STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version Finansmatematik II Kapitel 1

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 06 04 04. Finansmatematik II Kapitel 1"

Transkript

1 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version Finansmatematik II Kapitel 1 Ränta

2 2 Finansmatematik II 1 Rak ränta Med rak ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid (löptid). 1.1 Ränta på ränta Vid förräntning n gånger per år med räntan r/n blir värdet av en krona efter t år R = (1 + r n )nt för n = 1, 2, 3,... och R = lim n (1 + r n )nt = e rt vid kontinuerlig förräntning. För r = 5% och t = 1 ges värdena av följande tabell: n förräntning varje värde 1 år 1.05 = halvår ( )2 = kvartal ( )4 = månad ( )12 = vecka ( )52 = dag ( )365 = kontinuerligt e 0.05 = Årsräntan beror alltså i detta fall även på n. Vad som är väsentligt här är tillväxtfaktorn, R. Denna kan även uttryckas med hjälp av räntan, r, men då måste man specificera vilken ränta som avses. Vanligast kanske är att definiera räntan som avkastningen r a = R 1. Övning 1 Visa att om avkastningen är r under en del av en tidsperiod och r under återstoden, så är avkastningen r + r + r r under hela tidsperioden. Avkastningen är alltså inte additiv men det är däremot räntan vid kontinuerlig förräntning eller kortare den kontinuerliga räntan: r c = ln R. Övning 2 Visa att om den kontinuerliga räntan är r under en del av en tidsperiod och r under återstoden, så är den kontinuerliga räntan r + r under hela tidsperioden.

3 Rak ränta 3 Vid konstant tillväxt gäller R = e rct. Den kontinuerliga räntan kan därför även definieras som den momentana avkastningen per tidsenhet: 1.2 Nuvärde e rct 1 lim = r c. t 0 t X 0 kronor idag är värda X T kronor om T år. Här är det framtida värdet av X 0 och X T = R T X 0 X 0 = d T X T nuvärdet (present value) av X T. Här är R T tillväxtfaktorn under T år och d T = R 1 T diskonteringsfaktorn (discount factor). Vi ska även skriva X 0 = P V (X T ). För att värdera framtida utbetalningar jämför man deras nuvärden. Övning 3 Jämför värdet av 417 kronor om ett år och 430 kronor om två år med 395 kronor idag om årsavkastningen är 5% bägge åren. Övning 4 Uttryck dubbleringstiden (den tid det tar att dubblera ett kapital) som funktion av den kontinuerliga räntan. Speciellt: Hur lång tid tar det att dubblera ett kapital då räntan är 5%? 1.3 Betalströmmar En betalström är en följd av reella tal, x = (x 0, x 1,...x n ), samt en följd av tidpunkter 0 = t 0 < t 1 <... < t n. Innehavaren av betalströmmen erhåller x i kronor vid t i. (Detta innebär att innehavaren betalar x i kronor om x i < 0.) Motparten, utställaren av betalströmmen, innehar betalströmmen x. Betalningsförloppret delas alltså in i n perioder; (t i 1, t i ), i = 1,..., n. Här följer tre exempel på betalströmmar: Lån Du lånar idag S kronor och betalar tillbaka K kronor i slutet av varje period. Detta svarar mot betalströmmen (S, K,..., K). Sparande Du sätter in K kronor i början av varje period och tar ut hela sparbeloppet i slutet av den sista perioden. Detta ger betalströmmen ( K,..., K, S). Annuitet Du betalar in S kronor idag och få ut K kronor i slutet av varje period. Detta ger betalströmmen

4 4 Finansmatematik II ( S, K,..., K). Detta är även den betalström långivaren får när du tar ett lån. När inte annat sägs ska vi anta att perioderna är lika långa; t 0 = 0, t 1 = 1,..., t n = n i någon enhet; dag, månad eller år t.ex. Detta kan man alltid uppnå genom att låta x k = 0 för vissa k. Diskonteringsfaktorn per period betecknas i detta fall med d. Betalströmmens nuvärde ges därför av P V (x) = x 0 + dx d n x n. Övning 5 Du erhåller 2000 kr om året i 10 års tid med början om ett år. Beräkna nuvärdet av denna betalström om avkastningen är 5% per år. Övning 6 Vid skörd av energiskog efter ett år får man tillbaks 1.05 kronor netto för varje satsad krona. Motsvarande siffror vid skörd efter två eller tre år är 1.11 respektive Jämför dessa betalströmmar under förutsättning att hela intäkten går att återinvestera i nyplanteringar. 1.4 Effektiv ränta Den effektiva räntan är den ränta för vilken betalströmmen har nuvärdet 0 och bestämms därför av den diskonteringsfaktor för vilken P V (x) = 0. Förutsättningen är att diskonteringsfaktorn är entydigt bestämd. Övning 7 Visa att om x 0 > 0 och x i < 0 för i = 1,..., n (eller om x i < 0 för i = 0,..., n 1 och x n > 0), så är diskonteringsfaktorn entydigt bestämd. Visa även att räntan är positiv (d < 1) i dessa fall om och endast om x 0 < n n 1 x k (eller x n > x k ). k=1 k=0 Låt m beteckna antalet perioder per år. Diskonteringsfaktorn per år är då d m och den kontinuerliga räntan är därför m ln 1 d per år, medan årsavkastningen är 1 d m 1. Övning 8 Ett lån på 1000 kronor betalas av på två månader med 507 kronor per månad. Hur stor är den effektiva räntan?

5 Rak ränta 5 Övning 9 Beräkna den effektiva räntan för betalströmmarna i Övning 6. Övning 10 Visa att den effektiva räntan för lånet respektive sparandet ovan ges av de diskonteringsfaktorer som uppfyller d 1 dn 1 d = S K respektive d n 1 dn 1 d = S K. För att lösa d ur ekvationer av denna typ kan man använda Newtons metod att finna nollställen till en deriverbar funktion, F (x): Gissa ett tal x 0 som du tror ligger nära nollstället. Beräkna sedan x 1, x 2,... via formeln x k = x k 1 F (x k 1) F (x k 1 ), för k = 1, 2,... Denna följd konvergerar mot ett nollställe till F. För varje upprepning dubblas antalet rätta decimaler. Övning 11 Visa att x k är den punkt i vilken tangenten till F i punkten x k 1 skär x axeln samt använd detta till att illustrera konstruktionen av x 1, x 2,... grafiskt. Övning 12 Ett lån på 1000 kronor betalas av på tre månader med 338 kronor per månad. Hur stor är den effektiva räntan? Övning 13 Du lånar kr i en bank och betalar i slutet av varje månad 3000 kr. Den effektiva räntan ges av 0.5% avkastning per månad. Hur stor är årsräntan? Hur lång tid tar det att betala lånet? Hur mycket ska du betala per månad för att lånet ska vara avbetalat på 5 år? 1.5 Obligationer En obligation är en betalström av formen ( P, c/m,..., c/m, c/m + F ). Utbetalningarna sker m gånger per år i T = n/m år. T är obligationens löptid (time to maturity), c kupongen (coupon), F det nominella värdet (face value) och P priset. Den effektiva räntan per år bestäms därför av diskonteringsfaktorn d m, där d uppfyller P = c m n d k + d n F. k=1 Det framgår av detta uttryck att obligationspriset är en avtagande funktion av räntan. Obligationspriserna gå alltså ned då räntan går upp.

6 6 Finansmatematik II Övning 14 a) Visa att P = c dn d1 m 1 d + dn F. b) Definiera y genom d = 1. D.v.s. y är avkastningen under en period av 1+ y m längd 1/m multiplicerad med m. Visa att P = c y + dn (F c y ). Detta uttryck blir speciellt enkelt då c = yf (pari); P = F. Övning 15 Låt P 1 och P 2 beteckna priserna på två obligationer där den andra har längre löptid än den första men som för övrigt är lika (samma kupong, ränta, nominellt värde och periodlängd). Visa att P 1 < P 2 för y < c/f och P 1 > P 2 för y > c/f. Övning 16 Beräkna den effektiva räntan för en femårig obligation med nominellt värde 100 SEK och årlig kupong 4 SEK som betalas ut med 1 SEK varje kvartal. Obligationens pris är 100 SEK. Genom att sätta samman en portfölj av obligationer kan man bilda nya betalströmmar. Övning 17 Betrakta två obligationer med samma löptid, periodlängd och nominella värde. Den ena har kupongen c 1 och den andra c 2, c 1 < c 2. Priserna är P 1 respektive P 2. a) Konstruera med hjälp av dessa en obligation som har kupongen c men samma nominella värde. Vad blir priset på denna. b) Vilka vikter ska de två obligationerna ha i portföljen för att resultatet ska bli en nollkupongare? c) För vilka värden på c har bägge obligationerna positiv vikt i portföljen? 1.6 Den effektiva räntan som värderingsmått Den effektiva räntan är ett trubbigt verktyg då det gäller att värdera betalströmmar i allmänhet. Betrakta betalströmmen x = (ab, a b, 1). Denna har nuvärdet P V = ab d(a + b) + d 2 = (d a)(d b). Detta nuvärde är noll för d = a och d = b. Den effektiva räntan är alltså inte entydigt bestämd då a b. Dessutom har nuvärdet av betalströmmen x samma nollställen. Det är därför inte omedelbart klart hur man med hjälp av den effektiva räntan ska kunna avgöra vilken av de två betalströmmarna x och x som är att föredra (om någon). Antag att a = 1 och b = 3: x=(3,-4,1). I detta fall är d = 1 eller d = 3. I det första fallet är räntan noll, i det andra negativ. Nuvärdet är positivt för x

7 Räntans beroende av löptiden 7 och negativt för -x då d < 1, vilket gäller i normalfallet. Betalströmmen x torde därför vara att föredra framför -x. Antag att det är ett år mellan utbetalningarna och att du kan låna in pengar mot 5% avkastningasränta per år och låna ut mot 4%. Följande förfaringssätt visar att det är förmånligt att inneha x: Vid t = 0: Acceptera betalströmmen x. Du får 3 SEK som du lånar ut på ett år mot 4% ränta. Vid t = 1: Lånet återbetalas till dig med = 3.12 SEK. Du lånar 0.88 SEK på ett år och betalar 4 SEK. Vid t = 2: Du får in 1 SEK och återbetalar lånet med = SEK. Kvar SEK. På detta sätt erhålls betalströmmen (0, 0, 0.076) och man kan alltså göra en riskfri vinst. Vilket även kallas att göra arbitrage. Övning 18 Hur ska in- och utlåningsräntorna vara relaterade i ovanstående exempel för att det ska gå att göra arbitrage på detta sätt? Övning 19 Du är erbjuden två betalströmmar (1000, 3000, 2000) och ( 1000, 3000, 2000). Utbetalningarna sker en gång per år. a) Beräkna betalströmmarnas effektiva räntor. b) Du kan låna pengar mot 5% ränta per år och låna ut mot 4%. Beskriv hur du kan göra arbitrage (riskfri vinst). 2 Räntans beroende av löptiden Vi ska nu ta hänsyn till att räntan varierar med löptiden och se vilka följder detta faktum får. 2.1 Nollkupongsobligationer Innehav av en k-årig nollkupongsobligation innebär att man får 1 kr efter k år. Låt d k beteckna priset på den k-åriga nollkupongsobligationen, k=1, 2,..., n och sätt d 0 = 1. Priset d k definierar värdet idag (nuvärdet) av 1 kr om k år. Dessa priser definierar även den k-åriga spoträntan, r k. genom sambandet d k = e kr k. Vi ska för resonemangets skull idealisera verkligheten och tänka oss att vi kan köpa och sälja dessa obligationer i godtyckliga mängder utan transaktionskostnader. Så till exempel om vi skulle vilja sälja (t.ex. en bråkdel av) en obligation vi inte har kan vi kostnadsfritt låna denna och sälja den för att senare betala tillbaka.

8 8 Finansmatematik II 2.2 Arbitragefria betalströmmar Nuvärdet av betalströmmen x= (x 0, x 1,..., x n ) är P V (x) = n d k x k. Låt x beteckna den betalström man erhåller genom att göra på följande sätt: Köp vid t = 0 x k k-åringar (detta innebär att man säljer x k om x k < 0), k = 1,..., n. Vänta till t = n. Kostnaden vid t = 0 är k=0 n x k d k = PV(x) x 0 k=1 och man erhåller x k kr vid t = k, k = 1, 2,..., n. Därför x = x p där p = (PV(x), 0,..., 0). Antag att PV(x)> 0. Då kan man genom att acceptera betalströmmarna x och -x erhålla betalströmmen p=x-x och därmed en riskfri vinst. Om istället PV(x)< 0 kan man erhålla betalströmmen -p och därmed en riskfri vinst genom att acceptera -x och x. Detta kallas arbitrage. Om vi antar att man inte kan göra arbitrage så måste alltså PV(x)=0 för alla betalströmmar. Observera att ett geometriskt sätt att uttrycka detta är att säga att x är ortogonal mot diskonteringsvektorn d= (d 0, d 1,..., d n ); x d = 0. Övning 20 Du avser att låna 1000 SEK och har att välja bland följande två alternativ: x=(1000, -866, -181) och y=(1000, -426, -656). Den första återbetalningen görs om ett år och den andra om två år. Ettårsobligationen kostar 0.97 SEK och tvååringen 0.89 SEK. a) Beräkna lånens effektiva räntor. Svar: r a (x) = 4%, r a (y) = 5%. b) Beräkna betalströmmarnas nuvärden. Beräkna även de ett- och tvååriga spoträntorna. Svar: P V (x) = 1.11, P V (y) = 2.94., r 1 = 3%, r 2 = 6% (avrundat). c) Lånet y är alltså att föredra trots att det har högre ränta än x. Beskriv hur du kan göra arbitrage med hjälp av y. d) Beskriv även hur långivaren kan göra arbitrage om du tar lånet x. (Här förutsätts att långivaren kan sälja obligationer kort.) 2.3 Arbitragesatsen Glöm för en stund den konkreta tolkningen av d som obligationspriser. Vi ska här istället visa att det finns en entydig diskonteringsvektor på varje marknad som uppfyller vissa villkor. Låt x 1,x 2,..., x N vara givna betalströmmar i R n+1 och låt L beteckna det vektorrum som genereras av dessa. Vi ska säga att arbitragemöjligheter föreligger om det finns x i L sådant att x 0 och x 0 (det senare betyder x k 0 för alla k = 0, 1,..., n). Annars säges L vara arbitragefri, vilket också kan uttryckas: L R n+1 + = {0}. I detta fall måste dim(l) n. Vi ska också säga att marknaden (d.v.s. L) är fullständig om dim(l)=n.

9 Räntans beroende av löptiden 9 Sats. Marknaden L är fullständig och arbitragefri om och endast om det finns ett d i R n+1 med d 0 = 1 och d 1 > 0, d 2 > 0,..., d n > 0 så att L = {x; x d = 0}. Diskonteringsvektorn d är entydigt bestämd av L. Bevis. Satsen är geometriskt uppenbar då n = 1 och 2. Eller hur? Antag att L är fullständig och arbitragefri. Låt c 0 ligga i det ortogonala komplementet till L, d.v.s. c x=0 för alla x i L. Då är c entydigt bestämd så när som på en multiplikativ konstant och L = {x; c x = 0} på grund av fullständigheten. Om c k = 0, så e k c=0. Alltså e k L. En motsägelse. Alltså c k 0 för alla k. Antag att ej alla c k har samma tecken. Då finns i och j så att c i > 0 och c j < 0. Sätt u=c i e j c j e i. Då u 0, u 0 och u c=0, d.v.s. u L. En motsägelse. Alltså har alla c k samma tecken. Den ena riktningen följer nu med d k = c k /c 0. Omvänt är det klart att om x d=0 så kan inte x 0 och x 0. Antag att L är fullständig och arbitragefri och att en ny betalström av formen ( p, a 1,..., a n ), där a 1,..., a n är givna tal, introduceras på marknaden. För att denna utvidgade marknad ska vara arbitragefri så måste alltså p = d 1 a d n a n. Nollkupongarna b 1 = ( d 1, 1, 0, 0,..., 0, 0), b 2 = ( d 2, 0, 1, 0,...,, 0, 0),..., b n = ( d n, 0, 0, 0,..., 0, 1) är en bas i L. Eller hur? Övning 21 Marknaden L 1 genereras av de två vektorerna (5, -6, -6) och (5, -5, -4), L 2 genereras av (5, -6, -6) och (-1, 0, 3) medan L 3 genereras av (5, -4, -2) och (-8, 6, 3). a) Avgör vilka av dessa marknader som är arbitragefria. Svar: L 2. b) Ytterligare en betalström av formen (-p, 2, 3) introduceras på marknaden L 2. Prissätt denna (d.v.s. bestäm p) så att den utvidgade marknaden blir arbitragefri. Övning 22 Marknaden L genereras av betalströmmen (2, -2, -1) och är således inte fullständig. Ytterligare en betalström av formen (-p, 1, 1) ska introduceras. För vilka p blir den utvidgade marknaden fullständig? Arbitragefri? Övning 23 Betrakta följande tre obligationer där periodlängden är ett år: A = ( P A, 110, 0, 0)), B = ( P B, 10, 110, 0), C = ( P C, 10, 10, 110). Samtliga räntor nedan är avkastningsräntan per år. a) Bestäm priset, P C, och den effektiva räntan mätt med årsavkastningen för obligation C om spoträntorna är som följer: 1 år = 7%, 2 år =9%, 3 år =11%. b) Bestäm priserna och spoträntorna om A, B och C har de effektiva räntorna 8.5%, 9.0% respektive 11.5%. 2.4 Räntekurvans förändringar J. Frye (Principals of risk: Finding VAR through Factor-Based Interest Rate Scenarios. In VAR: Understanding and applying Value at Risk. Risk Publications, London, 1997, ) gjorde en statistisk studie över de dagliga

10 10 Finansmatematik II förändringarna av räntan, hos tio amerikanska statspapper under 1543 dagar mellan 1989 och Covariansmatrisen för dessa 1543 vektorer av dimension 10 beräknades (skattades) och spektraluppdelades. Egenvektorerna a 1,..., a 10 är givna i Tabell 2. Dessa är parvis ortogonala och har längden 1. Motsvarande egenvärden betecknas σ 2 1,..., σ Förändringen r har koordinaterna ξ k = r a k i denna bas: r = ξ 1 a ξ 10 a 10. De stokastiska variablerna ξ 1,..., ξ 10 är okorrelerade och ordnade efter avtagande standardavvikelser, σ 1 > σ 2 >... > σ 10 : Tabell 1 i σ i Enheten är baspunkter (bp), d.v.s. 1/100 %= Tabell 2 Löptid 3 mo. 6 mo. 1 yr. 2 yr. 3 yr. 4 yr. 5 yr. 7 yr. 10 yr. 30 yr. a a a a a a a a a a Väntevärdet av r är försumbart jämfört med fluktuationerna och därför är standardavvikelsen det väsentliga. Vi har därför E r 2 σ 2 = σ σ 2 10 = Ränteförändringar längs a 1 står för /367.9 = 83% av den totala variansen och förändringar längs a 2 står för 10%. Tillsammans 93%. Genom att lägga till a 3 kommer man upp till 96%. I Figur 1är a 1, a 2 och a 3 plottade. Den första svarar i grova drag mot en parallellförskjutning av räntekurvan, den andra mot en brantning; räntor med löptid under c:a 2 år går åt ett håll och de övriga åt det andra hållet. Den tredje faktorn motsvarar en krökning; korta och långa räntor går åt ett håll och de övriga åt det andra hållet. Vi ska inte använda de exakta uttrycken för a 1, a 2 och a 3 utan approximera dessa med enkla analytiska uttryck. Skäl för detta är (förutom att det är behändigt): 1 Undersökningen omfattar en marknad under en tidsperiod och det är inte klart att man skulle få exakt samma resultat under andra omständigheter. 2 Undersökningen avser Yieldkurvan som beskriver den effektiva avkastningen och inte spoträntan. 3 Avkastningen är inte exakt densamma som den kontinuerliga räntan. Antag att räntan med löptid k är r k för k = 1, 2,..., n och att räntan ändrar sig från r = (r 1,..., r n ) till r + r. De analytiska uttryck som approximerar r

11 Räntans beroende av löptiden a1 0.2 a a Figur 1: De tre viktigaste komponenterna som förklarar räntekurvans förändringar. kan väljas på olika sätt. Vi ska här i första hand betrakta parallellförskjutning, och i andra hand brantning, r = 1 p, där 1 = (1,..., 1) r = r b. Genom att även betrakta förändringar av formen r = r 2 c, där r 2 = (r 2 1,..., r 2 n), kan man även efterlikna en viss typ av krökning. Genom att lägga till r k = (r k 1,..., r k n) för k = 3, 4,... kan man öka precisionen (men också komplikationen) i approximationen av r för att vid k = n 1 få perfekt anpassning. Övning 24 Antag att r 1,..., r n alla är olika. Visa att r k, k = 0, 1,..., n 1 spänner R n. Det är klart att a 3 inte går att efterlikna med en parabel men detta faktum har inte någon avgörande betydelse. Vi ska senare använda resultaten i detta avsnitt till att immunisera obligationsportföljer. En möjlighet är att gruppera obligationerna genom att dela in löptiden i några intervall och behandla varje grupp för sig. I Figur 2 visas en del av Yieldkurvorna för svenska statspapper den 4 augusti och den 4 september Vi har använt minsta kvadratskattningarna (i lodled) för att anpassa polynom av grad 0, o, grad 1, *, och grad 2, +, till den undre kurvan.

12 12 Finansmatematik II / / Figur 2: Yieldkurvans förändring samt approximationer med polynom av grad 0, o, grad 1, *, och grad 2, +. 5 Medelavståndet mellan de två Yieldkurvorna, d = 1 (r i r i) 2 /5, är 31 baspunkter medan medelavståndet mellan den undre kurvan och de olika approximationerna är 7.6, 4.3 respektive 3.8. Parallellförskjutning förklarar alltså merparten av ränteförändringen i detta fall. 2.5 Räntekänslighet Priset på en T -årig nollkupongare med nominellt värde 1 ges av P = e rt, där r är den T-åriga spoträntan. I nästa övning ges förändringen, P, i obligationens pris då r r + r. Övning 25 Visa att om man negligerar termer av storleksordningen ( r) 2 och mindre, så gäller P = T r P för priset på en nollkupongare med löptid T. I detta fall är alltså den relativa prisförändrigen proportionell mot löptiden. Nollkupongare med lång löptid är speciellt känsliga för ränteförändringar. För att studera effekten av en ränteförändring r r+ r, där r = (r 1,..., r n ) och r = ( r 1,..., r n ), på en allmän betalström x = ( P, x 1,..., x n ) skriver vi P (r) = n d k x k k=1

13 Räntans beroende av löptiden 13 för nuvärdet av de framtida utbetalningarna som funktion av r. Vi har P (r + r) = P (r) + P (r) r + O ( r 2). Övning 26 Visa att Det följer att P r k = kd k x k. Här är så där P P = D r + O( r 2). D = (1v 1, 2v 2,..., nv n ) och v k = d kx k P. Speciellt gäller att om spoträntekurvan förändrar sig genom parallellförskjutning, P P = D p + O( p 2), D = D 1 = 1v 1 + 2v nv n är durationen för x. Observera att denna är ett viktat medelvärde av utbetalningstidpunkterna 1,...,n och där vikterna är proportionella mot nuvärdena av de utbetalade beloppen. (Här förutsatte vi att x k 0 för alla k.) Övning 27 Visa att om två obligationsportföljer har priserna P 1 och P 2 och durationerna D 1 och D 2, så har den sammanslagna portföljen durationen P 1 P 1 + P 2 D 1 + P 2 P 1 + P 2 D 2. Det följer att om man sammansätter en obligationsportfölj av ett antal obligationer och dessa har positiva vikter, så kommer portföljens duration att ligga mellan den minsta och den största av de ingående obligationernas durationer. Övning 28 Betrakta följande tre obligationer där periodlängden är ett år: A = ( P A, 5, 5, 5, 5, 105), B = ( P B, 4, 4, 4, 104, 0), C = ( P C, 0, 100, 0, 0, 0). Beräkna priserna och durationerna i det fall (de kontinuerliga) spoträntorna är 4.69, 4.88, 5.07, 5.17 respektive 5.19%. Övning 29 Betrakta en obligation med nominellt värde F och kupongen c som delas ut m gånger per år i T = n/m år. Periodlängden är alltså 1/m år. Antag att räntan är rak; d k = d k, där d = e r/m = 1. Visa att 1+ y m a) D = 1 ( c n kd k + nd n F ) /P år. m m k=1

14 14 Finansmatematik II b) c) d) då c = yf. n k=1 D = kd k 1 = 1 (1 d n+1 (n + 1)d n) 1 d 1 d ( c ( 1 y y + m) 1 (1 d n ) + T ( F c ) ) d n /P y D = ( 1 y + 1 ) (1 d n ) m där Om räntekurvan förändras genom brantning, r = r b, så P P = D(1) b + O ( b 2), D (1) = D r = r 1 v 1 + 2r 2 v nr n v n är ett viktat medelvärde av räntorna fram till de olika utbetalningstidpunkterna. På motsvarande sätt ger ränteförändringen r = r 2 c prisförändringen där P P = D(2) b + O ( c 2), D (2) = D r 2 = r 2 1v 1 + 2r 2 2v nr 2 nv n. Ränteförändringar av formen r k = π p+βr k b+γrk 2 c ger alltså prisförändringen P P πd p βd(1) b γd (2) c. Övning 30 Beräkna D (1) och D (2) för obligationerna i Övning 28. Antag att Figur 2 beskriver spoträntan (och inte den effektiva avkastningen). I Tabell 3 ges den relativa prisförändringen, P/P, för de tre obligationerna A, B och C. I de tre kolumnerna till höger ges πd p, πd p βd (1) b och πd p βd (1) b γd (2) c, där minsta kvadratskattningarna i som visas i figuren har använts. Enheten är baspunkter. Tabell 3 P/P parallell +brantning +krökning A B C I detta fall förbättras approximationerna för alla tre obligationerna om man även immuniserar mot brantning men endast för A och C om man dessutom immuniserar mot krökning.

15 Räntans beroende av löptiden Immunisering Antag att vi redan idag vill säkra framtida betalningsåtaganden; x 1, x 2,..., x n, där x k ska betalas vid tiden k. Detta kan även formuleras som att vi innehar betalströmmen x 0 = (0, x 1,..., x n ) och vill ersätta den med en betalström av formen ( P, 0,..., 0). En tänkbar möjlighet är att idag köpa x k nollkupongare med nominellt värde 1 och löptid k, för k = 1,..., n, d.v.s. att skaffa betalströmmen där x = ( P, x 1,..., x n ), P = d 1 x d n x n är det pris vi får betala för obligationerna. Våra betalningsåtaganden har nu reducerats till x 0 + x = ( P, 0,..., 0) och därmed har vi eliminerat de framtida åtagandena, förutsatt att obligationerna är riskfria. Det kanske inte finns nollkupongare med exakt dessa löptider eller utbetalningarna kanske är så många och små att ovanstående förfaringssätt inte är lämpligt. I detta fall är ett alternativ att skaffa sig en obligationsportfölj, y, som kanske består av färre obligationer och som kanske har andra löptider men som har samma nuvärde som x och som reagerar på ränteförändringar på liknande sätt. Vi har P y (r + r) P x (r + r) = P y (r) P x (r) + ( P y (r) P x (r) ) r + O ( r 2) och därför om P y (r + r) P x (r + r) = O ( r 2) P y (r) = P x (r) och ( P y (r) P x (r) ) r = 0. Om vi vill immunisera y-x mot parallellförskjutningar av spoträntekurvan, så tar det andra villkoret formen D y = D x medan identiteten D y (1) = D x (1) immuniserar mot brantning. Portföljen behöver balanseras om vid första utbetalningen och eventuellt även tidigare om räntan förändrar sig väsentligt.

16 16 Finansmatematik II Antag att portföljen y är sammansatt av obligationerna b 1,..., b l och att a k är antalet av obligationen b k, k = 1,..., l, i portföljen; y = a 1 b a l b l. Låt P k, D k etc beteckna priserna, durationerna etc för b k. Ovanstående ekvationer tar då formen a 1 P a l P l = P x a 1 P 1 D a n P l D l = P x D x a 1 P 1 D (1) a l P l D (1) l = P x D x (1) eller v v l = 1 v 1 D v l D l = D x, där v 1 D (1) v l D (1) l = D x (1) v k = a kp k P x är vikten av obligationen b k i portföljen. Exempel 1 Antag att spoträntorna är som i Övning 28 och att vi vill imitera betalströmmen x=(-p,100,100,100,100,100) med hjälp av obligationerna i den övningen. Beräkningar visar att P = , D = 2.89 och D (1) = Låt oss först behandla fallet då vi använder endast två av de tre obligationerna och vill immunisera mot parallellförskjutningar. Om vi vill att vikterna ska vara positiva, så kan vi inte välja A och B eftersom detta ger en portfölj med duration 3.77 > D. Vi måste därför välja C och en av de andra, B t.ex. Vi får ekvationerna v B + v C = 1 v B D B + v C D C = D vilket har lösningen v B = D D C D B D C, v C = D B D D B D C. Portföljen erhålls alltså genom att köpa obligation B för v B P = SEK och C för v C P = SEK. Antalet av obligationerna B och C i portföljen blir v B P/P B = 2.28 respektive v C P/P C = Om vi antar att spoträntan förändrar sig som i Figur 2, så blir P x /P x = 81 bp att jämföras med P y /P y = 93 bp. Övning 31 Gör en portfölj med hjälp av obligationerna A och C som är immun relativt x mot parallellförskjutningar. För denna portfölj gäller P y /P y = 91 bp om spoträntan förändrar sig som i Figur 2.

17 Räntans beroende av löptiden 17 Exempel 2 Vi ska här immunisera även mot brantning genom att använda alla tre obligationerna A, B och C. I detta fall har vi ekvationerna v A + v B + v C = 1 v A D A + v B D B + v C D C = D v A D (1) A + v BD (1) B + v CD (1) C = D(1) som har lösningen: -0.27, 0.89, Här krävs det alltså en kort position i obligationen A. För denna portfölj gäller P y /P y = 94 bp om spoträntan förändrar sig som i Figur 2. En försämring jämfört med de två portföljerna i Exempel 1 och Övning 31. Övning 32 Antag att det finns nollkupongare med valfri löptid. Låt y bestå av ett antal av en nollkupongare. Vilket villkor ska vara uppfyllt för att immunisera mot a) parallellförskjutning. b) brantning. Om man immuniserar nollkupongaren i a) relativt x mot parallellförskjutningar och spoträntekurvan förändar sig som i Figur 2, så blir den relativa prisförändringen 72 bp, att jämföras med 81 bp för x. Övning 33 Antag att du ska betala 1 kr om T år och vill säkra utbetalningen genom att köpa en nollkupongare med löptid T år. En sådan finns inte men däremot finns nollkupongare med löptider T 1 och T 2 år, där T 1 < T < T 2. a) Bilda en obligationsportfölj bestående av T 1 åringar och T 2 åringar. Bestäm vikterna så att portföljen har samma nuvärde och duration som den T åriga nollkupongaren. b) Låt 0 (r) beteckna skillnaden mellan portföljens och den T åriga nollkupongarens värde vid tiden 0 som funktion av räntan r. Visa att 0 (r + 1 p) = d T 2 (T T 1)(T 2 T )( p) 2 + O(( p) 3 ). Uttrycket i b) är alltså positivt för små p. Om man kunde lita på att räntan förändras genom parallellförskjutning, så vore det bättre att bilda ovanstående portfölj även om den T-åriga nollkupongaren finns. Men man kan inte lita på det: Om vi antar att spoträntekurvan förändar sig som i Figur 2 och vi låter T 1 = T 1, T 2 = T + 1 år för T = 2, 3, 4, så blir 0 (r + 1 p) : -26, 23 respektive -13 bp. Att jämföras med de absoluta förändringarna i d T : 75, 59 respektive 88 bp. Litteratur Luenberger, D.G., Investment Science. Oxford University Press 1998 Detta är en bred framställning som berör många områden inom finansmatematiken.

18 18 Finansmatematik II Svar till övningarna 3 P V (417) = 417/1.05 = , P V (430) = 430/ = T = ln 2/r = år=13 år 10 månader och 11 dagar kr 6 Om hela intäkten återinvesteras, så har man efter sex år 1.34, 1.37 respektive Skörd efter 2 år är alltså att föredra. 8 Kontinuerlig ränta=0.1113, avkastning= per år. 9 Den effektiva räntan ges av årsavkastningarna 0.050, respektive per år. 12 Kontinuerlig ränta=0.0835, avkastning= per år. 13 Årsavkastning=6.2%, månader, 3867 kr. 16 Årsavkastning=4.06%. 17 a P = (c 2 c)/(c 2 c 1 )P 1 + (c c 1 )/(c 2 c 1 )P 2 b c = 0, c 2 /(c 2 c 1 )P 1 /P respektive c 1 /(c 2 c 1 )P 2 /P. c För c mellan c 1 och c r u > r i /(1+r i ), där r u och r i står för ut- respektive inlåningsräntan angiven som årsavkastning. 19 a Den effektiva avkastningen är 0 eller 100% för båda. b Vid t = 0: Låna 1000 kr och acceptera den andra betalströmmen. Vid t = 1: Amortera lånet med = 1050 kr. Låna ut återstoden = 1950 kr. Vid t = 2: Lånet återbetalas till dig med = 2028 kr och du betalar 2000 kr. Kvar 28 kr. Du får alltså betalströmmen (0, 0, 28). 20 c: Ta lånet och köp 426 ettåringar och 656 tvååringar. Detta ger dig betalströmmen (2.94, 0, 0). 20 d Långivaren säljer kort 866 ettåringar och 181 tvååringar. Detta ger långivaren betalströmmen (1.11, 0, 0). 21 b p = 2. 22: Fullständig för alla p. Arbitragefri för 1 < p < a) Pris Effektiv ränta b) Pris , Effektiv ränta 8.50% 9.02% Priser: 98.67, 95.45, Durationer: 4.54, 3.77, D (1) : 0.235, 0.194, D (2) : 0.012, 0.010, Köp A för SEK och C för SEK: 32 a) T = D, b) T r T = D (1). 33 a) v T1 = T2 T T 2 T 1, v T2 = T T1 T 2 T 1

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 02 10 25. RÄNTA 1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 3.

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 3. STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 2. Luenberger: 2:1-5, 9, 11, 12. Övning 1. Du lånar 200000 kr i en bank

Läs mer

Räntemodeller och marknadsvärdering av skulder

Räntemodeller och marknadsvärdering av skulder Räntemodeller och marknadsvärdering av skulder Fredrik Armerin Matematisk statistik, KTH Aktuarieföreningen 17-18 november 2004 Dag 2 NOLLKUPONGSKURVOR 1 Nollkupongsobligationer En nollkupongsobligation

Läs mer

Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering

Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 04 0 8 Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering 2 Finansmatematik II Risk och diversifiering

Läs mer

Lösningar till tentamen i Grundläggande nansmatematik. 21 december 2006 kl. 914

Lösningar till tentamen i Grundläggande nansmatematik. 21 december 2006 kl. 914 STOCKHOLMS UNIVERSITET MS 3290 MATEMATISKA INSTITUTIONEN TENTAMEN Avd. Matematisk statistik 21 december 2006 Lösningar till tentamen i Grundläggande nansmatematik 21 december 2006 kl. 914 Uppgift 1 Priset

Läs mer

Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för:

Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Finansiell ekonomi Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 27/3 2015 Tid: 14:00 19:00 21FE1B Nationalekonomi 1-30 hp, omtentamen

Läs mer

Del 4 Emittenten. Strukturakademin

Del 4 Emittenten. Strukturakademin Del 4 Emittenten Strukturakademin Innehåll 1. Implicita risker och tillgångar 2. Emittenten 3. Obligationer 4. Prissättning på obligationer 5. Effekt på villkoren 6. Marknadsrisk och Kreditrisk 7. Implicit

Läs mer

Del 16 Kapitalskyddade. placeringar

Del 16 Kapitalskyddade. placeringar Del 16 Kapitalskyddade placeringar Innehåll Kapitalskyddade placeringar... 3 Obligationer... 3 Prissättning av obligationer... 3 Optioner... 4 De fyra positionerna... 4 Konstruktion av en kapitalskyddad

Läs mer

AID:... LÖSNINGSFÖRSLAG TENTA 2013-05-03. Aktiedelen, uppdaterad 2014-04-30

AID:... LÖSNINGSFÖRSLAG TENTA 2013-05-03. Aktiedelen, uppdaterad 2014-04-30 LÖSNINGSFÖRSLAG TENTA 013-05-03. Aktiedelen, udaterad 014-04-30 Ugift 1 (4x0.5 = oäng) Definiera kortfattat följande begre a) Beta värde b) Security Market Line c) Duration d) EAR Se lärobok, oweroints.

Läs mer

Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för:

Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Finansiell ekonomi Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 23/8 13 Tid: 09:00 14:00 Hjälpmedel: Miniräknare SFE011 Nationalekonomi

Läs mer

Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för:

Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Finansiell ekonomi Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Skriftlig tentamen 21FE1B Nationalekonomi 1-30 hp 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum:

Läs mer

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 8..05 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar

Läs mer

AID:... Uppgift 1 (2 poäng) Definiera kortfattat följande begrepp. a) IRR b) APR c) Going concern d) APV. Lösningsförslag: Se Lärobok och/alt Google.

AID:... Uppgift 1 (2 poäng) Definiera kortfattat följande begrepp. a) IRR b) APR c) Going concern d) APV. Lösningsförslag: Se Lärobok och/alt Google. Notera att det är lösningsförslag. Inga utförliga lösningar till triviala definitioner och inga utvecklade svar på essä-typ frågor. Och, att kursen undervisas lite olika år från år. År 2013 mera från Kap

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik, GA 08 januari 2015. Lösningar

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik, GA 08 januari 2015. Lösningar STOCKHOLMS UNIVERSITET MT712 MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, GA 8 januari 215 Lösningar Tentamen i Livförsäkringsmatematik I, 8 januari 215 Uppgift 1 a) Först konstaterar

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Modern kapitalförvaltning kundanpassning med flexibla lösningar

Modern kapitalförvaltning kundanpassning med flexibla lösningar Modern kapitalförvaltning kundanpassning med flexibla lösningar (Från Effektivt Kapital, Vinell m.fl. Norstedts förlag 2005) Ju rikare en finansmarknad är på oberoende tillgångar, desto större är möjligheterna

Läs mer

Del 17 Optionens lösenpris

Del 17 Optionens lösenpris Del 17 Optionens lösenpris Innehåll Optioner... 3 Optionens lösenkurs... 3 At the money... 3 In the money... 3 Out of the money... 4 Priset... 4 Kapitalskyddet... 5 Sammanfattning... 6 Strukturerade placeringar

Läs mer

c S X Värdet av investeringen visas av den prickade linjen.

c S X Värdet av investeringen visas av den prickade linjen. VFTN01 Fastighetsvärderingssystem vt 2011 Svar till Övning 2011-01-21 1. Förklara hur en köpoptions (C) värde förhåller sig till den underliggande tillgångens (S) värde. a. Grafiskt: Visa sambandet, märk

Läs mer

Del 13 Andrahandsmarknaden

Del 13 Andrahandsmarknaden Del 13 Andrahandsmarknaden Strukturakademin Strukturakademin Srukturinvest Fondkommission 1 Innehåll 1. Produktens värde på slutdagen 2. Produktens värde under löptiden 3. Köp- och säljspread 4. Obligationspriset

Läs mer

120 110 S t : 100 100 90 80 Vi ska här betrakta ett antal portföljer som vid t = 0 är värda 100 SEK.

120 110 S t : 100 100 90 80 Vi ska här betrakta ett antal portföljer som vid t = 0 är värda 100 SEK. STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. KOMPLEMENT DAG 5. HANDELSSTRATEGIER Låt S t beteckna priset på en aktie vid tiden t. Vi

Läs mer

Kredit och valutamarknaden i ett, Ht 11A

Kredit och valutamarknaden i ett, Ht 11A Datum 008--0 Dokumentnummer Titel Instuderingsfrågor Kredit och valutamarknaden i ett, Ht A Rev 0.0 Upprättat av Göran Hägg Godkänt av Distribueras till För kännedom Instud.uppg. med utvalda svar Kredit

Läs mer

Finansmatematik II Kapitel 4 Tillväxt och risk

Finansmatematik II Kapitel 4 Tillväxt och risk 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd för Matematisk statistik Thmas Höglund Versin 04 10 21 Finansmatematik II Kapitel 4 Tillväxt ch risk 2 Finansmatematik II Man går inte in på aktiemarknaden

Läs mer

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Detta kapitel är en liten matematisk vägledning om att beräkna tillväxttakten i Excel. Här visas exempel på potenser och logaritmer och hur dessa funktioner beräknas

Läs mer

Del 18 Autocalls fördjupning

Del 18 Autocalls fördjupning Del 18 Autocalls fördjupning Innehåll Autocalls... 3 Autocallens beståndsdelar... 3 Priset på en autocall... 4 Känslighet för olika parameterar... 5 Avkastning och risk... 5 del 8 handlade om autocalls.

Läs mer

AID:... För definitioner se läroboken. För att få poäng krävs mer än att man bara skriver ut namnet på förkortningen.

AID:... För definitioner se läroboken. För att få poäng krävs mer än att man bara skriver ut namnet på förkortningen. Lösningsförslag aktiedelen Tenta augusti 11, 2014 Uppgift 1 (4 poäng) 2014-08-25 Definiera kortfattat följande begrepp a) CAPM b) WACC c) IRR d) Fria kassaflöden För definitioner se läroboken. För att

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG Tentamen Finansiering I (FÖ3006) 22/2 2013

LÖSNINGSFÖRSLAG Tentamen Finansiering I (FÖ3006) 22/2 2013 LÖSNINGSFÖRSLAG Tentamen Finansiering I (FÖ006) 22/2 20 Hjälpmedel: Räknare samt formler på sidan. Betyg: G = p, VG = 9 p Maxpoäng 25 p OBS: Glöm ej att redovisa dina delberäkningar som har lett till ditt

Läs mer

Tentamen Finansiering I (FÖ3006) 22/8 2013

Tentamen Finansiering I (FÖ3006) 22/8 2013 1 Tentamen Finansiering I (FÖ3006) 22/8 2013 Hjälpmedel: Räknare Betyg: G = 13 p, VG = 19 p Maxpoäng 25 p OBS: Glöm ej att redovisa dina delberäkningar som har lett till ditt svar! För beräkningsuppgifterna:

Läs mer

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM KH/CW/SS Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1p, för kandidatprogrammet i fysik, /5 01, 9-14 Införda beteckningar skall förklaras och uppställda ekvationer motiveras

Läs mer

Del 15 Avkastningsberäkning

Del 15 Avkastningsberäkning Del 15 Avkastningsberäkning 1 Innehåll 1. Framtida förväntat pris 2. Price return 3. Total Return 5. Excess Return 6. Övriga alternativ 7. Avslutande ord 2 I del 15 går vi igenom olika möjliga alternativ

Läs mer

Riktlinjer Allmänt Rapportens innehåll Identifikatortyp. ISIN CUSIP SEDOL OTHER Identifikator.

Riktlinjer Allmänt Rapportens innehåll Identifikatortyp. ISIN CUSIP SEDOL OTHER Identifikator. Riktlinjer Från och med 2014-05-31 1(5) Riktlinjer för rapportering av värdepappersemissioner giltiga från och med 2014-05-31 I Riksbankens författningssamling, RBFS 2012:1 ges riktlinjer om vilken typ

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

Del 2 Korrelation. Strukturakademin

Del 2 Korrelation. Strukturakademin Del 2 Korrelation Strukturakademin Innehåll 1. Implicita tillgångar 2. Vad är korrelation? 3. Hur fungerar sambanden? 4. Hur beräknas korrelation? 5. Diversifiering 6. Korrelation och Strukturerade Produkter

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

Del 14 Kreditlänkade placeringar

Del 14 Kreditlänkade placeringar Del 14 Kreditlänkade placeringar Srukturinvest Fondkommission 1 Innehåll 1. Obligationsmarknaden 2. Företagsobligationer 3. Risken i obligationer 4. Aktier eller obligationer? 5. Avkastningen från kreditmarknaden

Läs mer

Approximation av funktioner

Approximation av funktioner Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner

Läs mer

Ränteberäkning vid reglering av monopolverksamhet

Ränteberäkning vid reglering av monopolverksamhet 1 Jan Bergstrand 2009 12 04 Ränteberäkning vid reglering av monopolverksamhet Bakgrund Energimarknadsinspektionen arbetar f.n. med en utredning om reglering av intäkterna för elnätsföretag som förvaltar

Läs mer

Vi ska här utgå ifrån att vi har en aktie och ska med denna som grund konstruera tre olika optionsportföljer.

Vi ska här utgå ifrån att vi har en aktie och ska med denna som grund konstruera tre olika optionsportföljer. STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd för Matematisk statistik TH FINANSMATEMATIK I, HT 01 KOMPLEMENT DAG 12 Version 01 12 10 TRE OPTIONSSTRATEGIER Vi ska här utgå ifrån att vi har en aktie

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

TENTA 2011-08-15 723G28/723G29 (uppdaterad 2014-02-03)

TENTA 2011-08-15 723G28/723G29 (uppdaterad 2014-02-03) TENTA 2011-08-15 723G28/723G29 (uppdaterad 2014-02-03) LÖSNINGSFÖRSLAG: Notera förslag och att det är skisser inte fullständiga svar på definitioner och essäfrågor Uppgift 1 (2 poäng) Definiera kortfattat

Läs mer

LÖSNINGSFÖRLAG 2010-10-27

LÖSNINGSFÖRLAG 2010-10-27 Linköpings universitet 100928 IEI/Nek Bo Sjö LÖSNINGSFÖRLAG 2010-10-27 Tentamen 2010-10-01, kl. 08:00-13:00 Finansiell ekonomi, 7,5Hp Affärsjuridiska programmet (730G32) Skrivningen består av 4 uppgifter

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

I4 övning. praktikfallsövning. I5 datorlabb. I8 övning. Investeringsbedömning: I1 F (OS) Grundmodeller och begrepp I2 F (OS)

I4 övning. praktikfallsövning. I5 datorlabb. I8 övning. Investeringsbedömning: I1 F (OS) Grundmodeller och begrepp I2 F (OS) Investeringsbedömning: I1 F (OS) I2 F (OS) I3 F (OS) Grundmodeller och begrepp Prisförändringar och inflation Skatt I4 övning I5 datorlabb praktikfallsövning I6 F (OS) I7 F (OS) Uppföljning och tolkning

Läs mer

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Diskreta slumpvariabler En slumpvariabel tilldelar tal till samtliga utfall i ett slumpförsök. Vi

Läs mer

Bonusövningsuppgifter med lösningar till första delen i Makroekonomi

Bonusövningsuppgifter med lösningar till första delen i Makroekonomi LINKÖPINGS UNIVERSITET Ekonomiska Institutionen Nationalekonomi Peter Andersson Bonusövningsuppgifter med lösningar till första delen i Makroekonomi Bonusuppgift 1 Nedanstående uppgifter redovisas för

Läs mer

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK Laboration 5: Regressionsanalys DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 Syftet med den här laborationen är att du skall

Läs mer

Kombinatorik. Kapitel 2. Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av

Kombinatorik. Kapitel 2. Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av Kapitel 2 Kombinatorik Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av det antal sätt, på vilket elementen i en given mängd kan arrangeras i delmängder på något sätt.

Läs mer

Mer om reella tal och kontinuitet

Mer om reella tal och kontinuitet Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer

Läs mer

» Industriell ekonomi FÖ7 Investeringskalkylering

» Industriell ekonomi FÖ7 Investeringskalkylering » Industriell ekonomi FÖ7 Investeringskalkylering Norrköping 2013-01-29 Magnus Moberg Magnus Moberg 1 FÖ7 Investeringskalkylering» Välkommen, syfte och tidsplan» Repetition» Frågor? Magnus Moberg 2 » Definition

Läs mer

VÄSENTLIG INFORMATION AVSEENDE CERTIFIKAT MINI FUTURE SHORT

VÄSENTLIG INFORMATION AVSEENDE CERTIFIKAT MINI FUTURE SHORT VÄSENTLIG INFORMATION AVSEENDE CERTIFIKAT MINI FUTURE SHORT Hur ska jag använda detta dokument? Detta dokument förser dig med information om väsentliga egenskaper och risker för en investering i Certifikat

Läs mer

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Provet omfattar s. 102-135 (kap 4) och s.183-186, 189, 191, 193, 200-215. Repetition: Repetitionsuppgifter 4, läa 13-16 (s. 255 260) samt andra övningsuppgifter

Läs mer

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet FACIT: Numeriska metoder Man måste lösa tre problem. Problemen 1 och är obligatoriska, och man kan välja Problemet 3 eller 4 som den tredje. Hjälp medel: Miniräknare (med Guidebook för miniräknare) och

Läs mer

» Industriell ekonomi FÖ5 Investeringskalkylering. Linköping 2012-11-08 Magnus Moberg

» Industriell ekonomi FÖ5 Investeringskalkylering. Linköping 2012-11-08 Magnus Moberg » Industriell ekonomi FÖ5 Investeringskalkylering Linköping 2012-11-08 Magnus Moberg FÖ4 Investeringskalkylering» Välkommen, syfte och tidsplan» Repetition» Frågor? » Definition Vad är en investering?

Läs mer

Produktinnovation Del 10 Lönsamhetsbedömning

Produktinnovation Del 10 Lönsamhetsbedömning Produktinnovation Del 10 Lönsamhetsbedömning Robert Bjärnemo och Damien Motte Avdelningen för maskinkonstruktion Institutionen för designvetenskaper LTH Inledning Kalkylmetoder Payback-metoden (återbetalningsmetoden)

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

52 = 1041. 1040 1.00096 Vi kan nu teckna hur mycket pengar han har, just när han har satt in sina 280 kr den tredje måndagen + 280 1040

52 = 1041. 1040 1.00096 Vi kan nu teckna hur mycket pengar han har, just när han har satt in sina 280 kr den tredje måndagen + 280 1040 Tillämpningar på främst geometriska, men även aritmetiska summor och talföljder. Att röka är ett fördärv. Förutom att man kan förlora hälsan går en mängd pengar upp i rök. Vi träffar Cigge, som röker 20

Läs mer

Finansmatematik II Kapitel 5 Samvariation med marknaden

Finansmatematik II Kapitel 5 Samvariation med marknaden 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 04 1 03 Finansmatematik II Kapitel 5 Samvariation med marknaden Finansmatematik II 1 Marknaden Med

Läs mer

VÄSENTLIG INFORMATION AVSEENDE BULL-CERTIFIKAT

VÄSENTLIG INFORMATION AVSEENDE BULL-CERTIFIKAT VÄSENTLIG INFORMATION AVSEENDE BULL-CERTIFIKAT Hur ska jag använda detta dokument? Detta dokument förser dig med information om väsentliga egenskaper och risker för en investering i Bull-certifikat (även

Läs mer

3. Förklara hur en skattehöjning inte nödvändigtvis kommer att innebära att vi arbetar mindre. Visa!!

3. Förklara hur en skattehöjning inte nödvändigtvis kommer att innebära att vi arbetar mindre. Visa!! Övning 7 den 24 september 2009 Faktormarknaderna Frank kap 14-15 1. Hur kan man förklara den i relation till spridningen i marginalproduktivitet låga lönespridningen på arbetsplatser? Läs The Internal

Läs mer

Juli/Augusti 2003. Valutawarranter. sverige

Juli/Augusti 2003. Valutawarranter. sverige Juli/Augusti 2003 Valutawarranter sverige in troduktion Valutamarknaden är en av de mest likvida finansiella marknaderna, där många miljarder omsätts i världens olika valutor varje dag. Marknaden drivs

Läs mer

Bilaga 1 till Underlag för Standard för pensionsprognoser

Bilaga 1 till Underlag för Standard för pensionsprognoser Bilaga 1 2012-10-17 1 (5) Pensionsadministrationsavdelningen Håkan Tobiasson Bilaga 1 till Underlag för Standard för pensionsprognoser Utgångspunkter för avkastningsantagande Det finns flera tungt vägande

Läs mer

Teresia Månsson, VFU, Matematik 5, 2014-12-10

Teresia Månsson, VFU, Matematik 5, 2014-12-10 Temauppgifter Syfte Det är tänkt att det ska finnas möjlighet med uppgiften att öva på följande förmågor: begrepps-, procedur-, problemlösning, kommunikations-, resonemang, modelleringsförmåga och relevansförmåga

Läs mer

Prissättning av optioner

Prissättning av optioner TDB,projektpresentation Niklas Burvall Hua Dong Mikael Laaksonen Peter Malmqvist Daniel Nibon Sammanfattning Optioner är en typ av finansiella derivat. Detta dokument behandlar prissättningen av dessa

Läs mer

), beskrivs där med följande funktionsform,

), beskrivs där med följande funktionsform, BEGREPPET REAL LrNGSIKTIG JeMVIKTSReNTA 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 Diagram R15. Grafisk illustration av nyttofunktionen för s = 0,3 och s = 0,6. 0,0 0,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 s = 0,6 s = 0,3 Anm. X-axeln

Läs mer

FÖRDELAKTIGHETSJÄMFÖRELSER MELLAN INVESTERINGAR. Tero Tyni Sakkunnig (kommunalekonomi) 25.5.2007

FÖRDELAKTIGHETSJÄMFÖRELSER MELLAN INVESTERINGAR. Tero Tyni Sakkunnig (kommunalekonomi) 25.5.2007 FÖRDELAKTIGHETSJÄMFÖRELSER MELLAN INVESTERINGAR Tero Tyni Sakkunnig (kommunalekonomi) 25.5.2007 Vilka uppgifter behövs om investeringen? Investeringskostnaderna Den ekonomiska livslängden Underhållskostnaderna

Läs mer

räntebevis Högre avkastning än räntesparande Lägre marknadsrisk än aktiesparande

räntebevis Högre avkastning än räntesparande Lägre marknadsrisk än aktiesparande räntebevis Högre avkastning än räntesparande Lägre marknadsrisk än aktiesparande räntebevis Dagens historiskt låga räntenivåer ger mycket låg avkastning i ett traditionellt räntesparande såsom räntefonder

Läs mer

y z 3 = 0 z 5 16 1 i )

y z 3 = 0 z 5 16 1 i ) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-433 Sören Hector 7-46686 Rolf Källström 7-6939 Ingenjörer, Lantmätare och Distansstuderande, mfl. Linjär Algebra ma4a 4 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna

Läs mer

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Karlstads GeoGebrainstitut Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet Mats Brunström Maria Fahlgren GeoGebra ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Invigning

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

Ändring i kapitalförsörjningsförordningen

Ändring i kapitalförsörjningsförordningen 2002-09-16 Ny lånemodell Ändring i kapitalförsörjningsförordningen Regeringen tog den 10 maj 2002 beslut om att ändra 6 första stycket i kapitalförsörjningsförordningen. Ändringen trädde i kraft den 1

Läs mer

Bindningstider och rabatter i räntesatsindex

Bindningstider och rabatter i räntesatsindex Pm till nämnden för KPI 1(8) ES/PR Bindningstider och rabatter i räntesatsindex För diskussion För närvarande är räntesatsindex i allt väsentligt baserat på bankernas/ bostadsinstitutens officiella listräntor.

Läs mer

Lånefordringar och andra fordringar som bör nuvärdesberäknas enligt ESV:s bestämmelser i 5 kap. 14 FÅB

Lånefordringar och andra fordringar som bör nuvärdesberäknas enligt ESV:s bestämmelser i 5 kap. 14 FÅB 1/6 Datum 2015-06-18 ESV Dnr Ert datum Er beteckning Handläggare Curt Johansson Lånefordringar och andra fordringar som bör nuvärdesberäknas enligt ESV:s bestämmelser i 5 kap. 14 FÅB Vilken diskonteringsränta

Läs mer

Högskoleprovet Kvantitativ del

Högskoleprovet Kvantitativ del Högskoleprovet Kvantitativ del Här följer anvisningar till de kvantitativa delproven XYZ, KVA, NOG och DTK. Provhäftet innehåller 40 uppgifter och den totala provtiden är 55 minuter. Ägna inte för lång

Läs mer

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Frågeställning Av en cirkulär pappersskiva kan en cirkelsektor med en viss vinkel klippas bort. Med den resterande sektorn går

Läs mer

Aktieindexobligationer hög avkastning till låg risk

Aktieindexobligationer hög avkastning till låg risk Aktieindexobligationer hög avkastning till låg risk Utvärdering av Handelsbankens aktieindexobligationer 1994-2007 Sammanfattning Avkastning jämförbar med aktier Handelsbankens aktieindexobligationer har

Läs mer

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0 Diagonalisering Anm. Begreppet diagonaliserbarhet är relevant endast för linjära avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser. När vi i fortsättningen

Läs mer

TENTAMEN. Finansiell Planering 7,5 poäng Lönsamhetsanalys & Finansiering 7,5 poäng Lönsamhetsanalys & Finansiering för fatighetsmäklare7,5 poäng

TENTAMEN. Finansiell Planering 7,5 poäng Lönsamhetsanalys & Finansiering 7,5 poäng Lönsamhetsanalys & Finansiering för fatighetsmäklare7,5 poäng HÖGSKOLAN I BORÅS Institutionen Handelsoch IT-högskolan (HIT) TENTAMEN Finansiell Planering 7,5 poäng Lönsamhetsanalys & Finansiering 7,5 poäng Lönsamhetsanalys & Finansiering för fatighetsmäklare7,5 poäng

Läs mer

Del 3 Utdelningar. Strukturakademin

Del 3 Utdelningar. Strukturakademin Del 3 Utdelningar Strukturakademin Innehåll 1. Implicita tillgångar 2. Vad är utdelningar? 3. Hur påverkar utdelningar optioner? 4. Utdelningar och Forwards 5. Prognostisera utdelningar 6. Implicita utdelningar

Läs mer

Del 6 Valutor. Strukturakademin

Del 6 Valutor. Strukturakademin Del 6 Valutor Strukturakademin Innehåll 1. Strukturerade produkter och valutor 2. Hur påverkar valutor? 3. Metoder att hantera valutor 4. Quanto Valutaskyddad 5. Composite Icke valutaskyddad 6. Lokal Icke

Läs mer

Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren

Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren Publicerad med tillstånd av Nämnaren Thomas Lingefjärd Geogebra i gymnasieskolan En tilltalande egenskap med Geogebra är att programmet kan användas tvärs över stora delar av utbildningssystemets matematikkurser.

Läs mer

Introduktion till algoritmer - Lektion 1 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 1

Introduktion till algoritmer - Lektion 1 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 1 Kattis Lektion 1 I kursen används onlinedomaren Kattis (från http://kattis.com) för att automatiskt rätta programmeringsproblem. För att få ett konto på Kattis anmäler du dig på Programmeringsolympiadens

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Y

Sammanfattningar Matematikboken Y Sammanfattningar Matematikboken Y KAPitel 1 TAL OCH RÄKNING Numeriska uttryck När man beräknar ett numeriskt uttryck utförs multiplikation och division före addition och subtraktion. Om uttrycket innehåller

Läs mer

Praktisk beräkning av SPICE-parametrar för halvledare

Praktisk beräkning av SPICE-parametrar för halvledare SPICE-parametrar för halvledare IH1611 Halvledarkomponenter Ammar Elyas Fredrik Lundgren Joel Nilsson elyas at kth.se flundg at kth.se joelni at kth.se Martin Axelsson maxels at kth.se Shaho Moulodi moulodi

Läs mer

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite

Läs mer

GRUNDLÄGGANDE EKVATION SOM ANGER EKVIVALENSEN MELLAN DELS LÅ- NENS, DELS ÅTERBETALNINGARNAS OCH OMKOSTNADERNAS VÄRDE

GRUNDLÄGGANDE EKVATION SOM ANGER EKVIVALENSEN MELLAN DELS LÅ- NENS, DELS ÅTERBETALNINGARNAS OCH OMKOSTNADERNAS VÄRDE 1568 Nr 608 Bilaga GRUNDLÄGGANDE EKVATION SOM ANGER EKVIVALENSEN MELLAN DELS LÅ- NENS, DELS ÅTERBETALNINGARNAS OCH OMKOSTNADERNAS VÄRDE K m K 1 A K m K t (1 ' K ' (1 K t K ' K 1 A Bokstävernas och symbolernas

Läs mer

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik

Läs mer

Det cirkulära flödet, pengar, och ränta

Det cirkulära flödet, pengar, och ränta Kapitel 3 Det cirkulära flödet, pengar, och ränta 1. BNP, kvantitetsteoremet, och inflation MV = PY. När mängden pengar eller omloppshastigheten dubbleras, dubbleras prisnivån på lång sikt, medan Y, real

Läs mer

Godisförsäljning. 1. a) Vad blir den totala kostnaden om klassen köper in 10 kg godis? Gör beräkningen i rutan nedan.

Godisförsäljning. 1. a) Vad blir den totala kostnaden om klassen köper in 10 kg godis? Gör beräkningen i rutan nedan. Godisförsäljning För att samla in pengar till en klassresa har Klass 9b på Gotteskolan bestämt sig för att hyra ett bord och sälja godis på Torsbymarten. Det kostar 100 kr att hyra ett bord. De köper in

Läs mer

P d E ": (69) =R S + (1+R S)E t+1 E t R S E t. =R S + (1+R S)(E t+1 E t ) ¼R S + E t+1 E t

P d E : (69) =R S + (1+R S)E t+1 E t R S E t. =R S + (1+R S)(E t+1 E t ) ¼R S + E t+1 E t 4 VÄaxelkurser och räantor Som vi tidigare noterat Äar den reala väaxelkursen, kallad"; lika med utbytesfäorhºallandet mellan utläandska varor och inhemska, medan den nominella Äar relativpriset pºa de

Läs mer

Slutliga Villkor för Lån 3114 under Skandinaviska Enskilda Banken AB:s (publ) ( SEB eller Banken ) svenska MTN-program

Slutliga Villkor för Lån 3114 under Skandinaviska Enskilda Banken AB:s (publ) ( SEB eller Banken ) svenska MTN-program Slutliga Villkor för Lån 3114 under Skandinaviska Enskilda Banken AB:s (publ) ( SEB eller Banken ) svenska MTN-program För Lånet skall gälla allmänna villkor för rubricerat MTN-program av den 27 juni 2012

Läs mer

Placeringsalternativ kopplat till tre strategier på G10 ländernas valutor

Placeringsalternativ kopplat till tre strategier på G10 ländernas valutor www.handelsbanken.se/mega Strategiobligation SHB FX 1164 Placeringsalternativ kopplat till tre strategier på G10 ländernas valutor Strategierna har avkastat 14,5 procent per år sedan år 2000 Låg korrelation

Läs mer

Emmanouel Parasiris INVESTERINGSBEDÖMNING

Emmanouel Parasiris INVESTERINGSBEDÖMNING Emmanouel Parasiris INVESTERINGSBEDÖMNING INVESTERINGSBEDÖMNING VAD MENAS MED INVESTERINGSBEDÖMNING? VILKA METODER? DEFINITION : Hur man ska gå tillväga för att bedöma lönsamheten av ett investeringsbeslut

Läs mer

Investeringsbedömning. BeBo Räknestuga 12 oktober 2015. Gothia Towers, Göteborg

Investeringsbedömning. BeBo Räknestuga 12 oktober 2015. Gothia Towers, Göteborg BeBo Räknestuga 12 oktober 2015 Gothia Towers, Göteborg 1 Investeringsbedömning Företagens långsiktiga problem är att avgöra vilka nya resurser som skall införskaffas investeringar. Beslutet avgörs av

Läs mer

TENTAMEN. Finansiell Planering 7,5 poäng

TENTAMEN. Finansiell Planering 7,5 poäng HÖGSKOLAN I BORÅS Institutionen Handelsoch IT-högskolan (HIT) TENTAMEN Finansiell Planering 7,5 poäng 2014-10-29 kl 09.00-14.00 Hjälpmedel: Miniräknare Max poäng: 40 Väl godkänt: 30 Godkänt: 20 OBS! För

Läs mer

Del 1 Volatilitet. Strukturakademin

Del 1 Volatilitet. Strukturakademin Del 1 Volatilitet Strukturakademin Innehåll 1. Implicita tillgångar 2. Vad är volatilitet? 3. Volatility trading 4. Historisk volatilitet 5. Hur beräknas volatiliteten? 6. Implicit volatilitet 7. Smile

Läs mer

Stokastiska processer

Stokastiska processer Stokastiska processer Fredrik Olsson, fredrik.olsson@iml.lth.se Avdelningen för produktionsekonomi Lunds tekniska högskola, Lunds universitet Dessa förläsningsanteckningar kommer att behandla diskreta

Läs mer

Fastighetsmarknaden VFT 015 Höstterminen 2014

Fastighetsmarknaden VFT 015 Höstterminen 2014 Fastighetsmarknaden VFT 015 Höstterminen 2014 Ordinarie tentamen - SVAR Examinator: Ingemar Bengtsson Skriftlig tentamen Datum 2014-10-28 Tid 08:00-13:00 Plats Vic 1B Anvisningar Besvara frågorna på lösa

Läs mer