Institutionen för medicin och hälsa Avdelningen för radiologiska vetenskaper Medicinsk radiofysik Hälsouniversitetet. Fanos Teorem

Transkript

1 Intittionen fö medicin och häla Avdelningen fö adiologika vetenkape Medicink adiofyik Häloniveitetet Fano eoem Gdn Alm Calon Depatment of Medical and Health Science Diviion of Radiological Science Radio Phyic Faclty of Health Science

2 Seie: Repot / Intittionen fö adiologi, Univeitetet i Linköping Pblihing yea: 22 he Atho(

3 FANOS EOREM Gdn Alm Calon Avd fö Radiofyik, IMV Häloniveiteten, LINKÖPING anpotekvationen fö den diffeentiella flenen av jonieande patikla ge, fö det fall att tålkällona ä påkopplade nde begänad tid och flenaten integead öve denna tid, av (den tidobeoende tanpotekvationen: div = + +, ( d ', d' ( ', ': S ', ' 4π ct (1 anpotekvationen, ekv (1, ä en fnktion av ex obeoende vaiable: te vaiable x, y, z fö läget, två vaiable θ,ϕ fö iktningen och en, fö kinetika enegin. Den ä vå att löa exakt tom i via pecialfall. Källtemen, S, ange h många källpatikla pe volymenhet om emittea fån adioaktiva källo. I ett oändligt, homogent medim, homogent till åväl denitet om atomä ammanättning, med en nifomt födelad tålkälla åde tålningjämvikt. Vid tålningjämvikt ä flenen av de jonieande patiklana denamma i alla pnkte och divegenen av den diffeetiella vektoiella flenen i ekv (1 lika med noll. anpotekvationen anta då teendet ( = +, d ' d' ( ', ': S ', ' 4π ct Genom att integea öve öeleiktningen i ekv (2 ehålle fö den med aveende på kinetika enegin diffeentiella flenen ( = d' ( '; ' + S ( (3 ct (Reltatet i ekv (3 fötätte att ( ', ': endat beo av vinkeln mellan och '. Ekv (3 ä en fnktion av endat en vaiabel, och innebä matematikt en aveväd föenkling av tanpotekvationen. Vid laddad patikeljämvikt gälle ekv (2 och (3 fö flenen av de laddade patiklana. Ofta ä dea av endat ett lag, nämligen elektone. Ekv (2 och (3 gälle fö flenen (2 1

4 av elektone vid elektonjämvikt. Med tnga laddade patikla geneea alltid även elektone i fom av δ-patikla och Age elektone. anpotekvationen, ekv (3, fö ett oändligt homogent medim med en nifomt födelad tålkälla ha vait av aveväd användbahet inom doimetin, jf kavitetteoiena fö "infiniteimalt" må kavitete i ett medim dä laddad patikeljämvikt (elektonjämvikt åde. Vanligen vänd emelletid inteet nat mot poblem dä mediet ä inhomogent i denitet elle atomä ammanättning elle dä tålkällan ä icke-nifomt födelad. Fano teoem gälle fö ett oändligt medim, homogent i atomä ammanätting men med vaieande denitet och lyde. FANOS EOREM: I ett oändligt medim, av homogen atomä ammanättning, innehållande en tålkälla, om pe volymenhet emittea jonieande patikla popotionellt mot mediet denitet, ä diffeentiella flenen av jonieande patikla kontant i alla pnkte obeoende av denitetkillnade fån pnkt till pnkt. Anmäkning: Då ett medim betåla med oladdade patikla och flenen av dea ä kontant fån pnkt till pnkt å figö de oladdade patiklana, t ex fotone, ett antal laddade patikla, t ex elektone, pe volymenhet, om ä popotionellt mot mediet denitet (fötatt att växelvekantvänitten ä denitetobeoende. Hä kan de oladdade patiklana växelvekanpocee betakta om tålkällo fö laddade patikla och Fano teoem tillämpa på flenen av de laddade patiklana. Bevi: I ett oändligt medim, om ä homogent till åväl atomä ammanättning om i denitet, innehållande en nifomt födelad tålkälla åde tålningjämvikt. Diffeentiella flenen ä obeoende av läget i mediet och ä en löning till ekv (2. Denna löning beteckna hä v (, Betakta n ett oändligt medim med amma atomäa ammanättning men med denitetvaiatione. Enligt fötättningen kall det gälla att: S ( = S (,, ( ', ': =, ( ( ( ', ': (4 (5 (6 Antalet jonieande patikla emitteade pe volymenhet fån tålkällona kall enligt fötättningen vaa popotionellt mot deniteten ( ho mediet. Detta innebä att antalet jonieande patikla emitteade fån tålkällo pe maenhet av mediet kall vaa kontant och ha hä antagit vaa lika med antalet emitteade patikla pe maenhet i mediet med kontant denitet, ekv (5. Vidae fötätte Fano i itt bevi av teoemet (vilket dock inte finn explicit ttyckt i teoemet att annolikheten 2

5 pe längdenhet fö växelvekan ockå ä popotionellt mot mediet denitet, ekv 6, dä ( ä annolikheten pe längdenhet fö växelvekan i det alltigenom homogena mediet. Vidae käv fö att beviet kall fngea att tfallet av växelvekanpoceena kall vaa obeoende av mediet denitet. Vidae bygge Fano på fötättningen att löningen av den diffeentiella flenen, om n inte kan fötätta vaa obeoende av läget i mediet tan måte öka genom att löa ekv (1, ä entydig efteom den ä eltatet av givna tålkällo i kombination med givna fyikalika växelvekantvänitt. Med anda od: fyiken tgö gaant fö att den diffeentiella flenen ä en entydig fnktion av läget. Om man däfö kan finna en löning, om atifiea ekv (1 å ä denna löning ockå den ökta. Pöva om löningen ( fö mediet med kontant denitet dge om,, löning. Om den lägeobeoende fnktionen,, ( vänta ledet lika med noll och ( ( + S ( + d' ätte in i ekv (1 bli, d' ( ', '; ', ', ct 4π = Genom att föa in fötättningana ttyckta i ekv (5,6 i ekv (7 ehålle ( ( ( = ( + S ( + ( + d' d' ( ', '; ', ', ct 4π (7 (8 ( å ehålle tanpotekvationen fö Om båda leden i ekv (8 mltiplicea med / det oändliga denitethomogena mediet, ekv (2 med löningen inatt i,, ekvationen. Relationen i ekv (8 ä alltå ann och det ä dämed beviat att löningen till tanpotekvationen fö det denitethomogena mediet ockå ä den ökta löningen till tanpotekvationen fö ett oändligt medim med denitetvaiationen. Den diffeentiella flenen beo alltå endat av det antal patikla, om tålkällona emittea pe maenhet av mediet men ä obeoende av denitetvaiatione fån pnkt till pnkt i mediet. Reltatet ttyckt i Fano teoem beo av att då mediet ha höge denitet i en egion å emittea fle patikla pe volymenhet men amtidigt ä äckvidden av patiklana i motvaande gad edcead. Då mediet ha homogen atomä ammanättning påveka mediet denitet enbat äckvidden men inte pidningvinklana läng t ex en laddad patikel på, fig 1. 3

6 2 a/2 a Fig 1: Spå av amma laddade patikel i två media av olika täthet, och 2, men med amma atomäa ammanättning. Vinkelelationena mellan de te egmenten av pået ä opåvekade av killnadena i mediet denitet. Randvillko fö ändliga medie Fano teoem gälle tikt nde de givna fötättningana. Dea ä emelletid omöjliga att ppfylla i paktiken. Famföallt ä det våt att ealiea fötättningen att mediet ä oändligt. illämpninga av Fano teoem gälle alltid ändliga medie och en dikion av andvillko bli nödvändig i dea fall. Om teoemet tillämpa på ett ändligt medim å kan det inte gälla fö de omåden av mediet, om ligge på avtånd minde än en maximal patikeläckvidd fån begänningytona (elle flea fia medelväglängde fån begänningytona om patiklana ä oladdade patikla. I beviet tnyttjade att diffeentiella flenen av jonieande patikla i ett denitethomogent medim knde fötätta vaa obeoende av läget. I ett ändligt medim kan vid nifom födelning av tålkällona detta endat gälla (appoximativt i det ine av mediet. Spence ha gett ett altenativt bevi av Fano teoem dä detta andvillko fö ändliga medie klat famgå. Fyikalika begänninga i teoemet användbahet Fano teoem ha to paktik betydele i doimetin fö oladdade patikla, t ex fotone. Om vägg och ga i en jonkammae ha amma atomäa ammanättning kan, tot denitetkillnaden mellan vägg och ga, laddad patikeljämvikt (elektonjämvikt ppnå i mätkammaen (gaen om jonkammaen vägg ä mint lika tjock om maximala äckvidden av de figjoda laddade patiklana (elektonena. Det behöv inga etiktione att kaviteten (gaen kall vaa å tnn att den inte tö flenen av de laddade patiklana, elationen fö en kavitet, om avvike i atomä ammanättning fån in omgivning. Fö att Fano teoem kall knna tillämpa vid en jonkammamätning dä vägg och ga ha amma atomäa ammanättning äcke det inte att väggen ä tjock fö de laddade patiklana tan den måte amtidigt vaa tnn fö de oladdade patiklana. De oladdade patiklana få inte nämnvät attenea öve täcko jämföbaa med de figjoda laddade patiklana maximala äckvidd (jf fötättningen att patikelemiionen pe volymenhet fån tålkällona- dä de oladdade paiklana växelvekanpocee - kall vaa popotionell mot deniteten. Detta begäna användbaheten vid betålning med fotone till fotonenegie 1 MeV. 4

7 Fano teoem bygge ockå på fötättningen att växelvekantvänitten ä denitetobeoende. Detta ä en fötättning, om knappat någonin ä helt ppfylld. Mediet kemika fom och denitet påveka valenelektonena bindningenegie. Detta komme att påveka växelvekantvänitten fö peciellt lågenegetika jonieande patikla. Fö elektone med höga kinetika enegie medfö polaiationeffekten att växelvekantvänitten bli denitetbeoende. Spence altenativa bevi fö Fano teoem Spence bevi bygge på tanpotekvationen i integalfom och ä ett indktionbevi. Integalfomen av tanpotekvationen ha följande teende + ( = d e d' d e ( ; ' ct d' d' ( ; ' S ' = 4π d' ( + ( ', '; ( ', '; Ekv (9 via att diffeentiella flenen av patikla med kinetika enegin och öeleiktningen i pnkten bygg pp av jonieande patikla, om emitteat fån tålkällo med denna enegi och öeleiktning elle om famgått med denna enegi och öeleiktning växelvekanpocee läng pnkte men om atteneat på vägen fam till. Ekv (9 kan via vaa identik med ekv (1 genom att applicea opeaton gad på båda idona av ekv (9. Sätt: (9, d' ( ; ' ( = de S, ( (1 och fö n = 1, 2, 3,... ' ( ; ' d, n ( = de d ' d' ', ', n 1 ' = 4π ( ' '; ( ', '; Komponenten n, n = 1, 2, 3,..., av flenen kan identifiea med flenen av jonieande patikla famkomna n:te odningen växelvekanpocee. Föta odningen växelvekanpocee äge m mellan patiklana emitteade fån tålkällona och mediet. Anda odningen växelvekanpocee äge m mellan (11 5

8 patiklana famkomna föta odningen växelvekanpocee och mediet etc. Komponenten betå av flenen av patikla emitteade fån tålkällan. Ekv (9 kan n kiva ( = n ( n= (12 Fyiken ta om gaant fö att den oändliga mman i ekv (12 konvegea. Indktionbeviet tata n med antagandet att Fano teoem gälle fö den diffeentiella flenen av odningen n-1, dv det anta att den ä lägeobeoende ( = n 1(, n 1 Ekv (13 inätte i ekv (11 om ge ' ( ; ' d, n ( = de d' d' ', ', n 1 ct ' = 4π I ekv (14 inföe n fötättningen i ekv (6. Infö vidae vaiabeln (13 ( ', '; ( ', ' (14 1 (, = d' ( ' o ( ', '; = ( k ( ', '; (15 (16 vavid d d = 1 ( (17 och ekv (14 kan kiva ( = de d' d ' k ( ', '; ', ', n 1( ', ' ct ' = 4π n Efteom ttycket i paenteen i höga ledet av ekv (18 ä en kontant vid integationen öve ehålle (18 6

9 ( = d' d' k ( ', '; ', ', n 1( ', ',, n ' = 4π Ekv (19 via att även (,, n man även kan via att,,( (19 ä obeoende av läget. Beviet ä klat om ä obeoende av läget. Detta via på amma ätt genom att tnyttja fötättningana i ekv (5 och (6, vavid ehålle 1 = (, S, ( (2 U integalfomen av tanpotekvationen famgå explicit att diffeentiella flenen i en given pnkt få bidag fån alla tålkällo och växelvekanpocee, om ligge på minde än en "äckvidd" (= många fia medelväglängde avtånd fån den betaktade pnkten. (Laddade patikla fia medelväglängde ä mycket kota å att man kan tala om en begänad äckvidd fö dea patikla. Beviet av Fano teoem bygge explicit på en integation öve fån = till =. I ett oändligt medim ehålle en fllt ppbyggd flen i alla pnkte av mediet. I ett ändligt medim ehålle inte fll ppbyggnad av flenen på avtånd minde än en maximal "patikeläckvidd" fån begänningytona. Fano teoem ha viat gälla fö alla pnkte i ett oändligt medim men kan endat gälla i det ine av ett ändligt medim dä föhållandena ä ekvivalenta med dem i det oändliga mediet. Refeene: 1. U Fano: "Note on the Bagg-Gay cavity pinciple fo meaing enegy diipation. Radiat Re 1 (1954, L V Spence: "Some comment on Fano' theoem" Radiat Re 63. (1975, D Hade: "Fano' theoem and the mltiple catteing coection" In foth Sympoim on Micodoimety (HG Ebet, ED pp , Eatom, Bel,