KVANTFYSIK för F3 och Kf Inlämningsuppgifter I2

Transkript

1 CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Mikroteknologi och nanovetenskap Elsebeth Schröder (schroder vid chalmers.se) KVANTFYSIK för F3 och Kf Inlämningsuppgifter I2 Bedömning: Bedömningen av de inlämnade lösningarna sker summariskt. Uppgifterna kan ge upp till 3 poäng vardera (För betyg 3 krävs 6 poäng, för fyra 9 poäng och för femma 2 poäng, men detta gäller de viktade poängtalen för hela kursen). Vid bedömningen läggs inte bara vikt på ev. rätta svar på direkta frågor utan också på klarhet i presentationen, med fullständiga meningar, med logik i argumenten och med tydliga referenser till kompendiet o/e boken samt tabeller för material som hämtats där. Observera att också en redigt skisserad principlösning kan ge vissa poäng. Denna omgångs inlämningsuppgifter är: 0.) För att underlätta lösandet av inlämningsuppgifterna bör du först öva Dig genom att t ex lösa de uppgifter som ges i veckoschemat..) Lös uppgift VI. i Exempelsamlingen varvid två av deluppgifterna görs exakta, dvs räknas med alla skarvningar explicita. 2.) Lös uppgift VIII.2 i Exempelsamlingen. 3.) Hellmann-Feynman-teoremet: Hellmann-Feynman-teoremet säger följande: En självadjungerad (hermitsk) operator beror av en reell parameter λ, H(λ), ledande till att ett givet diskret egenvärde får formen E k (λ). Då gäller ( ( ) ) E k (λ) H(λ) = ψ k (λ), ψ k (λ), () λ λ där skalärprodukten mellan a och b betecknas (a, b). Detta kan även skrivas E k (λ) = ψ k (λ) H(λ) λ λ ψ k(λ), (2) a) Visa ekv () [eller (2)]! Utgångspunkten för den kvantmekaniska beskrivningen av ett fast ämne, t ex en metall, är hamiltonoperatorn för den metall som studeras. Låt det fasta ämnet ha K kärnor och N elektroner och numrera kärnorna med index k (k =, 2,..., K) och elektronerna med index i (i =, 2,..., N). Den viktigaste växelverkan i detta system är coulombväxelverkan. Då kan hamiltonoperatorn skrivas på formen H = N i= h 2 2m e 2 i N K i= k= K k= h 2 2M k 2 k + 2 Z k e 2 4πɛ 0 r i R k + 2 N i,j=;i j K k,l=;k l e 2 4πɛ 0 r i r j Z k Z l e 2 4πɛ 0 R k R l, (3)

2 där r i och R k är ortsvektorerna för elektron i respektive kärna k och Z k och M k betecknar ifrågavarande kärnas atomnummer och massa. Vi kan anta att atomkärnornas rörelse är försumbar på den tidskalan som karakteriserar elektronernas rörelser (Born-Oppenheimer approximationen). b) Identifiera de olika termerna i (3), argumentera för varför de ser ut som de gör och varför just de är med i hamiltonoperatorn. c) Räkna sedan m.hj.a. ekv. () eller (2) fram uttrycket för kraften på en atomkärna, som är på precis samma sätt som i det klassiska fallet och kan uttryckas i elektrontätheten n(r). I Sverige finns världsledande företag (Sandvik Coromant, SECO Tools,... ) inom framställning av hårda verktyg. Hårdmetaller framställs genom sintring, och ännu hårdare verktyg får man genom att lägga ännu hårdare lager utanpå. Påläggning av alumina (Al 2 O 3 ) görs med Chemical Vapor Deposition (CVD), dvs. en framställning atom för atom. Figur ger ett exempel. TiN Al 2O3 TiC WC/Co Figure : d) Enligt gjorda beräkningar för gränsytan mellan Co och TiC, aktuell för sintring av hårdmetall, ser elektrontätheten i ett snitt genom gränsytan ut som i fig Co Ti C Ti C Ti C Phys. Rev. Lett. 85, 898 (2000). Figure 2: Elektrontäthet i gränsyta mellan Co och TiC. 2

3 Vilket atompar, Co-C eller Ti-C, bedömer du hålls ihop av de starkaste krafterna? Motivera! Ger det någon förklaring till att hårdmetall framställs genom sintring av pulver av hårda föreningar, t.ex. WC och TiC, med Co som bindemedel. e) Man säger att molekyler och fasta ämnen hålls samman av kvantmekaniska krafter och ändå ser formeln för kraften på en atom i b) ut som i klassisk fysik. Hur kommer kvantfysiken in? 4.) Väteatomer och väteliknande föreningar. Väteatomen består som bekant av en positivt laddat partikel (protonen) och en negativt laddat partikel (elektronen) som hålls ihop av coulombväxelverkan. Myonium, positronium, deuterium är alla väte-atom-liknande föreningar. Därtill kommer alkaliatomer (som har en elektron som är mer löst bunden än de övriga) samt joner med bara en elektron. Här fokuserar vi på myonium, positronium och deuterium. Positronen är elektronens antipartikel. Den förutsågs av Paul Dirac och upptäcktes i kosmisk strålning 932 av Carl Anderson. Detta gav Dirac nobelpriset 933 och Anderson 936. En positron och en elektron kan gå ihop och bilda ett väte-atom-liknande, metastabilt par kallat positronium (symbol Ps) som lever i ns innan det förstörs (annihilerar) och bildar 2-3 gammastrålar. En myon är en instabil partikel med samma laddning (och spinn, som introduceras senare i kursen) som en elektron, men den har större massa, m µ = MeV/c 2. Även myonen upptäcktes från kosmisk strålning av Carl Anderson i 936. Myonens antipartikel, antimyonen, har motsatt laddning (dvs positiv) men samma massa (och spinn) som myonen. Myonium består av en antimyon och en elektron. Myonium är instabilt och har en livstid på 2.2 µs. Deuterium är en stabil isotop av väte, med en proton och en neutron i kärna atomens kärna. a) Beräkna, inom relevant modell (vilken?) presenterad i kursen hittills, frekvensen ν s2s i övergången från s till 2s tillståndet för positronium, myonium och deuterium. Experimentella mätningar är (javisst, experimentens noggrannhet ligger på de sista siffrorna!): positronium myonium deuterium ν s2s (exp.) [MHz] a b b a K. Danzmann et al., Physical Review A 39, 6072 (989). b V. Meyer et al., Physical Review A 84, 36 (2000). Två väteatomer kan bilda en molekyl, H 2. Analogt till detta räknades redan för 50 år sedan fram att det bör finnas en molekyl, Ps 2, bildat genom bindning av två positronium- atomer, med en bind- 3

4 ningsenergi på cirka 0.4 ev. Det tog dock tills 2007 att hitta sådana Ps 2 -molekyler experimentellt! Då presenterades i tidskriften Nature en artikel med titeln The production of molecular positronium. Genom att skicka in positroner mot en tunn och porös SiO 2 -film kan man få positronerna att växelverka med filmens elektroner och i vissa fall bilda positronium med en livstid (i filmen) på ungefär 60 ns. Ihåligheterna i filmen fångar positronium- atomerna under tillräckligt lång tid för att några av dem ska hinna bindas ihop till positronium-molekyler, Ps 2, vilket forskargruppen i UC-Riverside har observerat. Vi ska återkomma till di-positronium, som molekylen kallas, men först ska vi se mer allmänt på vibrationer i bindningen i H 2 -liknande molekyl, och få en lämplig teori på plats. Den stationära schrödingerekvationen för den harmoniska oscillatorn kan skrivas ] [ξ 2 d2 2 dξ 2 ψ(ξ) = ɛψ(ξ). (4) b) Vilka transformationer, uttryckta i partikelmassan m och oscillatorfrekvensen ω, har härvid gjorts av rörelsemängd, koordinater och energi för den oscillerande partikeln? De följande två operatorerna  = 2 2 ( ξ + d ) dξ och  + = 2 2 ( ξ d ), (5) dξ brukas kallas stegoperatorer. c) Visa för valfritt värde av n( ) att Âψ n (ξ) = n 2 ψn (ξ) (6) och  + ψ n (ξ) = (n + ) 2 ψn+ (ξ) (7) gäller (vågfunktionerna ψ n (ξ) för (4) kan tas från kompendiet eller annan litteratur). d) Visa att (4) med hjälp av stegoperatorerna kan skrivas och att energiegenvärdena är (n + 2 ) hω [använd (8)]. [ + + Â] 2 Â+ ψ(ξ) = ɛψ(ξ) (8) e) Figur 3 visar resultat från energiförlustexperiment, där topparna markerar vibrationsegenenergier för väte- och deuteriummolekyler på en Cu-yta. Stämmer effekten av isotoputbytet med harmoniska oscillatorns förutsägelser? f) Vid ungefär vilka frekvenser bör man leta om man ska mäta Ps 2 s vibrationsfrekvenser i SiO 2 -filmen? 5.) Sveptunnelmikroskopet (STM) utnyttjar det faktum att sannolikheten för en elektron att tunnla genom en barriär avtar snabbt, när barriärens bredd ökar. I en STM-apparat läggs en potentialskillnad mellan en skarp metallspets, t.ex. W, och ytan av det mätprov, som studeras (figur 4). För en liten förspänning kan potentialbarriären mellan spets och prov se ut som i figur 5. En elektrisk ström kan uppstå genom att elektronen tunnlar igenom (figur 6), förutsatt att barriären är tillräckligt smal. 3 september 2007: B.D. Cassidy och A.P. Mills Jr., Nature 449, 95 (2007). 4

5 Figure 3: a) Ge ett enkelt argument för att en ökning av barriärbredden med bara 0, nm minskar strömmen med ungefär en faktor 0! b) Visa för enklast tänkbara fall (rita figur!) att tunnelsannolikheten är proportionell mot e 2κa, där ( hκ) 2 2m = V 0 E, a = barriärbredden och V 0 = barriärhöjden, samt E (< V 0 ) energin för den tunnlande partikeln. Nu är ju inte barriären för STM så enkel. Som ni sett kan man härleda tunnelsannolikheten för en allmän endimensionell potential V (x), genom att först använda resultatet i b) på en följd av dx-tunna barriärer enligt figur 7 och få en tunnelsannolikhet proportionell mot exp [ 2 i κ idx] och sedan ta gränsen [ dx 0. Då fås att man ] för ovanstående potential får en tunnelsannolikhet proportionell mot exp 2 2m h 2 b a dx V (x) E. c) Figur 8 visar en STM-bild för ett ensamt NaCl-lager på en kopparyta, närmare bestämt c(2 2)- geometri på Cu(3). Figuren anger konstant ström-konturer. Man kan också mäta konstant-höjdkonturer. Om ljusare fläckar då betyder mer ström, vilka Cl-atomer skulle då vara ljusa resp. mindre ljusa, de yttersta eller de innersta? Varför? d) Inne i koksaltkristallen (NaCl) ser strukturen ut som i figur 9, där gitterkonstanten (avståndet mellan två Cl-atomer i kubsidan) är a = 5,64 Å. Kan man säga att kopparytan modifierat denna struktur med avseende på gitterkonstant och kristallplanens släthet? Motivera! 5

6 I 0 feedback piezo piezo A tip V sample Figure 4: Principskiss av STM. V(x) E 0 a x Figure 5: Typisk barriär i STM. tip sample α> ev β> Figure 6: Tunnling i STM. 6

7 Figure 7: Generell potentialbarriär. d [233] Å d [0] Å Figure 8: Atomärt NaCl-lager på Cu-yta. Skalan anger avståndet från spetsen till ytan vid konstant ström. De ljusa fläckarna är Cl-atomer (prick i mitten indikerar kärnan) och de mörka fälten är Na-atomer. Figure 9: NaCl-struktur 7