STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik, GA 08 januari Lösningar

Transkript

1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MT712 MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, GA 8 januari 215 Lösningar Tentamen i Livförsäkringsmatematik I, 8 januari 215 Uppgift 1 a) Först konstaterar vi att det sammanlagt erhållna beloppet är lika med återstående livslängd, som med gängse beteckningar i kursen skrivs som T x. Fördelningsfunktionen kan då skriva F Tx (t) P (T x t) 1 l(x+t) där l är den så kallade överlevelsefunktionen. Väntevärdet ges av E[T x ] t f Tx (t) dt t µ x+t dt dt e x. Variansen beräknas med hjälp av formeln σ 2 (T x ) E[T 2 x ] (E[T x ]) 2 där vi har att E[T 2 x ] t 2 f Tx (t) dt t 2 µ x+t dt 2 t dt och följdaktligen

2 Lösning Livförsäkringsmatematik I, 8 januari σ 2 (T x ) 2 t dt e 2 x. b) Det diskonterade värdet av det totalt erhållna beloppet kan formuleras på olika sätt. I denna uppgift är det praktiskt att använda beteckningen för en garanterad annuitet i T x år, det vill säga a (T x ). Vi har att a (T x ) 1 e Tx. Vi söker alltså fördelningsfunktionen för Y x a (T x ), det vill säga F Yx (s) P (Y x s) P (1 e T x s) ( ) ln(1 s) ln(1 s) l(x ) P T x 1. Nästa steg är att beräkna väntevärdet av det diskonterade värdet av det totalt erhållna beloppet. Med gängse beteckningar i kursen ges det väntevärdet av E[Y x ] vilket kan skrivas som E[Y x ] a 1 (x) E[a (T x )]. Om man vill använda klassiska kommutationsfunktioner kan man skriva E[Y x ] N(x) D(x). Slutligen, när det gäller variansen, gäller att E[Y 2 x ] 1 2 E[1 2e T x + e 2T x ] 2 E [ 1 e T x 1 ] e 2Tx 2 2 [a 1(x) ã 1 (x)] vilket ger att

3 Lösning Livförsäkringsmatematik I, 8 januari σ 2 (Y x ) 2 [a 1(x) ã 1 (x)] a 2 1(x) där ã 1 (x) är räknat med dubbel ränteintensitet. Uppgift 2 a) Dödlighetsintensiteten ges av µ x+t l (x + t). Eftersom l (x + t) 2 (1 (x + t)) får vi att µ x+t 2 (1 (x + t)) (1 (x + t)) 2 2, t 1 x. 1 (x + t) b) Täthetsfunktionen för T x, återstående livslängd, kan bestämmas genom att observera att F Tx (t) 1 l(x+t) (observera att överlevelsefunktionen har normerats) vilket efter derivering med avseende på t ger det sökta svaret. Ett annat sätt är att använda oss av den ovan beräknade dödlighetsintensiteten. Vi kan då skriva f Tx (t) µ x+t 2 (1 (x + t)) (1 x) 2, t 1 x.

4 Lösning Livförsäkringsmatematik I, 8 januari c) Slutligen kan den förväntade återstående livslängden E[T x ] e x bestämmas genom formeln e x dt (1 (x + t)) 2 (1 x) 2 dt... 1 x. 3 Observera att integrationen sker över intervallet t (, 1 x), det vill säga positiva tillskott till integralen fås enbart för de t-värden som omfattas av intervallet. Uppgift 3 a) En uppfostringsränta är helt enkelt ett gammalt begrepp för en, i det här fallet, temporär annuitet. Låt oss först bestämma kapitalvärdet av förmånen vid försäkringens tecknande, beloppet är L kronor per år. Betrakta nu ett litet tidsintervall (u, u + du). För att en utbetalning skall bli aktuell i intervallet krävs det att den försäkrade lever fram till denna duration samt att han avlider då. Sannolikheten för detta ges av l(x + u) µ x+u. Utbetalningen blir då a (m u) multiplicerat med diskonteringsfaktorn e u vilket, multiplicerat med L och integrerat över < u m, m e u a (m u) l(x + u) µ x+u du. Observera att, som angett i uppgiften, uppfostringsräntan betalas ut oavsett om den förväntade förmånstagaren lever eller ej. Att

5 Lösning Livförsäkringsmatematik I, 8 januari betinga utbetalningarna med att förmånstagaren skall leva är en tvålivsprodukt som vi inte behandlar här. Nu kan vi med hjälp av partialintegration göra följande beräkning m [ e u a (m u) e u l(x + u) a (m u) µ x+u du ] l(x + u) um m e u l(x + u) du u a (m) a 1 (x; m) där funktionerna a och a 1 är definierade enligt gängse terminolgi i kursen. Man kan tolka svaret som att vi först beräknar den garanterade räntan och från denna drar bort värdet av uppfostringsräntan så länge den försäkrade lever. Skrivet med kommutationsfunktioner får vi ( 1 e m L(a (m) a 1 (x; m)) L ) N(x) N(x + m). D(x) Kapitalvärdet av utbetalningarna kan också skrivas som Y, där Y { e Tx a (m T x ), T x m, T x > m. Slutligen får vi premieekvationen till E P a 1 (x; n) L (a (m) a 1 (x; m)). b) Med antagande om att den försäkrade är kvinna, x 35, m 8 samt n 8 år vi ett numeriskt uttryck för P/L som

6 Lösning Livförsäkringsmatematik I, 8 januari , 261 P/L (a (m) a 1 (x; m)) a 1 (x; n) 1 e 8 N(35) N(43) N(35) N(43) 1 e 8 1 e m N(x) N(x+m) D(x) N(x) N(x+n) D(x) N(35) N(43) 1, , 261, , 45. 1, 545 7, 8131 där ln(1+, 3), 3, 266 enligt förutsättningarna för bifogade tabeller. Observera att i de bifogade tabellerna är ränteintensiteten belastad och det skall den därför följaktligen också vara belastad i dessa beräkningar. Uppgift 4 Vi delar upp resonemanget i två delar, en för premiebetalningarna och en för utbetalningarna. Med givna förutsättningar får vi att kapitalvärdet av premiebetalningarna kan skrivas som B 1 + P D(4) a 1(4; 15). Vidare kan vi skriva kapitalvärdet av utbetalningarna, vid durationen t, som A 6 M(35) M(55) a (2) + 6 D(55) a 1(55; 2). Premieekvationen får vi nu genom att sätta A B, det vill säga

7 Lösning Livförsäkringsmatematik I, 8 januari M(35) M(55) 1 + P D(4) a 1(4; 15) 6 a (2) + D(55) 6 a 1(55; 2). Vi har avstått från att förenkla uttrycket vidare. Uppgift 5 a) De tillstånd vi brukar använda av oss är Frisk, Sjuk och Avliden. Dock brukar vi införa begreppet Avvecklad som är en benämning som används för de individer som lämnar tillståndet Sjuk. b) Utbetalning ges från en sjukförsäkring under förutsättning att den försäkrade individen blivit sjuk. Ofta kan starten av utbetalningen senareläggas, räknat från insjuknandetillfället, med en karenstid k. Det brukar också förekomma att man skall ha ingått i sjukförsäkringskollektivet en viss tid för att ha rätt att uppbära ersättningen från försäkringen. c) En premiebefrielseförsäkring är en produkt, en slags sjukförsäkring, som säljes ihop med en vanlig pensionsförsärking. I händelse av sjukdom kommer det från premiebefrielseförsäkringen att utbetalas ett belopp som motsvarar premien för pensionsförsäkringen. Mottagre är pensionsförsäkringskontot. d) Karenstid är den tid som man måste befinna sig i sjukdomstillståndet innan utbetalning kan påbörjas. Vanlig karenstid är exempelvis 3 månader. e) Insjuknandeintensitet är, precis som det låter, den intensitet som anger vilken omfattning man kan insjukna. Man utgår då normalt från ett friskt tillstånd. f) Avvecklingsfunktionen beskriver hur länge man befinner sig i tillståndet Sjuk. Vid durationen t för sjuktillståndet är avvecklingsfunktionen lika med 1 för att sedan avta monotont.