Finansmatematik II Kapitel 2 Stokastiska egenskaper hos aktiepriser

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Finansmatematik II Kapitel 2 Stokastiska egenskaper hos aktiepriser"

Transkript

1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version Finansmatematik II Kapitel Stokastiska egenskaper hos aktiepriser

2 Finansmatematik II För att kunna välja ut optimala portföljer och beskriva dessa portföljers egenskaper behöver vi känna till vissa egenskaper som aktiepriser har. Som exempel ska vi använda utvecklingen av Affärsvärldens generalindex (AFGX) samt 5 aktier: AstraZeneca (AZN), Ericsson B (LME), Hennes (HM), Skandia (SDIA) och Skanska (SKA) under perioden Totalt 5 börsdagar. Vi ska nedan kalla dessa för FEM AKTIER. De dagliga slutkurserna för dessa är plottade i Figur. I samtliga fall har startvärdet normerats till. Observera att två olika skalor har använts. Tillväxt Låt S(t) beteckna priset på en tillgång vid tiden t. Vi ska när inget annat sägs mäta t i år. Ett år består av c:a 5 börsdagar. De dagliga slutkurserna är därför S(), S( t), S( t),..., där t = /5. Tillväxten i intervallet (t, t ), G(t, t ), definieras som Detta kan även skrivas Vi har för alla t, t, t 3 och därför även G(t, t ) = ln S(t ) S(t ). S(t ) = S(t )e G(t,t). G(t, t ) = G(t, t 3 ) + G(t 3, t ) G(, n t) = n G((k ) t, k t). k= Övning Visa detta. Tillväxtens fördelning Vi ska nu jämföra tillväxtens fördelning med normalfördelningen. I Figur visas histogram över de dagliga tillväxterna för Ericsson B tillsammans med tätheten för den normalfördelning som har samma väntevärde och varians som observationerna. Man ser här att normalfördelningen underskattar sannolikheten för små och stora förändringar och överskattar sannolikheten för förändringar däremellan; c:a till standaravvikelser. Standaravviklsen är.3 och medelvärdet.. De största och minsta observationerna är.9 respektive -.8, c:a 6 standardavvikelser. Den sannolikhet normalfördelningen ger denna händelse är ( Φ(6)) 9 och denna är alltså helt försummbar. De dagliga tillväxterna är alltså inte normalfördelade i detta fall. Även de övriga aktierna av FEM AKTIER har ovan beskrivna egenskaper.

3 Stokastiska egenskaper hos aktiepriser 3 AFGX AZN 5 LME HM 5 SDIA SKA Figur :. LME.5.. Figur :

4 Finansmatematik II AFGX Figur 3: AFGX är en viktad summa och man kan därför vänta sig att denna på grund av den centrala gränsvärdessatsen är approximativt normalfördelad. Men så är inte fallet, vilket framgår av Figur 3. I detta fall är standaravviklsen.5 och medelvärdet.. De största och minsta observationerna är. respektive -.7, c:a 7 respektive 5 standardavvikelser. Ovanstående gäller dagsavkastningarna. För att studera tillväxten över längre tidsintervall än dag ska vi övergå till normalfördelningsplottar eftersom antalet observationer blir för få för att göra informativa histogram. Antag att X,..., X n är oberoende normalfördelade stokastiska variabler som alla har väntevärdet ν och standardavvikelsen σ. Definiera Y k = Φ( X k ν ), σ där Φ står för den standariserade normalfördelningens fördelningsfunktion. Då är Y,..., Y n oberoende och likformigt fördelade på intervallet (, ). Låt X () < X () <... < X (n) och Y () < Y () <... < Y (n) vara X,..., X n respektive Y,..., Y n ordnade i storleksordning. Det går att visa att EY (k) = k n+ och Var(Y (k)) = k n+ ( k n+ ) n+. Därför gäller k n+. Y (k) ) k n + d.v.s. X (k)) ν + σz n,k, där Φ(z n,k ) = Om man plottar X (k) mot z n,k kommer punkterna därför att ligga nära en rät linje, förutsatt att normalfördelning föreligger. I Figur och 5 visas plottarna

5 Stokastiska egenskaper hos aktiepriser 5 Day Week Month AFGX AZN LME Figur : för FEM AKTIER med X k = G((k ) t, k t) i fallen t =/5 (en dag), 5/5 (en vecka) och /5 (en månad). Samtliga plottar över den dagliga tillväxten har en tydlig S-form, efter en vecka har de tre sista kvar en viss S-form men efter en månad endast möljigen Skandia. Tillväxten över längre tidsintervall än c:a en månad tycks alltså vara normalfördelad. Normalfördelningsantantagande Tillväxten över ett tidsintervall av längd T är approximativt normalfördelad då T är tillräckligt stort; T /. Antag att vi observerat S(t) vid tidpunkterna, t, t,..., n t = T, där t = /5 (en dag). Låt X k = G((k ) t, k t) för k =,..., n beteckna de dagliga tillväxterna. För att undersöka beroendet mellan tillväxten på varandra följande dagar ska vi beräkna korrelationerna mellan X() och X(l) för l =,,..., m. Här är < m < n och X(l) = (X +l,..., X n m+l ) för l =,..., m. I Figur 6 är korrelationskoefficienterna ρ(l) = Cov(X(), X(l)) Var(X())Var(X(l)) plottade som funktioner av l för FEM AKTIER i fallet m =. Dessa korrelationer är utmärkta med punkter. Som jämförelse har även korrelationskoefficienterna för absolutbeloppen av de dagliga tillväxterna, X k, plottats. De senare korrelationerna är utmärkta med *.

6 6 Finansmatematik II Day Week Month HM SDIA SKA Figur 5: AFGX AZN LME HM SDIA SKA Figur 6:

7 Stokastiska egenskaper hos aktiepriser 7 AFGX AZN LME HM SDIA SKA Figur 7: I Figur 7 är de glidande medelvärdena x k = (x k x k+5 )/ plottade under de första 95 dagarna. Det framgår att tillväxten olika dagar är okorrelerade men de är inte oberoende eftersom absolutbeloppen närliggande dagar är positivt korrelerade. Den senare effekten har klingat av helt efter 9 dagar. Vi ska göra följande Momentantagande a) Väntevärde och varians för G(, t) existerar och är kontinuerliga funktioner av t. b) För varje par t < t är väntevärdet och variansen för G(t + s, t + s) desamma för alla s. c) Tillväxterna G(t, t ) och G(t, t 3 ) är okorrelerade för alla t < t < t 3. 3 Drift och volatilitet Sätt ν(t) = EG(, t) och σ (t) = Var(G(, t)). Övning a) Visa att momentantagandet medför att b) Visa att ν(t + s) = ν(t) + ν(s) och σ (t + s) = σ (t) + σ (s). ν(t) = νt och σ (t) = σ t. Parametern ν kallas driften och σ volatiliteten.

8 8 Finansmatematik II där Vi ska skatta parametrarna ν och σ med ˆν = x/ t respektive ˆσ = v(x)/ t, x = x x n n och v(x) = n n (x k x). k= Tidsperioden delades in i lika långa tidsperioder om 56 dagar vardera. I nedanstående tabeller ges skattningarna av volatiliteten och driften med hjälp av data från de olika perioderna. Tabell Volatilitet Period Period Period Period Period Drift Period Period Period Period Period För att beräkna ˆν behövs endast värdena i observationsintervallets ändpunkter: Övning 3 Visa att ˆν = ln(s T /S ). T ˆν ν σ/ T Det följer av normalfördelningsantagandet att är approximativt normalfördelad med väntevärde och varians. Vi ska se nedan att ˆσ är en konsistent skattning av σ. Därför är även standardiserat normalfördelad. För stora T är ˆν ± ˆν ν ˆσ/ T ˆσ T z ɛ/

9 Stokastiska egenskaper hos aktiepriser 9 därför ett konfidensintervall för ν med den approximativa konfidensgraden ɛ. Här är Φ(z p ) = p. Övning a) Beräkna ett approximativt 95% konfidensintervall för Ericssons drift med hjälp av data från Period -. b) Ungefär hur lång observationsperiod hade behövts för att det 95% konfidensintervallet skulle ha fått längden 5%? Svar: a) ( %, 9%). b) T 5 år. Om man sänker konfidensgraden till 9% och ökar intervallängden till %, så minskar observationsperiodens längd till 5 år. Med konfidensgraden 5% och intervallängden %, blir observationsperiodens längd 5 år. Slutsats Driften går inte att skatta med någon rimlig precision på detta sätt. De olika perioderna är olika volatila. Så till exempel är Period mer volatil än Period. Detta försvårar att använda historiska data till att skatta den framtida volatiliteten. Det kommer emellertid att visa sig att vad vi kommer att behöva är de relativa volatiliteterna. I Tabell är σ j /(σ σ 6 ), j =,..., 6 avrundade till närmsta heltal beräknade för de olika perioderna. Tabell Relativa volatiliteter. Period Period Period Period 3 3 Period De relativa volatiliteterna går alltså att skatta med historiska data och vi kommer senare att se att det är en fördel att använda data från en lång tidsperiod. Detta kontrasterar mot det fall man vill använda volatiliteten till att bestämma optionspriser. I detta fall använder man data från kortare tidsperioder för att fånga upp svängningarna i volatiliteten. Observera att ˆσ = n t n x k tˆν. k= Uttrycken tˆν blir med data från Period -:.,.,.8,.5,. respektive.. Dessa skillnader är försumbara. Man kan därför lika gärna skatta σ med ˇσ = n t n k= x k

10 Finansmatematik II som med ˆσ. Vi har sett att tillväxterna över tillräckligt långa tidsintervall är approximativt normalfördelade. Övning 5 Antag att tillväxterna är oberoende och normalfördelade. Då är alltså χ -fördelad med n frihetsgrader. a) Visa att Eˆσ = n nˆσ σ n σ och Var(ˆσ ) = n n b) Visa att ˆσ är asymptotisk N(σ, σ n ) och därför är ˆσ( ± z ɛ/ n ) σ n. ett konfidensintervall för σ med den approximativa konfidensgraden ɛ. Observera att (under ovanstående förutsättningar) längden av konfidensintervallet för σ är proportionell mot n = t T och att precisionen i skattningen därför ökar om vi gör tätare observationer (minskar t). Detta gäller inte skattningen av ν. I verkligheten tycks detta gälla endast till en viss gräns. Vi ska använda ˇσ i stället för ˆσ. Vi ska anta att kovariansen mellan Xi och Xj endast beror på t och avståndet j i. Då gäller Här är Var(ˇσ ) = (n t) n n i= j= R m = Cov(X i, X j ) = n t Var(X )( + R n ). m ρ k ( k n ), k= där ρ k står för korrelationskoefficienten mellan X och X +k. Övning 6 Visa detta. Om man skattar dessa korrelationskoefficienter med data från Period - finner man att de har ungefär samma allmänna beteende som korrelationskoefficienterna för absolutbeloppen men klingar av något snabbare. Följden R, R,... växer till att börja med och planar sen ut vid m t 6 dagar. I Figur 8 är Var(ˇσ ) plottad för t =,,..., 3 dagar. De tre linjerna är σ /n = σ t/ med σ skattat med dagsdata ( t = ), enveckorsdata ( t = 5) respektive tvåveckorsdata ( t = ). Observera att två olika skalor har använts.

11 Stokastiska egenskaper hos aktiepriser x 3 AFGX x 3 AZN.5 LME , HM.5 SDIA x 3 SKA Figur 8: Om man bortser från Skandia kan man möjligen med lite god vilja approximera punktsvärmen med en rät linje för t 5 men inte för t 3. I synnerhet t = ger hög varians. Varianserna antar minimum för t =7,, 9, 6, 7 respektive 8 dagar. Därefter rätar kurvan ut sig. Denna avvikelse från linjen kan förklaras med att tillväxten inte är normalfördelad för små t. Det tycks alltså finnas en gräns för t under vilken varianserna inte minskar. Å andra sidan finns det i de flesta fall värden på t mellan 5 och för vilka varianserna är av samma storleksordning som för t =. I Figurerna 9 och visas normalfördelningsplottar för ˇσ i fallet t = dag och n =, 63, 5 (dag, kvartal respektive halvår). Här krävs det längre tidsperiod än en månad för att fördelningen ska kunna approximeras med normalfördelningen men även för att skattningen av volatiliteten ska bli stabil. Observera att den 35% sättningen i tillväxten för HM dag 87 slår igenom fortfarande på halvårsnivån. Övning 7 Antag att ˇσ = σ + SD(ˇσ )Z, där Z är approximativt standardiserat normalfördelad. a) Visa att då ˆd. Här är d = SD(ˇσ ) σ. b) Visa att ˇσ = σ ( + ˆdZ + O( ˆd ) ),

12 Finansmatematik II Day Quarter Halfyear AFGX AZN LME Figur 9: Day Quarter Halfyear HM SDIA SKA Figur :

13 Stokastiska egenskaper hos aktiepriser 3 ˇσ( ± z ɛ/ ˆd) är ett konfidensintervall för σ med den approximativa konfidensgraden ɛ, förutsatt att ˆd är liten. Följande värden på ˆd och ˇσ erhölls med data från Period -. Tabell 3 ˆd t = t = t = ˇσ t = t = t = Av denna tabell framgår det inte att någon av periodlängderna är klart bäst. Däremot framgår det att formeln σ t/t inte beskriver Var(ˇσ ) väl. Övning 8 Visa att om Var(ˇσ ) = σ t/t, så d = t T. Detta ger d =.,.9,.7 för t =, 5 respektive dagar. Dessa värden är alldeles för optimistiska, åtminstone för t = och 5. Observationsperiodens längd i ovanstående exempel var dagar d.v.s. T = /5 =.96 år. Vi ska nu ange konfidensintervallets beroende av T. För långa tidsperioder är ˇσ approximativt normalfördelad och korrelationen mellan disjunkta (och långa) tidsperioder torde vara försumbar. Därför är ĉ ˇσ( ± z ɛ/ ) T ett konfidensintervall för σ med den approximativa konfidensgraden ɛ. Här TSD(ˇσ ) är c = σ angiven i årstakt. Sambandet mellan d i exemplet ovan och c är alltså c = /5d och ett typiskt värde är alltså c =.. Övning 9 Antag att c =.. a) Ungefär hur stort ska T vara för att ˇσ( ±.) ska vara konfidensintervall med konfidensgraderna 95, 75 respektive 5%. b) Samma fråga för intervallet ˇσ( ±.) Upplysning z.5 =.67, z.5 =.5, z.5 =.96. Svar a) 5, 5 respektive år. b), respektive / år. Vi kan alltså inte mäta volatiliteten med samma höga precision som vi kanske är vana vid från läroböcker i statistik men situationen är inte lika hopplös

14 Finansmatematik II som för driften. Vi kan få en hygglig uppfattning om volatiliteternas inbördes förhållande. Övning Använd de dagliga tillväxterna under Period - till att beräkna konfidensintervall för σ med de approximativa konfidensgraderna 9% och 5% för en av aktierna. Svar 9% (.9,.7) (.8,.35) (.,.56) (.3,.5) (.39,.57) (.3,.3) 5% (.,.5) (.3,.3) (.6,.5) (.39,.7) (.,.5) (.5,.9) Här ser man t.ex att σ afgx < σ azn < σ sdia och att vi inte kan avgöra vilken av LME och SDIA som har störst volatilitet. Sammanfattning Skattningen av volatiliteten är approximativt normalfördelad då T är stort. Skattningens standaravvikelse har formen c( t)/ T. Det finns en gräns för t, dagar, under vilken c( t) inte minskar. Speciellt gäller inte identiteterna i Övning 8 för små t. Avkastning Tillgångens avkastning i tidsintervallet (t, t ), R(t, t ), definieras som R(t, t ) = S(t ) S(t ). S(t ) Sambandet mellan avkastning och tillväxt är: R(t, t ) = e G(t,t), eller G(t, t ) = ln ( + R(t, t ) ). Övning Visa att R(t, t ) = ( + R(t, t 3 ) )( + R(t 3, t ) ). Vi ska relatera väntevärdet och standaravvikelsen av avkastningen till motsvarande storheter för tillväxten d.v.s. till driften och volatiliteten. Övning Antag att G(, t) = ν t + σz t, där är Z en standardiserat normalfördelad stokastisk variabel. Visa att ER(, t) = (ν + σ ) t + O( t ) och Var ( R(, t) ) = σ t + O( t ).

15 Stokastiska egenskaper hos aktiepriser 5 Definiera µ = E[R(, t)]/ t och σ r = Var( R(, t) ) / t, där t = /5 en dag. Låt r k = r k ( t) = R((k ) t, k t), k =,..., n. Väntevärdet µ och variansen σr skattas med ˆµ = r t = r r n respektive ˆσ r n t = v(r) n t = k= (r i r). n t Med data från Period - blev de skattade värdena som i Tabell. Tabell ˆσ r ˆσ r ˆσ ˆµ ˆµ ˆν ˆσ Övning 3 Använd normalapproximation och beräkna, med hjälp av data från Period -, konfidensintervall för avkastningarna av de sex tillgångarna med den approximativa konfidensgraden 9%. Svar (.6,.) (.,.9) (.7,.97) (.,.79) (.7,.6) (.,.3) Trots att normalfördelningsantagandet inte gäller för t = dag har vi alltså en god överenstämmelse mellan σ r och σ samt mellan µ och ν + σ. Det framgår också att σ r är så stor i förhållande till µ att skattningen av den förväntade avkastningen är behäftad med samma osäkerhet som skattningen av driften. Sammanfattning Det går inte att skatta µ med någon rimlig precision. Sambanden µ = ν + σ och σ r = σ gäller. Om µ och ν är relaterade som i sammanfattningen och σ < ν <, så är µ > men ν <. Vi ska avsluta detta avsnitt med att visa att det är tecknet på driften, ν, och inte den förväntade avkastningen, µ, som avgör en tillgångs långsiktiga utveckling. Övning Visa att momentantagandet i avsnitt medför att Var ( G(, T )/T ) och därmed att G(, T )/T ν i sannolikhet då T. Vi har S(T ) = S()e G(,T ). Det följer därför att S(T ) om ν < och S(T ) om ν >. Om årsavkastningarna är stokastiskt oberoende och µ >, så E[S(T )] = S()( + µ) T vilket alltså inte hindrar att S(T ).

16 6 Finansmatematik II Övning 5 Ett spel går till så att man får tillbaks dubbla insatsen eller en tredjedel av insatsen med lika sannolikhet, /. Du spelar upprepade gånger och spelomgångarna är oberoende av varandra. Ditt startkapital är K =. Låt K n beteckna ditt kapital efter n spelomgångar. a) Antag att du varje gång satsar hela ditt kapital. Beräkna den förväntade avkastningen och den förväntade tillväxten i varje spelomgång. Visa att EK n men K n i sannolikhet då n. b) Antag att du varje gång satsar proportionen p av ditt kapital, p. Vilka värden på p maximerar den förväntade avkastningen respektive den förväntade tillväxten i varje spelomgång? Visa att K n för det senare värdet. 5 Samvariation Vid konstruktion av portföljer är det av avgörande betydelse att känna till tillgångarnas samvariation mätt som korrelationen mellan tillgångarnas tillväxt. Låt G i (t, t ) och R i (t, t ), i =, beteckna tillväxterna respektive avkastningarna för två tillgångar i tidsintervallet (t, t ). Vi har sett att tillväxterna över disjunkta tidsintervall för en aktie är okorrelerade. Därför finns det ingen anledning att något annat gäller för tillväxterna för två olika aktier. Därför gäller Cov ( G ((k ) t, k t), G ((k ) t, k t) ) = Cov ( G (, t), G (, t) ) = σ, t. Sätt σ r i,j = Cov( R i (, t), R j (, t) ) / t Låt r,k, r,k och g,k, g,k beteckna observerade avkastningar respektive tillväxter för de två tillgångarna i tidsintervallet ((k ) t, k t), där t är litet. Antag att vi observerat dessa under tidsintervallet [, T ] och att n t = T. Kovarianserna σ, och σ, r skattas med n k= ˆσ, = (g,k ḡ )(g,k ḡ ) n t n respektive ˆσ, r = k= (r,k r )(r,k r ). n t Kovarianserna σ i,j och σi,j r för FEM AKTIER skattades med dagsdata från Period -. Resultatet blev som följer. Tabell 5 ˆσ i,j AFGX AZN LME HM SDIA.9.3 SKA.7

17 Stokastiska egenskaper hos aktiepriser 7 ˆσ r i,j ˆσ i,j AFGX AZN LME HM.75.. SDIA.6. SKA.5 Vi ska därför anta att Cov ( R ((k ) t, k t), R ((k ) t, k t) ) = σ r i,j t σ, t för små t. Korrelationskoefficienten, ρ r, = Cov(r, r ) Var(r )Var(r ) skattas därför med ˆρ = ˆσ, ˆσ ˆσ, där ˆσ och ˆσ är skattningarna av volatiliteterna. Korrelationskoefficienterna för FEM AKTIER skattade med data från Period - ges i följande tabell. Tabell 6 ˆρ i,j AFGX AZN LME.6..3 HM.3.8 SDIA.33 SKA Här framgår det t.ex att AZN har lägst korrelation med AFGX och att LME har högst. Om man delar upp Period - i de fyra delperioderna Period,..., Period blir korrelationerna mellan AZN och AFGX.9,.36,.53 respektive.7. Den låga korrelationen under period avspeglar det faktum att läkemedelsaktier betraktas som en trygg hamn i finansiella orostider. Under denna period var AZN svagt negativt korrelerad med LME, -.7. Korrelationen mellan LME och AFGX var däremot genomgående hög under de fyra perioderna:.66,.6,.8 respektive.67. Detta kan kanske förklaras av att LME hade stor vikt i AFGX på den tiden. Anledningen till att SDIA har hög korrelation med AFGX är förmodligen en annan: Skandias värdering är beroende av den allmänna utvecklingen på aktiemarknaden.

18 8 Finansmatematik II Vi ska i följande avsnitt betrakta portföljer bestående av m tillgångar vars priser vid tiden t är S (t),..., S m (t). Vi har alltså funnit att följande modell stämmer bra med verkligheten. Modell A S j (t) = S j ()e νjt+xj(t) Processen X(t) = (X (t),..., X m (t)) har okorrelerade inkrement, väntevärde och kovariansmatris av formen Var(X(t)) = Qt. t. Vi ska skriva σ i,j för elementen i Q. Vi har även funnit att nedanstående modell stämmer approximativt för stora Modell B Som Modell A samt att X(t) är normalfördelad. Denna modell ger i vissa fall resultat som stämmer bra med verkligheten även för små t. Se Övning och Tabell. Modellen är också förhållandevis lätt att räkna på. Av detta skäl ska vi vid några tillfällen använda den till att försöka hitta allmänna samband.

Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering

Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 04 0 8 Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering 2 Finansmatematik II Risk och diversifiering

Läs mer

Finansmatematik II Kapitel 5 Samvariation med marknaden

Finansmatematik II Kapitel 5 Samvariation med marknaden 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 04 1 03 Finansmatematik II Kapitel 5 Samvariation med marknaden Finansmatematik II 1 Marknaden Med

Läs mer

P (t) = V 1 (t) V m (t) P (t + t) P (t) P (t) = v j (t)r j (t, t + t), v(t) Q t v(t),

P (t) = V 1 (t) V m (t) P (t + t) P (t) P (t) = v j (t)r j (t, t + t), v(t) Q t v(t), STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 02 22 RISK OCH DIVERSIFIERING Betrakta en portfölj bestående av m tillgångar som vi här ska kalla aktier.

Läs mer

Betavärde En akties betavärde, β, relativt en marknad, M, definieras som

Betavärde En akties betavärde, β, relativt en marknad, M, definieras som STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 02 22 SAMVARIATION MED MARKNADEN Marknaden Med marknaden menar vi här ett index. Ett index är en portfölj

Läs mer

Finansmatematik II Kapitel 4 Tillväxt och risk

Finansmatematik II Kapitel 4 Tillväxt och risk 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd för Matematisk statistik Thmas Höglund Versin 04 10 21 Finansmatematik II Kapitel 4 Tillväxt ch risk 2 Finansmatematik II Man går inte in på aktiemarknaden

Läs mer

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012 Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall)

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 9. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 21.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 21.02.2012

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 10. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 18.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 18.02.2016

Läs mer

TMS136. Föreläsning 10

TMS136. Föreläsning 10 TMS136 Föreläsning 10 Intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov kan göra punktskattningar för fördelnings-/populationsparametrar En punkskattning är som vi minns ett tal som är en (förhoppningsvis

Läs mer

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet

Läs mer

Föreläsning 12: Regression

Föreläsning 12: Regression Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är

Läs mer

120 110 S t : 100 100 90 80 Vi ska här betrakta ett antal portföljer som vid t = 0 är värda 100 SEK.

120 110 S t : 100 100 90 80 Vi ska här betrakta ett antal portföljer som vid t = 0 är värda 100 SEK. STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. KOMPLEMENT DAG 5. HANDELSSTRATEGIER Låt S t beteckna priset på en aktie vid tiden t. Vi

Läs mer

TMS136. Föreläsning 7

TMS136. Föreläsning 7 TMS136 Föreläsning 7 Stickprov När vi pysslar med statistik handlar det ofta om att baserat på stickprovsinformation göra utlåtanden om den population stickprovet är draget ifrån Situationen skulle kunna

Läs mer

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Avd. Matematisk statistik Tobias Rydén 2011-09-30 SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Förberedelser. Innan du går till laborationen, läs igenom den här handledningen. Repetera också i

Läs mer

Finansiering. Föreläsning 6 Risk och avkastning BMA: Kap. 7. Jonas Råsbrant

Finansiering. Föreläsning 6 Risk och avkastning BMA: Kap. 7. Jonas Råsbrant Finansiering Föreläsning 6 Risk och avkastning BMA: Kap. 7 Jonas Råsbrant jonas.rasbrant@fek.uu.se Föreläsningens innehåll Historisk avkastning för finansiella tillgångar Beräkning av avkastning och risk

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015 MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015 Gripenberg I1. Vi antar att antalet telefonsamtal som kommer till ett servicenummer under en tidsperiod med längden

Läs mer

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller: Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen TT091A TGMAS15h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 30 Maj Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare (nollställd) samt allmänspråklig

Läs mer

MVE051/MSG Föreläsning 7

MVE051/MSG Föreläsning 7 MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 7 Petter Mostad Chalmers November 23, 2016 Överblick Deskriptiv statistik Grafiska sammanfattningar. Numeriska sammanfattningar. Estimering (skattning) Teori Några exempel

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 Punktskattningar Egenskaper Väntevärdesriktig Effektiv Konsistent

Läs mer

Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 3 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDIFYSIKER, FMS012/MASB03, HT12 Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla

Läs mer

F9 Konfidensintervall

F9 Konfidensintervall 1/16 F9 Konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 18/2 2013 2/16 Kursinformation och repetition Första inlämningsuppgiften rättas nu i veckan. För att

Läs mer

Problemdel 1: Uppgift 1

Problemdel 1: Uppgift 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MT 00 MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, CH 8 februari 0 LÖSNINGAR 8 februari 0 Problemdel : Uppgift Rätt svar är: a) X och X är oberoende och Y och Y

Läs mer

PROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd

PROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren PROGRAMFÖRKLARING I Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p.1/4 Statistik

Läs mer

Samplingfördelningar 1

Samplingfördelningar 1 Samplingfördelningar 1 Parametrar och statistikor En parameter är en konstant som karakteriserar en population eller en modell. Exempel: Populationsmedelvärdet Parametern p i binomialfördelningen 2 Vi

Läs mer

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser

Läs mer

4 Diskret stokastisk variabel

4 Diskret stokastisk variabel 4 Diskret stokastisk variabel En stokastisk variabel är en variabel vars värde bestäms av utfallet av ett slumpmässigt försök. En stokastisk variabel betecknas ofta med X, Y eller Z (i läroboken används

Läs mer

STYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR

STYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. KOMPLEMENT DAG 13. STYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR Hittills har vi betraktat

Läs mer

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9, SF95 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 2:E JANUARI 25 KL 4. 9.. Kursledare: Gunnar Englund, 73 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 02 10 25. RÄNTA 1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

Läs mer

Stokastiska vektorer

Stokastiska vektorer TNG006 F2 9-05-206 Stokastiska vektorer 2 Kovarians och korrelation Definition 2 Antag att de sv X och Y har väntevärde och standardavvikelse µ X och σ X resp µ Y och σ Y Då kallas för kovariansen mellan

Läs mer

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29)

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29) LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29) Aktuella avsnitt i boken: Kap 61 65 Lektionens mål: Du ska

Läs mer

Enkel och multipel linjär regression

Enkel och multipel linjär regression TNG006 F3 25-05-206 Enkel och multipel linjär regression 3.. Enkel linjär regression I det här avsnittet kommer vi att anpassa en rät linje till mätdata. Betrakta följande värden från ett försök x 4.0

Läs mer

Tenta i Statistisk analys, 15 december 2004

Tenta i Statistisk analys, 15 december 2004 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, ML 15 december 004 Lösningar Tenta i Statistisk analys, 15 december 004 Uppgift 1 Vi har två stickprov med n = 5 st.

Läs mer

Några vanliga fördelningar från ett GUM-perspektiv

Några vanliga fördelningar från ett GUM-perspektiv Några vanliga fördelningar från ett GUM-perspektiv I denna PM redovisas några av de vanligaste statistiska fördelningarna och deras hantering inom ramen för GUM: Guide to the Expression of Uncertainty

Läs mer

Föreläsning 11. Slumpvandring och Brownsk Rörelse. Patrik Zetterberg. 11 januari 2013

Föreläsning 11. Slumpvandring och Brownsk Rörelse. Patrik Zetterberg. 11 januari 2013 Föreläsning 11 Slumpvandring och Brownsk Rörelse Patrik Zetterberg 11 januari 2013 1 / 1 Stokastiska Processer Vi har tidigare sett exempel på olika stokastiska processer: ARIMA - Kontinuerlig process

Läs mer

SVANTE JANSON OCH SVANTE LINUSSON

SVANTE JANSON OCH SVANTE LINUSSON NORMLPPROXIMTION FÖR SNNOLIKHETEN FÖR TT FELKTIGT HNTERDE RÖSTER PÅVERKR MNDTFÖRDELNINGEN SVNTE JNSON OCH SVNTE LINUSSON. Inledning ntag att det är nästan jämnt mellan två partier och B vid fördelningen

Läs mer

Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen

Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Ett sätt att få fram Black-Littermans formel är att formulera problemet att hitta lämpliga justerade avkastningar som ett skattningsproblem

Läs mer

TMS136. Föreläsning 11

TMS136. Föreläsning 11 TMS136 Föreläsning 11 Andra intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov och under vissa antaganden kan göra intervallskattningar för väntevärden Man kan även gör intervallskattningar för

Läs mer

SF1911: Statistik för bioteknik

SF1911: Statistik för bioteknik SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion

Läs mer

Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:B, HT-14 Laborationer

Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:B, HT-14 Laborationer Lunds universitet Matematikcentrum Matematisk statistik Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:B, HT-14 Laborationer Information om laborationerna I andra halvan av MASA01 kursen ingår två laborationer.

Läs mer

Formler och tabeller till kursen MSG830

Formler och tabeller till kursen MSG830 Formler och tabeller till kursen MSG830 Deskriptiva mått För ett datamängd x 1,, x n denieras medelvärde standardavvikelse standardfelet (SEM) Sannolikheter x = 1 n n i=1 = x 1 + + x n n s = 1 n (x i x)

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko. SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt

Läs mer

Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3. Laboration 2. Fördelningar och simulering

Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3. Laboration 2. Fördelningar och simulering Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3 Laboration 2 Fördelningar och simulering Introduktion 2014-02-06 Syftet med laborationen är dels

Läs mer

Matematisk statistik i praktiken: asset-liability management i ett försäkringsbolag

Matematisk statistik i praktiken: asset-liability management i ett försäkringsbolag Matematisk statistik i praktiken: asset-liability management i ett försäkringsbolag Andreas N. Lagerås AFA Försäkring Kapitalförvaltning Investeringsanalys Docentföreläsning SU 2010-11-10 1(21) Asset liability

Läs mer

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion

Läs mer

FÖRELÄSNING 8:

FÖRELÄSNING 8: FÖRELÄSNING 8: 016-05-17 LÄRANDEMÅL Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är okänd T-fördelningen Goodness of fit-test χ -fördelningen Hypotestest Signifikansgrad Samla in data Sammanställ data

Läs mer

Industriell matematik och statistik, LMA136 2013/14

Industriell matematik och statistik, LMA136 2013/14 Industriell matematik och statistik, LMA136 2013/14 7 Mars 2014 Disposition r Kondensintervall och hypotestest Kondensintervall Statistika Z (eller T) har fördelning F (Z en funktion av ˆθ och θ) q 1 α/2

Läs mer

Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, ): Punktskattningar

Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, ): Punktskattningar Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, 7.1-7.3): Punktskattningar Marina Axelson-Fisk 4 maj, 2016 Stickprov (sample) Idag: Stickprovsmedelvärde och varians Statistika (statistic) Punktskattning (point estimation)

Läs mer

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 013-08-7 Examinator och jour: Mattias Sunden, tel. 0730 79 9 79 Hjälpmedel: Chalmersgodkänd räknare och formelsamling (formelsamling delas ut med tentan). Betygsgränser:

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 3.

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 3. STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 2. Luenberger: 2:1-5, 9, 11, 12. Övning 1. Du lånar 200000 kr i en bank

Läs mer

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2010

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2010 Avd. Matematisk statistik SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2010 0 Allmänna anvisningar Arbeta med handledningen, och skriv rapport, i grupper om två eller tre personer. Närvaro vid laborationstiden

Läs mer

Tentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola.

Tentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola. Tentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola. Tid: Måndagen den 2015-06-01, 8.30-12.30. Examinator och Jour: Olle Nerman, tel. 7723565, rum 3056, MV, Chalmers. Hjälpmedel: Valfri

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs Varterminen 2005 . Kombinatorik ( ) n = k n! k!(n k)!. Tolkning: ( n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 I Punktskattningar I Egenskaper I Väntevärdesriktig I E ektiv I Konsistent

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II G. Gripenberg Aalto-universitetet 13 februari 2015 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och

Läs mer

Våra vanligaste fördelningar

Våra vanligaste fördelningar Sida Våra vanligaste fördelningar Matematisk statistik för D3, VT Geometrisk fördelning X är geometriskt fördelad med parameter p, X Geo(p), om P (X = k) = ( p) k p P (X k) = ( p) k för k =,,... Beskriver

Läs mer

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Bengt Ringnér September 20, 2006 Inledning Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna. 2 Väntevärde standardavvikelse

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Sannolikheter Slumpvariabler Centrala gränsvärdessatsen Aalto-universitetet 8 januari 04 3 Tvådimensionella slumpvariabler

Läs mer

(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka.

(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 11 JANUARI 2016 KL 14.00 19.00. Kursledare för CINEK2: Thomas Önskog, tel: 08 790 84 55 Kursledare för

Läs mer

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning?

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning? När vi nu lärt oss olika sätt att karaktärisera en fördelning av mätvärden, kan vi börja fundera över vad vi förväntar oss t ex för fördelningen av mätdata när vi mätte längden av en parkeringsficka. Finns

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 28 januari 2014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl

Läs mer

Kovarians och kriging

Kovarians och kriging Kovarians och kriging Bengt Ringnér November 2, 2007 Inledning Detta är föreläsningsmanus på lantmätarprogrammet vid LTH. 2 Kovarianser Sedan tidigare har vi, för oberoende X och Y, att VX + Y ) = VX)

Läs mer

Stokastiska Processer och ARIMA. Patrik Zetterberg. 19 december 2012

Stokastiska Processer och ARIMA. Patrik Zetterberg. 19 december 2012 Föreläsning 7 Stokastiska Processer och ARIMA Patrik Zetterberg 19 december 2012 1 / 22 Stokastiska processer Stokastiska processer är ett samlingsnamn för Sannolikhetsmodeller för olika tidsförlopp. Stokastisk=slumpmässig

Läs mer

, s a. , s b. personer från Alingsås och n b

, s a. , s b. personer från Alingsås och n b Skillnader i medelvärden, väntevärden, mellan två populationer I kapitel 8 testades hypoteser typ : µ=µ 0 där µ 0 var något visst intresserant värde Då användes testfunktionen där µ hämtas från, s är populationsstandardavvikelsen

Läs mer

9. Konfidensintervall vid normalfördelning

9. Konfidensintervall vid normalfördelning TNG006 F9 09-05-016 Konfidensintervall 9. Konfidensintervall vid normalfördelning Låt x 1, x,..., x n vara ett observerat stickprov av oberoende s.v. X 1, X,..., X n var och en med fördelning F. Antag

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 11 & 12 Johan Lindström 5 & 14 oktober 2015 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F11 1/27 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se

Läs mer

Tentamen'i'TMA321'Matematisk'Statistik,'Chalmers'Tekniska'Högskola.''

Tentamen'i'TMA321'Matematisk'Statistik,'Chalmers'Tekniska'Högskola.'' Tentamen'i'TMA321'Matematisk'Statistik,'Chalmers'Tekniska'Högskola.'' Hjälpmedel:'Valfri'räknare,'egenhändigt'handskriven'formelsamling'(4''A4Esidor'på'2'blad)' och'till'skrivningen'medhörande'tabeller.''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''

Läs mer

(a) sannolikheten för att läkaren ställer rätt diagnos. (b) sannolikheten för att en person med diagnosen ej sjukdom S ändå har sjukdomen, dvs.

(a) sannolikheten för att läkaren ställer rätt diagnos. (b) sannolikheten för att en person med diagnosen ej sjukdom S ändå har sjukdomen, dvs. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TORSDAGEN DEN 31:E MAJ 2012 KL 08.00 13.00. Examinator: Tobias Rydén, tel 790 8469. Kursledare: Tatjana Pavlenko, tel 790 8466.

Läs mer

Tentamen i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder.

Tentamen i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder. Tentamen 2014-12-05 i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder. Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare och utdelad formelsamling med tabeller. C1. (6 poäng) Ange för

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data

Läs mer

Tentamensgenomgång och återlämning: Måndagen 24/2 kl16.00 i B497. Därefter kan skrivningarna hämtas på studentexpeditionen, plan 7 i B-huset.

Tentamensgenomgång och återlämning: Måndagen 24/2 kl16.00 i B497. Därefter kan skrivningarna hämtas på studentexpeditionen, plan 7 i B-huset. Statistiska institutionen Nicklas Pettersson Skriftlig tentamen i Finansiell Statistik Grundnivå 7.5hp, HT2013 2014-02-07 Skrivtid: 13.00-18.00 Hjälpmedel: Godkänd miniräknare utan lagrade formler eller

Läs mer

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0 Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF191, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 1:A JUNI 216 KL 8. 13.. Kursledare: Thomas Önskog, 8-79 84 55 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i

Läs mer

I den här datorövningen ser vi hur R kan utnyttjas för att kontrollera modellantaganden och beräkna konfidensintervall.

I den här datorövningen ser vi hur R kan utnyttjas för att kontrollera modellantaganden och beräkna konfidensintervall. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Måns Thulin Statistik för ingenjörer 1MS008 VT 2011 DATORÖVNING 2: SKATTNINGAR OCH KONFIDENSINTERVALL 1 Inledning I den här datorövningen ser vi hur R kan

Läs mer

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng Matematisk statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 2012-08-31 Tid:

Läs mer

Blandade problem från elektro- och datateknik

Blandade problem från elektro- och datateknik Blandade problem från elektro- och datateknik Sannolikhetsteori (Kapitel 1-10) E1. En viss typ av elektroniska komponenter anses ha exponentialfördelade livslängder. Efter 3000 timmar brukar 90 % av komponenterna

Läs mer

Syftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden

Syftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK, FÖR I/PI, FMS 121/200, HT-03 Laboration 5: Intervallskattning och hypotesprövning Syftet med den här

Läs mer

b) Beräkna väntevärde och varians för produkten X 1 X 2 X 10 där alla X i :na är oberoende och R(0,2). (5 p)

b) Beräkna väntevärde och varians för produkten X 1 X 2 X 10 där alla X i :na är oberoende och R(0,2). (5 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF190 (f d 5B2501 ) SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR - ÅRIG MEDIA MÅNDAGEN DEN 1 AUGUSTI 2012 KL 08.00 1.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 07 21 7 45 Tillåtna

Läs mer

8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning

8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning 8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning 8. Skattning av µ och Students T-fördelning Om σ är känd, kan man använda statistikan X µ σ/ n för att hitta konfidensintervall för µ. Om σ inte

Läs mer

F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4)

F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4) Stat. teori gk, ht 006, JW F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.1-5.3, samt del av 5.4) Ordlista till NCT Random variable Discrete Continuous Probability distribution Probability distribution function Cumulative

Läs mer

SF1901: Övningshäfte

SF1901: Övningshäfte SF1901: Övningshäfte 24 september 2013 Uppgifterna under rubriken Övning kommer att gås igenom under övningstillfällena. Uppgifterna under rubriken Hemtal är starkt rekommenderade och motsvarar nivån på

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics

Läs mer

b) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p)

b) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 27:E OKTOBER 2014 KL 08.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66, Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49.

Läs mer

f(x) = 2 x2, 1 < x < 2.

f(x) = 2 x2, 1 < x < 2. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90,SF907,SF908,SF9 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK TORSDAGEN DEN 7:E JUNI 0 KL 4.00 9.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 07 7 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och

Läs mer

Analys av medelvärden. Jenny Selander , plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken

Analys av medelvärden. Jenny Selander , plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken Analys av medelvärden Jenny Selander jenny.selander@ki.se 524 800 29, plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december 20111 Innehåll Normalfördelningen

Läs mer

Uppgift 3 Vid en simuleringsstudie drar man 1200 oberoende slumptal,x i. Varje X i är likformigt fördelat mellan 0 och 1. Dessa tal adderas.

Uppgift 3 Vid en simuleringsstudie drar man 1200 oberoende slumptal,x i. Varje X i är likformigt fördelat mellan 0 och 1. Dessa tal adderas. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 17:E AUGUSTI 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 8649. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik ANVISNINGAR TILL INLÄMNINGSUPPGIFTER I MATEMATISK STATISTIK, HT 007 På inlämningsuppgiften ska alltid namn och elevnummer finnas med. Ett automatiskt web-baserat kontrollsystem för numeriska svar kommer

Läs mer

FÖRELÄSNINGSMATERIAL. diff SE. SE x x. Grundläggande statistik 2: KORRELATION OCH HYPOTESTESTNING. Påbyggnadskurs T1. Odontologisk profylaktik

FÖRELÄSNINGSMATERIAL. diff SE. SE x x. Grundläggande statistik 2: KORRELATION OCH HYPOTESTESTNING. Påbyggnadskurs T1. Odontologisk profylaktik Grundläggande statistik Påbyggnadskurs T1 Odontologisk profylaktik FÖRELÄSNINGSMATERIAL : KORRELATION OCH HYPOTESTESTNING t diff SE x 1 diff SE x x 1 x. Analytisk statistik Regression & Korrelation Oberoende

Läs mer

Bengt Ringnér. October 30, 2006

Bengt Ringnér. October 30, 2006 Väntevärden Bengt Ringnér October 0, 2006 1 Inledning 2 Väntevärden Låt X vara en stokastisk variabel som representerar ett slumpmässigt försök, t ex att mäta en viss storhet. Antag att man kan göra, eller

Läs mer

5B Portföljteori och riskvärdering

5B Portföljteori och riskvärdering B7 - Portföljteori och riskvärdering Laboration Farid Bonawiede - 89-09 Alexandre Messo - 89-77 - Beräkning av den effektiva fronten för en portfölj Uppgiften går ut på att beräkna de portföljer som ger

Läs mer

Sannolikheter och kombinatorik

Sannolikheter och kombinatorik Sannolikheter och kombinatorik En sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1 som anger hur frekvent en händelse sker, där 0 betyder att det aldrig sker och 1 att det alltid sker. När vi talar om sannolikheter

Läs mer

Envägs variansanalys (ANOVA) för test av olika väntevärde i flera grupper

Envägs variansanalys (ANOVA) för test av olika väntevärde i flera grupper Envägs variansanalys (ANOVA) för test av olika väntevärde i flera grupper Tobias Abenius February 21, 2012 Envägs variansanalys (ANOVA) I envägs variansanalys utnyttjas att

Läs mer

k x om 0 x 1, f X (x) = 0 annars. Om Du inte klarar (i)-delen, så får konstanten k ingå i svaret. (5 p)

k x om 0 x 1, f X (x) = 0 annars. Om Du inte klarar (i)-delen, så får konstanten k ingå i svaret. (5 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK MÅNDAGEN DEN 17 AUGUSTI 2009 KL 08.00 13.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 790 74 16. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Syftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden inom matematisk statistik

Syftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden inom matematisk statistik LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 01, HT-07 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen, enkla punktskattningar

Läs mer

Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer

Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer Måns Thulin thulin@math.uu.se Senast uppdaterad 20 februari 2013 Diskussionsproblem till Lektion 3 1. En projektledare i ett byggföretaget ska undersöka

Läs mer

Poissonregression. E(y x1, x2,.xn) = exp( 0 + 1x1 +.+ kxk)

Poissonregression. E(y x1, x2,.xn) = exp( 0 + 1x1 +.+ kxk) Poissonregression En lämplig utgångspunkt om vi har en beroende variabel som är en count variable, en variabel som antar icke-negativa heltalsvärden med ganska liten variation E(y x1, x2,.xn) = exp( 0

Läs mer

modell Finansiell statistik, vt-05 Modeller F5 Diskreta variabler beskriva/analysera data Kursens mål verktyg strukturera omvärlden formellt

modell Finansiell statistik, vt-05 Modeller F5 Diskreta variabler beskriva/analysera data Kursens mål verktyg strukturera omvärlden formellt Johan Koskinen, Statistiska institutionen, Stockholms universitet Finansiell statistik, vt-5 F5 Diskreta variabler Kursens mål beskriva/analysera data formellt verktyg strukturera omvärlden innehåll osäkerhet

Läs mer

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 79 / TEN 1

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 79 / TEN 1 LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 79 / TEN 1 augusti 14, klockan 8.00-12.00 Examinator: Jörg-Uwe Löbus Tel: 28-1474) Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk

Läs mer

Kap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen

Kap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen Kap 6: Normalfördelningen Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen σ μ 1 Sats 6 A Om vi ändrar läge och/eller skala på en normalfördelning så har vi fortfarande

Läs mer

Stockholms Universitet Statistiska institutionen Termeh Shafie

Stockholms Universitet Statistiska institutionen Termeh Shafie Stockholms Universitet Statistiska institutionen Termeh Shafie TENTAMEN I GRUNDLÄGGANDE STATISTIK FÖR EKONOMER 2011-10-28 Skrivtid: 9.00-14.00 Hjälpmedel: Miniräknare utan lagrade formler eller text, bifogade

Läs mer