Finansmatematik II Kapitel 4 Tillväxt och risk

Transkript

1 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd för Matematisk statistik Thmas Höglund Versin Finansmatematik II Kapitel 4 Tillväxt ch risk

2 2 Finansmatematik II Man går inte in på aktiemarknaden för att minimera risken utan, kanske, för att maximera tillväxten Vi ska i detta kapitel börja med att maximera avkastningen på en given risknivå eller, ekvivalent, att minimera variansen givet den förväntade avkastningen För att göra detta måste vi ha en uppfattning m aktiernas förväntade avkastningar Vi har sett i Kapitel 2 att skatta dessa enbart utifrån kurshistriken ger mycket säkra skattningar Är det då någn mening med att försöka? Jag trr det För det första finns det andra metder att skatta avkastningen Man kan ta del av företagsanalyser ch bilda sig en uppfattning m det makreknmiska läget För det andra behöver vi inte veta avkastningarna utan endast de ptimala prtföljernas vikter ch dessa vikter har en viss tlerans mt felgissningar För det tredje ger en eknmisk teri (CAPM) en viss vägledning Dessutm kmmer vi att få vissa insikter av kvalitativ natur 1 Avkastning-risk planet Betrakta en prtfölj sm består av två aktier Låt v 1 ch v 2 respektive r 1 ch r 2 beteckna de två aktiernas vikter respektive förväntade avkastningar under en tidsperid av viss längd, en dag tex Prtföljens avkastning får då väntevärdet ch variansen r = r 1 v 1 + r 2 v 2 σ 2 = σ 2 1v σ 1,2 v 1 v 2 + σ 2 2v 2 2 Övning 1 Visa att v 1 = r r 2 r 1 r 2 ch v 2 = r 1 r r 1 r 2 Sätt in dessa i uttrycket för variansen Resultatet blir att variansen är ett andragradsplynm i r Minimum för detta är σ 2 ch detta minimum antas då r = r, minimivariansprtföljens förväntade avkastning Det följer att σ 2 = σ 2 ( 1 + (r r ) 2 τ 2 ), där τ 2 > 0 är en knstant vi senare ska bestämma Andragradskurvr av denna typ kallas hyperblar ch kurvans utseende framgår av Figur 1, där σ är plttad sm funktin av r Ringarna markerar de två aktiernas avkastningar ch vlatiliteter Kurvstycket mellan ringarna ges av prtföljer med psitiva vikter I fallet med prtföljer med minst tre aktier blir det möjliga mrådet tvådimensinellt Figur 2 visar fallet med tre aktier Det möjliga mrådet är samtliga punkter på ch vanför den heldragna kurvan, förutsatt att negativa vikter är tillåtna I annat fall sammanfaller det med det prickade mrådet De streckade kurvrna visar vilka värden sm är möjliga att uppnå genm att kmbinera två av de tre aktierna De prtföljer sm för givna förväntade avkastningar har lägst vlatilitet (risk) återfinns alltså på den heldragna kurvan Krysset mtsvaras av minimivariansprtföljen Den del av kurvan sm ligger till höger m (eller på) krysset kallas den effektiva frnten

3 Tillväxt ch risk Figur 1: Det möjliga mrådet i fallet med två aktier x Figur 2: Det möjliga mrådet i fallet med tre aktier

4 4 Finansmatematik II 2 Den effektiva frnten Låt r = (r 1,, r m ) beteckna tillgångarnas förväntade avkastningar Prtföljen har då den förväntade avkastningen r v = r 1 v r m v m Vi ska här minimera variansen för prtföljens avkastning under de två bivillkren 1 v = 1, r v = r, där r är ett givet tal Om alla kmpnenter i r är lika så reduceras prblemet till att bestämma minimivariansprtföljen vilket vi redan gjrt Antag därför att kmpnenterna ej alla är lika Lagranges multiplikatrmetd ger ekvatinerna σ i,j v j = λ 1 + λ 2 r i, i = 1,, m, v j = 1, r j v j = r j j j Övning 2 Lös systemet då r = (01, 02, 03) ch Q = Ekvatinssystemet kan även skrivas Qv = λ λ 2 r, 1 v = 1, r v = r Vi får v = λ 1 Q λ 2 Q 1 r För att denna lösning ska uppfylla bivillkren så måste där λ 1 a + λ 2 b = 1 ch λ 1 b + λ 2 c = r, a = 1 Q 1 1, b = 1 Q 1 r = r Q 1 1, c = r Q 1 r Övning 3 Sätt = ac b 2 Visa att a) a > 0, c > 0 ch > 0 b) λ 1 = (c br)/, λ 2 = ( b + ar)/ Låt beteckna prtföljens varians Då σ 2 (r) = min v {v Qv 1 v = 1, r v = r} σ 2 (r) = v Qv = (λ 1 Q λ 2 Q 1 r) (λ λ 2 r) = λ 2 1a + 2λ 1 λ 2 b + λ 2 2c

5 Tillväxt ch risk 5 Övning 4 Visa att a) b) σ 2 (r) = ar2 2br + c σ 2 (r) = 1 a ( 1 + a 2 (r b a )2) Vi vet redan att 1 a = σ2, minimivariansen Låt r = b/a beteckna minimivariansprtföljens förväntade avkastning Den tredje parametern ska vi kalla τ 2 : τ 2 = a 2 τ är ett mått på spridningen av r 1,, r m Övning 5 Visa att τ 2 = (r r 1) P (r r 1) Prtföljens vikter ges av v(r) = λ 1 Q λ 2 Q 1 r = (c br)q ( b + ar)q 1 r Övning 6 Visa att v(r) = P 1 + r r τ P (r r 1) τ Sammanfattning: Den effektiva frnten utgörs av kurvan (r, σ(r)), r r Här är σ 2 (r) = σ 2 ( (r r ) 2 ) 1 +, τ 2 r = 1 P r, τ 2 = r P r r 2 = (r r 1) P (r r 1) Vikterna till prtföljen med förväntad avkastning r ch varians σ 2 (r) är sm i Övning 6 Övning 7 Visa att m avkastningarna är krrelerade σ i,j = 0 för i j, så r = r j p j, τ 2 = (r j r ) 2 p j, v i (r) = p i ( 1 + (r r )(r i r ) τ 2 ), där p i = σ 2 /σ2 i är minimvariansprtföljens vikter

6 6 Finansmatematik II Det framgår att minimivariansprtföljen har psitiva vikter men att v i < 0 för de i för vilka r i < r m r är tillräckligt str Övning 8 Beräkna de ptimala prtföljerna då r = (01, 02, 03) ch Q = Vikterna har frmen ch därför gäller v(r) = v(0) + rv Tvåfndsatsen: v(αr + (1 α)r ) = αv(r ) + (1 α)v(r ) Denna identitet innebär att varje prtfölj på den effektiva frnten är en linjärkmbinatin av två givna prtföljer på den effektiva frnten Detta resultat gäller i allmänhet inte m negativa vikter ej är tilllåtna 3 Stabilitet hs ptimala prtföljer Vi ska här undersöka hur pass känslig den effektiva frnten är för felgissningar av aktiernas förväntade avkastningar Betrakta därför två prtföljer på den effektiva frnten med samma kvariansmatris ch samma vlatilitet, σ, men där aktierna har lika förväntade avkastningar, r ch r Låt r ch r beteckna de två prtföljernas förväntade avkastningar Övning 9 Visa att båda prtföljerna har variansen σ 2 m ch endast m σ 2 r r τ = r r τ = κ, där κ = σ 2 1 Låt v ch v beteckna prtföljernas vikter Då är ch mtsvarande för v Vi har alltså v = v + κ P (r r 1) τ där v v = κp d d i = r i r τ för i = 1,, m Det följer att v i = 1,, m r i r τ = v m ch endast m r i r τ = ri r τ för

7 Tillväxt ch risk 7 Övning 10 Visa att v = v m ch endast m det finns tal a > 0 ch b så att r i = ar i + b för i = 1,, m Övning 11 Låt r = (005, 010, 030) ch Q = Beräkna v v sm funktin av σ i följande två fall a) r = (030, 010, 005) b) r = ( 075, 050, +050) Exempel 1 (FEM AKTIER) I Tabell 1 ges vlatilitet, tillväxt ch mmentan avkastning per år under Perid 1-3 Tabell 1 AZN LME HM SDIA SKA vlatilitet avkastning tillväxt Här kan man möjligen urskilja två grupper: En med måttlig avkastning (ch låg vlatilitet); AstraZeneca ch Skanska En med hög avkastning (ch högre vlatilitet); Ericssn, HM ch Skandia Med tanke på hur säkra skattningarna av avkastningen är kan det vara rimligt att anta att båda aktierna i den första gruppen har avkastningen r 1 ch alla tre i den andra avkastningen r 2, där r 1 < r 2 Eftersm systemet r 1 = a 0 + b, r 2 = a 1 + b har en lösning med a > 0 blir prtföljvikterna desamma m vi sätter r 1 = 0 ch r 2 = 1 Vikterna blir (035, 001, 017, 0, 047) + κ( 040, 016, 049, 032, 057) Den högsta risknivån sm inte ger negativa vikter är σ = 029 I detta fall blir vikterna (002, 014, 058, 027, 0) Denna prtföljs utveckling under Perid 4 är plttad i Figur 3 tillsammans med minimivariansprtföljen Efter att ha varit uppe i 191 dag 90 var prtföljens värde 122 dag 256 vilket är marginellt över minimivariansprtföljens värde, 120 Tabell 2 är mtsvarigheten till Tabell 1 för Perid 4 Tabell 2 AZN LME HM SDIA SKA vlatilitet avkastning tillväxt Mönstret med en lågvlatil ch en högvlatil grupp består Vad sm främst skiljer de två periderna är tillväxten i HM

8 8 Finansmatematik II 2 18 risk= risk= Figur 3: Utveckling av den ptimala prtfölj sm har beräknad vlatilitet Tangentprtföljen Vi ska här utvidga prtföljen med en kassa Pengar i kassan förräntar sig med räntan r f sm i det krta perspektivet kan anses vara knstant (ch därmed ha vlatiliteten 0) Räntan berr däremt i allmänhet på m kassan är psitiv eller negativ Dvs m man lånar ut eller in Den prtfölj sm lägger vikten α i en aktieprtfölj sm har förväntad avkastning r ch vlatilitet σ ch resten, 1 α, i kassan har förväntad avkastning ch vlatilitet (1 α)r f + αr respektive α σ Om man varierar α 0, så får man en rät linje sm går genm punkterna (r f, 0) ch (r, σ) i avkastning-risk planet Prtföljerna på tangentlinjen i Figur 4 är de sm har lägst risk för given förväntad avkastning I denna figur sm är baserad på exempelprtföljen har data från Perid 1-4 använts De förväntade avkastningarna har skattats med hjälp av CAPM-identiteten (i Kapitel 5) Det punktade mrådet svarar mt prtföljer med psitiva vikter Den aktieprtfölj vars avkastning ch vlatilitet ligger i tangeringspunkten, T, kallas tangentprtföljen eller Markwitz prtföljen Kassan gör alltså att den effektiva frnten blir en rät linje (i fallet då ut ch inlåningsräntrna är lika) ch varje ptimal prtfölj har en del i tangentprtföljen ch resten i kassan Detta resultat kallas enfndsatsen ch gäller (till skillnad från tvåfndsatsen) även i fallet då negativa vikter ej är tillåtna Övning 12 Hur ser den effektiva frnten ut m din utlåningsränta är lägre än inlåningsräntan? Låt (r T, σ T ) vara en punkt på den effektiva frnten;

9 Tillväxt ch risk 9 05 SDIA LME 045 HM AZN SKA T Figur 4: Kassans inverkan på den effektiva frnten σt 2 = ( (r T r ) 2 ) σ2 1 + τ 2 Tangentlinjen genm denna punkt ges av där σ = σ T + k(r r T ), k = dσ dr Derivering av båda sidrna i ekvatinen för den effektiva frnten ger vilket ger 2σ dσ dr = σ2 2r r τ 2, k = σ2 τ 2 r T r σ T Tangentlinjen skär alltså r axeln i punkten (r f, 0), där r f = r T τ 2 σ 2 σ 2 T r T r Övning 13 Visa att r f = r τ 2 r T r, dvs (r T r )(r r f ) = τ 2

10 10 Finansmatematik II Den första identiteten visar att r f varierar mellan ch r då r T varierar mellan r ch Tangentprtföljen existerar alltså endast m r f < r Ovanstående identiteter visar även att vi kan parametrisera tangentprtföljen med räntan, r f, i stället för den förväntade avkastningen, r T (Dvs med en tänkt ränta sm kan varieras) Övning 14 Visa att m r f < r, så a) σt 2 = σ 2 q 2 (r r f ) 2 där q = τ 2 + (r r f ) 2 b) v T = P (r r f 1) r r f Här ch i frtsättningen står σ 2 T ch v T för tangentprtföljens varians respektive vikter Observera att tangentprtföljen överensstämmer med minimivariansprtföljen då r = r 1 Övning 15 Visa att m avkastningarna är krrelerade, så har tangentprtföljen vikterna v i = σ2 σ 2 i r i r f r r f Observera att vid beräkning av vikterna räcker det att beräkna w i = ri r f σ 2 i ch sedan sätta v i = w i /(w w m ) Övning 16 Beräkna vikterna i tangentprtföljen då r = (005, 010, 020) ch Q = i de två fallen r f = 005 ch r f = 010 Övning 17 Beräkna vikterna i tangentprtföljen då r ch Q är sm i Övning 8 ch räntan är r f Vilket villkr ska räntan uppfylla för att tangentprtföljen ska vara definierad? Övning 18 Antag att avkastningarna har gemensam krrelatin, ρ i,j = ρ Visa att tangentprtföljen har vikterna där v i = C σ i (r i r f σ i κ m j=1 r j r f σ i ),

11 Tillväxt ch risk 11 C = ch κ är sm i Övning 12 b i Kapitel 3 σ 2 (1 ρ)(r r f ) Övning 19 Beräkna tangentprtföljens vikter då r = (01, 0, 1, 04), σ 1 = 04, σ 2 = 05, σ 3 = 06, ρ i,j = 04, för alla i, j ch r f = 005 Övning 20 Visa att den effektiva frnten utgörs av linjen σ = r r f σ q Övning 21 Låt α beteckna vikten av tangentprtföljen i den ptimala prtfölj vars avkastning ch vlatilitet är sm i Övning 20 Visa att α = r r f q r r f q = r r f q σ σ = σ σ T Tangentprtföljens vikter beräknas med hjälp av talen r 1 r f, r m r f vilka behöver skattas Låt r 1 r f, r m r f beteckna skattningarna ch att dessa ger vikterna v T Felet blir då v T v T = P ( r r f 1 r r f r r f 1 r r f ) Nästa övning visar på vilket sätt skattningarna kan avvika utan att vikterna påverkas Övning 22 Visa att v T = v T m ch endast m det finns ett tal a > 0 sådant att r k r f = a(r k r f ) för k = 1,, m Vi vet från Kapitel 2 att förväntade avkastningar skattade med histriska avkastningar har låg precisin Vi ska nu återigen knstatera detta Tangentprtföljens vikter för våra fem aktier skattade med hjälp av histriska avkastningar under de lika periderna framgår av följande tabell Tabell 3 AZN LME HM SDIA SKA Perid Perid Perid Perid Perid Perid Perid

12 12 Finansmatematik II Definiera d bs på mtsvarande sätt sm för minimivariansprtföljen i Kapitel 3 Detta är alltså ett mått på det bserverade medelfelet i skattningarna av vikterna I nedanstående tabell ges dessa avstånd för ett antal lika peridlängder Tabell 4 Peridlängd Antal perider d bs Jämför med minimivariansprtföljen (Tabell 4 i Kapitel 3) Det skulle alltså krävas bservatiner under många år för att få stabila skattningar Om vi inte kan skatta tangentprtföljens vikter, så faller hela den kvantitativa delen av detta kapitel brt ch kvar blir endast den kvalitativa Att bestämma tangentprtföljens vikter är därför prtföljvalsterins huvudprblem En metd sm förhppningsvis är bättre är att skatta den framtida avkastningen med hjälp av gissningar från ett antal aktieanalytiker Denna metd föreslås av Markwitz Kanske är det så att de förväntningar sm dessa gissningar ger upphv till avspeglar sig i kurshistriken Vi ska i nästa kapitel göra ett försök att indirekt mäta avkastningen Sammanfattning:Tangentprtföljen existerar endast m r f < r Den kan parametriseras med räntan, r f, i stället för den förväntade avkastningen, r T Identiteterna i övningarna 13 ch 14 gäller Om man har en riskfri tillgång med avkastning r f så är den effektiva frnten linjen i Övning 20 Den ptimala prtföljen med förväntad avkastning r r f har vikten α i tangentprtföljen ch resten i den riskfria tillgången Här är α sm i Övning 21 Skattningar av tangentprtföljens vikter baserade på histriska avkastningar är instabila 5 Tillväxtprtföljerna I detta avsnitt ska vi bestämma den prtfölj sm har störst tillväxt av alla prtföljer sm består de m aktierna ch en riskfri tillgång Vi ska anta (se Tabell 4 i Kapitel 2) att tillväxten per år, ν, ges av ν = r 1 2 σ2 Här är r den mmentana avkastningen mräknad till årstakt (tex dagsavkastningen multiplicerad med 250) Den prtfölj sm har vikterna v 1,, v m i de lika aktierna ch resten, 1 v 1 v m i kassan har tillväxten r f (1 v 1 v m )+r 1 v 1 ++r m v m 1 2 Detta uttryck maximeras då m 1 m σ i,j v 1 v j = r f +(r r f 1) v 1 2 v Qv 1

13 Tillväxt ch risk 13 r r f 1 Qv = 0 dvs v = Q 1 (r r f 1) Den prtfölj sm har maximal tillväxt erhålls alltså genm att lägga vikten i tangentprtföljen ch resten i kassan Övning 23 Visa att α = r r f σ 2 r r f σ 2 = r T r f σ 2 T Man kan få högre tillväxt än aktiemarknaden genm att inte vara fullinvesterad i aktier utan ha en del i kassan, även m aktiemarknaden har högre förväntad tillväxt än räntan Anledningen är att man flyttar pengar från aktier till kassan då värdet av aktieprtföljen ökat mer än kassan -ch mvänt Man utnyttjar alltså vlatiliteten Den maximala tillväxtprtföljen behöver alltså balanseras m då ch då Antag att prtföljen balanseras m vid tidpunkterna t 0 < t 1 < Prtföljens värde vid t n är då P (t n ) = P (t 0 )Π n ( m i=1 1 + v i R i (t k 1, t k ) ) (Se Övning 10 i Kapitel 3) Här är v 0 = 1 v 1 v m vikten av kassan ch i=0 kassans avkastning R 0 (t k 1, t k ) = e r f (t k t k 1 ) 1 Sats 1 Antag att aktierna utvecklas enligt Mdell B Den kntinuerligt mviktade maximala tillväxtprtföljen har vikten α = r r f σ i tangentprtföljen ch 2 resten i kassan Prtföljens värde vid t är Här är P (t) = P (0)e tl e r f tv 0 ( S 1(t) S 1 (0) )v1 ( S m(t) S m (0) )vm, v = Q 1 (r r f 1), v 0 = 1 v 1 v m ch L = 1 m 2 ( v j σ j,j V ) där V = (r r f 1) Q 1 (r r f 1) j=1 Speciellt gäller att ln(p (t)/p (0)) är nrmalfördelad med väntevärde (r f + 1 2V )t ch varians V t Bevis Låt S 0 (t) beteckna värdet av kassan vid tiden t Den m + 1 dimensinella stkastiska prcessen (S 0 (t), S 1 (t),, S m (t)) utvecklas då enligt Mdell B

14 14 Finansmatematik II eftersm ln(s 0 (t)/s 0 (0) kan betraktas sm nrmalfördelad med väntevärde r f ch varians 0 Sätt v 0 = (1 v 1 v m, v 1,, v m ), r 0 = (r f, r 1,, r m ) ch låt Q 0 stå för kvariansmatrisen för (ln S 0 (1), ln S 1 (1),, ln S m (1)) Satsen följer nu av Sats 2 i Kapitel 3 L = 1 m 2 ( v 0 (j)σ j,j V ) där V = v 0 Q 0 v 0 = v Qv = (r r f 1) Q 1 (r r f 1) j=0 Speciellt gäller att ln(p (t)/p (0)) är nrmalfördelad med varians V t ch väntevärde (r 0 v v 0 Q 0 v 0 )t = (r f + (r r f 1) v V )t = (r f 1 2 V )t Man kan ckså lägga restriktiner på prtföljens vlatilitet för att minska risken Övning 24 a) Visa att den prtfölj sm maximerar tillväxten under bivillkret v Qv = σ 2 har vikten σ V α i tangentprtföljen ch resten i kassan b) Visa även att den förväntade tillväxten per år är r f + σ V σ2 2 = r f V 1 2 (σ V ) 2 Kassan kan vara negativ - man kan låna pengar med aktierna sm säkerhet Nrmalt kan aktier på Stckhlmsbörsens A-lista belånas till 70% ch på O- listan till 50% (ch bligatiner till 90%) av sitt värde Om man trr på en stark börsutveckling ch vill ha maximal tillväxt ska man alltså belåna prtföljen maximalt Låt b i vara 07 eller 05 berende vilken lista aktie i tillhör ch sätt b = (b 1,, b m ) Antag att aktieprtföljens vikt är a > 1 ch alltså att kassan är (a 1) Prtföljens belåningsvärde är b v Detta ger begränsningen a 1 b v dvs a 1 1 b w, där w = v/a ch alltså w w m = 1 Denna övre gräns för aktievikten blir väsentlig m α > 1/(1 b w) För att begränsa risken kan det finnas skäl att begränsa aktievikten ytterligare I fallet då prtföljen inte få belånas får aktievikten vara högst = 1 tex Detta leder till ptimeringsprblemet att maximera tillväxten under fixerad vikt i aktieprtföljen Sats 2 Antag att aktierna utvecklas enligt Mdell B Den prtfölj sm ger maximal förväntad tillväxt under bivillkret att vikten i aktieprtföljen är a har vikten 1 a i kassan ch aktievikterna

15 Tillväxt ch risk 15 vmax(a) = av + α(v T v ) Den kntinuerligt mviktade prtföljens tillväxt vid t är nrmalfördelad med väntevärde νmax(a)t ch varians Vmax(a)t, där ch Här är α ch V sm i Sats 1 νmax(a) = r f + 1 V (α a) 2( 2 σ 2 ) Vmax(a) = V σ 2 (α 2 a 2 ) Belåningsvärdet av denna prtfölj är b vmax(a) = αb (v T v ) + ab v Skulden a 1 får inte överstiga detta värde vilket ger begränsningen a 1 + αb (v T v ) 1 b v Övning 25 Visa att α är större än denna maximala vikt i aktieprtföljen m ch endast m α > 1/(1 b v T ) Dvs Bevis av Sats 2 I detta fall ger Lagranges multiplikatrmetd ekvatinerna r r f 1 Qv λ1 = 0 ch 1 v = a v = Q 1 (r r f 1 λ1) ch λ = σ 2 (α a) v = αv T (α a)v Satsen följer nu från identiteterna i nästa övning Övning 26 Visa att v Qv = Vmax(a) ch r f (1 a) v Qv 2 + r v = νmax(a) Genm att använda identiteten i nästa övning kan man få alternativa uttryck för tillväxtens väntevärde ch varians Övning 27 Visa att V = σ 2 α2 + τ 2 σ 2

16 16 Finansmatematik II Nästa övning belyser det faktum att det är tillväxten ch inte avkastningen sm är det väsentliga Övning 28 Ett spel går till så att man får tillbaks dubbla insatsen eller en tredjedel av insatsen med lika sannlikhet, 1/2 Du spelar upprepade gånger ch spelmgångarna är berende av varandra Ditt startkapital är K 0 = 1 Låt K n beteckna ditt kapital efter n spelmgångar a) Antag att du varje gång satsar hela ditt kapital Beräkna den förväntade avkastningen ch den förväntade tillväxten i varje spelmgång Visa att EK n men K n 0 i sannlikhet då n b) Antag att du varje gång satsar prprtinen p av ditt kapital, 0 p 1 Vilka värden på p maximerar den förväntade avkastningen respektive den förväntade tillväxten i varje spelmgång? Visa att K n för det senare värdet Litteratur Harry M Markwitz 1959 Prtfli Selectin: Efficient Diversificatin f f Investments Wiely 1970 Detta är rginalarbetet på mrådet Senare upplagr har även getts ut av Blackwell Publishers Inc Svar till övningarna 2 λ 1 = 7 30r 15, λ 2 = 10r 2 8 v = 1 (4 15r, 1, 15r 2) 3 v = 1 13 (3, 2, 2) + (r 7 70 )5 ( 3, 2, 5) 4 11 a) v σ v = ( 084, 018, 066) b) v v = 0 16 r f = 005: v = (0, 8/23, 15/23) r f = 010: Existerar ej 17 1 v = (3 30r f, 2 20r f, 8 20r f ), r f < 13/ r f 19 v = ( 036, 042, 178) 28 a) Förväntad avkastning 1/6 > 0, tillväxt 1 2 ln(2/3) < 0 b) Förväntad avkastning p/6, max=1/6 antas för p = 1Förväntad tillväxt 1 2 ln(1 + p/3 2p2 /3), max = 1 2 ln(1 + 1/24) > 0 antas för p = 1/4