S t : Vi ska här betrakta ett antal portföljer som vid t = 0 är värda 100 SEK.
|
|
- Peter Jansson
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. KOMPLEMENT DAG 5. HANDELSSTRATEGIER Låt S t beteckna priset på en aktie vid tiden t. Vi ska betrakta portföljer av formen P t = c t + a t S t. Här är c t kassan och a t antalet aktier vid tiden t. Vi ska anta att alternativavkastningen (räntan) är noll. Pengar i kassan förräntar sig alltså inte. Låt oss börja med ett enkelt exempel. Antag att en aktie idag (t=) kostar 1 SEK. Låt t 1 > beteckna den första tidpunkt då aktien kostar antingen 11 eller 9 SEK och låt t 2 > t 1 beteckna den första tidpunkt då aktien gått upp eller ned ytterligare 1 SEK. Detta ger följande binomialträd: t : t 1 t S t : Vi ska här betrakta ett antal portföljer som vid t = är värda 1 SEK. Portfölj Behåll pengarna i kassan; P t = 1 för t =, t 1, t 2. Portfölj 1 Köp aktier för hela kassan vid t =. Gör inget mer; P t = S t för t =, t 1, t 2. Denna portfölj får alltså samma utveckling som aktien. Portfölj 2 Köp aktier för halva kassan vid t =. Gör inget mer; P t = S t för t =, t 1, t 2. Denna portfölj får följande utveckling: P t : Ovanstående portföljer har det gemensamt att vi inte förändrar dem under resans gång (d.v.s. vid t = t 1 ). Genom att förändra portföljen vid t = t 1 kan vi styra den mot ett på förhand givet mål (som beror på startkapitalet). Portfölj P t :
2 Portföljen ges av följande handelsstrategi: t =. Köp 1 2 aktie; P = S. t = t 1. Om S t1 = 11, köp ytterligare 1 2 aktie; P t 1 = 5 + S t1. (Vi får alltså låna 5 SEK.) Om S t1 = 9, sälj alla aktier P t1 = 95. Aktieantalet ges alltså av följande binomialträd: och kassan av 1 1 a t : 2 5 c t : 5 95 Hur konstrueras portföljen? Börja längst till höger d.v.s. vid t = t 2. Högst upp t.ex. t 1 t 2? Vi ska vara rätt positionerade vid t 1 för att nå målet vid t 2. Antag att P t1 = c + as t1. Då ska c + a12 = 115 och c + a1 = 95 d.v.s. a = 1 och c = 5. Portföljvärdet vid t 1 är = 15. P.s.s. beräknas det andra portföljvärdet vid t 1. När det är gjort kan vi fortsätta bakåt till t =. Konstruktionen av en handelsstrategi reduceras alltså till följande: Antag att vi har aktieutvecklingen: s u s s d 115 där s d < s < s u och att portföljen har utseendet: 95 f f u f d Här är f u och f d givna och f = c + as, där c och a ska bestämmas ur systemet: c + as u = f u, c + as d = f d. Övning 1 Visa att systemet har lösningen a = f u f d s u s d, c = s uf d s d f u s u s d Övning 2 Visa att f = qf u + (1 q)f d där q = s s d s u s d. 2
3 Observera att man inte behöver lösa ekvationssystemen utan det är ofta enklare att använda ovanstående formler till att först beräkna q (som i exemplet är 1/2) sen portföljvärdena (i exemplet är f medelvärdet av f u och f d ). Därefter beräknas aktieantalen, a, och sist kassan. Ett sätt att beräkna kassan som är enklare än att använda ovanstående formel är: c = f as. Övning 3 Betrakta samma aktieutveckling som i portföljerna -3. Beräkna utvecklingen av portföljvärdet, antalet aktier samt kassan för den handelsstrategi som har portföljvärdet f(s t2 ) vid tiden t 2. Här är f(8) = 115, f(1) = f(12) = 95. I detta exempel förekommer negativa aktieinnehav (blankning) vilket innebär att man lånar aktier och säljer dem (för att förhoppningsvis senare kunna köpa tillbaka dem till ett lägre pris). Övning 4 Samma som Övning 3 men med f(8) = f(1) = och f(12) = 4. I detta fall krävs det hög belåning och risken är hög. Följande exempel illustrerar hur ovanstående handelsstrategier kan fungera i praktiken. Exempel FRAMFAB Framtidsfabriken, senare omdöpt till Framfab, sattes på Stockholmsbörsen den 23 juni Aktien visade sig vara vildsint: Efter att första dagen ha stängt på 19.5 toppade den efter 18 handelsdagar och stängde på 323 = Den 23 november 2 handlades den för första gången under första dagens stängningskurs. Slutkursen blev 19. = Vi ska använda handelsstrategien i Portfölj 3 på denna aktie under ovannämnda period. Vi ska anta att aktien handlas endast till de dagliga stängningskurserna och kan därför inte förvänta oss att kunna handla exakt på nivåerna i binomialträdet utan ombalanseringstidpunkterna definieras som de första tidpunkter nivåerna i binomialträdet uppnåtts eller passerats. Vid tidpunken t 2 börjar man om genom att lägga halva portföljvärdet i kassan och halva i aktien. Vi har bortsett från transaktionskostnader såsom spread och courtage men även bortsett från räntan. Utvecklingen av aktien och portfölj 3 framgår av Figur 1. Aktieutvecklingen är heldragen och portföljutvecklingen streckad. Skalan är logaritmisk. Varje enhet på den lodräta axeln svarar mot en dubbling/halvering. Aktiens värde vid sluttidpunkten var.97 av ingångsvärdet medan portföljens värde var 2.2, +12%. Aktiens volatilitet (d.v.s. standardavvikelsen av dagsavkastningarna) var 12% per år medan portföljen hade volatiliteten 69% per år. Antag att vi den 23 november 2 slutade att tro på en positiv utveckling för aktien och i fortsättningen gick över till blankningsstrategin i Övning 3. Denna portföljs och aktiens utveckling under perioden visas i Figur 2. Skalan är logaritmisk. Aktien gick under perioden ned från 19 till 1.1 = Portföljen gick upp med en faktor 1.42, +42%. Både aktien och portföljen hade hög volatilitet, 1.97 respektive 1.88 per år. Ett skäl till den höga 3
4 Figur 1: Utveckling av Framfab samt Portfölj 3 under perioden Logaritmisk skala Figur 2: Utveckling av Framfab samt portföljen i Övning 3 under perioden Logaritmisk skala. 4
5 portföljvolatiliteten är att vi endast handlar till slutkurserna och att portföljen vissa dagar därför rör sig väsentligt mer än 5% mellan ombalanseringarna. Detta gäller speciellt mellan dagarna 11, 111, 112 samt 122 och 123. Om vi hade använt handelsstrategin i Övning 4 hade portföljen tämligen snart blivit värdelös oavsett var vi startade. Man kan naturligvis betrakta fler än 3 tidpunkter. Aktien handlas på de nivåer som ges av ett binomialträd av formen t : t 1 t 2 t n b 1,1 b 2,2 b 1, S t : b, b 2,1 b 2, b n,n b n,. Här är b, = S och b k+1,j < b k,j < b k+1,j+1 för j =, 1,..., k, k =, 1,..., n 1. Den handelsstrategi som ger portföljvärdet f(s tn ) vid sluttidpunkten t n ska vi kalla handelsstrategien med målfunktionen f. I nästa övning ska du jämföra de handelsstrategier som har värdet av en köp- respektive säljoption som målfunktion. Övning 5 En aktie handlas på nivåerna i binomialträdet b k,j j =,..., k, k =, 1, 2, 3, 4, där b, = S = 1 och b k+1,j+1 = b k,j + 1, b k+1,j = b k,j 1, j =,..., k, k =,..., 3. Beräkna utvecklingen av portföljvärdet, antalet aktier samt kassan för den handelsstrategi som har målfunktionen f i följande två fall. a) Europeisk köpoption med lösenpris 12: f(s) = max(, s 12). Vad är optionens pris, d.v.s. portföljens värde vid t =? b) Europeisk säljoption med lösenpris 8: f(s) = max(, 8 s). c) Antag att du innehar en aktie och köper säljoptionen i b) och ställer ut köpoptionen i a). Vilken utveckling får denna portfölj? Speciellt hur stor är nettokostnaden för optionstransaktionerna? Övning 6 En aktie handlas på nivåerna i binomialträdet b k,j j =,..., k, k =, 1, 2, 3, n, där b, = S och b k+1,j+1 = b k,j + h, b k+1,j = b k,j h, j =,..., k, k =,..., n. Låt f k (S tk ) vara portföljvärdetvärdet vid t = t k för handelsstrategien med målfunktionen f. Här är S > nh och f är en en given funktion. Visa att k ( ) f n k (s) = 2 k k f(s + (k 2j)h). j Modellantaganden j= 5
6 När vi har konstruerat handelsstrategierna ovan har vi underförstått att den tillgång vi handlar med (ovan kallad aktien) uppfyller två villkor (delbarhet och likviditet) som även vissa tillgångar som inte är aktier uppfyller men som vissa aktier inte uppfyller. Tillgången ska kunna handlas i delar. Exakt hur små bestäms av handelsstrategien. Antagande om delbarhet Tillgången ska kunna handlas i tillräckligt små delar. I det inledande exemplet har vi antagit att om aktien minskar i värde från 1 kr vid t = till 8 kr vid t = t 2, så går den däremellan att handla på 9 kronorsnivån. Detta kräver att aktien är likvid: Det finns alltid tillräckligt många köpare och säljare så att spreaden (skillnaden mellan sälj- och köpkurs) är liten. Detta är inte alltid fallet. I värsta fall finns det överhuvudtaget inga köpare den dag man vill sälja. (Sådana aktier kan man finna på Aktietorget.) Antagande om likviditet Tillgången går att handla på samtliga nivåer i binomialträdet. Priset på en likvid aktie som kanske kostar 2 kr rör sig i regel upp eller ned med 5 öre åt gången och spreaden är oftast av den storleksordningen. I sådana fall verkar detta antagande rimligt om avståndet mellan nivåerna är några multiplar av aktiepriset gånger.5 2 =.25%. Men det finns mer än ett exempel från verkligheten då en likvid aktie fallit 3% på några minuter. Så det gäller att vara alert. De kraftiga svängningarna i portföljvärdet i Figur 2 beror på att likviditetsvillkoret inte alltid var uppfyllt (åtminstone om man enbart handlar till slutkurser) utan att aktien hamnade långt utanför binomialträdet. Ränta Om pengarna i kassan förräntar sig kontinuerligt med räntan r > så P t = c t + a t St där P t = e rt P t betecknar nuvärdet av P t och motsvarande för c t och S t. Man kan alltså på samma sätt som ovan styra nuvärdet av portföljen genom att ombalansera portföljen vid de tidpunkter nuvärdet av aktiepriset når de olika nivåerna i binomialträdet. Exotiska optioner Samtliga portföljer vi behandlat har det gemensamt att slutvärdet f(s tn ) beror endast på aktiens värde vid sluttidpunkten t n. Det finns emellertid finansiella derivat kallade exotiska optioner vars värde beror av aktiens pris vid flera tidpunkter. Vi ska illustrera med ett exempel hur ovanstående metod behöver modifieras i detta fall. Betrakta samma aktieutveckling som i det inledande exemplet. Vi ska konstruera en portfölj vars värde vid t 2 är max(s, S t1, S t2 ). Om S t2 = 1 så måste vi veta vilket av de två värdena 11 och 9 aktien haft vid t 1. Därför skriver vi binomialträdet med aktieutvecklingen på följande sätt. 6
7 S t : 1 Portföljvärdet får utvecklingen P t : Kolumnen längst till höger är alltså aktiens största värde. De övriga värdena har vi fått genom att arbeta oss bakåt i trädet på samma sätt som tidigare. Övning 7 Normera denna portfölj så att startvärdet blir 1. Beräkna även utvecklingen av antalet aktier och kassan. Övning 8 Betrakta samma aktieutveckling som i ovanstående exempel. Beräkna den handelsstrategi som ger portföljvärdet (S + S t1 + S t2 )/3. Jämför portföljutvecklingen med den i Övning 7. Cox, Ross och Rubinsteins modell Hittills har vi endast ombalanserat portföljen då skillnaderna, S tk S tk 1, når givna nivåer. En anledning till detta är att beräkningarna blir mycket enkla. I fortsättningen ska vi istället balansera om portföljen då kvoterna S tk /S tk 1, når givna nivåer. Betrakta alltså ett binomialträd av formen t : t 1 t 2 t n S u 2 S u S t : S S ud S d S d 2 S u n S d n, där d och u är positiva tal sådana att d < 1 < u. Räntan är som tidigare. 7
8 Övning 9 a) Beräkna q uttryckt i d och u. Svar: 1 d u d. b) Beräkna q uttryckt i u i fallet då d = 1/u. Förenkla så långt som möjligt. 1 Svar: 1+u. c) Vad blir q om d+u = 2 (D.v.s. om d = 1 b, u = 1+b för något < b < 1)? Svar: 1 2. Övning 1 Betrakta fallet då n = 3, S = 1, u = 1.2, d = 1/u. Betrakta handelstrategin med målfunktionen max(, S t3 1). Beräkna utvecklingen av portföljens värde samt av antalet aktier i portföljen. Låt f k (S tk ) beteckna värdet vid tiden t k av den portfölj som vid tiden t n har värdet f(s tn ). Här är f(s) en given funktion (t.ex. f(s) = max(, s K)). På samma sätt som tidigare får vi f k 1 (s) = qf k (su) + (1 q)f k (sd) för k = n, n 1,..., 1. Här är q = 1 d u d och f n = f. Löser vi dessa ekvationer får vi f n 1 (s) = qf(su) + (1 q)f(sd) f n 2 (s) = qf n 1 (su) + (1 q)f n 1 (sd) = q(qf(su 2 ) + (1 q)f(sud)) + (1 q)(qf(sdu) + (1 q)f(sd 2 )) = Övning 11 Övertyga dig om att för k =, 1,..., n. q 2 f(su 2 ) + 2q(1 q)f(sud) + (1 q) 2 f(sd 2 ). f n k (s) = k j=... Ovanstående resultat kan även skrivas ( ) k q j (1 q) k j f(su j d k j ). j f n k (s) = Ef(su X k d k X k ), där X k är en stokastisk variabel som är binomiafördelad (k, q). Antalet aktier vid tiden t k 1 och aktiepriset S tk 1 = s är f k (su) f k (sd). s(u d) Det är visserligen självklart att slutresultatet f(s tn ) är relaterat till portföljvärdet vid t = men följande exempel kan ändå vara instruktivt: Normera aktiepriset så att S = 1 och välj f(s) = e s. Denna portfölj borde väl ge en hygglig avkastning om aktien går upp? I detta fall gäller f (1) > q n f(u n ) = 8
9 exp(u n n ln 1 q ). Om man normerar portföljen så att portföljvärdet är 1 vid t = så kommer portföljvärdet vid t = t n och aktiepriset S tn = u n k d k att bli e un k d k f (1) < exp ( u n (1 ( d u )k ) + n ln 1 q ) då n om k >. Å andra sidan går det att visa att portföljvärdet vid t = t n är av storleksordningen q n då S tn = u n men risken är alltså hög om n är stort. Övning 12 Betrakta fallet då n = 3, S = 1, u = 1.2, d =.8. Beräkna portföljutvecklingen för den handelsstrategi som har målfunktionen exp(s). Normera den så att f (1) = 1. Ett asymptotiskt resultat Skriv u = e δ och låt i fortsättningen d = 1/u = e δ. I detta fall gäller f n k (s) = Ef(se Y k ) där Y k = 2δ(X k k 2 ). Vi ska använda denna representation och centrala gränsvärdessatsen till att approximera portföljvärdet och aktieantalet då δ är litet och k stort. Övning 13 Visa att q = e δ = 1 2 (1 δ 2 + O(δ3 )), EY k = 2δk(q 1 2 ) = δ2 k 2 (1 + O(δ2 )), Var(Y k ) = δ 2 k4q(1 q) = δ 2 k(1 + O(δ 2 )). Här ser vi att δ 2 k bör vara av storleksordningen 1 för att variansen och medelvärdet inte ska urarta. Antag därför att δ och k på så sätt att δ 2 k v, < v <. Det följer då av den centrala gränsvärdessatsen att Y k konvergerar i fördelning mot Y där Y är normalfördelad med medelvärde v 2 och varians v. Därför gäller även Ef(se Y k ) Ef(se Y ) om f är reguljär. För att se vad som händer med aktieantalet gör vi så här: Sätt s 1 = se δ, s 2 = se δ och F (x) = f(xe Y k ). Vi har f(se δ e Y k ) f(se δ e Y k ) se δ se δ = F (s 2) F (s 1 ) = F (s 3 ) = f (s 3 e Y k )e Y k s 2 s 1 för något s 3 mellan s 1 och s 2. Både s 1 och s 2 går mot s då δ och därför gäller detta även s 3. Väntevärdet av ovanstående uttryck konvergerar därför mot E[f (se Y )e Y ] = d ds Ef(seY ) 9
10 om f är tillräckligt reguljär. Sammanfattningsvis: Sats 1 Antag att f är reguljär. Då gäller Ef(se Y k ) Ef(se v 2 + vz ) Ef(se δ e Y k ) Ef(se δ e Y k ) se δ se δ d ds Ef(se v 2 + vz ) då δ och k på så sätt att δ 2 k v, < v <. Här är Z normalfördelad med väntevärde och varians 1. Tillräcklig regularitet för att den första konvergensen ska gälla är att f(s) är kontinuerlig för s > och inte växer för snabbt i definitionsintervallets ändpunkter: Det finns postitva tal C och m så att f(s) C(s m + s m ) för alla s >. För att den andra konvergensen ska gälla räcker det att f är deriverbar överallt utom möjligen i ändligt många punkter samt att f(s 1 ) f(s 2 ) C s 1 s 2 för något tal C och alla s 1 > och s 2 >. Observera att funktionerna f(s) = max(, s K) och f(s) = max(, K s) uppfyller dessa villkor. Beräkning av handelsstrategier Värdet av aktien vid starttidpunkten, S, är irrelevant. Vad som är relevant är på vilka nivåer S t /S befinner sig. Börja därför med ett binomialträd av formen b k,j = S β k,j, j =,...k, k =,..., n på vars nivåer aktien ska handlas och en målfunktion av formen f(s/s ). Här är β, = 1, β k+1,j < β k,j < β k+1,j+1 Därefter beräknas binomialträdet med vikterna q k,j, q k 1,j = b k 1,j b k,j b k,j+1 b k,j = β k 1,j β k,j β k,j+1 β k,j. Vi har ovan alltid valt β k,j så att q k,j = q oberoende av k och j. Sedan beräknas binomialträdet med portföljvärdena f k,j, f k 1,j = q k 1,j f k,j+1 + (1 q k 1,j )f k,j, k = n, n 1,..., 1, där f n,j = f(β n,j ). Om startkapitalet är givet normaliseras portföljvärdet så att f, är 1. Detta kan uppnås genom att dividera med f,. Om f beror på några parametrar och dessa kan bestämmas så att f, = 1, så kan man alternativt göra detta. Vi förutsätter nu att detta är gjort: f, = 1. Därefter beräknas α k 1,j = f k,j+1 f k,j β k,j+1 β k,j. Sambandet mellan α och aktieantalen är: a k,j = α k,j /S. Slutligen beräknas kassan, c k,j = f k,j α k,j β k,j = f k,j a k,j b k,j. Låt j k, k =,..., n, beteckna de tal som uppfyller S tk /S = β k,jk 1
11 Portföljvärdet, P t, vid tiden t ges av P t = P ( ck,jk + α k,jk S t S ) för tk t t k+1, k =,..., n 1. Detta förutsätter emellertid att vi handlar aktien exakt på nivåerna i binomialträdet vilket knappast sker i verkligheten. Antag istället att vi handlar vid tidpunkterna τ 1, τ 2,..., där förhoppningsvis S τk /S ligger nära β k,jk. (I exemplet FRAMFAB är τ k den första tidpunkt t k som aktien befinner sig på eller har passerat denna nivå i binomialträdet.) Låt Q t beteckna värdet av den portfölj som ombalanseras vid dessa tidpunkter. Då gäller Q t = P t för t t 1. Sen skiljer sig portföljerna åt och vad Q t är värd efter τ 1 beror på hur ombalanserigen gjorts och denna kan göras på olika sätt. Här är ett exempel på hur man kan göra. Portföljens värde vid t τ 1 är Q t = P (c, + α, S t S ). Efter ombalanseringen vid t = τ 1 kan man försöka med P (c 1,j1 + α 1,j1 S t S ) men detta värde avviker något från Q τ1 genom att multiplicera med då t = τ 1. Korrigera denna avvikelse Genom att fortsätta så får man Q τ1 P (c 1,j1 + α 1,j1 S τ1 S ). Q t = K k (c k,jk + α k,jk S t S ) för t k t t k+1, k =,..., n 1, där K k = Q τk /(c k,jk + α k,jk S τk S ). Portföljförsäkring Ett sätt att minska risken i ett aktieinnehav är att välja en handelsstrategi med en målfunktion som alltid är positiv. Vi ska här sätta portföljvärdet vid t = till 1 och betrakta funktioner av formen f(s/s ), där { g oms b f(s) = g + l(s b) om s > b eller mer kompakt skrivet f(s) = g + l(s b) +. Här b en brytpunkt, medan g, < g < 1, är ett golv för portföljvärdet. Parametern l > är alltså linjens lutning till höger om brytpunkten. Dessa parametrar ska väljas så att portföljvärdet vid t = är 1. Om man minskar risken genom att höja g får man betala med ett mindre l och därmed ett lägre portföljvärde för aktievärden över brytpunkten. 11
12 Vi väljer att handla aktien på nivåerna i binomialträdet i Cox, Ross och Rubinsteins modell med d = 1/u. β k,j = u j d k j = u 2j k, k =, 1,..., n, j =,..., k. Portföljvärdet vid t = är enligt Övning 11 n j= ( n j ) q j (1 q) n j f(u j d n j ). Villkoret att detta är 1 ska vi uttrycka med hjälp av binomialfördelningens fördelningsfunktion: [x] Bp n (x) = ( ) n p j (1 p) n j. j j= Övning 14 a) Visa att qu = 1 q och (1 q)d = q. b) Visa att ( ) n p j (1 p) n j = B n j 1 p(n x). c) Visa att n j= där y = 1 ln b 2 (n ln u ). j x ( ) n q j (1 q) n j (u j d n j b) j + = Bq n (y) bb1 q(y), n Det följer att villkoret att portföljvärdet vid t = är 1 tar formen: 1 g = l ( B n q (y) bb n 1 q(y) ). Vilken portfölj som går bäst av den oförsäkrade och den försäkrade beror på vilken väg aktien tar. En väsentlig skillnad är att den försäkrade har lägre risk. I Figur 3 visas utvecklingen av Ericsson (heldragen) och den försäkrade portföljen under tidsperioden Handelsstrategien ges av parametrarna u = 1.1, n = 8, b = 1 och g =.95. Dessa ger l =.48. Skalan är logaritmisk. Varje enhet på den lodräta axeln svarar mot en dubbling/halvering. Volatiliteterna var.65 och.21 per år för aktien respektive portföljen. Tidsperioden är med avsikt vald så att de två portföljerna korsar varandra. Om aktien sätter sig tillräckligt mycket (i detta fall med 32%) under en period t,..., t n, så har portföljen hela kapitalet i kassan och det kommer att förbli där tills vi börjar om vid t = t n. I det här exemplet inträffade det några gånger. T.ex. kring dag 5. En variant som kan vara lämplig att använda då man endast förväntar sig måttliga uppgångar i aktien är att lägga in ett tak i målfunktionen vid en brytpunkt c > b: 12
13 Figur 3: Utveckling av Ericsson och den försäkrade portföljen. Logaritmisk skala. g f(s) = g + l(s b) g + l(c b) om s b om b < s c om s > c d.v.s. f(s) = g + l(s b) + l(s c) +. Fördelen är att man för givet g kan öka lutningen l. Alternativt, för samma lutning kan man höja golvet g. Det följer av Övning 14 c att parametrarna i detta fall ska uppfylla identiteten 1 g = l ( B n q (y) bbn 1 q (y) Bn q (z) + cbn 1 q (z)), där y är som i övning 14 och z = 1 ln c 2 (n ln u ). 13
14 3: Svar till övningarna P t : a t :.5 1 4: 95 c t : P t : 1 2 a t : 1 2 c t : 9 7: Portföljvärdena och kassan är avrundade till närmsta heltal. P t :
15 a t : c t : : Portföljvärdena är avrundade till närmsta heltal P t : a t : : c t : P t :
16 1.79 a t : : f : fnorm :
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 3.
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 2. Luenberger: 2:1-5, 9, 11, 12. Övning 1. Du lånar 200000 kr i en bank
Läs merTentamen i Finansmatematik I 19 december 2003
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Thomas Höglund Lösningar Tentamen i Finansmatematik I 9 december 003 Uppgift q = / f = fu+f d 40 30 0 0 0 0 s : 00 00 00 90 90 80 80 70 60 5 5 05 05 00 95 f
Läs merFinansmatematik II Kapitel 2 Stokastiska egenskaper hos aktiepriser
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version Finansmatematik II Kapitel Stokastiska egenskaper hos aktiepriser Finansmatematik II För att kunna
Läs merSTYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR
1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. KOMPLEMENT DAG 13. STYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR Hittills har vi betraktat
Läs merFinansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 04 0 8 Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering 2 Finansmatematik II Risk och diversifiering
Läs merVi ska här utgå ifrån att vi har en aktie och ska med denna som grund konstruera tre olika optionsportföljer.
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd för Matematisk statistik TH FINANSMATEMATIK I, HT 01 KOMPLEMENT DAG 12 Version 01 12 10 TRE OPTIONSSTRATEGIER Vi ska här utgå ifrån att vi har en aktie
Läs merLösningar till tentamen i Grundläggande nansmatematik. 21 december 2006 kl. 914
STOCKHOLMS UNIVERSITET MS 3290 MATEMATISKA INSTITUTIONEN TENTAMEN Avd. Matematisk statistik 21 december 2006 Lösningar till tentamen i Grundläggande nansmatematik 21 december 2006 kl. 914 Uppgift 1 Priset
Läs merLektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen
Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet
Läs mer1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 02 10 25. RÄNTA 1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid
Läs merFormelsamling för kursen Grundläggande finansmatematik
STOCKHOLMS UNIVERSITET 13 december 006 Matematiska institutionen Avd. för matematisk statistik Mikael Andersson Formelsamling för kursen Grundläggande finansmatematik 1 Fundamental Theorem of Asset Pricing
Läs merSF1544 LABORATION 2 INTEGRATION, MONTE-CARLO OCH BLACK-SCHOLES EKVATION FÖR OPTIONER
SF1544 LABORATION INTEGRATION, MONTE-CARLO OCH BLACK-SCHOLES EKVATION FÖR OPTIONER Avsikten med denna laboration är att: - snabbt komma igång med träning på matlabprogrammering (uttnyttja gärna alla schemalagda
Läs merP (t) = V 1 (t) V m (t) P (t + t) P (t) P (t) = v j (t)r j (t, t + t), v(t) Q t v(t),
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 02 22 RISK OCH DIVERSIFIERING Betrakta en portfölj bestående av m tillgångar som vi här ska kalla aktier.
Läs merMVE051/MSG Föreläsning 7
MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 7 Petter Mostad Chalmers November 23, 2016 Överblick Deskriptiv statistik Grafiska sammanfattningar. Numeriska sammanfattningar. Estimering (skattning) Teori Några exempel
Läs merFöreläsning 12: Regression
Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är
Läs mer4 Diskret stokastisk variabel
4 Diskret stokastisk variabel En stokastisk variabel är en variabel vars värde bestäms av utfallet av ett slumpmässigt försök. En stokastisk variabel betecknas ofta med X, Y eller Z (i läroboken används
Läs merDel 13 Andrahandsmarknaden
Del 13 Andrahandsmarknaden Strukturakademin Strukturakademin Srukturinvest Fondkommission 1 Innehåll 1. Produktens värde på slutdagen 2. Produktens värde under löptiden 3. Köp- och säljspread 4. Obligationspriset
Läs merPrissättning av optioner
TDB,projektpresentation Niklas Burvall Hua Dong Mikael Laaksonen Peter Malmqvist Daniel Nibon Sammanfattning Optioner är en typ av finansiella derivat. Detta dokument behandlar prissättningen av dessa
Läs merFinns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning?
När vi nu lärt oss olika sätt att karaktärisera en fördelning av mätvärden, kan vi börja fundera över vad vi förväntar oss t ex för fördelningen av mätdata när vi mätte längden av en parkeringsficka. Finns
Läs merFinansmatematik II Kapitel 5 Samvariation med marknaden
1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 04 1 03 Finansmatematik II Kapitel 5 Samvariation med marknaden Finansmatematik II 1 Marknaden Med
Läs merSVANTE JANSON OCH SVANTE LINUSSON
NORMLPPROXIMTION FÖR SNNOLIKHETEN FÖR TT FELKTIGT HNTERDE RÖSTER PÅVERKR MNDTFÖRDELNINGEN SVNTE JNSON OCH SVNTE LINUSSON. Inledning ntag att det är nästan jämnt mellan två partier och B vid fördelningen
Läs merStrukturakademin Strukturinvest Fondkommission LÅNG KÖPOPTION. Värde option. Köpt köpoption. Utveckling marknad. Rättighet
Del 11 Indexbevis Innehåll Grundpositionerna... 3 Köpt köpoption... 3 Såld köpoption... 3 Köpt säljoption... 4 Såld säljoption... 4 Konstruktion av Indexbevis... 4 Avkastningsanalys... 5 knock-in optioner...
Läs merFöreläsning 4: Konfidensintervall (forts.)
Föreläsning 4: Konfidensintervall forts. Johan Thim johan.thim@liu.se 3 september 8 Skillnad mellan parametrar Vi kommer nu fortsätta med att konstruera konfidensintervall och vi kommer betrakta lite olika
Läs merSamplingfördelningar 1
Samplingfördelningar 1 Parametrar och statistikor En parameter är en konstant som karakteriserar en population eller en modell. Exempel: Populationsmedelvärdet Parametern p i binomialfördelningen 2 Vi
Läs merLINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 27 / TEN 2 augusti 218, klockan 8.-12. Examinator: Jörg-Uwe Löbus (Tel: 79-62827) Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Kontinuerliga fördelningar Uwe Menzel, 8 www.matstat.de Begrepp fördelning Hur beter sig en variabel slumpmässigt? En slumpvariabel (s.v.) har en viss fördelning, d.v.s.
Läs mer4.2.1 Binomialfördelning
Ex. Kasta en tärning. 1. Vad är sannolikheten att få en 6:a? 2. Vad är sannolikheten att inte få en 6:a? 3. Vad är sannolikheten att få en 5:a eller 6:a? 4. Om vi kastar två gånger, vad är då sannolikheten
Läs merDel 16 Kapitalskyddade. placeringar
Del 16 Kapitalskyddade placeringar Innehåll Kapitalskyddade placeringar... 3 Obligationer... 3 Prissättning av obligationer... 3 Optioner... 4 De fyra positionerna... 4 Konstruktion av en kapitalskyddad
Läs merResultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).
STOKASTISKA VARIABLER Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.). Definition 1. En reellvärd funktion definierad på ett utfallsrum Ω kallas en (endimensionell)
Läs merFöreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012
Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics
Läs merLaboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, FÖR I/PI, FMS 121/2, HT-3 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Läs merTMS136. Föreläsning 10
TMS136 Föreläsning 10 Intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov kan göra punktskattningar för fördelnings-/populationsparametrar En punkskattning är som vi minns ett tal som är en (förhoppningsvis
Läs merTMS136. Föreläsning 7
TMS136 Föreläsning 7 Stickprov När vi pysslar med statistik handlar det ofta om att baserat på stickprovsinformation göra utlåtanden om den population stickprovet är draget ifrån Situationen skulle kunna
Läs merÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 9
ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 9 STOKASTISKA VARIABLER 1. Ange om följande stokastiska variabler är diskreta eller kontinuerliga: a. X = En slumpmässigt utvald person ur populationen är arbetslös, där x antar
Läs merÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 9
ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 9 STOKASTISKA VARIABLER 1. Ange om följande stokastiska variabler är diskreta eller kontinuerliga: a. X = En slumpmässigt utvald person ur populationen är arbetslös, där x antar
Läs merÖvningsexempel i Finansiell Matematik
KTH Matematik Harald Lang 27/3-04 Övningsexempel i Finansiell Matematik 1. Riskjusterade sannolikhetsmått 1. Vi betraktar en stokastisk utbetalning X(ω) som ger utdelning enligt tabellen ω 1 ω 2 ω 2 pris
Läs merProv 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:
Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse
Läs merDel 1 Volatilitet. Strukturakademin
Del 1 Volatilitet Strukturakademin Innehåll 1. Implicita tillgångar 2. Vad är volatilitet? 3. Volatility trading 4. Historisk volatilitet 5. Hur beräknas volatiliteten? 6. Implicit volatilitet 7. Smile
Läs merLINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 7 / TEN 8 maj 18, klockan 8.-1. Examinator: Jörg-Uwe Löbus Tel: 79-687 Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk statistik
Läs merBestäm med hjälp av en lämplig och välmotiverad approximation P (X > 50). (10 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 17:E AUGUSTI 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel-
Läs merWeibullanalys. Maximum-likelihoodskattning
1 Weibullanalys Jan Enger Matematisk statistik KTH Weibull-fördelningen är en mycket viktig fördelning inom tillförlitlighetsanalysen. Den används ofta för att modellera mekaniska komponenters livslängder.
Läs merKonvergens för iterativa metoder
Konvergens för iterativa metoder 1 Terminologi Iterativa metoder används för att lösa olinjära (och ibland linjära) ekvationssystem numeriskt. De utgår från en startgissning x 0 och ger sedan en följd
Läs merSKOGLIGA TILLÄMPNINGAR
STUDIEAVSNITT 3 SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR I detta avsnitt ska vi titta på några av de skogliga tillämpningar på geometri som finns. SKOGSKARTAN EN MODELL AV VERKLIGHETEN Arbetar man i skogen klarar man sig
Läs merPlaceringsalternativ kopplat till tre strategier på G10 ländernas valutor
www.handelsbanken.se/mega Strategiobligation SHB FX 1164 Placeringsalternativ kopplat till tre strategier på G10 ländernas valutor Strategierna har avkastat 14,5 procent per år sedan år 2000 Låg korrelation
Läs merDel 7 Barriäroptioner
Del 7 Barriäroptioner Innehåll Barriäroptioner... 3 Exotisk option... 3 Barriäroptioner med knock-in eller knock-out... 3 Varför barriäroptioner?... 3 Fyra huvudtyper av barriäroptioner... 4 Avläsning
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning Anna Lindgren 29+3 september 216 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 1/18 Kovarians, C(X, Y) Repetition Normalfördelning
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA21/9MA31, STN2) 212-8-2 kl 8-12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.
Läs merLösningsförslag till Tillämpad matematisk statistik LMA521, Tentamen
Lösningsförslag till Tillämpad matematisk statistik LMA21, Tentamen 201801 Betygsgränser: för betyg krävs minst 20 poäng, för betyg 4 krävs minst 0 poäng, för betyg krävs minst 40 poäng. 1. Vid en kvalitetskontroll
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 6. Normalfördelning, Centrala gränsvärdessatsen, Approximationer Jan Grandell & Timo Koski 06.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik
Läs merKap 3: Diskreta fördelningar
Kap 3: Diskreta fördelningar Sannolikhetsfördelningar Slumpvariabler Fördelningsfunktion Diskreta fördelningar Likformiga fördelningen Binomialfördelningen Hypergeometriska fördelningen Poisson fördelningen
Läs merbli bekant med summor av stokastiska variabler.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORÖVNING 2 MATEMATISK STATISTIK FÖR E FMSF20 Syfte: Syftet med dagens laborationen är att du skall: få förståelse för diskreta, bivariate
Läs merLKT325/LMA521: Faktorförsök
Föreläsning 2 Innehåll Referensfördelning Referensintervall Skatta variansen 1 Flera mätningar i varje grupp. 2 Antag att vissa eekter inte existerar 3 Normalfördelningspapper Referensfördelning Hittills
Läs merInnehåll. Standardavvikelse... 3 Betarisk... 3 Value at Risk... 4 Risknivån i strukturerade produkter... 4
Del 22 Riskbedömning Innehåll Standardavvikelse... 3 Betarisk... 3 Value at Risk... 4 Risknivån i strukturerade produkter... 4 Vid investeringar i finansiella instrument följer vanligen en mängd olika
Läs mer0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9, SF95 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 2:E JANUARI 25 KL 4. 9.. Kursledare: Gunnar Englund, 73 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merKapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar
Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Diskreta slumpvariabler En slumpvariabel tilldelar tal till samtliga utfall i ett slumpförsök. Vi
Läs merF5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4)
Stat. teori gk, ht 006, JW F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.1-5.3, samt del av 5.4) Ordlista till NCT Random variable Discrete Continuous Probability distribution Probability distribution function Cumulative
Läs merBetavärde En akties betavärde, β, relativt en marknad, M, definieras som
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 02 22 SAMVARIATION MED MARKNADEN Marknaden Med marknaden menar vi här ett index. Ett index är en portfölj
Läs merKap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen
Kap 6: Normalfördelningen Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen σ μ 1 Sats 6 A Om vi ändrar läge och/eller skala på en normalfördelning så har vi fortfarande
Läs mer1.1 Diskret (Sannolikhets-)fördelning
Föreläsning III. Diskret (Sannolikhets-)fördelning Med diskret menas i matematik, att något antar ett ändligt antal värden eller uppräkneligt oändligt med värden e.vis {, 2, 3,...}. Med fördelning menas
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 6 13 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Mer om väntevärden och varianser (Kap. 5.2 5.3) Beroendemått (Kap. 5.4) Summor, linjärkombinationer
Läs merKap 2. Sannolikhetsteorins grunder
Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser
Läs merDATORÖVNING 2 MATEMATISK STATISTIK FÖR D, I, PI OCH FYSIKER; FMSF45 & MASB03. bli bekant med summor av stokastiska variabler.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORÖVNING 2 MATEMATISK STATISTIK FÖR D, I, PI OCH FYSIKER; FMSF45 & MASB03 Syfte: Syftet med dagens laborationen är att du skall: få förståelse
Läs merVeckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Dahlbom, U.
Veckoblad 3 Kapitel 3 i Matematisk statistik, Dahlbom, U. Poissonfördelningen: ξ är Po(λ) λ = genomsnittligt antal händelser i ett intervall. Sannolikhet: P(ξ = ) = e λ λ! Väntevärde: E(ξ) = λ Varians:
Läs merFöreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06
Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Bengt Ringnér September 20, 2006 Inledning Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna. 2 Väntevärde standardavvikelse
Läs merXACT Bull och XACT Bear. Så fungerar XACTs börshandlade fonder med hävstång
XACT Bull och XACT Bear Så fungerar XACTs börshandlade fonder med hävstång 1 Så fungerar fonder med hävstång Den här broschyren är avsedd att ge en beskrivning av XACTs börshandlade fonder ( Exchange Traded
Läs merDel 7 Barriäroptioner. Strukturakademin
Del 7 Barriäroptioner Strukturakademin Innehåll 1. Barriäroptioner 2. Exotisk option 3. Barriäroptioner med knock-in eller knock-out 4. Varför barriäroptioner? 5. Fyra huvudtyper av barriäroptioner 6.
Läs merTentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1
Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1 Tentamentsskrivning i Matematisk Statistik med Metoder MVE490 Tid: den 16 augusti, 2017 Examinatorer: Kerstin Wiklander och Erik Broman. Jour:
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015 Gripenberg I1. Vi antar att antalet telefonsamtal som kommer till ett servicenummer under en tidsperiod med längden
Läs merFöreläsning 12: Repetition
Föreläsning 12: Repetition Marina Axelson-Fisk 25 maj, 2016 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI Grundläggande sannolikhetsteori Utfall = resultatet av ett försök Utfallsrum S = mängden av alla utfall Händelse
Läs mer0 om x < 0, F X (x) = c x. 1 om x 2.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF193 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR 3-ÅRIG Media TIMEH MÅNDAGEN DEN 16 AUGUSTI 1 KL 8. 13.. Examinator: Gunnar Englund, tel. 7974 16. Tillåtna hjälpmedel: Läroboken.
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Sannolikheter Slumpvariabler Centrala gränsvärdessatsen Aalto-universitetet 8 januari 04 3 Tvådimensionella slumpvariabler
Läs merIntroduktion till statistik för statsvetare
"Det finns inget så praktiskt som en bra teori" November 2011 Repetition Vad vi gjort hitills Vi har börjat med att studera olika typer av mätningar och sedan successivt tagit fram olika beskrivande mått
Läs merTMS136. Föreläsning 4
TMS136 Föreläsning 4 Kontinuerliga stokastiska variabler Kontinuerliga stokastiska variabler är stokastiska variabler som tar värden i intervall av den reella axeln Det kan handla om längder, temperaturer,
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 28 januari 2014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl
Läs merResultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).
STOKASTISKA VARIABLER Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.). Definition 1. En reellvärld funktion definierad på ett utfallsrum Ω kallas en (endimensionell)
Läs merTENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 1
STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson HT2012 TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 1 2012-10-03 Skrivtid: kl 9.00-14.00 Godkända hjälpmedel: Miniräknare, språklexikon Bifogade hjälpmedel:
Läs merSF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler. Jörgen Säve-Söderbergh
SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler Jörgen Säve-Söderbergh Stokastisk variabel Singla en slant två gånger. Ω = {Kr Kr, Kr Kl, Kl Kr, Kl Kl}
Läs merMatematisk statistik i praktiken: asset-liability management i ett försäkringsbolag
Matematisk statistik i praktiken: asset-liability management i ett försäkringsbolag Andreas N. Lagerås AFA Försäkring Kapitalförvaltning Investeringsanalys Docentföreläsning SU 2010-11-10 1(21) Asset liability
Läs merLogistisk regression och Indexteori. Patrik Zetterberg. 7 januari 2013
Föreläsning 9 Logistisk regression och Indexteori Patrik Zetterberg 7 januari 2013 1 / 33 Logistisk regression I logistisk regression har vi en binär (kategorisk) responsvariabel Y i som vanligen kodas
Läs merKontinuitet och gränsvärden
Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika
Läs merDel I. Uppgift 1 För händelserna A och B gäller att P (A) = 1/4, P (B A) = 1/3 och P (B A ) = 1/2. Beräkna P (A B). Svar:...
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9/SF94/SF95/SF96 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 4:E OKTOBER 08 KL 8.00 3.00. Examinator för SF94/SF96: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Examinator för
Läs merSF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011
Avd. Matematisk statistik Tobias Rydén 2011-09-30 SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Förberedelser. Innan du går till laborationen, läs igenom den här handledningen. Repetera också i
Läs merunder en options löptid. Strukturakademin Strukturinvest Fondkommission
Del 1 Volatilitet Innehåll Implicita tillgångar... 3 Vad är volatilitet?... 3 Volatility trading... 3 Historisk volatilitet... 3 Hur beräknas volatiliteten?... 4 Implicit volatilitet... 4 Smile... 4 Vega...
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 2008) Föreläsning 2
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 008) Föreläsning Diskreta sannolikhetsfördelningar (LLL kap. 6) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 8.9.28 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 8.9.28 / 45 Stokastiska
Läs merTMS136. Föreläsning 11
TMS136 Föreläsning 11 Andra intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov och under vissa antaganden kan göra intervallskattningar för väntevärden Man kan även gör intervallskattningar för
Läs merMer om slumpvariabler
1/20 Mer om slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/2 2013 2/20 Dagens föreläsning Diskreta slumpvariabler Vilket kretskort ska man välja? Väntevärde
Läs merNpMa2b vt Kravgränser
Kravgränser Provet består av ett muntligt delprov (Del A) och tre skriftliga delprov (Del B, Del C och Del D). Tillsammans kan de ge 67 poäng varav 26 E-, 24 C- och 17 A-poäng. Observera att kravgränserna
Läs merTAMS79: Föreläsning 6. Normalfördelning
TAMS79: Föreläsning 6 Normalfördelningen Johan Thim (johan.thim@liu.se 3 november 018 Normalfördelning Definition. Låt µ R och > 0. Om X är en stokastisk variabel med täthetsfunktion f X ( = 1 ( ep ( µ,
Läs merSTOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 06 04 04. Finansmatematik II Kapitel 1
1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 06 04 04 Finansmatematik II Kapitel 1 Ränta 2 Finansmatematik II 1 Rak ränta Med rak ränta ska vi
Läs merHur måttsätta osäkerheter?
Geotekniska osäkerheter och deras hantering Hur måttsätta osäkerheter? Lars Olsson Geostatistik AB 11-04-07 Hur måttsätta osäkerheter _LO 1 Sannolikheter Vi måste kunna sätta mått på osäkerheterna för
Läs merMatematisk statistik TMS064/TMS063 Tentamen
Matematisk statistik TMS64/TMS63 Tentamen 29-8-2 Tid: 4:-8: Tentamensplats: SB Hjälpmedel: Bifogad formelsamling och tabell samt Chalmersgodkänd räknare. Kursansvarig: Olof Elias Telefonvakt/jour: Olof
Läs merDel 18 Autocalls fördjupning
Del 18 Autocalls fördjupning Innehåll Autocalls... 3 Autocallens beståndsdelar... 3 Priset på en autocall... 4 Känslighet för olika parameterar... 5 Avkastning och risk... 5 del 8 handlade om autocalls.
Läs merTentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M
Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (11 uppgifter) Tentamensdatum 2016-10-25 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 9.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson och
Läs merLaboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 120, HT-00 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Läs merLaboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Laboration 3 Matematisk statistik AK för CDIFysiker, FMS012/MASB03, HT15 Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla
Läs merF3 Introduktion Stickprov
Utrotningshotad tandnoting i arktiska vatten Inferens om väntevärde baserat på medelvärde och standardavvikelse Matematik och statistik för biologer, 10 hp Tandnoting är en torskliknande fisk som lever
Läs merFörsta sidan är ett försättsblad (laddas ned från kurshemsidan) Alla frågor som nns i uppgiftstexten är besvarade
HT 2011 Inlämningsuppgift 1 Statistisk teori med tillämpningar Instruktioner Ett av problemen A, B eller C tilldelas gruppen vid första övningstillfället. Rapporten ska lämnas in senast 29/9 kl 16.30.
Läs merStokastiska processer med diskret tid
Stokastiska processer med diskret tid Vi tänker oss en följd av stokastiska variabler X 1, X 2, X 3,.... Talen 1, 2, 3,... räknar upp tidpunkter som förflutit från startpunkten 1. De stokastiska variablerna
Läs mer