Finansmatematik II Kapitel 4 Tillväxt och risk

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Finansmatematik II Kapitel 4 Tillväxt och risk"

Transkript

1 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd för Matematisk statistik Thmas Höglund Versin Finansmatematik II Kapitel 4 Tillväxt ch risk

2 2 Finansmatematik II Man går inte in på aktiemarknaden för att minimera risken utan, kanske, för att maximera tillväxten Vi ska i detta kapitel börja med att maximera avkastningen på en given risknivå eller, ekvivalent, att minimera variansen givet den förväntade avkastningen För att göra detta måste vi ha en uppfattning m aktiernas förväntade avkastningar Vi har sett i Kapitel 2 att skatta dessa enbart utifrån kurshistriken ger mycket säkra skattningar Är det då någn mening med att försöka? Jag trr det För det första finns det andra metder att skatta avkastningen Man kan ta del av företagsanalyser ch bilda sig en uppfattning m det makreknmiska läget För det andra behöver vi inte veta avkastningarna utan endast de ptimala prtföljernas vikter ch dessa vikter har en viss tlerans mt felgissningar För det tredje ger en eknmisk teri (CAPM) en viss vägledning Dessutm kmmer vi att få vissa insikter av kvalitativ natur 1 Avkastning-risk planet Betrakta en prtfölj sm består av två aktier Låt v 1 ch v 2 respektive r 1 ch r 2 beteckna de två aktiernas vikter respektive förväntade avkastningar under en tidsperid av viss längd, en dag tex Prtföljens avkastning får då väntevärdet ch variansen r = r 1 v 1 + r 2 v 2 σ 2 = σ 2 1v σ 1,2 v 1 v 2 + σ 2 2v 2 2 Övning 1 Visa att v 1 = r r 2 r 1 r 2 ch v 2 = r 1 r r 1 r 2 Sätt in dessa i uttrycket för variansen Resultatet blir att variansen är ett andragradsplynm i r Minimum för detta är σ 2 ch detta minimum antas då r = r, minimivariansprtföljens förväntade avkastning Det följer att σ 2 = σ 2 ( 1 + (r r ) 2 τ 2 ), där τ 2 > 0 är en knstant vi senare ska bestämma Andragradskurvr av denna typ kallas hyperblar ch kurvans utseende framgår av Figur 1, där σ är plttad sm funktin av r Ringarna markerar de två aktiernas avkastningar ch vlatiliteter Kurvstycket mellan ringarna ges av prtföljer med psitiva vikter I fallet med prtföljer med minst tre aktier blir det möjliga mrådet tvådimensinellt Figur 2 visar fallet med tre aktier Det möjliga mrådet är samtliga punkter på ch vanför den heldragna kurvan, förutsatt att negativa vikter är tillåtna I annat fall sammanfaller det med det prickade mrådet De streckade kurvrna visar vilka värden sm är möjliga att uppnå genm att kmbinera två av de tre aktierna De prtföljer sm för givna förväntade avkastningar har lägst vlatilitet (risk) återfinns alltså på den heldragna kurvan Krysset mtsvaras av minimivariansprtföljen Den del av kurvan sm ligger till höger m (eller på) krysset kallas den effektiva frnten

3 Tillväxt ch risk Figur 1: Det möjliga mrådet i fallet med två aktier x Figur 2: Det möjliga mrådet i fallet med tre aktier

4 4 Finansmatematik II 2 Den effektiva frnten Låt r = (r 1,, r m ) beteckna tillgångarnas förväntade avkastningar Prtföljen har då den förväntade avkastningen r v = r 1 v r m v m Vi ska här minimera variansen för prtföljens avkastning under de två bivillkren 1 v = 1, r v = r, där r är ett givet tal Om alla kmpnenter i r är lika så reduceras prblemet till att bestämma minimivariansprtföljen vilket vi redan gjrt Antag därför att kmpnenterna ej alla är lika Lagranges multiplikatrmetd ger ekvatinerna σ i,j v j = λ 1 + λ 2 r i, i = 1,, m, v j = 1, r j v j = r j j j Övning 2 Lös systemet då r = (01, 02, 03) ch Q = Ekvatinssystemet kan även skrivas Qv = λ λ 2 r, 1 v = 1, r v = r Vi får v = λ 1 Q λ 2 Q 1 r För att denna lösning ska uppfylla bivillkren så måste där λ 1 a + λ 2 b = 1 ch λ 1 b + λ 2 c = r, a = 1 Q 1 1, b = 1 Q 1 r = r Q 1 1, c = r Q 1 r Övning 3 Sätt = ac b 2 Visa att a) a > 0, c > 0 ch > 0 b) λ 1 = (c br)/, λ 2 = ( b + ar)/ Låt beteckna prtföljens varians Då σ 2 (r) = min v {v Qv 1 v = 1, r v = r} σ 2 (r) = v Qv = (λ 1 Q λ 2 Q 1 r) (λ λ 2 r) = λ 2 1a + 2λ 1 λ 2 b + λ 2 2c

5 Tillväxt ch risk 5 Övning 4 Visa att a) b) σ 2 (r) = ar2 2br + c σ 2 (r) = 1 a ( 1 + a 2 (r b a )2) Vi vet redan att 1 a = σ2, minimivariansen Låt r = b/a beteckna minimivariansprtföljens förväntade avkastning Den tredje parametern ska vi kalla τ 2 : τ 2 = a 2 τ är ett mått på spridningen av r 1,, r m Övning 5 Visa att τ 2 = (r r 1) P (r r 1) Prtföljens vikter ges av v(r) = λ 1 Q λ 2 Q 1 r = (c br)q ( b + ar)q 1 r Övning 6 Visa att v(r) = P 1 + r r τ P (r r 1) τ Sammanfattning: Den effektiva frnten utgörs av kurvan (r, σ(r)), r r Här är σ 2 (r) = σ 2 ( (r r ) 2 ) 1 +, τ 2 r = 1 P r, τ 2 = r P r r 2 = (r r 1) P (r r 1) Vikterna till prtföljen med förväntad avkastning r ch varians σ 2 (r) är sm i Övning 6 Övning 7 Visa att m avkastningarna är krrelerade σ i,j = 0 för i j, så r = r j p j, τ 2 = (r j r ) 2 p j, v i (r) = p i ( 1 + (r r )(r i r ) τ 2 ), där p i = σ 2 /σ2 i är minimvariansprtföljens vikter

6 6 Finansmatematik II Det framgår att minimivariansprtföljen har psitiva vikter men att v i < 0 för de i för vilka r i < r m r är tillräckligt str Övning 8 Beräkna de ptimala prtföljerna då r = (01, 02, 03) ch Q = Vikterna har frmen ch därför gäller v(r) = v(0) + rv Tvåfndsatsen: v(αr + (1 α)r ) = αv(r ) + (1 α)v(r ) Denna identitet innebär att varje prtfölj på den effektiva frnten är en linjärkmbinatin av två givna prtföljer på den effektiva frnten Detta resultat gäller i allmänhet inte m negativa vikter ej är tilllåtna 3 Stabilitet hs ptimala prtföljer Vi ska här undersöka hur pass känslig den effektiva frnten är för felgissningar av aktiernas förväntade avkastningar Betrakta därför två prtföljer på den effektiva frnten med samma kvariansmatris ch samma vlatilitet, σ, men där aktierna har lika förväntade avkastningar, r ch r Låt r ch r beteckna de två prtföljernas förväntade avkastningar Övning 9 Visa att båda prtföljerna har variansen σ 2 m ch endast m σ 2 r r τ = r r τ = κ, där κ = σ 2 1 Låt v ch v beteckna prtföljernas vikter Då är ch mtsvarande för v Vi har alltså v = v + κ P (r r 1) τ där v v = κp d d i = r i r τ för i = 1,, m Det följer att v i = 1,, m r i r τ = v m ch endast m r i r τ = ri r τ för

7 Tillväxt ch risk 7 Övning 10 Visa att v = v m ch endast m det finns tal a > 0 ch b så att r i = ar i + b för i = 1,, m Övning 11 Låt r = (005, 010, 030) ch Q = Beräkna v v sm funktin av σ i följande två fall a) r = (030, 010, 005) b) r = ( 075, 050, +050) Exempel 1 (FEM AKTIER) I Tabell 1 ges vlatilitet, tillväxt ch mmentan avkastning per år under Perid 1-3 Tabell 1 AZN LME HM SDIA SKA vlatilitet avkastning tillväxt Här kan man möjligen urskilja två grupper: En med måttlig avkastning (ch låg vlatilitet); AstraZeneca ch Skanska En med hög avkastning (ch högre vlatilitet); Ericssn, HM ch Skandia Med tanke på hur säkra skattningarna av avkastningen är kan det vara rimligt att anta att båda aktierna i den första gruppen har avkastningen r 1 ch alla tre i den andra avkastningen r 2, där r 1 < r 2 Eftersm systemet r 1 = a 0 + b, r 2 = a 1 + b har en lösning med a > 0 blir prtföljvikterna desamma m vi sätter r 1 = 0 ch r 2 = 1 Vikterna blir (035, 001, 017, 0, 047) + κ( 040, 016, 049, 032, 057) Den högsta risknivån sm inte ger negativa vikter är σ = 029 I detta fall blir vikterna (002, 014, 058, 027, 0) Denna prtföljs utveckling under Perid 4 är plttad i Figur 3 tillsammans med minimivariansprtföljen Efter att ha varit uppe i 191 dag 90 var prtföljens värde 122 dag 256 vilket är marginellt över minimivariansprtföljens värde, 120 Tabell 2 är mtsvarigheten till Tabell 1 för Perid 4 Tabell 2 AZN LME HM SDIA SKA vlatilitet avkastning tillväxt Mönstret med en lågvlatil ch en högvlatil grupp består Vad sm främst skiljer de två periderna är tillväxten i HM

8 8 Finansmatematik II 2 18 risk= risk= Figur 3: Utveckling av den ptimala prtfölj sm har beräknad vlatilitet Tangentprtföljen Vi ska här utvidga prtföljen med en kassa Pengar i kassan förräntar sig med räntan r f sm i det krta perspektivet kan anses vara knstant (ch därmed ha vlatiliteten 0) Räntan berr däremt i allmänhet på m kassan är psitiv eller negativ Dvs m man lånar ut eller in Den prtfölj sm lägger vikten α i en aktieprtfölj sm har förväntad avkastning r ch vlatilitet σ ch resten, 1 α, i kassan har förväntad avkastning ch vlatilitet (1 α)r f + αr respektive α σ Om man varierar α 0, så får man en rät linje sm går genm punkterna (r f, 0) ch (r, σ) i avkastning-risk planet Prtföljerna på tangentlinjen i Figur 4 är de sm har lägst risk för given förväntad avkastning I denna figur sm är baserad på exempelprtföljen har data från Perid 1-4 använts De förväntade avkastningarna har skattats med hjälp av CAPM-identiteten (i Kapitel 5) Det punktade mrådet svarar mt prtföljer med psitiva vikter Den aktieprtfölj vars avkastning ch vlatilitet ligger i tangeringspunkten, T, kallas tangentprtföljen eller Markwitz prtföljen Kassan gör alltså att den effektiva frnten blir en rät linje (i fallet då ut ch inlåningsräntrna är lika) ch varje ptimal prtfölj har en del i tangentprtföljen ch resten i kassan Detta resultat kallas enfndsatsen ch gäller (till skillnad från tvåfndsatsen) även i fallet då negativa vikter ej är tillåtna Övning 12 Hur ser den effektiva frnten ut m din utlåningsränta är lägre än inlåningsräntan? Låt (r T, σ T ) vara en punkt på den effektiva frnten;

9 Tillväxt ch risk 9 05 SDIA LME 045 HM AZN SKA T Figur 4: Kassans inverkan på den effektiva frnten σt 2 = ( (r T r ) 2 ) σ2 1 + τ 2 Tangentlinjen genm denna punkt ges av där σ = σ T + k(r r T ), k = dσ dr Derivering av båda sidrna i ekvatinen för den effektiva frnten ger vilket ger 2σ dσ dr = σ2 2r r τ 2, k = σ2 τ 2 r T r σ T Tangentlinjen skär alltså r axeln i punkten (r f, 0), där r f = r T τ 2 σ 2 σ 2 T r T r Övning 13 Visa att r f = r τ 2 r T r, dvs (r T r )(r r f ) = τ 2

10 10 Finansmatematik II Den första identiteten visar att r f varierar mellan ch r då r T varierar mellan r ch Tangentprtföljen existerar alltså endast m r f < r Ovanstående identiteter visar även att vi kan parametrisera tangentprtföljen med räntan, r f, i stället för den förväntade avkastningen, r T (Dvs med en tänkt ränta sm kan varieras) Övning 14 Visa att m r f < r, så a) σt 2 = σ 2 q 2 (r r f ) 2 där q = τ 2 + (r r f ) 2 b) v T = P (r r f 1) r r f Här ch i frtsättningen står σ 2 T ch v T för tangentprtföljens varians respektive vikter Observera att tangentprtföljen överensstämmer med minimivariansprtföljen då r = r 1 Övning 15 Visa att m avkastningarna är krrelerade, så har tangentprtföljen vikterna v i = σ2 σ 2 i r i r f r r f Observera att vid beräkning av vikterna räcker det att beräkna w i = ri r f σ 2 i ch sedan sätta v i = w i /(w w m ) Övning 16 Beräkna vikterna i tangentprtföljen då r = (005, 010, 020) ch Q = i de två fallen r f = 005 ch r f = 010 Övning 17 Beräkna vikterna i tangentprtföljen då r ch Q är sm i Övning 8 ch räntan är r f Vilket villkr ska räntan uppfylla för att tangentprtföljen ska vara definierad? Övning 18 Antag att avkastningarna har gemensam krrelatin, ρ i,j = ρ Visa att tangentprtföljen har vikterna där v i = C σ i (r i r f σ i κ m j=1 r j r f σ i ),

11 Tillväxt ch risk 11 C = ch κ är sm i Övning 12 b i Kapitel 3 σ 2 (1 ρ)(r r f ) Övning 19 Beräkna tangentprtföljens vikter då r = (01, 0, 1, 04), σ 1 = 04, σ 2 = 05, σ 3 = 06, ρ i,j = 04, för alla i, j ch r f = 005 Övning 20 Visa att den effektiva frnten utgörs av linjen σ = r r f σ q Övning 21 Låt α beteckna vikten av tangentprtföljen i den ptimala prtfölj vars avkastning ch vlatilitet är sm i Övning 20 Visa att α = r r f q r r f q = r r f q σ σ = σ σ T Tangentprtföljens vikter beräknas med hjälp av talen r 1 r f, r m r f vilka behöver skattas Låt r 1 r f, r m r f beteckna skattningarna ch att dessa ger vikterna v T Felet blir då v T v T = P ( r r f 1 r r f r r f 1 r r f ) Nästa övning visar på vilket sätt skattningarna kan avvika utan att vikterna påverkas Övning 22 Visa att v T = v T m ch endast m det finns ett tal a > 0 sådant att r k r f = a(r k r f ) för k = 1,, m Vi vet från Kapitel 2 att förväntade avkastningar skattade med histriska avkastningar har låg precisin Vi ska nu återigen knstatera detta Tangentprtföljens vikter för våra fem aktier skattade med hjälp av histriska avkastningar under de lika periderna framgår av följande tabell Tabell 3 AZN LME HM SDIA SKA Perid Perid Perid Perid Perid Perid Perid

12 12 Finansmatematik II Definiera d bs på mtsvarande sätt sm för minimivariansprtföljen i Kapitel 3 Detta är alltså ett mått på det bserverade medelfelet i skattningarna av vikterna I nedanstående tabell ges dessa avstånd för ett antal lika peridlängder Tabell 4 Peridlängd Antal perider d bs Jämför med minimivariansprtföljen (Tabell 4 i Kapitel 3) Det skulle alltså krävas bservatiner under många år för att få stabila skattningar Om vi inte kan skatta tangentprtföljens vikter, så faller hela den kvantitativa delen av detta kapitel brt ch kvar blir endast den kvalitativa Att bestämma tangentprtföljens vikter är därför prtföljvalsterins huvudprblem En metd sm förhppningsvis är bättre är att skatta den framtida avkastningen med hjälp av gissningar från ett antal aktieanalytiker Denna metd föreslås av Markwitz Kanske är det så att de förväntningar sm dessa gissningar ger upphv till avspeglar sig i kurshistriken Vi ska i nästa kapitel göra ett försök att indirekt mäta avkastningen Sammanfattning:Tangentprtföljen existerar endast m r f < r Den kan parametriseras med räntan, r f, i stället för den förväntade avkastningen, r T Identiteterna i övningarna 13 ch 14 gäller Om man har en riskfri tillgång med avkastning r f så är den effektiva frnten linjen i Övning 20 Den ptimala prtföljen med förväntad avkastning r r f har vikten α i tangentprtföljen ch resten i den riskfria tillgången Här är α sm i Övning 21 Skattningar av tangentprtföljens vikter baserade på histriska avkastningar är instabila 5 Tillväxtprtföljerna I detta avsnitt ska vi bestämma den prtfölj sm har störst tillväxt av alla prtföljer sm består de m aktierna ch en riskfri tillgång Vi ska anta (se Tabell 4 i Kapitel 2) att tillväxten per år, ν, ges av ν = r 1 2 σ2 Här är r den mmentana avkastningen mräknad till årstakt (tex dagsavkastningen multiplicerad med 250) Den prtfölj sm har vikterna v 1,, v m i de lika aktierna ch resten, 1 v 1 v m i kassan har tillväxten r f (1 v 1 v m )+r 1 v 1 ++r m v m 1 2 Detta uttryck maximeras då m 1 m σ i,j v 1 v j = r f +(r r f 1) v 1 2 v Qv 1

13 Tillväxt ch risk 13 r r f 1 Qv = 0 dvs v = Q 1 (r r f 1) Den prtfölj sm har maximal tillväxt erhålls alltså genm att lägga vikten i tangentprtföljen ch resten i kassan Övning 23 Visa att α = r r f σ 2 r r f σ 2 = r T r f σ 2 T Man kan få högre tillväxt än aktiemarknaden genm att inte vara fullinvesterad i aktier utan ha en del i kassan, även m aktiemarknaden har högre förväntad tillväxt än räntan Anledningen är att man flyttar pengar från aktier till kassan då värdet av aktieprtföljen ökat mer än kassan -ch mvänt Man utnyttjar alltså vlatiliteten Den maximala tillväxtprtföljen behöver alltså balanseras m då ch då Antag att prtföljen balanseras m vid tidpunkterna t 0 < t 1 < Prtföljens värde vid t n är då P (t n ) = P (t 0 )Π n ( m i=1 1 + v i R i (t k 1, t k ) ) (Se Övning 10 i Kapitel 3) Här är v 0 = 1 v 1 v m vikten av kassan ch i=0 kassans avkastning R 0 (t k 1, t k ) = e r f (t k t k 1 ) 1 Sats 1 Antag att aktierna utvecklas enligt Mdell B Den kntinuerligt mviktade maximala tillväxtprtföljen har vikten α = r r f σ i tangentprtföljen ch 2 resten i kassan Prtföljens värde vid t är Här är P (t) = P (0)e tl e r f tv 0 ( S 1(t) S 1 (0) )v1 ( S m(t) S m (0) )vm, v = Q 1 (r r f 1), v 0 = 1 v 1 v m ch L = 1 m 2 ( v j σ j,j V ) där V = (r r f 1) Q 1 (r r f 1) j=1 Speciellt gäller att ln(p (t)/p (0)) är nrmalfördelad med väntevärde (r f + 1 2V )t ch varians V t Bevis Låt S 0 (t) beteckna värdet av kassan vid tiden t Den m + 1 dimensinella stkastiska prcessen (S 0 (t), S 1 (t),, S m (t)) utvecklas då enligt Mdell B

14 14 Finansmatematik II eftersm ln(s 0 (t)/s 0 (0) kan betraktas sm nrmalfördelad med väntevärde r f ch varians 0 Sätt v 0 = (1 v 1 v m, v 1,, v m ), r 0 = (r f, r 1,, r m ) ch låt Q 0 stå för kvariansmatrisen för (ln S 0 (1), ln S 1 (1),, ln S m (1)) Satsen följer nu av Sats 2 i Kapitel 3 L = 1 m 2 ( v 0 (j)σ j,j V ) där V = v 0 Q 0 v 0 = v Qv = (r r f 1) Q 1 (r r f 1) j=0 Speciellt gäller att ln(p (t)/p (0)) är nrmalfördelad med varians V t ch väntevärde (r 0 v v 0 Q 0 v 0 )t = (r f + (r r f 1) v V )t = (r f 1 2 V )t Man kan ckså lägga restriktiner på prtföljens vlatilitet för att minska risken Övning 24 a) Visa att den prtfölj sm maximerar tillväxten under bivillkret v Qv = σ 2 har vikten σ V α i tangentprtföljen ch resten i kassan b) Visa även att den förväntade tillväxten per år är r f + σ V σ2 2 = r f V 1 2 (σ V ) 2 Kassan kan vara negativ - man kan låna pengar med aktierna sm säkerhet Nrmalt kan aktier på Stckhlmsbörsens A-lista belånas till 70% ch på O- listan till 50% (ch bligatiner till 90%) av sitt värde Om man trr på en stark börsutveckling ch vill ha maximal tillväxt ska man alltså belåna prtföljen maximalt Låt b i vara 07 eller 05 berende vilken lista aktie i tillhör ch sätt b = (b 1,, b m ) Antag att aktieprtföljens vikt är a > 1 ch alltså att kassan är (a 1) Prtföljens belåningsvärde är b v Detta ger begränsningen a 1 b v dvs a 1 1 b w, där w = v/a ch alltså w w m = 1 Denna övre gräns för aktievikten blir väsentlig m α > 1/(1 b w) För att begränsa risken kan det finnas skäl att begränsa aktievikten ytterligare I fallet då prtföljen inte få belånas får aktievikten vara högst = 1 tex Detta leder till ptimeringsprblemet att maximera tillväxten under fixerad vikt i aktieprtföljen Sats 2 Antag att aktierna utvecklas enligt Mdell B Den prtfölj sm ger maximal förväntad tillväxt under bivillkret att vikten i aktieprtföljen är a har vikten 1 a i kassan ch aktievikterna

15 Tillväxt ch risk 15 vmax(a) = av + α(v T v ) Den kntinuerligt mviktade prtföljens tillväxt vid t är nrmalfördelad med väntevärde νmax(a)t ch varians Vmax(a)t, där ch Här är α ch V sm i Sats 1 νmax(a) = r f + 1 V (α a) 2( 2 σ 2 ) Vmax(a) = V σ 2 (α 2 a 2 ) Belåningsvärdet av denna prtfölj är b vmax(a) = αb (v T v ) + ab v Skulden a 1 får inte överstiga detta värde vilket ger begränsningen a 1 + αb (v T v ) 1 b v Övning 25 Visa att α är större än denna maximala vikt i aktieprtföljen m ch endast m α > 1/(1 b v T ) Dvs Bevis av Sats 2 I detta fall ger Lagranges multiplikatrmetd ekvatinerna r r f 1 Qv λ1 = 0 ch 1 v = a v = Q 1 (r r f 1 λ1) ch λ = σ 2 (α a) v = αv T (α a)v Satsen följer nu från identiteterna i nästa övning Övning 26 Visa att v Qv = Vmax(a) ch r f (1 a) v Qv 2 + r v = νmax(a) Genm att använda identiteten i nästa övning kan man få alternativa uttryck för tillväxtens väntevärde ch varians Övning 27 Visa att V = σ 2 α2 + τ 2 σ 2

16 16 Finansmatematik II Nästa övning belyser det faktum att det är tillväxten ch inte avkastningen sm är det väsentliga Övning 28 Ett spel går till så att man får tillbaks dubbla insatsen eller en tredjedel av insatsen med lika sannlikhet, 1/2 Du spelar upprepade gånger ch spelmgångarna är berende av varandra Ditt startkapital är K 0 = 1 Låt K n beteckna ditt kapital efter n spelmgångar a) Antag att du varje gång satsar hela ditt kapital Beräkna den förväntade avkastningen ch den förväntade tillväxten i varje spelmgång Visa att EK n men K n 0 i sannlikhet då n b) Antag att du varje gång satsar prprtinen p av ditt kapital, 0 p 1 Vilka värden på p maximerar den förväntade avkastningen respektive den förväntade tillväxten i varje spelmgång? Visa att K n för det senare värdet Litteratur Harry M Markwitz 1959 Prtfli Selectin: Efficient Diversificatin f f Investments Wiely 1970 Detta är rginalarbetet på mrådet Senare upplagr har även getts ut av Blackwell Publishers Inc Svar till övningarna 2 λ 1 = 7 30r 15, λ 2 = 10r 2 8 v = 1 (4 15r, 1, 15r 2) 3 v = 1 13 (3, 2, 2) + (r 7 70 )5 ( 3, 2, 5) 4 11 a) v σ v = ( 084, 018, 066) b) v v = 0 16 r f = 005: v = (0, 8/23, 15/23) r f = 010: Existerar ej 17 1 v = (3 30r f, 2 20r f, 8 20r f ), r f < 13/ r f 19 v = ( 036, 042, 178) 28 a) Förväntad avkastning 1/6 > 0, tillväxt 1 2 ln(2/3) < 0 b) Förväntad avkastning p/6, max=1/6 antas för p = 1Förväntad tillväxt 1 2 ln(1 + p/3 2p2 /3), max = 1 2 ln(1 + 1/24) > 0 antas för p = 1/4

Finansmatematik II Kapitel 5 Samvariation med marknaden

Finansmatematik II Kapitel 5 Samvariation med marknaden 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 04 1 03 Finansmatematik II Kapitel 5 Samvariation med marknaden Finansmatematik II 1 Marknaden Med

Läs mer

Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering

Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 04 0 8 Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering 2 Finansmatematik II Risk och diversifiering

Läs mer

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 02 10 25. RÄNTA 1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

Läs mer

Fakta. Naturvetenskap i Bumper Cars. NaturligtVis. Fysiklabbar på Powerland. Bumper Cars. http://naturligtvis.novia.fi

Fakta. Naturvetenskap i Bumper Cars. NaturligtVis. Fysiklabbar på Powerland. Bumper Cars. http://naturligtvis.novia.fi Fysiklabbar på Pwerland Bumper Cars Bumper Cars är en str bilbana sm passar både stra ch små förare. Bilarna är försedda med bilbälten ch kan köras ensam eller parvis. Lättare kllisiner är tillåtna, men

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 3.

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 3. STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 2. Luenberger: 2:1-5, 9, 11, 12. Övning 1. Du lånar 200000 kr i en bank

Läs mer

PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN

PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN Enheten för Pedaggiska Mätningar PBMaE 0-05 Umeå universitet Prvtid PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN Del I: Uppgift -9 Del II: Uppgift 0-5 Anvisningar Ttalt 0 minuter för del I ch II

Läs mer

Tidigt uttag av allmän pension och placering i kapitalförsäkring

Tidigt uttag av allmän pension och placering i kapitalförsäkring 1 (8) PM Dk.bet. 2015-06-08 Analysavdelningen Tidigt uttag av allmän pensin ch placering i kapitalförsäkring Tidigt uttag av allmän pensin ch placering i kapitalförsäkring i krthet: Fördelar: Möjlighet

Läs mer

Förslag till ändrade rutiner för statliga ålderspensionsavgifter

Förslag till ändrade rutiner för statliga ålderspensionsavgifter 1 (7) PM Förslag till ändrade rutiner för statliga ålderspensinsavgifter Pensinsmyndigheten föreslår att: regleringsbelppet mellan statsbudgeten ch AP-fnden för statliga ålderspensinsavgifter inte fördelas

Läs mer

Ar.redovlsning.. PensionsförvaJtflingen. *~~e~~~!inget

Ar.redovlsning.. PensionsförvaJtflingen. *~~e~~~!inget Ar.redvlsning.. PensinsförvaJtflingen *~~e~~~!inget *~ 1 LedningsstabenIeknmigruppen Annika Hjertkvist 2007-02-27 LiÖ 2007-18 Landstingsstyrelsen Årsredvisning för pensinsförvaltningen 2006 Sammanfattning

Läs mer

Revisionsrapport 2010 Genomförd på uppdrag av revisorerna i Jönköpings kommun. Jönköpings kommun Granskning av användaradministrationen

Revisionsrapport 2010 Genomförd på uppdrag av revisorerna i Jönköpings kommun. Jönköpings kommun Granskning av användaradministrationen Revisinsrapprt 2010 Genmförd på uppdrag av revisrerna i Jönköpings kmmun Jönköpings kmmun Granskning av användaradministratinen Innehåll 1. Bakgrund ch syfte... 3 2. Metd ch avgränsning... 3 3. Begreppsförklaringar...

Läs mer

OH-bilder till Martin Wallins föreläsning om rättskraft i tvistemål

OH-bilder till Martin Wallins föreläsning om rättskraft i tvistemål OH-bilder till Martin Wallins föreläsning m rättskraft i tvistemål Dmens rättsverkningar En dm får flera lika rättsverkningar ch de inträder vid lika tidpunkter. Rättskraft Samma sak kan inte prövas engång

Läs mer

Virkskola. Förkortningar: ~ 1 ~

Virkskola. Förkortningar: ~ 1 ~ Virkskla Förkrtningar: lm luftmaska sm smygmaska fm fast maska hst halvstlpe st stlpe dst dubbelstlpe m muche fm mtag stlpe fr aviga fast maska med mtag runt stlpen från avigsidan v varv mb maskbåge, den

Läs mer

PRINCIPER FÖR TILLGÅNG TILL DEPÅER FÖR KOLLEKTIVTRAFIKEN

PRINCIPER FÖR TILLGÅNG TILL DEPÅER FÖR KOLLEKTIVTRAFIKEN PRINCIPER FÖR TILLGÅNG TILL DEPÅER FÖR KOLLEKTIVTRAFIKEN Ett delprjekt inm Partnersamverkan för en fördubblad kllektivtrafik [Rapprt från en branschgemensam expertgrupp inm Partnersamverkan för en fördubblad

Läs mer

Vattenfall Innovation Awards

Vattenfall Innovation Awards Vattenfall Innvatin Awards Hantering av Uppfinnare, prcess ch tlkning av legala aspekter Tidsplan: 1. Vattenfalls (VF) utser en intern jury, bestående av ca 10 persner, sm bedömer ch beslutar m vilka idéer

Läs mer

LPP åk 2 v 35-43 HT 2011

LPP åk 2 v 35-43 HT 2011 LPP åk 2 v 35-43 HT 2011 Svenska Förankring i kursplanens syfte: frmulera sig ch kmmunicera i tal ch skrift, läsa ch analysera skönlitteratur ch andra texter för lika syften, anpassa språket efter lika

Läs mer

Rådgivningen, kunden och lagen

Rådgivningen, kunden och lagen RAPPORT DEN 11 april 2007 DNR 06-7426-306 2007 : 5 Rådgivningen, kunden ch lagen en undersökning av finansiell rådgivning INNEHÅLL SAMMANFATTNING 1 UTGÅNGSPUNKTER 2 FI pririterar rådgivningen 2 Tidigare

Läs mer

Centrala Sacorådet i Malmö stad

Centrala Sacorådet i Malmö stad Centrala Sacrådet i Malmö stad Enkät m tid för det fackliga uppdraget i samverkan Enkäten har skickats ut till alla Sacs representanter i samverkansgrupper på stadsmrådesförvaltningarna ch alla Sacs samverkansrepresentanter

Läs mer

120 110 S t : 100 100 90 80 Vi ska här betrakta ett antal portföljer som vid t = 0 är värda 100 SEK.

120 110 S t : 100 100 90 80 Vi ska här betrakta ett antal portföljer som vid t = 0 är värda 100 SEK. STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. KOMPLEMENT DAG 5. HANDELSSTRATEGIER Låt S t beteckna priset på en aktie vid tiden t. Vi

Läs mer

Projektnamn: Vägledning för ett hälsosamt åldrande Seniorguiden. upprättades: Upprättad av: Namn Therese Räftegård Färggren och Anna Jansson

Projektnamn: Vägledning för ett hälsosamt åldrande Seniorguiden. upprättades: Upprättad av: Namn Therese Räftegård Färggren och Anna Jansson PROJEKTPLAN Prjektnamn: Vägledning för ett hälssamt åldrande Senirguiden Prjektansvarig: Avdelning: Kunskapsutveckling Enhet: Uppväxtvillkr ch hälssamt åldrande Prjektplan Juni 2010 upprättades: Upprättad

Läs mer

Vad är kompetens och vad är rätt kompetens?

Vad är kompetens och vad är rätt kompetens? Vad är kmpetens ch vad är rätt kmpetens? Det är dags att börja med att definiera detta. Om du ställer frågan vad behöver man kunna för att utföra sina arbetsuppgifter så blir det ftast lite lättare. Det

Läs mer

Investerings prospekt

Investerings prospekt Investerings prspekt En intrduktin Net Sales pr merg Tel. +46 70 369 82 22 Isafjrdsgatan 22, B5tr. Fax:+ 46 8 755 03 98 inf@netsales.se När mer eget kapital behövs I många skeden i ett företags utveckling

Läs mer

Förslag på samarbetsorganisation för gemensam plattform för nationellt digitalt folkbibliotek

Förslag på samarbetsorganisation för gemensam plattform för nationellt digitalt folkbibliotek Förslag på samarbetsrganisatin för gemensam plattfrm för natinellt digitalt flkbiblitek 1 Inledning ch bakgrund Kmmunakuten AB har fått i uppdrag att arbeta fram ett förslag på samarbetsrganisatin för

Läs mer

Plan mot diskriminering och kränkande behandling ombord på T/S Gunilla

Plan mot diskriminering och kränkande behandling ombord på T/S Gunilla Öckerö, 2015 Plan mt diskriminering ch kränkande behandling mbrd på T/S Gunilla Målet är att planen ska följa sklverkets allmänna råd: Tydligt uttrycka att verksamhetens ledning tar avstånd från alla tendenser

Läs mer

Producenter: anvisning om hur checklistan för kontroll av planen för egenkontroll och hur denna omsätts i praktiken fylls i

Producenter: anvisning om hur checklistan för kontroll av planen för egenkontroll och hur denna omsätts i praktiken fylls i Föredragen av Nurttila Annika Sida/sidr 1 / 7 Prducenter: anvisning m hur checklistan för kntrll av planen för egenkntrll ch hur denna Syftet med kntrllen är att utreda m prducenten i sin plan för egenkntrll

Läs mer

KomBas-projektet: Uppföljning av MI-utbildningarna hösten 2007 inom ramen för Miltonprojektet Integrerad Psykiatri DubbelDiagnoser

KomBas-projektet: Uppföljning av MI-utbildningarna hösten 2007 inom ramen för Miltonprojektet Integrerad Psykiatri DubbelDiagnoser KmBas-prjektet: Uppföljning av MI-utbildningarna hösten 27 inm ramen för Miltnprjektet Integrerad Psykiatri DubbelDiagnser Ll Lebedinski 21-4-8 1 Innehållsförteckning Inledning... 3 Metd ch material...

Läs mer

Policyn inkluderar de föreskrifter för kommunens medelsförvaltning som fullmäktige enligt 8 kap 3 Kommunallagen har att fastställa.

Policyn inkluderar de föreskrifter för kommunens medelsförvaltning som fullmäktige enligt 8 kap 3 Kommunallagen har att fastställa. FINANSPOLICY 1. ALLMÄNT 1.1 Övergripande mål för finansverksamheten Kmmunens finansverksamhet skall bedrivas på ett effektivt ch säkert sätt utan spekulativa inslag. Den övergripande målsättningen för

Läs mer

Förskolan Västanvind

Förskolan Västanvind Försklan Västanvind Västanvinds plan mt diskriminering ch kränkande behandling (likabehandlingsplan) 2015-05-25 Visin Västanvind är en förskla där alla avsett kön, etnisk bakgrund, religin, funktinshinder,

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik, GA 08 januari 2015. Lösningar

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik, GA 08 januari 2015. Lösningar STOCKHOLMS UNIVERSITET MT712 MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, GA 8 januari 215 Lösningar Tentamen i Livförsäkringsmatematik I, 8 januari 215 Uppgift 1 a) Först konstaterar

Läs mer

Undersökning av seniorers informationsbehov Sundsvalls kommun

Undersökning av seniorers informationsbehov Sundsvalls kommun Undersökning av senirers infrmatinsbehv Sundsvalls kmmun Impera kmmunikatin AB Innehållsförteckning Inledning... 3 Syfte... 3 Metd ch genmförande... 3 Målgrupp ch Svarsfrekvens... 3 Brtfallsredvisning...

Läs mer

Tentamen Finansiering I (FÖ3006) 22/8 2013

Tentamen Finansiering I (FÖ3006) 22/8 2013 1 Tentamen Finansiering I (FÖ3006) 22/8 2013 Hjälpmedel: Räknare Betyg: G = 13 p, VG = 19 p Maxpoäng 25 p OBS: Glöm ej att redovisa dina delberäkningar som har lett till ditt svar! För beräkningsuppgifterna:

Läs mer

Vattenfall Eldistribution AB

Vattenfall Eldistribution AB Bilaga 2 Samrådsredgörelse avseende ny- ch mbyggnad av Vattenfalls 70 kv anslutningsledningar till transfrmatrstatin i Ösm, Nynäshamns kmmun Bild 1 Vy över landskapet med transfrmatrstatinen till vänster

Läs mer

IT-STRATEGI FÖR UNDERVISNINGSSEKTORN PÅ ÅLAND 2014-2017

IT-STRATEGI FÖR UNDERVISNINGSSEKTORN PÅ ÅLAND 2014-2017 IT-STRATEGI FÖR UNDERVISNINGSSEKTORN PÅ ÅLAND 2014-2017 30.09.2013 INNEHÅLL BAKGRUND... 2 SYFTE OCH MÅLSÄTTNINGAR... 3 Syfte... 3 Visin... 3 Övergripande mål... 3 Utvecklingsmråden... 3 TYNGDPUNKTSOMRÅDEN...

Läs mer

Bildningsförvaltningens pedagogiska IKT-strategi för skolutveckling med hjälp av digitala verktyg 2013-2016

Bildningsförvaltningens pedagogiska IKT-strategi för skolutveckling med hjälp av digitala verktyg 2013-2016 Rapprt 1 (5) Datum 2013-06-03 Förslag till; Bildningsförvaltningens pedaggiska IKT-strategi för sklutveckling med hjälp av digitala verktyg 2013-2016 IT i sig kan inte förbättra elevernas lärande, däremt

Läs mer

Till samtliga partier representerade med kommunalråd i Uppsala kommun

Till samtliga partier representerade med kommunalråd i Uppsala kommun 2014 04 17 Till samtliga partier representerade med kmmunalråd i Uppsala kmmun I Uppsala finns ett starkt engagemang för natur ch miljö. Naturskyddsföreningen Uppsala har över 6000 medlemmar ch vill bidra

Läs mer

Installation av fiber och IPTV i Seraljen

Installation av fiber och IPTV i Seraljen Frågr ch svar Frågr ch svar Installatin av fiber ch IPTV i Seraljen Kmmer COM hem att helt försvinna eller kan man ha det i en övergångsperid? Svar: Vi kmmer att ha tillgång till CmHem under 2016 ch 2017

Läs mer

Landstinget Dalarna. Granskning av finansförvaltningen Rapport. KPMG AB 2011-03-17 Antal sidor: 12

Landstinget Dalarna. Granskning av finansförvaltningen Rapport. KPMG AB 2011-03-17 Antal sidor: 12 en Rapprt KPMG AB Antal sidr: 12 2011 KPMG AB, a Swedish limited liability partnership and a member firm f the KPMG netwrk f independent member firms affiliated with KPMG Internatinal, a Swiss cperative.

Läs mer

Instruktioner för mappning av individer till NY-läge

Instruktioner för mappning av individer till NY-läge PM 01-0-5 Genmförandekmmittén för nya Plismyndigheten Ju 01:16 ORG-1 Instruktiner NY-läge Instruktiner för mappning av individer till NY-läge Intrduktin Inm ramen för prjekt ORG-1 har ett förslag till

Läs mer

13. Utvecklingssamtal hos IOGT-NTO

13. Utvecklingssamtal hos IOGT-NTO 13. Utvecklingssamtal hs IOGT-NTO Syfte Att få rganisatinen att fungera bättre. Att bidra till medarbetarnas persnliga utveckling. Att stämma av mt mål. Att stämma av samarbetet mellan rganisatinsgrenarna

Läs mer

Laghantering i Equipe

Laghantering i Equipe Laghantering i Equipe för klubbar tillhörande Skånes Ridsprtförbund Eftersm distriktet autmatiskt vill betala ut lagstöd till arrangörerna är det viktigt att inrapprteringen av lagklasserna sker på ett

Läs mer

Att bli en kompetent kravställare av kompetens och öka anställningsbarhet hos medarbetarna

Att bli en kompetent kravställare av kompetens och öka anställningsbarhet hos medarbetarna Att bli en kmpetent kravställare av kmpetens ch öka anställningsbarhet hs medarbetarna Hur kan vi i praktiken agera för att underlätta att strategi ch perativ förmåga ska kunna gå hand i hand inm ramen

Läs mer

behöver avtalen vara extra robusta, tydliga och långsiktiga.

behöver avtalen vara extra robusta, tydliga och långsiktiga. Med denna sammanställning vill jag visa hur säker ch trygg framtiden blir för föreningarna ch dess medlemmar m avtalsförslagen sm gdkänts av SäBy ch SäKm blir verklighet. Med tanke på SäKms eknmi sm överlever

Läs mer

Oasmia Pharmaceutical AB (publ)

Oasmia Pharmaceutical AB (publ) Oasmia Pharmaceutical AB (publ) BOKSLUTSRAPPORT FÖR PERIODEN 2006-05-01-- 2007-04-30 Krt m bkslut för periden 2006-05-01 2007-04-30 Kncernens nettmsättning ökade till 22 387 (853) tkr. Resultat efter skatt

Läs mer

Utökad timplan i matematik

Utökad timplan i matematik Malmö högskla Lärande ch samhälle Sklutveckling ch ledarskap Examensarbete 15 högsklepäng, avancerad nivå Utökad timplan i matematik Och systemets tröghet Extended timetable in mathematics And system interia

Läs mer

Ny fastighetsmäklarlag. Vitec Mäklarsystem

Ny fastighetsmäklarlag. Vitec Mäklarsystem Ny fastighetsmäklarlag Vitec Mäklarsystem Juni 2011 Innehållsförteckning 1. Inledning... 2 2. Sammanfattning av den nya fastighetsmäklarlagen... 3 3. Jurnalplikten med checklistr... 4 4. Sidtjänster...

Läs mer

Lösningar till tentamen i Grundläggande nansmatematik. 21 december 2006 kl. 914

Lösningar till tentamen i Grundläggande nansmatematik. 21 december 2006 kl. 914 STOCKHOLMS UNIVERSITET MS 3290 MATEMATISKA INSTITUTIONEN TENTAMEN Avd. Matematisk statistik 21 december 2006 Lösningar till tentamen i Grundläggande nansmatematik 21 december 2006 kl. 914 Uppgift 1 Priset

Läs mer

Delmarknad 4: Privatmarknaden. - Bilaga till PTS marknadsöversikt för innovatörer

Delmarknad 4: Privatmarknaden. - Bilaga till PTS marknadsöversikt för innovatörer Delmarknad 4: Privatmarknaden - Bilaga till PTS marknadsöversikt för innvatörer N E W S Innehåll Bakgrund... 3 Delmarknad 4: Privatmarknaden... 4 Intrduktin... 4 Struktur ch rganisatin... 4 Användarnas

Läs mer

Risk- och sårbarhetsanalys av SUNET Box för Karolinska Institutet

Risk- och sårbarhetsanalys av SUNET Box för Karolinska Institutet Risk- ch sårbarhetsanalys av SUNET Bx för Karlinska Institutet 2015-01-19 Dnr: 1-35/2015 Innehåll 1. Sammanfattning... 2 2. Bakgrund. 4 3. Nuläge..... 4 4. SUNET Bx i krthet... 5 5. Juridiska aspekter.

Läs mer

Accounting Update #36 December 2014

Accounting Update #36 December 2014 Kära läsare! När detta nummer publiceras är det ungefär en vecka kvar tills jul. Bråda tider. Bkslutstider. Vi ägnar därför den första artikeln till att guida er igenm vilka nyheter sm finns att beakta

Läs mer

Kort användarmanual för Test och quiz i Mondo 2.0

Kort användarmanual för Test och quiz i Mondo 2.0 Krt användarmanual för Test ch quiz i Mnd 2.0 Denna användarmanual är en krtversin av en längre användarmanual ch innehåller de viktigaste delarna för att kmma igång med användningen av Test ch quiz. För

Läs mer

--- - - - Arsredovisning 2005. Pensionsförval~ningen --- - - * l-andstinget. i Ostergötland

--- - - - Arsredovisning 2005. Pensionsförval~ningen --- - - * l-andstinget. i Ostergötland --- - - - Arsredvisning 2005 Pensinsförval~ningen --- - - I * l-andstinget i Ostergötland *=~ 1 LedningsstabenIeknmigruppen Annika Hjertkvist 2006-03-01 LiÖ 2006-18 Landstingsstyre Isen Årsredvisning för

Läs mer

En kom i gång manual till SPF:s hemsidor

En kom i gång manual till SPF:s hemsidor En km i gång manual till SPF:s hemsidr Inlggning Meny (navigatinsträdet) Vad skall finnas på hemsidan Standarduppgifter [Startsidan, Om föreningen, Styrelsen, Kntakt, Bli medlem] Tilläggs/valfria uppgifter

Läs mer

Vi ska här utgå ifrån att vi har en aktie och ska med denna som grund konstruera tre olika optionsportföljer.

Vi ska här utgå ifrån att vi har en aktie och ska med denna som grund konstruera tre olika optionsportföljer. STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd för Matematisk statistik TH FINANSMATEMATIK I, HT 01 KOMPLEMENT DAG 12 Version 01 12 10 TRE OPTIONSSTRATEGIER Vi ska här utgå ifrån att vi har en aktie

Läs mer

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Diskreta slumpvariabler En slumpvariabel tilldelar tal till samtliga utfall i ett slumpförsök. Vi

Läs mer

Tävlingsdatabasen (TDB)

Tävlingsdatabasen (TDB) Tävlingsdatabasen (TDB) Anvisningar för distrikt ch klubbar sm arbetar med tävlingsdatabasen (TDB) Prpsitinen Viktiga datum ch tidpunkter är när tävlingen öppnas för internetanmälan, när ev. efteranmälning

Läs mer

SAMVERKAN, ÖPPNA LOKALA BREDBANDSNÄT OCH PRISVÄRDA TJÄNSTER

SAMVERKAN, ÖPPNA LOKALA BREDBANDSNÄT OCH PRISVÄRDA TJÄNSTER SAMVERKAN, ÖPPNA LOKALA BREDBANDSNÄT OCH PRISVÄRDA TJÄNSTER Rapprt framtagen inm ramen för trepartsöverenskmmelsen mellan Hyresgästernas riksförbund, Fastighetsägarna ch SABO 2 Innehållsförteckning Sida

Läs mer

BRÅDSKANDE: SÄKERHETSMEDDELANDE Fel i WIZARD 2 Barcode ID Label # 023 Innehåll

BRÅDSKANDE: SÄKERHETSMEDDELANDE Fel i WIZARD 2 Barcode ID Label # 023 Innehåll PerkinElmer Singapre Pte Ltd 28 Ayer Rajah Crescent #04-01/08 Singapre 139959 C. Reg. N. 199707113D Phne 65 6868 1688 Fax 65 6779 6567 www.perkinelmer.cm Den 13en Maj 2015 Kära Kund, BRÅDSKANDE: SÄKERHETSMEDDELANDE

Läs mer

KONGAVED OCH BJÖRKSTICKS

KONGAVED OCH BJÖRKSTICKS 9 KONGAVED OCH BJÖRKSTICKS - srtimentsförändringar 1920-1960 på en fastighet i södra Småland : t... ~c-.,./ /' / /"./ - Översiktskårta KALMAR LÅ'NS LANDSTINGS SÖDRA SKOGSALLMÅ'NNING ung. skala 1:35000

Läs mer

FÖRFATTNINGSSAMLING 033.6

FÖRFATTNINGSSAMLING 033.6 1 (7) VÄSTERVIKS KOMMUN FÖRFATTNINGSSAMLING 033.6 POLICY FÖR DONATIONSFONDERNAS FÖRVALTNING ANTAGEN AV KOMMUNFULLMÄKTIGE 1992-11-26, 174 ÖVERGRIPANDE MÅL Västerviks kmmun svarar för den eknmiska förvaltningen

Läs mer

Eldy Användarhandbo Table of Contents

Eldy Användarhandbo Table of Contents Eldy Användarhandb Table f Cntents Table f Cntents... 2 1. Systemkrav:... 3 2. Hur du installerar Eldy på din PC... 3 2.1 INSTALLATION SCREENSHOTS... 4 2.2 Installatin... 4 3. Börja använda ELDY... 5 4.

Läs mer

INNEHÅLL. Bostadsmarknaden i Sverige sedan 1990-talet Kassaflödesanalys. Villor i residensstäderna Bostadsrätter i residensstäderna

INNEHÅLL. Bostadsmarknaden i Sverige sedan 1990-talet Kassaflödesanalys. Villor i residensstäderna Bostadsrätter i residensstäderna BETALT FÖR ATT BO En kassaflödesanalys av pris- ch kstnadsutvecklingen under de senaste fem åren på villa- respektive bstadsrättsmarknaderna i Sverige 2014-06-09 1 INNEHÅLL Bstadsmarknaden i Sverige sedan

Läs mer

AppGate och Krisberedskapsmyndighetens basnivå för informationssäkerhet, BITS

AppGate och Krisberedskapsmyndighetens basnivå för informationssäkerhet, BITS AppGate ch Krisberedskapsmyndighetens basnivå för infrmatinssäkerhet, BITS En intrduktin i säkerhet. AppGate AppGate är ett svenskt säkerhetsföretag med sina rötter inm försvarsindustrin. AppGates teknik

Läs mer

2 PROGRAMMERA EN KNAPP FÖR UPPDRAG

2 PROGRAMMERA EN KNAPP FÖR UPPDRAG MANUAL TILL THERMO TRACK-MJUKVARAN 1 ARKIV Therm Track ger dig möjlighet att srtera/gruppera dina arkiv i katalger ch underkatalger. Du kan även göra en förhandsgranskning utan att behöva öppna dem. Om

Läs mer

SchoolSoft 2015-05-05

SchoolSoft 2015-05-05 SchlSft 2015-05-05 Arkivering Nytt läsår Schemasystem: Utan schemasystem, manuellt schema i SchlSft Nedan följer en lista på vad sm bör göras i SchlSft mellan två läsår. Berende på sklans sätt att arbeta

Läs mer

Påbyggnad/utveckling av lagen om ett pris Effektiv marknad: Priserna på en finansiell marknad avspeglar all relevant information

Påbyggnad/utveckling av lagen om ett pris Effektiv marknad: Priserna på en finansiell marknad avspeglar all relevant information Föreläsning 4 ffektiva marknader Påbyggnad/utveckling av lagen om ett pris ffektiv marknad: Priserna på en finansiell marknad avspeglar all relevant information Konsekvens: ndast ny information påverkar

Läs mer

Riktlinjer för externfinansierade forskningsprojekt vid Högskolan i Skövde

Riktlinjer för externfinansierade forskningsprojekt vid Högskolan i Skövde Rektr BESLUT 2015-03-17 Dnr HS Riktlinjer för externfinansierade frskningsprjekt vid Högsklan i Skövde Eknmiavdelningen vid Högsklan i Skövde har riktlinjer för externfinansierade frskningsprjekt. Dkumentet

Läs mer

RESULTAT I FÖRSKOLEVERKSAMHETEN 2010/2011 NYNÄSHAMNS KOMMUN

RESULTAT I FÖRSKOLEVERKSAMHETEN 2010/2011 NYNÄSHAMNS KOMMUN BUN 2011-76 Bilaga 1 Dnr: 2011/69 610 RESULTAT I FÖRSKOLEVERKSAMHETEN 2010/2011 NYNÄSHAMNS KOMMUN INNEHÅLL INNEHÅLL... 2 INLEDNING... 3 FÖRSKOLEVERKSAMHET... 5... 5 BARN I FÖRSKOLEVERKSAMHET... 5 BEFOLKNINGSUTVECKLING...

Läs mer

Komplettering av ansökan Att fläta samman socialt och ekologiskt i framtidens städer, projekt P21, KTH, Avdelningen för Urbana och Regionala Studier

Komplettering av ansökan Att fläta samman socialt och ekologiskt i framtidens städer, projekt P21, KTH, Avdelningen för Urbana och Regionala Studier Kmplettering av ansökan Att fläta samman scialt ch eklgiskt i framtidens städer, prjekt P21, KTH, Avdelningen för Urbana ch Reginala Studier I följande kmplettering av tidigare ansökan till Delegatinen

Läs mer

Guide för hur bildar man en kaninhoppningsklubb ansluten till SKHRF. Även innehållande kunskap om hur man håller möten

Guide för hur bildar man en kaninhoppningsklubb ansluten till SKHRF. Även innehållande kunskap om hur man håller möten Guide för hur bildar man en kaninhppningsklubb ansluten till SKHRF Även innehållande kunskap m hur man håller möten 1 2012-12-27 Hur man bildar en kaninhppningsklubb ch sedan ansluter den till förbundet

Läs mer

Möjlighet att leva som andra ny lag om stöd och service till vissa personer med funktionsnedsättning

Möjlighet att leva som andra ny lag om stöd och service till vissa personer med funktionsnedsättning YTTRANDE 1 av 6 2009-01-20 Scialdepartementet 103 33 STOCKHOLM Möjlighet att leva sm andra ny lag m stöd ch service till vissa persner med funktinsnedsättning För följande kapitel har Umeå inga invändningar

Läs mer

JUNGSKILEHE FÖR ETT NÄRMARE BOENDE

JUNGSKILEHE FÖR ETT NÄRMARE BOENDE JUNGSKILEHE FÖR ETT NÄRMARE BOENDE STIFTELSEN LJUNGSKILEHEM ARSBOKSLUT 2013 Förvaltningsberättelse Styrelsen ch verkställande direktören för Stiftelsen Ljungskilehem, rganisatinsnummer 858500-1285, får

Läs mer

Checklista förändringsledning best practice Mongara AB

Checklista förändringsledning best practice Mongara AB Checklista förändringsledning best practice Mngara AB Detta dkument ska ses sm ett underlag för vilka frågeställningar vi jbbar med inm ramen för förändringsledning. I dkumentet har vi valt att se prcessen

Läs mer

Svar på motion från Emil Broberg (V) m.fl Städning av vårdlokaler i egen regi (LiÖ 2015-185)

Svar på motion från Emil Broberg (V) m.fl Städning av vårdlokaler i egen regi (LiÖ 2015-185) Svar på mtin från Emil Brberg (V) m.fl Städning av vårdlkaler i egen regi (LiÖ 2015-185) Mtinärerna berör en viktig fråga. Städning av vårdlkaler utgör en viktig del för att skapa en gd inmhusmiljö för

Läs mer

EFTER VALET Liten PM om trängsel-/framkomlighetsavgifter 2002-09-12/mn

EFTER VALET Liten PM om trängsel-/framkomlighetsavgifter 2002-09-12/mn EFTER VALET Liten PM m trängsel-/framkmlighetsavgifter 2002-09-12/mn UTGÅNGSPUNKTER FÖR POLITISKA UPPGÖRELSER EFTER VALET 2002 OM ATT SNABBT INFÖRA TRÄNGSEL-/FRAMKOMLIGHETSAVGIFTER I STOCKHOLMSREGIONEN

Läs mer

Anslutningsavtal för fiberinkoppling till fastighet

Anslutningsavtal för fiberinkoppling till fastighet 1(3) Anslutningsavtal för fiberinkppling till fastighet (Avtalet gäller fiberpjektet: Nrr ch Sör Limsta ) Genm detta Avtal, sm är upprättat mellan (nedan kallad Fastighetsägaren) ch Mediateknik AB, rganisatinsnummer:

Läs mer

- en sida från Lifeforum

- en sida från Lifeforum Miljöbilar - en sida från Lifefrum Direktlänk: http://www.lifefrum.rg/miljbilar/ Innehåll Miljöbilar? Alternativa bränslen ch nya metder Visinärt Vad kan jag göra nu? Några tillgängliga miljöbilsmdeller

Läs mer

E N K U N S K A P S T I D N I N G F Ö R A K T I V A H U N D Ä G A R E. Nr. 1/11 Årgång 14. Canis - vi förändrar hundvärlden! www.canis.

E N K U N S K A P S T I D N I N G F Ö R A K T I V A H U N D Ä G A R E. Nr. 1/11 Årgång 14. Canis - vi förändrar hundvärlden! www.canis. E N K U N S K A P S T I D N I N G F Ö R A K T I V A H U N D Ä G A R E Nr. 1/11 Årgång 14 Canis - vi förändrar hundvärlden! www.canis.se Targeting KLICKER- TRANING Text: Cecilie Kste l & Mrten Egtvedt Targeting

Läs mer

SchoolSoft 2015-05-05

SchoolSoft 2015-05-05 SchlSft 2015-05-05 Arkivering Nytt läsår Schemasystem: TimeEdit Nedan följer en lista på vad sm bör göras i SchlSft mellan två läsår. Berende på sklans sätt att arbeta kan det finnas mindre avvikelser

Läs mer

Mer om slumpvariabler

Mer om slumpvariabler 1/20 Mer om slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/2 2013 2/20 Dagens föreläsning Diskreta slumpvariabler Vilket kretskort ska man välja? Väntevärde

Läs mer

Dödsboanmälan. en förenklad form av bouppteckning. Östervåla Harbo Vittinge Huddunge Tärnsjö Runhällen Morgongåva Heby

Dödsboanmälan. en förenklad form av bouppteckning. Östervåla Harbo Vittinge Huddunge Tärnsjö Runhällen Morgongåva Heby Dödsbanmälan en förenklad frm av buppteckning Östervåla Harb Vittinge Huddunge Tärnsjö Runhällen Mrgngåva Heby BLANKETT FÖR ANSÖKAN OM DÖDSBOANMÄLAN 1 (3) CENTRALA FÖRVALTNINGEN Medbrgarkntret 0224-36

Läs mer

Cisco WebEx: Standardprogramfix den [[DATE]]

Cisco WebEx: Standardprogramfix den [[DATE]] ÄMNE: Cisc WebEx: Standardprgramfix tillämpas den [[DATE]] för [[WEBEXURL]] Cisc WebEx: Standardprgramfix den [[DATE]] Cisc WebEx skickar ut det här meddelandet till utvalda affärskntakter på https://[[webexurl]]

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 06 04 04. Finansmatematik II Kapitel 1

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 06 04 04. Finansmatematik II Kapitel 1 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 06 04 04 Finansmatematik II Kapitel 1 Ränta 2 Finansmatematik II 1 Rak ränta Med rak ränta ska vi

Läs mer

Nedan redovisas resultatet med hjälp av ett antal olika diagram (pkt 1-6):

Nedan redovisas resultatet med hjälp av ett antal olika diagram (pkt 1-6): EM-fotboll 2012 några grafer Sport är en verksamhet som genererar mängder av numerisk information som följs med stort intresse EM i fotboll är inget undantag och detta dokument visar några grafer med kommentarer

Läs mer

Konsulttjänsten Lite för implementering av KACE 2000-serien (2 dagar på plats)

Konsulttjänsten Lite för implementering av KACE 2000-serien (2 dagar på plats) Servicebeskrivning Knsulttjänsten Lite för implementering av KACE 2000-serien (2 dagar på plats) Intrduktin till ditt serviceavtal I den här rådgivande tjänsten ( tjänsten ) ingår implementering ch knsultatin

Läs mer

Oavsiktliga skador och stöld

Oavsiktliga skador och stöld CmpleteCare Översikt Oavsiktliga skadr ch stöld Försäkringsvillkr Detta dkument lämnar uppgifter m tre nivåer av försäkringsskydd täckning för avsiktlig skada, för stöld ch multitäckning (täckning för

Läs mer

1900-talets nya speltekniker för flöjt

1900-talets nya speltekniker för flöjt 100talets nya speltekniker för flöjt en krtfattad manual nhöjdsförändringar 1 Glissandi 2 ikrintervall B Klangfärgsförändringar 1 Flageletter 2 lternativa grepp 3 Klangfärgsdrillar 4 ed rösten 5 Påverkan

Läs mer

Forskningsstrategi 2015 och framåt

Forskningsstrategi 2015 och framåt Bilaga, 24 Sammanträdesdatum: 2015-03-17 Dnr: 2015/86-1.1 Fakulteten för samhällsvetenskap (FSV) Frskningsstrategi 2015 ch framåt Bakgrund Frskningsstrategin för 2015 ch framåt består av tre delar: Inför

Läs mer

~'& .,~, REGIONFÖRBUNDET JÖNKÖPINGS LÄN. Den första ingenjören (DFI) Swerea SWECAST 2014-12 2016-1 2 Nytt. Förstudie

~'& .,~, REGIONFÖRBUNDET JÖNKÖPINGS LÄN. Den första ingenjören (DFI) Swerea SWECAST 2014-12 2016-1 2 Nytt. Förstudie Referens Ola Olssn ~'&.,~, Datum Beteckning R 13014 1 (4) Underlag till prjektbeslut Prjektnamn: Prjektägare: År ch månad för prjektstart: År ch månad för prjektavslut: Status: Den första ingenjören (DFI)

Läs mer

Fastighetsmarknaden VFT 015 Höstterminen 2014

Fastighetsmarknaden VFT 015 Höstterminen 2014 Fastighetsmarknaden VFT 015 Höstterminen 2014 Ordinarie tentamen - SVAR Examinator: Ingemar Bengtsson Skriftlig tentamen Datum 2014-10-28 Tid 08:00-13:00 Plats Vic 1B Anvisningar Besvara frågorna på lösa

Läs mer

Projektet Tobaksfri ungdom i Västra Götalandsregionen

Projektet Tobaksfri ungdom i Västra Götalandsregionen Prjektet Tbaksfri ungdm i Västra Götalandsreginen Sammanfattning Syfte ch metd Syftet med prjektet har varit att ge medarbetarna i Flktandvården Västra Götaland bättre förutsättningar att på ett effektivt

Läs mer

Övningar i CSS för anpassning till olika enheter

Övningar i CSS för anpassning till olika enheter Övningar i CSS för anpassning till lika enheter Hittills har vi i föregående labratiner tittat på hur man med CSS utfrmar en presentatin för bildskärm på en vanlig datr. Men det finns fler presentatiner

Läs mer

Råd och riktlinjer för mobil försäljning av mat i Mjölby, Mantorp och Skänninge

Råd och riktlinjer för mobil försäljning av mat i Mjölby, Mantorp och Skänninge Råd ch riktlinjer för mbil försäljning av mat i Mjölby, Mantrp ch Skänninge Beslutade av kmmunstyrelsen Framtagna av Tekniska kntret, Miljökntret, Byggnadskntret, Näringslivskntret ch Medbrgarservice Namn:

Läs mer

Verksamhetsplan för NyföretagarCentrum Kalmarsund 2011/12

Verksamhetsplan för NyföretagarCentrum Kalmarsund 2011/12 1 Ulrik Brandén Verksamhetsplan för NyföretagarCentrum Kalmarsund 2011/12 Bakgrund NyföretagarCentrum är Sveriges ledande skapare av nya livskraftiga företag. NyföretagarCentrum Sverige är en stiftelse

Läs mer

Revisionsrapport. Intern kontroll snöröjning. Vänersborgs kommun. Datum 2011-10-13. Henrik Bergh. Revisionskonsult kommunal sektor

Revisionsrapport. Intern kontroll snöröjning. Vänersborgs kommun. Datum 2011-10-13. Henrik Bergh. Revisionskonsult kommunal sektor Revisinsrapprt Intern kntrll snöröjning Vänersbrgs kmmun Datum 2011-10-13 Henrik Bergh Revisinsknsult kmmunal sektr Innehållsförteckning 1. Uppdrag ch genmförande... 3 2. Sammanfattning... 3 3. Revisinell

Läs mer

Socialdepartementet 25 september 2014 Diarienummer S2014/5406/FST s.registrator@regeringskansliet.se s.fst@regeringskansliet.se

Socialdepartementet 25 september 2014 Diarienummer S2014/5406/FST s.registrator@regeringskansliet.se s.fst@regeringskansliet.se Scialdepartementet 25 september 2014 Diarienummer S2014/5406/FST s.registratr@regeringskansliet.se s.fst@regeringskansliet.se Remissyttrande över betänkandet Privat införsel av alkhldrycker Tydligare regler

Läs mer

Rutin för registrering av Mobipen i Järfälla kommun. registrering av tid och

Rutin för registrering av Mobipen i Järfälla kommun. registrering av tid och Rutin för registrering av Mbipen i Järfälla kmmun registrering av tid ch Innehållsförteckning Innehåll Innehållsförteckning... 2 Intrduktin... 5 1 Syfte införa Phnir Care med Mbipen i Järfälla kmmun...

Läs mer

Allmänna bestämmelser för Certifiering

Allmänna bestämmelser för Certifiering [2012] Allmänna bestämmelser för Certifiering AB ÅKERIKONSULT AB Åkeriknsult INNEHÅLLSFÖRTECKNING: Inledning... 4 Sveriges Åkeriföretag - Revisinsråd... 4 Kvalitets-/miljö-/arbetsmiljö-ch trafiksäkerhetscertifikat...

Läs mer

Fastställd av Ålands landskapsregering

Fastställd av Ålands landskapsregering RIKTLINJER FÖR ANVÄNDNING AV SOCIALA MEDIER I UNDERVISNINGEN Fastställd av Ålands landskapsregering Beslut nr 5 U2, 8.1.2013 Innehåll Bakgrund ch syfte... 3 Definitin... 3 Fördelar... 3 Syfte ch målsättningar...

Läs mer

Roller och funktioner

Roller och funktioner Central signering Hur fungerar lösningen tekniskt ch juridiskt Stefan Santessn, 3xA Security AB stefan@aaa-sec.cm Per Furberg, Setterwalls Per.Furberg@Setterwalls.se Rller ch funktiner Signeringsfunktin

Läs mer