S t : Vi ska här betrakta ett antal portföljer som vid t = 0 är värda 100 SEK.

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "120 110 S t : 100 100 90 80 Vi ska här betrakta ett antal portföljer som vid t = 0 är värda 100 SEK."

Transkript

1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. KOMPLEMENT DAG 5. HANDELSSTRATEGIER Låt S t beteckna priset på en aktie vid tiden t. Vi ska betrakta portföljer av formen P t = c t + a t S t. Här är c t kassan och a t antalet aktier vid tiden t. Vi ska anta att alternativavkastningen (räntan) är noll. Pengar i kassan förräntar sig alltså inte. Låt oss börja med ett enkelt exempel. Antag att en aktie idag (t=) kostar 1 SEK. Låt t 1 > beteckna den första tidpunkt då aktien kostar antingen 11 eller 9 SEK och låt t 2 > t 1 beteckna den första tidpunkt då aktien gått upp eller ned ytterligare 1 SEK. Detta ger följande binomialträd: t : t 1 t S t : Vi ska här betrakta ett antal portföljer som vid t = är värda 1 SEK. Portfölj Behåll pengarna i kassan; P t = 1 för t =, t 1, t 2. Portfölj 1 Köp aktier för hela kassan vid t =. Gör inget mer; P t = S t för t =, t 1, t 2. Denna portfölj får alltså samma utveckling som aktien. Portfölj 2 Köp aktier för halva kassan vid t =. Gör inget mer; P t = S t för t =, t 1, t 2. Denna portfölj får följande utveckling: P t : Ovanstående portföljer har det gemensamt att vi inte förändrar dem under resans gång (d.v.s. vid t = t 1 ). Genom att förändra portföljen vid t = t 1 kan vi styra den mot ett på förhand givet mål (som beror på startkapitalet). Portfölj P t :

2 Portföljen ges av följande handelsstrategi: t =. Köp 1 2 aktie; P = S. t = t 1. Om S t1 = 11, köp ytterligare 1 2 aktie; P t 1 = 5 + S t1. (Vi får alltså låna 5 SEK.) Om S t1 = 9, sälj alla aktier P t1 = 95. Aktieantalet ges alltså av följande binomialträd: och kassan av 1 1 a t : 2 5 c t : 5 95 Hur konstrueras portföljen? Börja längst till höger d.v.s. vid t = t 2. Högst upp t.ex. t 1 t 2? Vi ska vara rätt positionerade vid t 1 för att nå målet vid t 2. Antag att P t1 = c + as t1. Då ska c + a12 = 115 och c + a1 = 95 d.v.s. a = 1 och c = 5. Portföljvärdet vid t 1 är = 15. P.s.s. beräknas det andra portföljvärdet vid t 1. När det är gjort kan vi fortsätta bakåt till t =. Konstruktionen av en handelsstrategi reduceras alltså till följande: Antag att vi har aktieutvecklingen: s u s s d 115 där s d < s < s u och att portföljen har utseendet: 95 f f u f d Här är f u och f d givna och f = c + as, där c och a ska bestämmas ur systemet: c + as u = f u, c + as d = f d. Övning 1 Visa att systemet har lösningen a = f u f d s u s d, c = s uf d s d f u s u s d Övning 2 Visa att f = qf u + (1 q)f d där q = s s d s u s d. 2

3 Observera att man inte behöver lösa ekvationssystemen utan det är ofta enklare att använda ovanstående formler till att först beräkna q (som i exemplet är 1/2) sen portföljvärdena (i exemplet är f medelvärdet av f u och f d ). Därefter beräknas aktieantalen, a, och sist kassan. Ett sätt att beräkna kassan som är enklare än att använda ovanstående formel är: c = f as. Övning 3 Betrakta samma aktieutveckling som i portföljerna -3. Beräkna utvecklingen av portföljvärdet, antalet aktier samt kassan för den handelsstrategi som har portföljvärdet f(s t2 ) vid tiden t 2. Här är f(8) = 115, f(1) = f(12) = 95. I detta exempel förekommer negativa aktieinnehav (blankning) vilket innebär att man lånar aktier och säljer dem (för att förhoppningsvis senare kunna köpa tillbaka dem till ett lägre pris). Övning 4 Samma som Övning 3 men med f(8) = f(1) = och f(12) = 4. I detta fall krävs det hög belåning och risken är hög. Följande exempel illustrerar hur ovanstående handelsstrategier kan fungera i praktiken. Exempel FRAMFAB Framtidsfabriken, senare omdöpt till Framfab, sattes på Stockholmsbörsen den 23 juni Aktien visade sig vara vildsint: Efter att första dagen ha stängt på 19.5 toppade den efter 18 handelsdagar och stängde på 323 = Den 23 november 2 handlades den för första gången under första dagens stängningskurs. Slutkursen blev 19. = Vi ska använda handelsstrategien i Portfölj 3 på denna aktie under ovannämnda period. Vi ska anta att aktien handlas endast till de dagliga stängningskurserna och kan därför inte förvänta oss att kunna handla exakt på nivåerna i binomialträdet utan ombalanseringstidpunkterna definieras som de första tidpunkter nivåerna i binomialträdet uppnåtts eller passerats. Vid tidpunken t 2 börjar man om genom att lägga halva portföljvärdet i kassan och halva i aktien. Vi har bortsett från transaktionskostnader såsom spread och courtage men även bortsett från räntan. Utvecklingen av aktien och portfölj 3 framgår av Figur 1. Aktieutvecklingen är heldragen och portföljutvecklingen streckad. Skalan är logaritmisk. Varje enhet på den lodräta axeln svarar mot en dubbling/halvering. Aktiens värde vid sluttidpunkten var.97 av ingångsvärdet medan portföljens värde var 2.2, +12%. Aktiens volatilitet (d.v.s. standardavvikelsen av dagsavkastningarna) var 12% per år medan portföljen hade volatiliteten 69% per år. Antag att vi den 23 november 2 slutade att tro på en positiv utveckling för aktien och i fortsättningen gick över till blankningsstrategin i Övning 3. Denna portföljs och aktiens utveckling under perioden visas i Figur 2. Skalan är logaritmisk. Aktien gick under perioden ned från 19 till 1.1 = Portföljen gick upp med en faktor 1.42, +42%. Både aktien och portföljen hade hög volatilitet, 1.97 respektive 1.88 per år. Ett skäl till den höga 3

4 Figur 1: Utveckling av Framfab samt Portfölj 3 under perioden Logaritmisk skala Figur 2: Utveckling av Framfab samt portföljen i Övning 3 under perioden Logaritmisk skala. 4

5 portföljvolatiliteten är att vi endast handlar till slutkurserna och att portföljen vissa dagar därför rör sig väsentligt mer än 5% mellan ombalanseringarna. Detta gäller speciellt mellan dagarna 11, 111, 112 samt 122 och 123. Om vi hade använt handelsstrategin i Övning 4 hade portföljen tämligen snart blivit värdelös oavsett var vi startade. Man kan naturligvis betrakta fler än 3 tidpunkter. Aktien handlas på de nivåer som ges av ett binomialträd av formen t : t 1 t 2 t n b 1,1 b 2,2 b 1, S t : b, b 2,1 b 2, b n,n b n,. Här är b, = S och b k+1,j < b k,j < b k+1,j+1 för j =, 1,..., k, k =, 1,..., n 1. Den handelsstrategi som ger portföljvärdet f(s tn ) vid sluttidpunkten t n ska vi kalla handelsstrategien med målfunktionen f. I nästa övning ska du jämföra de handelsstrategier som har värdet av en köp- respektive säljoption som målfunktion. Övning 5 En aktie handlas på nivåerna i binomialträdet b k,j j =,..., k, k =, 1, 2, 3, 4, där b, = S = 1 och b k+1,j+1 = b k,j + 1, b k+1,j = b k,j 1, j =,..., k, k =,..., 3. Beräkna utvecklingen av portföljvärdet, antalet aktier samt kassan för den handelsstrategi som har målfunktionen f i följande två fall. a) Europeisk köpoption med lösenpris 12: f(s) = max(, s 12). Vad är optionens pris, d.v.s. portföljens värde vid t =? b) Europeisk säljoption med lösenpris 8: f(s) = max(, 8 s). c) Antag att du innehar en aktie och köper säljoptionen i b) och ställer ut köpoptionen i a). Vilken utveckling får denna portfölj? Speciellt hur stor är nettokostnaden för optionstransaktionerna? Övning 6 En aktie handlas på nivåerna i binomialträdet b k,j j =,..., k, k =, 1, 2, 3, n, där b, = S och b k+1,j+1 = b k,j + h, b k+1,j = b k,j h, j =,..., k, k =,..., n. Låt f k (S tk ) vara portföljvärdetvärdet vid t = t k för handelsstrategien med målfunktionen f. Här är S > nh och f är en en given funktion. Visa att k ( ) f n k (s) = 2 k k f(s + (k 2j)h). j Modellantaganden j= 5

6 När vi har konstruerat handelsstrategierna ovan har vi underförstått att den tillgång vi handlar med (ovan kallad aktien) uppfyller två villkor (delbarhet och likviditet) som även vissa tillgångar som inte är aktier uppfyller men som vissa aktier inte uppfyller. Tillgången ska kunna handlas i delar. Exakt hur små bestäms av handelsstrategien. Antagande om delbarhet Tillgången ska kunna handlas i tillräckligt små delar. I det inledande exemplet har vi antagit att om aktien minskar i värde från 1 kr vid t = till 8 kr vid t = t 2, så går den däremellan att handla på 9 kronorsnivån. Detta kräver att aktien är likvid: Det finns alltid tillräckligt många köpare och säljare så att spreaden (skillnaden mellan sälj- och köpkurs) är liten. Detta är inte alltid fallet. I värsta fall finns det överhuvudtaget inga köpare den dag man vill sälja. (Sådana aktier kan man finna på Aktietorget.) Antagande om likviditet Tillgången går att handla på samtliga nivåer i binomialträdet. Priset på en likvid aktie som kanske kostar 2 kr rör sig i regel upp eller ned med 5 öre åt gången och spreaden är oftast av den storleksordningen. I sådana fall verkar detta antagande rimligt om avståndet mellan nivåerna är några multiplar av aktiepriset gånger.5 2 =.25%. Men det finns mer än ett exempel från verkligheten då en likvid aktie fallit 3% på några minuter. Så det gäller att vara alert. De kraftiga svängningarna i portföljvärdet i Figur 2 beror på att likviditetsvillkoret inte alltid var uppfyllt (åtminstone om man enbart handlar till slutkurser) utan att aktien hamnade långt utanför binomialträdet. Ränta Om pengarna i kassan förräntar sig kontinuerligt med räntan r > så P t = c t + a t St där P t = e rt P t betecknar nuvärdet av P t och motsvarande för c t och S t. Man kan alltså på samma sätt som ovan styra nuvärdet av portföljen genom att ombalansera portföljen vid de tidpunkter nuvärdet av aktiepriset når de olika nivåerna i binomialträdet. Exotiska optioner Samtliga portföljer vi behandlat har det gemensamt att slutvärdet f(s tn ) beror endast på aktiens värde vid sluttidpunkten t n. Det finns emellertid finansiella derivat kallade exotiska optioner vars värde beror av aktiens pris vid flera tidpunkter. Vi ska illustrera med ett exempel hur ovanstående metod behöver modifieras i detta fall. Betrakta samma aktieutveckling som i det inledande exemplet. Vi ska konstruera en portfölj vars värde vid t 2 är max(s, S t1, S t2 ). Om S t2 = 1 så måste vi veta vilket av de två värdena 11 och 9 aktien haft vid t 1. Därför skriver vi binomialträdet med aktieutvecklingen på följande sätt. 6

7 S t : 1 Portföljvärdet får utvecklingen P t : Kolumnen längst till höger är alltså aktiens största värde. De övriga värdena har vi fått genom att arbeta oss bakåt i trädet på samma sätt som tidigare. Övning 7 Normera denna portfölj så att startvärdet blir 1. Beräkna även utvecklingen av antalet aktier och kassan. Övning 8 Betrakta samma aktieutveckling som i ovanstående exempel. Beräkna den handelsstrategi som ger portföljvärdet (S + S t1 + S t2 )/3. Jämför portföljutvecklingen med den i Övning 7. Cox, Ross och Rubinsteins modell Hittills har vi endast ombalanserat portföljen då skillnaderna, S tk S tk 1, når givna nivåer. En anledning till detta är att beräkningarna blir mycket enkla. I fortsättningen ska vi istället balansera om portföljen då kvoterna S tk /S tk 1, når givna nivåer. Betrakta alltså ett binomialträd av formen t : t 1 t 2 t n S u 2 S u S t : S S ud S d S d 2 S u n S d n, där d och u är positiva tal sådana att d < 1 < u. Räntan är som tidigare. 7

8 Övning 9 a) Beräkna q uttryckt i d och u. Svar: 1 d u d. b) Beräkna q uttryckt i u i fallet då d = 1/u. Förenkla så långt som möjligt. 1 Svar: 1+u. c) Vad blir q om d+u = 2 (D.v.s. om d = 1 b, u = 1+b för något < b < 1)? Svar: 1 2. Övning 1 Betrakta fallet då n = 3, S = 1, u = 1.2, d = 1/u. Betrakta handelstrategin med målfunktionen max(, S t3 1). Beräkna utvecklingen av portföljens värde samt av antalet aktier i portföljen. Låt f k (S tk ) beteckna värdet vid tiden t k av den portfölj som vid tiden t n har värdet f(s tn ). Här är f(s) en given funktion (t.ex. f(s) = max(, s K)). På samma sätt som tidigare får vi f k 1 (s) = qf k (su) + (1 q)f k (sd) för k = n, n 1,..., 1. Här är q = 1 d u d och f n = f. Löser vi dessa ekvationer får vi f n 1 (s) = qf(su) + (1 q)f(sd) f n 2 (s) = qf n 1 (su) + (1 q)f n 1 (sd) = q(qf(su 2 ) + (1 q)f(sud)) + (1 q)(qf(sdu) + (1 q)f(sd 2 )) = Övning 11 Övertyga dig om att för k =, 1,..., n. q 2 f(su 2 ) + 2q(1 q)f(sud) + (1 q) 2 f(sd 2 ). f n k (s) = k j=... Ovanstående resultat kan även skrivas ( ) k q j (1 q) k j f(su j d k j ). j f n k (s) = Ef(su X k d k X k ), där X k är en stokastisk variabel som är binomiafördelad (k, q). Antalet aktier vid tiden t k 1 och aktiepriset S tk 1 = s är f k (su) f k (sd). s(u d) Det är visserligen självklart att slutresultatet f(s tn ) är relaterat till portföljvärdet vid t = men följande exempel kan ändå vara instruktivt: Normera aktiepriset så att S = 1 och välj f(s) = e s. Denna portfölj borde väl ge en hygglig avkastning om aktien går upp? I detta fall gäller f (1) > q n f(u n ) = 8

9 exp(u n n ln 1 q ). Om man normerar portföljen så att portföljvärdet är 1 vid t = så kommer portföljvärdet vid t = t n och aktiepriset S tn = u n k d k att bli e un k d k f (1) < exp ( u n (1 ( d u )k ) + n ln 1 q ) då n om k >. Å andra sidan går det att visa att portföljvärdet vid t = t n är av storleksordningen q n då S tn = u n men risken är alltså hög om n är stort. Övning 12 Betrakta fallet då n = 3, S = 1, u = 1.2, d =.8. Beräkna portföljutvecklingen för den handelsstrategi som har målfunktionen exp(s). Normera den så att f (1) = 1. Ett asymptotiskt resultat Skriv u = e δ och låt i fortsättningen d = 1/u = e δ. I detta fall gäller f n k (s) = Ef(se Y k ) där Y k = 2δ(X k k 2 ). Vi ska använda denna representation och centrala gränsvärdessatsen till att approximera portföljvärdet och aktieantalet då δ är litet och k stort. Övning 13 Visa att q = e δ = 1 2 (1 δ 2 + O(δ3 )), EY k = 2δk(q 1 2 ) = δ2 k 2 (1 + O(δ2 )), Var(Y k ) = δ 2 k4q(1 q) = δ 2 k(1 + O(δ 2 )). Här ser vi att δ 2 k bör vara av storleksordningen 1 för att variansen och medelvärdet inte ska urarta. Antag därför att δ och k på så sätt att δ 2 k v, < v <. Det följer då av den centrala gränsvärdessatsen att Y k konvergerar i fördelning mot Y där Y är normalfördelad med medelvärde v 2 och varians v. Därför gäller även Ef(se Y k ) Ef(se Y ) om f är reguljär. För att se vad som händer med aktieantalet gör vi så här: Sätt s 1 = se δ, s 2 = se δ och F (x) = f(xe Y k ). Vi har f(se δ e Y k ) f(se δ e Y k ) se δ se δ = F (s 2) F (s 1 ) = F (s 3 ) = f (s 3 e Y k )e Y k s 2 s 1 för något s 3 mellan s 1 och s 2. Både s 1 och s 2 går mot s då δ och därför gäller detta även s 3. Väntevärdet av ovanstående uttryck konvergerar därför mot E[f (se Y )e Y ] = d ds Ef(seY ) 9

10 om f är tillräckligt reguljär. Sammanfattningsvis: Sats 1 Antag att f är reguljär. Då gäller Ef(se Y k ) Ef(se v 2 + vz ) Ef(se δ e Y k ) Ef(se δ e Y k ) se δ se δ d ds Ef(se v 2 + vz ) då δ och k på så sätt att δ 2 k v, < v <. Här är Z normalfördelad med väntevärde och varians 1. Tillräcklig regularitet för att den första konvergensen ska gälla är att f(s) är kontinuerlig för s > och inte växer för snabbt i definitionsintervallets ändpunkter: Det finns postitva tal C och m så att f(s) C(s m + s m ) för alla s >. För att den andra konvergensen ska gälla räcker det att f är deriverbar överallt utom möjligen i ändligt många punkter samt att f(s 1 ) f(s 2 ) C s 1 s 2 för något tal C och alla s 1 > och s 2 >. Observera att funktionerna f(s) = max(, s K) och f(s) = max(, K s) uppfyller dessa villkor. Beräkning av handelsstrategier Värdet av aktien vid starttidpunkten, S, är irrelevant. Vad som är relevant är på vilka nivåer S t /S befinner sig. Börja därför med ett binomialträd av formen b k,j = S β k,j, j =,...k, k =,..., n på vars nivåer aktien ska handlas och en målfunktion av formen f(s/s ). Här är β, = 1, β k+1,j < β k,j < β k+1,j+1 Därefter beräknas binomialträdet med vikterna q k,j, q k 1,j = b k 1,j b k,j b k,j+1 b k,j = β k 1,j β k,j β k,j+1 β k,j. Vi har ovan alltid valt β k,j så att q k,j = q oberoende av k och j. Sedan beräknas binomialträdet med portföljvärdena f k,j, f k 1,j = q k 1,j f k,j+1 + (1 q k 1,j )f k,j, k = n, n 1,..., 1, där f n,j = f(β n,j ). Om startkapitalet är givet normaliseras portföljvärdet så att f, är 1. Detta kan uppnås genom att dividera med f,. Om f beror på några parametrar och dessa kan bestämmas så att f, = 1, så kan man alternativt göra detta. Vi förutsätter nu att detta är gjort: f, = 1. Därefter beräknas α k 1,j = f k,j+1 f k,j β k,j+1 β k,j. Sambandet mellan α och aktieantalen är: a k,j = α k,j /S. Slutligen beräknas kassan, c k,j = f k,j α k,j β k,j = f k,j a k,j b k,j. Låt j k, k =,..., n, beteckna de tal som uppfyller S tk /S = β k,jk 1

11 Portföljvärdet, P t, vid tiden t ges av P t = P ( ck,jk + α k,jk S t S ) för tk t t k+1, k =,..., n 1. Detta förutsätter emellertid att vi handlar aktien exakt på nivåerna i binomialträdet vilket knappast sker i verkligheten. Antag istället att vi handlar vid tidpunkterna τ 1, τ 2,..., där förhoppningsvis S τk /S ligger nära β k,jk. (I exemplet FRAMFAB är τ k den första tidpunkt t k som aktien befinner sig på eller har passerat denna nivå i binomialträdet.) Låt Q t beteckna värdet av den portfölj som ombalanseras vid dessa tidpunkter. Då gäller Q t = P t för t t 1. Sen skiljer sig portföljerna åt och vad Q t är värd efter τ 1 beror på hur ombalanserigen gjorts och denna kan göras på olika sätt. Här är ett exempel på hur man kan göra. Portföljens värde vid t τ 1 är Q t = P (c, + α, S t S ). Efter ombalanseringen vid t = τ 1 kan man försöka med P (c 1,j1 + α 1,j1 S t S ) men detta värde avviker något från Q τ1 genom att multiplicera med då t = τ 1. Korrigera denna avvikelse Genom att fortsätta så får man Q τ1 P (c 1,j1 + α 1,j1 S τ1 S ). Q t = K k (c k,jk + α k,jk S t S ) för t k t t k+1, k =,..., n 1, där K k = Q τk /(c k,jk + α k,jk S τk S ). Portföljförsäkring Ett sätt att minska risken i ett aktieinnehav är att välja en handelsstrategi med en målfunktion som alltid är positiv. Vi ska här sätta portföljvärdet vid t = till 1 och betrakta funktioner av formen f(s/s ), där { g oms b f(s) = g + l(s b) om s > b eller mer kompakt skrivet f(s) = g + l(s b) +. Här b en brytpunkt, medan g, < g < 1, är ett golv för portföljvärdet. Parametern l > är alltså linjens lutning till höger om brytpunkten. Dessa parametrar ska väljas så att portföljvärdet vid t = är 1. Om man minskar risken genom att höja g får man betala med ett mindre l och därmed ett lägre portföljvärde för aktievärden över brytpunkten. 11

12 Vi väljer att handla aktien på nivåerna i binomialträdet i Cox, Ross och Rubinsteins modell med d = 1/u. β k,j = u j d k j = u 2j k, k =, 1,..., n, j =,..., k. Portföljvärdet vid t = är enligt Övning 11 n j= ( n j ) q j (1 q) n j f(u j d n j ). Villkoret att detta är 1 ska vi uttrycka med hjälp av binomialfördelningens fördelningsfunktion: [x] Bp n (x) = ( ) n p j (1 p) n j. j j= Övning 14 a) Visa att qu = 1 q och (1 q)d = q. b) Visa att ( ) n p j (1 p) n j = B n j 1 p(n x). c) Visa att n j= där y = 1 ln b 2 (n ln u ). j x ( ) n q j (1 q) n j (u j d n j b) j + = Bq n (y) bb1 q(y), n Det följer att villkoret att portföljvärdet vid t = är 1 tar formen: 1 g = l ( B n q (y) bb n 1 q(y) ). Vilken portfölj som går bäst av den oförsäkrade och den försäkrade beror på vilken väg aktien tar. En väsentlig skillnad är att den försäkrade har lägre risk. I Figur 3 visas utvecklingen av Ericsson (heldragen) och den försäkrade portföljen under tidsperioden Handelsstrategien ges av parametrarna u = 1.1, n = 8, b = 1 och g =.95. Dessa ger l =.48. Skalan är logaritmisk. Varje enhet på den lodräta axeln svarar mot en dubbling/halvering. Volatiliteterna var.65 och.21 per år för aktien respektive portföljen. Tidsperioden är med avsikt vald så att de två portföljerna korsar varandra. Om aktien sätter sig tillräckligt mycket (i detta fall med 32%) under en period t,..., t n, så har portföljen hela kapitalet i kassan och det kommer att förbli där tills vi börjar om vid t = t n. I det här exemplet inträffade det några gånger. T.ex. kring dag 5. En variant som kan vara lämplig att använda då man endast förväntar sig måttliga uppgångar i aktien är att lägga in ett tak i målfunktionen vid en brytpunkt c > b: 12

13 Figur 3: Utveckling av Ericsson och den försäkrade portföljen. Logaritmisk skala. g f(s) = g + l(s b) g + l(c b) om s b om b < s c om s > c d.v.s. f(s) = g + l(s b) + l(s c) +. Fördelen är att man för givet g kan öka lutningen l. Alternativt, för samma lutning kan man höja golvet g. Det följer av Övning 14 c att parametrarna i detta fall ska uppfylla identiteten 1 g = l ( B n q (y) bbn 1 q (y) Bn q (z) + cbn 1 q (z)), där y är som i övning 14 och z = 1 ln c 2 (n ln u ). 13

14 3: Svar till övningarna P t : a t :.5 1 4: 95 c t : P t : 1 2 a t : 1 2 c t : 9 7: Portföljvärdena och kassan är avrundade till närmsta heltal. P t :

15 a t : c t : : Portföljvärdena är avrundade till närmsta heltal P t : a t : : c t : P t :

16 1.79 a t : : f : fnorm :

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 3.

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 3. STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 2. Luenberger: 2:1-5, 9, 11, 12. Övning 1. Du lånar 200000 kr i en bank

Läs mer

Finansmatematik II Kapitel 2 Stokastiska egenskaper hos aktiepriser

Finansmatematik II Kapitel 2 Stokastiska egenskaper hos aktiepriser STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version Finansmatematik II Kapitel Stokastiska egenskaper hos aktiepriser Finansmatematik II För att kunna

Läs mer

Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering

Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 04 0 8 Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering 2 Finansmatematik II Risk och diversifiering

Läs mer

STYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR

STYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. KOMPLEMENT DAG 13. STYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR Hittills har vi betraktat

Läs mer

Vi ska här utgå ifrån att vi har en aktie och ska med denna som grund konstruera tre olika optionsportföljer.

Vi ska här utgå ifrån att vi har en aktie och ska med denna som grund konstruera tre olika optionsportföljer. STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd för Matematisk statistik TH FINANSMATEMATIK I, HT 01 KOMPLEMENT DAG 12 Version 01 12 10 TRE OPTIONSSTRATEGIER Vi ska här utgå ifrån att vi har en aktie

Läs mer

Lösningar till tentamen i Grundläggande nansmatematik. 21 december 2006 kl. 914

Lösningar till tentamen i Grundläggande nansmatematik. 21 december 2006 kl. 914 STOCKHOLMS UNIVERSITET MS 3290 MATEMATISKA INSTITUTIONEN TENTAMEN Avd. Matematisk statistik 21 december 2006 Lösningar till tentamen i Grundläggande nansmatematik 21 december 2006 kl. 914 Uppgift 1 Priset

Läs mer

Formelsamling för kursen Grundläggande finansmatematik

Formelsamling för kursen Grundläggande finansmatematik STOCKHOLMS UNIVERSITET 13 december 006 Matematiska institutionen Avd. för matematisk statistik Mikael Andersson Formelsamling för kursen Grundläggande finansmatematik 1 Fundamental Theorem of Asset Pricing

Läs mer

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet

Läs mer

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 02 10 25. RÄNTA 1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

Läs mer

P (t) = V 1 (t) V m (t) P (t + t) P (t) P (t) = v j (t)r j (t, t + t), v(t) Q t v(t),

P (t) = V 1 (t) V m (t) P (t + t) P (t) P (t) = v j (t)r j (t, t + t), v(t) Q t v(t), STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 02 22 RISK OCH DIVERSIFIERING Betrakta en portfölj bestående av m tillgångar som vi här ska kalla aktier.

Läs mer

MVE051/MSG Föreläsning 7

MVE051/MSG Föreläsning 7 MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 7 Petter Mostad Chalmers November 23, 2016 Överblick Deskriptiv statistik Grafiska sammanfattningar. Numeriska sammanfattningar. Estimering (skattning) Teori Några exempel

Läs mer

Del 13 Andrahandsmarknaden

Del 13 Andrahandsmarknaden Del 13 Andrahandsmarknaden Strukturakademin Strukturakademin Srukturinvest Fondkommission 1 Innehåll 1. Produktens värde på slutdagen 2. Produktens värde under löptiden 3. Köp- och säljspread 4. Obligationspriset

Läs mer

Prissättning av optioner

Prissättning av optioner TDB,projektpresentation Niklas Burvall Hua Dong Mikael Laaksonen Peter Malmqvist Daniel Nibon Sammanfattning Optioner är en typ av finansiella derivat. Detta dokument behandlar prissättningen av dessa

Läs mer

Föreläsning 12: Regression

Föreläsning 12: Regression Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är

Läs mer

Finansmatematik II Kapitel 5 Samvariation med marknaden

Finansmatematik II Kapitel 5 Samvariation med marknaden 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 04 1 03 Finansmatematik II Kapitel 5 Samvariation med marknaden Finansmatematik II 1 Marknaden Med

Läs mer

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning?

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning? När vi nu lärt oss olika sätt att karaktärisera en fördelning av mätvärden, kan vi börja fundera över vad vi förväntar oss t ex för fördelningen av mätdata när vi mätte längden av en parkeringsficka. Finns

Läs mer

SVANTE JANSON OCH SVANTE LINUSSON

SVANTE JANSON OCH SVANTE LINUSSON NORMLPPROXIMTION FÖR SNNOLIKHETEN FÖR TT FELKTIGT HNTERDE RÖSTER PÅVERKR MNDTFÖRDELNINGEN SVNTE JNSON OCH SVNTE LINUSSON. Inledning ntag att det är nästan jämnt mellan två partier och B vid fördelningen

Läs mer

Samplingfördelningar 1

Samplingfördelningar 1 Samplingfördelningar 1 Parametrar och statistikor En parameter är en konstant som karakteriserar en population eller en modell. Exempel: Populationsmedelvärdet Parametern p i binomialfördelningen 2 Vi

Läs mer

TMS136. Föreläsning 10

TMS136. Föreläsning 10 TMS136 Föreläsning 10 Intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov kan göra punktskattningar för fördelnings-/populationsparametrar En punkskattning är som vi minns ett tal som är en (förhoppningsvis

Läs mer

Strukturakademin Strukturinvest Fondkommission LÅNG KÖPOPTION. Värde option. Köpt köpoption. Utveckling marknad. Rättighet

Strukturakademin Strukturinvest Fondkommission LÅNG KÖPOPTION. Värde option. Köpt köpoption. Utveckling marknad. Rättighet Del 11 Indexbevis Innehåll Grundpositionerna... 3 Köpt köpoption... 3 Såld köpoption... 3 Köpt säljoption... 4 Såld säljoption... 4 Konstruktion av Indexbevis... 4 Avkastningsanalys... 5 knock-in optioner...

Läs mer

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012 Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår

Läs mer

4.2.1 Binomialfördelning

4.2.1 Binomialfördelning Ex. Kasta en tärning. 1. Vad är sannolikheten att få en 6:a? 2. Vad är sannolikheten att inte få en 6:a? 3. Vad är sannolikheten att få en 5:a eller 6:a? 4. Om vi kastar två gånger, vad är då sannolikheten

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics

Läs mer

Del 16 Kapitalskyddade. placeringar

Del 16 Kapitalskyddade. placeringar Del 16 Kapitalskyddade placeringar Innehåll Kapitalskyddade placeringar... 3 Obligationer... 3 Prissättning av obligationer... 3 Optioner... 4 De fyra positionerna... 4 Konstruktion av en kapitalskyddad

Läs mer

Övningsexempel i Finansiell Matematik

Övningsexempel i Finansiell Matematik KTH Matematik Harald Lang 27/3-04 Övningsexempel i Finansiell Matematik 1. Riskjusterade sannolikhetsmått 1. Vi betraktar en stokastisk utbetalning X(ω) som ger utdelning enligt tabellen ω 1 ω 2 ω 2 pris

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Del 1 Volatilitet. Strukturakademin

Del 1 Volatilitet. Strukturakademin Del 1 Volatilitet Strukturakademin Innehåll 1. Implicita tillgångar 2. Vad är volatilitet? 3. Volatility trading 4. Historisk volatilitet 5. Hur beräknas volatiliteten? 6. Implicit volatilitet 7. Smile

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 06 04 04. Finansmatematik II Kapitel 1

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 06 04 04. Finansmatematik II Kapitel 1 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 06 04 04 Finansmatematik II Kapitel 1 Ränta 2 Finansmatematik II 1 Rak ränta Med rak ränta ska vi

Läs mer

Betavärde En akties betavärde, β, relativt en marknad, M, definieras som

Betavärde En akties betavärde, β, relativt en marknad, M, definieras som STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 02 22 SAMVARIATION MED MARKNADEN Marknaden Med marknaden menar vi här ett index. Ett index är en portfölj

Läs mer

Placeringsalternativ kopplat till tre strategier på G10 ländernas valutor

Placeringsalternativ kopplat till tre strategier på G10 ländernas valutor www.handelsbanken.se/mega Strategiobligation SHB FX 1164 Placeringsalternativ kopplat till tre strategier på G10 ländernas valutor Strategierna har avkastat 14,5 procent per år sedan år 2000 Låg korrelation

Läs mer

SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR

SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR STUDIEAVSNITT 3 SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR I detta avsnitt ska vi titta på några av de skogliga tillämpningar på geometri som finns. SKOGSKARTAN EN MODELL AV VERKLIGHETEN Arbetar man i skogen klarar man sig

Läs mer

Kap 3: Diskreta fördelningar

Kap 3: Diskreta fördelningar Kap 3: Diskreta fördelningar Sannolikhetsfördelningar Slumpvariabler Fördelningsfunktion Diskreta fördelningar Likformiga fördelningen Binomialfördelningen Hypergeometriska fördelningen Poisson fördelningen

Läs mer

Logistisk regression och Indexteori. Patrik Zetterberg. 7 januari 2013

Logistisk regression och Indexteori. Patrik Zetterberg. 7 januari 2013 Föreläsning 9 Logistisk regression och Indexteori Patrik Zetterberg 7 januari 2013 1 / 33 Logistisk regression I logistisk regression har vi en binär (kategorisk) responsvariabel Y i som vanligen kodas

Läs mer

under en options löptid. Strukturakademin Strukturinvest Fondkommission

under en options löptid. Strukturakademin Strukturinvest Fondkommission Del 1 Volatilitet Innehåll Implicita tillgångar... 3 Vad är volatilitet?... 3 Volatility trading... 3 Historisk volatilitet... 3 Hur beräknas volatiliteten?... 4 Implicit volatilitet... 4 Smile... 4 Vega...

Läs mer

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Diskreta slumpvariabler En slumpvariabel tilldelar tal till samtliga utfall i ett slumpförsök. Vi

Läs mer

F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4)

F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4) Stat. teori gk, ht 006, JW F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.1-5.3, samt del av 5.4) Ordlista till NCT Random variable Discrete Continuous Probability distribution Probability distribution function Cumulative

Läs mer

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9, SF95 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 2:E JANUARI 25 KL 4. 9.. Kursledare: Gunnar Englund, 73 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Del 7 Barriäroptioner. Strukturakademin

Del 7 Barriäroptioner. Strukturakademin Del 7 Barriäroptioner Strukturakademin Innehåll 1. Barriäroptioner 2. Exotisk option 3. Barriäroptioner med knock-in eller knock-out 4. Varför barriäroptioner? 5. Fyra huvudtyper av barriäroptioner 6.

Läs mer

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Bengt Ringnér September 20, 2006 Inledning Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna. 2 Väntevärde standardavvikelse

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Sannolikheter Slumpvariabler Centrala gränsvärdessatsen Aalto-universitetet 8 januari 04 3 Tvådimensionella slumpvariabler

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015 MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015 Gripenberg I1. Vi antar att antalet telefonsamtal som kommer till ett servicenummer under en tidsperiod med längden

Läs mer

Del 18 Autocalls fördjupning

Del 18 Autocalls fördjupning Del 18 Autocalls fördjupning Innehåll Autocalls... 3 Autocallens beståndsdelar... 3 Priset på en autocall... 4 Känslighet för olika parameterar... 5 Avkastning och risk... 5 del 8 handlade om autocalls.

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 28 januari 2014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl

Läs mer

modell Finansiell statistik, vt-05 Modeller F5 Diskreta variabler beskriva/analysera data Kursens mål verktyg strukturera omvärlden formellt

modell Finansiell statistik, vt-05 Modeller F5 Diskreta variabler beskriva/analysera data Kursens mål verktyg strukturera omvärlden formellt Johan Koskinen, Statistiska institutionen, Stockholms universitet Finansiell statistik, vt-5 F5 Diskreta variabler Kursens mål beskriva/analysera data formellt verktyg strukturera omvärlden innehåll osäkerhet

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 4 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 7 september 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av diskreta stokastiska variabler. Väntevärde

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

Hur måttsätta osäkerheter?

Hur måttsätta osäkerheter? Geotekniska osäkerheter och deras hantering Hur måttsätta osäkerheter? Lars Olsson Geostatistik AB 11-04-07 Hur måttsätta osäkerheter _LO 1 Sannolikheter Vi måste kunna sätta mått på osäkerheterna för

Läs mer

GeneTrader. Ett helautomatiserat tradingsystem

GeneTrader. Ett helautomatiserat tradingsystem GeneTrader Ett helautomatiserat tradingsystem Johan Näslund, GeneSoft AB G E N E S O F T AB W W W.GENESOFT.SE +46 8 411 48 48 K U N G S G A T A N 62, 4TR 111 22 STOCKHOL M 1 (8) Innehållsförteckning 1

Läs mer

Stokastiska processer med diskret tid

Stokastiska processer med diskret tid Stokastiska processer med diskret tid Vi tänker oss en följd av stokastiska variabler X 1, X 2, X 3,.... Talen 1, 2, 3,... räknar upp tidpunkter som förflutit från startpunkten 1. De stokastiska variablerna

Läs mer

Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 3 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDIFYSIKER, FMS012/MASB03, HT12 Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla

Läs mer

Matematisk statistik i praktiken: asset-liability management i ett försäkringsbolag

Matematisk statistik i praktiken: asset-liability management i ett försäkringsbolag Matematisk statistik i praktiken: asset-liability management i ett försäkringsbolag Andreas N. Lagerås AFA Försäkring Kapitalförvaltning Investeringsanalys Docentföreläsning SU 2010-11-10 1(21) Asset liability

Läs mer

Poissonregression. E(y x1, x2,.xn) = exp( 0 + 1x1 +.+ kxk)

Poissonregression. E(y x1, x2,.xn) = exp( 0 + 1x1 +.+ kxk) Poissonregression En lämplig utgångspunkt om vi har en beroende variabel som är en count variable, en variabel som antar icke-negativa heltalsvärden med ganska liten variation E(y x1, x2,.xn) = exp( 0

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data

Läs mer

Ytterligare övningsfrågor finansiell ekonomi NEKA53

Ytterligare övningsfrågor finansiell ekonomi NEKA53 Ytterligare övningsfrågor finansiell ekonomi NEKA53 Modul 2: Pengars tidsvärde, icke arbitrage, och vad vi menar med finansiell risk. Fråga 1: Enkel och effektiv ränta a) Antag att den enkla årsräntan

Läs mer

Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer

Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer Måns Thulin thulin@math.uu.se Senast uppdaterad 20 februari 2013 Diskussionsproblem till Lektion 3 1. En projektledare i ett byggföretaget ska undersöka

Läs mer

Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori

Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori Statistiska institutionen Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori 23 JANUARI 2009 2 Sannolikhetsteorins grunder 1. Tre vanliga symmetriska tärningar kastas. Om inte alla tre tärningarna visar sexa,

Läs mer

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Avd. Matematisk statistik Tobias Rydén 2011-09-30 SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Förberedelser. Innan du går till laborationen, läs igenom den här handledningen. Repetera också i

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, OCH INFÖR ÖVNING 4

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, OCH INFÖR ÖVNING 4 LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, 216-4-6 OCH INFÖR ÖVNING 4 Övningens mål: Du ska förstå begreppet slumpvariabel och skilja

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 25..26 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 25..26 / 44 Stokastiska

Läs mer

4.1 Grundläggande sannolikhetslära

4.1 Grundläggande sannolikhetslära 4.1 Grundläggande sannolikhetslära När osäkerhet förekommer kan man aldrig uttala sig tvärsäkert. Istället använder vi sannolikheter, väntevärden, standardavvikelser osv. Sannolikhet är ett tal mellan

Läs mer

Del 12 Genomsnittsberäkning

Del 12 Genomsnittsberäkning Del 12 Genomsnittsberäkning Innehåll Asiatiska optioner... 3 Asiatiska optioner i strukturerade produkter... 3 Hur fungerar det?... 3 Effekt på avkastningen... 4 Effekt på volatilitet... 4 Effekt på löptid...

Läs mer

Bengt Ringnér. October 30, 2006

Bengt Ringnér. October 30, 2006 Väntevärden Bengt Ringnér October 0, 2006 1 Inledning 2 Väntevärden Låt X vara en stokastisk variabel som representerar ett slumpmässigt försök, t ex att mäta en viss storhet. Antag att man kan göra, eller

Läs mer

Del 2 Korrelation. Strukturakademin

Del 2 Korrelation. Strukturakademin Del 2 Korrelation Strukturakademin Innehåll 1. Implicita tillgångar 2. Vad är korrelation? 3. Hur fungerar sambanden? 4. Hur beräknas korrelation? 5. Diversifiering 6. Korrelation och Strukturerade Produkter

Läs mer

5B Portföljteori och riskvärdering

5B Portföljteori och riskvärdering B7 - Portföljteori och riskvärdering Laboration Farid Bonawiede - 89-09 Alexandre Messo - 89-77 - Beräkning av den effektiva fronten för en portfölj Uppgiften går ut på att beräkna de portföljer som ger

Läs mer

XACT Bull och XACT Bear. Så fungerar XACTs börshandlade fonder med hävstång

XACT Bull och XACT Bear. Så fungerar XACTs börshandlade fonder med hävstång XACT Bull och XACT Bear Så fungerar XACTs börshandlade fonder med hävstång 1 Så fungerar fonder med hävstång Den här broschyren är avsedd att ge en beskrivning av XACTs börshandlade fonder ( Exchange Traded

Läs mer

kvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor.

kvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor. Turen har kommit till geometriska talföljder och summan av en geometrisk talföljd. Talföljden 1,, 4, 8, 16, 3,... är ett exempel på en geometrisk talföljd. Utmärkande för en geometrisk talföljd är att

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko. SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt

Läs mer

Problemdel 1: Uppgift 1

Problemdel 1: Uppgift 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MT 00 MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, CH 8 februari 0 LÖSNINGAR 8 februari 0 Problemdel : Uppgift Rätt svar är: a) X och X är oberoende och Y och Y

Läs mer

OPTIONSSTRATEGIER SNABBGUIDE AKTIEOPTIONER

OPTIONSSTRATEGIER SNABBGUIDE AKTIEOPTIONER OPTIONSSTRATEGIER SNABBGUIDE AKTIEOPTIONER Optioner ger investerare många möjligheter eftersom det finns strategier för alla olika marknadslägen. De är också effektiva verktyg för att försäkra innehav

Läs mer

(a) sannolikheten för att läkaren ställer rätt diagnos. (b) sannolikheten för att en person med diagnosen ej sjukdom S ändå har sjukdomen, dvs.

(a) sannolikheten för att läkaren ställer rätt diagnos. (b) sannolikheten för att en person med diagnosen ej sjukdom S ändå har sjukdomen, dvs. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TORSDAGEN DEN 31:E MAJ 2012 KL 08.00 13.00. Examinator: Tobias Rydén, tel 790 8469. Kursledare: Tatjana Pavlenko, tel 790 8466.

Läs mer

Finansmatematik II Kapitel 4 Tillväxt och risk

Finansmatematik II Kapitel 4 Tillväxt och risk 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd för Matematisk statistik Thmas Höglund Versin 04 10 21 Finansmatematik II Kapitel 4 Tillväxt ch risk 2 Finansmatematik II Man går inte in på aktiemarknaden

Läs mer

Statistisk analys av komplexa data

Statistisk analys av komplexa data Statistisk analys av komplexa data Trunkerade data och Tobitregression Bertil Wegmann Avdelning statistik, IDA, Linköpings universitet November 10, 2015 Bertil Wegmann (statistik, LiU) Trunkerade data

Läs mer

Vidare får vi S 10 = 8,0 10 4 = 76, Och då är 76

Vidare får vi S 10 = 8,0 10 4 = 76, Och då är 76 Ellips Sannolikhet och statistik lösningar till övningsprov sid. 38 Övningsprov.. i) P(:a äss och :a äss och 3:e äss och 4:e äss ) P(:a äss) P(:a äss :a äss) P(3:e äss :a och :a äss) antal P(4:a äss :a

Läs mer

F2 Introduktion. Sannolikheter Standardavvikelse Normalapproximation Sammanfattning Minitab. F2 Introduktion

F2 Introduktion. Sannolikheter Standardavvikelse Normalapproximation Sammanfattning Minitab. F2 Introduktion Gnuer i skyddade/oskyddade områden, binära utfall och binomialfördelningar Matematik och statistik för biologer, 10 hp Fredrik Jonsson Januari 2012 I vissa områden i Afrika har man observerat att förekomsten

Läs mer

(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka.

(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 11 JANUARI 2016 KL 14.00 19.00. Kursledare för CINEK2: Thomas Önskog, tel: 08 790 84 55 Kursledare för

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski 28.01.2015 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk

Läs mer

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Detta kapitel är en liten matematisk vägledning om att beräkna tillväxttakten i Excel. Här visas exempel på potenser och logaritmer och hur dessa funktioner beräknas

Läs mer

Mer om slumpvariabler

Mer om slumpvariabler 1/20 Mer om slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/2 2013 2/20 Dagens föreläsning Diskreta slumpvariabler Vilket kretskort ska man välja? Väntevärde

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet 27 augusti 2013 Innehåll Linjära ekvationssystem

Läs mer

Finansiering. Föreläsning 6 Risk och avkastning BMA: Kap. 7. Jonas Råsbrant

Finansiering. Föreläsning 6 Risk och avkastning BMA: Kap. 7. Jonas Råsbrant Finansiering Föreläsning 6 Risk och avkastning BMA: Kap. 7 Jonas Råsbrant jonas.rasbrant@fek.uu.se Föreläsningens innehåll Historisk avkastning för finansiella tillgångar Beräkning av avkastning och risk

Läs mer

Uppgift 1. P (A) och P (B) samt avgör om A och B är oberoende. (5 p)

Uppgift 1. P (A) och P (B) samt avgör om A och B är oberoende. (5 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90, SF905, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 8:E AUGSTI 204 KL 08.00 3.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och

Läs mer

(x) = F X. och kvantiler

(x) = F X. och kvantiler Föreläsning 5: Matstat AK för M, HT-8 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR M HT-8 FÖRELÄSNING 5: KAPITEL 6: NORMALFÖRDELNINGEN EXEMPEL FORTKÖRARE Man har mätt hastigheten på 8 bilar som passerade en korsning i

Läs mer

Experimentella metoder, FK3001. Datorövning: Finn ett samband

Experimentella metoder, FK3001. Datorövning: Finn ett samband Experimentella metoder, FK3001 Datorövning: Finn ett samband 1 Inledning Den här övningen går ut på att belysa hur man kan utnyttja dimensionsanalys tillsammans med mätningar för att bestämma fysikaliska

Läs mer

Uppgift 3 Vid en simuleringsstudie drar man 1200 oberoende slumptal,x i. Varje X i är likformigt fördelat mellan 0 och 1. Dessa tal adderas.

Uppgift 3 Vid en simuleringsstudie drar man 1200 oberoende slumptal,x i. Varje X i är likformigt fördelat mellan 0 och 1. Dessa tal adderas. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 17:E AUGUSTI 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 8649. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen

Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Ett sätt att få fram Black-Littermans formel är att formulera problemet att hitta lämpliga justerade avkastningar som ett skattningsproblem

Läs mer

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

Komplexa tal: Begrepp och definitioner UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,

Läs mer

Slutliga Villkor avseende lån 5048

Slutliga Villkor avseende lån 5048 Slutliga Villkor avseende lån 5048 Lån 5048 emitteras under Svenska Handelsbanken AB:s (publ) MTN-program. Fullständig information om Handelsbanken och erbjudandet kan endast fås genom Grundprospektet

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik, GA 08 januari 2015. Lösningar

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik, GA 08 januari 2015. Lösningar STOCKHOLMS UNIVERSITET MT712 MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, GA 8 januari 215 Lösningar Tentamen i Livförsäkringsmatematik I, 8 januari 215 Uppgift 1 a) Först konstaterar

Läs mer

Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, ): Punktskattningar

Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, ): Punktskattningar Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, 7.1-7.3): Punktskattningar Marina Axelson-Fisk 4 maj, 2016 Stickprov (sample) Idag: Stickprovsmedelvärde och varians Statistika (statistic) Punktskattning (point estimation)

Läs mer

Säsongrensning i tidsserier.

Säsongrensning i tidsserier. Senast ändrad 200-03-23. Säsongrensning i tidsserier. Kompletterande text till kapitel.5 i Tamhane och Dunlop. Inledning. Syftet med säsongrensning är att dela upp en tidsserie i en trend u t, en säsongkomponent

Läs mer

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK Laboration 5: Regressionsanalys DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 Syftet med den här laborationen är att du skall

Läs mer

SF1911: Statistik för bioteknik

SF1911: Statistik för bioteknik SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion

Läs mer

1, 2, 3, 4, 5, 6,...

1, 2, 3, 4, 5, 6,... Dagens nyhet handlar om talföljder, ändliga och oändliga. Talföljden 1,, 3, 4, 5, 6,... är det första vi, som barn, lär oss om matematik över huvud taget. Så småningom lär vi oss att denna talföljd inte

Läs mer

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U.

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U. Veckoblad 3 Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U. ya begrepp: likformig fördelning, hypergeometerisk fördelning, Hyp(, n, p), binomialfördelningen, Bin(n, p), och Poissonfördelningen, Po(λ). Standardfördelningarna

Läs mer

Föreläsning 11. Slumpvandring och Brownsk Rörelse. Patrik Zetterberg. 11 januari 2013

Föreläsning 11. Slumpvandring och Brownsk Rörelse. Patrik Zetterberg. 11 januari 2013 Föreläsning 11 Slumpvandring och Brownsk Rörelse Patrik Zetterberg 11 januari 2013 1 / 1 Stokastiska Processer Vi har tidigare sett exempel på olika stokastiska processer: ARIMA - Kontinuerlig process

Läs mer

(A -A)(B -B) σ A σ B. på att tillgångarna ej uppvisar något samband i hur de varierar.

(A -A)(B -B) σ A σ B. på att tillgångarna ej uppvisar något samband i hur de varierar. Del 2 Korrelation Innehåll Implicita tillgångar... 3 Vad är korrelation?... 3 Hur fungerar sambanden?... 3 Hur beräknas korrelation?... 3 Diversifiering... 4 Korrelation och strukturerade produkter...

Läs mer

P(ξ > 1) = 1 P( 1) = 1 (P(ξ = 0)+P(ξ = 1)) = 1 0.34. ξ = 2ξ 1 3ξ 2

P(ξ > 1) = 1 P( 1) = 1 (P(ξ = 0)+P(ξ = 1)) = 1 0.34. ξ = 2ξ 1 3ξ 2 Lösningsförslag TMSB18 Matematisk statistik IL 101015 Tid: 12.00-17.00 Telefon: 101620, Examinator: F Abrahamsson 1. Varje dag levereras en last med 100 maskindetaljer till ett företag. Man tar då ett

Läs mer

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM K.H./C.F./C.W. Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1p, för kandidatprogrammet i fysik, 18/6 013, 9-14. Införda beteckningar skall förklaras och uppställda ekvationer

Läs mer

Swedbanks Bull-certifikat valutor x 10 för dig som tror på uppgång

Swedbanks Bull-certifikat valutor x 10 för dig som tror på uppgång Swedbanks Bull-certifikat valutor x 10 för dig som tror på uppgång Tror du på en stigande marknad, dvs att någon av valutorna EUR, GBP, JPY eller USD kommer stärkas mot SEK? Då kan Swedbanks Bull-certifikat

Läs mer