Övningsexempel i Finansiell Matematik

Transkript

1 KTH Matematik Harald Lang 27/3-04 Övningsexempel i Finansiell Matematik 1. Riskjusterade sannolikhetsmått 1. Vi betraktar en stokastisk utbetalning X(ω) som ger utdelning enligt tabellen ω 1 ω 2 ω 2 pris Här är ω 1, ω 2, ω 3 tre möjliga utfall, och priset som anges till höger är forwardpriset a) Bestäm de riskjusterade sannolikheterna för de tre utfallen. b) Bestäm forwardpriset G 0 för kontraktet ω 1 ω 2 ω 2 pris G 0 Svar: 1a) [ω 1, ω 2, ω 3 ] = [0.15, 0.35, 0.50] b) kr. 2. Betingade väntevärden 1. I en urna har man lagt fem kuvert: två blåa och tre röda. De blåa kuverten innehåller respetkive 50 och 150 kronor, de röda 100, 200 och 500 kronor. Vi drar på måfå ett kuvert ur urnan. a) Bestäm väntevärdet av innehållet i kuvertet. b) Bestäm väntevärdet av innehållet i kuvertet betingat att det är blått. c) Bestäm väntevärdet av innehållet i kuvertet betingat att det är rött. Vi kan nu betrakta väntevärdet av innehållet som en stokastisk variabel X = X(ω) på utfallsrummet {blått, rött}: X(ω) = E[innehållet kuvertets färg är ω] d) Vad är X(ω) för vart och ett av de två värdena {blått, rött} på ω? e) Bestäm E[X] genom att räkna direkt på X. Jämför svaret med det i a). 2. Man spelar följande spel: Spelaren singlar slant fyra gånger. Det finns sexton tänkbara utfall: (krona, krona, krona, krona), (krona, krona, krona, klave), osv. För varje gång man får krona vinner man 10 kronor, om man får klave vinner man ingenting. Dock, om man får krona alla fyra gångerna vinner man totalt 100 kronor. Vi betraktar nu situationen efter två kast: då kan utfallsrummet (det som dittills hänt) beskrivas av fyra möjliga utfall: {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 } = {(krona, krona), (krona, klave), (klave, krona), (klave, klave)}. 1

2 Låt X vara den stokastiska variabeln total vinst (efter fyra slantsinglingar) och bestäm det betingade väntevärdet efter två slantsinglingar E[X ω], där ω kan anta de fyra värdena ω 1,..., ω 4 3. Vi tar en punkt x på måfå i intervallet [0, 1] (med likformig fördelning). Därefter tar vi en punkt y på måfå (med likformig fördelning) i intervallet [0, x]. a) Bestäm väntevärdet av y betingat variabeln x: E[y x]. b) Bestäm det obetingade väntevärdet av y: E[y]. Svar: 1a) 200 kr b) 100 kr c) kr 2) E[X ω 1] = 45, E[X ω 2 ] = 20, E[X ω 3 ] = 20, E[X ω 4 ] = 10 3a) 1 2 x 3b) Forwards och Futures Räntor avser alltid räntor med kontinuerlig förräntning. 1. En aktie kostar idag 80 kronor. Om nio månader ger den en utdelning på 3 kronor. Bestäm forwardpriset på en aktie med inlösentid om ett år; räntan är 5% per år. 2. En aktie kostar idag 80 kronor. Om nio månader ger den en utdelning på 4% av det då gällande aktiepriset. Bestäm forwardpriset på en aktie med inlösentid om ett år; räntan är 5% per år. 3. Forwardpriset på en aktie med inlösen om ett år är idag 110 kronor. Om fyra månader ger aktien en utdelning på 2 kronor och om tio månader ger den en utdelning på 2% av det då gällande aktiepriset. Bestäm aktiens pris idag; räntan är 6% per år. 4. En US$ kostar idag 8.50 kr, terminspriset (forward-priset) på en dollar att levereras om sex månader är Den svenska sexmånadersräntan är 4.00% per år bestäm den amerikanska sexmånadersräntan. 5. Terminskursen för US$ den 1:a augusti med leverans sista december är euro; terminskursen för dollar att levereras sista juni nästa år är euro. Vi antar platt räntestruktur för bägge länderna; euro-räntan är 4.00% per år vad är den amerikanska räntan? 6. Bestäm terminspriset (forward-priset) för en obligation att levereras om två år. Obligationen det gäller ger 2 euro varje halvår i år (med början om ett halvår), och 102 Euro efter fem år. Det är alltså en 5-årig (idag) 4% kupong med kupongutdelning varje halvår med inlösenpriset ( face value ) 100 euro. 2

3 Obligationen skall levereras om två år omedelbart efter kupongutdelningen. Den rådande terminsstrukturen ges av räntorna (procent per år) 6 mån. 5.0% 18, 24 mån. 5.6% 12 mån. 5.4% mån. 5.9% 7. Ett ettårigt forwardkontrakt på en aktie som inte ger utdelningar före kontraktets mognadstid tecknas då aktiens pris är 40 kronor och riskfria räntan är 10% per år. a) Vad är forwardpriset? b) Sex månader senare är aktiens pris 45 kronor. Vad är värdet nu på det ursprungliga forwardkontraktet? Om ett forwardkontrakt skulle tecknas nu med samma mognadsdatum, vad skulle forwardpriset vara? Svar: 1) ) ) ) 6.37% 5) 2.90% 6) a) b) kronor, kronor. 4. Räntor och duration 1. Beräkna approximativt durationen för en portfölj som innehåller en kupongobligation med inlösenvärdet kronor med 6% kupong (vilket innebär kuponginlösen varje halvår med 3% av inlösenvärdet) med mognadstid om två år, samt en kort position av ett futureskontrakt med inlösen om två år på en treårig (vid tiden för inlösen av futuren) 6% kupongobligation (första kuponginlösen ett halvår efter mognaden av futuren) med inlösenvärde kronor. Räntan är idag 5.5% per år med kontinuerlig förräntning för alla löptider. (Approximera futurespriset med forwardpriset.) 2. Vi betraktar en ränteswap där ena parten i slutet av år 1, 2, 3 och 4 får flytande ettårsräntan på en notational principal på kronor, samtidigt som han betalar en summa c i slutet på varje år. Nollkupongsräntan för 1-, 2-, 3- och 4-åriga löptider är 10, 11, 12 och 13% per år, respektive, med kontinuerlig förräntning. a) Bestäm swappens värde för parten som får flytande räntan, om c = kronor. b) Bestäm c så att swappens värde när den tecknas är noll. 3. Bestäm a) forward-priset b) forward-yielden c) durationen 3

4 två år framåt i tiden för ett räntepapper som ger 100 kronor om 2.5, 3 och 3.5 år och kronor om 4 år. Nollkupongräntorna idag är 6%, 6.5%, 7%, 7.5%, 8% per år för löptider på 2, 2.5, 3, 3.5 resp. 4 år. Svar: 1) år 2a) kr. 2b) kr. 3a) kr. 3b) 9.939% 3c) år. 5. Europeiska optioner och andra derivat Räntor avser alltid räntor med kontinuerlig förräntning. 1. Bestäm priset på en Europeisk futures-köpoption på ett fat råolja att levereras om 4 månader, vilket också är optionens löptid. Futurespriset idag är F 0 = $25.00, optionens inlösenpris är $23.00 och futureprisets volatilitet uppskattas till 25% under ett år. Den riskfria räntan är 9% per år. 2. Bestäm priset på en Europeisk köpoption på en aktie som inte ger utdelningar före optionens mognad. Aktiens pris idag är 45 kr, optionen mognar om 4 månader, volatiliteten är 25% under ett år, optionens inlösenpris är 43 kr och riskfria räntan är 9% per år. 3. Samma fråga som ovan, men nu antar vi att aktien ger 0.50 kr i utdelning om 3 månader, i övrigt samma förutsättningar. 4. Bestäm priset på en Europeisk säljoption på 1 engelskt pund till inlösenpriset 14 kronor om 6 månader. Pundet står idag i 13 kronor, och pundets volatilitet antas vara 14% på ett år. Pundets ränta är 11% och kronans ränta är 7% per år. 5. Bestäm priset på en Europeisk köpoption på ett aktieindex som förväntas ge en utdelning på 3% per år kontinuerligt. Indexet står idag i 93 kr, inlösenpriset är 90 kr och inlösen sker om två månader. Riskfria räntan är 8% per år och indexets volatilitet 20% på ett år. 6. Låt S(t) vara spotpriset på en aktie vid tiden t (år) som inte ger utdelning under de närmaste två åren. Bestäm priset på ett kontrakt som om två år ger innehavaren S(0) S(2) kronor. Riskfria räntan är 6% per år. S(1) 7. Låt S(t) vara spotpriset på en aktie vid tiden t (år) som inte ger utdelning under det närmaste året. Bestäm priset på ett kontrakt som om ett år ger innehavaren S(1)2 kronor. Riskfria räntan är 6% per år, och aktieprisets S(0) volatilitet antas vara 30% under ett år 4

5 8. Bestäm priset på en Europeisk säljoption med inlösen om två år på en (idag) femårig 6% kupongobligation (första kuponginlösen ett halvår efter inlösen av optionen) med inlösenvärde kronor vilket också är är optionens inlösenpris. Forward-yielden för obligationen är 6.5% per år, och yieldens standardavvikelse är på ett år. Tvååriga nollkupongräntan är 5.5% per år. 9. Värdera en ettårig säljoption på en (idag) tioårig obligation. Antag att det nuvarande priset på obligationen är kr, optionens inlösenpris är kr, ett-årsräntan är 10% per år, forward-yieldens standardavvikelse under ett år är 0.013, obligationens duration vid inlösen av optionen är 6.00 år, nuvärdet av kupongerna som betalas under optionens löptid är 133 kr. Svar: 1) ) ) (vi antar implicita volatiliteten = 0.25%) 4) kr 5) kr 6) S(0)e ) S(0)e ) kr 9) kr 6. Binomialträd 1. Futurespriset för kaffe (20 kg) för leverans om fyra veckor är 100 kronor. Volatiliteten är 2% på en vecka. Riskfria räntan är 0.1% per vecka. I nedanstående fall, använd ett binomialträd med tidssteget en vecka: a) Bestäm priset på en europeisk futures-säljoption på kaffe (20 kg) till 104 kronor. Optionens inlösentid är om fyra veckor (dvs. samtidigt som futureskontraktet inlöses.) b) Samma fråga för en amerikansk option, ceteris paribus (latin: när allt annat är lika ). 2. En aktie kostar idag kronor. Volatiliteten på futurespriset är 2% på en vecka och aktien ger ingen utdelning under närmaste månaden (det innebär att även volatiliteten för aktien är 2% på en vecka). Riskfria räntan är 0.1% per vecka. I nedanstående fall, använd ett binomialträd med tidssteget en vecka: a) Bestäm priset på en amerikansk säljoption på aktion med inlösen om fyra veckor till inlösenpriser 104 kronor. b) Samma fråga, men aktien ger utdelning på två kronor om knappt två veckor (omedelbart före tid 2 i binomialträdet), och aktiens pris idag är kronor, ceteris paribus. 3. Bestäm priset på en amerikansk option att köpa 100 engelska pund för 13 kronor per pund, vilket också är pundets pris idag. Inlösentiden är om ett år, pundets volatilitet gentemot kronan är 10% på ett år, pundets ränta är 8% per år, kronans ränta är 4% per år. Använd ett binomialträd med tidssteget tre månader. 5

6 4. Bestäm priset på en amerikansk köpoption på en aktie som idag kostar 100 kronor med inlösen om ett år till 98 kronor. Aktiens volatilitet (eller snarare: forwardpriset på aktien) är 20% på ett år, räntan är 6% per år, och aktien kommer om 2.5 månader att ge en utdelning på 4% av (det då rådande) aktiepriset. Använd ett binomialträd med tidssteget tre månader. 5. Beräkna priset på en fyra månaders amerikansk säljoption på en aktie som inte ger utdelning när aktiepriset är 60 kronor, inlösenpriset kronor, riskfria räntan 10% per år och volatiliteten 45% på ett år. Använd ett binomialträd med tidssteget en månad. 6. Beräkna priset på en åtta månaders amerikansk köpoption på ett majs-futures när nuvarande futurespriset är 198 kronor, inlösenpriset 200 kronor, riskfria räntan är 8% per år och volatiliteten 30% på ett år. Använd ett binomialträd med tidssteget två månader. 7. En två månaders amerikansk säljoption på ett aktieindex har inlösenvärdet 480. Nuvarande värdet på indexet är 484, riskfria räntan är 10% per år, utdelningen på indexet 3% per år och indexets volatilitet 25% på ett år. Bestäm värdet av optionen genom att använda ett binomialträd med tidssteget en halv månad. 8. Spotpriset på koppar är 60 kronor per decaskålpund. Antag att de nuvarande futurespriserna på koppar är inlösen futurespris 3 månader 59 6 månader 57 9 månader månader 50 Volatiliteten för kopparpriset är 40% på ett år och riskfria räntan är 6% per år. Använd ett lämpligt binomialträd med tidssteget tre månader för att uppskatta priset på en amerikansk köpoption på koppar med inlösenpriset 60 kronor med löptiden ett år. Svar: 1a) kr. 1b) kr. 2a) kr. 2b) kr. 3) kr. 4) kr. 5) kr. 6) kr. 7) ) kr. 6

7 7. Räntederivat (Ho-Lee) 1. Följande nollkupongsräntor (med kontinuerlig förräntning) gäller: 1-års: 8%, 2-års: 8.25%, 3-års: 8.5%, 4-års: 8.75%. Ett-års-räntans volatilitet antas vara 1.5% under ett år. Bestäm priset för en europeisk köpoption med inlösen om två år på en tvåårig (vid optionens inlösen) nollkupong som ger 100 kronor (obligationens inlösentid är alltså om fyra år från idag.) Optionens inlösenpris är 80 kr. a) Använd ett binomialträd enligt Ho-Lees modell med tidssteget ett år. b) Beräkna värdet med Ho-Lees modell med normalfördelade inkrement (dvs. Blacks modell) 2. Beräkna värdet av en callable bond med löptiden 10 år och inlösenvärdet 100. Obligationen kan lösas in efter 3 år till 70 kr, efter 6 år till 80 kronor och efter 8 år till 90 kronor. Ett-års-räntans volatilitet antas vara 1.5% under ett år. De rådande nollkupongsräntorna är (% per år med kontinuerlig förräntning): löptid ränta löptid ränta 1 år år år år år år år år år år 5.8 Använd ett binomialträd med tidssteget ett år. (Rekommenderas att göras i ett kalkylark.) 3. Beräkna futurespriset på en tio-årig nollkupongs-obligation med inlösenvärde 100, då futureskontraktet inlöses om sex år. Ett-års-räntans volatilitet antas vara 1.5% under ett år, och nollkupongsräntorna är som i föregående uppgift. a) Med ett binomialträd med tidssteget ett år enlight Ho-Lees modell (Rekommenderas att göras i ett kalkylark.) b) Analytiskt med Ho-Lees modell med normalfördelade inkrement. Svar: 1a) kr. 1b) kr. 2) a) b) Forwardpriset =