 6 8 kgm/s 48 kgm/s nä den täffa betongplattona. Eftesom stöten ä oelastisk kan vi addea släggans och plattonas massa och anse att dessa få samma hastighet v efte slaget. LRB: 48 (70 + 6) v v 0,6 m/s Betongplattona få således en sluthastighet av 0,6 m/s. Släggans och plattonas gemensamma föloade öelseenegi och lägesenegi unde slaget påveka magen med en kaft F unde stäckan s. mv mv mgh F s + mgh F + s s mv mgh 76 0,6 76 9,8 0,04 F + + N s s 0,04 0, N Δ W W W b) k föe k efte 68 Wk föe J 19 J 76 0,6 Wk efte J 15 J Δ W Wk föe Wk efte J Andelen föload öelseenegi: ΔW 177 0, 9 9% W 19 k föe Sva: a) 1100 N b) 9% 180. Hastigheten v o i den nede delen av loopen skall vaa så låg som möjligt. I den öve delen av loopen komme då den enda vekande kaften på passageaen att vaa tyngdkaften mg. Kapseln komme då nätt och jämnt att vaa i kontakt med banan. mg ä centipetalkaft. Låt v vaa hastigheten i den öve delen av loopen. mv mg v g 9,8 6, 0 m/s 7,7 m/s Passageaens öelseenegi i det nede läget ä lika med summan av hans öelseenegi i det öve läget och den lägesenegi han ha fått dä. Höjden ä. mv o mv + m g v o v + g 7, 7 + 9, 8 6, 0 m/s 1, m/s Sva: 1 m/s Sva: b), m/s c) 0,65 N 178. Se bokens facit. Lösningsföslag nexus B Mekanik 15

16 181. Då backkönet passeas påvekas cykeln av två kafte, dess tyngd mg och en nomalkaft F N uppåt fån maken. Eftesom cykeln befinne sig i en cikelbana ä den esulteande kaften nedåt en centipetalkaft. mg > F N mg F N mv F N mg mv 65 6, 0 (65 9,8 ) N 51 N 0 Sva: 50 N 18. Dubbla ljudhastigheten ä ca 40 m/s 680 m/s Centipetalacceleationen a v Vi anta att piloten gö en hoisontell sväng med adien. a 10g v a ,8 m 4700 m Sva. Svängadien måste övestiga 4,7 km 18. a) Stigtiden fås u: v o 0y sin 40 t s 1,44 s g 9,8 b) Stighöjden fås då u: gt o 9,8 1,44 sy v0yt sin 40 1,44 m 10, m c) Kastlängden fås om vi använde dubbla stigtiden t. s v t o cos 40 1, 44 m 48,5 m x 0x Sva: a) 1,4 s b) 10 m c) 49 m 184. Vi anta att meteoen ä klotfomig med adien 5 m. Dess volym ä V 4π 4π 5 m m Densiteten fö jän ä ρ 7870 kg/m Meteoen vägde m ρ V kg 5, kg Dess hastighet v 0 km/s och dess öelseenegi W k mv 5, J, J Sva:, J 185 a)fallskämen vecklas ut då hastighets gafen sjunke kaftigt till ett konstant väde. Läs av hastighetena i diagammet dä denna sänkning böja och sluta och beäkna sedan impulsen. Δ p mvefte mvföe ( ) 400 kgm/s (Minustecknet innebä att fllet bomsas upp) b) Genom att da tangenten till gafen vid tiden 7,5 s och läsa av två punkte kan man beäkna den stösta kaften. Δp mv ( efte vföe ) 60(0 5) F N 1,9 kn 8 7 Sva: a) 400 km/s b) 1,9 kn 186. a) Falltiden fö ett fitt fall utan begynnelsehastighet bestäms u s gt s t g 10 9,8 s 1,4 s b) Det ta lika lång tid. Att hon också föflytta sig i hoisontell led påveka inte tiden fö det vetikala fallet. c) Röelsen ske helt i vetikal led. s v o t gt Vi ha v o,0 m/s. Vi sätte s 0 m högst upp i hopptonet. Hon nå vattnet vid s 10 m. 10,0 t gt t 6, 0 t 0 g g 0 Lösningen till denna andagadsekvation ä t 1,76 s (Lösningen t 1,15 s fökastas.) Tiden ta alltså 1,76 s, dvs (1,76 1,4) s 0,4 s länge tid än tidigae. Sva: a) 1,4 s b) 1,4 s c) 0, s länge tid Lösningsföslag nexus B Mekanik 16

17 187. a) Flygplanets massa ä m 0,60 kg På planet veka två kafte, spännkaften S i snöet och planets tyngd 0,60g. Den esulteande kaften ä F, en centipetalkaft, som tvinga planet att öa sig i en cikelbana. Se figu. α 0,96 m F 1,0 α S flygplan 0,0g Vinkeln α bestäms geneom 0, 96 sin α α 5,1 o 1, 0 F tan α 0, 0g F 0,0 g tan α 0,0 9,8 tan 5,1 o 4,19 N F mv F v m 4,19 0, 96 m/s,5 m/s 0,0 0, 0g b) cos α S 0, 0g 0, 0 9,8 S cosα cos5,1 o N 5, N Sva: a),5 m/s b) 5, N 188. Jodens massa ä 5, kg. Jodens adie ä 6, m Om adien minska med 0% dvs. till 80% av jodens adie komme planets massa att vaa 0,80 gånge minde än jodens (Massan ä popotionell mot volymen som ä popotionell mot aden upphöjt till.) Massan bli M 0,80 5, kg, kg och adien bli 0,80 6, m 5, m a) Tyngdacceleationen g p ehålls ut gavitationslagen. g p G M 11 6, 67 10, (5, ) m/s 7,85 m/s (Detta ä 80 % av jodens tyngdacceleation) b) Antag att planeten otea med T 6 h 1600 s. Ett föemål med massan m på planets ekvato påvekas dels av sin tyngd m g p, dels av en nomalkaft F N som ä minde än g p 7,85 m/s. Den esulteande kaften ä iktad nedåt och ä centipetalkaft. m g p F N m 4π T m 4π 5, m 0,4 m/s F N m 7,85 m 0,4 m 7,4 m/s Acceleationen ha således nu minskat till 7,4 m/s Sva: a) 7,8 m/s elle 80 % av jodens tyngdacceleation b) 7,4 m/s 189. Maximal fiktionskaft ä mg Fiktionskaften ä centipetalkaft. mv mg v g 9,8 4 m/s 6,6 m/s 6,6,6 km/h 96 km/h Sva: 96 km/h Lösningsföslag nexus B Mekanik 17

18 190. Motocykelns hastighet då den lämna den fösta ampen ä v o. Motocykeln lämna ampen med en vinkel α, dä sin α 1,8 10 α 10,4o Hastigheten v o komposantuppdelas. Hastigheten i x-led ä v o cos α och hastigheten i y-led ä v o sin α. Motocykeln stige uppåt till sin högsta punkt, dä hastigheten i y-led, v y ä lika med noll. Detta ske på tiden t. 0 v o sin α gt t v o sin α g Det ta lika lång tid fö motocykeln att falla fån högsta punkten. Den totala tiden fö flygningen ä däfö t v o sin α g Hastigheten i x-led ä konstant v o cos α Vi kan däfö äkna med fomeln s v t 15 v o cos α v o sin α v o sin α g g 15 g v o sin α 15 9, 8 sin ( 10, 4 o m/s 0,4 m/s ) 0,4,6 km/h 7 km/h Sva: 7 km/h 191. a) U diagammet se vi att F 500 N då t 0, ms. F 500 Newtons anda lag ge: a m/s m 0,057 9, 10 4 m/s b) Impulsen få vi genom att beäkna aean unde F-t-gafen. Impulsen: Δ p Fdt,8 Ns c) Impulsen på bollen ge bollen en öelsemängd. Vi kan beäkna hastighete u följande uttyck: F F Δ t m Δ v vefte vföe m Om hastigheten efteåt väljs som positiv iktning ä hastigheten efte impulsen negativ. Vi få då: F vefte ( vföe ) m F,8 vefte vföe 0 m/s 0 m/s m 0,057 Sva: a) 9, 10 4 m/s b),8 Ns c) 0 m/s Lösningsföslag nexus B Mekanik 18