Formelsamling för kursen Grundläggande finansmatematik

Transkript

1 STOCKHOLMS UNIVERSITET 13 december 006 Matematiska institutionen Avd. för matematisk statistik Mikael Andersson Formelsamling för kursen Grundläggande finansmatematik 1 Fundamental Theorem of Asset Pricing På en arbitragefri marknad existerar en sannolikhet P på mängden av alla scenarier Ω så att P (ω) > 0 för varje scenario ω Ω och att diskonterade priser för primära tillgångar S j (n) = S j (n)/a(n) och derivat D i (n) = D i (n)/a(n), där A(n) betecknar priset för en riskfri tillgång, bildar martingaler med avseende på P, det vill säga att E [ S j (n + 1) S(n)] = S j (n) E [ D i (n + 1) S(n)] = D i (n) Portföljoptimering.1 Minimal variansportfölj Den portfölj som har minimal varians av alla portföljer av formen V (t) = w 1 S 1 (t) + w S (t) w n S n (t) där w 1 + w w n = 1, har vikterna uc 1 w = uc 1 u T där w betecknar radvektorn bestående av vikterna w 1, w,..., w n, u är en radvektor av längd n innehållande ettor och C är kovariansmatrisen för avkastningarna.. Minimal varianslinje Den portfölj som har minimal varians av alla portföljer av formen V (t) = w 1 S 1 (t) + w S (t) w n S n (t) där w 1 + w w n = 1, och förväntad avkastning µ V har vikterna 1 uc 1 m T µ V mc 1 m T uc 1 + uc 1 u T 1 mc 1 u T µ V mc 1 w = uc 1 u T uc 1 m T mc 1 u T mc 1 m T där m betecknar radvektorn bestående av de förväntade avkastningarna. 1

2 .3 Effektiva fronten Vikterna w för varje portfölj på den effektiva fronten (utom minimala variansportföljen) uppfyller villkoret γwc = m µu för några reella tal γ > 0 och µ..4 Betafaktor Betafaktorn β V β V = Cov(K V, K M ) σ M för en portfölj definieras som där K M och σm betecknar avkastningen och risken för marknadsportföljen. Risken σ V delas upp enligt kan σ V = Var(ε V ) + β V σ M där Var(ε V ) är den diversifierbara risken och βv σ M förväntade avkastningen kan skrivas är den odiversifierbara risken. Den µ V = r F + (µ M r F )β V där r F är den riskfria räntan och µ M är förväntad avkastning för marknadsportföljen. 3 Optioner 3.1 Köp-säljparitet (Put-Call Parity) Priserna för en europeisk köption C E och en europeisk säljoption P E med löptid (exercise time) T och slutpris (exercise price) X på en aktie med nuvärde S(0) uppfyller villkoret C E P E = S(0) Xe rt där r är riskfri ränta under kontinuerlig avsättning. Priserna för en amerikansk köption C A och en amerikansk säljoption P A uppfyller villkoret S(0) X C A P A S(0) Xe rt 3. Intervall för optionspriser Priserna för europeiska optioner ligger alltid i intervallen (S(0) Xe rt ) + C E < S(0) ( S(0) + Xe rt ) + P E < Xe rt och priserna för amerikanska optioner ligger alltid i intervallen (S(0) Xe rt ) + C A < S(0) ( S(0) + X) + P A < X

3 3.3 Cox-Ross-Rubinsteins formel Priserna för en europeisk köption C E (0) och en europeisk säljoption P E (0) med löptid T = Nτ och slutpris X på en aktie vars värde kan beskrivas enligt en binomialträdsmodell med nuvärde S(0) ges av där C E (0) = S(0)[1 Φ(m 1, N, q)] (1 + r) N X[1 Φ(m 1, N, p )] P E (0) = S(0)Φ(m 1, N, q) + (1 + r) N XΦ(m 1, N, p ) Φ(m, N, p) = m k=0 ( ) N p k (1 p) N k k är fördelningsfunktionen för binomialfördelningen, m är det minsta heltal där S(0)(1 + u) m (1 + d) N m > X r är riskfri ränta under periodisk avsättning, p = r d u d är riskneutral sannolikhet och q = p 1 + u 1 + r 3.4 Black-Scholes formel Priserna för en europeisk köption C E (t) och en europeisk säljoption P E (t) med löptid T och slutpris X på en aktie vars värde kan beskrivas enligt modellen S(t) = S(0) exp(mt + σw (t)) med nuvärde S(0), där m och σ är driften och volatiliteten och W (t) är en Brownsk rörelse, ges av C E (t) = S(t)N(d 1 ) Xe r(t t) N(d ) P E (t) = S(t)N( d 1 ) + Xe r(t t) N( d ) där N(x) är fördelningsfunktionen för standard normalfördelning och d 1 = d = ln S(t) X ln S(t) X σ + (r + )(T t) σ T t σ + (r )(T t) σ T t 3

4 3.5 Hedging För en europeisk köpoption gäller delta C E = CE S = N(d 1) gamma C E = C E S = theta C E = CE t vega C E = CE σ 1 Sσ πt e d 1 / rho C E = CE r = T Xe rt N(d ) 4 Obligationer (Bonds) 4.1 Terminer = Sσ / πt e d 1 rxe rt N(d ) = S T e d 1 / π Priset B(n, N) för en enhetsobligation (F = 1) vid tiden t = nτ med löptid T = Nτ bestäms av B(n, N) = e (N n)τy(n,n) 4. Forwardränta Forwardräntan f(n, M, N) på en framtida investering (eller lån) bestäms av B(n, N) = B(n, M)e (N M)τf(n,M,N) 4.3 Duration Durationen D(y) för en kupongobligation med löptid T = n N τ, slutpris (face value) F och kuponger C 1, C,..., C N som utbetalas vid tidpunkterna t 1 = n 1 τ, t = n τ,..., t N = n N τ definieras som D(y) = t 1C 1 e t 1y(0,n 1 ) + t C e t y(0,n ) t N (C N + F )e t N y(0,n N ) C 1 e t 1y(0,n 1 ) + C e t y(0,n ) (C N + F )e t N y(0,n N ) 4.4 Prissättning av obligationer Priset för en obligation B(n, N; s n ) i en binomialträdsmodell uppfyller villkoret B(n, N; s n ) = [p B(n + 1, N; s n u) + (1 p )B(n + 1, N; s n d)] exp{ τr(n; s n )} där r(n; s n ) är korta räntan i tillstånd s n, p = exp{τr(n; s n )} exp{k(n + 1, N; s n d)} exp{k(n + 1, N; s n u)} exp{k(n + 1, N; s n d)} 4

5 är riskneutral sannolikhet och k(n, N; s n ) = ln är logaritmisk avkastning. B(n, N; s n ) B(n 1, N; s n ) 5