XV. Elektriska fält. XV.1. Kraften mellan laddningar: Coulombs lag F E ( ) 2 ( ) N F E.

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "XV. Elektriska fält. XV.1. Kraften mellan laddningar: Coulombs lag F E ( ) 2 ( ) N F E."

Transkript

1 XV. lektiska fält Fö tillfället vet vi av baa fya olika fundamentala kafte i univesum. Dessa ä: Gavitationskaften Bekant fån mekanikenkusen Den elektomagnetiska kaften Detta kapitels ämne, osaken till att elektonena och atomkänona bilda neutala atome Också den gundläggande växelvekan bakom det att atomena binds till vaanda = all mateialfysik och kemi Den staka växelvekan Osak till att atomkänona hålls ihop Den svaga växelvekan Spela oll vid söndefall av atomkäno adioaktivitet De två sista kaftena ä minde bekanta och deas vekan kan baa iakttas på mycket små avstånd. De te sistnämna kaftena kombineas till en enda (komplicead) kaft i den s.k. standadmodellen fö patikelfysiken. lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 Den fundamentala enhetsladdningen hitta man hos en elekton och en poton, vilket beskivs med bokstaven e. Det appoximativa vädet fö enhetsladdningen ä e= C, dä C stå fö enheten Coulomb. Fö att föstå hu stak den elektomagnetiska kaften ä, skall vi göa en appoximativ jämföelse mellan denna kaft och gavitationskaften. xempel Anta att vi ha en pojke och en flicka m fån vaanda, och pojken ha kg exta potone i sig, och flickan en motsvaande antal exta elektone. Hu stoa masso måste vi hänga i epen, fö att gavitationskaften på jodytan skall balansea den elektomagnetiska kaften? M Massan fö en poton 2 27 kg kg motsvaa / potone m lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 3 M XV.. Kaften mellan laddninga: Coulombs lag Den elektiska kaften ä då På basen av empiiska obsevatione, som stäcke sig bak till 7talet, vet man följande. Både gavitations och den elektomagnetiska kaften ha oändligt lång äckvidd. Gavitationskaften ä alltid attaktiv, men den elektomagnetiska kaften kanvaa antingen attaktiv elle epulsiv. Stabila patikla kan ha en egenskap kallad elektisk laddning. Två olika sots laddning, kallad positiv elle negativ laddning. Lika laddninga epellea vaanda och olika laddninga attahea vaanda. Ifall vi ha två laddninga q och q 2 på ett avstånd fån vaanda ä den elektomagnetiska kaften, kallad Coulombs lag mellan dessa patikla F F F F F F F (5 26 ) 2 (.6 9 ) N På jodytan bode vi då ha en motsvaande gavitationskaft F = q q 2 4πɛ2ˆ () dä ɛ ä mediets pemittivitet och ˆ enhetsvekton fö vekton som sammanbinde de två patiklana. I vakuum ha vi pemittiviteten ɛ C 2 /N m 2. n användba konstant ä 9. 9 N m 2 4πɛ C 2 lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 2 F G M g = F M F g 6 24 kg vilket ä ungefä massan fö joden!! lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 4

2 xempel. I en Heatomkäna finns två potone och två neutone. Stoleken av känan ä ungefä fm (femtomete), så man kan anta att medelavståndet mellan potonena ä det samma. Beäkna en läge gäns fö stykan som den staka växelvekan måste ha fö att hålla känan ihop. Insättning ge: Naa Langt bota F = e 2 = 23 N (2) 4πɛ 52 vilket ä enomt om man tänke på att det ä fåga om två nukleone! Hela joden kan tänkas vaa en väldigt sto ledande kopp som ä laddningsneutal, d.v.s. de positiva och de negativa laddninganas antal ä lika. Ifall en positivt laddad ledae kopplas till joden med en ledae, komme motsvaande antal negativa laddninga att flöda fån joden till den positivt laddade ledaen, som bli neutal. Man säge att koppen ä jodad. lektiska symbole som beteckna att något ä jodat, ses i figuen bedvid. lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 5 lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 7 Odet elektisk hästamma fån det gekiska odet fö bänsten (ηλɛκτρoν, eng. ambe), vilken ha den egenskapen att ifall den gnids emot päls, så kan den attahea anda objekt. Vad detta betyde ä att bänstenen ha blivit statiskt laddad. xempel på olika situatione med laddning. Lika laddninga epellea vaanda, motsatta laddninga attahea Mellan en laddad kopp och en neutal kopp kan en attaktiv kaft induceas I detta fall föflytta sig de negativa laddningana mot, och motsvaande de positiva laddningana bot, fån den positiva koppen. Kafte kan även induceas ifall koppen ä en isolato, vilket betyde att den inte ha mobila laddninga, lede inte stöm. Detta ske genom polaisation av isolaton, vilket betyde att de positiva och negativa laddningana i de neutala atomena elle molekylena ö sig en aning mot elle fån den positiva koppen: lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 6 XV.2. Den mikoskopiska tolkningen av elektisk stöm I kapitel 4, definieades stöm som osak till kaften mellan två ledninga. Vi skall nu koppla ihop stöm med laddninga i öelse. I ledae, som t.ex. koppa och silve, ö sig fia elektone hela tiden med en hastighet av ungefä 6 m/s. Ingen elektisk stöm gå i ledaen utan ytte spänning, eftesom de fia elektonenas öelseiktning ä kaotisk, d.v.s. de ö sig åt vilket håll som helst. Men då en spänningskälla (battei) kopplas till en ledae, känne de fia elektonena en kaft i iktningen av ledaen. Konsekvensen av detta ä att, föutom den oodnade öelsen, få de fia elektonena en difthastighet längs ledaen, som kallas fö stöm. Stöm definieas som laddning d som gå genom en aea unde ett tidsintevall dt xempel: I = d dt [I] = C/s = A (ampee) (3) Vi skall uppskatta hu sto difthastigheten fö elektonena i en koppatåd ä. Tådens diameten ä mm, och stömmen i tåden ä A. lektondensiteten i koppa ρ 29 elektone/m 3. lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 8

3 e I v d x Aean fö tåden ä: A = π(d/2) 2. På tiden t gå elektonena (med laddningen e ) en stäcka x = v d t. Summaladdning som gå genom den gåa ytan A i figuen på tiden t bli volymen gånge laddningsdensiteten: = V ρ e = A x ρ e = A v d t ρ e XV.3. lektiska fältstykan och flödesdensiteten Det fält som fömedla den elektiska kaften, kalla vi fö ett elektiskt fält. Analogt till detta, definieades gavitationsfältet som det fält som fömedla gavitationskaften. a) positiv laddning fån vilken ett elektiskt fält utgå b) negativ laddning till vilken de elektiska fältlinjena gå. Vi få stömmen som laddning pe tidsenhet I = t = A v d ρ e Detta ge en uppskattning på difthastigheten fö elektonena i koppatåden v d = I A ρ e A 3.4 (.5 3 m) 2 29 m C m 4 s =.mm s Alltså, då en stömbytae till en lampa kopplas på, böja elektonena sakta diva längs den elektiska ledningen. a) b) Ifall ledningens längd fån stömbytaen till lampan ä m, äcke detta ca. m / 4 m/s = 5 s, vilket ä länge tid än en dag! lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 9 lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 Vadaglig efaenheten visa dock att lampan tänds i samma ögonblick som stömbytaen tycks Detta tyde på att mekanismen med vilken stöm fotplantas ä inte elektonenas dift. Vad som ske då en spänningskälla (battei) kopplas till en ledae, ä att ett elektiskt fält skapas och fotplantas med näa ljusets hastighet i ledaen. De fia elektonena i hela ledningen känne en kaft nästan samtidigt p.g.a. detta elektiska fält. Innan vi nämae bekanta oss med detta nya fält, bö man nämna att en stöm i en ledae kan också beo av att positiva laddninga ö på sig. Som sammanfattning, bli den totala stömmen i en ledae Man kan nu sätta en annan laddning i ett elfält, och beäkna Coulomb elle den elektiska kaften på denna laddning: F = 4πɛ 2 ˆ Stoleken på det elektiska fältet fån få vi fån ekvationen F I = ρ e v d A ρ e v d A (4) dä ρ ä densiteten fö laddninga i öelse med difthastigheten v d som gå genom en ledae med aean A. elle beätta ifall laddningana ä positiva elle negativa. Positiva laddninga kan vaa joniseade atome elle s.k. hål. = lim F Den elektiska fältstykan, elle också kallad elektiska fältet elle baa elfältet fån en punktladdning definieas då som = 4πɛ2ˆ (5) Jamfö: tidigae hade vi att gavitationskaften på jodytan kan skivas som F G = m g, vilket ge gavitationsfältet näa jodytan: g = F G m lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 2

4 xempel: n punktladdning, q =. nc, befinne sig vid oigo. Beäkna den elektiska fältstykan vid punkten: a) (x =. m och y = ) b) (x = 3. m och y = 4. m) Det elektiska fältet unt en punktladdning ges av: = a) q 4πɛ 2ˆ Vekton fån oigo till punkten (,) ges av: =. m och ˆ = î, och vi få den elektiska fältstykan i denna punkt 9. 9 N m 2 /C 2. 9 C î = 9. N î (m) 2 C y q i x Det elektiska fältet som omge en laddning, definiea man att böja fån en positiv laddning och gå in i negativ laddning a) b) c) Det totala elektiska flödet fån en punktladdning definieas vaa samma som laddningens stolek φ = ɛ (6) Detta ä alltså totala antalet flödeslinje som utgå fån en laddning. Notea att det finns två konventione om detta: antingen φ = elle φ = /ɛ. Den senae följe den i elektodynamikboken isbegresnick och används dämed hä. lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 3 lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 5 b) Avståndet fån oigo till punkt (3.,4.) ä: = p (3. m)2 (4. m) 2 = 5. m, och iktningen bli ˆ = = 3. m î 4. m ĵ 5 m Det elektiska fältet i punkten b) bli alltså: =.6 î.8 ĵ y N m 2 /C 2 9 C (5 m) 2 (.6 î.8 ĵ) (2.6 î 2.88 ĵ)n C j q i 3 x Fö att få stoleken och iktningen på den elektiska fältstykan, definiea vi ytteligae en stohet som kallas elektiska flödesdensiteten: (eng. electic fluc density elle electic displacement ):» D = ɛ lim A φ A ˆn (7) dä A ä en aea och ˆn ä en enhetsvekto i iktning av flödeslinjena vinkelät mot ytan A. Den elektiska flödesdensiteten ge baa hu många av de alla flödeslinjena fån laddningen genomkosa en aea A på olika avstånd fån laddningen. tt annat sätt att äkna ä att beäkna magnituden av elfältet i punkten b): 9. 9 N m 2 /C 2 9 C (5 m) 2 = 3.6 N C Den slutliga stoleken på det elektiska fältet beo sedan av mediet unt laddningen. Mediets omgivning ge man som tidigae med ɛ, som ä mediets pemittivitet. I vakuum ha vi pemittiviteten ɛ. Det elektiska fältet få man slutligen fån ekvationen Riktningen fö elfältet få man fån vinkeln mellan vekton och xaxeln cos(θ) = 3m 5m = x, vilket ge x och ykomponententena: x = 3 5 = 2.6 N C y = p 2 x 2 = 2.88 N C lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 4 = D ɛ Tidigae fick vi stoleken och iktningen på elfältet fån en punktladdning genom att dividea Coulombkaften med laddningen, se ekv. (5). lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 6 (8)

5 xempel. Vi bestämme pånytt detta elfält genom att se på laddningens flödeslinje. Det totala elektiska flödet (antal flödeslinje) fån en punktladdning ä: φ = /ɛ. Vid avståndet fån laddningen ä sfäens aea: A = 4π 2. Alla flödeslinje fån laddningen kosa denna aea, vilket ge det elektiska flödet på avståndet fån laddningen D() = 4π 2ˆ dä ˆ ge att iktningen ä utåt fån laddningen. Slutligen bli stoleken på det elektiska fältet elle elfältet D divideat med mediet unt laddningen () = D ɛ = 4πɛ 2ˆ z d/2 d/2 2 x Fån figuen se vi att elfältets xkomponente ta ut vaanda, och vi få det esulteande elfältet endast i ziktningen. Avståndet fån vadea laddningen till punkten på xaxeln ä p x 2 d 2 /4. lfältet i ziktningen fån bägge laddningana bli då 2 x z =» 4πɛ x 2 d 2 /4 cos(α) x 2 d 2 /4 cos(α) dä, cos(α) = (d/2)/ p x 2 d 2 /4, vilket slutligen ge: z = d 4πɛ (x 2 d 2 /4) 3/2 lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 7 lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 9 XV.4. Det elektiska fältet fån många laddninga elle fån laddningsdistibutione Vad hände ifall vi ha flea laddninga som alla ha ett eget elfält? I detta fall kan man beäkna det totala elfältet genom supepositionspincipen, d.v.s. summea ihop alla elfältsvektoe till en esultant vekto: z (N/m) X (m) lfältet ä invest popotionellt till avståndet upphöjt till 3 z x 3 xempel: = (9) Två lika stoa laddninga, ena positiv och den anda negativ, befinne sig på avståndet d fån vaanda. Den positiva laddningen befinne sig d/2 ovanfö och den negativa laddningen d/2 nedanfö xaxeln. Ge en ekvation fö det elektiska fältet på en godtycklig punkt på xaxeln. lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 8 Kombinationen av två lika stoa, men motsatt laddade laddninga kallas en elektisk dipol Dipole ha en mycket viktig oll i natuen. T.ex. vattenmolekylen kan appoximeas att vaa en dipol, och de neutala molekylena elle atomena i en isolato polaiseas till dipole i ett elfält. Vattnet ä däfö ett utmäkt lösningsmedel fö joniska atome. Till exempel salt NaCl, dissocieas till positiva Na och negativa Cl jone, vilka das till vattenmolekylens negativa, espektive positiva del. På detta sätt hålls Na och Cl jone lösta fån vaanda. lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 2

6 Cl H H Na Cl Na Cl Na Cl Na Vatten Salt O Vattenmolekylen motsvaa en dipol Na Cl Na Detta ä en vekto, vas iktning ä fån den negativa till den positiva laddningen. Vidmomentet på dipolen kan slutligen skivas som τ = p () Biologiska mateial ha också en massa pemanenta dipole i sig Växelvekan mellan dessa sinsemellan, och med vatten (som alltid finns nävaande i biologiska system) ha en sto invekan på biologiska mateials stuktu, och dämed liv Ifall vi sätte en dipol i ett elektiskt fält, bli summan av kaftena på den negativa och positiva laddningen lika med noll. Magnituden fö båda ä F = q. Däemot påveka kaftena dipolen inte i samma linje, så att det totala vidmomentet inte ä lika med noll, se bilden: ffekten på vidmomentet ä att vida dipolmomentet i elfältets iktning. lfältet gö alltså abete genom att vida dipolen. Abetet som gös av elfältet då den vide dipolen en infinitesimal vinkel dα ä Totala abetet fån vinkeln α till α 2 bli då W = Z α2 dw = τ dα = psin(α)dα α ( psin(α))dα = p[cos(α 2 ) cos(α )] Vi definiea att den potentiella enegin ä noll då dipolen ä oientead vinkelät mot elfältet: p, α = 9. Detta ge den potentiella enegin fö dipolen som en funktion av vinkeln U(α) = p cos(α) = p (2) lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 2 lektomagnetism I, Kai Nodlund d F F d/2 h h = sin( )d/2 U Vidmomentet på dipolen bli τ = d h F h F = F 2 sin(α) F d 2 sin(α) = F d sin(α) = q d sin(α) dä d ä avståndet mellan laddningana ±q, ä det elektiska fältet och α ä vinkeln mellan dipolen och elfältet. Nu definiea vi en mycket viktig stohet som kallas fö elektiska dipolmomentet som längden mellan laddningana på dipolen gånge laddningens stolek p = q d () d p lektomagnetism I, Kai Nodlund lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 24

7 xempel: I detta exempel beäkna vi elfältet på xaxeln fån en oändligt lång stav med laddningsdensiteten λ, [λ] = C/m. Integationen med avseende av dz fån till ha byts till integation med avseende av vinkeln α fån π/2 ( = tan( π/2)) till π/2 ( = tan(π/2)). Vi integea z z dz x d x x = λ 4πɛx, π/2 π/2 sin(α) = λ [ ( )] = λ 4πɛx 2πɛx lfältet minska i detta fall som /, dä ä det vinkeläta avståndet till den laddade oändligt långa staven. (3) I detta fall ta zkomponentena ut vaanda, så vi ha kva att beäkna det totala elfältet i xiktningen. Fån bilden få vi att d fån laddningen d = λ dz bli xkomponenten av denna bli d = d 4πɛ = λ dz 2 4πɛ 2 d x = λ cos(α)dz 4πɛ 2 lektomagnetism I, Kai Nodlund (V/m = N/C) X (m) /X /X 2 /X 3 I bilden ovan se vi det elektiska fältet som en funktion av det invesa vädet på x upphöjt till, 2 och 3. xempel: lektomagnetism I, Kai Nodlund Det totala elfältet få vi genom att integea öve hela staven x = λ 4πɛ Z cos(α)dz Men hä beo ju α på, så vi kan inte integea diekt. Fö att undelätta integeingen, fösöke vi få alla teme i integalen som en funktion av vinkeln α tan(α) = z x 2 z = x tan(α) = xsin(α) cos(α) vilket vi deivea med avseende av α» dz cos(α) dα = x cos(α) sin(α)( )( sin(α)) " # cos 2 (α) sin 2 (α) x = x = cos 2 (α) cos 2 (α) cos 2 (α) n jämnt laddad ing med adien R ha totala laddningen. Beäkna det elektiska fältet fån ingen i en punkt som ligge på ingens axel, på avståndet z fån ingens centum (se bild) lfältena i x och yiktningana ta ut vaanda. Laddningsdensiteten λ = /(2πR), så det elektiska fältet i ziktningen fån ds bli d z = ds λcos(α) = ds cos(α) 4πɛ z 2 R 2 4πɛ 2πR (z 2 R 2 ) Totala elektiska fältet fås då genom integeing öve ingen z = cos(α) 4πɛ 2πR (z 2 R 2 ) Z 2πR d z x z R ds = cos(α) 4πɛ 2πR (z 2 R 2 ) 2πR ds y vidae få vi att cos(α) = x = x cos(α) Vidae ha vi att cos(α) = z/ z 2 R 2 så elfältet bli z = z 4πɛ (z 2 R 2 ) 3/2 Vi sätte in esultaten av de två sista ekvationena i integalen, som föenklas till x = λ 4πɛx Z π/2 π/2 cos(α)dα lektomagnetism I, Kai Nodlund Obsevea att långt fån ingen ä z >> R, vilket ge att elfältet fån ingen bli lika med fältet fån en punktladdning z = 4πɛ z 2 lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 28

8 xempel: n jämnt laddad skiva med adien R ha totala laddningen. Beäkna det elektiska fältet fån skivan i punkt P som ligge på skivans axel, på avståndet z fån skivans centum (se bilden). Laddningsdensiteten fö skivan ä den totala laddningen divideat med aean. z d z P = = / Vi ha nu fått fya olika sätt på hu elfältets stolek ända med avståndet, vilka ä itade i figuen nedan = y σ = Aea = y πr 2 Laddningen i den infinitesimalt tunna ingen, itad som en svat ing i figuen, ä ingens aea multipliceat med laddningsdensiteten d = da σ = 2πd σ lfältet fån denna ing i punkt P, avståndet z fån ingen, ta vi fån föegående exempel d z = 2πd σ z σz d = 4πɛ (z 2 2 ) 3/2 2ɛ (z 2 2 ) 3/2 ) lektisk dipol 2) Punktladdning 3) Oändlig laddad stav 4) Oändlig laddad yta 3 2 konstant lektomagnetism I, Kai Nodlund lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 3 Totala elfältet få vi igen genom integeing öve hela skivans adie R z = σ z 2ɛ Z R d (z 2 2 ) 3/2 Fö att föenkla integalen, gö vi substitutionen: g = z 2 2, vilket ge att = p g z 2 och att dg d = 2 = 2p g z 2. Integationsgänsena ändas: = g = z 2 och = R g = z 2 R 2, vilket ge slutligen integalen z = σ z 2ɛ = σ z 2ɛ Z z 2 R 2 z 2, z 2 R 2 z 2 p g z2 dg 2 p g z 2 g = σ z Z z 2 R 2 dg 3/2 2ɛ z 2 2g = σ z Z z 2 R 2 3/2 2ɛ z 2 = σ z» g 2ɛ z2 R 2 z = σ 2ɛ Ifall vi ä näa ingen, z << R, få vi att det elektiska fältet ä konstant: z = σ 2ɛ. " dg 2g 3/2 # p (R/z)2 Det elektiska fältet ä vinkelät fån ingen och alltså obeoende av avståndet fån den. Det elektiska fältet fån två motsatt laddade oändligt stoa skivo, se bild, bli då: = σ/ɛ mellan skivona, och utanfö dessa. lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 3 XV.5. Gauss lag I symmetiska fall kan beäkningana av det elektiska fältet föenklas mäkbat genom användning av Gauss lag. Tidigae definieades det totala elektiska flödet fån en punktladdning att vaa samma som laddningens stolek: φ =. Ifall vi inneslute laddningen med en sluten yta, komme alla de elektiska flödeslinjena att kosa ytan och obeoende av ytans fom, komme ytintegalen Z φ = D da Aea att vaa konstant, dä D ä elektiska flödesdensiteten och da = daˆn. ˆn ä enhetsvekton vinkelät mot aeaelementet da Fån föegående likheten få vi nu Gauss lag: kvationsfom av Gauss lag: Det totala elektiska flödet genom en sluten yta ä lika med summan av de inneslutna laddningana Z Aea D da D da = X q (4) lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 32

9 dä P q ä summan av alla laddninga som innesluts av den slutna aean. I ekvivalent ekvationsfom uttyckt med elfältet (D = ɛ) bli Gauss lag xempel: n punktladdning q befinne sig på te olika platse: Z Aea P q da = ɛ (5) a) i mitten av en kub b) i mitten av kuben, men nämae ena sidan c) i mitten av ena sidan av en kub, men utanfö kuben xempel: Vi skall nu beäkna elfältet på avståndet fån en negativ punktladdning, se figuen. Det elektiska fältet som peka mot den negativa punktladdningen ä sfäiskt symmetiskt, så vi använde Gauss lag. Vi inneslute punktladdningen i en sfä med adien. Aeavekton da ä ut fån punktladdningen Gauss lag ge: Z Z da = Aea Aea da = 4π 2 = ɛ vilket ge elfältet på avståndet fån laddningen da Beskiv vad det elektiska flödet genom alla 6 sido bli i alla te fallen a) i mitten av kuben Kubens alla sido ha samma aea och ä lika långt fån laddningen. Totala flödet genom alla sidona fån Gauss lag ä q Totala flödet genom vaje sida ä: q 6 a) = 4πɛ 2ˆ lektomagnetism I, Kai Nodlund lektomagnetism I, Kai Nodlund Notea att detta gälle också ifall laddningen ä i en sfä av ändlig stolek fö alla avstånd utanfö sfäen. b) i mitten av kuben, men nämae ena sidan Flödena genom alla sidona ä positiv Flödet genom sidan som ä nämast laddningen ä stöst Flödet genom sidan som ä längst ifån laddningen ä minst b) Summan av flödena genom alla sidona ä: q c) i mitten av ena sidan, men utanfö kuben Den nämaste sidans ytnomal ä iktad mot laddningen: D da < Flödet genom den nämaste sidan ä <!! c) Flödet genom de fem anda sidona ä > Summan av flödena genom alla sidona ä!! lektomagnetism I, Kai Nodlund lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 36

10 xempel: Vi beäkna på nytt elfältet fån en oändligt lång laddad stav, dä vi fick genom integeing: x = λ 2πɛ x, dä λ ä laddning pe längdenhet. I figuen ha vi placeat en cylinde unt staven. h z x Ifall vi ha en kavitet i en ledae, finns det inga nettoladdninga på ytan av kaviteten, fastän ledaen ha en laddning. Men ifall inne i kaviteten finns en laddning (laddningen ö inte ledaens ine vägg), bli summaladdningen på ytan av kaviteten. Gauss lag ge: R Aea da = P q/ɛ. Det elektiska fältet gå akt ut fån staven, och vid sidona ä elfältet paallellt med ytnomalen ( da) da = da Vid basena ä elfältet vinkelät mot ytnomalen ( da) da =. Vi få då att det totala flödet genom cylinden ä lika med laddningen inne i cylinden Z da = 2πxh = h λ ɛ Aea x vilket ge att stoleken på det elektiska fältet på avståndet x fån staven bli (samma som i kv. 3) x = λ 2πɛ x lektomagnetism I, Kai Nodlund lektomagnetism I, Kai Nodlund XV.6. Laddninga i en ledae I en ledae ö sig elektonena mycket lätt, så att ett ytte elfält distibuea dessa elektone inne i ledaen. Ifall vi ha ett ytte elfält, komme de mobila elektonena att öa sig mot elfältet, och ett ine elfält uppstå. Detta elfält komme att distibueas så att det totala elektiska fältet inne i ledaen ä noll totala = ytte ine = (6) xempel: Ledaen i bilden ha en total laddning nc. Inne i ledaen ha vi en fån ledaen isolead laddning av stoleken 6 nc. Vad bli summaladdningana på kavitetens yta och på ledaens yta? Vi ita en Gaussyta unt den ine kaviteten ftesom elfältet inne i ledaen ä noll, måste summaladdningen inne i Gauss ytan vaa noll. Laddningen inne i kaviteten ä 6 nc, så att laddningen på kavitetens yta måste vaa 6 nc. Den totala laddningen fö ledaen ä nc = yta kavitetyta yta = nc kavitetyta = nc 6 nc = 6 nc. e ytte e e e e ine lektonena inne i ledaen, ö på sig tills det ine elfältet ä noll. Och eftesom det totala elfältet inne i en ledae ä noll, få man fån Gauss lag att summan av laddninga inne i ledaen också ä noll. Givetvis befinne sig elektone fotfaande inne i ledaen, men totala antalet elektone ä samma som positiva laddningana i atomkäno, så nettoladdningen inuti bli noll. Alla nettoladdninga befinne sig på ytan av ledaen. ytte lektomagnetism I, Kai Nodlund lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 4

11 XV.7. Häledning av Ohms lag: Dudeteoin fö metalle Utgångspunkten fö den klassiska elektongasteoin ä att elektonena i en metall betaktas som en gas av klassiska patikla med massan m e och laddningen e. Om ämnets atome ha Z valenselektone, bida vaje atom med Z elektone till elektontätheten. Om själva atomkänan ha laddningen Z a, bli bilden av mateialet nu som i bild och den genomsnittliga elektonhastigheten (difthastigheten) bli v = e m e t. (8) Den genomsnittliga tiden mellan kollisione ä τ, och däigenom bli t = τ (9) och v = e m e τ (2) Popotionalitetskonstanten mellan och v ä känd som elektonenas mobilitet µ e, och bli alltså µ e = eτ m e (2) De fia valenselektonena kallas ledningselektone. I många fall i mateialfysiken ä endast dessa betydelsefulla fö ett ämnes egenskape, så ofta pata man baa om ämnets elektone då man mena ledningselektonena elle de kemiskt aktiva valenselektonena. lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 4 Stömtätheten fås med att multiplicea elektonena densitet n, laddning e och medelhastighet: J = ne v = ne2 τ m e (22) lektomagnetism I, Kai Nodlund mpiiskt gälle att elektontätheten i vanliga metalle n ä mellan 22 /cm 3 och /cm 3 : Gundantagandet i Dudeteoin ä att elektonena ö sig fitt utan att påvekas av anda elektone elle jone botsett fån disketa kollisione med de stationäa jonena. Å anda sidan hade vi i kapitel XIV u de makoskopiska definitionena: J = I A = V AR = V = σ V = σ Aρ L (23) L A Så vi se nu att konduktiviteten σ i ett ämne i Dudes teoi ges av σ = ne2 τ m e (24) n gundstohet i teoin ä det genomsnittliga tidsintevallet τ mellan kollisionena. Denna kallas elaxationstiden. Dätill antas att en elektons hastighet efte en kollision ä statistiskt födelad och obeoende av hastigheten föe kollisionen dvs. hastigheten efte kollisionen beo enbat av metallens tempeatu. lektongasens och däigenom metallens elektiska konduktivitet kan beäknas på följande sätt i Dudes teoi. Mellan kollisionena med jone acceleeas elektonena av ett ytte elfält. fte tiden t, och föe nästa kollision intäffa, ä då en elektons hastighet I.o.m. att stohetena i σ i Dudes teoi inte beo av det ytte elfältet, utan ä baa mateialets ine konstante, föutspå teoin alltså att stömtätheten ä linjät beoende av ett ytte elfält! Dudes teoi föklaa alltså Ohms lag!! v = v F m e t = v e m e t (7) Då v ä en slumpmässigt födelad vekto, fö vilken alla iktninga ä lika sannolika, ä v = lektomagnetism I, Kai Nodlund lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 44

12 XV.8. Abete och den elektiska potentiella enegin Nutidens samhälle ä helt beoende av elektisk enegi. Fö att definiea den elektiska enegin, betakta vi en liten punktladdning d som fös fån punkt A till B i ett elektiskt fält. Abetet som gös unde föflyttningen fån A till B ä W A B = Z B A F dl = d Z B A dl (25) Den elektiska kaften ä en konsevativ kaft, vilket betyde att vi kan ge abetet med hjälp av potentiell enegi A dl B Fåga: Hu mycket abete måste man göa fö att flytta en negativ laddning fån plattans yta till z =? W A B = U A U B = (U B U A ) = U (26) dä U ä föändingen i potentialenegi. Konsevativ kaft: ingen fiktion/hastighetsbeoende av kaften. xempel: lektiska potentiella enegin i ett konstant elfält lektomagnetism I, Kai Nodlund lektomagnetism I, Kai Nodlund Betakta det konstanta elektiska fältet fån en oändligt sto laddad platta. Vad ä den elektiska potentiella enegin som en funktion av höjden ovan plattan fö en laddning d? xempel: lfältet ovan plattan ha vi edan två gånge bestämt vaa: z = konstant = σ 2ɛ, dä σ ä plattans laddningsdensitet. Abetet fö att föflytta en laddning fån till z bli W z = U() U(z) = d Z z dl = d Z z z dl cos(α) = d Z z z dz dä α ä vinkeln mellan elfältet och föflyttningsvekton dl. Vid ytan definiea vi att den potentiella enegin ä noll (U()=). Vi få då att den potentiella enegin som en funktion av höjden bli A lektiska potentiella enegin fö system med två laddninga Betakta laddningana, dä den lilla laddningen d ä i det adiella elektiska fältet = ˆ 4πɛ 2. Vad ä den elektiska potentiella enegin fö systemet som en funktion av avståndet mellan laddningana? Den potentiella enegin fö systemet ges av potentialskillnaden mellan platsena A och B: B U(z) = d Z z Z z z dz = d z dz = d z z Fö att flytta en laddning fån till z gå det åt enegin ( ) z = z > Vi sätte in abetet (z) mot elfältet, och samtidigt öka vi den potentiella enegin fö laddningen lika mycket. lektomagnetism I, Kai Nodlund W A B = U(A) U(B) = d = d Z B A Z B A dl = d Z B ()d = d Z B d 4πɛ A = d 2 4πɛ A dl cos(α), B A = d» 4πɛ B A dä α ä vinkeln mellan elfältet och föflyttningsvekton dl. Vi se att ifall B = få vi att W A B = U(A) U( ) = d 4πɛ A Så vi få att den potentiella elektiska enegin fö systemet som en funktion av avståndet mellan lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 48

13 laddningana ä U() = d 4πɛ Nedan se vi den potentiella enegin fö tvåladdningssystemet som funktion av avståndet mellan laddningana. Ifall U < ä laddningana bundna till vaanda, och enegi behövs fö att upplösa systemet (da laddningana fån vaanda). U U > U U < Ifall vi vill ha den potentiella enegin fö många punktladdninga, måste vi summea alla potentiella enegie U T ot = 4πɛ X i<j (27) i j ij (28) lektomagnetism I, Kai Nodlund XV.9. lektisk potential Den elektiska potentiella enegin behövde hela tiden en testladdning. Nu definiea vi elektisk potential, som potentiella enegin pe enhetsladdning vilket likna definitionen fö det elektiska fältet [V] = V (volt) = J/C. Potentialen fö en punktladdning bli V = U (29) = F (3) V = U = 4πɛ lektisk potential och spänning ha alltså samma enhet, och ä i själva veket samma sak. Det föa begeppet används me då man tala om elfält, det senae nä man tala om ketsa. lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 5 (3) dä summan måste göas fö alla pa baa en gång (i < j) Potentialen ä mycket användba i situatione dä vi inte vet laddningen som sätts i elfältet; vi kan föst beäkna potentialen fån alla laddningana, och sedan sätta in vilken laddning som helst fö att beäkna den potentiella enegin. Oftast så ä det enklast att beäkna den potentiella enegin fån potentialskillnaden. Ibland nä man vet det elektiska fältet (vanligtvis konstant), få man potentialskillnaden mellan punkt a och b genast som Fö konstant elfält bli detta V a V b = W a b = Z b a F dl = Z b a dl (32) V a V b = (b a) (33) alltså kan elfältets enhet också vaa: [] = N/C = V/m, av vilka den senae oftast används. n elekton som acceleeas av en potentialskillnad V, få kinetiska enegin: ev.6 9 J. Detta ä definitionen på enegienheten elektonvolt xempel negin hos en patikel som acceleeas med acceleaton i Gumtäkt öve en spänning på 5 MV a) poton, laddning fån till. b) guldjon, laddning fån till. lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 5 lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 52

14 Föklaing och lösning ges på föeläsningen vilket ge genom insättning av tiden fån kv.( 34) x x = v2 2a v = q 2a(x x ). 7 m/s b) Metod 2, Potentialen fö elektonen, som i böjan ä: V = (x x ), omvandlas till kinetisk enegi s s U = V = 2V 2(x x )e 2 mv2 v = =. 7 m/s m e m e kvipotentialyto n 3dimensionell yta dä potentialskillnaden ä den samma i alla punkte, kallas fö en ekvipotentialyta. Det elektiska fältet ä alltid vinkelät mot en ekvipotentialyta. Teoem: det elektiska fältet fån en ledae ä vinkelät mot ledaens yta. Bevis: ifall det inte voe så, skulle laddningana på ytan öa på sig tills påståendet ä uppfyllt. Detta betyde att inget abete gös då en laddning föflyttas på ytan av en ledae. n ledaes yta ä alltså en ekvipotentialyta. Ledae lektomagnetism I, Kai Nodlund lektomagnetism I, Kai Nodlund xempel: n elekton placeas i ett konstant elfält mellan två laddade skivo. a) Ifall magnituden fö det konstanta elfältet ä 3. 4 V/m (elle N/C), vad ä acceleationen fö elektonen? b) Anta att elektonen ä föst i vila vid den negativa plattan, och sedan böja acceleeas mot den positiva. Vad ä sluthastigheten fö elektonen just innan den täffa den positiva ytan? Avståndet mellan skivona ä. cm. a) Metod. Kaften ä det elektiska fältet gånge laddningen, vilket ge: F = = m e a a = e m e.6 9 C 3 4 N/C 9. 3 kg 5 5 m s 2 Nästa figu visa hu elfältet och ekvipotentialytona ända då en ledae sätts in i ett elektiskt fält. Vänsta bilden visa det jämna elfältet och ekvipotentialytona. I den höga bilden se vi att ledaen böje elfältet så att de alltid ä vinkeläta mot ytan av ledaen. Mäk också att ekvipotentialytona ä alltid vinkeläta mot elfältet. V V2 V3 V4 V5 V6 V V2 V3 V4 V5 V6 v = v a t v = t = v a (34) x = x v t at2 2 lektomagnetism I, Kai Nodlund lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 56

15 Bestämning av elfältet fån den elektiska potentialen På samma sätt som man fick gavitationskaften fån gavitationspotential, få man det elektiska fältet fån den elektiska potentialen. Potentialen ä en skalä stohet, d.v.s. den ha ingen iktning. Ä det då möjligt att fån potentialen beäkna elfältet? Potentialskillnaden mellan punktena a och b definieades som: V a V b = R a b dv = R b a dv. Vidae hade vi att Detta ä alltså en fom av en tedimensionall deivata. ha en cental oll i vektodiffeentialkalkyl, fö nästan alla deiveingsopeatione på vektoe kan och buka skiva med hjälp en Notea enhetena: potentialens enhet va ju Volt, och fältets Volt/mete. Alltså ha deivatan med avseende på x och nabla båda effektivt enheten /mete. V a V b = Z b a dl fån vilka vi få likheten dv = dl (35) Fö att beäkna potentialskillnaden, skive vi ut komponentena fö vektoena och dl: = x î y ĵ zˆk dl = dxî dyĵ dzˆk Fån vilket vi få potentialskillnaden dv = x dx y dy z dz (36) lektomagnetism I, Kai Nodlund lektomagnetism I, Kai Nodlund Ifall vi betakta situationen dä föflyttningen i y och ziktningana ä noll: dy = dz =, få vi alltså dv = x dx x = (dv/dx) y,zkonstant (37) Vi få alltså komponenten av elfältet i en viss iktning genom att deivea potentialen i den iktningen. Genom att göa denna opeation skilt i alla te dimensione, och sedan kombinea esultatet, se man att det elektiska fältet kan skivas med hjälp av potentialen som: δv = δx î δv δy ĵ δv «ˆk δz elle kotae få man som gadienten av potentialen dä opeaton kallas fö nabla = (38) = V (39) δ δxî δ δyĵ δ «ˆk δz lektomagnetism I, Kai Nodlund (4) XV.. Kondensatoe n kondensato ä en kets som kan laga elektisk potentiell enegi. Vilka två ledae som helst sepaeade av vakuum elle dielektisk mateial fungea som en kondensato. På bilden nedan, visas hu man kan ladda en kondensato Föst ha vi laddningen ± på kondensatoplattona. e Detta ä osaken till att en kondensato inte kan ha en ledae inuti: då skulle ju laddningana ± neutaliseas omedelbat Det elektiska fältet ä popotioneligt till laddningen:. Ifall elfältet ä konstant, kan den elektiska potentialen skivas som: V = d, dä d ä avståndet mellan plattona. lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 6

16 Detta betyde att också potentialen ä popotioneligt till laddningen: V. Popotionalitetskonstanten ha fått namnet C, kapacitans: C = V, [C] = C V = F (faad) (4) Olika koppa ha olika fömåga att laga laddning, så vädet på kapacitansen beo på geometin, stoleken och ämnet mellan kondensatoplattona. Vi fösöke nu beäkna hu sto kapacitansen fö två kondensatoplatto ä. Vi anta att plattonas aea ä stot och att avståndet mellan plattona ä litet, så att det elektiska fältet mellan plattona kan antas vaa konstant. Det konstanta elfältet mellan plattona ä: = σ ɛ = A ɛ dä σ ä laddningsdensiteten och ɛ ä pemittiviteten fö mediet mellan plattona. ä stoleken på laddningen i en av plattona och A ä dess aea. A A lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 6 d negin i en laddad kondensato negi kan laddas i en kondensato. negin W som behövs fö att ladda en kondensato fån laddningen q till q q ä: W = V q, dä V ä spänningen öve kondensaton då dess laddning ä q. Den totala enegin lagad i kondensaton vas slutliga laddning ä bli: W C = Z V dq = Z dä kondensatons definition: V = /C använts. q C dq = C Z qdq = 2 2C negin lagad i en kondensato kan skivas i ekvivalet fom (som likna den kinetiska enegin) xempel: (43) W C = 2 CV 2 (44) Vi ha två kondensatoplatto med aean cm 2 på avståndet mm fån vaanda i luft, ɛ luft F/m. Spänningen elle potentialen mellan plattona ä 2 V. a) Beäkna kapacitansen fö systemet b) Beäkna magnituden på laddningen i vadea plattan lektomagnetism I, Kai Nodlund Vidae ha vi att potentialen fö systemet kan skivas som en funktion av elfältet: Z V = dl = d = d A ɛ a) Kapacitansen fö systemet ä: Vi få då fån kapacitansens definition kapacitansen fö två kondensatoplatto C = V = A ɛ d = ɛ A d (42) C = ɛ A d F/m ( 4 )m 2 b) Laddningen på vadea plattan ä 3 m F = pf Kapacitansen beo i detta fall endast av aean, avståndet mellan plattona och av mediet mellan plattona. = C V F 2 V =.2 C =.2 nc xempel: Beäkna kapacitansen fö en laddad sfä med adien R. Kapacitansens definition ge C = V = = 4πɛR (45) 4πɛ R lektomagnetism I, Kai Nodlund lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 64

17 Vi kan nu uppskatta kapacitansen fö jodklotet: C jod = F/m m 7. 4 F Så en liten exta laddning = 3 C ge potentialföändingen på joden V = C V!! Med en kondensato med kapacitansen C kan man esätta C och C 2. Me geneellt få man ekvationen fö den esättande kondensaton kapacitans fö många kondensatoe i seie som: C = C C 2 C 3... (46) Kondensatoe kopplade paallellt Betakta två kondensatoe C och C 2 som ä paallellt kopplade. Potentialskillnaden V ä den samma fö båda kondensatoena, vilket ge att laddningana på vadea kondensaton bli C C2 = C V 2 = C 2 V Summan av laddningana och dämed också laddningen fö den esättande kondensaton ä: = 2, vilket ge CV = C V C 2 V C = C C 2 lektomagnetism I, Kai Nodlund lektomagnetism I, Kai Nodlund Kondensatoe kopplade i seie Vi koppla två kondensatoe C och C 2 i seie Vi se att ifall kondensatoplattan få laddningen, bli laddningen på platta 2: (laddning bevaas). 2 Vidae få då platta 3 laddningen (2 och 3 isoleade, summaladdning lika med noll), och platta 4:. Detta betyde att potentialskillnaden mellan de två kondensatoplattona bli: 3 4 C C 2 kvationen fö den esättande kondensaton fö många kondensatoe paallellt kopplade bli C = C C 2 C 3... (47) Kondensatoenas ekvatione bete sig alltså exakt mittemot de hos motstånd! V = C V 2 = C 2 Vi få att den totala potentialskillnaden bli summan av dessa: V = V V 2. Fån kapacitansens definition få vi då att C = V = V V 2 = C C 2 Detta ge att kapacitansen fö de två kondensatoena i seie ä C = C C 2 lektomagnetism I, Kai Nodlund lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 68

18 xempel: Beäkna den totala kapacitansen fö kondensatoketsen i bilden. Föst se vi att kondensatoena och 2 ä paallellt kopplade, så deas esättande kapacitans bli: C,2 = C C 2 Vidae ha vi att C,2 och C 3 ä i seie: C 4 C C2 lfältet fån de elektiska dipolena ( dip ) inne i mateialet ä i motsatt iktning till det ytte fältet och popotionellt till elfältets stolek inne i mateialet C,2,3 = C,2 C 3 = C 3 C,2 C 3 C,2 C,2 C 3 C 3 dip = χ e C,2,3 = C 3(C C 2 ) C C 2 C 3 Slutligen få vi den esättande kapacitansen fö ketsen då kondensaton C 4 och C,2,3 ä paallellt kopplade: C = C,2,3,4 = C 4 C,2,3 = C 4 C 3(C C 2 ) C C 2 C 3 dä popotionalitetsfakton χ e ä mateialets elektiska susceptibilitet och ä elfältet inne i mateialt. kvationen fö det totala elfältet inne i mateialet bli det ytte fältet tillsammans med det ine = dip = χ e = χ e dä paameten: χ e = ɛ kallas fö mateialets elativa pemittivitet elle dielektiska konstant. xpeimentellt mäkte man att kapacitansen fö en kondensato ökade, då man satte ett dielektiskt mateial mellan kondensatoplattona: C = κc, dä C ä kapacitansen i vakuum (elle luft), och popotionalitetskoefficienten κ ( > ) kallas fö dielektiska konstanten. lektomagnetism I, Kai Nodlund lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 7 XV.. Dielektiska mateial Ifall ett dielektiskt mateial med dielektiska konstanten ɛ sätts i ett ytte elektiskt fält, ges det fösvagade elfältetets stolek i ämnet av ekvationen De flesta kondensatoena ha dielektiskt mateial (plast mm.) mellan de ledande plattona. Detta fö att: Isolea de ledande plattona fån vaanda Alla isoleande mateial ha ett maximielfält som de tål, innan elektone i ämnet lösgö sig fån atomena vilka däefte lösgö mea elektone. Detta kallas fö dielektiskt sammanbott. Genom att ha dielektiskt mateial mellan plattona, i stället fö luft, kan man ha stöe elfält mellan plattona, innan sammanbottet ske. Gänsen fö dielektiskt sammanbott kallas dielektisk styka. n kondensatos kapacitans ä stöe, ju stöe det dielektiska konstanten ä, vilket betyde att man kan ladda kondensaton med mea enegi. tt dielektiskt mateial kännetecknas av att det induceas ett elfält inne i mateialet mot det ytte elfältet. Detta gö att det totala elfältet inne i mateialet ä minde än det ytte. Detta ske fö att det ytte elfältet esultea i en liten föskjutning av elektonena elativt till de positiva laddningana. lektiska dipole bli induceade i det dielektiska mateialet. Man säge att det dielektiska mateialet polaiseas. = ɛ (48) Titta vi på den elektiska flödesdensiteten D, se man att flödet fån dipolenas pluspol gå in i minuspol, och flödesdensiteten inne i det dielektiska mateialet ä lika med flödesdensiteten utanfö det. Utanfö det dielektiska ämnet ha vi: D = ɛ vilket skall vaa samma som flödesdensiteten inne i ämnet: D = ɛ = ɛ χe. Vi använde dessa likhete, fö att få ekvationen ɛ χ e = ɛ (49) Pemittiviteten fö ett ämne kan alltså ges som (ɛ = κ) ɛ = ɛ ɛ elle ɛ = κɛ (5) D lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 7 lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 72

19 Den dielektiska konstanten fö en ledae kan antas vaa oändligt sto, vilket ge att elfältet ä noll inne i ledaen. Nedan se vi exempel på den dielektiska konstanten, fö någa valda ämnen: 2 Ämne dielektiska Dielektiska konstanten ɛ elle κ stykan ( 6 V/m) Vakuum Luft.55 3 a Glas (36) 4 Destilleat Vatten 8 Metall u vilket man få = a) Insättning med gänsen = 3 MV/m ge V =.5 MV 4πɛR = V 4πɛR 2 4πɛR = V = V = R (53) 2 R b) Insättning med gänsen = 8.5 MV/m ge V = 4.25 MV a Beo på luftfuktigheten 2 Paametana fö vissa ämnen beo stakt på tempeatuen och fekvensen på det oscilleande elfältet. lektomagnetism I, Kai Nodlund lektomagnetism I, Kai Nodlund XV.2. RC ketsa Ifall den dielektiska fältstykan öveskids, ske en uladdning. Uladdningen i en gas kallas ljusbåge om den ä kontinuelig, gnista om den ä begänsad i tid och um. Åskblixta ä en fom av ljusbåga i atmosfäen. xempel. [W ikipedia:ljusbåge] Laddningen i en Van de Gaaffgeneato ä i en sfä med adien.5 m. a) Vad ä maximispänningen sfäen kan laddas upp till om den befinne sig i luft? b I modena Van de Gaaffacceleatoe används ofta en tank med svavelhexafluoid SF 6 som isolatogas. Till vilken spänning V kan sfäen laddas i SF 6? Använd som vädet fö den dielektiska stykan fö luft 3 MV/m och fö SF MV/m. nligt Gauss lag, ekvation 6, ä fältets magnitud just utanfö sfäen = medan kapacitensen fö en sfä ä, fån ekv. 45, C = V = 4πɛR 2 (5) = 4πɛR (52) 4πɛ R lektomagnetism I, Kai Nodlund Hittills ha vi endast tittat på tidsobeoende system, dä spänningana och stömmana ä konstanta hela tiden. Det fösta exemplet på tidsbeoende ketsa se vi till höge, dä vi kombinea ett motstånd med en kondensato. Vi beteckna spänningen öve kondensaton och öve motståndet med V C espektive V R. I böjan ä kontakten buten och kondensaton ä laddad V C = C V R = T iden t = Sedan sluts kontakten och en stöm böja gå genom esiston. Kondensaton böja uladdas (t>), laddningen på kondensaton minska q <, vilket ge att stömmen genom motståndet bli: I = dq dt. Spänningana öve komponentena som funktion av tiden: V C (t) = q C V R (t) = R I = R dq dt lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 76

20 Vi använde Kichhoffs anda lag, med stömmens iktning motus q C Rdq dt = vilket ä en diffeentialekvation dä laddningen q på kondensaton beo av tiden t. Vi flytta öve alla qtemena till vänste och löse diffeentialekvationen, q dq q = dt RC ln(q ) = t RC q(t) = e t RC Z q Z t dq = dt q RC «q ln(q) ln() = ln = t RC dä integationsvaiablena q and t används så att de inte ä samma som integationsgänsena. Uladdning av kondensaton som en funktion av tiden (54) I(t) = dq dt = RC e t RC (55) lektomagnetism I, Kai Nodlund Vi gö vaiabelbytet θ = C q och få vilket insätts i diffeentialekvationen: Detta ge sedan: ln(θ) = t θ = C dθ dq = dθ dt = dq dt RC θ RC dθ dt = dθ θ = dt RC konstant, dä konstanten fås fån att då tiden t =, ä ln(c q) = t RC ln(c) ln(c q) ln(c) = t RC «C q ln = t C RC «ln q C = t RC q C = e t RC lektomagnetism I, Kai Nodlund (56) Vi ita laddningen på kondensaton och stömmen dq/dt som funktion av tiden: q I /RC Kondensatons laddning som en funktion av tiden t q(t) = C( e RC ) (57) t t Nu se vi hu en kondensato laddas. V C V R I böjan ä kontakten buten och kondensaton ha ingen laddning. Sedan sluts kontakten och en stöm böja ladda kondensaton. Kichhoffs anda lag ge, då stömmen gå motsols q C Rdq dq = C q RC dt dt = lektomagnetism I, Kai Nodlund lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 8

Föreläsning 5. Linjära dielektrikum (Kap. 4.4) Elektrostatisk energi (återbesök) (Kap ) Motsvarar avsnitten 4.4, , 8.1.

Föreläsning 5. Linjära dielektrikum (Kap. 4.4) Elektrostatisk energi (återbesök) (Kap ) Motsvarar avsnitten 4.4, , 8.1. 1 Föeläsning 5 Motsvaa avsnitten 4.4, 5.1 5., 8.1.1 i Giffiths Linjäa dielektikum (Kap. 4.4) Ett dielektikum ä ett mateial dä polaisationen P induceas av ett elektiskt fält. Om det pålagda fältet inte

Läs mer

Tentamen i El- och vågrörelselära, 2014 08 28

Tentamen i El- och vågrörelselära, 2014 08 28 Tentamen i El- och vågöelseläa, 04 08 8. Beäknastolekochiktningpådetelektiskafältetipunkten(x,y) = (4,4)cm som osakas av laddningana q = Q i oigo, q = Q i punkten (x,y) = (0,4) cm och q = Q i (x,y) = (0,

Läs mer

7 Elektricitet. Laddning

7 Elektricitet. Laddning LÖSNNGSFÖSLAG Fysik: Fysik och Kapitel 7 7 Elekticitet Laddning 7. Om en positiv laddning fös mot en neutal ledae komme de i ledaen lättöliga, negativt laddade, elektonena, att attaheas av den positiva

Läs mer

XV. Elektriska fält. XV.1. Kraften mellan laddningar: Coulombs lag

XV. Elektriska fält. XV.1. Kraften mellan laddningar: Coulombs lag XV. lektriska fält För tillfället vet vi av bara fyra olika fundamentala krafter i universum. Dessa är: Gravitationskraften Bekant från mekanikenkursen Den elektromagnetiska kraften Detta kapitels ämne,

Läs mer

Angående kapacitans och induktans i luftledningar

Angående kapacitans och induktans i luftledningar Angående kapacitans och induktans i luftledninga Emilia Lalande Avdelningen fö elekticitetsläa 4 mas 2010 Hä behandlas induktans i ledninga och kapacitans mellan ledae. Figu öve alla beskivninga finns

Läs mer

Föreläsning 1. Elektrisk laddning. Coulombs lag. Motsvarar avsnitten 2.12.3 i Griths.

Föreläsning 1. Elektrisk laddning. Coulombs lag. Motsvarar avsnitten 2.12.3 i Griths. Föeläsning 1 Motsvaa avsnitten 2.12.3 i Giths. Elektisk laddning Två fundamentala begepp: källo och fält. I elektostatiken ä källan den elektiska laddningen och fältet det elektiska fältet. Två natulaga

Läs mer

UPPGIFT 1. F E. v =100m/s F B. v =100m/s B = 0,10 mt d = 0,10 m. F B = q. v. B F E = q. E

UPPGIFT 1. F E. v =100m/s F B. v =100m/s B = 0,10 mt d = 0,10 m. F B = q. v. B F E = q. E UPPGIFT 1. B 0,10 mt d 0,10 m F B q. v. B F E q. E d e + + + + + + + + + + + + + + + + + + F E F B v 100m/s E U / d - - - - - - - - - - - - - - - - - F B F E q v B q U d Magnetfältsiktning inåt anges med

Läs mer

För att bestämma virialkoefficienterna måste man först beräkna gasens partitionsfunktion då. ɛ k : gasens energitillstånd.

För att bestämma virialkoefficienterna måste man först beräkna gasens partitionsfunktion då. ɛ k : gasens energitillstånd. I. Reella gase iialkoefficientena beo av fomen på molekylenas växelvekningspotential i en eell gas. Bestämmandet av viialkoefficientena va en av den klassiska statistiska mekanikens huvuduppgifte. Fö att

Läs mer

14. Elektriska fält (sähkökenttä)

14. Elektriska fält (sähkökenttä) 14. Elektriska fält (sähkökenttä) För tillfället vet vi av bara fyra olika fundamentala krafter i universum: Gravitationskraften Elektromagnetiska kraften, detta kapitels ämne Orsaken till att elektronerna

Läs mer

Elektromagnetismens grunder I

Elektromagnetismens grunder I Elektromagnetismens grunder I 7 januari 2009, /latex/teaching/em-i/em grunder I.tex Termofysik, Kai Nordlund 2008 1 I.1. Elektriska strömmar Alla är bekanta med elektricitet, det är bara att stöpsla i

Läs mer

1 Två stationära lösningar i cylindergeometri

1 Två stationära lösningar i cylindergeometri Föeläsning 6. 1 Två stationäa lösninga i cylindegeometi Exempel 6.1 Stömning utanfö en oteande cylinde En mycket lång (oändligt lång) oteande cylinde ä nedsänkt i vatten. Rotationsaxeln ä vetikal, cylindes

Läs mer

Den geocentriska världsbilden

Den geocentriska världsbilden Den geocentiska väldsbilden Planetens Mas osition elativt fixstjänona fån /4 till / 985. Ganska komliceat! Defeent Innan Koenikus gällde va den geocentiska väldsbilden gällande. Fö att föklaa de komliceade

Läs mer

Föreläsning 7 Molekyler

Föreläsning 7 Molekyler Föeläsning 7 Molekyle Joniska bindninga Kovalenta bindninga Vibationsspektum Rotationsspektum Fyu0- Kvantfysik Kovalenta och joniska bindninga Atomena få en me stabil odning av elektonena i de yttesta

Läs mer

Sammanfattning av STATIK

Sammanfattning av STATIK Sammanfattning av STATIK Pete Schmidt IEI-ekanik, LiTH Linköpings univesitet Kaft: En kafts vekan på en kpp bestäms av kaftens stlek, iktning ch angeppspunkt P. Kaftens iktning ch angeppspunkt definiea

Läs mer

21. Boltzmanngasens fria energi

21. Boltzmanngasens fria energi 21. Boltzmanngasens fia enegi Vi vill nu bestämma idealgasens fia enegi. F = Ω + µ; Ω = P V (1) = F = P V + µ (2) Fö idealgase gälle P V = k B T så: F = [k B T µ] (3) men å anda sidan vet vi fån föa kapitlet

Läs mer

Lösningar till övningsuppgifter. Impuls och rörelsemängd

Lösningar till övningsuppgifter. Impuls och rörelsemängd Lösninga till övningsuppgifte Impuls och öelsemängd G1.p m v ge 10,4 10 3 m 13 m 800 kg Sva: 800 kg G. p 4 10 3 100 v v 35 m/s Sva: 35 m/s G3. I F t 84 0,5 Ns 1 Ns Sva: 1 Ns G4. p 900. 0 kgm/s 1,8. 10

Läs mer

LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 10. från jorden. Enligt Newtons v 2 e r. där M och m är jordens respektive F. F = mgr 2

LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 10. från jorden. Enligt Newtons v 2 e r. där M och m är jordens respektive F. F = mgr 2 LEDNINGA TILL POBLEM I KAPITEL LP Satelliten ketsa king joden oc påvekas av en enda kaft, gavitationskaften fån joden Enligt Newtons v e allänna gavitationslag ä den = G M e () v dä M oc ä jodens espektive

Läs mer

Fö. 3: Ytspänning och Vätning. Kap. 2. Gränsytor mellan: vätska gas fast fas vätska fast fas gas (mer i Fö7) fast fas fast fas (vätska vätska)

Fö. 3: Ytspänning och Vätning. Kap. 2. Gränsytor mellan: vätska gas fast fas vätska fast fas gas (mer i Fö7) fast fas fast fas (vätska vätska) Fö. 3: Ytspänning och Vätning Kap. 2. Gänsyto mellan: vätska gas fast fas vätska fast fas gas (me i Fö7) fast fas fast fas (vätska vätska) 1 Gänsytan vätska-gas (elle vätska-vätska) Resulteande kaft inåt

Läs mer

FYSIKTÄVLINGEN KVALIFICERINGS- OCH LAGTÄVLING LÖSNINGSFÖRSLAG. = fn s = fmgs 2. mv 2. s = v 2. π d är kilogrammets.

FYSIKTÄVLINGEN KVALIFICERINGS- OCH LAGTÄVLING LÖSNINGSFÖRSLAG. = fn s = fmgs 2. mv 2. s = v 2. π d är kilogrammets. FYSIKÄVINGEN KVAIFICERINGS- OCH AGÄVING 5 febuai 1998 ÖSNINGSFÖRSAG SVENSKA FYSIKERSAMFUNDE 1. Den vanliga modellen nä en kopp glide på ett undelag ä att man ha en fiktionskaft som ä popotionell mot nomalkaften

Läs mer

Temperaturmätning med resistansgivare

Temperaturmätning med resistansgivare UMEÅ UNIVESITET Tillämpad fysik och elektonik Betil Sundqvist Eik Fällman Johan Pålsson 3-1-19 ev.5 Tempeatumätning med esistansgivae Laboation S5 i Systemteknik Pesonalia: Namn: Kus: Datum: Åtelämnad

Läs mer

Tvillingcirklar. Christer Bergsten Linköpings universitet. Figur 1. Två fall av en öppen arbelos. given med diametern BC.

Tvillingcirklar. Christer Bergsten Linköpings universitet. Figur 1. Två fall av en öppen arbelos. given med diametern BC. villingcikla histe Begsten Linköpings univesitet En konfiguation av cikla som fascineat genom tidena ä den sk skomakakniven, elle abelos I denna tidskift ha den tidigae tagits upp av Bengt Ulin (005 och

Läs mer

Potentialteori Mats Persson

Potentialteori Mats Persson Föeläsning 3/0 Potentilteoi Mts Pesson Bestämning v elektiskt fält Elektosttikens ekvtione: Det elektisk fältet E bestäms v lddningsfödelningen ρ vi Guss sts E d = ρdv elle uttyckt på diffeentilfom V E

Läs mer

Storhet SI enhet Kortversion. Längd 1 meter 1 m

Storhet SI enhet Kortversion. Längd 1 meter 1 m Expeimentell metodik 1. EXPERIMENTELL METODIK Stohete, mätetal och enhete En fysikalisk stohet ä en egenskap som kan mätas elle beäknas. En stohet ä podukten av mätetal och enhet. Exempel 1. Elektonens

Läs mer

Mekanik för I, SG1109, Lösningar till problemtentamen,

Mekanik för I, SG1109, Lösningar till problemtentamen, KTH Mekanik 2010 05 28 Mekanik fö I, SG1109, Lösninga till poblemtentamen, 2010 05 28 Uppgift 1: En lätt glatt stång OA kan otea king en fix glatt led i O. Leden i O sitte på en glatt vetikal vägg. I punkten

Läs mer

r 2 Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0).

r 2 Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0). 1 Föreläsning 2 Motsvarar avsnitten 2.4 2.5 i Griffiths. Arbete och potentiell energi (Kap. 2.4) r 1 r 2 C Låt W vara det arbete som måste utföras mot ett givet elektriskt fält E, då en laddning Q flyttas

Läs mer

Vi börjar med att dela upp konen i ett antal skivor enligt figuren. Tvärsnittsareorna är då cirklar.

Vi börjar med att dela upp konen i ett antal skivor enligt figuren. Tvärsnittsareorna är då cirklar. 3.6 Rotationsvolme Skivmetoden Eempel Hu kan vi beäkna volmen av en kopp med jälp av en integal? Vi visa ett eempel med en kon dä volmen också kan beäknas med fomeln V = π 3 Vi böja med att dela upp konen

Läs mer

1 Rörelse och krafter

1 Rörelse och krafter 1 Röelse och kafte 101. Man bö da vinkelätt mot vektyget. Kaften F beäknas då genom att momentet M = F! l " F = M l Sva: 40 N = 110 0,45 N = 44 N 10. a) Maximalt moment få Ebba i de ögonblick då kaften

Läs mer

Kap.7 uppgifter ur äldre upplaga

Kap.7 uppgifter ur äldre upplaga Ka.7 ugifte u älde ulaga 99: 7. Beäkna aean innanfö s.k. asteoidkuvan jj + jyj Absolutbeloen ha till e ekt att, om unkten (a; b) kuvan, så gälle detsamma (a; b) (segelsymmeti m.a.. -aeln), ( a; b) (segelsymmeti

Läs mer

TFYA16/TEN2. Tentamen Mekanik. 29 mars :00 19:00. Tentamen består av 6 uppgifter som vardera kan ge upp till 4 poäng.

TFYA16/TEN2. Tentamen Mekanik. 29 mars :00 19:00. Tentamen består av 6 uppgifter som vardera kan ge upp till 4 poäng. Institutionen fö fysik, kei och biologi (IM) Macus Ekhol TYA16/TEN2 Tentaen Mekanik 29 as 2016 14:00 19:00 Tentaen bestå av 6 uppgifte so vadea kan ge upp till 4 poäng. Lösninga skall vaa välotiveade sat

Läs mer

x=konstant V 1 TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z = f ( x, LINEARISERING NORMALVEKTOR (NORMALRIKTNING) TILL YTAN.

x=konstant V 1 TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z = f ( x, LINEARISERING NORMALVEKTOR (NORMALRIKTNING) TILL YTAN. Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Tangentplan Linjäa appoimatione TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z LINEARISERING NORMALVEKTOR NORMALRIKTNING TILL YTAN Låt z vaa en dieentieba unktion i punkten a b

Läs mer

Repetition kapitel 21

Repetition kapitel 21 Repetition kapitel 21 Coulombs lag. Grundbulten! Definition av elektriskt fält. Fält från punktladdning När fältet är bestämt erhålls kraften ur : F qe Definition av elektrisk dipol. Moment och energi

Läs mer

sluten, ej enkel Sammanhängande område

sluten, ej enkel Sammanhängande område POTENTIALFÄLT ( =konsevativt fält). POTENTIALER. EXAKTA DIFFERENTIALER Definition A1. En kuva = ( t), och ändpunkten sammanfalle. a t b ä sluten om ( a) = ( b) dvs om statpunkten Definition A. Vi säge

Läs mer

Geometrisk optik reflektion och brytning

Geometrisk optik reflektion och brytning Geometisk optik eflektion oh bytning Geometisk optik F7 Reflektion oh bytning F8 Avbildning med linse Plana oh buktiga spegla Optiska system F9 Optiska instument Geometisk optik eflektion oh bytning Repetition:

Läs mer

Sensorer, effektorer och fysik. Grundläggande fysikaliska begrepp som är viktiga inom mättekniken

Sensorer, effektorer och fysik. Grundläggande fysikaliska begrepp som är viktiga inom mättekniken Sensorer, effektorer och fysik Grundläggande fysikaliska begrepp som är viktiga inom mättekniken Innehåll Grundläggande begrepp inom mekanik. Elektriskt fält och elektrisk potential. Gauss lag Dielektrika

Läs mer

BILDFYSIK. Laborationsinstruktioner LABORATIONSINSTRUKTIONER. Fysik för D INNEHÅLL. Laborationsregler sid 3. Experimentell metodik sid 5

BILDFYSIK. Laborationsinstruktioner LABORATIONSINSTRUKTIONER. Fysik för D INNEHÅLL. Laborationsregler sid 3. Experimentell metodik sid 5 LABORATIONSINSTRUKTIONER Laboationsinstuktione Fysik fö D BILDFYSIK INNEHÅLL Laboationsegle sid 3 Expeimentell metodik sid 5 Svängande fjäda och stava sid 17 Geometisk optik sid 21 Lunds Tekniska Högskola

Läs mer

Lösningar och svar till uppgifter för Fysik 1-15 hösten -09

Lösningar och svar till uppgifter för Fysik 1-15 hösten -09 Lösninga och sa till uppgifte fö ysik -5 hösten -09 Röelse. a) -t-diaga 0 5 0 (/s) 5 0 5 0 0 0 0 0 0 50 t (s) b) Bosstäckan ges a 0 + s t 5 /s + 0 /s 5.0 s 6.5 < 00 Rådjuet klaa sig, efteso bosstäckan

Läs mer

r r r r Innehållsförteckning Mål att sträva mot - Ur kursplanerna i matematik Namn: Datum: Klass:

r r r r Innehållsförteckning Mål att sträva mot - Ur kursplanerna i matematik Namn: Datum: Klass: Innehållsföteckning 2 Innehåll 3 Mina matematiska minnen 4 Kosod - Lodätt - Vågätt 5 Chiffe med bokstäve 6 Lika med 8 Fomel 1 10 Konsumea mea? 12 Potense 14 Omketsen 16 Lista ut mönstet 18 Vilken fom ä

Läs mer

Formelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01

Formelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01 Formelsamling Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01 Institutionen för elektro- och informationsteknik Lunds tekniska högskola Juni 014 Innehåll 1 Elstatik 1 Likström 4 3 Magnetostatik

Läs mer

3. Potentialenergi i elfält och elektrisk potential

3. Potentialenergi i elfält och elektrisk potential 3. Potentialenergi i elfält och elektrisk potential 3.1 Potentiell energi i elfält Vi betraktar en positiv testladdning som förs i närheten av en annan laddning. I det första fallet är den andra laddningen

Läs mer

Tentamen i Energilagringsteknik 7,5 hp

Tentamen i Energilagringsteknik 7,5 hp UMEÅ UNIVERSIE illämpad fysik och elektonik Las Bäckstöm Åke Fansson entamen i Enegilagingsteknik 7,5 hp Datum: -3-5, tid: 9. 5. Hjälpmedel: Kusboken: hemal Enegy Stoage - systems and applications, Dince

Läs mer

U U U. Parallellkretsen ger alltså störst ström och då störst effektutveckling i koppartråden. Lampa

U U U. Parallellkretsen ger alltså störst ström och då störst effektutveckling i koppartråden. Lampa FYSIKTÄVLINGEN KVALIFICEINGS- OCH LAGTÄVLING 6 febuai 1997 SVENSKA FYSIKESAMFNDET LÖSNINGSFÖSLAG 1. Seieketsen ge I s + Paallellketsen ge I p + / + I s I p Paallellketsen ge alltså stöst stöm och å stöst

Läs mer

=============================================== Plan: Låt π vara planet genom punkten P = ( x1,

=============================================== Plan: Låt π vara planet genom punkten P = ( x1, Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Räta linje och plan RÄTA LINJER OCH PLAN Räta linje: Låt L vaa den äta linjen genom punkten P = x, y, som ä paallell med vekton v = v, v, v ) 0. 2 3 P v Räta linjens ekvation

Läs mer

Nivåmätning Fast material Flytande material

Nivåmätning Fast material Flytande material Nivåmätning Fast mateial Flytande mateial Nivåmätning fö pocessindustin Nivåkontoll fö: Övefyllnadsskydd Batchkontoll Poduktmätning Lagekontoll Säkehetslam Skiljeyto Industie: Koss o Asfalt Olja o Gas

Läs mer

===================================================

=================================================== Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR 1 av 9 Avstånsbeäkning AVSTÅNDSBERÄKNING ( I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERAT KOORDINATSYSTEM ) Avstånet mellan två punkte Låt A = ( x1, och B = ( x, y, z ) vaa två punkte

Läs mer

Strålningsfält och fotoner. Våren 2013

Strålningsfält och fotoner. Våren 2013 Strålningsfält och fotoner Våren 2013 1. Fält i rymden Vi har lärt oss att beräkna elektriska fält utgående från laddningarna som orsakar dem Kan vi härleda nånting åt andra hållet? 2 1.1 Gauss lag Låt

Läs mer

Lösningsförslag nexus B Mekanik

Lösningsförslag nexus B Mekanik Lösningsföslag 1 Mekanik 101. Stenen falle stäckan s. s gt 9,8 1, 6 m 1,6 m Sva: 1 m 10. Vi kan använda enegipincipen: mv mgh v gh Hastigheten vid nedslaget bli då: v gh 9,85 m/s 6 m/s Sva: 6 m/s 10. a)

Läs mer

Företagens ekonomi Tillbakaräkning i SNI2007 NV0109

Företagens ekonomi Tillbakaräkning i SNI2007 NV0109 PCA/MFFM, ES/NS 2-4-29 (7) Föetagens ekonomi Tillbakaäkning i SNI27 NV9 Innehållsföteckning. Sammanfattning... 2 2. Bakgund... 2 2. Den nya näingsgensindelningen (SNI27)... 2 2.2 Föetagens ekonomi... 2

Läs mer

Föreläsning 4 1. Den andra av Maxwells ekvationer i elektrostatiken

Föreläsning 4 1. Den andra av Maxwells ekvationer i elektrostatiken Föreläsning 4 1 Potential Den andra av Maxwells ekvationer i elektrostatiken!" C E!dl = 0 eller # E = 0 innebär att E-fältet är konservativt. Det finns inga fältlinjer som bildar loopar. Alla fältlinjer

Läs mer

GRADIENT OCH RIKTNINGSDERIVATA GRADIENT. Gradienten till en funktion f = f x, x, K, innehåller alla partiella derivator: def. Viktig egenskaper:

GRADIENT OCH RIKTNINGSDERIVATA GRADIENT. Gradienten till en funktion f = f x, x, K, innehåller alla partiella derivator: def. Viktig egenskaper: Amin Haliloic: EXTRA ÖVNINGAR GadientRiktningsdeiata GRADIENT OCH RIKTNINGSDERIVATA GRADIENT Gadienten till en funktion f = f,, K, ) i en punkt P,, K, ) ä ekto som innehålle alla patiella deiato: gad def

Läs mer

Sensorer och elektronik. Grundläggande ellära

Sensorer och elektronik. Grundläggande ellära Sensorer och elektronik Grundläggande ellära Innehåll Grundläggande begrepp inom mekanik Elektriskt fält och elektrisk potential Dielektrika och kapacitans Ström och strömtäthet Ohms lag och resistans

Läs mer

Elektriska och magnetiska fält Elektromagnetiska vågor

Elektriska och magnetiska fält Elektromagnetiska vågor 1! 2! Elektriska och magnetiska fält Elektromagnetiska vågor Tommy Andersson! 3! Ämnens elektriska egenskaper härrör! från de atomer som bygger upp ämnet.! Atomerna i sin tur är uppbyggda av! en atomkärna,

Läs mer

Formelsamling till Elektromagnetisk

Formelsamling till Elektromagnetisk Formelsamling till Elektromagnetisk fältteori Lars-Göran Westerberg Avdelningen för strömningslära Luleå tekniska universitet 13 januari 2009 ammanfattning Den här formelsamlingen utgör tillsammans med

Läs mer

3.7 Energiprincipen i elfältet

3.7 Energiprincipen i elfältet 3.7 Energiprincipen i elfältet En laddning som flyttas från en punkt med lägre potential till en punkt med högre potential får även större potentialenergi. Formel (14) gav oss sambandet mellan ändring

Läs mer

Övningsuppgifter/repetition inom elektromagnetism + ljus (OBS: ej fullständig)

Övningsuppgifter/repetition inom elektromagnetism + ljus (OBS: ej fullständig) Övningsuppgifter/repetition inom elektromagnetism + ljus (OBS: ej fullständig) Elektrostatik 1. Ange Faradays lag i elektrostatiken. 2. Vad är kravet för att ett vektorfält F är konservativt? 3. En låda

Läs mer

1. q = -Q 2. q = 0 3. q = +Q 4. 0 < q < +Q

1. q = -Q 2. q = 0 3. q = +Q 4. 0 < q < +Q 2.1 Gauss lag och elektrostatiska egenskaper hos ledare (HRW 23) Faradays ishinksexperiment Elfältet E = 0 inne i en elektrostatiskt laddad ledare => Laddningen koncentrerad på ledarens yta! Elfältets

Läs mer

Elektrodynamik. Elektrostatik. 4πε. eller. F q. ekv

Elektrodynamik. Elektrostatik. 4πε. eller. F q. ekv 1 Elektrodynamik I det allmänna fallet finns det tidsberoende källor för fälten, dvs. laddningar i rörelse och tidsberoende strömmar. Fälten blir då i allmänhet tidsberoende. Vi ser då att de elektriska

Läs mer

===================================================

=================================================== min Halilovic: EXTR ÖVNINGR 1 av 8 vstånsbeäkning VSTÅNDSBERÄKNING ( I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERT KOORDINTSYSTEM ) vstånet mellan två punkte Låt = ( x1, och B = ( x, y, z) vaa två punkte i ummet

Läs mer

IF1330 Ellära KK1 LAB1 KK2 LAB2. tentamen

IF1330 Ellära KK1 LAB1 KK2 LAB2. tentamen IF33 Elläa F/Ö F/Ö4 F/Ö F/Ö5 F/Ö3 Stömketsläa Mätinstument Batteie ikstömsnät Tvåpolsatsen KK AB Mätning av U och I F/Ö6 F/Ö7 Magnetkets Kondensato Tansiente KK AB Tvåpol mät och sim F/Ö8 F/Ö9 KK3 AB3

Läs mer

Vågräta och lodräta cirkelbanor

Vågräta och lodräta cirkelbanor Vågäta och lodäta cikelbano Josefin Eiksson Sammanfattning fån boken Ego fysik 13 septembe 2012 Intoduktion Vi ska studea koklinjig öelse i två dimensione - i ett plan. Våätt plan och lodätt plan Exempel

Läs mer

Sammanfattande redovisning av rådslag/konferens om Folkbildningens framsyn

Sammanfattande redovisning av rådslag/konferens om Folkbildningens framsyn Eic Sandstöm Diekt telefon 044-781 46 29 E-post:eic.sandstom@fuuboda.se 2003-10-20 Till Folkbildningsådet Sammanfattande edovisning av ådslag/konfeens om Folkbildningens famsyn 1. Fakta om seminaiet/ådslaget

Läs mer

Tentamen ellära 92FY21 och 27

Tentamen ellära 92FY21 och 27 Tentamen ellära 92FY21 och 27 2014-06-04 kl. 8 13 Svaren anges på separat papper. Fullständiga lösningar med alla steg motiverade och beteckningar utsatta ska redovisas för att få full poäng. Poängen för

Läs mer

9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1

9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1 9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets

Läs mer

Extra övningsuppgifter

Extra övningsuppgifter Ragnhild E. Aune VT 00 TMT406 Stømning og vameoveføing gunnkus Exta övningsuppgifte.0 Vämeledning E. Vämeledningstalet k fö ett mateial vaiea med tempeatuen enligt: ln k = 0.0 T + 0.5 (W/m K) dä tempeatuen

Läs mer

Tentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar

Tentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar Tentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar Ge dina olika steg i räkningen, och förklara tydligt ditt resonemang! Ge rätt enhet när det behövs. Tillåtna

Läs mer

Inlämningsuppgifter till 21/2 2003

Inlämningsuppgifter till 21/2 2003 Inlämningsuppgifte till / 003. Föenkla µ / µ / Lena A.,9,0,7,83 Niklas E.,5,,73,8 My E. 9,3,,7,9 Sanda F. 8,33a,3,7,9. Skiv om följande uttyck utan ottecken i nämnaen: x + x 3. Skiv om utan ottecken i

Läs mer

Tentamen i ELEKTROMAGNETISM I, för W2 och ES2 (1FA514)

Tentamen i ELEKTROMAGNETISM I, för W2 och ES2 (1FA514) Uppsala universitet Institutionen för fysik och astronomi Kod: Program: Tentamen i ELEKTROMAGNETISM I, 2016-03-19 för W2 och ES2 (1FA514) Kan även skrivas av studenter på andra program där 1FA514 ingår

Läs mer

Longitudinell dynamik. Fordonsdynamik med reglering. Longitudinell dynamik: Luftmotstånd. Longitudinell dynamik: Krafter

Longitudinell dynamik. Fordonsdynamik med reglering. Longitudinell dynamik: Luftmotstånd. Longitudinell dynamik: Krafter Lonitudinell dynamik Fodonsdynamik med elein Modell med kaftjämvikt i lonitudinell led F tot = ma Jan Åslund jaasl@isy.liu.se Associate Pofesso Dept. Electical Enineein Vehicula Systems Linköpin Univesity

Läs mer

Tentamen IF1330 Ellära torsdagen den 4 juni

Tentamen IF1330 Ellära torsdagen den 4 juni entamen IF33 Elläa tosdagen den 4 juni 5 9.-3. Samtidigt gå en liknande tentamen fö IE6 välj ätt tentamen! Allmän infomation Examinato: William Sandqvist. Ansvaig läae: William Sandqvist, tel 8-79 4487

Läs mer

Vad betyder det att? E-fältet riktat åt det håll V minskar snabbast

Vad betyder det att? E-fältet riktat åt det håll V minskar snabbast , V Vad betyder det att V? -fältet riktat åt det håll V minskar snabbast dv Om -fältet endast beror av x blir det enkelt: xˆ dx Om V är konstant i ett område är där. konst. V -x x Om är homogent så ges

Läs mer

Strålningsfält och fotoner. Kapitel 23: Faradays lag

Strålningsfält och fotoner. Kapitel 23: Faradays lag Strålningsfält och fotoner Kapitel 23: Faradays lag Faradays lag Tidsvarierande magnetiska fält inducerar elektriska fält, eller elektrisk spänning i en krets. Om strömmen genom en solenoid ökar, ökar

Läs mer

Materiens Struktur. Lösningar

Materiens Struktur. Lösningar Materiens Struktur Räkneövning 3 Lösningar 1. Studera och begrunda den teoretiska förklaringen till supralednigen så, att du kan föra en diskussion om denna på övningen. Skriv även ner huvudpunkterna som

Läs mer

Specifik ångbildningsentalpi (kj/kg) 10 0.012271 2477 20 0.023368 2453 30 0.042418 2406 40 0.073750 2592 10p. (bar)

Specifik ångbildningsentalpi (kj/kg) 10 0.012271 2477 20 0.023368 2453 30 0.042418 2406 40 0.073750 2592 10p. (bar) B yckfalle öve e ösysem som anspoea olja 60 km ä 6. a. e fösa 0 km anspoeas oljan i en pipeline och efe 0 km dela oljan sig i vå paallella pipelines, se figu. Röens diamee ä 0. m och oljans viskosie ä

Läs mer

Ergo Fysik 2 Lösningar till Ergo Fysik 2, 47-10672-1, kp 1-8

Ergo Fysik 2 Lösningar till Ergo Fysik 2, 47-10672-1, kp 1-8 Ego Fysik Lösninga till Ego Fysik, 47-067-, kp - Tyckfel (fösta tyckningen) Sida Va Stå Skall stå Exepel ad 4,6 0 9 J,6 0 9 J 40 Exepel ad 5 600,5 N 500 N 600,5 N 500 N 4 Rad 5-6 centalkaft centipetalkaft

Läs mer

Lösningar till övningsuppgifter centralrörelse och Magnetism

Lösningar till övningsuppgifter centralrörelse och Magnetism Lösninga till öningsuppgifte centalöelse ch Magnetism Centalöelse G1 Centipetalacceleatinen a = = 5, m/s = 15,9 m/s 1,7 Sa: 16 m/s G4 (3,5 10 3 ) c 0,045 a m/s =,7 10 8 m/s Sa:,7 10 8 m/s 50 G7 = 50 km/h

Läs mer

Omtentamen i IF1330 Ellära torsdagen den 22 augusti

Omtentamen i IF1330 Ellära torsdagen den 22 augusti Omtentamen i F33 Elläa tosdagen den augusti 3 9.-3. Allmän infomation Examinato: William Sandqvist. Ansvaig läae: William Sandqvist, tel 8-79 4487 (Campus Kista), entamensuppgiftena behöve inte åtelämnas

Läs mer

Kartläggning av brandrisker

Kartläggning av brandrisker Bandskyddsbeskivning v4.3 y:\1132 geby 14 mfl\dokumentation\1132 pt 199.doc Katläggning av bandiske : Revidead: - Uppdagsansvaig: Håkan Rönnqvist - Bandingenjö : - Bandingenjö Kungsgatan 48 B 411 15 Götebog

Läs mer

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Linköpings Universitet IFM Mats Fahlman Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Onsdagen 30/3 06, kl 08:00-:00 Hjälpmedel: Avprogrammerad miniräknare, formelsamling (bifogad) Råd och regler Lösningsblad:

Läs mer

Solenergi. Clearline. en introduktion. Solenergi. Solenergi En introduktion (v1.0) Warm-Ec Scandinavia AB Box 110 671 23 Arvika

Solenergi. Clearline. en introduktion. Solenergi. Solenergi En introduktion (v1.0) Warm-Ec Scandinavia AB Box 110 671 23 Arvika En intoduktion (v1.0) en intoduktion En intoduktion (v1.0) Innehåll 1.0 Olika fome av solenegi... 3 1.1 Passiv solinvekan...3 1.2 Solfångae...3 1.3 Solcelle...3 1.4 Koncentation av solljuset...4 2.0 Hu

Läs mer

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Linköpings Universitet IFM Mats Fahlman Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Tisdagen 1/1 016, kl 14:00-18:00 Hjälpmedel: Avprogrammerad miniräknare, formelsamling (bifogad) Råd och regler Lösningsblad:

Läs mer

Tentamen i EJ1200 Eleffektsystem, 6 hp

Tentamen i EJ1200 Eleffektsystem, 6 hp Elekto- och yteteknik Elektika akine och effektelektonik Stefan Ötlund 7745 Tentaen i EJ Eleffektyte, 6 hp Den juni, 4.-9. Räknedoa, foelaling och ateatik handbok (eta) få använda. Tentaen kan ge axialt

Läs mer

Omtentamen IF1330 Ellära tisdagen den 18 augusti

Omtentamen IF1330 Ellära tisdagen den 18 augusti Omtentamen IF33 Elläa tisdagen den 8 augusti 5 9.-3. Samtidigt gå en liknande tentamen fö IE6 välj ätt tentamen! Allmän infomation Examinato: William Sandqvist. Ansvaig läae: William Sandqvist, tel 8-79

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004 TEN

TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004 TEN TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF004 TEN 0-0-7 Hjälpmedel: Fomelsamlig med tabelle i statistik oc äkedosa Fullstädiga lösiga efodas till samtliga uppgifte. Lösigaa skall vaa väl motiveade

Läs mer

Ditt nya drömboende finns här. I Nykvarn. 72 toppmoderna hyresrätter 1-4 rum och kök i kv. Karaffen.

Ditt nya drömboende finns här. I Nykvarn. 72 toppmoderna hyresrätter 1-4 rum och kök i kv. Karaffen. Ditt nya dömboende finns hä. I Nykvan. 72 toppmodena hyesätte 1-4 um och kök i kv. Kaaffen. Fötätning i centalt läge. Kaaffen bestå av två punkthus om sex våninga samt två tevånings vinkelhus, samtliga

Läs mer

FK Elektromagnetism och vågor, Fysikum, Stockholms Universitet Tentamensskrivning, måndag 21 mars 2016, kl 9:00-14:00

FK Elektromagnetism och vågor, Fysikum, Stockholms Universitet Tentamensskrivning, måndag 21 mars 2016, kl 9:00-14:00 FK5019 - Elektromagnetism och vågor, Fysikum, Stockholms Universitet Tentamensskrivning, måndag 21 mars 2016, kl 9:00-14:00 Läs noggrant igenom hela tentan först Tentan består av 5 olika uppgifter med

Läs mer

Införa begreppen ström, strömtäthet och resistans Ohms lag Tillämpningar på enkla kretsar Energi och effekt i kretsar

Införa begreppen ström, strömtäthet och resistans Ohms lag Tillämpningar på enkla kretsar Energi och effekt i kretsar Kapitel: 25 Ström, motstånd och emf (Nu lämnar vi elektrostatiken) Visa under vilka villkor det kan finnas E-fält i ledare Införa begreppet emf (electromotoric force) Beskriva laddningars rörelse i ledare

Läs mer

Finansiell ekonomi Föreläsning 2

Finansiell ekonomi Föreläsning 2 Fiasiell ekoomi Föeläsig 2 Fö alla ivesteigsbeslut gälle: Om ytta > Kostad Geomfö ivesteige Om Kostad > ytta Geomfö ite ivesteige Gemesam ehet = pega Vädeig = makadspis om sådat existea (jf. vädet av tid

Läs mer

Vi kan printlösningar

Vi kan printlösningar Pintlösninga Vi kan pintlösninga l en l i t n e Väg e a t a sm iljö m a v i sk UTMANINGARNA Fågona hopa sig fö dig som ansvaa fö pint Va femte skivae som säljs i Sveige komme fån Dustin. Vi ä väl medvetna

Läs mer

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Linköpings Universitet IFM Mats Fahlman Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Måndagen /8 016, kl 08:00-1:00 Hjälpmedel: Avprogrammerad miniräknare, formelsamling (bifogad) Råd och regler Lösningsblad:

Läs mer

Ta ett nytt grepp om verksamheten

Ta ett nytt grepp om verksamheten s- IT ä f f A tem, sys knik & Te Ta ett nytt gepp om veksamheten Vå övetygelse ä att alla föetag kan bli me lönsamma, me effektiva och me välmående genom att ha ätt veksamhetsstöd. Poclient AB gundades

Läs mer

ing. Hösten 2013 konsoliderades även en del nya flöden in till Göteborg. Flytten av delar av lagerverksamheten

ing. Hösten 2013 konsoliderades även en del nya flöden in till Göteborg. Flytten av delar av lagerverksamheten Byggmax miljöappot Inledning Unde 2009 påböjade Byggmax sitt miljöabete genom att skapa en miljöpolicy med miljömål. Som en följd av detta policyabete ha en miljöappot uppättats och ett kontinueligt föbättingsabete

Läs mer

3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika

3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika [RMC] 3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika Eftersom de minsta beståndsdelarna i ett dielektrikum är molekyler kan man definiera ett molekylärt dipolmoment Nu gäller p m = mol dqr (3.3)

Läs mer

ETE115 Ellära och elektronik, tentamen oktober 2006

ETE115 Ellära och elektronik, tentamen oktober 2006 (2) 9 oktober 2006 Institutionen för elektrovetenskap Daniel Sjöberg ETE5 Ellära och elektronik, tentamen oktober 2006 Tillåtna hjälpmedel: formelsamling i kretsteori. Observera att uppgifterna inte är

Läs mer

3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika

3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika 3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika [RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.1 3.1. Dielektrika Ett perfekt dielektrikum (isolator) är ett material som inte innehåller några fria

Läs mer

Tentamen i : Vågor,plasmor och antenner. Totala antalet uppgifter: 6 Datum:

Tentamen i : Vågor,plasmor och antenner. Totala antalet uppgifter: 6 Datum: Tentamen i : Vågor,plasmor och antenner Kurs: MTF108 Totala antalet uppgifter: 6 Datum: 2006-05-27 Examinator/Tfn: Hans Åkerstedt/491280/Åke Wisten070/5597072 Skrivtid: 9.00-15.00 Jourhavande lärare/tfn:

Läs mer

Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.

Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg. Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2010 Vecka 2 Komplexa fourierserier 1. Fourierkomponenterna ges av dvs vi har fourierserien f(t) = π 2 + 1 π n 0 { π n = 0 c n = 2 ( 1) n

Läs mer

1(5) & nt s. MrLJösÄKRtNG INNENALLER. MILJöPOLICY. och. ARBETSMILJöPOLIGY. K:\Mallar

1(5) & nt s. MrLJösÄKRtNG INNENALLER. MILJöPOLICY. och. ARBETSMILJöPOLIGY. K:\Mallar 1(5) & nt s MLJösÄKRtNG INNENALLER MILJöPOLICY ch ARBETSMILJöPOLIGY K:\Malla MILJOPOLICY 2(5) # nt s Denna miljöplicy gälle Elcente. Syfte Elcente ska följa aktuell miljölagstiftning, egle, kav ch nme

Läs mer

NU-SJUKVÅRDEN. EN ÖVERGRIPANDE RISKBEDÖMNING ANVÄNDBAR UR SÅVÄL REVISIONS- SOM LEDNINGSPERSPEKTIV Granskning ur ett ledningsperspektiv

NU-SJUKVÅRDEN. EN ÖVERGRIPANDE RISKBEDÖMNING ANVÄNDBAR UR SÅVÄL REVISIONS- SOM LEDNINGSPERSPEKTIV Granskning ur ett ledningsperspektiv NU-SJUKVÅRDEN EN ÖVERGRIPANDE RISKBEDÖMNING ANVÄNDBAR UR SÅVÄL REVISIONS- SOM LEDNINGSPERSPEKTIV Ganskning u ett ledningspespektiv Ganskning genomföd på uppdag av Västa Götalandsegionens evisoe Vilhelm

Läs mer

Att gnida glas med kattskinn gör att glaset blir positivt laddat och att gnida plast med kattskinn ger negativ laddning på plasten.

Att gnida glas med kattskinn gör att glaset blir positivt laddat och att gnida plast med kattskinn ger negativ laddning på plasten. Experiment 1: Visa att det finns laddningar, att de kan ha olika tecken, samma laddning repellera varandra, olika laddning attrahera varandra. Visa att det finns elektriska fält. Material: Två plaststavar,

Läs mer

Mekanik FK2002m. Kinetisk energi och arbete

Mekanik FK2002m. Kinetisk energi och arbete Mekanik FK2002m Föreläsning 6 Kinetisk energi och arbete 2013-09-11 Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 6 Introduktion Idag ska vi börja prata om energi. - Kinetisk energi - Arbete Nästa gång

Läs mer

Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007

Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007 1 Institutionen för elektrovetenskap Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007 Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori arje uppgift ger 10 poäng. Delbetyget

Läs mer