Finansmatematik II Kapitel 5 Samvariation med marknaden

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Finansmatematik II Kapitel 5 Samvariation med marknaden"

Transkript

1 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version Finansmatematik II Kapitel 5 Samvariation med marknaden

2 Finansmatematik II 1 Marknaden Med marknaden menar vi här ett index. Ett index är en portfölj av tillgångar. Vi ska numrera dessa 1,..., N så att de första m tillgångarna är de som finns i vår portfölj och låta p 1,...p N beteckna tillgångarnas vikter i index. Exempel på svenska aktieindex är OMX index som består av de 30 mest omsatta aktierna på Stockholmsbörsen. Ett mer omfattande index är Affärsvärldens Generalindex (AFGX) som består av c:a 300 aktier. Detta är Sveriges älsta aktieindex och går tillbaks till Exempel på internationellt välkända aktieindex är Dow Jones (DJIA) och Standard and Poor 500 (S&P 500 ). Det finns även världsindex som är mycket omfattande portföljer. Betavärde En akties betavärde, β, relativt en marknad, M, definieras som β = Cov(R, R M )/σ M. Här är R och R M aktiens respektive marknadens avkastning under en kort tidsperiod, en dag t.ex., och σm = Var(R M ). Vi ska i våra exempel använda M=AFGX. Övning 1 Visa att Var(R br M ) minimeras för b = β. Driften under en tidsperiod av längd t är ν t medan volatiliteten är σ t. Driften under en kort tidsperiod torde därför vara försumbar jämfört med volatiliteten. Att det verkligen är så visas av Tabell 1, där data från Period 1-4 i Tabell 1 i Kapitel.3 har använts. Tidsperiodens längd är en dag och enheten %. Tabell 1 AFGX AZN LME HM SDIA SKA Drift Volatilitet Detta faktum och resultatet i Övning 1 förklarar betas roll och vi har alltså Låt R βr M. e = R βr M och låt ρ beteckna korrelationskoefficienten mellan avkastningarna av aktien och marknaden ρ = Cov(R, R M) σσ M,

3 Samvariation med marknaden 3 där σ är aktiens volatilitet. Övning Visa att Var(R) = Var(βR M ) + Var(e) och att Var(βR M ) = ρ σ och Var(e) = (1 ρ )σ. Talet ρ kallas förklaringsvärdet och är alltså den proportion av variansen för R som kan hänföras till variationen i marknaden. I Tabell ges beta- och förklaringsvärdena för FEM AKTIER under Period 1-4. Tabell AFGX AZN LME HM SDIA SKA β ρ För att få en uppfattning hur dessa skattningar varierar under olika tidsperioder återges i Tabell 3 skattningarna under fem år. Skattningarna är baserade på data från en tidsperiod som är 4 år lång och slutar den 15 april det angivna året. Källa: Öhmans BÖRS GUIDE. Tabell 3 År AZN LME HM SDIA SKA β ρ I kolumnen AZN återges skattningarna för Astra. Värden från och med 000 saknas eftersom Astra då gick samman med Zeneca och det nya bolaget inte funnits i fyra år. Våra data från AZN består av en ihopskarvning av Astra och AstraZeneca. En akties alfavärde, α, definieras som α = Ee.

4 4 Finansmatematik II Vi har alltså R = α + βr M + e, där e är okorrelerad med R M och har väntevärdet 0. Vi har sett i Kapitel.4 att det är närmast ogörligt att skatta avkastningen och därmed α med tillräcklig precision för en enskilld aktie. Alfa- och betavärdena för en portfölj eller fond definieras på samma sätt som för en aktie. I detta fall står R för portföljens eller fondens avkastning. Övning 3 Låt β i beteckna betavärdet för tillgång i, i = 1,..., N. Visa att p 1 β p N β N = 1. Övning 4 Antag att korrelationen är gemensam; σ i,j = σ i σ j ρ för i j. Visa att σ M β i = σ i (ρ σ + (1 ρ)p i σ i ) och där N σm = ρ σ + (1 ρ) (p j σ j ), j=1 N σ = p j σ j. j=1 3 Betaportföljen Vi ska här bestämma vikterna för den portfölj som består av givna aktier och som har störst korrelation med marknaden. Låt därför ρ(v) = ρ(r P, R M ) beteckna korrelationskoefficienten mellan portföjens och marknadens avkastningar, där v står för portföljvikterna. Övning 5 Visa att ρ(v) = v β v Qv σ M, där β = (β 1,..., β m ) är portföljaktiernas betavärden. Övning 7 Visa att ρ(v) = x y x σ M,

5 Samvariation med marknaden 5 där x = Q 1 v och y = Q 1 β. Det följer av Schwarz olikhet att korrelationen maximeras då x = cy, d.v.s. v = cq 1 β, och c > 0. (Om c < 0, så minimeras korrelationen.) Talet c bestämmes av att vikterna ska summera till 1. Vi ska kalla denna portfölj för Betaportföljen. Observera att denna portfölj existerar endast om 1 Q 1 β > 0. Övning 8 Låt β = 1 P β och antag att β > 0. a) Visa att Betaportföljen har vikterna v β = P β/β. b) Visa att Betaportföljens korrelation med marknaden är samt att portföljens volatilitet är ρ β,m = σ M σ β P β = σm β Q 1 β σ β = σ β P β/β = β Q 1 β/1 Q 1 β. Det följer att Betaportföljens betavärde β β = Cov(R β, R M )/σ M = ρ β,m σ β /σ M = β P β/β. Övning 9 Visa att minimivariansportföljens betavärdevärde är β samt att minimivariansportföljens korrelation med marknaden och betaportföljen är ρ min,m = σ M β β respektive ρ σ min,β =. β P β Det följer att ρ min,m = ρ min,β ρ β,m. Figur 1 visar utvecklingen av (de ej ombalanserade) Beta- och minimivariansportföljerna samt AFGX under Period 4. (I detta fall är det ingen stor skillnad mellan den ombalanserade och den orörda portföljen.) Vikterna skattades med data från Period 1-3. Resultatet framgår av följande tabell. Tabell 4 AZN LME HM SDIA SKA σ β ρ ρ β v β v I kolumnerna till höger står står portföljernas volatiliteter, betavärden, förklaringsvärden och korrelationer med marknaden under Period 1-3.

6 6 Finansmatematik II BETA AFGX 1. 1 MIN Figur 1: Utveckling av Beta- och Minimivariansportföljerna under Period 4 AFGX hade volatiliteten 0.1 under Period 1-3. Den ej ombalanserade betaportföljen fick volatiliteten 0.37 under Period 4 (alltså väsentligt större än under Period 1-3). Den dagligen ombalanserade betaportföljen har volatiliteten Volatiliteten för AFGX ökade under period 4 till 0.6. Trots denna ökade volatilitet ökade inte volatiliteterna i minimivariansportföljerna utan dessa blev 0. oavsett portföljen omviktades eller ej. I Figur återges portföljernas utveckling under Period 1-4. Skalan är logaritmisk. Varje enhet på y-axeln motsvarar en dubbling/halvering. Betaportföljens volatilitet var 0.31 att jämföra med 0.3 för AFGX och 0. för minimivariansportföljen. Övning 10 Antag att korrelationen är gemensam; σ i,j = σ i σ j ρ för i j. Visa att betaportföljens vikter är proportionella mot w i = p i + κ σ m σ i, där κ är som i Övning 1 i Kapitel 3.6 och σ m = i>m p iσ i. Det följer att betaporföljen har positiva vikter i detta fall. I fallet ρ = 0 är alltså vikterna proportionella mot indexvikterna, v β (i) = p i /s m, där s m = p p m. Övning 11 Betrakta samma situation som i föregående övning. Antag att ρ > 0 och m < N. Visa att v β (i) < p i /s m om och endast om 1/σ i p i <. 1/σ /σ m p p m

7 Samvariation med marknaden log(beta) log(afgx) log(min) Figur : Utveckling av Beta- och Minimivariansportföljerna under Period 1-4. Logaritmisk skala. Då ρ > 0 viktas alltså högvolatila och indextunga aktier ned relativt index. Man behöver inte känna volatiliteterna och vikterna för samtliga aktier i index för att beräkna σ utan det räcker med de mest indextunga. Den sista identiteten i Övning 4 kan även formuleras σ = σ N M ρ (1 S), där S = (1 ρ)p jσj /σm. j=1 Övning 1 Visa att bidraget till summan S från tillgångar som uppfyller (1 ρ)p j σj /σ M < ɛ är < ɛ. Vi har alltså olikheten σ < σ M ρ och denna övre gräns är en god approximation i de fall ingen tillgång har hög vikt i index. Exempel FEM AKTIER. Parametrarna skattades med data från Period 1-3. Indexvikterna togs från slutet av Period 3; Dessa finns i första raden i tabellen nedan. Den gemensamma korrelationen skattades med medelvärdet av korrelationerna, ρ = 0.37 och σ skattades med 0.3. Se nedan. Vikterna för Betaportföljen med gemensam korrelation, v gem β, finns i fjärde raden i tabellen. Som jämförelse har även vikterna i den portföjl som har vikter proportionella

8 8 Finansmatematik II mot indexvikterna, v prop β, beräknats. Avståndet mellan dessa portföljvikter och de tidigare skattade vikterna, v β, anges i kolumnen längst till höger. Även det viktade medelvärdet σ m = m j=1 p jσ j /s m anges. Enheten är %. Tabell 5 AZN LME HM SDIA SKA Avst. Indexvikter v prop β v β v gem β Volatiliteter σ m = 40 Den övre gränsen σ afgx / ρ = ger förmodligen ett för högt värde åt σ eftersom det i detta fall finns indextunga bolag. Här följer bidragen från FEM AKTIER till summan S i Övning 1. AZN LME HM SDIA SKA Summa Dessa bolags totala indexvikt är Om man ersätter S med enbart bidraget från LME sjunker den övre gränsen till Om man tar med samtliga fem aktier får man Förutom HM och AZN finns det ytterligare några indextunga bolag i indexet men som inte är med i vår portfölj. Därför σ = 0.3. Vi ska nu resonera som i näst sista stycket i Kapitel 3. Att döma av Tabell 7 nedan skulle avståndet vara c:a 0.05/ om periodlängden hade varit 104 dagar men den är 768 = dagar. Därför torde slumpfelet vara c:a 4/ %. Därför kan vi inte heller i detta fall avgöra vilken av skattningarna som ligger närmast sanningen (d.v.s. betaportföljen). I Figur 3 visas utvecklingen av betaportföljen med gemensam korrelation tillsammans med AFGX och den tidigare skattade betaportföljen. Den förstnämnda är streckad och ligger mellan de andra två som är heldragna. Vi ska nu återgå till en allmän kovariansmatris och studera stabiliteten hos skattningarna av vikterna. Sats 1 Antag att aktiepriserna utvecklas enligt Modell B. Skattningen ˆv β av vikterna i betaportföljen är, då n, asymptotiskt normalfördelad med väntevärde v β och kovariansmatris där k ( P v v T + (v β v )(v β v ) T ), n σ σ afgx β P β k = β σ afgx. Beviset för denna sats utelämnas.

9 Samvariation med marknaden 9 Beta Gem 1.4 AFGX Figur 3: Utveckling av Betaportföljen med gemensam korrelation under Period 4 Betaportföljens vikter för våra fem aktier skattade under de olika perioderna framgår av följande tabell. Tabell 6 AZN LME HM SDIA SKA Period Period Period Period Period Period Period Definiera d teor och d obs på motsvarande sätt som för minimivariansportföljen. I nedanstående tabell ges dessa avstånd för ett antal olika periodlängder. Tabell 7 Periodlängd Antal perioder ˆdteor d obs d obs / ˆd teor

10 10 Finansmatematik II Den stora avvikelsen vid periodlängden 64 beror på att under en av perioderna blev β mycket liten i förhållande till betavärdenas absolutbelopp. I likhet med minimivariansportföljen verkar skattningarna av denna portföljs vikter vara rimligt stabila om man skattar med data från några år. 4 Marknadsneutrala portföljer Idén bakom marknadsneutrala portföljer beskrivs på hedgefunds.html: Redan 1949 startade Alfred Jones vad som anses vara världens första hedge fund.... Det mest revolutionerande i Jones förvaltning var att han inte bara köpte aktier som han ansåg vara undervärderade. Han sålde också aktier han ansåg övervärderade utan att inneha själva värdepapperet, d.v.s. han blankade aktier. När kurserna steg tjänade han pengar på sina köpta aktier, medan han förlorade på sina blankningar som blev dyrare att köpa tillbaka. Å andra sidan tjänade han pengar på dessa blankningar när kurserna föll, vilket motverkade förlusterna på de köpta aktierna. Resultatet blev en portfölj som var mindre beroende av marknadens svängningar i allmänhet och mer beroende av Jones egen förmåga att analysera enskilda aktier.... Vi ska säga att en portfölj är marknadsneutral om portföljens avkastning är okorrolerad med marknadens avkastning; Cov(R P, R M ) = 0 d.v.s. v 1 β v m β m = 0. Övning 13 Visa att en portfölj är marknadsneutral om och endast om den är okorrolerad med betaportföljen. Övning 14 Visa att den marknadsneutrala portfölj som har minst varians har vikterna γv + (1 γ)v β, där γ = β P β β P β β. Figur 4 visar utvecklingen av denna portfölj under Period 4. Vikterna skattades med data från period 1-3. Den beräknade volatiliteten är I detta fall blev γ =.54 och portföljen har vikterna 0.60, -0.58, 0.7, -0.7, Observera att i detta fall är det stor skillnad mellan den orörda och den dagligt eller kontinuerligt ombalanserade portföljen.

11 Samvariation med marknaden AFGX 1 Continuosly and daily rebalanced Unchanged Figur 4: Utveckling under Period 4 av AFGX och den marknadsneutrala portfölj som har minst varians. 5 Capital Asset Pricing Model Låt R T beteckna tangentportföljens avkastning, R T = v 1 R v m R m. Då Vidare gäller Cov(R i, R T ) = m σ i,j v j = (Qv T ) i = σ r i r f. r r f j=1 Var(R T ) = σ (r T ) = σ ( (r T r ) ) 1 + = σ r T r f τ. r r f Här använde vi oss av identiteten i Övning 13 i Kapitel 4.4. Därför eller ekvivalent där r i r f = β i,t (r T r f ) för i = 1,..., m r i r f σ i = ρ i,t r T r f σ T, β i,t = Cov(R i, R T )/σ T och ρ i,t = Cov(R i, R T ) σ i σ T. Detta är en matematisk identitet som gäller oavsett hur många tillgångar vi har i portföljen. Antag att vi utvidgar portföljen till att omfatta samtliga aktier på marknaden. Enligt en ekonomisk teori kallad Capital Asset Pricing Model (CAPM)

12 1 Finansmatematik II överensstämmer marknadsportföljen med tangentportföljen och tangentportföljen är därmed känd. Betavärdena definieras av kovvarianser som går att skatta med hjälp av historiska data och därmed kan betavärdena betraktas som kända. Identiteten (CAPM-identiteten) r i r f = β i (r M r f ) gäller därför för alla aktier på marknaden och speciellt för i = 1,..., m. Övning 15 Antag att CAPM-identiteten gäller och att (r M r f )β > 0. Visa att betaportföljen är tangentportföljen. CAPM skulle alltså lösa portföljvalsteorins huvudproblem: att finna tangentportföljens vikter. Det är därför av intresse att undersöka hur pass väl CAPM stämmer med verkligheten. Övning 1 förklarar betas roll. Själva CAPM-identiteten är emellertid en utsaga om förväntad avkastning, (E(R i β i R M ) = r f (1 β i )), och vi vet från Kapitel.4 att vi inte kan göra några precisa uttalanden om detta väntevärde på grund av att volatiliteten är för stor. Trots detta ska vi i göra ett försök. Övning 16 Visa att Cov(R i β i R M, R j β j R M ) = σ i,j β i β j σ M. Avkastningar och förväntad avkastning enligt CAPM i vår exempelportfölj under Period 1-4 blev: Tabell 8 AZN LME HM SDIA SKA avkastning förväntad avk Avkastningarna är medelvärdet av dagsavkastningarna multiplicerat med 50. STIBOR-räntan varierade under perioden mellan 3.0 och 4.85%. I tabellen är r f konstant =4%. Observationsperiodens längd är T = år. Antag att avkastningarna är fördelade enligt Modell B i Kapitel.5 och att CAPM-identiteten gäller. Låt X = (X 1,..., X m ), där X i = R i r f β i (R M r f ), i = 1,..., m = 5. Den stokastiska variabeln X är normalfördelad med väntevärde 0 och kovariansmatris Q/T, där Q är kovariansmatrisen i Övning 16. Därför är Z = T Q 1 X normalfördelad med väntevärde 0 och kovariansmatrisen I (identitetsmatrisen). Det följer att Z = T X Q 1 X är χ -fördelad med m = 5 frihetsgrader. Sätt χ = T ˆX ˆ Q 1 ˆX,

13 Samvariation med marknaden 13 där ˆ Q är skattningen av Q och ˆX är som X men med skattade betavärden. Dessa skattningar är konsistenta och därför är χ asymptotiskt χ fördelad med fem frihetsgrader. I vårt exempel minimeras χ som funktion av r f för r f = 1.9% och detta minimala värde är För r f = 4% blir χ = 6.51 att jämföras med percentilerna χ 0.(5) = 7.9 och χ 0.3(5) = Om CAPM-identiteten gäller hade vi alltså i mellan 0 och 30% av fallen fått en större avvikelse. Vi kan alltså inte förkasta modellen. Å andra sidan kan vi heller inte förkasta den enklare modellen: r i = β i r M för vilken χ också är I 80% av fallen gäller alltså χ < 7.9. Denna olikhet är uppfylld då 1% < r f < 16%. Vi ska nu försöka belägga att det finns ett positivt samband mellan avkastningar och betavärden för aktierna i vår exempelportfölj. Data från de fyra perioderna framgår av nedanstående tabell. Tabell 9 AFGX AZN LME HM SDIA SKA Period 1 avk beta Period avk beta Period 3 avk beta Period 4 avk beta Period 1-4 avk beta Observera att under Period är avkastningen för AFGX lägre än räntan och därför har den aktie som har högst betavärde lägst förväntad avkastning enligt CAPM. För att få en uppfattning av om det finns ett samband rangordnar vi aktiernas avkastningar och betavärden. Tabell 10 AZN LME HM SDIA SKA d Period 1 avk beta Period avk beta Period 3 avk beta Period 4 avk beta Period 1-4 avk beta I kolumnen längst till höger står avståndet mellan avkastningar och betavärden: d = x 1 y x 5 y 5, där x 1,..., x 5 och y 1,..., y 5 är rangerna av avkastningarna respektive betavärdena.

14 14 Finansmatematik II Antag att det inte finns något samband, att rangerna är slumpmässiga permutationer av talen 1,...,5. Låt p(d) beteckna sannolikheten att avståndet mellan två slumpmässiga permutationer är d. Om man utnyttjar att d har samma fördelning som 1 y y 5 och går igenom de 10 olika möjligheterna, finner man att sannolikhetsfördelningen ges av d : p(d) : Börja med att titta på Period 1-4. I detta fall är avståndet. Sannolikheten att slumpmässiga permutationer ger ett avstånd som är högst lika med är 1/4. Sånt händer (nämligen en gång på 4). Om vi istället använder hela materialet och beräknar summan av avstånden under de fyra perioderna, så blir denna 18. Utfallen under de fyra perioderna är stokastiskt oberoende varför fördelningen av summan kan beräknas med hjälp av ovanstående fördelning. Man finner att sannolikheten att summan är högst lika med 18 är Sånt händer också men bara en gång på 100. Slutsatsen blir att det verkar finnas ett positivt samband mellan avkastning och betavärden. Sammanfattning Enligt CAPM gäller identiteten r i r f = β i (r M r f ). Vi har inte funnit något som motsäger denna men kan ej heller verifiera den. I vårt exempel finns ett positivt samband mellan avkastning och betavärden. Om CAPM gäller, så överensstämmer tangentportföljen med betaportföljen. 6 Följder av CAPM Vi ska här anta att CAPM-identiteten gäller och se vilka följder detta får. Övning 17 Sätt = r M r f och antag och att β > 0. a) Visa att tangentportföljens förväntade avkastning och varians ges av b) Visa att r T = r f + β P β respektive σt = σ β P β β β. r = r f + β, τ = (β β 1) P (β β 1). Övning 18 Låt V och α vara som i Sats 1 i Kapitel 4.5. Visa att V = β P β σ och α = β σ. Det följer av Sats 1 och i Kapitel 4.5 och ovanstående övning att den maximala tillväxtportföljen har vikten α = β σ i tangentportföljen och resten i kassan, förutsatt att a σ β, där a är den maximala vikten i aktieportföljen. I annat fall ges aktieportföljens vikter av

15 Samvariation med marknaden 15 vmax(a, ) = av + β σ (v T v ). Vikterna hos den portfölj som ger maximal tillväxt beror alltså på vad vi tror om den framtida börsutvecklingen och om portföljen få belånas, d.v.s. på och a. I vårt exempel är (med skattningarna baserade på data från Period 1-3) β σ Betrakta tre situationer: (v T v ) = ( 1.97, 4.77, 0.77,.13, 4.16), A Vi tror på en måttlig börsutveckling, = B Vi tror på en god börsutveckling, = 0.10, men vill inte belåna aktieportföljen. C Vi tror på en stark börs, = 0.35, och är beredda att belåna portföljen maximalt. I fall A blir α = 0.6 och därmed ska 6% placeras i tangentportföljen och resten i kassan. Utvecklingen av denna portfölj under Period 4 visas i Figur 5. Förräntnigen i kassan är satt till 4%. Portföljens volatilitet blev 0.1 och avkastningen 3% att jämföra med 0.8 respektive 3% för AFGX. I fall B blir α = 1.4. Eftersom α > 1 och portföljen inte ska belånas ska vi vara fullinvesterade i den aktieportfölj som har vikterna vmax(1, 0.10) = (0.16, 0.49, 0.10, 0.1, 0.05). Volatiliteten blev 0.39 och avkastningen 54%. Se Figur 6. I fall C är α = 4.35 och den maximala vikten i aktieportföljen 3.15=315%. Vi ska alltså ha -.15 i kassan och 3.15 i den aktieportfölj som har (de relativa) vikterna vmax(3.15, 0.35)/3.15 = (0.13, 0.54, 0.09, 0.3, 0.00). Se Figur 7. Låneräntan är satt till 7%. Volatiliteten blev 1.3=13% och avkastningen 90%. Det framgår att belåning har en hävstångseffekt på portföljutvecklingen. Både uppåt och nedåt. En maximalt belånad portfölj måste med nödvändighet ombalanseras då aktieportföljen minskar i värde. Alla tre portföljerna har ombalanserats dagligen. I Figurerna 8, 9 och 10 visas utvecklingen av dessa portföljer under hela perioden 1-4. Portföljernas volatiliteter (per år) och årliga tillväxtfaktorer framgår av nästa tabell. (Den årliga tillväxtfaktorn i intervallet (0, T ) är (P (T )/P (0)) 1 T, där P (0) och P (T ) är portföljens värde vid tiden 0 respektive T år.) AFGX PORTF.A PORTF.B PORTF.C Volatilitet Tillväxtfaktor I Figur 10 är det svårt att avläsa portföljutvecklingen i början. En plot med logaritmisk skala på y-axeln blir tydligare. Se Figur 11.

16 16 Finansmatematik II AFGX PORTF.A Figur 5: Utveckling av Portfölj A under Period 4. PORTF.B AFGX Figur 6: Utveckling av Portfölj B under Period 4

17 Samvariation med marknaden 17 1 PORTF.C AFGX Figur 7: Utveckling av Portfölj C under Period 4 7 Marknadsportföljen I detta avsnitt ska vi betrakta samtliga N aktier i index. Vektorn med aktiernas vikter i index betecknas med p = (p 1,..., p N ). Matrisen Q är en N N matris, vektorn β har dimensionen N e.t.c. CAPM-identiteten förutsätts gälla men i Övning 19 och Övning 0 a behövs inte detta antagande. Övning 19 Enligt CAPM överensstämmer p med tangentportföljen. D.v.s. Verifiera detta med en direkt räkning. Övning 0 a) Visa att P β β = p. β = σ σ M 1. b) Låt α och V vara som i Övning 18. Visa att α = σ M och V = σm. Om vi vill ha maximal tillväxt så ska vi enligt Satserna 1 och i Kapitel 4.5 ha en del i kassan och resten, α, i marknadsportföljen förutsatt att α a. Enligt Övning 0 b gäller detta inte om > aσ M.

18 18 Finansmatematik II PORTF.A.5 AFGX Figur 8: Utveckling av Portfölj A under Period PORTF.B AFGX Figur 9: Utveckling av Portfölj B under Period 1-4

19 Samvariation med marknaden PORTF.C AFGX Figur 10: Utveckling av Portfölj C under Period log(portf.c) 3 log(afgx) Figur 11: Utveckling av Portfölj C under Period 1-4. Logaritmisk skala.

20 0 Finansmatematik II Med σ M = 0.3 och a = 1 (aktieportföljen får ej belånas) tar denna olikhet formen > Om maximal belåning av aktieportföljen är tillåten (och 1/(1 b p) 3), så blir olikheten i stället > Vi har alltså gjort följande Observation Antag att CAPM-identiteten gäller. Den portfölj som ger maximal tillväxt har en del i kassan och en del i marknadsportföljen, förutsatt att aσm. I annat fall överenstämmer aktieportföljen inte med marknadsportföljen. Speciell gäller det senare i följande två fall. a) Om aktieportföljen inte får belånas och man tror på en hygglig börsutveckling, > σm. b) Om aktieportföljen får belånas maximalt och man tror på en stark börs, > σm /(1 b p). Blandade övningar Övning 1 Betrakta den portfölj som liknar index mest i den meningen att skillnaden mellan portföljens och indexets avkastning har minimal varians. Visa att denna portfölj har vikterna där och där c i = Cov(R i, R M ). νv β + (1 ν)v, ν = σ M β /σ = 1 Q 1 c Övning Beräkna vikterna för den marknadsneutrala portfölj som har maximal tillväxt. a) I fallet med noll kronor i kassan. b) Med kassa. Beräkna även portföljernas förväntade tillväxt. Svar: a) Samma som i Övning 14. b) Allt i kassan. Förväntad tillväxt = r f för båda portföljerna.

Betavärde En akties betavärde, β, relativt en marknad, M, definieras som

Betavärde En akties betavärde, β, relativt en marknad, M, definieras som STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 02 22 SAMVARIATION MED MARKNADEN Marknaden Med marknaden menar vi här ett index. Ett index är en portfölj

Läs mer

Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering

Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 04 0 8 Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering 2 Finansmatematik II Risk och diversifiering

Läs mer

Finansmatematik II Kapitel 2 Stokastiska egenskaper hos aktiepriser

Finansmatematik II Kapitel 2 Stokastiska egenskaper hos aktiepriser STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version Finansmatematik II Kapitel Stokastiska egenskaper hos aktiepriser Finansmatematik II För att kunna

Läs mer

P (t) = V 1 (t) V m (t) P (t + t) P (t) P (t) = v j (t)r j (t, t + t), v(t) Q t v(t),

P (t) = V 1 (t) V m (t) P (t + t) P (t) P (t) = v j (t)r j (t, t + t), v(t) Q t v(t), STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 02 22 RISK OCH DIVERSIFIERING Betrakta en portfölj bestående av m tillgångar som vi här ska kalla aktier.

Läs mer

Finansmatematik II Kapitel 4 Tillväxt och risk

Finansmatematik II Kapitel 4 Tillväxt och risk 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd för Matematisk statistik Thmas Höglund Versin 04 10 21 Finansmatematik II Kapitel 4 Tillväxt ch risk 2 Finansmatematik II Man går inte in på aktiemarknaden

Läs mer

Finansiering. Föreläsning 6 Risk och avkastning BMA: Kap. 7. Jonas Råsbrant

Finansiering. Föreläsning 6 Risk och avkastning BMA: Kap. 7. Jonas Råsbrant Finansiering Föreläsning 6 Risk och avkastning BMA: Kap. 7 Jonas Råsbrant jonas.rasbrant@fek.uu.se Föreläsningens innehåll Historisk avkastning för finansiella tillgångar Beräkning av avkastning och risk

Läs mer

STYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR

STYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. KOMPLEMENT DAG 13. STYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR Hittills har vi betraktat

Läs mer

Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen

Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Ett sätt att få fram Black-Littermans formel är att formulera problemet att hitta lämpliga justerade avkastningar som ett skattningsproblem

Läs mer

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet

Läs mer

120 110 S t : 100 100 90 80 Vi ska här betrakta ett antal portföljer som vid t = 0 är värda 100 SEK.

120 110 S t : 100 100 90 80 Vi ska här betrakta ett antal portföljer som vid t = 0 är värda 100 SEK. STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. KOMPLEMENT DAG 5. HANDELSSTRATEGIER Låt S t beteckna priset på en aktie vid tiden t. Vi

Läs mer

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Avd. Matematisk statistik Tobias Rydén 2011-09-30 SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Förberedelser. Innan du går till laborationen, läs igenom den här handledningen. Repetera också i

Läs mer

Några vanliga fördelningar från ett GUM-perspektiv

Några vanliga fördelningar från ett GUM-perspektiv Några vanliga fördelningar från ett GUM-perspektiv I denna PM redovisas några av de vanligaste statistiska fördelningarna och deras hantering inom ramen för GUM: Guide to the Expression of Uncertainty

Läs mer

CAPM (capital asset pricing model)

CAPM (capital asset pricing model) CAPM (capital asset pricing model) CAPM En teoretisk modell för förväntad avkastning i jämvikt, d.v.s. när utbudet av varje tillgång är lika med efterfrågan på motsvarande tillgång. Detta betyder att CAPM

Läs mer

Formelsamling för kursen Grundläggande finansmatematik

Formelsamling för kursen Grundläggande finansmatematik STOCKHOLMS UNIVERSITET 13 december 006 Matematiska institutionen Avd. för matematisk statistik Mikael Andersson Formelsamling för kursen Grundläggande finansmatematik 1 Fundamental Theorem of Asset Pricing

Läs mer

TMS136. Föreläsning 10

TMS136. Föreläsning 10 TMS136 Föreläsning 10 Intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov kan göra punktskattningar för fördelnings-/populationsparametrar En punkskattning är som vi minns ett tal som är en (förhoppningsvis

Läs mer

Samplingfördelningar 1

Samplingfördelningar 1 Samplingfördelningar 1 Parametrar och statistikor En parameter är en konstant som karakteriserar en population eller en modell. Exempel: Populationsmedelvärdet Parametern p i binomialfördelningen 2 Vi

Läs mer

Föreläsning 12: Regression

Föreläsning 12: Regression Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är

Läs mer

5B Portföljteori och riskvärdering

5B Portföljteori och riskvärdering B7 - Portföljteori och riskvärdering Laboration Farid Bonawiede - 89-09 Alexandre Messo - 89-77 - Beräkning av den effektiva fronten för en portfölj Uppgiften går ut på att beräkna de portföljer som ger

Läs mer

Del 2 Korrelation. Strukturakademin

Del 2 Korrelation. Strukturakademin Del 2 Korrelation Strukturakademin Innehåll 1. Implicita tillgångar 2. Vad är korrelation? 3. Hur fungerar sambanden? 4. Hur beräknas korrelation? 5. Diversifiering 6. Korrelation och Strukturerade Produkter

Läs mer

MVE051/MSG Föreläsning 7

MVE051/MSG Föreläsning 7 MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 7 Petter Mostad Chalmers November 23, 2016 Överblick Deskriptiv statistik Grafiska sammanfattningar. Numeriska sammanfattningar. Estimering (skattning) Teori Några exempel

Läs mer

Påbyggnad/utveckling av lagen om ett pris Effektiv marknad: Priserna på en finansiell marknad avspeglar all relevant information

Påbyggnad/utveckling av lagen om ett pris Effektiv marknad: Priserna på en finansiell marknad avspeglar all relevant information Föreläsning 4 ffektiva marknader Påbyggnad/utveckling av lagen om ett pris ffektiv marknad: Priserna på en finansiell marknad avspeglar all relevant information Konsekvens: ndast ny information påverkar

Läs mer

Oberoende stokastiska variabler

Oberoende stokastiska variabler Kapitel 6 Oberoende stokastiska variabler Betrakta ett försök med ett ändligt (eller högst numrerbart) utfallsrum Ω samt två stokastiska variabler ξ och η med värdemängderna Ω ξ och Ω η. Vi bildar funktionen

Läs mer

Del 18 Autocalls fördjupning

Del 18 Autocalls fördjupning Del 18 Autocalls fördjupning Innehåll Autocalls... 3 Autocallens beståndsdelar... 3 Priset på en autocall... 4 Känslighet för olika parameterar... 5 Avkastning och risk... 5 del 8 handlade om autocalls.

Läs mer

Stokastiska vektorer

Stokastiska vektorer TNG006 F2 9-05-206 Stokastiska vektorer 2 Kovarians och korrelation Definition 2 Antag att de sv X och Y har väntevärde och standardavvikelse µ X och σ X resp µ Y och σ Y Då kallas för kovariansen mellan

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 3.

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 3. STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 2. Luenberger: 2:1-5, 9, 11, 12. Övning 1. Du lånar 200000 kr i en bank

Läs mer

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012 Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår

Läs mer

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK Laboration 5: Regressionsanalys DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 Syftet med den här laborationen är att du skall

Läs mer

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Diskreta slumpvariabler En slumpvariabel tilldelar tal till samtliga utfall i ett slumpförsök. Vi

Läs mer

Envägs variansanalys (ANOVA) för test av olika väntevärde i flera grupper

Envägs variansanalys (ANOVA) för test av olika väntevärde i flera grupper Envägs variansanalys (ANOVA) för test av olika väntevärde i flera grupper Tobias Abenius February 21, 2012 Envägs variansanalys (ANOVA) I envägs variansanalys utnyttjas att

Läs mer

Tentamen Finansiering (2FE253) Lördagen den 21 mars 2015, kl. 09:00-13:00

Tentamen Finansiering (2FE253) Lördagen den 21 mars 2015, kl. 09:00-13:00 Tentamen Finansiering (2FE253) Lördagen den 21 mars 2015, kl. 09:00-13:00 Skrivtid: 4 timmar (kl. 09:00 13:00) Hjälpmedel: Kalkylator och kursens formelblad. OBS! Endast formler som står med på formelbladet

Läs mer

Matematisk statistik i praktiken: asset-liability management i ett försäkringsbolag

Matematisk statistik i praktiken: asset-liability management i ett försäkringsbolag Matematisk statistik i praktiken: asset-liability management i ett försäkringsbolag Andreas N. Lagerås AFA Försäkring Kapitalförvaltning Investeringsanalys Docentföreläsning SU 2010-11-10 1(21) Asset liability

Läs mer

(A -A)(B -B) σ A σ B. på att tillgångarna ej uppvisar något samband i hur de varierar.

(A -A)(B -B) σ A σ B. på att tillgångarna ej uppvisar något samband i hur de varierar. Del 2 Korrelation Innehåll Implicita tillgångar... 3 Vad är korrelation?... 3 Hur fungerar sambanden?... 3 Hur beräknas korrelation?... 3 Diversifiering... 4 Korrelation och strukturerade produkter...

Läs mer

1 Duala problem vid linjär optimering

1 Duala problem vid linjär optimering Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi

Läs mer

Hur måttsätta osäkerheter?

Hur måttsätta osäkerheter? Geotekniska osäkerheter och deras hantering Hur måttsätta osäkerheter? Lars Olsson Geostatistik AB 11-04-07 Hur måttsätta osäkerheter _LO 1 Sannolikheter Vi måste kunna sätta mått på osäkerheterna för

Läs mer

Nedan redovisas resultatet med hjälp av ett antal olika diagram (pkt 1-6):

Nedan redovisas resultatet med hjälp av ett antal olika diagram (pkt 1-6): EM-fotboll 2012 några grafer Sport är en verksamhet som genererar mängder av numerisk information som följs med stort intresse EM i fotboll är inget undantag och detta dokument visar några grafer med kommentarer

Läs mer

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 02 10 25. RÄNTA 1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. STATISTIK.

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. STATISTIK. SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 6 MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. Tatjana Pavlenko 12 september 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition

Läs mer

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning?

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning? När vi nu lärt oss olika sätt att karaktärisera en fördelning av mätvärden, kan vi börja fundera över vad vi förväntar oss t ex för fördelningen av mätdata när vi mätte längden av en parkeringsficka. Finns

Läs mer

7.5 Experiment with a single factor having more than two levels

7.5 Experiment with a single factor having more than two levels Exempel: Antag att vi vill jämföra dragstyrkan i en syntetisk fiber som blandats ut med bomull. Man vet att inblandningen påverkar dragstyrkan och att en inblandning mellan 10% och 40% är bra. För att

Läs mer

4 Diskret stokastisk variabel

4 Diskret stokastisk variabel 4 Diskret stokastisk variabel En stokastisk variabel är en variabel vars värde bestäms av utfallet av ett slumpmässigt försök. En stokastisk variabel betecknas ofta med X, Y eller Z (i läroboken används

Läs mer

Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3. Laboration 2. Fördelningar och simulering

Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3. Laboration 2. Fördelningar och simulering Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3 Laboration 2 Fördelningar och simulering Introduktion 2014-02-06 Syftet med laborationen är dels

Läs mer

TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2

TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2 STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson HT2012 TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2 2012-11-20 Skrivtid: kl 9.00-14.00 Godkända hjälpmedel: Miniräknare, språklexikon Bifogade hjälpmedel:

Läs mer

Rådgivning i praktiken

Rådgivning i praktiken Arturo Arques 08-7636964 070-2999372 arturo.arques@seb.se Rådgivning i praktiken 1 Personliga relationer Finansiell ekonomi 2 3 4 Enskilt viktigaste frågan: Överensstämmer kundens riskbenägenhet med den

Läs mer

ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 2

ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 2 ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 2 DATAMATRISEN 1. Datamatrisen nedan visar ett utdrag av ett datamaterial för USA:s 50 stater. Stat Befolkningsmängd Inkomst Marijuana Procent män (miljoner) per person lagligt?

Läs mer

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29)

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29) LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29) Aktuella avsnitt i boken: Kap 61 65 Lektionens mål: Du ska

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK 2007-08-29

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK 2007-08-29 UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Statistik för Teknologer, 5 poäng (TNK, ET, BTG) Peter Anton, Per Arnqvist Anton Grafström TENTAMEN 7-8-9 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN

Läs mer

Tentamensgenomgång och återlämning: Måndagen 24/2 kl16.00 i B497. Därefter kan skrivningarna hämtas på studentexpeditionen, plan 7 i B-huset.

Tentamensgenomgång och återlämning: Måndagen 24/2 kl16.00 i B497. Därefter kan skrivningarna hämtas på studentexpeditionen, plan 7 i B-huset. Statistiska institutionen Nicklas Pettersson Skriftlig tentamen i Finansiell Statistik Grundnivå 7.5hp, HT2013 2014-02-07 Skrivtid: 13.00-18.00 Hjälpmedel: Godkänd miniräknare utan lagrade formler eller

Läs mer

Stokastiska processer med diskret tid

Stokastiska processer med diskret tid Stokastiska processer med diskret tid Vi tänker oss en följd av stokastiska variabler X 1, X 2, X 3,.... Talen 1, 2, 3,... räknar upp tidpunkter som förflutit från startpunkten 1. De stokastiska variablerna

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko. SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt

Läs mer

Så får du pengar att växa

Så får du pengar att växa Så får du pengar att växa Sammanfattning Genom att spara regelbundet, vara långsiktig och ta hänsyn till avgifter kan även ett blygsamt men regelbundet sparande med tiden växa till ett betydande belopp.

Läs mer

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9, SF95 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 2:E JANUARI 25 KL 4. 9.. Kursledare: Gunnar Englund, 73 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

F22, Icke-parametriska metoder.

F22, Icke-parametriska metoder. Icke-parametriska metoder F22, Icke-parametriska metoder. Christian Tallberg Statistiska institutionen Stockholms universitet Tidigare när vi utfört inferens, dvs utifrån stickprov gjort konfidensintervall

Läs mer

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion

Läs mer

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0 Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF191, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 1:A JUNI 216 KL 8. 13.. Kursledare: Thomas Önskog, 8-79 84 55 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i

Läs mer

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller: Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen TT091A TGMAS15h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 30 Maj Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare (nollställd) samt allmänspråklig

Läs mer

Tentamen Finansiering (2FE253) Onsdagen den 17 februari 2016, kl. 08:00-12:00

Tentamen Finansiering (2FE253) Onsdagen den 17 februari 2016, kl. 08:00-12:00 Tentamen Finansiering (2FE253) Onsdagen den 17 februari 2016, kl. 08:00-12:00 Skrivtid: 4 timmar (kl. 08:00 12:00) Hjälpmedel: Kalkylator och kursens formelblad. OBS! Endast formler som står med på formelbladet

Läs mer

AMatematiska institutionen avd matematisk statistik

AMatematiska institutionen avd matematisk statistik Kungl Tekniska Högskolan AMatematiska institutionen avd matematisk statistik TENTAMEN I 5B1503 STATISTIK MED FÖRSÖKSPLANERING FÖR B OCH K FREDAGEN DEN 11 JANUARI 2002 KL 14.00 19.00. Examinator: Gunnar

Läs mer

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2010

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2010 Avd. Matematisk statistik SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2010 0 Allmänna anvisningar Arbeta med handledningen, och skriv rapport, i grupper om två eller tre personer. Närvaro vid laborationstiden

Läs mer

TMS136. Föreläsning 13

TMS136. Föreläsning 13 TMS136 Föreläsning 13 Jämförelser mellan två populationer Hittills har vi gjort konfidensintervall och tester kring parametrar i EN population I praktiska sammanhang är man ofta intresserad av att jämföra

Läs mer

AID:... Uppgift 1 (2 poäng) Definiera kortfattat följande begrepp. a) IRR b) APR c) Going concern d) APV. Lösningsförslag: Se Lärobok och/alt Google.

AID:... Uppgift 1 (2 poäng) Definiera kortfattat följande begrepp. a) IRR b) APR c) Going concern d) APV. Lösningsförslag: Se Lärobok och/alt Google. Notera att det är lösningsförslag. Inga utförliga lösningar till triviala definitioner och inga utvecklade svar på essä-typ frågor. Och, att kursen undervisas lite olika år från år. År 2013 mera från Kap

Läs mer

F19, (Multipel linjär regression forts) och F20, Chi-två test.

F19, (Multipel linjär regression forts) och F20, Chi-två test. Partiella t-test F19, (Multipel linjär regression forts) och F20, Chi-två test. Christian Tallberg Statistiska institutionen Stockholms universitet Då man testar om en enskild variabel X i skall vara med

Läs mer

modell Finansiell statistik, vt-05 Modeller F5 Diskreta variabler beskriva/analysera data Kursens mål verktyg strukturera omvärlden formellt

modell Finansiell statistik, vt-05 Modeller F5 Diskreta variabler beskriva/analysera data Kursens mål verktyg strukturera omvärlden formellt Johan Koskinen, Statistiska institutionen, Stockholms universitet Finansiell statistik, vt-5 F5 Diskreta variabler Kursens mål beskriva/analysera data formellt verktyg strukturera omvärlden innehåll osäkerhet

Läs mer

Strukturakademin Strukturinvest Fondkommission LÅNG KÖPOPTION. Värde option. Köpt köpoption. Utveckling marknad. Rättighet

Strukturakademin Strukturinvest Fondkommission LÅNG KÖPOPTION. Värde option. Köpt köpoption. Utveckling marknad. Rättighet Del 11 Indexbevis Innehåll Grundpositionerna... 3 Köpt köpoption... 3 Såld köpoption... 3 Köpt säljoption... 4 Såld säljoption... 4 Konstruktion av Indexbevis... 4 Avkastningsanalys... 5 knock-in optioner...

Läs mer

Stokastiska processer och simulering I 24 augusti

Stokastiska processer och simulering I 24 augusti STOCKHOLMS UNIVERSITET LÖSNINGAR MATEMATISKA INSTITUTIONEN Stokastiska processer och simulering I Avd Matematisk statistik 24 augusti 2016 Lösningar Stokastiska processer och simulering I 24 augusti 2016

Läs mer

Enkel och multipel linjär regression

Enkel och multipel linjär regression TNG006 F3 25-05-206 Enkel och multipel linjär regression 3.. Enkel linjär regression I det här avsnittet kommer vi att anpassa en rät linje till mätdata. Betrakta följande värden från ett försök x 4.0

Läs mer

Stokastiska Processer och ARIMA. Patrik Zetterberg. 19 december 2012

Stokastiska Processer och ARIMA. Patrik Zetterberg. 19 december 2012 Föreläsning 7 Stokastiska Processer och ARIMA Patrik Zetterberg 19 december 2012 1 / 22 Stokastiska processer Stokastiska processer är ett samlingsnamn för Sannolikhetsmodeller för olika tidsförlopp. Stokastisk=slumpmässig

Läs mer

AID:... LÖSNINGSFÖRSLAG TENTA 2013-05-03. Aktiedelen, uppdaterad 2014-04-30

AID:... LÖSNINGSFÖRSLAG TENTA 2013-05-03. Aktiedelen, uppdaterad 2014-04-30 LÖSNINGSFÖRSLAG TENTA 013-05-03. Aktiedelen, udaterad 014-04-30 Ugift 1 (4x0.5 = oäng) Definiera kortfattat följande begre a) Beta värde b) Security Market Line c) Duration d) EAR Se lärobok, oweroints.

Läs mer

Hedgefonder. Ulf Strömsten. Årets Hedgefond 2005

Hedgefonder. Ulf Strömsten. Årets Hedgefond 2005 Hedgefonder Ulf Strömsten 1 Kort om Catella Catella ingår i Kamprad-sfären Catella Capital förvaltar för närvarande runt 24 mdr kr och är därmed en av Sveriges största fristående förvaltare. Catella Capital

Läs mer

Grafer och grannmatriser

Grafer och grannmatriser Föreläsning 2, Linjär algebra IT VT2008 Som avslutning på kursen ska vi knyta samman linjär algebra med grafteori och sannolikhetsteori från första kursen. Resultatet blir så kallade slumpvandringar på

Läs mer

Stokastisk geometri. Lennart Råde. Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet

Stokastisk geometri. Lennart Råde. Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet Stokastisk geometri Lennart Råde Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet Inledning. I geometrin studerar man geometriska objekt och deras inbördes relationer. Exempel på geometriska objekt

Läs mer

TENTAMEN I SF1906 (f d 5B1506) MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS,

TENTAMEN I SF1906 (f d 5B1506) MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS, Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1906 (f d 5B1506) MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS, TORSDAGEN DEN 7 JUNI 2012 KL 14.00 19.00 Examinator:Gunnar Englund, 073 3213745 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och

Läs mer

, s a. , s b. personer från Alingsås och n b

, s a. , s b. personer från Alingsås och n b Skillnader i medelvärden, väntevärden, mellan två populationer I kapitel 8 testades hypoteser typ : µ=µ 0 där µ 0 var något visst intresserant värde Då användes testfunktionen där µ hämtas från, s är populationsstandardavvikelsen

Läs mer

Föreläsning 4. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 4. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 4 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Icke-parametriska test Mann-Whitneys test (kap 8.10 8.11) Wilcoxons test (kap 9.5) o Transformationer (kap 13) o Ev. Andelar

Läs mer

Uppgift 1. P (A) och P (B) samt avgör om A och B är oberoende. (5 p)

Uppgift 1. P (A) och P (B) samt avgör om A och B är oberoende. (5 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90, SF905, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 8:E AUGSTI 204 KL 08.00 3.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och

Läs mer

ALTERNATIVA INDEX. En studie av Mean-Variance-effektiviteten hos index baserade på fundamentalvärde kontra börsvärde. Magisteruppsats VT 2005

ALTERNATIVA INDEX. En studie av Mean-Variance-effektiviteten hos index baserade på fundamentalvärde kontra börsvärde. Magisteruppsats VT 2005 Nationalekonomiska Institutionen ALTERNATIVA INDEX En studie av Mean-Variance-effektiviteten hos index baserade på fundamentalvärde kontra börsvärde Magisteruppsats VT 2005 Författare: Olivia Falk Helena

Läs mer

2 Dataanalys och beskrivande statistik

2 Dataanalys och beskrivande statistik 2 Dataanalys och beskrivande statistik Vad är data, och vad är statistik? Data är en samling fakta ur vilken man kan erhålla information. Statistik är vetenskapen (vissa skulle kalla det konst) om att

Läs mer

Föreläsning 5. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 5. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 5 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Andelar (kap 24) o Binomialfördelning (kap 24.1) o Test och konfidensintervall för en andel (kap 24.5, 24.6, 24.8) o Test

Läs mer

Strategiobligation CROCI Alpha Pairs Sectors

Strategiobligation CROCI Alpha Pairs Sectors www.handelsbanken.se/mega Strategiobligation CROCI Alpha Pairs Sectors Marknadsneutral placeringsstrategi på den globala aktiemarknaden Målsättning att ge god och stabil avkastning oavsett börsutveckling

Läs mer

Portföljsammanställning för Landstinget Västerbotten. avseende perioden

Portföljsammanställning för Landstinget Västerbotten. avseende perioden Portföljsammanställning för avseende perioden Informationen i denna rapport innehåller kurser och värden. Värderingar av instrument är förvaltares rapporterade värden och Investment Consulting Group AB

Läs mer

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Bengt Ringnér September 20, 2006 Inledning Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna. 2 Väntevärde standardavvikelse

Läs mer

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng Matematisk statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 2012-05-29 Tid:

Läs mer

Tentamen i Sannolikhetslära och statistik Kurskod S0008M

Tentamen i Sannolikhetslära och statistik Kurskod S0008M Tentamen i Sannolikhetslära och statistik Kurskod S0008M Poäng totalt för del 1: 25 (12 uppgifter) Tentamensdatum 2012-12-19 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson

Läs mer

Placeringsalternativ kopplat till tre strategier på G10 ländernas valutor

Placeringsalternativ kopplat till tre strategier på G10 ländernas valutor www.handelsbanken.se/mega Strategiobligation SHB FX 1164 Placeringsalternativ kopplat till tre strategier på G10 ländernas valutor Strategierna har avkastat 14,5 procent per år sedan år 2000 Låg korrelation

Läs mer

Matematikcentrum 1(4) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 HT10. Laboration. Regressionsanalys (Sambandsanalys)

Matematikcentrum 1(4) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 HT10. Laboration. Regressionsanalys (Sambandsanalys) Matematikcentrum 1(4) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 HT10 Laboration Regressionsanalys (Sambandsanalys) Grupp A: 2010-11-24, 13.15 15.00 Grupp B: 2010-11-24, 15.15 17.00 Grupp C: 2010-11-25,

Läs mer

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Vektorberäkningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall vi träna på

Läs mer

Del 6 Valutor. Strukturakademin

Del 6 Valutor. Strukturakademin Del 6 Valutor Strukturakademin Innehåll 1. Strukturerade produkter och valutor 2. Hur påverkar valutor? 3. Metoder att hantera valutor 4. Quanto Valutaskyddad 5. Composite Icke valutaskyddad 6. Lokal Icke

Läs mer

(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka.

(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 11 JANUARI 2016 KL 14.00 19.00. Kursledare för CINEK2: Thomas Önskog, tel: 08 790 84 55 Kursledare för

Läs mer

FÖRELÄSNING 8:

FÖRELÄSNING 8: FÖRELÄSNING 8: 016-05-17 LÄRANDEMÅL Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är okänd T-fördelningen Goodness of fit-test χ -fördelningen Hypotestest Signifikansgrad Samla in data Sammanställ data

Läs mer

TMS136. Föreläsning 7

TMS136. Föreläsning 7 TMS136 Föreläsning 7 Stickprov När vi pysslar med statistik handlar det ofta om att baserat på stickprovsinformation göra utlåtanden om den population stickprovet är draget ifrån Situationen skulle kunna

Läs mer

1/31 REGRESSIONSANALYS. Statistiska institutionen, Stockholms universitet

1/31 REGRESSIONSANALYS. Statistiska institutionen, Stockholms universitet 1/31 REGRESSIONSANALYS F1 Linda Wänström Statistiska institutionen, Stockholms universitet 2/31 Kap 4: Introduktion till regressionsanalys. Introduktion Regressionsanalys är en statistisk teknik för att

Läs mer

Uppgift 1 (a) För två händelser, A och B, är följande sannolikheter kända

Uppgift 1 (a) För två händelser, A och B, är följande sannolikheter kända Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 9:E JUNI 205 KL 4.00 9.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Strukturakademin 10 Portföljteori

Strukturakademin 10 Portföljteori Strukturakademin 10 Portföljteori 1. Modern Portföljteori 2. Diversifiering 3. Korrelation 4. Diversifierbar samt icke-diversifierbar risk 5. Allokering 6. Fungerar diversifiering alltid? 7. Rebalansering/Omallokering

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 11 Regressionsanalys fortsättning Modellval

TAMS65 - Föreläsning 11 Regressionsanalys fortsättning Modellval TAMS65 - Föreläsning 11 Regressionsanalys fortsättning Modellval Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Repetition (t-test för H 0 : β i = 0) Residualanalys Modellval Framåtvalsprincipen

Läs mer

Tentamen i Tillämpad statistisk analys, GN, 7.5 hp. 23 maj 2013 kl. 9 14

Tentamen i Tillämpad statistisk analys, GN, 7.5 hp. 23 maj 2013 kl. 9 14 STOCKHOLMS UNIVERSITET MT4003 MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik 3 maj 013 Lösningar Tentamen i Tillämpad statistisk analys, GN, 7.5 hp 3 maj 013 kl. 9 14 Uppgift 1 a Eftersom

Läs mer

Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori

Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori Statistiska institutionen Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori 23 JANUARI 2009 2 Sannolikhetsteorins grunder 1. Tre vanliga symmetriska tärningar kastas. Om inte alla tre tärningarna visar sexa,

Läs mer

Laboration 4 R-versionen

Laboration 4 R-versionen Matematikcentrum 1(5) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 VT13, lp3 Laboration 4 R-versionen Regressionsanalys 2013-03-07 Syftet med laborationen är att vi skall bekanta oss med lite av de funktioner

Läs mer

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U.

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U. Veckoblad 3 Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U. ya begrepp: likformig fördelning, hypergeometerisk fördelning, Hyp(, n, p), binomialfördelningen, Bin(n, p), och Poissonfördelningen, Po(λ). Standardfördelningarna

Läs mer

1 LP-problem på standardform och Simplexmetoden

1 LP-problem på standardform och Simplexmetoden Krister Svanberg, mars 202 LP-problem på standardform och Simplexmetoden I detta avsnitt utgår vi från LP-formuleringen (2.2) från föreläsning. Denna form är den bäst lämpade för en strömlinjeformad implementering

Läs mer

Riskbegreppet kopplat till långsiktigt sparande

Riskbegreppet kopplat till långsiktigt sparande Riskbegreppet kopplat till långsiktigt sparande Vad är risk? På de finansiella marknaderna är en vedertagen och accepterad definition av risk att den definieras som variation i placeringens avkastning.

Läs mer

Inlämningsuppgift 1: Portföljvalsteori

Inlämningsuppgift 1: Portföljvalsteori STOCKHOLMS UNIVERSITET 20 november 2006 Matematiska institutionen Avd. för matematisk statistik Mikael Andersson Inlämningsuppgift 1: Portföljvalsteori Syftet med denna inlämningsuppgift är att ni skall

Läs mer