Black-Scholes. En prissättningsmodell för optioner. Linnea Lindström

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Black-Scholes. En prissättningsmodell för optioner. Linnea Lindström"

Transkript

1 Black-Scholes En prissättningsmodell för optioner Linnea Lindström Vt 2010 Examensarbete 1, 15 hp Kandidatexamen i matematik, 180 hp Institutionen för matematik och matematisk statistik

2 Sammanfattning Uppsatsens mål är att härleda Black-Scholes ekvation för läsare utan avancerade kunskaper inom finansiering och matematik. För att lyckas med detta innehåller uppsatsen ett teorikapitel där begrepp så som optioner, ränta, differentialekvation och stokastisk variabel förklaras. Där presenteras även teorier för stokastiska processer så som Wienerprocessen och Itoprocessen. I kapitlet om Black-Scholes modell används Itoprocessen för att beskriva aktiepriset och med hjälp av Itos lemma härleds Black-Scholes ekvation. Uppsatsen ställer upp antaganden som gäller för Black-Scholes modell och använder sedan Black-Scholes ekvation för att beräkna priset på en europeisk köpoption. Avslutningsvis beskrivs exotiska optioner samt hur optioner kan användas för att reducera risker. Abstract This paper aims to derive the Black-Scholes equation for readers without advanced knowledge in finance and mathematics. To succeed, this paper contains a theoretical chapter in which concepts such as options, interest rate, differential equations and stochastic variable are explained. This paper also presents the theory of stochastic processes such as the Wiener process and Ito process. In the chapter on the Black-Scholes model the Ito process is used to describe price of shares and with the help of Ito's lemma Black-Scholes equation can be derived. In the paper, assumptions are listed that apply to the Black-Scholes model and then uses the Black-Scholes equation to calculate the price of a European call option. Finally, exotic options are described and also how options can be used to reduce risks. 1

3 Innehåll Kapitel 1. Inledning Ämnesval Förförståelse Problem och målsättning Syfte Uppsatsens upplägg... 2 Kapitel 2. Grundläggande teori Optioner Ränta Enkel ränta Sammansatt ränta Sammansatt ränta uppdelad i intervaller Kontinuerlig ränta Differentialekvation Stokastisk variabel Fördelningsfunktion Täthetsfunktion Normalfördelning Stokastisk process Wienerprocess Itoprocess Itointegral Itos lemma Kapitel 3. Black-Scholes modell Aktiepriset Optionspriset i Black- Scholes modell Härledning av Black-Scholes formel för europeisk köpoption Black-Scholes prissättning av europeiska köp- och säljoptioner Optioner Exotiska optioner Hedging med optioner Optioner och spekulation

4 3.4 Greker Delta Gamma Kapitel 4. Slutdiskussion Källförteckning

5 Kapitel 1. Inledning 1.1 Ämnesval Under de senaste tre åren har jag läst företagsekonomi och då arbetet med denna uppsats påbörjades var jag färdig med en kandidatexamen i företagsekonomi. Under mina ekonomistudier läste jag några kurser i finansiering och därför var det naturligt att välja ett ämne som inriktar sig mot den finansiella marknaden. Jag ville gå längre än att bara undersöka aktiemarknaden och valde därför att titta närmare på optioner, som är ett instrument som beror på en eller flera underliggande tillgångar som till exempel aktier. Optioner var jag tidigare bara ytligt bekant med och därför ville jag genom detta arbete förstå optioners uppbyggnad och hur optioner kan värderas och prissättas. 1.2 Förförståelse Hösten 2004 påbörjade jag lärarutbildningen med inriktning mot matematik på Umeå Universitet. Jag läste tre terminer matematik innan jag övergick till företagsekonomi. Jag har sedan hösten 2006 läst på servicemanagement programmet här i Umeå och avslutade mina ekonomistudier i januari Under våren 2010 har jag haft som mål att skriva kandidatuppsats i matematik samt läsa kursen Finansiell Matematik för att på så sätt kunna ta ut en kandidatexamen i matematik. Under mina studier i matematik har jag läst följande kurser: Matematisk grundkurs, Algebra, Analys 1, Analys 2, Problemlösning i matematik, Diskret matematik, Linjär algebra, Statistik för lärare, Matematikens historia, Analys 3 och Geometri C. De förkunskaper jag har från mina studier i företagsekonomi är 15 hp i Financial Markets and Institutions samt Financial Planning. Dessa har gett mig ett intresse för den finansiella marknaden men utöver det inte några djupare kunskaper om finansiella produkter och instrument. Mina kunskaper inför denna uppsats består alltså av grundläggande matematikkunskaper samt en del kunskaper om hur finansiella marknaden ser ut och vilka aktörer som spelar på denna. 1.3 Problem och målsättning För att kunna läsa och förstå de texter som finns kring en matematisk härledning av Black- Scholes ekvation krävs en hel del förkunskaper. I denna uppsats avser jag att ge läsaren en teoretisk grund som är nödvändig för att på ett intuitivt sätt kunna härleda Black-Scholes ekvation. Om begreppsförklaringar har legat på för avancerad nivå har jag försökt beskriva begreppet med färre komponenter för att underlätta förståelsen för läsare med inte allt för avancerade kunskaper inom matematik. Till exempel förklaras Itointegralen på ett sådant sätt, där jag alltså har förkortat och förenklat beskrivningen. Emellanåt har jag stött på teoretiska hål i litteraturen där jag saknar härledningar och uträkningar. I uppsatsen avser jag att fylla dessa mer utförligt, till exempel hur Black-Scholes ekvation används för att beräkna priset på en europeisk köpoption. Uträkningen av en portföljs delta och gamma som finns i uppsatsens sista sidor har även den saknats i litteraturen. Uppsatsen mål blir därmed att härleda Black-Scholes ekvation för läsare utan avancerade kunskaper inom finansiering och matematik. Jag vill ge läsaren en tydlig och övergriplig bild 1

6 av hur Black-Scholes är uppbyggd och hur optioner fungerar. Mot slutet av uppsatsen visar jag även hur en investerare kan använda sig av optioner för att reducera risk genom så kallad hedging. 1.4 Syfte Syftet med denna uppsats är att studera hur optioner kan prissättas med hjälp av Black-Scholes modell. Uppsatsen syftar till att ge läsaren de verktyg som behövs för att på ett intuitivt sätt förstå hur Black-Scholes ekvation kan härledas och användas. Detta genom att från riskfri ränta via matematiska teorier visa på en modell som förklarar hur värdet på tillgångar på en marknad förändras över tid. 1.5 Uppsatsens upplägg Uppsatsen börjar med ett teorikapitel som är tänkt att ge läsaren den teoretiska bas som behövs för vidare läsning. I kapitlet visar jag vad ränta är och hur den kan beräknas samt användas. Nästa del går grundläggande igenom differentialekvationer som behövs för att beskriva hur aktiepriset förändras. Aktiepriset varierar slumpmässigt och därför beskrivs i ett avsnitt stokastisk variabel och att variationen för en stokastisk variabel kan beskrivas med fördelnings- och täthetsfunktionen. Vi behöver även kunskap om normalfördelning samt stokastiska processer som kapitlet tar upp. Kapitlet avslutas med Itos lemma som används för att härleda Black-Scholes ekvation. Kapitel 3 tar upp hur aktiepris förändras över tid och hur detta påvekar priset på optioner som är skrivna på aktien. Optioner i allmänhet beskrivs men även exotiska optioner och hur de används. Avslutningsvis beskrivs greker och hur dessa beräknas samt används. 2

7 Kapitel 2. Grundläggande teori 2.1 Optioner En option ger dig som köpare rättigheten, inte skyldigheten, att i framtiden köpa eller sälja en finansiell tillgång till ett i förväg bestämt pris så kallat lösenpris, K. Vanliga optioner är köpoption och säljoption. Köpoptionen ger innehavaren rätt att köpa en tillång till ett bestämt pris, K, medan säljoptionen ger innehavaren rätt att sälja en tillgång till ett visst pris. 1 Den som skriver (säljer) optionen sägs ha en kort position och om man köper en option har man lång position. Det finns två olika sorters optioner när det gäller vid vilken tidpunkt som innehavaren har möjlighet att använda sin option. En amerikansk option kan lösas in när som helst fram till slutdagen medan en europeisk option endast kan lösas in på slutdagen. Ett optionskontrakt innehåller i normalfallet 100 optioner som ger innehavaren rätten att sälja eller köpa 100 aktier. 2 Optioner kan ha många olika underliggande finansiella tillgångar exempelvis terminskontrakt, guld, olja et cetera. I denna uppsats begränsas dock underliggande tillgångar till aktier. En europeisk köpoptions värde för en investerare med lång position är, där är aktiepriset vid slutdagen T. Om aktiepriset är lägre än lösenpriset är optionen värdelös då aktien kan köpas billigare på marknaden. Om optionen hålls i kort position blir värdet. 3 Optionens värde Köpoption, kort position Optionens värde Köpoption, lång position K S(T) K S(T) 1 Hull, John.C. Options, futures and other derivatives. Sjätte upplagan. (New Jersey: Pearson Prentice Hall, 2006), 6 2 Ibid., 6 3 Ibid., 185 3

8 Värdet på en europeisk säljoption som hålls i lång position är eftersom optionen endast används om det förutbestämda priset är högre än marknadens. En säljoption som hålls i kort position har värdet. 4 Optionens värde Säljoption, lång position Optionens värde Säljoption, kort position K S(T) K S(T) 2.2 Ränta Enkel ränta Räntan beskriver hur mycket dina pengar växer under en viss tidsperiod. Om du sätter in 100 kronor på ett bankkonto med ränta 5% per år har du efter ett år inte bara de 100 kronorna du satt in utan även påslagen ränta på 5%, det vill säga kr. Du har alltså fått 5 kronor i ränta. Med andra ord kan detta beskrivas som, där V är värdet efter 1 år, A är beloppet som sätts in och r är den årliga räntan. 5 Om du behåller pengarna på kontot mer än 1 år, låt oss säga till exempel 2 år läggs, räntorna ihop så att du efter 2 år har % d.v.s. 10% i ränta. På hundra kronor blir det då kr, där räntan nu har ökat till 10 kr. Detta kan skrivas som där n är antal år. Värdet på konton växer därmed linjärt med tiden Sammansatt ränta Ett annat sätt att beräkna ränta är genom så kallad sammansatt ränta där den utbetalda räntan finns kvar på kontot och tas med i beräkningen för den kommande räntan. Det blir en räntapå-ränta -effekt. För att utveckla mitt tidigare exempel; om du sätter in 100 kr på ett konto med 5% ränta per år har du nu efter två år 115,80 kr. Första året får du som tidigare kr, år 2 fås nu kr istället för 110 kr som fallet med enkel ränta. För godtyckliga tal får vi formeln;. Detta kallas alltså för sammansatt ränta eller kumulativ ränta. 7 4 Hull, Luenberger, David. G. Investment Science. (New York: Oxford University Press, 1998), Ibid., Ibid., 14 4

9 Enkel ränta Sammansatt ränta Figuren visar att enkel ränta växer linjärt medan sammansatt ränta växer exponentiellt Sammansatt ränta uppdelad i intervaller De två ovan diskuterade räntorna beräknas per år och talar om hur mycket, i detta fall, banken ska betala i ränta på dina insatta pengar. Räntan beräknas och betalas ut i slutet av året och för att få en mer rättvis och effektiv ränta beräknar idag banker ränta månadsvis, veckovis eller ibland dagligen. Räntan betalas dock fortfarande ut vid årets slut men då med hänsyn tagen till hur mycket pengar som funnits på kontot under olika tidpunkter under året, beroende på vilka tidsintervaller som räntan baseras på. Till exempel om räntan beräknas per kvartal och årsräntan är som tidigare 5% ger detta en kvartalsränta på %. I mitt tidigare exempel på 100 kr får vi nu efter 3 månader kr, efter ytterligare 3 månader beräknas räntan på 101,25 kr istället och värdet på kontot blir kr. Nästa gång räntan beräknas, baseras den på 102,51 kr vilket då ger värdet kr, och slutligen efter 4 kvartal, det vill säga ett år, har värdet på kontot stigit till 105,09 kr efter sista beräkningen kr. Vid denna metod är räntan alltså något större jämfört med sammansatt ränta beräknad på årsbasis. 5,09 kr istället för kr. Detta ger oss i slutändan en formel där m är hur många gånger under ett år som räntan beräknas, k är antal perioder samt r räntan per år. I detta fall är m=4 och k=4. I slutändan har bankkontot haft en ränta på kr det vill säga en effektiv ränta på 5,09%. Räntan per år, 5%, benämns den nominella räntan Kontinuerlig ränta Om vi tänker oss att tidsperioderna blir kortare och kortare så får vi en kontinuerlig ränta. Om vi delar upp ett år i oändligt många tidsperioder kan vi använda oss av att där e =2, är basen för den naturliga logaritmen. Effektiva räntan är den ränta som ger. Om den nominella räntan är 5% blir den kontinuerliga räntan =1, Luenberger, 15 5

10 Det vill säga att den effektiva räntan är 5,13 kr per år jämfört med 5,09% som vi fick genom sammansatt ränta per kvartal. 9 Om vi vill veta hur mycket som finns på kontot efter en viss tid kan vi använda formeln där t står för antal år och värdet på insättningen efter tidsperioden t Differentialekvation Den kontinuerliga räntan kan även beskrivas som en differentialekvation vilket kommer visa sig användbart när priset för en aktie ska beräknas. En differentialekvation beskiver förhållandet mellan en okänd funktion, y, och dess derivator, vilket kan bestå av en eller flera. Till exempel både y och y, det vill säga funktionens förstaderivata samt andraderivata. 11 Differentialekvationen för den kontinuerliga räntan ser ut som följande: där står för förändringar i insatta beloppet A med avseende på tiden t. Lösningen på ekvationen ges av, där t står för antal år, värdet på insättningen efter tidsperioden t och r för den nominella räntan. Vidare är en differentialekvation separabel om den går att skriva om så att de oberoende variablerna står på en sida och det beroende variablerna finns på den andra. De separabla ekvationerna står oftast på formen och skrivs om till. Ekvationen löses sedan genom att integrera bägge sidorna. 12 I vårt fall skrivs ekvationen (t) om till, som vi använder då aktiepriset diskuteras senare i uppsatsen. 2.3 Stokastisk variabel Uttrycket slump och slumpvariabel används ofta när ett utfall är okänt. Till exempel är det slumpen som avgör vilken sida en tärning hamnar på. Sannolikhetsläran bygger på just hur denna slump kan förväntas visa sig i olika situationer, beroende på hur stor sannolikhet varje utfall har. En variabel vars utfall beror på slumpen kallas stokastisk variabel. För att förklara detta närmare behöver ett par begrepp definieras. Utfall är resultatet av ett slumpmässigt försök 9 Luenberger, Ibid., Adams, Robert A. Calculus. Andra upplagan. (Canada: Pearson Education, 2003), Ibid., 465 6

11 och betecknas och utfallsrummet,, beskriver mängden möjliga utfall. Stokastiska variabler betecknas oftast med stora bokstäver i slutet av alfabetet X, Y, Z. 13 Exempel: tärningskast. En person spelar ett spel som har följande regler. Personen får kasta en tärning en gång. Personen får 10 kr om han eller hon får ett, 20 kr om han eller hon får två eller tre, samt 40 kr om han eller hon får fyra, fem eller sex. Beloppet som personen vinner är vår slumpvariabel X som alltså kan anta värdena 10, 20 eller 40 det vill säga värdemängden är {10,20,40}. Utfallsrummet blir där betecknar utfallet av tärningens värde. Vi tilldelar alltså varje utfall ett värde enligt nedan En stokastisk variabel kan vara diskret eller kontinuerlig. En diskret variabel kan bara anta ett uppräkneligt antal olika värden medan en kontinuerlig variabel kan anta alla värden i ett intervall. 15 I exemplet ovan är slumpvariabeln diskret Fördelningsfunktion För att förklara hur en stokastisk variabel varierar studeras variabelns fördelningsfunktion. För en slumpvariabel X definieras fördelningsfunktionen,, som: vilket beskriver sannolikheten att X antar ett värde mindre eller lika med x och gäller för alla x inom intervallet Blom, Gunnar. Sannolikhetsteori med tillämpningar. Andra upplagan. (Lund : Studentlitteratur, 1984), 17, Ibid., Ibid., 56, Ibid., 54 7

12 Exempel: tärningskast fortsättning. 1 1/2 1/6 x För att få fram fördelningsfunktionen för vår stokastiska variabel (som är diskret) i vårt exempel om tärningskast beräknar vi fram sannolikheten,, för utfallen och hur fördelningsfunktionen ser ut för varje x /6 [ ] 1/6 (0+1/6) 1/6+1/6=2/6 [ 3/6 (1/6+2/6) 1/6+1/6+1/6=3/6 1 (3/6+3/6) Nu har vi sett hur fördelningsfunktionen för en diskret variabel beräknas och kan se ut. Nedan följer egenskaper för fördelningsfunktionen i allmänhet är en växande funktion av, dvs. om så gäller a b 17 Blom,

13 3. är kontinuerlig till höger för varje. Vidare gäller även: 4. Om så gäller att Täthetsfunktion När den stokastiska variabeln är kontinuerlig kan som tidigare nämnts utfallen anta alla värden inom ett eller flera intervall. Det gör att det inte går att tilldela varje utfall en sannolikhet då det finns oändligt många. Detta leder till att det inte heller finns någon sannolikhetsfunktion vilket gör att vi inte kan använda formeln som vi använde för beräkning av fördelningsfunktionen i det diskreta fallet. Vi har istället en annan formel för fördelningsfunktionen för den kontinuerliga stokastiska variabeln, X: där funktionen kallas för täthetsfunktionen för X. 19 På bilden nedan kan vi se ett exempel på hur en täthetsfunktion kan se ut. För en kontinuerlig stokastisk variabel gäller att, för, Vidare är det intressant att notera att hela arean under täthetsfunktionen blir 1. Om man låter x gå mot i vår formel för fördelningsfunktionen för kontinuerlig variabel får vi eftersom då går mot Blom, Ibid., Ibid., 63 9

14 2.4 Normalfördelning Det finns många olika kontinuerliga fördelningar varav en är normalfördelningen. En variabel X som har täthetsfunktionen och fördelningsfunktionen där m och är givna storheter (, sägs ha en normalfördelning. Detta betecknas. 21 Om den stokastiska variabeln har normalfördelning med och kallas fördelningen standardiserad normalfördelning. Täthetsfunktionen för denna betecknas, och fördelningsfunktionen. Dessa ges av Stokastisk process Från en stokastisk variabel ska vi nu gå ett steg längre och undersöka en stokastisk process som är tidsordnad. Teorierna inom stokastiska processer kan användas till att studera allt från hur radioaktivt sönderfall sker, hur bakteriepopulationer utvecklas, hur trafiken varierar i en vägkorsning till hur aktiepriser varierar. 23 En stokastisk process är en familj med bestämd värdemängd S. Där av slumpvariabler definierade på utfallsrummet för alla är t.ex. är värdemängden Blom, 68, Ibid., Ibid., Grimmett, R. Geoffrey och David R. Stirzaker. Probability and Random Processes. Tredje upplagan. (Oxford: University Press, 2001),

15 Exempel: kunder i en affär Under tidsintervallet t,, låter vi räkna hur många kunder som finns inne i en butik. Här har vi alltså en stokastisk process med kontinuerlig tid men diskret variabel. Kunderna kan gå in och ut ur butiken under vilken tid som helst inom tidsintervallet men antalet kunder är ett diskret värde {0,1,2,3,4}. X(t) a b t Vi låter vara antalet kunder i butiken vid tidpunkten t. Kurvan förflyttar sig uppåt ett steg då en ny kund kommer in i butiken och kurvan går ner ett steg då en kund lämnar butiken. Vi har alltså en stokastisk process. Sammanfattningsvis är en stokastisk variabel vars värde förändras slumpmässigt över tiden en stokastisk process. Det finns två olika typer av stokastiska processer med avseende på tiden, diskret och kontinuerlig. I den diskreta kan objektet enbart ändra värde vid bestämda tillfällen medan i en kontinuerlig kan värdet förändras närsomhelst. På samma sätt kan man dela upp stokastiska processer med avseende på värdet då en diskret variabel kan anta ett antal diskreta värden medan kontinuerliga variabler kan anta vilka värden som helst inom ett intervall Wienerprocess En stokastisk process följande egenskaper: är en standardwienerprocess om den uppfyller (1) med sannolikhet 1. (2) Processen är tidskontinuerlig på [0,T) med sannolikheten 1. (3) För varje är stokastiska variablerna oberoende av varandra. (4) för varje 25 Hull,

16 Vilket betyder att värdet på och då s är, i väntevärdes mening i genomsnitt, lika, medan har en varians på. Egenskaperna (1) och (4) leder tillsammans fram till att vi kan skriva För kan vi kalla processen en Wienerprocess med drift och diffusionskoefficient ( betecknas där om är en standardwienerprocess. 26 Att Wienerprocessen är som ovan nämnts normalfördelad med väntevärde noll kan visas genom där enligt ovan. Att variansen är t kan visas genom Vi kan skriva om Wienerprocessen från ovan till Vi får den generella Wienerprocessen genom en stokastisk differentialekvation Då vi låter och bero på tiden,, kan vi definiera en Wienerprocess med drift och diffusionskoefficient genom stokastiska differentialekvationen vilket betyder 27 Integralen beskrivs i avsnitt Glasserman, Paul. Monte Carlo Methods in Financial Engineering. (USA: Springer, 2004), Ibid., 80 12

17 2.7 Itoprocess En process { kallas för en Itoprocess om man kan skriva 28 där är en stokastisk variabel som beror på tiden t står för värdet av vid tidpunkten 0, integralen är en Riemannintegral samt som är en stokastisk integral som benämns Itointegral. 29 Slutligen kan vi förkorta och skriva om vår Itoprocess till 30 Eftersom Wienerprocessens vägar är av oändlig variation och inte är deriverbar i någon punkt kan den inte integreras med vanliga metoder Itointegral Vi ska nu visa att en integral existerar, där är en Wienerprocess som startar i origo och där. Antag att och givet. Vi vill definiera och vi antar vidare att har formen där står för indikatorfunktionen och n står för naturliga tal Glasserman Øksendal, Bernt. Stochastic Diffential Equations. Femte upplagan. (Germany: Springer, 2000), Glasserman, Øksendal, Ibid., 23 13

18 Genom att välja litet Vi kan approximera en given funktion med där punkterna ingår i intervallet [ ]. Sedan definieras som gränsvärdet till när. Till skillnad från vanlig integration (Riemann-stiltjes) spelar det roll vilka punkter vi väljer. Under konceptet Itointegral väljer vi punkterna så att, det vill säga ändpunkten till vänster. Itointegralen av (från S till T) definieras som 33 där är en mängd elementära funktioner så att 34 Exempel: Om vi har en integral så får vi 33 Øksendal, Ibid., 29 14

19 Vi kan skriva, vilket är samma som Vi kan nu sätta Vidare kan vi använda konventionen att och får eftersom Itos lemma Anta att den stokastiska processen är en Itoprocess, det vill säga det är en stokastisk process som är en lösning till den stokastiska differentialekvationen där är en Wienerprocess och a och b är funktioner av X och t. Antag även en funktion G som är en funktion av X och t. Enligt Itos lemma följer då G processen där är samma Wienerprocess som i ekvationen ovan Luenberger,

20 Kapitel 3. Black-Scholes modell 3.1 Aktiepriset Om S står för aktiepriset vid tiden t bör den förväntade avkastningen vara µs för en konstant parameter. Efter en kortare tid blir den förväntade avkastningen då S, där är den förväntade avkastningen på aktien uttryckt i decimalform. Om aktiepriset inte varierar kan aktieprisets förändring beskrivas som. 36 Låt Δ t 0, då vilket är ekvivalent med Om vi integrerar får vi där är aktiepriset vid tiden 0 och är aktiepriset vid tiden T. Ekvationen visar att aktiepriset växer enligt en kontinuerlig sammansatt ränta med hastigheten. 37 Men i verkligheten finns det en osäkerhet i aktiepriset som vi bör ta hänsyn till. Denna osäkerhet benämns volatilitet och är standardavvikelsen på prisförändringen. Volatiliteten ger ett mått hur aktiepriset förväntas fluktuera det kommande året och ligger vanligtvis mellan 15% och 60%. 38 Under en kortare tidsperiod kan man anta att volatiliteten är proportionell mot aktiepriset vilket leder oss till följande modell: vilket är ekvivalent med där är volatiliteten i aktiepriset och är den förväntade avkastningen. 39 Från Itos lemma får vi att en funktion satisfierar stokastiska differentialekvationen Låter vi får vi,, som i sin tur ger Hull, Ibid., Ibid., Ibid., Ibid.,

21 Eftersom och är konstanter visar ekvationen att följer en generaliserad Wienerprocess som har drift och diffusionskoefficient. Förändringen i i tidsintervallet [0,T) är därför normalfördelad med väntevärde och varians. Detta betyder och där är aktiepriset vid tidpunkten T, är aktiepriset vid tidpunkten noll och där beteckningen står för en normalfördelning med väntevärde m och standardavvikelse s. 41 En variabel som har sin naturliga logaritm normalfördelad har själv en lognormal fördelning, vilket ger att aktiepriset vid tiden T, givet priset idag, är lognormalfördelad. 42 Det vill säga där x är den årliga kontinuerliga sammansatta räntan mellan tiden 0 och T. Vi får då vilket ger oss enligt ekvationen ovan att 43 Vi kan nu skriva där. Nedan visas hur aktiepriset kan se ut under ett år. Det blir tydligt att det inte går att använda deterministiska komponenter för att beskriva denna förändring utan stokastiska processer är nödvändiga. Pris per aktie, kr 2,25 1,75 1,25 0,75 Dagar Figuren visar hur aktiepriset för ett svensk flybolag har varierat under tidsperioden till Hull, Ibid., Ibid., %29%29%29, ,

22 3.2 Optionspriset i Black- Scholes modell Black-Scholes modell beskriver hur europeiska optioner prissätts och modellen har haft stort inflytande i hur optioner ska prissättas. Skaparna Fisher Black och Myron Scholes belönades 1997 Sveriges riksbanks pris i ekonomisk vetenskap till Alfred Nobels minne för sin modell. Modellen antar att förändringar i aktiepriset under en kortare tidsperiod kan antas vara normalfördelade med den förväntade avkastningen per år och volatiliteten. 45 Antaganden för Black- Scholes modellen: 1. Aktiepriset S följer processen där och är konstanter. 2. Blankning med full avkastning är tillåten. 3. Det finns inga transaktionskostnader eller skatter samt alla värdepapper går bra att dela. 4. Det är inga utdelningar under derivatinstrumentens livstid. 5. Det finns inga riskfria arbitragemöjligheter. 6. Handel med derivatinstrument sker kontinuerligt. 7. Den riskfria räntan, r, är konstant det vill säga lika för alla slutdatum. Dessa antaganden säger att man kan skapa en riskfri portfölj bestående av aktier och aktieoptioner eftersom de beror på samma underliggande faktor, förändringar i aktiepriset S. Denna portfölj har samma ränta som den riskfria räntan vilket ges av antagandet om en arbitragefri marknad. I en sådan portfölj finns en korrelation mellan priset på optionen, C, och priset på aktien, S. Till exempel kan beroendet ha följande utseende vilket betyder att för varje option man håller i kort position har man 0,4 aktier i lång position. Det ger att man vet värdet på portföljen utan någon osäkerhet. Detta gäller dock under ett mycket kort tidsintervall och portföljen måste hela tiden justeras för att behållas riskfri. 46 Med detta som bas kan vi nu härleda Black-Scholes differentialekvation. Vi har sedan tidigare att aktiepriset följer Vi antar nu att är priset på en köpoption som beror på aktiepriset och är en funktion av S och t. Då får vi från Itos lemma att 45 Hull, Ibid.,

23 Dessa båda ekvationer kan skrivas på diskret form som där och är förändringar i och under ett kort tidsintervall. 47 Låt beteckna en portfölj där värdet ges av vilket fås från de antaganden som gäller för Black-Scholes, det vill säga portföljen innehåller en option i kort position och aktier i lång position. 48 Vi kan nu se att förändring i värdet av portföljen ges av Vi kan nu sätta in ekvationerna för och som vi har sedan tidigare och får då Enligt portföljens ekvation måste portföljen vara riskfri under tidsintervallet eftersom ekvationen inte längre innehåller. Vidare måste vara samma som den riskfria räntan på grund av antagandet om arbitragefri marknad. Vi kan nu skriva där r står för den riskfria räntan. 49 Då vi tidigare har ett uttryck för och får vi 47 Hull, Ibid., Ibid.,

24 Vilket kan skrivas om till Denna ekvation är Black-Scholes ekvation! Den kan användas för alla derivatinstrument som har den underliggande variabeln S. En funktion som är en lösning på Black-Scholes ekvation är även priset som derivatinstrumentet kan säljas och köpas för. Till exempel är en lösning på ekvationen då, och vilket gör att ekvationen blir Härledning av Black-Scholes formel för europeisk köpoption Vi ska nu försöka hitta priset på en europeisk köpoption det vill säga en funktion löser Black-Scholes ekvation och som även uppfyller randvillkoren som 51 Värdet på vid en framtida tidpunkt givet aktiepriset vid den tiden är där K är lösenpris. För att underlätta våra beräkningar låter vi genom och beräknar priset på en köpoption, C där och. Vi ändrar integrationsgränserna så att, det vill säga så att, eftersom i annat fall är funktionen vi integrerar över noll. 50 Hull, Ibid.,

25 Vi får Vi har nu två integraler som vi vill skriva på formen där är den kumulativa sannolikhetsfördelningen för en standardiserad normalfördelning som beskrevs i avsnitt 2.4. Det vill säga sannolikheten för att en variabel som är normalfördelad, är mindre än. Vi börjar med första integralen (1) (2) (3) (4) (1) Sätter ihop termer på basen e (2) Genom kvadratkomplettering (3) Bryter ut (4) Genom substitution sätt då blir 21

26 När vi byter till ändras även integrationsgränsen q till. Värdet på får vi ut då vi vet alltså kan vi skriva Nu kan vi skriva Påminner om den ursprungliga ekvationen: Som vi nu kan skriva Nu har vi bara kvar att byta plats på integrationsgränserna på andra integralen vilket vi gör genom att sätta. Vi får Värdet på får genom att vi vet 22

27 som ger Vi kan alltså slutligen skriva Vi kan på liknande sätt visa att priset för en europeisk säljoption, vid tiden, är Vi har nu härlett Black-Scholes modell som vi under nästa rubrik sammanställer Black-Scholes prissättning av europeiska köp- och säljoptioner Anta en europeisk option, som har lösenpris K och slutdatum T. Den underliggande aktien betalar ingen utdelning under tiden [0,T] och räntan r är konstant och kontinuerligt sammansatt. Priset om denna är en köpoption blir då vid godtycklig tid Priset om det är en säljoption blir vid godtycklig tid där Optioner Exotiska optioner Förutom de vanliga optionerna såsom köp- och säljoptioner finns en annan typ av optioner som har utvecklats på marknader utanför reglerade handelsplatser, så kallad OTC-marknaden. Optionerna går under samlingsnamnet exotiska optioner. Dessa kan även prissättas med hjälp 52 Hull, 295 och Luenberger,

28 av Black-Scholes genom vissa justeringar i formeln. Exempel på exotiska optioner är asiater, och barriärer vilka förklaras närmare nedan. 53 Vid handel med barriärer baseras optionens payoff (avkastning) på huruvida den underliggande tillgången, till exempel aktier, har nått särskilda nivåer under en viss tidsperiod. Nivån kallas för barriär och betecknas H. De delas upp i två olika kategorier, knock-out optioner eller knock-in optioner. Knock-out optioner upphör att gälla om aktierna har nått en viss prisnivå och knock-in gäller endast då aktierna har nått en viss prisnivå. De finns som både köp- och säljoption vilket ger oss fyra olika typer av barriärer. En köpoption som är en knock-in option, som kallas för down-and-in-call,. Om där och Payoff funktionen för en down-and-in-call blir om men om under intervallet upplöses optionen och eventuell vinst uteblir. Exempel: Vi köper en down-and-in-call som har H=100 och K=140. Efter 252 dagar då optionen har sitt slutdatum är värdet på optionen =30. Optionens värde är noll så länge priset på den underliggande aktien inte blir 100 eller lägre. Så snart aktiepriset når barriären omvandlas optionen till vanlig köpoption S(T)=170 K=140 H= T=252 dagar Asiater kallas optioner vars payoff beror på medelvärdet på priset, giltighetstid, där, under optionens. Förtjänsten från en average price call blir till exempel och från en average price put blir dess payoff, där är medelvärdet på den underliggande tillgången under en bestämd period Hull, Hull,

29 3.3.2 Hedging med optioner Genom att handla med optioner kan en investerare försäkra sig mot stora förluster om aktiepriset skulle sjunka. Detta brukar kallas för hedging som kommer från engelskan. Anta till exempel att vi har 1000 aktier i ett flygbolag som idag har spotpriset 100 kr. Vi är rädda att aktiepriset kommer att sjunka kraftigt inom 3 månader. Vi kan då köpa säljoptioner (europeiska) med lösenpris på 95 kr, som ger oss rätten att sälja våra aktier för 95 kr vid slutdagen T. Optionerna kostar 3 kr/st och för att täcka 1000 aktier köper vi optioner för 3000 kr. Värdet på vår portfölj idag är kr. Det lägsta värdet portföljen kan få är kr. Vi kan alltså alltid sälja för 95 kr men kostnaden för optionerna på måste tas med i beräkningen. Om aktiepriset stiger utnyttjas inte optionen men kostnaden på kr har vi fortfarande. Så värdet på vår portfölj om aktiepriset stiger är kr, där är aktiepriset vid tiden t. 55 Värdet för hela innehavet Hedging Utan hedging Aktiepriset Optioner och spekulation Optioner kan alltså användas som ett verktyg för att försäkra sig för stora förluster men optioner kan precis som aktier användas för spekulation. Exempelvis om man tror att ett bilföretags aktier kommer stiga i värde om 2 månader har man två val. Man kan köpa aktier idag som man sedan säljer till högre pris, om förväntningarna slår in. Eller så kan man köpa köpoptioner (europeiska) som ger rätten att köpa aktien till ett lägre pris än marknadspris och sedan sälja direkt till det högre marknadspriset vid slutdatumet, förutsatt att priset alltså har stigit. 55 Hull, 10 25

30 Exempel: Vi antar att vi kan spendera kr. Aktiepriset idag är 100 kr, optionens lösenpris är 105 kr och kostar 5 kr styck. 56 Vi har dessa alternativ: Alternativ 1) Köp 100 aktier för 100 kr/styck Alternativ 2) Köp 2000 (10 000/5) köpoptioner med lösenpris 105 kr. Tabellen nedan visar resultatet om aktiepriset sjunker till 80 kr eller stiger till 120 kr. Pris om två månader 80 kr/st 120 kr/st Köpa 100 aktier Köpa 2000 köpoptioner Vi kan tydligt se att vinsten blir betydligt större om vi köper optioner om priset stigit efter två månader, men förlusten blev även större vid en prisnedgång. Vinst Alt. 1 Alt Aktiepris Greker När optionens underliggande aktie förändras i exempelvis pris, förväntad avkastning eller volatilitet ändras även värdet på optionen. För att mäta hur känslig en portfölj som består av optioner är för förändringar i den underliggande aktien används så kallade greker. De beräknas genom att derivera Black-Scholes formel med avseende på olika parametrar. Vanliga mått som används är delta och gamma som mäter hur förändringar i aktiepriset påverkar portföljen. 56 Hull,

31 3.4.1 Delta Delta beskriver hur känsligt optionspriset är för förändringar i den underliggande aktiens pris. Det är alltså lutningen på den kurva som beskriver förhållandet mellan optionspris och aktiepris. Om optionen är en köpoption kan vi beskriva förhållandet enligt bilden nedan. Om aktiepriset stiger, stiger även värdet på optionen. 57 Optionspris B Lutningen=Δ A Aktiepris Vi definierar delta som där är optionspriset och är priset på den underliggande aktien. 58 Om delta är till exempel 0,6 betyder det att när aktiepriset ändras, ändras priset på optionen med ungefär 60% av storleken på förändringen på aktiepriset. 59 Från Black-Scholes formel för värdet av en europeisk köpoption där den underliggande aktien inte ger några utdelningar, kan delta nu beräknas som Enligt kedjeregeln och integralkalkylens fundamentalsats får vi; 57 Hull, Luenberger, Hull,

32 där och Vi har nu (1) (2) (3) (4) (5) (1) Sätter in (2) Utvecklar (3) Bryter ut och sätter in (4) (5) På samma sätt beräknas delta för en europeisk säljoption till Hull,

33 Att hålla sin portfölj deltaneutral betyder att en förändring i aktiepriset inte påverkar värdet på portföljen. Det vill säga vi har skapat en riskfri portfölj genom så kallad deltahedging. Värdet vi får fram när vi beräknar delta är antalet aktier som vi bör köpa för varje option vi har i kort position. 61 Observera att delta beror på både aktiepris och tid så vår deltaneutrala position hålls enbart under mycket kort tid. 62 Exempel på deltaneutral portfölj: Anta att vi har sålt 20 kontrakt på köpoptioner (kort position), det vill säga någon har rätten att köpa 2000 aktier till ett visst pris av oss. Om delta för köpoptionen var 0,6 kan vi hedga vår portfölj genom att köpa aktier (i lång position). Om priset på aktien stiger med 1 gör vi en vinst på aktierna på 1200, men tappar i värdet på våra optioner Gamma Eftersom en portfölj inte kan behållas deltaneutral behövs justeringar göras regelbundet. Gamma, beskriver förändringen i delta med hänsyn till förändringar i aktiepriset, så Gamma för en europeisk köp- och säljoption blir enligt Black-Scholes där Det vill säga gamma är andraderivatan av optionspriset med avseende på aktiepriset. Om gamma är litet vet vi att delta förändras sakta och vi behöver inte justera vår portfölj så ofta. Men om gamma är stort påverkas alltså portföljen av förändringar i aktiepriset och justeringar måste ske kontinuerligt om vi vill hålla portföljen deltaneutral. 64 Då det är kostsamt att justera sin portfölj är det gynnsamt att skapa en portfölj med litet gamma. 61 Hull, Luenberger, Hull, Ibid.,

34 Kapitel 4. Slutdiskussion Avsikten med uppsatsen var att på ett översiktligt och lättförståeligt vis förklara bakomliggande teorier samt härledning av Black-Scholes modell. Detta har jag gjort genom att studera litteratur inom området finansiell matematik men även litteratur som behandlat stokastiska processer och sannolikhetslära. På så sätt har jag kunnat framföra en version som även den med endast grundläggande matematikkunskaper på universitetsnivå kan ta till sig. Förutom matematiska utmaningar har jag stött på begrepp från den finansiella marknaden som jag behövt läsa in mig på samt försökt förklara på sådant sätt att även den utan avancerade förkunskaper ska förstå. Jag anser att jag har besvarat mitt syfte väl och genom mitt arbete har jag fått en ökad förståelse för hur matematik och finansiella produkter är sammanlänkade. Då det var länge sedan jag läste matematik har jag under arbetets gång fått repetera gammal kunskap vilket har varit mycket nyttigt. Jag har samtidigt stött på många nya begrepp och tillvägagångssätt både inom finans och matematik. Dessa tar jag med mig till vidare studier och förhoppningsvis kan de även bli användbara i framtida yrken. Avslutningsvis bör det poängteras att Black-Scholes formel endast beräknar optionspriset approximativt. Många antaganden som ligger till grund för modellen stämmer inte med verkligheten. Till exempel påverkas optionspriset i Black-Scholes till stor grad av hur risken och förväntad avkastning, det vill säga aktieprisets volatilitet beräknas. I modellen görs antagandet att aktiepriset är normalfördelat med förväntad avkastning per år och volatiliteten, vilket alltså inte alltid stämmer med verkligheten. Det visar sig ofta att aktieprisets utveckling har tjocka svansar jämfört med en normalfördelning. Black-Scholes modell förenklar och antar att avkastningen är normalfördelad men det finns andra modeller för att förklara finansiella marknader, dock är dessa ofta komplicerade och mer tidskrävande. 30

35 Källförteckning Litterära källor: Adams, Robert A. Calculus. Andra upplagan. (Canada: Pearson Education, 2003) Blom, Gunnar. Sannolikhetsteori med tillämpningar. Andra upplagan. (Lund: Studentlitteratur, 1984) Glasserman, Paul. Monte Carlo Methods in Financial Engineering. (USA: Springer, 2004) Grimmett, R. Geoffrey och David R. Stirzaker. Probability and Random Processes. Tredje upplagan. (Oxford: University Press, 2001) Hull, John.C. Options, futures and other derivatives. Sjätte upplagan. (New Jersey: Pearson Prentice Hall, 2006) Jorion, Philippe. Value at Risk, the new benchmark for managing financial risk. Tredje upplagan. (USA: McGrav Hill, 2007) Luenberger, David. G. Investment Science. (New York: Oxford University Press, 1998) Øksendal, Bernt. Stochastic Diffential Equations. Femte upplagan. (Germany: Springer, 2000) Elektroniska källor: 31

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 3.

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 3. STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 2. Luenberger: 2:1-5, 9, 11, 12. Övning 1. Du lånar 200000 kr i en bank

Läs mer

Strukturakademin Strukturinvest Fondkommission FIGUR 1. Utdelning. Återinvesterade utdelningar Ej återinvesterade utdelningar

Strukturakademin Strukturinvest Fondkommission FIGUR 1. Utdelning. Återinvesterade utdelningar Ej återinvesterade utdelningar Del 3 Utdelningar Innehåll Implicita tillgångar... 3 Vad är utdelningar?... 3 Hur påverkar utdelningar optioner?... 3 Utdelningar och forwards... 3 Prognostisera utdelningar... 4 Implicita utdelningar...

Läs mer

Del 3 Utdelningar. Strukturakademin

Del 3 Utdelningar. Strukturakademin Del 3 Utdelningar Strukturakademin Innehåll 1. Implicita tillgångar 2. Vad är utdelningar? 3. Hur påverkar utdelningar optioner? 4. Utdelningar och Forwards 5. Prognostisera utdelningar 6. Implicita utdelningar

Läs mer

Strukturakademin Strukturinvest Fondkommission LÅNG KÖPOPTION. Värde option. Köpt köpoption. Utveckling marknad. Rättighet

Strukturakademin Strukturinvest Fondkommission LÅNG KÖPOPTION. Värde option. Köpt köpoption. Utveckling marknad. Rättighet Del 11 Indexbevis Innehåll Grundpositionerna... 3 Köpt köpoption... 3 Såld köpoption... 3 Köpt säljoption... 4 Såld säljoption... 4 Konstruktion av Indexbevis... 4 Avkastningsanalys... 5 knock-in optioner...

Läs mer

Ytterligare övningsfrågor finansiell ekonomi NEKA53

Ytterligare övningsfrågor finansiell ekonomi NEKA53 Ytterligare övningsfrågor finansiell ekonomi NEKA53 Modul 2: Pengars tidsvärde, icke arbitrage, och vad vi menar med finansiell risk. Fråga 1: Enkel och effektiv ränta a) Antag att den enkla årsräntan

Läs mer

Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid 79-14 Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Slumpvariabel En variabel för vilken slumpen bestämmer utfallet. Slantsingling, tärningskast,

Läs mer

Ekonomisk styrning Delkurs Finansiering

Ekonomisk styrning Delkurs Finansiering Ekonomisk styrning Delkurs Finansiering Föreläsning 10 Optioner BMA: Kap. 20 Jonas Råsbrant jonas.rasbrant@indek.kth.se Föreläsningens innehåll Vad är en option? Köp- och säljoptioner Olika typer av optioner

Läs mer

Del 1 Volatilitet. Strukturakademin

Del 1 Volatilitet. Strukturakademin Del 1 Volatilitet Strukturakademin Innehåll 1. Implicita tillgångar 2. Vad är volatilitet? 3. Volatility trading 4. Historisk volatilitet 5. Hur beräknas volatiliteten? 6. Implicit volatilitet 7. Smile

Läs mer

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet

Läs mer

F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4)

F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4) Stat. teori gk, ht 006, JW F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.1-5.3, samt del av 5.4) Ordlista till NCT Random variable Discrete Continuous Probability distribution Probability distribution function Cumulative

Läs mer

under en options löptid. Strukturakademin Strukturinvest Fondkommission

under en options löptid. Strukturakademin Strukturinvest Fondkommission Del 1 Volatilitet Innehåll Implicita tillgångar... 3 Vad är volatilitet?... 3 Volatility trading... 3 Historisk volatilitet... 3 Hur beräknas volatiliteten?... 4 Implicit volatilitet... 4 Smile... 4 Vega...

Läs mer

Planering Matematik II Period 3 VT Räkna själv! Gör detta före räkneövningen P1. 7, 17, 21, 37 P3. 29, 35, 39 P4. 1, 3, 7 P5.

Planering Matematik II Period 3 VT Räkna själv! Gör detta före räkneövningen P1. 7, 17, 21, 37 P3. 29, 35, 39 P4. 1, 3, 7 P5. Avsnitt 1, Inledning ( Adams P1,P3,P4, P5) Genomgång och repetition av grundläggande begrepp. Funktion, definitionsmängd, värdemängd. Intervall. Olikheter. Absolutbelopp. Styckvis definierade funktioner.

Läs mer

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012 Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår

Läs mer

4 Diskret stokastisk variabel

4 Diskret stokastisk variabel 4 Diskret stokastisk variabel En stokastisk variabel är en variabel vars värde bestäms av utfallet av ett slumpmässigt försök. En stokastisk variabel betecknas ofta med X, Y eller Z (i läroboken används

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data

Läs mer

Del 7 Barriäroptioner. Strukturakademin

Del 7 Barriäroptioner. Strukturakademin Del 7 Barriäroptioner Strukturakademin Innehåll 1. Barriäroptioner 2. Exotisk option 3. Barriäroptioner med knock-in eller knock-out 4. Varför barriäroptioner? 5. Fyra huvudtyper av barriäroptioner 6.

Läs mer

F2 Introduktion. Sannolikheter Standardavvikelse Normalapproximation Sammanfattning Minitab. F2 Introduktion

F2 Introduktion. Sannolikheter Standardavvikelse Normalapproximation Sammanfattning Minitab. F2 Introduktion Gnuer i skyddade/oskyddade områden, binära utfall och binomialfördelningar Matematik och statistik för biologer, 10 hp Fredrik Jonsson Januari 2012 I vissa områden i Afrika har man observerat att förekomsten

Läs mer

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Diskreta slumpvariabler En slumpvariabel tilldelar tal till samtliga utfall i ett slumpförsök. Vi

Läs mer

Prissättning av optioner

Prissättning av optioner TDB,projektpresentation Niklas Burvall Hua Dong Mikael Laaksonen Peter Malmqvist Daniel Nibon Sammanfattning Optioner är en typ av finansiella derivat. Detta dokument behandlar prissättningen av dessa

Läs mer

Formelsamling för kursen Grundläggande finansmatematik

Formelsamling för kursen Grundläggande finansmatematik STOCKHOLMS UNIVERSITET 13 december 006 Matematiska institutionen Avd. för matematisk statistik Mikael Andersson Formelsamling för kursen Grundläggande finansmatematik 1 Fundamental Theorem of Asset Pricing

Läs mer

Del 16 Kapitalskyddade. placeringar

Del 16 Kapitalskyddade. placeringar Del 16 Kapitalskyddade placeringar Innehåll Kapitalskyddade placeringar... 3 Obligationer... 3 Prissättning av obligationer... 3 Optioner... 4 De fyra positionerna... 4 Konstruktion av en kapitalskyddad

Läs mer

Del 18 Autocalls fördjupning

Del 18 Autocalls fördjupning Del 18 Autocalls fördjupning Innehåll Autocalls... 3 Autocallens beståndsdelar... 3 Priset på en autocall... 4 Känslighet för olika parameterar... 5 Avkastning och risk... 5 del 8 handlade om autocalls.

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 2008) Föreläsning 2

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 2008) Föreläsning 2 Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 008) Föreläsning Diskreta sannolikhetsfördelningar (LLL kap. 6) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level

Läs mer

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, OCH INFÖR ÖVNING 4

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, OCH INFÖR ÖVNING 4 LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, 216-4-6 OCH INFÖR ÖVNING 4 Övningens mål: Du ska förstå begreppet slumpvariabel och skilja

Läs mer

Del 2 Korrelation. Strukturakademin

Del 2 Korrelation. Strukturakademin Del 2 Korrelation Strukturakademin Innehåll 1. Implicita tillgångar 2. Vad är korrelation? 3. Hur fungerar sambanden? 4. Hur beräknas korrelation? 5. Diversifiering 6. Korrelation och Strukturerade Produkter

Läs mer

Warranter En investering med hävstångseffekt

Warranter En investering med hävstångseffekt Warranter En investering med hävstångseffekt Investerarprofil ÄR WARRANTER RÄTT TYP AV INVESTERING FÖR DIG? Innan du bestämmer dig för att investera i warranter bör du fundera över vilken risk du är beredd

Läs mer

Kapitel 4. Kontinuerliga slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar. Sannolikhetslära och inferens II

Kapitel 4. Kontinuerliga slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar. Sannolikhetslära och inferens II Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 4 Kontinuerliga slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Kontinuerliga slumpvariabler En slumpvariabel som kan anta alla värden på något intervall sägs

Läs mer

Del 11 Indexbevis. Strukturakademin. Strukturakademin. Strukturinvest Fondkommission

Del 11 Indexbevis. Strukturakademin. Strukturakademin. Strukturinvest Fondkommission Del 11 Indexbevis 1 Innehåll 1. Grundpositionerna 1.1 Köpt köpoption 1.2 Såld köpoption 1.3 Köpt säljoption 1.4 Såld säljoption 2. Konstruktion av indexbevis 3. Avkastningsanalys 4. Knock-in optioner 5.

Läs mer

Hedging och Försäkring (prisskydd/prisförsäkring)

Hedging och Försäkring (prisskydd/prisförsäkring) Hedging och Försäkring (prisskydd/prisförsäkring) Hedging En hedge kan översättas med ett skydd eller en säkring ; till exempel ett valutaskydd eller en valutasäkring i en transaktion som ska ske i framtiden.

Läs mer

4.1 Grundläggande sannolikhetslära

4.1 Grundläggande sannolikhetslära 4.1 Grundläggande sannolikhetslära När osäkerhet förekommer kan man aldrig uttala sig tvärsäkert. Istället använder vi sannolikheter, väntevärden, standardavvikelser osv. Sannolikhet är ett tal mellan

Läs mer

Övningsexempel i Finansiell Matematik

Övningsexempel i Finansiell Matematik KTH Matematik Harald Lang 27/3-04 Övningsexempel i Finansiell Matematik 1. Riskjusterade sannolikhetsmått 1. Vi betraktar en stokastisk utbetalning X(ω) som ger utdelning enligt tabellen ω 1 ω 2 ω 2 pris

Läs mer

TMS136. Föreläsning 10

TMS136. Föreläsning 10 TMS136 Föreläsning 10 Intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov kan göra punktskattningar för fördelnings-/populationsparametrar En punkskattning är som vi minns ett tal som är en (förhoppningsvis

Läs mer

Laboration med Minitab

Laboration med Minitab MATEMATIK OCH STATISTIK NV1 2005 02 07 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Silvelyn Zwanzig, Tel. 471 31 84 Laboration med Minitab I denna laboration skall du få stifta bekantskap med ett statistiskt

Läs mer

Mer om slumpvariabler

Mer om slumpvariabler 1/20 Mer om slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/2 2013 2/20 Dagens föreläsning Diskreta slumpvariabler Vilket kretskort ska man välja? Väntevärde

Läs mer

Kap 3: Diskreta fördelningar

Kap 3: Diskreta fördelningar Kap 3: Diskreta fördelningar Sannolikhetsfördelningar Slumpvariabler Fördelningsfunktion Diskreta fördelningar Likformiga fördelningen Binomialfördelningen Hypergeometriska fördelningen Poisson fördelningen

Läs mer

Föreläsning 11. Slumpvandring och Brownsk Rörelse. Patrik Zetterberg. 11 januari 2013

Föreläsning 11. Slumpvandring och Brownsk Rörelse. Patrik Zetterberg. 11 januari 2013 Föreläsning 11 Slumpvandring och Brownsk Rörelse Patrik Zetterberg 11 januari 2013 1 / 1 Stokastiska Processer Vi har tidigare sett exempel på olika stokastiska processer: ARIMA - Kontinuerlig process

Läs mer

Hur måttsätta osäkerheter?

Hur måttsätta osäkerheter? Geotekniska osäkerheter och deras hantering Hur måttsätta osäkerheter? Lars Olsson Geostatistik AB 11-04-07 Hur måttsätta osäkerheter _LO 1 Sannolikheter Vi måste kunna sätta mått på osäkerheterna för

Läs mer

Del 12 Genomsnittsberäkning

Del 12 Genomsnittsberäkning Del 12 Genomsnittsberäkning Innehåll Asiatiska optioner... 3 Asiatiska optioner i strukturerade produkter... 3 Hur fungerar det?... 3 Effekt på avkastningen... 4 Effekt på volatilitet... 4 Effekt på löptid...

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 4 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 7 september 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av diskreta stokastiska variabler. Väntevärde

Läs mer

Finansmatematik II Kapitel 2 Stokastiska egenskaper hos aktiepriser

Finansmatematik II Kapitel 2 Stokastiska egenskaper hos aktiepriser STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version Finansmatematik II Kapitel Stokastiska egenskaper hos aktiepriser Finansmatematik II För att kunna

Läs mer

Del 6 Valutor. Strukturakademin

Del 6 Valutor. Strukturakademin Del 6 Valutor Strukturakademin Innehåll 1. Strukturerade produkter och valutor 2. Hur påverkar valutor? 3. Metoder att hantera valutor 4. Quanto Valutaskyddad 5. Composite Icke valutaskyddad 6. Lokal Icke

Läs mer

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 02 10 25. RÄNTA 1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

Läs mer

Räntemodeller och marknadsvärdering av skulder

Räntemodeller och marknadsvärdering av skulder Räntemodeller och marknadsvärdering av skulder Fredrik Armerin Matematisk statistik, KTH Aktuarieföreningen 17-18 november 2004 Dag 2 NOLLKUPONGSKURVOR 1 Nollkupongsobligationer En nollkupongsobligation

Läs mer

Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen

Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Ett sätt att få fram Black-Littermans formel är att formulera problemet att hitta lämpliga justerade avkastningar som ett skattningsproblem

Läs mer

Föreläsning G70 Statistik A

Föreläsning G70 Statistik A Föreläsning 2 732G70 Statistik A Introduktion till sannolikhetslära Sannolikhetslära: område inom statistiken där vi studerar experiment vars utfall beror av slumpen Sannolikhet: numeriskt värde (mellan

Läs mer

En modell för priset på en aktie

En modell för priset på en aktie En modell för priset på en aktie Projektarbete i kursen Vardagslivets mysterier förklarade 2006 Andreas Brodin Abstract. Att kunna förutsäga hur priset på en aktie ändras med tiden skulle vara stort. En

Läs mer

Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori

Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori Statistiska institutionen Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori 23 JANUARI 2009 2 Sannolikhetsteorins grunder 1. Tre vanliga symmetriska tärningar kastas. Om inte alla tre tärningarna visar sexa,

Läs mer

OPTIONSSTRATEGIER SNABBGUIDE AKTIEOPTIONER

OPTIONSSTRATEGIER SNABBGUIDE AKTIEOPTIONER OPTIONSSTRATEGIER SNABBGUIDE AKTIEOPTIONER Optioner ger investerare många möjligheter eftersom det finns strategier för alla olika marknadslägen. De är också effektiva verktyg för att försäkra innehav

Läs mer

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning?

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning? När vi nu lärt oss olika sätt att karaktärisera en fördelning av mätvärden, kan vi börja fundera över vad vi förväntar oss t ex för fördelningen av mätdata när vi mätte längden av en parkeringsficka. Finns

Läs mer

Föreläsning G60 Statistiska metoder

Föreläsning G60 Statistiska metoder Föreläsning 4 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Sannolikhet Vad är sannolikhet? o Slumpvariabel o Sannolikhetsfördelningar Binomialfördelning Normalfördelning o Stickprov och population o Centrala

Läs mer

I n f o r m a t i o n o m a k t i e o p t i o n e r

I n f o r m a t i o n o m a k t i e o p t i o n e r I n f o r m a t i o n o m a k t i e o p t i o n e r Här kan du läsa om aktieoptioner, och hur de kan användas. Du hittar också exempel på investeringsstrategier. Aktieoptioner kan vara upptagna till handel

Läs mer

Föreläsning 12: Regression

Föreläsning 12: Regression Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är

Läs mer

Del 17 Optionens lösenpris

Del 17 Optionens lösenpris Del 17 Optionens lösenpris Innehåll Optioner... 3 Optionens lösenkurs... 3 At the money... 3 In the money... 3 Out of the money... 4 Priset... 4 Kapitalskyddet... 5 Sammanfattning... 6 Strukturerade placeringar

Läs mer

(A -A)(B -B) σ A σ B. på att tillgångarna ej uppvisar något samband i hur de varierar.

(A -A)(B -B) σ A σ B. på att tillgångarna ej uppvisar något samband i hur de varierar. Del 2 Korrelation Innehåll Implicita tillgångar... 3 Vad är korrelation?... 3 Hur fungerar sambanden?... 3 Hur beräknas korrelation?... 3 Diversifiering... 4 Korrelation och strukturerade produkter...

Läs mer

Strukturerade produkter - Aktieindexobligationer En studie om aktieindexobligationers beståndsdelar, avkastning och prissättning

Strukturerade produkter - Aktieindexobligationer En studie om aktieindexobligationers beståndsdelar, avkastning och prissättning NATIONALEKONOMISKA INSTUTIONEN Uppsala Universitet Examensarbete C Författare: Elinore Ström Handledare: Martin Holmén Vårterminen 2007 Strukturerade produkter - Aktieindexobligationer En studie om aktieindexobligationers

Läs mer

Finansiering. Föreläsning 6 Risk och avkastning BMA: Kap. 7. Jonas Råsbrant

Finansiering. Föreläsning 6 Risk och avkastning BMA: Kap. 7. Jonas Råsbrant Finansiering Föreläsning 6 Risk och avkastning BMA: Kap. 7 Jonas Råsbrant jonas.rasbrant@fek.uu.se Föreläsningens innehåll Historisk avkastning för finansiella tillgångar Beräkning av avkastning och risk

Läs mer

Matematisk statistik - Slumpens matematik

Matematisk statistik - Slumpens matematik Matematisk Statistik Matematisk statistik är slumpens matematik. Började som en beskrivning av spel, chansen att få olika utfall. Brevväxling mellan Fermat och Pascal 1654. Modern matematisk statistik

Läs mer

Juli/Augusti 2003. Valutawarranter. sverige

Juli/Augusti 2003. Valutawarranter. sverige Juli/Augusti 2003 Valutawarranter sverige in troduktion Valutamarknaden är en av de mest likvida finansiella marknaderna, där många miljarder omsätts i världens olika valutor varje dag. Marknaden drivs

Läs mer

Lösningar till tentamen i Grundläggande nansmatematik. 21 december 2006 kl. 914

Lösningar till tentamen i Grundläggande nansmatematik. 21 december 2006 kl. 914 STOCKHOLMS UNIVERSITET MS 3290 MATEMATISKA INSTITUTIONEN TENTAMEN Avd. Matematisk statistik 21 december 2006 Lösningar till tentamen i Grundläggande nansmatematik 21 december 2006 kl. 914 Uppgift 1 Priset

Läs mer

Statistiska metoder för säkerhetsanalys

Statistiska metoder för säkerhetsanalys F3: Slumpvariaber och fördelningar Diskret Kontinuerlig Slumpvariabler Slumpvariabler = stokastiska variabler = random variables = s.v. Heter ofta X, Y, T. Diskreta kan anta ändligt eller uppräkneligt

Läs mer

Del 13 Andrahandsmarknaden

Del 13 Andrahandsmarknaden Del 13 Andrahandsmarknaden Strukturakademin Strukturakademin Srukturinvest Fondkommission 1 Innehåll 1. Produktens värde på slutdagen 2. Produktens värde under löptiden 3. Köp- och säljspread 4. Obligationspriset

Läs mer

Föreläsning 7. Statistikens grunder.

Föreläsning 7. Statistikens grunder. Föreläsning 7. Statistikens grunder. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Föreläsningens innehåll Översikt, dagens föreläsning: Inledande

Läs mer

ÖverUnder När du tror aktien ska sluta över eller under en viss kurs

ÖverUnder När du tror aktien ska sluta över eller under en viss kurs UnderÖver ÖverUnder När du tror aktien ska sluta över eller under en viss kurs Med ÖVER och UNDER kan du på ett nytt och enkelt sätt agera på vad du tror kommer att hända på börsen. När du köper en ÖVER

Läs mer

Slumpvariabler och sannolikhetsfördelningar

Slumpvariabler och sannolikhetsfördelningar och sannolikhetsfördelningar Föreläsning 4 Sannolikhet och Statistik 5 hp Fredrik Jonsson April 2010 Översikt 1. Verklighetsanknutna exempel. Definition relativt utfallsrum. 2. Sannolikhetsfördelningar

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

Obligationsbaserade futures, forwards och optioner

Obligationsbaserade futures, forwards och optioner Obligationsbaserade futures, forwards och optioner Här kan du läsa om obligationsbaserade futures, forwards och optioner, och hur de används. Du finner även exempel på investeringsstrategier Vad är obligationsbaserade

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 25..26 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 25..26 / 44 Stokastiska

Läs mer

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U.

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U. Veckoblad 3 Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U. ya begrepp: likformig fördelning, hypergeometerisk fördelning, Hyp(, n, p), binomialfördelningen, Bin(n, p), och Poissonfördelningen, Po(λ). Standardfördelningarna

Läs mer

warranter ett placeringsalternativ med hävstång

warranter ett placeringsalternativ med hävstång warranter ett placeringsalternativ med hävstång /// www.warrants.commerzbank.com ////////////////////////////////////////////////////////////////// Warranter en definition En warrant är ett finansiellt

Läs mer

I n f o r m a t i o n o m r å v a r u o p t i o n e r

I n f o r m a t i o n o m r å v a r u o p t i o n e r I n f o r m a t i o n o m r å v a r u o p t i o n e r Här finner du allmän information om råvaruoptioner som handlas genom Danske Bank. Råvaror är obearbetade eller delvis bearbetade varor som handlas

Läs mer

Tentamen Finansiering (2FE253) Lördagen den 21 mars 2015, kl. 09:00-13:00

Tentamen Finansiering (2FE253) Lördagen den 21 mars 2015, kl. 09:00-13:00 Tentamen Finansiering (2FE253) Lördagen den 21 mars 2015, kl. 09:00-13:00 Skrivtid: 4 timmar (kl. 09:00 13:00) Hjälpmedel: Kalkylator och kursens formelblad. OBS! Endast formler som står med på formelbladet

Läs mer

För logitmodellen ges G (=F) av den logistiska funktionen: (= exp(z)/(1+ exp(z))

För logitmodellen ges G (=F) av den logistiska funktionen: (= exp(z)/(1+ exp(z)) Logitmodellen För logitmodellen ges G (=F) av den logistiska funktionen: F(z) = e z /(1 + e z ) (= exp(z)/(1+ exp(z)) Funktionen motsvarar den kumulativa fördelningsfunktionen för en standardiserad logistiskt

Läs mer

Del 4 Emittenten. Strukturakademin

Del 4 Emittenten. Strukturakademin Del 4 Emittenten Strukturakademin Innehåll 1. Implicita risker och tillgångar 2. Emittenten 3. Obligationer 4. Prissättning på obligationer 5. Effekt på villkoren 6. Marknadsrisk och Kreditrisk 7. Implicit

Läs mer

Föreläsning 2, Matematisk statistik för M

Föreläsning 2, Matematisk statistik för M Repetition Stok. Var. Diskret Kont. Fördelningsfnk. Föreläsning 2, Matematisk statistik för M Erik Lindström 25 mars 2015 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F2 1/16 Repetition Stok. Var. Diskret

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK 2007-08-29

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK 2007-08-29 UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Statistik för Teknologer, 5 poäng (TNK, ET, BTG) Peter Anton, Per Arnqvist Anton Grafström TENTAMEN 7-8-9 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN

Läs mer

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow Matematik i Gy11 110912 Susanne Gennow Var finns matematik? Bakgrund Nationella utredning 2003 PISA 2009 TIMSS Advanced 2008 Skolinspektionens rapporter Samband och förändring åk 1 3 Olika proportionella

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

Påbyggnad/utveckling av lagen om ett pris Effektiv marknad: Priserna på en finansiell marknad avspeglar all relevant information

Påbyggnad/utveckling av lagen om ett pris Effektiv marknad: Priserna på en finansiell marknad avspeglar all relevant information Föreläsning 4 ffektiva marknader Påbyggnad/utveckling av lagen om ett pris ffektiv marknad: Priserna på en finansiell marknad avspeglar all relevant information Konsekvens: ndast ny information påverkar

Läs mer

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion

Läs mer

120 110 S t : 100 100 90 80 Vi ska här betrakta ett antal portföljer som vid t = 0 är värda 100 SEK.

120 110 S t : 100 100 90 80 Vi ska här betrakta ett antal portföljer som vid t = 0 är värda 100 SEK. STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. KOMPLEMENT DAG 5. HANDELSSTRATEGIER Låt S t beteckna priset på en aktie vid tiden t. Vi

Läs mer

modell Finansiell statistik, vt-05 Modeller F5 Diskreta variabler beskriva/analysera data Kursens mål verktyg strukturera omvärlden formellt

modell Finansiell statistik, vt-05 Modeller F5 Diskreta variabler beskriva/analysera data Kursens mål verktyg strukturera omvärlden formellt Johan Koskinen, Statistiska institutionen, Stockholms universitet Finansiell statistik, vt-5 F5 Diskreta variabler Kursens mål beskriva/analysera data formellt verktyg strukturera omvärlden innehåll osäkerhet

Läs mer

Optionspriser och marknadens förväntningar

Optionspriser och marknadens förväntningar Optionspriser och marknadens förväntningar AV JAVIERA AGUILAR OCH PETER HÖRDAHL Verksamma vid penning- och valutapolitiska avdelningen Att ta fram information ur finansiella priser är av intresse både

Läs mer

f(x) = 2 x2, 1 < x < 2.

f(x) = 2 x2, 1 < x < 2. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90,SF907,SF908,SF9 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK TORSDAGEN DEN 7:E JUNI 0 KL 4.00 9.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 07 7 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och

Läs mer

Ränterisk för bostadsköpare

Ränterisk för bostadsköpare Nationalekonomiska Institutionen Lunds Universitet Kandidatuppsats poäng H 5 Ränterisk för bostadsköpare betydande eller marginell? Författare: Marcus Iorizzo Handledare: Hans Byström Abstract Med dagens

Läs mer

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande

Läs mer

Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat.

Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat. Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Ytterligare begrepp Viktiga

Läs mer

Del 9 Råvaror. Strukturakademin. Strukturakademin. Strukturinvest Fondkommission

Del 9 Råvaror. Strukturakademin. Strukturakademin. Strukturinvest Fondkommission Del 9 Råvaror 1 Innehåll 1. Att investera i råvaror 2. Uppkomsten av en organiserad marknad 3. Råvarumarknadens aktörer 4. Vad styr råvarupriserna? 5. Handel med råvaror 6. Spotmarknaden och terminsmarknaden

Läs mer

Något om sannolikheter, slumpvariabler och slumpmässiga urval

Något om sannolikheter, slumpvariabler och slumpmässiga urval LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen Statistik Stig Danielsson 004-0-3 Något om sannolikheter, slumpvariabler och slumpmässiga urval 1. Inledning Observerade data innehåller ofta någon form

Läs mer

Kap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen

Kap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen Kap 6: Normalfördelningen Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen σ μ 1 Sats 6 A Om vi ändrar läge och/eller skala på en normalfördelning så har vi fortfarande

Läs mer

4.3 Stokastiska variabler (slumpmässiga variabler) 4.4 Väntevärde och varians till stokastiska variabler

4.3 Stokastiska variabler (slumpmässiga variabler) 4.4 Väntevärde och varians till stokastiska variabler Föreläsning 2 4.3 Stokastiska variabler (slumpmässiga variabler) 4.4 Väntevärde och varians till stokastiska variabler Stokastiskavariabler Stokastisk variabel (eng: random variable) En variabel vars värde

Läs mer

Exempel för diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler

Exempel för diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler Stokastisk variabel ( slumpvariabel) Sannolikhet och statistik Stokastiska variabler HT 2008 Uwe.Menzel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Stokastisk variabel, slumpvariabel (s.v.): Funktion: Resultat

Läs mer

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). Derivata Sekant oc tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). I figuren ovan finns även en tangent inritad. Som nästa ska vi titta på

Läs mer

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser

Läs mer

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Avd. Matematisk statistik Tobias Rydén 2011-09-30 SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Förberedelser. Innan du går till laborationen, läs igenom den här handledningen. Repetera också i

Läs mer

Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar

Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar 1 Multivariata sannolikhetsfördelningar En slumpvariabel som, när slumpförsöket utförs, antar exakt ett värde sägs vara

Läs mer

IG:S KOSTNADER OCH AVGIFTER

IG:S KOSTNADER OCH AVGIFTER IG:S KOSTNADER OCH AVGIFTER INNEHÅLL Syftet med dokumentet 01 Kostnader för CFD-transaktioner 02 Råvaror 02 Valuta 03 Aktier 03 Index 04 Aktieoptioner 04 Bilaga A: Formelblad 05 Avgift för valutaomvandling

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 28 januari 2014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Sannolikheter Slumpvariabler Centrala gränsvärdessatsen Aalto-universitetet 8 januari 04 3 Tvådimensionella slumpvariabler

Läs mer

Logistisk regression och Indexteori. Patrik Zetterberg. 7 januari 2013

Logistisk regression och Indexteori. Patrik Zetterberg. 7 januari 2013 Föreläsning 9 Logistisk regression och Indexteori Patrik Zetterberg 7 januari 2013 1 / 33 Logistisk regression I logistisk regression har vi en binär (kategorisk) responsvariabel Y i som vanligen kodas

Läs mer