Finansmatematik II Kapitel 2 Stokastiska egenskaper hos aktiepriser
|
|
- Maj Johansson
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version Finansmatematik II Kapitel Stokastiska egenskaper hos aktiepriser
2 Finansmatematik II För att kunna välja ut optimala portföljer och beskriva dessa portföljers egenskaper behöver vi känna till vissa egenskaper som aktiepriser har. Som exempel ska vi använda utvecklingen av Affärsvärldens generalindex (AFGX) samt 5 aktier: AstraZeneca (AZN), Ericsson B (LME), Hennes (HM), Skandia (SDIA) och Skanska (SKA) under perioden Totalt 5 börsdagar. Vi ska nedan kalla dessa för FEM AKTIER. De dagliga slutkurserna för dessa är plottade i Figur. I samtliga fall har startvärdet normerats till. Observera att två olika skalor har använts. Tillväxt Låt S(t) beteckna priset på en tillgång vid tiden t. Vi ska när inget annat sägs mäta t i år. Ett år består av c:a 5 börsdagar. De dagliga slutkurserna är därför S(), S( t), S( t),..., där t = /5. Tillväxten i intervallet (t, t ), G(t, t ), definieras som Detta kan även skrivas Vi har för alla t, t, t 3 och därför även G(t, t ) = ln S(t ) S(t ). S(t ) = S(t )e G(t,t). G(t, t ) = G(t, t 3 ) + G(t 3, t ) G(, n t) = n G((k ) t, k t). k= Övning Visa detta. Tillväxtens fördelning Vi ska nu jämföra tillväxtens fördelning med normalfördelningen. I Figur visas histogram över de dagliga tillväxterna för Ericsson B tillsammans med tätheten för den normalfördelning som har samma väntevärde och varians som observationerna. Man ser här att normalfördelningen underskattar sannolikheten för små och stora förändringar och överskattar sannolikheten för förändringar däremellan; c:a till standaravvikelser. Standaravviklsen är.3 och medelvärdet.. De största och minsta observationerna är.9 respektive -.8, c:a 6 standardavvikelser. Den sannolikhet normalfördelningen ger denna händelse är ( Φ(6)) 9 och denna är alltså helt försummbar. De dagliga tillväxterna är alltså inte normalfördelade i detta fall. Även de övriga aktierna av FEM AKTIER har ovan beskrivna egenskaper.
3 Stokastiska egenskaper hos aktiepriser 3 AFGX AZN 5 LME HM 5 SDIA SKA Figur :. LME.5.. Figur :
4 Finansmatematik II AFGX Figur 3: AFGX är en viktad summa och man kan därför vänta sig att denna på grund av den centrala gränsvärdessatsen är approximativt normalfördelad. Men så är inte fallet, vilket framgår av Figur 3. I detta fall är standaravviklsen.5 och medelvärdet.. De största och minsta observationerna är. respektive -.7, c:a 7 respektive 5 standardavvikelser. Ovanstående gäller dagsavkastningarna. För att studera tillväxten över längre tidsintervall än dag ska vi övergå till normalfördelningsplottar eftersom antalet observationer blir för få för att göra informativa histogram. Antag att X,..., X n är oberoende normalfördelade stokastiska variabler som alla har väntevärdet ν och standardavvikelsen σ. Definiera Y k = Φ( X k ν ), σ där Φ står för den standariserade normalfördelningens fördelningsfunktion. Då är Y,..., Y n oberoende och likformigt fördelade på intervallet (, ). Låt X () < X () <... < X (n) och Y () < Y () <... < Y (n) vara X,..., X n respektive Y,..., Y n ordnade i storleksordning. Det går att visa att EY (k) = k n+ och Var(Y (k)) = k n+ ( k n+ ) n+. Därför gäller k n+. Y (k) ) k n + d.v.s. X (k)) ν + σz n,k, där Φ(z n,k ) = Om man plottar X (k) mot z n,k kommer punkterna därför att ligga nära en rät linje, förutsatt att normalfördelning föreligger. I Figur och 5 visas plottarna
5 Stokastiska egenskaper hos aktiepriser 5 Day Week Month AFGX AZN LME Figur : för FEM AKTIER med X k = G((k ) t, k t) i fallen t =/5 (en dag), 5/5 (en vecka) och /5 (en månad). Samtliga plottar över den dagliga tillväxten har en tydlig S-form, efter en vecka har de tre sista kvar en viss S-form men efter en månad endast möljigen Skandia. Tillväxten över längre tidsintervall än c:a en månad tycks alltså vara normalfördelad. Normalfördelningsantantagande Tillväxten över ett tidsintervall av längd T är approximativt normalfördelad då T är tillräckligt stort; T /. Antag att vi observerat S(t) vid tidpunkterna, t, t,..., n t = T, där t = /5 (en dag). Låt X k = G((k ) t, k t) för k =,..., n beteckna de dagliga tillväxterna. För att undersöka beroendet mellan tillväxten på varandra följande dagar ska vi beräkna korrelationerna mellan X() och X(l) för l =,,..., m. Här är < m < n och X(l) = (X +l,..., X n m+l ) för l =,..., m. I Figur 6 är korrelationskoefficienterna ρ(l) = Cov(X(), X(l)) Var(X())Var(X(l)) plottade som funktioner av l för FEM AKTIER i fallet m =. Dessa korrelationer är utmärkta med punkter. Som jämförelse har även korrelationskoefficienterna för absolutbeloppen av de dagliga tillväxterna, X k, plottats. De senare korrelationerna är utmärkta med *.
6 6 Finansmatematik II Day Week Month HM SDIA SKA Figur 5: AFGX AZN LME HM SDIA SKA Figur 6:
7 Stokastiska egenskaper hos aktiepriser 7 AFGX AZN LME HM SDIA SKA Figur 7: I Figur 7 är de glidande medelvärdena x k = (x k x k+5 )/ plottade under de första 95 dagarna. Det framgår att tillväxten olika dagar är okorrelerade men de är inte oberoende eftersom absolutbeloppen närliggande dagar är positivt korrelerade. Den senare effekten har klingat av helt efter 9 dagar. Vi ska göra följande Momentantagande a) Väntevärde och varians för G(, t) existerar och är kontinuerliga funktioner av t. b) För varje par t < t är väntevärdet och variansen för G(t + s, t + s) desamma för alla s. c) Tillväxterna G(t, t ) och G(t, t 3 ) är okorrelerade för alla t < t < t 3. 3 Drift och volatilitet Sätt ν(t) = EG(, t) och σ (t) = Var(G(, t)). Övning a) Visa att momentantagandet medför att b) Visa att ν(t + s) = ν(t) + ν(s) och σ (t + s) = σ (t) + σ (s). ν(t) = νt och σ (t) = σ t. Parametern ν kallas driften och σ volatiliteten.
8 8 Finansmatematik II där Vi ska skatta parametrarna ν och σ med ˆν = x/ t respektive ˆσ = v(x)/ t, x = x x n n och v(x) = n n (x k x). k= Tidsperioden delades in i lika långa tidsperioder om 56 dagar vardera. I nedanstående tabeller ges skattningarna av volatiliteten och driften med hjälp av data från de olika perioderna. Tabell Volatilitet Period Period Period Period Period Drift Period Period Period Period Period För att beräkna ˆν behövs endast värdena i observationsintervallets ändpunkter: Övning 3 Visa att ˆν = ln(s T /S ). T ˆν ν σ/ T Det följer av normalfördelningsantagandet att är approximativt normalfördelad med väntevärde och varians. Vi ska se nedan att ˆσ är en konsistent skattning av σ. Därför är även standardiserat normalfördelad. För stora T är ˆν ± ˆν ν ˆσ/ T ˆσ T z ɛ/
9 Stokastiska egenskaper hos aktiepriser 9 därför ett konfidensintervall för ν med den approximativa konfidensgraden ɛ. Här är Φ(z p ) = p. Övning a) Beräkna ett approximativt 95% konfidensintervall för Ericssons drift med hjälp av data från Period -. b) Ungefär hur lång observationsperiod hade behövts för att det 95% konfidensintervallet skulle ha fått längden 5%? Svar: a) ( %, 9%). b) T 5 år. Om man sänker konfidensgraden till 9% och ökar intervallängden till %, så minskar observationsperiodens längd till 5 år. Med konfidensgraden 5% och intervallängden %, blir observationsperiodens längd 5 år. Slutsats Driften går inte att skatta med någon rimlig precision på detta sätt. De olika perioderna är olika volatila. Så till exempel är Period mer volatil än Period. Detta försvårar att använda historiska data till att skatta den framtida volatiliteten. Det kommer emellertid att visa sig att vad vi kommer att behöva är de relativa volatiliteterna. I Tabell är σ j /(σ σ 6 ), j =,..., 6 avrundade till närmsta heltal beräknade för de olika perioderna. Tabell Relativa volatiliteter. Period Period Period Period 3 3 Period De relativa volatiliteterna går alltså att skatta med historiska data och vi kommer senare att se att det är en fördel att använda data från en lång tidsperiod. Detta kontrasterar mot det fall man vill använda volatiliteten till att bestämma optionspriser. I detta fall använder man data från kortare tidsperioder för att fånga upp svängningarna i volatiliteten. Observera att ˆσ = n t n x k tˆν. k= Uttrycken tˆν blir med data från Period -:.,.,.8,.5,. respektive.. Dessa skillnader är försumbara. Man kan därför lika gärna skatta σ med ˇσ = n t n k= x k
10 Finansmatematik II som med ˆσ. Vi har sett att tillväxterna över tillräckligt långa tidsintervall är approximativt normalfördelade. Övning 5 Antag att tillväxterna är oberoende och normalfördelade. Då är alltså χ -fördelad med n frihetsgrader. a) Visa att Eˆσ = n nˆσ σ n σ och Var(ˆσ ) = n n b) Visa att ˆσ är asymptotisk N(σ, σ n ) och därför är ˆσ( ± z ɛ/ n ) σ n. ett konfidensintervall för σ med den approximativa konfidensgraden ɛ. Observera att (under ovanstående förutsättningar) längden av konfidensintervallet för σ är proportionell mot n = t T och att precisionen i skattningen därför ökar om vi gör tätare observationer (minskar t). Detta gäller inte skattningen av ν. I verkligheten tycks detta gälla endast till en viss gräns. Vi ska använda ˇσ i stället för ˆσ. Vi ska anta att kovariansen mellan Xi och Xj endast beror på t och avståndet j i. Då gäller Här är Var(ˇσ ) = (n t) n n i= j= R m = Cov(X i, X j ) = n t Var(X )( + R n ). m ρ k ( k n ), k= där ρ k står för korrelationskoefficienten mellan X och X +k. Övning 6 Visa detta. Om man skattar dessa korrelationskoefficienter med data från Period - finner man att de har ungefär samma allmänna beteende som korrelationskoefficienterna för absolutbeloppen men klingar av något snabbare. Följden R, R,... växer till att börja med och planar sen ut vid m t 6 dagar. I Figur 8 är Var(ˇσ ) plottad för t =,,..., 3 dagar. De tre linjerna är σ /n = σ t/ med σ skattat med dagsdata ( t = ), enveckorsdata ( t = 5) respektive tvåveckorsdata ( t = ). Observera att två olika skalor har använts.
11 Stokastiska egenskaper hos aktiepriser x 3 AFGX x 3 AZN.5 LME , HM.5 SDIA x 3 SKA Figur 8: Om man bortser från Skandia kan man möjligen med lite god vilja approximera punktsvärmen med en rät linje för t 5 men inte för t 3. I synnerhet t = ger hög varians. Varianserna antar minimum för t =7,, 9, 6, 7 respektive 8 dagar. Därefter rätar kurvan ut sig. Denna avvikelse från linjen kan förklaras med att tillväxten inte är normalfördelad för små t. Det tycks alltså finnas en gräns för t under vilken varianserna inte minskar. Å andra sidan finns det i de flesta fall värden på t mellan 5 och för vilka varianserna är av samma storleksordning som för t =. I Figurerna 9 och visas normalfördelningsplottar för ˇσ i fallet t = dag och n =, 63, 5 (dag, kvartal respektive halvår). Här krävs det längre tidsperiod än en månad för att fördelningen ska kunna approximeras med normalfördelningen men även för att skattningen av volatiliteten ska bli stabil. Observera att den 35% sättningen i tillväxten för HM dag 87 slår igenom fortfarande på halvårsnivån. Övning 7 Antag att ˇσ = σ + SD(ˇσ )Z, där Z är approximativt standardiserat normalfördelad. a) Visa att då ˆd. Här är d = SD(ˇσ ) σ. b) Visa att ˇσ = σ ( + ˆdZ + O( ˆd ) ),
12 Finansmatematik II Day Quarter Halfyear AFGX AZN LME Figur 9: Day Quarter Halfyear HM SDIA SKA Figur :
13 Stokastiska egenskaper hos aktiepriser 3 ˇσ( ± z ɛ/ ˆd) är ett konfidensintervall för σ med den approximativa konfidensgraden ɛ, förutsatt att ˆd är liten. Följande värden på ˆd och ˇσ erhölls med data från Period -. Tabell 3 ˆd t = t = t = ˇσ t = t = t = Av denna tabell framgår det inte att någon av periodlängderna är klart bäst. Däremot framgår det att formeln σ t/t inte beskriver Var(ˇσ ) väl. Övning 8 Visa att om Var(ˇσ ) = σ t/t, så d = t T. Detta ger d =.,.9,.7 för t =, 5 respektive dagar. Dessa värden är alldeles för optimistiska, åtminstone för t = och 5. Observationsperiodens längd i ovanstående exempel var dagar d.v.s. T = /5 =.96 år. Vi ska nu ange konfidensintervallets beroende av T. För långa tidsperioder är ˇσ approximativt normalfördelad och korrelationen mellan disjunkta (och långa) tidsperioder torde vara försumbar. Därför är ĉ ˇσ( ± z ɛ/ ) T ett konfidensintervall för σ med den approximativa konfidensgraden ɛ. Här TSD(ˇσ ) är c = σ angiven i årstakt. Sambandet mellan d i exemplet ovan och c är alltså c = /5d och ett typiskt värde är alltså c =.. Övning 9 Antag att c =.. a) Ungefär hur stort ska T vara för att ˇσ( ±.) ska vara konfidensintervall med konfidensgraderna 95, 75 respektive 5%. b) Samma fråga för intervallet ˇσ( ±.) Upplysning z.5 =.67, z.5 =.5, z.5 =.96. Svar a) 5, 5 respektive år. b), respektive / år. Vi kan alltså inte mäta volatiliteten med samma höga precision som vi kanske är vana vid från läroböcker i statistik men situationen är inte lika hopplös
14 Finansmatematik II som för driften. Vi kan få en hygglig uppfattning om volatiliteternas inbördes förhållande. Övning Använd de dagliga tillväxterna under Period - till att beräkna konfidensintervall för σ med de approximativa konfidensgraderna 9% och 5% för en av aktierna. Svar 9% (.9,.7) (.8,.35) (.,.56) (.3,.5) (.39,.57) (.3,.3) 5% (.,.5) (.3,.3) (.6,.5) (.39,.7) (.,.5) (.5,.9) Här ser man t.ex att σ afgx < σ azn < σ sdia och att vi inte kan avgöra vilken av LME och SDIA som har störst volatilitet. Sammanfattning Skattningen av volatiliteten är approximativt normalfördelad då T är stort. Skattningens standaravvikelse har formen c( t)/ T. Det finns en gräns för t, dagar, under vilken c( t) inte minskar. Speciellt gäller inte identiteterna i Övning 8 för små t. Avkastning Tillgångens avkastning i tidsintervallet (t, t ), R(t, t ), definieras som R(t, t ) = S(t ) S(t ). S(t ) Sambandet mellan avkastning och tillväxt är: R(t, t ) = e G(t,t), eller G(t, t ) = ln ( + R(t, t ) ). Övning Visa att R(t, t ) = ( + R(t, t 3 ) )( + R(t 3, t ) ). Vi ska relatera väntevärdet och standaravvikelsen av avkastningen till motsvarande storheter för tillväxten d.v.s. till driften och volatiliteten. Övning Antag att G(, t) = ν t + σz t, där är Z en standardiserat normalfördelad stokastisk variabel. Visa att ER(, t) = (ν + σ ) t + O( t ) och Var ( R(, t) ) = σ t + O( t ).
15 Stokastiska egenskaper hos aktiepriser 5 Definiera µ = E[R(, t)]/ t och σ r = Var( R(, t) ) / t, där t = /5 en dag. Låt r k = r k ( t) = R((k ) t, k t), k =,..., n. Väntevärdet µ och variansen σr skattas med ˆµ = r t = r r n respektive ˆσ r n t = v(r) n t = k= (r i r). n t Med data från Period - blev de skattade värdena som i Tabell. Tabell ˆσ r ˆσ r ˆσ ˆµ ˆµ ˆν ˆσ Övning 3 Använd normalapproximation och beräkna, med hjälp av data från Period -, konfidensintervall för avkastningarna av de sex tillgångarna med den approximativa konfidensgraden 9%. Svar (.6,.) (.,.9) (.7,.97) (.,.79) (.7,.6) (.,.3) Trots att normalfördelningsantagandet inte gäller för t = dag har vi alltså en god överenstämmelse mellan σ r och σ samt mellan µ och ν + σ. Det framgår också att σ r är så stor i förhållande till µ att skattningen av den förväntade avkastningen är behäftad med samma osäkerhet som skattningen av driften. Sammanfattning Det går inte att skatta µ med någon rimlig precision. Sambanden µ = ν + σ och σ r = σ gäller. Om µ och ν är relaterade som i sammanfattningen och σ < ν <, så är µ > men ν <. Vi ska avsluta detta avsnitt med att visa att det är tecknet på driften, ν, och inte den förväntade avkastningen, µ, som avgör en tillgångs långsiktiga utveckling. Övning Visa att momentantagandet i avsnitt medför att Var ( G(, T )/T ) och därmed att G(, T )/T ν i sannolikhet då T. Vi har S(T ) = S()e G(,T ). Det följer därför att S(T ) om ν < och S(T ) om ν >. Om årsavkastningarna är stokastiskt oberoende och µ >, så E[S(T )] = S()( + µ) T vilket alltså inte hindrar att S(T ).
16 6 Finansmatematik II Övning 5 Ett spel går till så att man får tillbaks dubbla insatsen eller en tredjedel av insatsen med lika sannolikhet, /. Du spelar upprepade gånger och spelomgångarna är oberoende av varandra. Ditt startkapital är K =. Låt K n beteckna ditt kapital efter n spelomgångar. a) Antag att du varje gång satsar hela ditt kapital. Beräkna den förväntade avkastningen och den förväntade tillväxten i varje spelomgång. Visa att EK n men K n i sannolikhet då n. b) Antag att du varje gång satsar proportionen p av ditt kapital, p. Vilka värden på p maximerar den förväntade avkastningen respektive den förväntade tillväxten i varje spelomgång? Visa att K n för det senare värdet. 5 Samvariation Vid konstruktion av portföljer är det av avgörande betydelse att känna till tillgångarnas samvariation mätt som korrelationen mellan tillgångarnas tillväxt. Låt G i (t, t ) och R i (t, t ), i =, beteckna tillväxterna respektive avkastningarna för två tillgångar i tidsintervallet (t, t ). Vi har sett att tillväxterna över disjunkta tidsintervall för en aktie är okorrelerade. Därför finns det ingen anledning att något annat gäller för tillväxterna för två olika aktier. Därför gäller Cov ( G ((k ) t, k t), G ((k ) t, k t) ) = Cov ( G (, t), G (, t) ) = σ, t. Sätt σ r i,j = Cov( R i (, t), R j (, t) ) / t Låt r,k, r,k och g,k, g,k beteckna observerade avkastningar respektive tillväxter för de två tillgångarna i tidsintervallet ((k ) t, k t), där t är litet. Antag att vi observerat dessa under tidsintervallet [, T ] och att n t = T. Kovarianserna σ, och σ, r skattas med n k= ˆσ, = (g,k ḡ )(g,k ḡ ) n t n respektive ˆσ, r = k= (r,k r )(r,k r ). n t Kovarianserna σ i,j och σi,j r för FEM AKTIER skattades med dagsdata från Period -. Resultatet blev som följer. Tabell 5 ˆσ i,j AFGX AZN LME HM SDIA.9.3 SKA.7
17 Stokastiska egenskaper hos aktiepriser 7 ˆσ r i,j ˆσ i,j AFGX AZN LME HM.75.. SDIA.6. SKA.5 Vi ska därför anta att Cov ( R ((k ) t, k t), R ((k ) t, k t) ) = σ r i,j t σ, t för små t. Korrelationskoefficienten, ρ r, = Cov(r, r ) Var(r )Var(r ) skattas därför med ˆρ = ˆσ, ˆσ ˆσ, där ˆσ och ˆσ är skattningarna av volatiliteterna. Korrelationskoefficienterna för FEM AKTIER skattade med data från Period - ges i följande tabell. Tabell 6 ˆρ i,j AFGX AZN LME.6..3 HM.3.8 SDIA.33 SKA Här framgår det t.ex att AZN har lägst korrelation med AFGX och att LME har högst. Om man delar upp Period - i de fyra delperioderna Period,..., Period blir korrelationerna mellan AZN och AFGX.9,.36,.53 respektive.7. Den låga korrelationen under period avspeglar det faktum att läkemedelsaktier betraktas som en trygg hamn i finansiella orostider. Under denna period var AZN svagt negativt korrelerad med LME, -.7. Korrelationen mellan LME och AFGX var däremot genomgående hög under de fyra perioderna:.66,.6,.8 respektive.67. Detta kan kanske förklaras av att LME hade stor vikt i AFGX på den tiden. Anledningen till att SDIA har hög korrelation med AFGX är förmodligen en annan: Skandias värdering är beroende av den allmänna utvecklingen på aktiemarknaden.
18 8 Finansmatematik II Vi ska i följande avsnitt betrakta portföljer bestående av m tillgångar vars priser vid tiden t är S (t),..., S m (t). Vi har alltså funnit att följande modell stämmer bra med verkligheten. Modell A S j (t) = S j ()e νjt+xj(t) Processen X(t) = (X (t),..., X m (t)) har okorrelerade inkrement, väntevärde och kovariansmatris av formen Var(X(t)) = Qt. t. Vi ska skriva σ i,j för elementen i Q. Vi har även funnit att nedanstående modell stämmer approximativt för stora Modell B Som Modell A samt att X(t) är normalfördelad. Denna modell ger i vissa fall resultat som stämmer bra med verkligheten även för små t. Se Övning och Tabell. Modellen är också förhållandevis lätt att räkna på. Av detta skäl ska vi vid några tillfällen använda den till att försöka hitta allmänna samband.
Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 04 0 8 Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering 2 Finansmatematik II Risk och diversifiering
Läs merFinansmatematik II Kapitel 5 Samvariation med marknaden
1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 04 1 03 Finansmatematik II Kapitel 5 Samvariation med marknaden Finansmatematik II 1 Marknaden Med
Läs merP (t) = V 1 (t) V m (t) P (t + t) P (t) P (t) = v j (t)r j (t, t + t), v(t) Q t v(t),
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 02 22 RISK OCH DIVERSIFIERING Betrakta en portfölj bestående av m tillgångar som vi här ska kalla aktier.
Läs merBetavärde En akties betavärde, β, relativt en marknad, M, definieras som
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 02 22 SAMVARIATION MED MARKNADEN Marknaden Med marknaden menar vi här ett index. Ett index är en portfölj
Läs merFöreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012
Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår
Läs merFinansmatematik II Kapitel 4 Tillväxt och risk
1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd för Matematisk statistik Thmas Höglund Versin 04 10 21 Finansmatematik II Kapitel 4 Tillväxt ch risk 2 Finansmatematik II Man går inte in på aktiemarknaden
Läs merLaboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, FÖR I/PI, FMS 121/2, HT-3 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall)
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 9. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 21.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 21.02.2012
Läs mer0 om x < 0, F X (x) = c x. 1 om x 2.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF193 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR 3-ÅRIG Media TIMEH MÅNDAGEN DEN 16 AUGUSTI 1 KL 8. 13.. Examinator: Gunnar Englund, tel. 7974 16. Tillåtna hjälpmedel: Läroboken.
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 10. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 18.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 18.02.2016
Läs merLektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen
Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet
Läs merFöreläsning 12: Regression
Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är
Läs merTMS136. Föreläsning 10
TMS136 Föreläsning 10 Intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov kan göra punktskattningar för fördelnings-/populationsparametrar En punkskattning är som vi minns ett tal som är en (förhoppningsvis
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology April 27, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två numeriska
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology September 21, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning Anna Lindgren 29+3 september 216 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 1/18 Kovarians, C(X, Y) Repetition Normalfördelning
Läs merTMS136. Föreläsning 7
TMS136 Föreläsning 7 Stickprov När vi pysslar med statistik handlar det ofta om att baserat på stickprovsinformation göra utlåtanden om den population stickprovet är draget ifrån Situationen skulle kunna
Läs merStat. teori gk, ht 2006, JW F7 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.7) Ordlista till NCT
Stat. teori gk, ht 2006, JW F7 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.7) Ordlista till NCT Jointly distributed Joint probability function Marginal probability function Conditional probability function Independence
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA21/9MA31, STN2) 212-8-2 kl 8-12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.
Läs merSF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011
Avd. Matematisk statistik Tobias Rydén 2011-09-30 SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Förberedelser. Innan du går till laborationen, läs igenom den här handledningen. Repetera också i
Läs merMatematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formelsamling i matematisk statistik Vårterminen 2017 1 Kombinatorik ) n n! = k k! n k)!. Tolkning: mängd med n element. ) n = antalet delmängder av storlek k ur en k 2 Stokastiska
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015 Gripenberg I1. Vi antar att antalet telefonsamtal som kommer till ett servicenummer under en tidsperiod med längden
Läs merThomas Önskog 28/
Föreläsning 0 Thomas Önskog 8/ 07 Konfidensintervall På förra föreläsningen undersökte vi hur vi från ett stickprov x,, x n från en fördelning med okända parametrar kan uppskatta parametrarnas värden Detta
Läs merExempel. Kontinuerliga stokastiska variabler. Integraler i stället för summor. Integraler i stället för summor
Kontinuerliga stokastiska variabler Exempel En stokastisk variabel är kontinuerlig om den kan anta vilka värden som helst i ett intervall, men sannolikheten för varje enskilt utfall är noll: P(X = x) =.
Läs merLaboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Laboration 3 Matematisk statistik AK för CDIFysiker, FMS012/MASB03, HT15 Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla
Läs merRättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:
Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen TT091A TGMAS15h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 30 Maj Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare (nollställd) samt allmänspråklig
Läs mer120 110 S t : 100 100 90 80 Vi ska här betrakta ett antal portföljer som vid t = 0 är värda 100 SEK.
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. KOMPLEMENT DAG 5. HANDELSSTRATEGIER Låt S t beteckna priset på en aktie vid tiden t. Vi
Läs merMatematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =
Läs merFinansiering. Föreläsning 6 Risk och avkastning BMA: Kap. 7. Jonas Råsbrant
Finansiering Föreläsning 6 Risk och avkastning BMA: Kap. 7 Jonas Råsbrant jonas.rasbrant@fek.uu.se Föreläsningens innehåll Historisk avkastning för finansiella tillgångar Beräkning av avkastning och risk
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 6 13 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Mer om väntevärden och varianser (Kap. 5.2 5.3) Beroendemått (Kap. 5.4) Summor, linjärkombinationer
Läs merMVE051/MSG Föreläsning 7
MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 7 Petter Mostad Chalmers November 23, 2016 Överblick Deskriptiv statistik Grafiska sammanfattningar. Numeriska sammanfattningar. Estimering (skattning) Teori Några exempel
Läs merLINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 7 / TEN 8 maj 18, klockan 8.-1. Examinator: Jörg-Uwe Löbus Tel: 79-687 Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk statistik
Läs merFÖRELÄSNING 7:
FÖRELÄSNING 7: 2016-05-10 LÄRANDEMÅL Normalfördelningen Standardnormalfördelning Centrala gränsvärdessatsen Konfidensintervall Konfidensnivå Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är känd Samla
Läs merRättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:
Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen 6.5 hp AT1MS1 DTEIN16h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 1 juni 2017 Tid: 14-18 Hjälpmedel: Miniräknare Totalt antal
Läs merTentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1
Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1 Tentamentsskrivning i Matematisk Statistik med Metoder MVE490 Tid: den 16 augusti, 2017 Examinatorer: Kerstin Wiklander och Erik Broman. Jour:
Läs merTAMS65. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik TAMS65. Martin Singull TAMS65 TAMS65
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Martin Singull Innehåll 4.1 Multipel regression.............................. 15 1 Sannolikhetslära 7 1.1 Några diskreta fördelningar.........................
Läs merLaboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 120, HT-00 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Läs merLaboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 3 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDIFYSIKER, FMS012/MASB03, HT12 Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla
Läs merProblemdel 1: Uppgift 1
STOCKHOLMS UNIVERSITET MT 00 MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, CH 8 februari 0 LÖSNINGAR 8 februari 0 Problemdel : Uppgift Rätt svar är: a) X och X är oberoende och Y och Y
Läs merTAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder
TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 Punktskattningar Egenskaper Väntevärdesriktig Effektiv Konsistent
Läs merF9 Konfidensintervall
1/16 F9 Konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 18/2 2013 2/16 Kursinformation och repetition Första inlämningsuppgiften rättas nu i veckan. För att
Läs merSF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 6 Väntevärden Korrelation och kovarians Stora talens lag. Jörgen Säve-Söderbergh
SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 6 Väntevärden Korrelation och kovarians Stora talens lag Jörgen Säve-Söderbergh Väntevärde för en funktion av en stokastisk variabel Om
Läs merPROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd
Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren PROGRAMFÖRKLARING I Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p.1/4 Statistik
Läs merSamplingfördelningar 1
Samplingfördelningar 1 Parametrar och statistikor En parameter är en konstant som karakteriserar en population eller en modell. Exempel: Populationsmedelvärdet Parametern p i binomialfördelningen 2 Vi
Läs merInnehåll. Standardavvikelse... 3 Betarisk... 3 Value at Risk... 4 Risknivån i strukturerade produkter... 4
Del 22 Riskbedömning Innehåll Standardavvikelse... 3 Betarisk... 3 Value at Risk... 4 Risknivån i strukturerade produkter... 4 Vid investeringar i finansiella instrument följer vanligen en mängd olika
Läs merF8 Skattningar. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 14/ /17
1/17 F8 Skattningar Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 14/2 2013 Inledande exempel: kullager Antag att diametern på kullager av en viss typ är normalfördelad N(µ,
Läs merKap 2. Sannolikhetsteorins grunder
Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser
Läs merFöreläsning 12: Repetition
Föreläsning 12: Repetition Marina Axelson-Fisk 25 maj, 2016 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI Grundläggande sannolikhetsteori Utfall = resultatet av ett försök Utfallsrum S = mängden av alla utfall Händelse
Läs merProvmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13
Matematisk Statistik 7,5 högskolepoäng Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology April 7, 2014 Projektuppgift Projektet går ut på att genomföra ett statistiskt försök och analysera resultaten.
Läs merBIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29)
LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29) Aktuella avsnitt i boken: Kap 61 65 Lektionens mål: Du ska
Läs mer4 Diskret stokastisk variabel
4 Diskret stokastisk variabel En stokastisk variabel är en variabel vars värde bestäms av utfallet av ett slumpmässigt försök. En stokastisk variabel betecknas ofta med X, Y eller Z (i läroboken används
Läs merFöreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens
Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 12, 2014 Oberoende stickprov Vi antar att vi har två oberoende stickprov n 1 observationer
Läs merBestäm med hjälp av en lämplig och välmotiverad approximation P (X > 50). (10 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 17:E AUGUSTI 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel-
Läs merStokastiska vektorer och multivariat normalfördelning
Stokastiska vektorer och multivariat normalfördelning Johan Thim johanthim@liuse 3 november 08 Repetition Definition Låt X och Y vara stokastiska variabler med EX µ X, V X σx, EY µ Y samt V Y σy Kovariansen
Läs mer0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9, SF95 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 2:E JANUARI 25 KL 4. 9.. Kursledare: Gunnar Englund, 73 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merMatematisk statistik 9 hp Föreläsning 6: Linjärkombinationer
Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 6: Linjärkombinationer Anna Lindgren 27+28 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F6: linjärkombinationer 1/21 sum/max/min V.v./var Summa av
Läs merSTYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR
1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. KOMPLEMENT DAG 13. STYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR Hittills har vi betraktat
Läs merStokastiska vektorer
TNG006 F2 9-05-206 Stokastiska vektorer 2 Kovarians och korrelation Definition 2 Antag att de sv X och Y har väntevärde och standardavvikelse µ X och σ X resp µ Y och σ Y Då kallas för kovariansen mellan
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Kontinuerliga fördelningar Uwe Menzel, 8 www.matstat.de Begrepp fördelning Hur beter sig en variabel slumpmässigt? En slumpvariabel (s.v.) har en viss fördelning, d.v.s.
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 10 27 november 2017 1 / 28 Idag Mer om punktskattningar Minsta-kvadrat-metoden (Kap. 11.6) Intervallskattning (Kap. 12.2) Tillämpning på
Läs mer2.1 Mikromodul: stokastiska processer
2. Mikromodul: stokastiska processer 9 2. Mikromodul: stokastiska processer 2.. Stokastiska variabler En stokastiskt variabel X beskrivs av dess täthetsfunktion p X (x), vars viktigaste egenskaper sammanfattas
Läs merLärmål Sannolikhet, statistik och risk 2015
Lärmål Sannolikhet, statistik och risk 2015 Johan Jonasson Februari 2016 Följande begrepp och metoder ska behärskas väl, kunna förklaras och tillämpas. Direkta bevis av satser från kursen kommer inte på
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Kovarians, korrelation, väntevärde och varians för summor av s.v.:er, normalfördelning (del 1) Jan Grandell & Timo Koski 15.09.2008 Jan Grandell &
Läs merTAMS65 - Föreläsning 1 Introduktion till Statistisk Teori och Repetition av Sannolikhetslära
TAMS65 - Föreläsning 1 Introduktion till Statistisk Teori och Repetition av Sannolikhetslära Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen TAMS65 - Mål Kursens övergripande mål är att ge
Läs merF10 Problemlösning och mer om konfidensintervall
1/13 F10 Problemlösning och mer om konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 22/2 2013 2/13 Dagens föreläsning Problemlösning Skattningar Konfidensintervall
Läs merEkonomisk styrning Delkurs Finansiering
Ekonomisk styrning Delkurs Finansiering Föreläsning 6 Introduktion till portföljteorin BMA: Kap. 7-8 Jonas Råsbrant jonas.rasbrant@indek.kth.se Föreläsningens innehåll Historisk avkastning för finansiella
Läs merNågra vanliga fördelningar från ett GUM-perspektiv
Några vanliga fördelningar från ett GUM-perspektiv I denna PM redovisas några av de vanligaste statistiska fördelningarna och deras hantering inom ramen för GUM: Guide to the Expression of Uncertainty
Läs mer1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 02 10 25. RÄNTA 1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid
Läs merEnkel och multipel linjär regression
TNG006 F3 25-05-206 Enkel och multipel linjär regression 3.. Enkel linjär regression I det här avsnittet kommer vi att anpassa en rät linje till mätdata. Betrakta följande värden från ett försök x 4.0
Läs merFORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD 208-08-26 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter: 0 P(A P(Ω = P(A
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 15 Johan Lindström 4 december 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F15 1/28 Repetition Linjär regression Modell Parameterskattningar
Läs merHärledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen
Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Ett sätt att få fram Black-Littermans formel är att formulera problemet att hitta lämpliga justerade avkastningar som ett skattningsproblem
Läs merSF1911: Statistik för bioteknik
SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion
Läs merFACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30
Göteborgs Universitetet GU Lärarprogrammet 06 FACIT: Matematik för lärare, åk 7-9, Sannolikhetslära och statistik, Matematik för gymnasielärare, Sannolikhetslära och statistik 07-0-04 kl..0-.0 Examinator
Läs merFöreläsning 11. Slumpvandring och Brownsk Rörelse. Patrik Zetterberg. 11 januari 2013
Föreläsning 11 Slumpvandring och Brownsk Rörelse Patrik Zetterberg 11 januari 2013 1 / 1 Stokastiska Processer Vi har tidigare sett exempel på olika stokastiska processer: ARIMA - Kontinuerlig process
Läs merSVANTE JANSON OCH SVANTE LINUSSON
NORMLPPROXIMTION FÖR SNNOLIKHETEN FÖR TT FELKTIGT HNTERDE RÖSTER PÅVERKR MNDTFÖRDELNINGEN SVNTE JNSON OCH SVNTE LINUSSON. Inledning ntag att det är nästan jämnt mellan två partier och B vid fördelningen
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 8:E JANUARI 2018 KL 14.00 19.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merUppgift 1. f(x) = 2x om 0 x 1
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I Matematisk statistik SF1907, SF1908 OCH SF1913 TORSDAGEN DEN 30 MAJ 2013 KL 14.00 19.00. Examinator: Gunnar Englund, 073 321 3745 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt
Läs merTenta i Statistisk analys, 15 december 2004
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, ML 15 december 004 Lösningar Tenta i Statistisk analys, 15 december 004 Uppgift 1 Vi har två stickprov med n = 5 st.
Läs merFormler och tabeller till kursen MSG830
Formler och tabeller till kursen MSG830 Deskriptiva mått För ett datamängd x 1,, x n denieras medelvärde standardavvikelse standardfelet (SEM) Sannolikheter x = 1 n n i=1 = x 1 + + x n n s = 1 n (x i x)
Läs merUppgift a b c d e Vet inte Poäng
TENTAMEN: Dataanalys och statistik för I2, TMS135 Fredagen den 12 mars kl. 8:45-11:45 på V. Jour: Jenny Andersson, ankn 8294 (mobil:070 3597858) Hjälpmedel: Utdelad formelsamling med tabeller, BETA, på
Läs merTMS136. Föreläsning 4
TMS136 Föreläsning 4 Kontinuerliga stokastiska variabler Kontinuerliga stokastiska variabler är stokastiska variabler som tar värden i intervall av den reella axeln Det kan handla om längder, temperaturer,
Läs merDel I. Uppgift 1 För händelserna A och B gäller att P (A) = 1/4, P (B A) = 1/3 och P (B A ) = 1/2. Beräkna P (A B). Svar:...
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9/SF94/SF95/SF96 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 4:E OKTOBER 08 KL 8.00 3.00. Examinator för SF94/SF96: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Examinator för
Läs merMatematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3. Laboration 2. Fördelningar och simulering
Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3 Laboration 2 Fördelningar och simulering Introduktion 2014-02-06 Syftet med laborationen är dels
Läs merF9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT
Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion
Läs merIntroduktion till statistik för statsvetare
"Det finns inget så praktiskt som en bra teori" November 2011 Repetition Vad vi gjort hitills Vi har börjat med att studera olika typer av mätningar och sedan successivt tagit fram olika beskrivande mått
Läs merFöreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, ): Punktskattningar
Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, 7.1-7.3): Punktskattningar Marina Axelson-Fisk 4 maj, 2016 Stickprov (sample) Idag: Stickprovsmedelvärde och varians Statistika (statistic) Punktskattning (point estimation)
Läs merDemonstration av laboration 2, SF1901
KTH 29 November 2017 Laboration 2 Målet med dagens föreläsning är att repetera några viktiga begrepp från kursen och illustrera dem med hjälp av MATLAB. Laboration 2 har följande delar Fördelningsfunktion
Läs merMatematisk statistik i praktiken: asset-liability management i ett försäkringsbolag
Matematisk statistik i praktiken: asset-liability management i ett försäkringsbolag Andreas N. Lagerås AFA Försäkring Kapitalförvaltning Investeringsanalys Docentföreläsning SU 2010-11-10 1(21) Asset liability
Läs merFÖRELÄSNING 8:
FÖRELÄSNING 8: 016-05-17 LÄRANDEMÅL Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är okänd T-fördelningen Goodness of fit-test χ -fördelningen Hypotestest Signifikansgrad Samla in data Sammanställ data
Läs merTMS136. Föreläsning 11
TMS136 Föreläsning 11 Andra intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov och under vissa antaganden kan göra intervallskattningar för väntevärden Man kan även gör intervallskattningar för
Läs merFöreläsning 3. Kapitel 4, sid Sannolikhetsfördelningar
Föreläsning 3 Kapitel 4, sid 79-124 Sannolikhetsfördelningar 2 Agenda Slumpvariabel Sannolikhetsfördelning 3 Slumpvariabel (Stokastisk variabel) En variabel som beror av slumpen Ex: Tärningskast, längden
Läs merLKT325/LMA521: Faktorförsök
Föreläsning 2 Innehåll Referensfördelning Referensintervall Skatta variansen 1 Flera mätningar i varje grupp. 2 Antag att vissa eekter inte existerar 3 Normalfördelningspapper Referensfördelning Hittills
Läs merLÖSNINGAR TILL. Matematisk statistik, Tentamen: kl FMS 086, Matematisk statistik för K och B, 7.5 hp
LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Tentamen: 011 10 1 kl 14 00 19 00 Matematikcentrum FMS 086, Matematisk statistik för K och B, 7.5 hp Lunds tekniska högskola MASB0, Matematisk statistik kemister, 7.5
Läs merIndustriell matematik och statistik, LMA136 2013/14
Industriell matematik och statistik, LMA136 2013/14 7 Mars 2014 Disposition r Kondensintervall och hypotestest Kondensintervall Statistika Z (eller T) har fördelning F (Z en funktion av ˆθ och θ) q 1 α/2
Läs merMatematisk statistik allmän kurs, MASA01:B, HT-14 Laborationer
Lunds universitet Matematikcentrum Matematisk statistik Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:B, HT-14 Laborationer Information om laborationerna I andra halvan av MASA01 kursen ingår två laborationer.
Läs merÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 9
ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 9 STOKASTISKA VARIABLER 1. Ange om följande stokastiska variabler är diskreta eller kontinuerliga: a. X = En slumpmässigt utvald person ur populationen är arbetslös, där x antar
Läs merKorrelation och autokorrelation
Korrelation och autokorrelation Låt oss begrunda uttrycket r = i=1 (x i x) (y i y) n i=1 (x i x) 2 n. i=1 (y i y) 2 De kvadratsummor kring de aritmetiska medelvärdena som står i nämnaren är alltid positiva.
Läs mer