Tentamen i Finansmatematik I 19 december 2003

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Tentamen i Finansmatematik I 19 december 2003"

Fredrik Eriksson
för 4 år sedan
Visningar:

1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Thomas Höglund Lösningar Tentamen i Finansmatematik I 9 december 003 Uppgift q = / f = fu+f d s : f : a = fu f d s u s d

2 Lösning Finansmatematik I, 9 december 003 c = f as / a : 0 0 / c : Uppgift Vid t = 0: Köp en säljoption med lösenpris K och ställ ut en köpoption med lösenpris K. Uppgift 3 c) Följer av sälj-köppariteten med K = Se rt. d) Priset på en säljoption växer med lösenpriset. P.g.a. c) gäller därför P (S, K) < P (S, Se rt ) = C(S, Se rt ). Funktionen C(S, H) avtar mot 0 då H växer mot och C(S, H) > P (S, K) > 0 för H = Se rt varav påståendet följer.

3 Lösning Finansmatematik I, 9 december Uppgift 4 a) Sätt K = S 0 e rt. Vi har s K = max(0, s K) s + K = max(0, s K) + max(0, K s). Uttrycket till höger är målfunktionen för en portfölj som består av en köpoption och en säljoption. Svar: Köp vid t = 0 en köpoption och en säljoption med lösenpris S 0 e rt och löptid T år. (Alternativt kan man vid vid t = 0 köpa två köpoptioner med lösenpris S 0 e rt och löptid T år, sälja kort en aktie och lägga S 0 kr i kassan. Ett annat alternativ är att vid t = 0 köpa en aktie och två säljoptioner med lösenpris S 0 e rt och låna S 0 kr.) b) Portföljens värde vid t är F t = C t (K) + P t (K). Enligt Black-Scholes formel för en köp- respektive säljoption gäller F t = S t Φ(d (t)) e rt S 0 Φ(d (t)) S t Φ( d (t)) + e rt S 0 Φ( d (t)) = där S t (Φ(d (t)) ) + e rt S 0 ( Φ(d (t))), och d (t) = ln(e rt S t /S 0 ) σ T t + σ T t d (t) = d (t) σ T t. Här använde vi oss även av att e r(t t) K = e rt S 0 och att Φ( x) = Φ(x). Kassan och aktieinnehavet är vid t värda e rt S 0 ( Φ(d (t))) respektive S t (Φ(d (t)) ). c) Vi har F 0 = S 0 (Φ(d (0)) ) + S 0 ( Φ(d (0))) och d (0) = d (0) = σ T. Därför är F 0 = S 0 q, där q = 4Φ( σ T ) > 4Φ(0) = 0. Här använde vi identiteten Φ( x) = Φ(x). Sätt s = e rt S T /S 0. Det följer att F T > F 0 (S T /S 0 ) då s > qs. Om q <, så gäller detta då s ligger utanför intervallet [ +q, q ]. I annat fall, q, så ska s ligga utanför intervallet [ +q, ).

4 Lösning Finansmatematik I, 9 december Insättning av siffrorna ger q = 0.5 respektive q = Svar: Intervallet är [ +q, q ] om q < och [ +q, ) om q. Här är q = 4Φ( σ T ). I de speciella fallen blir intervallet (0.90,.3) då T är en månad och (0.7,.65) då T är ett år. Uppgift 5 a) Enligt Black-Scholes formel för köpoptioner är optionspriset C =.0Φ(d ) KΦ(d ) =.97 Här är K = 0 exp( = 9.886, d = ln(.0/ K) / / = , Φ(d ) = och d = d / = 0.449, Φ(d ) = Svar: Optionen kostar.97 kr. b) Sätt K = e rt Ke rt, l = ln(s/ K), σ = σ T t, d = l σ + σ och d = l σ σ. Vi har C t t = t (sφ(d ) KΦ(d )) = sφ(d ) d t Kφ(d ) d t K t Φ(d ) = Kφ(d ))( d t d t ) r KΦ(d ) = Kφ(d ) σ t r KΦ(d ) = K[φ(d σ ) T t + rφ(d )]. Här använde vi identiteterna sφ(d ) = Kφ(d ) och d d = σ. c) Θ t = [ φ(0.444) ] = Svar: Optionspriset blir.94 kr.

5 Lösning Finansmatematik I, 9 december Uppgift 6 a) Låt F beteckna leveranspriset. F = S d = =.5. b) Låt f 6 beteckna kontraktets värde efter 6 månader och F 6 leveranspriset för en termin som tecknas efter 6 månader. De två betalströmmerna ( f 6, 8.50 F ) och (0, 8.50 F 6 ) måste då ha samma nuvärde om arbitragefrihet råder. Detta ger f 6 =.03 5 (F 6 F ), där F 6 = = 8.6. Svar: Kontraktet är värt kr. c) Låt S A och S B beteckna A- respektive B-aktiens priser i november 004. Sätt σ A = V ar(s A) och σ B = V ar(s B). Skriv ρ för korrelationskoefficienten mellan S A och S B och låt F beteckna leveranspriset för en termin på en B-aktie i november. Teckna h kontrakt på B-aktien. Variansen V ar(000s A h(s B F )) = 000 σ A h000σ Aσ B ρ + h σ B minimeras för Den minimala variansen är h = 000 σ Aρ σ B = σ A ( ρ ) = = 905. Svar: Teckna 60 terminskontrakt på B-aktien. Standardavvikelsen blir 905 SEK.

Relevanta dokument

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 3.

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 2. Luenberger: 2:1-5, 9, 11, 12. Övning 1. Du lånar 200000 kr i en bank