Finansmatematik II Kapitel 4 Tillväxt och risk

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Finansmatematik II Kapitel 4 Tillväxt och risk"

Transkript

1 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd för Matematisk statistik Thmas Höglund Versin Finansmatematik II Kapitel 4 Tillväxt ch risk

2 2 Finansmatematik II Man går inte in på aktiemarknaden för att minimera risken utan, kanske, för att maximera tillväxten Vi ska i detta kapitel börja med att maximera avkastningen på en given risknivå eller, ekvivalent, att minimera variansen givet den förväntade avkastningen För att göra detta måste vi ha en uppfattning m aktiernas förväntade avkastningar Vi har sett i Kapitel 2 att skatta dessa enbart utifrån kurshistriken ger mycket säkra skattningar Är det då någn mening med att försöka? Jag trr det För det första finns det andra metder att skatta avkastningen Man kan ta del av företagsanalyser ch bilda sig en uppfattning m det makreknmiska läget För det andra behöver vi inte veta avkastningarna utan endast de ptimala prtföljernas vikter ch dessa vikter har en viss tlerans mt felgissningar För det tredje ger en eknmisk teri (CAPM) en viss vägledning Dessutm kmmer vi att få vissa insikter av kvalitativ natur 1 Avkastning-risk planet Betrakta en prtfölj sm består av två aktier Låt v 1 ch v 2 respektive r 1 ch r 2 beteckna de två aktiernas vikter respektive förväntade avkastningar under en tidsperid av viss längd, en dag tex Prtföljens avkastning får då väntevärdet ch variansen r = r 1 v 1 + r 2 v 2 σ 2 = σ 2 1v σ 1,2 v 1 v 2 + σ 2 2v 2 2 Övning 1 Visa att v 1 = r r 2 r 1 r 2 ch v 2 = r 1 r r 1 r 2 Sätt in dessa i uttrycket för variansen Resultatet blir att variansen är ett andragradsplynm i r Minimum för detta är σ 2 ch detta minimum antas då r = r, minimivariansprtföljens förväntade avkastning Det följer att σ 2 = σ 2 ( 1 + (r r ) 2 τ 2 ), där τ 2 > 0 är en knstant vi senare ska bestämma Andragradskurvr av denna typ kallas hyperblar ch kurvans utseende framgår av Figur 1, där σ är plttad sm funktin av r Ringarna markerar de två aktiernas avkastningar ch vlatiliteter Kurvstycket mellan ringarna ges av prtföljer med psitiva vikter I fallet med prtföljer med minst tre aktier blir det möjliga mrådet tvådimensinellt Figur 2 visar fallet med tre aktier Det möjliga mrådet är samtliga punkter på ch vanför den heldragna kurvan, förutsatt att negativa vikter är tillåtna I annat fall sammanfaller det med det prickade mrådet De streckade kurvrna visar vilka värden sm är möjliga att uppnå genm att kmbinera två av de tre aktierna De prtföljer sm för givna förväntade avkastningar har lägst vlatilitet (risk) återfinns alltså på den heldragna kurvan Krysset mtsvaras av minimivariansprtföljen Den del av kurvan sm ligger till höger m (eller på) krysset kallas den effektiva frnten

3 Tillväxt ch risk Figur 1: Det möjliga mrådet i fallet med två aktier x Figur 2: Det möjliga mrådet i fallet med tre aktier

4 4 Finansmatematik II 2 Den effektiva frnten Låt r = (r 1,, r m ) beteckna tillgångarnas förväntade avkastningar Prtföljen har då den förväntade avkastningen r v = r 1 v r m v m Vi ska här minimera variansen för prtföljens avkastning under de två bivillkren 1 v = 1, r v = r, där r är ett givet tal Om alla kmpnenter i r är lika så reduceras prblemet till att bestämma minimivariansprtföljen vilket vi redan gjrt Antag därför att kmpnenterna ej alla är lika Lagranges multiplikatrmetd ger ekvatinerna σ i,j v j = λ 1 + λ 2 r i, i = 1,, m, v j = 1, r j v j = r j j j Övning 2 Lös systemet då r = (01, 02, 03) ch Q = Ekvatinssystemet kan även skrivas Qv = λ λ 2 r, 1 v = 1, r v = r Vi får v = λ 1 Q λ 2 Q 1 r För att denna lösning ska uppfylla bivillkren så måste där λ 1 a + λ 2 b = 1 ch λ 1 b + λ 2 c = r, a = 1 Q 1 1, b = 1 Q 1 r = r Q 1 1, c = r Q 1 r Övning 3 Sätt = ac b 2 Visa att a) a > 0, c > 0 ch > 0 b) λ 1 = (c br)/, λ 2 = ( b + ar)/ Låt beteckna prtföljens varians Då σ 2 (r) = min v {v Qv 1 v = 1, r v = r} σ 2 (r) = v Qv = (λ 1 Q λ 2 Q 1 r) (λ λ 2 r) = λ 2 1a + 2λ 1 λ 2 b + λ 2 2c

5 Tillväxt ch risk 5 Övning 4 Visa att a) b) σ 2 (r) = ar2 2br + c σ 2 (r) = 1 a ( 1 + a 2 (r b a )2) Vi vet redan att 1 a = σ2, minimivariansen Låt r = b/a beteckna minimivariansprtföljens förväntade avkastning Den tredje parametern ska vi kalla τ 2 : τ 2 = a 2 τ är ett mått på spridningen av r 1,, r m Övning 5 Visa att τ 2 = (r r 1) P (r r 1) Prtföljens vikter ges av v(r) = λ 1 Q λ 2 Q 1 r = (c br)q ( b + ar)q 1 r Övning 6 Visa att v(r) = P 1 + r r τ P (r r 1) τ Sammanfattning: Den effektiva frnten utgörs av kurvan (r, σ(r)), r r Här är σ 2 (r) = σ 2 ( (r r ) 2 ) 1 +, τ 2 r = 1 P r, τ 2 = r P r r 2 = (r r 1) P (r r 1) Vikterna till prtföljen med förväntad avkastning r ch varians σ 2 (r) är sm i Övning 6 Övning 7 Visa att m avkastningarna är krrelerade σ i,j = 0 för i j, så r = r j p j, τ 2 = (r j r ) 2 p j, v i (r) = p i ( 1 + (r r )(r i r ) τ 2 ), där p i = σ 2 /σ2 i är minimvariansprtföljens vikter

6 6 Finansmatematik II Det framgår att minimivariansprtföljen har psitiva vikter men att v i < 0 för de i för vilka r i < r m r är tillräckligt str Övning 8 Beräkna de ptimala prtföljerna då r = (01, 02, 03) ch Q = Vikterna har frmen ch därför gäller v(r) = v(0) + rv Tvåfndsatsen: v(αr + (1 α)r ) = αv(r ) + (1 α)v(r ) Denna identitet innebär att varje prtfölj på den effektiva frnten är en linjärkmbinatin av två givna prtföljer på den effektiva frnten Detta resultat gäller i allmänhet inte m negativa vikter ej är tilllåtna 3 Stabilitet hs ptimala prtföljer Vi ska här undersöka hur pass känslig den effektiva frnten är för felgissningar av aktiernas förväntade avkastningar Betrakta därför två prtföljer på den effektiva frnten med samma kvariansmatris ch samma vlatilitet, σ, men där aktierna har lika förväntade avkastningar, r ch r Låt r ch r beteckna de två prtföljernas förväntade avkastningar Övning 9 Visa att båda prtföljerna har variansen σ 2 m ch endast m σ 2 r r τ = r r τ = κ, där κ = σ 2 1 Låt v ch v beteckna prtföljernas vikter Då är ch mtsvarande för v Vi har alltså v = v + κ P (r r 1) τ där v v = κp d d i = r i r τ för i = 1,, m Det följer att v i = 1,, m r i r τ = v m ch endast m r i r τ = ri r τ för

7 Tillväxt ch risk 7 Övning 10 Visa att v = v m ch endast m det finns tal a > 0 ch b så att r i = ar i + b för i = 1,, m Övning 11 Låt r = (005, 010, 030) ch Q = Beräkna v v sm funktin av σ i följande två fall a) r = (030, 010, 005) b) r = ( 075, 050, +050) Exempel 1 (FEM AKTIER) I Tabell 1 ges vlatilitet, tillväxt ch mmentan avkastning per år under Perid 1-3 Tabell 1 AZN LME HM SDIA SKA vlatilitet avkastning tillväxt Här kan man möjligen urskilja två grupper: En med måttlig avkastning (ch låg vlatilitet); AstraZeneca ch Skanska En med hög avkastning (ch högre vlatilitet); Ericssn, HM ch Skandia Med tanke på hur säkra skattningarna av avkastningen är kan det vara rimligt att anta att båda aktierna i den första gruppen har avkastningen r 1 ch alla tre i den andra avkastningen r 2, där r 1 < r 2 Eftersm systemet r 1 = a 0 + b, r 2 = a 1 + b har en lösning med a > 0 blir prtföljvikterna desamma m vi sätter r 1 = 0 ch r 2 = 1 Vikterna blir (035, 001, 017, 0, 047) + κ( 040, 016, 049, 032, 057) Den högsta risknivån sm inte ger negativa vikter är σ = 029 I detta fall blir vikterna (002, 014, 058, 027, 0) Denna prtföljs utveckling under Perid 4 är plttad i Figur 3 tillsammans med minimivariansprtföljen Efter att ha varit uppe i 191 dag 90 var prtföljens värde 122 dag 256 vilket är marginellt över minimivariansprtföljens värde, 120 Tabell 2 är mtsvarigheten till Tabell 1 för Perid 4 Tabell 2 AZN LME HM SDIA SKA vlatilitet avkastning tillväxt Mönstret med en lågvlatil ch en högvlatil grupp består Vad sm främst skiljer de två periderna är tillväxten i HM

8 8 Finansmatematik II 2 18 risk= risk= Figur 3: Utveckling av den ptimala prtfölj sm har beräknad vlatilitet Tangentprtföljen Vi ska här utvidga prtföljen med en kassa Pengar i kassan förräntar sig med räntan r f sm i det krta perspektivet kan anses vara knstant (ch därmed ha vlatiliteten 0) Räntan berr däremt i allmänhet på m kassan är psitiv eller negativ Dvs m man lånar ut eller in Den prtfölj sm lägger vikten α i en aktieprtfölj sm har förväntad avkastning r ch vlatilitet σ ch resten, 1 α, i kassan har förväntad avkastning ch vlatilitet (1 α)r f + αr respektive α σ Om man varierar α 0, så får man en rät linje sm går genm punkterna (r f, 0) ch (r, σ) i avkastning-risk planet Prtföljerna på tangentlinjen i Figur 4 är de sm har lägst risk för given förväntad avkastning I denna figur sm är baserad på exempelprtföljen har data från Perid 1-4 använts De förväntade avkastningarna har skattats med hjälp av CAPM-identiteten (i Kapitel 5) Det punktade mrådet svarar mt prtföljer med psitiva vikter Den aktieprtfölj vars avkastning ch vlatilitet ligger i tangeringspunkten, T, kallas tangentprtföljen eller Markwitz prtföljen Kassan gör alltså att den effektiva frnten blir en rät linje (i fallet då ut ch inlåningsräntrna är lika) ch varje ptimal prtfölj har en del i tangentprtföljen ch resten i kassan Detta resultat kallas enfndsatsen ch gäller (till skillnad från tvåfndsatsen) även i fallet då negativa vikter ej är tillåtna Övning 12 Hur ser den effektiva frnten ut m din utlåningsränta är lägre än inlåningsräntan? Låt (r T, σ T ) vara en punkt på den effektiva frnten;

9 Tillväxt ch risk 9 05 SDIA LME 045 HM AZN SKA T Figur 4: Kassans inverkan på den effektiva frnten σt 2 = ( (r T r ) 2 ) σ2 1 + τ 2 Tangentlinjen genm denna punkt ges av där σ = σ T + k(r r T ), k = dσ dr Derivering av båda sidrna i ekvatinen för den effektiva frnten ger vilket ger 2σ dσ dr = σ2 2r r τ 2, k = σ2 τ 2 r T r σ T Tangentlinjen skär alltså r axeln i punkten (r f, 0), där r f = r T τ 2 σ 2 σ 2 T r T r Övning 13 Visa att r f = r τ 2 r T r, dvs (r T r )(r r f ) = τ 2

10 10 Finansmatematik II Den första identiteten visar att r f varierar mellan ch r då r T varierar mellan r ch Tangentprtföljen existerar alltså endast m r f < r Ovanstående identiteter visar även att vi kan parametrisera tangentprtföljen med räntan, r f, i stället för den förväntade avkastningen, r T (Dvs med en tänkt ränta sm kan varieras) Övning 14 Visa att m r f < r, så a) σt 2 = σ 2 q 2 (r r f ) 2 där q = τ 2 + (r r f ) 2 b) v T = P (r r f 1) r r f Här ch i frtsättningen står σ 2 T ch v T för tangentprtföljens varians respektive vikter Observera att tangentprtföljen överensstämmer med minimivariansprtföljen då r = r 1 Övning 15 Visa att m avkastningarna är krrelerade, så har tangentprtföljen vikterna v i = σ2 σ 2 i r i r f r r f Observera att vid beräkning av vikterna räcker det att beräkna w i = ri r f σ 2 i ch sedan sätta v i = w i /(w w m ) Övning 16 Beräkna vikterna i tangentprtföljen då r = (005, 010, 020) ch Q = i de två fallen r f = 005 ch r f = 010 Övning 17 Beräkna vikterna i tangentprtföljen då r ch Q är sm i Övning 8 ch räntan är r f Vilket villkr ska räntan uppfylla för att tangentprtföljen ska vara definierad? Övning 18 Antag att avkastningarna har gemensam krrelatin, ρ i,j = ρ Visa att tangentprtföljen har vikterna där v i = C σ i (r i r f σ i κ m j=1 r j r f σ i ),

11 Tillväxt ch risk 11 C = ch κ är sm i Övning 12 b i Kapitel 3 σ 2 (1 ρ)(r r f ) Övning 19 Beräkna tangentprtföljens vikter då r = (01, 0, 1, 04), σ 1 = 04, σ 2 = 05, σ 3 = 06, ρ i,j = 04, för alla i, j ch r f = 005 Övning 20 Visa att den effektiva frnten utgörs av linjen σ = r r f σ q Övning 21 Låt α beteckna vikten av tangentprtföljen i den ptimala prtfölj vars avkastning ch vlatilitet är sm i Övning 20 Visa att α = r r f q r r f q = r r f q σ σ = σ σ T Tangentprtföljens vikter beräknas med hjälp av talen r 1 r f, r m r f vilka behöver skattas Låt r 1 r f, r m r f beteckna skattningarna ch att dessa ger vikterna v T Felet blir då v T v T = P ( r r f 1 r r f r r f 1 r r f ) Nästa övning visar på vilket sätt skattningarna kan avvika utan att vikterna påverkas Övning 22 Visa att v T = v T m ch endast m det finns ett tal a > 0 sådant att r k r f = a(r k r f ) för k = 1,, m Vi vet från Kapitel 2 att förväntade avkastningar skattade med histriska avkastningar har låg precisin Vi ska nu återigen knstatera detta Tangentprtföljens vikter för våra fem aktier skattade med hjälp av histriska avkastningar under de lika periderna framgår av följande tabell Tabell 3 AZN LME HM SDIA SKA Perid Perid Perid Perid Perid Perid Perid

12 12 Finansmatematik II Definiera d bs på mtsvarande sätt sm för minimivariansprtföljen i Kapitel 3 Detta är alltså ett mått på det bserverade medelfelet i skattningarna av vikterna I nedanstående tabell ges dessa avstånd för ett antal lika peridlängder Tabell 4 Peridlängd Antal perider d bs Jämför med minimivariansprtföljen (Tabell 4 i Kapitel 3) Det skulle alltså krävas bservatiner under många år för att få stabila skattningar Om vi inte kan skatta tangentprtföljens vikter, så faller hela den kvantitativa delen av detta kapitel brt ch kvar blir endast den kvalitativa Att bestämma tangentprtföljens vikter är därför prtföljvalsterins huvudprblem En metd sm förhppningsvis är bättre är att skatta den framtida avkastningen med hjälp av gissningar från ett antal aktieanalytiker Denna metd föreslås av Markwitz Kanske är det så att de förväntningar sm dessa gissningar ger upphv till avspeglar sig i kurshistriken Vi ska i nästa kapitel göra ett försök att indirekt mäta avkastningen Sammanfattning:Tangentprtföljen existerar endast m r f < r Den kan parametriseras med räntan, r f, i stället för den förväntade avkastningen, r T Identiteterna i övningarna 13 ch 14 gäller Om man har en riskfri tillgång med avkastning r f så är den effektiva frnten linjen i Övning 20 Den ptimala prtföljen med förväntad avkastning r r f har vikten α i tangentprtföljen ch resten i den riskfria tillgången Här är α sm i Övning 21 Skattningar av tangentprtföljens vikter baserade på histriska avkastningar är instabila 5 Tillväxtprtföljerna I detta avsnitt ska vi bestämma den prtfölj sm har störst tillväxt av alla prtföljer sm består de m aktierna ch en riskfri tillgång Vi ska anta (se Tabell 4 i Kapitel 2) att tillväxten per år, ν, ges av ν = r 1 2 σ2 Här är r den mmentana avkastningen mräknad till årstakt (tex dagsavkastningen multiplicerad med 250) Den prtfölj sm har vikterna v 1,, v m i de lika aktierna ch resten, 1 v 1 v m i kassan har tillväxten r f (1 v 1 v m )+r 1 v 1 ++r m v m 1 2 Detta uttryck maximeras då m 1 m σ i,j v 1 v j = r f +(r r f 1) v 1 2 v Qv 1

13 Tillväxt ch risk 13 r r f 1 Qv = 0 dvs v = Q 1 (r r f 1) Den prtfölj sm har maximal tillväxt erhålls alltså genm att lägga vikten i tangentprtföljen ch resten i kassan Övning 23 Visa att α = r r f σ 2 r r f σ 2 = r T r f σ 2 T Man kan få högre tillväxt än aktiemarknaden genm att inte vara fullinvesterad i aktier utan ha en del i kassan, även m aktiemarknaden har högre förväntad tillväxt än räntan Anledningen är att man flyttar pengar från aktier till kassan då värdet av aktieprtföljen ökat mer än kassan -ch mvänt Man utnyttjar alltså vlatiliteten Den maximala tillväxtprtföljen behöver alltså balanseras m då ch då Antag att prtföljen balanseras m vid tidpunkterna t 0 < t 1 < Prtföljens värde vid t n är då P (t n ) = P (t 0 )Π n ( m i=1 1 + v i R i (t k 1, t k ) ) (Se Övning 10 i Kapitel 3) Här är v 0 = 1 v 1 v m vikten av kassan ch i=0 kassans avkastning R 0 (t k 1, t k ) = e r f (t k t k 1 ) 1 Sats 1 Antag att aktierna utvecklas enligt Mdell B Den kntinuerligt mviktade maximala tillväxtprtföljen har vikten α = r r f σ i tangentprtföljen ch 2 resten i kassan Prtföljens värde vid t är Här är P (t) = P (0)e tl e r f tv 0 ( S 1(t) S 1 (0) )v1 ( S m(t) S m (0) )vm, v = Q 1 (r r f 1), v 0 = 1 v 1 v m ch L = 1 m 2 ( v j σ j,j V ) där V = (r r f 1) Q 1 (r r f 1) j=1 Speciellt gäller att ln(p (t)/p (0)) är nrmalfördelad med väntevärde (r f + 1 2V )t ch varians V t Bevis Låt S 0 (t) beteckna värdet av kassan vid tiden t Den m + 1 dimensinella stkastiska prcessen (S 0 (t), S 1 (t),, S m (t)) utvecklas då enligt Mdell B

14 14 Finansmatematik II eftersm ln(s 0 (t)/s 0 (0) kan betraktas sm nrmalfördelad med väntevärde r f ch varians 0 Sätt v 0 = (1 v 1 v m, v 1,, v m ), r 0 = (r f, r 1,, r m ) ch låt Q 0 stå för kvariansmatrisen för (ln S 0 (1), ln S 1 (1),, ln S m (1)) Satsen följer nu av Sats 2 i Kapitel 3 L = 1 m 2 ( v 0 (j)σ j,j V ) där V = v 0 Q 0 v 0 = v Qv = (r r f 1) Q 1 (r r f 1) j=0 Speciellt gäller att ln(p (t)/p (0)) är nrmalfördelad med varians V t ch väntevärde (r 0 v v 0 Q 0 v 0 )t = (r f + (r r f 1) v V )t = (r f 1 2 V )t Man kan ckså lägga restriktiner på prtföljens vlatilitet för att minska risken Övning 24 a) Visa att den prtfölj sm maximerar tillväxten under bivillkret v Qv = σ 2 har vikten σ V α i tangentprtföljen ch resten i kassan b) Visa även att den förväntade tillväxten per år är r f + σ V σ2 2 = r f V 1 2 (σ V ) 2 Kassan kan vara negativ - man kan låna pengar med aktierna sm säkerhet Nrmalt kan aktier på Stckhlmsbörsens A-lista belånas till 70% ch på O- listan till 50% (ch bligatiner till 90%) av sitt värde Om man trr på en stark börsutveckling ch vill ha maximal tillväxt ska man alltså belåna prtföljen maximalt Låt b i vara 07 eller 05 berende vilken lista aktie i tillhör ch sätt b = (b 1,, b m ) Antag att aktieprtföljens vikt är a > 1 ch alltså att kassan är (a 1) Prtföljens belåningsvärde är b v Detta ger begränsningen a 1 b v dvs a 1 1 b w, där w = v/a ch alltså w w m = 1 Denna övre gräns för aktievikten blir väsentlig m α > 1/(1 b w) För att begränsa risken kan det finnas skäl att begränsa aktievikten ytterligare I fallet då prtföljen inte få belånas får aktievikten vara högst = 1 tex Detta leder till ptimeringsprblemet att maximera tillväxten under fixerad vikt i aktieprtföljen Sats 2 Antag att aktierna utvecklas enligt Mdell B Den prtfölj sm ger maximal förväntad tillväxt under bivillkret att vikten i aktieprtföljen är a har vikten 1 a i kassan ch aktievikterna

15 Tillväxt ch risk 15 vmax(a) = av + α(v T v ) Den kntinuerligt mviktade prtföljens tillväxt vid t är nrmalfördelad med väntevärde νmax(a)t ch varians Vmax(a)t, där ch Här är α ch V sm i Sats 1 νmax(a) = r f + 1 V (α a) 2( 2 σ 2 ) Vmax(a) = V σ 2 (α 2 a 2 ) Belåningsvärdet av denna prtfölj är b vmax(a) = αb (v T v ) + ab v Skulden a 1 får inte överstiga detta värde vilket ger begränsningen a 1 + αb (v T v ) 1 b v Övning 25 Visa att α är större än denna maximala vikt i aktieprtföljen m ch endast m α > 1/(1 b v T ) Dvs Bevis av Sats 2 I detta fall ger Lagranges multiplikatrmetd ekvatinerna r r f 1 Qv λ1 = 0 ch 1 v = a v = Q 1 (r r f 1 λ1) ch λ = σ 2 (α a) v = αv T (α a)v Satsen följer nu från identiteterna i nästa övning Övning 26 Visa att v Qv = Vmax(a) ch r f (1 a) v Qv 2 + r v = νmax(a) Genm att använda identiteten i nästa övning kan man få alternativa uttryck för tillväxtens väntevärde ch varians Övning 27 Visa att V = σ 2 α2 + τ 2 σ 2

16 16 Finansmatematik II Nästa övning belyser det faktum att det är tillväxten ch inte avkastningen sm är det väsentliga Övning 28 Ett spel går till så att man får tillbaks dubbla insatsen eller en tredjedel av insatsen med lika sannlikhet, 1/2 Du spelar upprepade gånger ch spelmgångarna är berende av varandra Ditt startkapital är K 0 = 1 Låt K n beteckna ditt kapital efter n spelmgångar a) Antag att du varje gång satsar hela ditt kapital Beräkna den förväntade avkastningen ch den förväntade tillväxten i varje spelmgång Visa att EK n men K n 0 i sannlikhet då n b) Antag att du varje gång satsar prprtinen p av ditt kapital, 0 p 1 Vilka värden på p maximerar den förväntade avkastningen respektive den förväntade tillväxten i varje spelmgång? Visa att K n för det senare värdet Litteratur Harry M Markwitz 1959 Prtfli Selectin: Efficient Diversificatin f f Investments Wiely 1970 Detta är rginalarbetet på mrådet Senare upplagr har även getts ut av Blackwell Publishers Inc Svar till övningarna 2 λ 1 = 7 30r 15, λ 2 = 10r 2 8 v = 1 (4 15r, 1, 15r 2) 3 v = 1 13 (3, 2, 2) + (r 7 70 )5 ( 3, 2, 5) 4 11 a) v σ v = ( 084, 018, 066) b) v v = 0 16 r f = 005: v = (0, 8/23, 15/23) r f = 010: Existerar ej 17 1 v = (3 30r f, 2 20r f, 8 20r f ), r f < 13/ r f 19 v = ( 036, 042, 178) 28 a) Förväntad avkastning 1/6 > 0, tillväxt 1 2 ln(2/3) < 0 b) Förväntad avkastning p/6, max=1/6 antas för p = 1Förväntad tillväxt 1 2 ln(1 + p/3 2p2 /3), max = 1 2 ln(1 + 1/24) > 0 antas för p = 1/4

Finansmatematik II Kapitel 2 Stokastiska egenskaper hos aktiepriser

Finansmatematik II Kapitel 2 Stokastiska egenskaper hos aktiepriser STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version Finansmatematik II Kapitel Stokastiska egenskaper hos aktiepriser Finansmatematik II För att kunna

Läs mer

Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering

Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 04 0 8 Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering 2 Finansmatematik II Risk och diversifiering

Läs mer

Finansmatematik II Kapitel 5 Samvariation med marknaden

Finansmatematik II Kapitel 5 Samvariation med marknaden 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 04 1 03 Finansmatematik II Kapitel 5 Samvariation med marknaden Finansmatematik II 1 Marknaden Med

Läs mer

Betavärde En akties betavärde, β, relativt en marknad, M, definieras som

Betavärde En akties betavärde, β, relativt en marknad, M, definieras som STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 02 22 SAMVARIATION MED MARKNADEN Marknaden Med marknaden menar vi här ett index. Ett index är en portfölj

Läs mer

P (t) = V 1 (t) V m (t) P (t + t) P (t) P (t) = v j (t)r j (t, t + t), v(t) Q t v(t),

P (t) = V 1 (t) V m (t) P (t + t) P (t) P (t) = v j (t)r j (t, t + t), v(t) Q t v(t), STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 02 22 RISK OCH DIVERSIFIERING Betrakta en portfölj bestående av m tillgångar som vi här ska kalla aktier.

Läs mer

STYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR

STYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. KOMPLEMENT DAG 13. STYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR Hittills har vi betraktat

Läs mer

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 02 10 25. RÄNTA 1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

Läs mer

KEMA02 Oorganisk kemi grundkurs F12

KEMA02 Oorganisk kemi grundkurs F12 KEMA02 Organisk kemi grundkurs F12 Kinetik Kinetik Atkins & Jnes kap 14.1 14.5 Översikt Reaktinshastigheter Kncentratin ch reaktinshastighet Mmentan hastighetsekvatin Hastighetsekvatiner ch reaktinsrdning

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 3.

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 3. STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 2. Luenberger: 2:1-5, 9, 11, 12. Övning 1. Du lånar 200000 kr i en bank

Läs mer

Laboration 1: Kalorimetrisk bestämning av neutralisationsentalpi

Laboration 1: Kalorimetrisk bestämning av neutralisationsentalpi LINKÖPINGS UNIVERSITET 2013-10-03 Avd för kemi, IFM Fysikalisk kemi Labratin 1: Kalrimetrisk bestämning av neutralisatinsentalpi Labratin 1: Kalrimetrisk bestämning av neutralisatinsentalpi Uppgift: 1.

Läs mer

Tidigt uttag av allmän pension och placering i kapitalförsäkring

Tidigt uttag av allmän pension och placering i kapitalförsäkring 1 (8) PM Dk.bet. 2015-06-08 Analysavdelningen Tidigt uttag av allmän pensin ch placering i kapitalförsäkring Tidigt uttag av allmän pensin ch placering i kapitalförsäkring i krthet: Fördelar: Möjlighet

Läs mer

PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN

PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN Enheten för Pedaggiska Mätningar PBMaE 0-05 Umeå universitet Prvtid PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN Del I: Uppgift -9 Del II: Uppgift 0-5 Anvisningar Ttalt 0 minuter för del I ch II

Läs mer

VÄSENTLIG INFORMATION AVSEENDE CERTIFIKAT TURBO LONG

VÄSENTLIG INFORMATION AVSEENDE CERTIFIKAT TURBO LONG VÄSENTLIG INFORMATION AVSEENDE CERTIFIKAT TURBO LONG Hur ska jag använda detta dkument? Detta dkument förser dig med infrmatin m väsentliga egenskaper ch risker för en investering i Certifikat Turb Lng

Läs mer

5B Portföljteori och riskvärdering

5B Portföljteori och riskvärdering B7 - Portföljteori och riskvärdering Laboration Farid Bonawiede - 89-09 Alexandre Messo - 89-77 - Beräkning av den effektiva fronten för en portfölj Uppgiften går ut på att beräkna de portföljer som ger

Läs mer

Fakta. Naturvetenskap i Bumper Cars. NaturligtVis. Fysiklabbar på Powerland. Bumper Cars. http://naturligtvis.novia.fi

Fakta. Naturvetenskap i Bumper Cars. NaturligtVis. Fysiklabbar på Powerland. Bumper Cars. http://naturligtvis.novia.fi Fysiklabbar på Pwerland Bumper Cars Bumper Cars är en str bilbana sm passar både stra ch små förare. Bilarna är försedda med bilbälten ch kan köras ensam eller parvis. Lättare kllisiner är tillåtna, men

Läs mer

Luftströmning i byggnadskonstruktioner

Luftströmning i byggnadskonstruktioner Luftströmning i byggnadsknstruktiner Lars Jensen Avdelningen för installatinsteknik Institutinen för bygg- ch miljöteknlgi Lunds tekniska högskla Lunds universitet, 27 Rapprt TVIT--7/72 Lunds Universitet

Läs mer

KOMMUNIKATIONSPLAN. Digital Agenda för Västra Mälardalen samt Tillgänglighet till Hållbar IT. Revisionshistorik. Bilagor

KOMMUNIKATIONSPLAN. Digital Agenda för Västra Mälardalen samt Tillgänglighet till Hållbar IT. Revisionshistorik. Bilagor KOMMUNIKATIONSPLAN Digital Agenda för Västra Mälardalen samt Tillgänglighet till Hållbar IT Prjektägare:, Mikael Lagergren Prjektledare: Per Fröling ch Mttagare: Deltagare i prjektet ch andra intressenter.

Läs mer

Tentamen Finansiering I (FÖ3006) 22/8 2013

Tentamen Finansiering I (FÖ3006) 22/8 2013 1 Tentamen Finansiering I (FÖ3006) 22/8 2013 Hjälpmedel: Räknare Betyg: G = 13 p, VG = 19 p Maxpoäng 25 p OBS: Glöm ej att redovisa dina delberäkningar som har lett till ditt svar! För beräkningsuppgifterna:

Läs mer

Ar.redovlsning.. PensionsförvaJtflingen. *~~e~~~!inget

Ar.redovlsning.. PensionsförvaJtflingen. *~~e~~~!inget Ar.redvlsning.. PensinsförvaJtflingen *~~e~~~!inget *~ 1 LedningsstabenIeknmigruppen Annika Hjertkvist 2007-02-27 LiÖ 2007-18 Landstingsstyrelsen Årsredvisning för pensinsförvaltningen 2006 Sammanfattning

Läs mer

Årsredovisning Armada Kanalfastigheter AB

Årsredovisning Armada Kanalfastigheter AB 3 '' 3 Årsredvisning Armada Kanalfastigheter AB Org.nr Räkenskapsår 214-1-1-214-12-31 Årsredvisning för räkenskapsåret 214-1-1-214-12-31 Styrelsen ch verkställande direktören för Armada Kanaifastigheter

Läs mer

Manus till presentationen. Vaccination mot HPV. Version 2015-03-31

Manus till presentationen. Vaccination mot HPV. Version 2015-03-31 Manus till presentatinen Vaccinatin mt HPV Versin 2015-03-31 Bild 1. Vaccinatin mt HPV Den 1 januari 2010 infördes ett nytt vaccin i det svenska vaccinatinsprgrammet för barn. Flickr födda 1999 eller senare

Läs mer

Kravspecifikation Batchbeställningar 2008-03-25 Version:

Kravspecifikation Batchbeställningar 2008-03-25 Version: Kravspecifikatin Batchbeställningar 2008-03-25 Versin: 1.00 Ändringshistrik Revisin Datum Av Kmmentar 1.00 2008-03-25 Maria Valterssn Första versin efter prjektavslut. Kravspecifikatinen har bara funnits

Läs mer

Centrala Sacorådet i Malmö stad

Centrala Sacorådet i Malmö stad Centrala Sacrådet i Malmö stad Enkät m tid för det fackliga uppdraget i samverkan Enkäten har skickats ut till alla Sacs representanter i samverkansgrupper på stadsmrådesförvaltningarna ch alla Sacs samverkansrepresentanter

Läs mer

Carnegie Holding AB. (Org. nr 556780-4983, styrelsens säte Stockholm) Moderbolag till Carnegie Investment Bank AB (publ) och Carnegie Fonder AB

Carnegie Holding AB. (Org. nr 556780-4983, styrelsens säte Stockholm) Moderbolag till Carnegie Investment Bank AB (publ) och Carnegie Fonder AB Carnegie Hlding AB (Org. nr 556780-4983, styrelsens säte Stckhlm) Mderblag till Carnegie Investment Bank AB (publ) ch Carnegie Fnder AB Delårsrapprt 1 januari 30 juni 2011 Delårsrapprt 1 januari 30 juni

Läs mer

Anslutning av mikroproduktion

Anslutning av mikroproduktion 2015-05-06 Trllhättan Anslutning av mikrprduktin Detta gäller när man vill ansluta mikrprduktin till Trllhättan Energi Elnät ch att prducera till egen förbrukning. Följande krav förutsätter att prduktinsanläggningen

Läs mer

Till samtliga partier representerade med kommunalråd i Uppsala kommun

Till samtliga partier representerade med kommunalråd i Uppsala kommun 2014 04 17 Till samtliga partier representerade med kmmunalråd i Uppsala kmmun I Uppsala finns ett starkt engagemang för natur ch miljö. Naturskyddsföreningen Uppsala har över 6000 medlemmar ch vill bidra

Läs mer

Förslag till ändrade rutiner för statliga ålderspensionsavgifter

Förslag till ändrade rutiner för statliga ålderspensionsavgifter 1 (7) PM Förslag till ändrade rutiner för statliga ålderspensinsavgifter Pensinsmyndigheten föreslår att: regleringsbelppet mellan statsbudgeten ch AP-fnden för statliga ålderspensinsavgifter inte fördelas

Läs mer

120 110 S t : 100 100 90 80 Vi ska här betrakta ett antal portföljer som vid t = 0 är värda 100 SEK.

120 110 S t : 100 100 90 80 Vi ska här betrakta ett antal portföljer som vid t = 0 är värda 100 SEK. STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. KOMPLEMENT DAG 5. HANDELSSTRATEGIER Låt S t beteckna priset på en aktie vid tiden t. Vi

Läs mer

OH-bilder till Martin Wallins föreläsning om rättskraft i tvistemål

OH-bilder till Martin Wallins föreläsning om rättskraft i tvistemål OH-bilder till Martin Wallins föreläsning m rättskraft i tvistemål Dmens rättsverkningar En dm får flera lika rättsverkningar ch de inträder vid lika tidpunkter. Rättskraft Samma sak kan inte prövas engång

Läs mer

Revisionsrapport 2010 Genomförd på uppdrag av revisorerna i Jönköpings kommun. Jönköpings kommun Granskning av användaradministrationen

Revisionsrapport 2010 Genomförd på uppdrag av revisorerna i Jönköpings kommun. Jönköpings kommun Granskning av användaradministrationen Revisinsrapprt 2010 Genmförd på uppdrag av revisrerna i Jönköpings kmmun Jönköpings kmmun Granskning av användaradministratinen Innehåll 1. Bakgrund ch syfte... 3 2. Metd ch avgränsning... 3 3. Begreppsförklaringar...

Läs mer

Vattenfall Innovation Awards

Vattenfall Innovation Awards Vattenfall Innvatin Awards Hantering av Uppfinnare, prcess ch tlkning av legala aspekter Tidsplan: 1. Vattenfalls (VF) utser en intern jury, bestående av ca 10 persner, sm bedömer ch beslutar m vilka idéer

Läs mer

Övningar i JavaScript del 3

Övningar i JavaScript del 3 Övningar i JavaScript del 3 I dessa övningar tar vi upp datumbjektet Date, arrayer ch lpar. Du utgår från ett prgram där man kan klicka på små bilder ch mtsvarande stra bild visas. Detta är i princip samma

Läs mer

Smultronbackens Förskola kvalitetsredovisning 2014-2015

Smultronbackens Förskola kvalitetsredovisning 2014-2015 Förskla Handläggare Vårt diarienummer Datum Sidan 1(11) 2015-07-02 Smultrnbackens Förskla kvalitetsredvisning 2014-2015 1. Organisatin Smultrnbackens förskla bildar tillsammans med Åshammars förskla ett

Läs mer

Känguru 2011 Student (gymnasiet åk 2 och 3)

Känguru 2011 Student (gymnasiet åk 2 och 3) Känguru 011 Student sida 1 / 8 NAMN KLASS / GRUPP Pängsumma: Känguruskutt: Lösgör svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under uppgiftsnumret. Lämna rutan tm m du inte vill besvara den frågan. Gissa

Läs mer

Styrning ökat fokus på brukares och patienters medskapande

Styrning ökat fokus på brukares och patienters medskapande Styrning ökat fkus på brukares ch patienters medskapande Synen på brukare ch patienter sm medskapare i vård, msrg eller andra ffentligfinansierade tjänster har förändrats under senare år. Detta var bakgrunden

Läs mer

Vi ska här utgå ifrån att vi har en aktie och ska med denna som grund konstruera tre olika optionsportföljer.

Vi ska här utgå ifrån att vi har en aktie och ska med denna som grund konstruera tre olika optionsportföljer. STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd för Matematisk statistik TH FINANSMATEMATIK I, HT 01 KOMPLEMENT DAG 12 Version 01 12 10 TRE OPTIONSSTRATEGIER Vi ska här utgå ifrån att vi har en aktie

Läs mer

Påbyggnad/utveckling av lagen om ett pris Effektiv marknad: Priserna på en finansiell marknad avspeglar all relevant information

Påbyggnad/utveckling av lagen om ett pris Effektiv marknad: Priserna på en finansiell marknad avspeglar all relevant information Föreläsning 4 ffektiva marknader Påbyggnad/utveckling av lagen om ett pris ffektiv marknad: Priserna på en finansiell marknad avspeglar all relevant information Konsekvens: ndast ny information påverkar

Läs mer

Riktlinjer och rekommendationer Riktlinjer för periodisk information som kreditvärderingsinstitut ska lämna till Esma

Riktlinjer och rekommendationer Riktlinjer för periodisk information som kreditvärderingsinstitut ska lämna till Esma Riktlinjer ch rekmmendatiner Riktlinjer för peridisk infrmatin sm kreditvärderingsinstitut ska lämna till Esma 23/06/15 ESMA/2015/609 Innehållsförteckning 1 Omfattning... 3 2 Definitiner... 3 3 Syftet

Läs mer

Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen

Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Ett sätt att få fram Black-Littermans formel är att formulera problemet att hitta lämpliga justerade avkastningar som ett skattningsproblem

Läs mer

TÄND ENGAGEMANGET HOS GENERATION Y

TÄND ENGAGEMANGET HOS GENERATION Y TÄND ENGAGEMANGET HOS GENERATION Y Likheter, skillnader ch fakta Dale Carnegie Training Whitepaper Den nya bmen. Millennials. Generatin Y. Kalla dem vad du vill. Generatinen sm är född mellan 1980 ch 1996

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN Del I, 13 uppgifter med miniräknare 3. Del II, breddningsdel 7

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN Del I, 13 uppgifter med miniräknare 3. Del II, breddningsdel 7 freeleaks NpMaD vt1999 för Ma4 1(9) Innehåll Förrd 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 1999 Del I, 13 uppgifter med miniräknare 3 Del II, breddningsdel 7 Förrd Km ihåg Matematik är att vara

Läs mer

Kort användarmanual för Test och quiz i Mondo 2.0

Kort användarmanual för Test och quiz i Mondo 2.0 Krt användarmanual för Test ch quiz i Mnd 2.0 Denna användarmanual är en krtversin av en längre användarmanual ch innehåller de viktigaste delarna för att kmma igång med användningen av Test ch quiz. För

Läs mer

Hur man skapar ett test i Test och quiz i Mondo 2.6

Hur man skapar ett test i Test och quiz i Mondo 2.6 Hur man skapar ett test i Test ch quiz i Mnd 2.6 Snabbstart Under Test ch quiz, namnge ditt test under fältet Namn ch klicka senare på Skapa. Börja sedan med att gå igenm inställningarna, för att kmma

Läs mer

Virkskola. Förkortningar: ~ 1 ~

Virkskola. Förkortningar: ~ 1 ~ Virkskla Förkrtningar: lm luftmaska sm smygmaska fm fast maska hst halvstlpe st stlpe dst dubbelstlpe m muche fm mtag stlpe fr aviga fast maska med mtag runt stlpen från avigsidan v varv mb maskbåge, den

Läs mer

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29)

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29) LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29) Aktuella avsnitt i boken: Kap 61 65 Lektionens mål: Du ska

Läs mer

Anvisning Registreringsteknik

Anvisning Registreringsteknik Anvisning Registreringsteknik För att den digitala pennan ska registrera krrekt, följ nedan anvisning: 1 Krk = av/på-knapp Krken fungerar sm en av/på-knapp på den digitala pennan. För att pennan ska fungera

Läs mer

Pedagogisk planering matematik Gäller för november-december 2015

Pedagogisk planering matematik Gäller för november-december 2015 Pedaggisk planering matematik Gäller för nvember-december 2015 Myrstacken Äldre årskurs 6, Hällby skla L= mest för läraren E= viktigt för eleven I periden ingår bedömningsdelar vi pga muntliga prv ch annat

Läs mer

PRINCIPER FÖR TILLGÅNG TILL DEPÅER FÖR KOLLEKTIVTRAFIKEN

PRINCIPER FÖR TILLGÅNG TILL DEPÅER FÖR KOLLEKTIVTRAFIKEN PRINCIPER FÖR TILLGÅNG TILL DEPÅER FÖR KOLLEKTIVTRAFIKEN Ett delprjekt inm Partnersamverkan för en fördubblad kllektivtrafik [Rapprt från en branschgemensam expertgrupp inm Partnersamverkan för en fördubblad

Läs mer

SF1911: Statistik för bioteknik

SF1911: Statistik för bioteknik SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion

Läs mer

Designprocessdagbok. Grupp 3; Maria Törnkvist, Ida Gustafsson, Mikael Karlsson, Jonas Lind, Hanne Flink- Sundin.

Designprocessdagbok. Grupp 3; Maria Törnkvist, Ida Gustafsson, Mikael Karlsson, Jonas Lind, Hanne Flink- Sundin. Designprcessdagbk. Grupp 3; Maria Törnkvist, Ida Gustafssn, Mikael Karlssn, Jnas Lind, Hanne Flink- Sundin. Krt intrduktin Under hela vår designprcess har vi fört dagbk över våra möten, dagbken har vi

Läs mer

LPP åk 2 v 35-43 HT 2011

LPP åk 2 v 35-43 HT 2011 LPP åk 2 v 35-43 HT 2011 Svenska Förankring i kursplanens syfte: frmulera sig ch kmmunicera i tal ch skrift, läsa ch analysera skönlitteratur ch andra texter för lika syften, anpassa språket efter lika

Läs mer

Skonsam avvänjning av dikalv

Skonsam avvänjning av dikalv Sknsam avvänjning av dikalv Sammanställt av: Anett Seeman & Jhanna Bengtssn, Taurus Köttrådgivning AB Aktiviteten är delfinansierad med EU-medel via Länsstyrelsen i Skåne Bakgrund En sknsam avvänjning

Läs mer

Yttrande rörande PTS omarbetade förslag till beslut avseende grossistmarlmaden för programutsändningstjänster i marknätet.

Yttrande rörande PTS omarbetade förslag till beslut avseende grossistmarlmaden för programutsändningstjänster i marknätet. TV4-GRUPPEN Kmmunikatinsmyndigheten PTS Enheten för samtrafik Bx 5398 102 49 Stckhlm Attn: Ylva Mälarstig Stckhlm den 20 augusti 2009 Yttrande rörande PTS marbetade förslag till beslut avseende grssistmarlmaden

Läs mer

Plan mot diskriminering och kränkande behandling ombord på T/S Gunilla

Plan mot diskriminering och kränkande behandling ombord på T/S Gunilla Öckerö, 2015 Plan mt diskriminering ch kränkande behandling mbrd på T/S Gunilla Målet är att planen ska följa sklverkets allmänna råd: Tydligt uttrycka att verksamhetens ledning tar avstånd från alla tendenser

Läs mer

Projektnamn: Vägledning för ett hälsosamt åldrande Seniorguiden. upprättades: Upprättad av: Namn Therese Räftegård Färggren och Anna Jansson

Projektnamn: Vägledning för ett hälsosamt åldrande Seniorguiden. upprättades: Upprättad av: Namn Therese Räftegård Färggren och Anna Jansson PROJEKTPLAN Prjektnamn: Vägledning för ett hälssamt åldrande Senirguiden Prjektansvarig: Avdelning: Kunskapsutveckling Enhet: Uppväxtvillkr ch hälssamt åldrande Prjektplan Juni 2010 upprättades: Upprättad

Läs mer

Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2

Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2 Kapitel 4 Bisektionsalgoritmen Vi ska konstruera lösningar till algebraiska ekvationer av formen f(x) = 0 med hjälp av bisektionsalgoritmen (intervallhalveringsmetoden). På samma gång ska vi se hur man

Läs mer

Ny fastighetsmäklarlag. Vitec Mäklarsystem

Ny fastighetsmäklarlag. Vitec Mäklarsystem Ny fastighetsmäklarlag Vitec Mäklarsystem Juni 2011 Innehållsförteckning 1. Inledning... 2 2. Sammanfattning av den nya fastighetsmäklarlagen... 3 3. Jurnalplikten med checklistr... 4 4. Sidtjänster...

Läs mer

KomBas-projektet: Uppföljning av MI-utbildningarna hösten 2007 inom ramen för Miltonprojektet Integrerad Psykiatri DubbelDiagnoser

KomBas-projektet: Uppföljning av MI-utbildningarna hösten 2007 inom ramen för Miltonprojektet Integrerad Psykiatri DubbelDiagnoser KmBas-prjektet: Uppföljning av MI-utbildningarna hösten 27 inm ramen för Miltnprjektet Integrerad Psykiatri DubbelDiagnser Ll Lebedinski 21-4-8 1 Innehållsförteckning Inledning... 3 Metd ch material...

Läs mer

Instruktioner för mappning av individer till NY-läge

Instruktioner för mappning av individer till NY-läge PM 01-0-5 Genmförandekmmittén för nya Plismyndigheten Ju 01:16 ORG-1 Instruktiner NY-läge Instruktiner för mappning av individer till NY-läge Intrduktin Inm ramen för prjekt ORG-1 har ett förslag till

Läs mer

KT Cirkulär 2/2015 bilaga 1 1 (15) Kiiski 26.2.2015. Ny diskrimineringslag. Diskrimineringslag 1.1.2015 (1325/2014)

KT Cirkulär 2/2015 bilaga 1 1 (15) Kiiski 26.2.2015. Ny diskrimineringslag. Diskrimineringslag 1.1.2015 (1325/2014) KT Cirkulär 2/2015 bilaga 1 1 (15) Ny diskrimineringslag Diskrimineringslag 1.1.2015 (1325/2014) Lagens syfte (1 ) Lagens tillämpningsmråde (2 ) Den nya diskrimineringslagen, sm trädde i kraft den 1 januari

Läs mer

Laghantering i Equipe

Laghantering i Equipe Laghantering i Equipe för klubbar tillhörande Skånes Ridsprtförbund Eftersm distriktet autmatiskt vill betala ut lagstöd till arrangörerna är det viktigt att inrapprteringen av lagklasserna sker på ett

Läs mer

Förskolan Västanvind

Förskolan Västanvind Försklan Västanvind Västanvinds plan mt diskriminering ch kränkande behandling (likabehandlingsplan) 2015-05-25 Visin Västanvind är en förskla där alla avsett kön, etnisk bakgrund, religin, funktinshinder,

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik, GA 08 januari 2015. Lösningar

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik, GA 08 januari 2015. Lösningar STOCKHOLMS UNIVERSITET MT712 MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, GA 8 januari 215 Lösningar Tentamen i Livförsäkringsmatematik I, 8 januari 215 Uppgift 1 a) Först konstaterar

Läs mer

Installation av fiber och IPTV i Seraljen

Installation av fiber och IPTV i Seraljen Frågr ch svar Frågr ch svar Installatin av fiber ch IPTV i Seraljen Kmmer COM hem att helt försvinna eller kan man ha det i en övergångsperid? Svar: Vi kmmer att ha tillgång till CmHem under 2016 ch 2017

Läs mer

Producenter: anvisning om hur checklistan för kontroll av planen för egenkontroll och hur denna omsätts i praktiken fylls i

Producenter: anvisning om hur checklistan för kontroll av planen för egenkontroll och hur denna omsätts i praktiken fylls i Föredragen av Nurttila Annika Sida/sidr 1 / 7 Prducenter: anvisning m hur checklistan för kntrll av planen för egenkntrll ch hur denna Syftet med kntrllen är att utreda m prducenten i sin plan för egenkntrll

Läs mer

Förslag på samarbetsorganisation för gemensam plattform för nationellt digitalt folkbibliotek

Förslag på samarbetsorganisation för gemensam plattform för nationellt digitalt folkbibliotek Förslag på samarbetsrganisatin för gemensam plattfrm för natinellt digitalt flkbiblitek 1 Inledning ch bakgrund Kmmunakuten AB har fått i uppdrag att arbeta fram ett förslag på samarbetsrganisatin för

Läs mer

Policyn inkluderar de föreskrifter för kommunens medelsförvaltning som fullmäktige enligt 8 kap 3 Kommunallagen har att fastställa.

Policyn inkluderar de föreskrifter för kommunens medelsförvaltning som fullmäktige enligt 8 kap 3 Kommunallagen har att fastställa. FINANSPOLICY 1. ALLMÄNT 1.1 Övergripande mål för finansverksamheten Kmmunens finansverksamhet skall bedrivas på ett effektivt ch säkert sätt utan spekulativa inslag. Den övergripande målsättningen för

Läs mer

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet

Läs mer

Landstinget Dalarna. Granskning av finansförvaltningen Rapport. KPMG AB 2011-03-17 Antal sidor: 12

Landstinget Dalarna. Granskning av finansförvaltningen Rapport. KPMG AB 2011-03-17 Antal sidor: 12 en Rapprt KPMG AB Antal sidr: 12 2011 KPMG AB, a Swedish limited liability partnership and a member firm f the KPMG netwrk f independent member firms affiliated with KPMG Internatinal, a Swiss cperative.

Läs mer

Vad är kompetens och vad är rätt kompetens?

Vad är kompetens och vad är rätt kompetens? Vad är kmpetens ch vad är rätt kmpetens? Det är dags att börja med att definiera detta. Om du ställer frågan vad behöver man kunna för att utföra sina arbetsuppgifter så blir det ftast lite lättare. Det

Läs mer

SFI- En brygga till livet i Sverige?

SFI- En brygga till livet i Sverige? SFI- En brygga till livet i Sverige? En analys av undervisningen i svenska för invandrare 2001-05-08 Förrd Ett gtt företagsklimat består av lika delar. De flesta tänker autmatiskt på skatter, regleringar

Läs mer

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Avd. Matematisk statistik Tobias Rydén 2011-09-30 SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Förberedelser. Innan du går till laborationen, läs igenom den här handledningen. Repetera också i

Läs mer

Denna metodbeskrivning kompletterar den metodbeskrivning som finns i rapporten.

Denna metodbeskrivning kompletterar den metodbeskrivning som finns i rapporten. Metdbeskrivning underlag till rapprten Lång väg till patientnytta en uppföljning av natinella riktlinjers inverkan på vården i ett decentraliserat system Denna metdbeskrivning kmpletterar den metdbeskrivning

Läs mer

Användarhandbok OESpeaker 1.0

Användarhandbok OESpeaker 1.0 Användarhandbk OESpeaker 1.0 OESpeaker Versin 10.1 datum 2004-04-19-1 - Innehållsförteckning OESpeaker Versin 10.1 datum 2004-04-19... 1 Installatin av prgrammet... 3 På servern... 3 Uppdatering av tider

Läs mer

Lösningsförslag/lösningskommentarer (Ej fullständiga svar) VFTA01- ordinarie tenta våren 2014

Lösningsförslag/lösningskommentarer (Ej fullständiga svar) VFTA01- ordinarie tenta våren 2014 Lösningsförslag/lösningskmmentarer (Ej fullständiga svar) VFTA01- rdinarie tenta våren 2014 Fråga 1 15p a Av uppgiften framgår att strandskydd föreligger i mrådet. Av MB 7:15 1p framgår bland annat att

Läs mer

Tjänstebeskrivning. Tjänsteöversikt. Omfattning för Copilot Optimize-tjänster. Co ilot Optimize CAA-1000. Omfattning

Tjänstebeskrivning. Tjänsteöversikt. Omfattning för Copilot Optimize-tjänster. Co ilot Optimize CAA-1000. Omfattning Tjänstebeskrivning C ilt Optimize CAA-1000 Tjänsteöversikt Denna Tjänstebeskrivning ("Tjänstebeskrivningen") ingås mellan dig, kunden, ("dig" eller "Kunden") ch den Dell-enhet sm identifierats på din faktura

Läs mer

8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning

8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning 8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning 8. Skattning av µ och Students T-fördelning Om σ är känd, kan man använda statistikan X µ σ/ n för att hitta konfidensintervall för µ. Om σ inte

Läs mer

-boken. Jämställdhet i arbetslivet 2002-2007. Doris Thornlund, projektledare Länsstyrelsen i Norrbottens län

-boken. Jämställdhet i arbetslivet 2002-2007. Doris Thornlund, projektledare Länsstyrelsen i Norrbottens län -bken Jämställdhet i arbetslivet 2002-2007 Dris Thrnlund, prjektledare Länsstyrelsen i Nrrbttens län Titel: JA -bken, Länsstyrelsens rapprtserie 12/2007 Författare: Dris Thrnlund, Länsstyrelsen i Nrrbttens

Läs mer

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Diskreta slumpvariabler En slumpvariabel tilldelar tal till samtliga utfall i ett slumpförsök. Vi

Läs mer

Bildningsförvaltningens pedagogiska IKT-strategi för skolutveckling med hjälp av digitala verktyg 2013-2016

Bildningsförvaltningens pedagogiska IKT-strategi för skolutveckling med hjälp av digitala verktyg 2013-2016 Rapprt 1 (5) Datum 2013-06-03 Förslag till; Bildningsförvaltningens pedaggiska IKT-strategi för sklutveckling med hjälp av digitala verktyg 2013-2016 IT i sig kan inte förbättra elevernas lärande, däremt

Läs mer

Geometri år 7C och 7D vt-14

Geometri år 7C och 7D vt-14 Gemetri år 7C ch 7D vt-14 Förankring i kursplanens syfte I matematik tränas elevernas förmåga att: frmulera ch lösa prblem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier ch metder använda ch analysera

Läs mer

Workshop kulturstrategi för Nacka

Workshop kulturstrategi för Nacka Wrkshp kulturstrategi för Nacka Wrkshp: Syftet med wrkshppen var att inleda prcessen med att ta fram en kulturstrategi för Nacka kmmun. Närvarande: Olika kulturchefer i Nacka kmmun. Wrkshppen leddes av

Läs mer

Oasmia Pharmaceutical AB (publ)

Oasmia Pharmaceutical AB (publ) Oasmia Pharmaceutical AB (publ) BOKSLUTSRAPPORT FÖR PERIODEN 2006-05-01-- 2007-04-30 Krt m bkslut för periden 2006-05-01 2007-04-30 Kncernens nettmsättning ökade till 22 387 (853) tkr. Resultat efter skatt

Läs mer

Vattenfall Eldistribution AB

Vattenfall Eldistribution AB Bilaga 2 Samrådsredgörelse avseende ny- ch mbyggnad av Vattenfalls 70 kv anslutningsledningar till transfrmatrstatin i Ösm, Nynäshamns kmmun Bild 1 Vy över landskapet med transfrmatrstatinen till vänster

Läs mer

Scouternas stipendier till världsscoutjamboree 2015 i Japan

Scouternas stipendier till världsscoutjamboree 2015 i Japan Scuternas stipendier till världsscutjambree 2015 i Japan Scuterna har ett antal helstipendier ch ett antal delstipendier till världsscutjambreen 2015 i Japan. Man kan läsa mer m stipendierna här. För att

Läs mer

INNEHÅLL. Bostadsmarknaden i Sverige sedan 1990-talet Kassaflödesanalys. Villor i residensstäderna Bostadsrätter i residensstäderna

INNEHÅLL. Bostadsmarknaden i Sverige sedan 1990-talet Kassaflödesanalys. Villor i residensstäderna Bostadsrätter i residensstäderna BETALT FÖR ATT BO En kassaflödesanalys av pris- ch kstnadsutvecklingen under de senaste fem åren på villa- respektive bstadsrättsmarknaderna i Sverige 2014-06-09 1 INNEHÅLL Bstadsmarknaden i Sverige sedan

Läs mer

Skolverkets bedömning är att vi idag har stort behov av:

Skolverkets bedömning är att vi idag har stort behov av: Sklverkets bedömning är att vi idag har strt behv av: Fler lärare med kmpetens i svenska sm andraspråk. Fler mdersmålslärare ch studiehandledare på mdersmål. Fler vuxna i sklan med mdersmålskmpetens. Kmpetensutveckling

Läs mer

Sammanfattning av olycksundersökning Brand i byggnad Brand i bänkdiskmaskin

Sammanfattning av olycksundersökning Brand i byggnad Brand i bänkdiskmaskin Sammanfattning av lycksundersökning Brand i byggnad Brand i bänkdiskmaskin Sammanfattning av händelsen Brand i lägenhet, med startrum i köket, sm har rsakats av fel i en bänkdiskmaskin. Innehåll i undersökning

Läs mer

Lösningar till tentamen i Grundläggande nansmatematik. 21 december 2006 kl. 914

Lösningar till tentamen i Grundläggande nansmatematik. 21 december 2006 kl. 914 STOCKHOLMS UNIVERSITET MS 3290 MATEMATISKA INSTITUTIONEN TENTAMEN Avd. Matematisk statistik 21 december 2006 Lösningar till tentamen i Grundläggande nansmatematik 21 december 2006 kl. 914 Uppgift 1 Priset

Läs mer

Undersökning av seniorers informationsbehov Sundsvalls kommun

Undersökning av seniorers informationsbehov Sundsvalls kommun Undersökning av senirers infrmatinsbehv Sundsvalls kmmun Impera kmmunikatin AB Innehållsförteckning Inledning... 3 Syfte... 3 Metd ch genmförande... 3 Målgrupp ch Svarsfrekvens... 3 Brtfallsredvisning...

Läs mer

Deltagarperspektiv i SPIRA Anställningskompetens

Deltagarperspektiv i SPIRA Anställningskompetens Deltagarperspektiv i SPIRA Anställningskmpetens Delrapprt Av Anneli Danielssn Eurpean Minds Sweden AB april 2013 SPIRA Anställningskmpetens ur ett deltagarperspektiv För att kunna påvisa hur deltagarna

Läs mer

Digitala verktyg i musik

Digitala verktyg i musik DISKUSSIONSUNDERLAG FÖR GRUNDSKOLAN Diskutera Digitala verktyg i musik I Lgr 11, del 2.2 m kunskaper står det att sklan ska ansvara för att varje elev efter genmgången grundskla kan använda mdern teknik

Läs mer

Rådgivningen, kunden och lagen

Rådgivningen, kunden och lagen RAPPORT DEN 11 april 2007 DNR 06-7426-306 2007 : 5 Rådgivningen, kunden ch lagen en undersökning av finansiell rådgivning INNEHÅLL SAMMANFATTNING 1 UTGÅNGSPUNKTER 2 FI pririterar rådgivningen 2 Tidigare

Läs mer

Lönsamhetskalkyler energisparåtgärder

Lönsamhetskalkyler energisparåtgärder Lönsamhetskalkyler energisparåtgärder Utarbetad av Enn Abel Götebrg, juli, 2012 (uppdaterad ktber 2015) Beställargruppen lkaler, BELOK, är ett samarbete mellan Energimyndigheten ch Sveriges största fastighetsägare

Läs mer

Examinator: Bengt Hällgren

Examinator: Bengt Hällgren Karlstads universitet / Elektrteknik / TEL102 ch TEL108 / Tentamen 020612 / Hä PRö 1 (5) 7HQWDPHQGHQMXQL 7(/±,QWURGXNWLRQWLOO(',SURJUDPPHW 7(/±,QOHGDQGHHOHNWURQLNRFKPlWWHNQLN Examinatr: engt Hällgren Hjälpmedel:

Läs mer

FÖRFATTNINGSSAMLING 033.6

FÖRFATTNINGSSAMLING 033.6 1 (7) VÄSTERVIKS KOMMUN FÖRFATTNINGSSAMLING 033.6 POLICY FÖR DONATIONSFONDERNAS FÖRVALTNING ANTAGEN AV KOMMUNFULLMÄKTIGE 1992-11-26, 174 ÖVERGRIPANDE MÅL Västerviks kmmun svarar för den eknmiska förvaltningen

Läs mer

Anslutningsavtal för fiberinkoppling till fastighet

Anslutningsavtal för fiberinkoppling till fastighet 1(3) Anslutningsavtal för fiberinkppling till fastighet (Klckestrand) Genm detta Avtal, sm är upprättat mellan (nedan kallad Fastighetsägaren) ch Kramfrs Mediateknik AB, rganisatinsnummer: 556534-3562

Läs mer

1 Fastställande av kalkylräntan för det fasta nätet

1 Fastställande av kalkylräntan för det fasta nätet Datum Vår referens Sida 2011-01-25 Dnr: 10-420/2.1.2 1(5) Konkurrensavdelningen Bengt G Mölleryd 08-678 55 64 bengt.molleryd@pts.se 1 Fastställande av kalkylräntan för det fasta nätet 1.1 Metoden för att

Läs mer

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0 Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF191, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 1:A JUNI 216 KL 8. 13.. Kursledare: Thomas Önskog, 8-79 84 55 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i

Läs mer

Konsekvensanalys Miljökonsekvensbeskrivning

Konsekvensanalys Miljökonsekvensbeskrivning Knsekvensanalys Miljöknsekvensbeskrivning Översiktsplan för Örnsköldsviks kmmun antagen 17 december 2012 Ft: Charltte Hedlund 1 Sammanfattning Knsekvensanalys (miljöknsekvensbeskrivning) Denna knsekvensanalys

Läs mer