STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version Finansmatematik II Kapitel 1

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 06 04 04. Finansmatematik II Kapitel 1"

Transkript

1 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version Finansmatematik II Kapitel 1 Ränta

2 2 Finansmatematik II 1 Rak ränta Med rak ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid (löptid). 1.1 Ränta på ränta Vid förräntning n gånger per år med räntan r/n blir värdet av en krona efter t år R = (1 + r n )nt för n = 1, 2, 3,... och R = lim n (1 + r n )nt = e rt vid kontinuerlig förräntning. För r = 5% och t = 1 ges värdena av följande tabell: n förräntning varje värde 1 år 1.05 = halvår ( )2 = kvartal ( )4 = månad ( )12 = vecka ( )52 = dag ( )365 = kontinuerligt e 0.05 = Årsräntan beror alltså i detta fall även på n. Vad som är väsentligt här är tillväxtfaktorn, R. Denna kan även uttryckas med hjälp av räntan, r, men då måste man specificera vilken ränta som avses. Vanligast kanske är att definiera räntan som avkastningen r a = R 1. Övning 1 Visa att om avkastningen är r under en del av en tidsperiod och r under återstoden, så är avkastningen r + r + r r under hela tidsperioden. Avkastningen är alltså inte additiv men det är däremot räntan vid kontinuerlig förräntning eller kortare den kontinuerliga räntan: r c = ln R. Övning 2 Visa att om den kontinuerliga räntan är r under en del av en tidsperiod och r under återstoden, så är den kontinuerliga räntan r + r under hela tidsperioden.

3 Rak ränta 3 Vid konstant tillväxt gäller R = e rct. Den kontinuerliga räntan kan därför även definieras som den momentana avkastningen per tidsenhet: 1.2 Nuvärde e rct 1 lim = r c. t 0 t X 0 kronor idag är värda X T kronor om T år. Här är det framtida värdet av X 0 och X T = R T X 0 X 0 = d T X T nuvärdet (present value) av X T. Här är R T tillväxtfaktorn under T år och d T = R 1 T diskonteringsfaktorn (discount factor). Vi ska även skriva X 0 = P V (X T ). För att värdera framtida utbetalningar jämför man deras nuvärden. Övning 3 Jämför värdet av 417 kronor om ett år och 430 kronor om två år med 395 kronor idag om årsavkastningen är 5% bägge åren. Övning 4 Uttryck dubbleringstiden (den tid det tar att dubblera ett kapital) som funktion av den kontinuerliga räntan. Speciellt: Hur lång tid tar det att dubblera ett kapital då räntan är 5%? 1.3 Betalströmmar En betalström är en följd av reella tal, x = (x 0, x 1,...x n ), samt en följd av tidpunkter 0 = t 0 < t 1 <... < t n. Innehavaren av betalströmmen erhåller x i kronor vid t i. (Detta innebär att innehavaren betalar x i kronor om x i < 0.) Motparten, utställaren av betalströmmen, innehar betalströmmen x. Betalningsförloppret delas alltså in i n perioder; (t i 1, t i ), i = 1,..., n. Här följer tre exempel på betalströmmar: Lån Du lånar idag S kronor och betalar tillbaka K kronor i slutet av varje period. Detta svarar mot betalströmmen (S, K,..., K). Sparande Du sätter in K kronor i början av varje period och tar ut hela sparbeloppet i slutet av den sista perioden. Detta ger betalströmmen ( K,..., K, S). Annuitet Du betalar in S kronor idag och få ut K kronor i slutet av varje period. Detta ger betalströmmen

4 4 Finansmatematik II ( S, K,..., K). Detta är även den betalström långivaren får när du tar ett lån. När inte annat sägs ska vi anta att perioderna är lika långa; t 0 = 0, t 1 = 1,..., t n = n i någon enhet; dag, månad eller år t.ex. Detta kan man alltid uppnå genom att låta x k = 0 för vissa k. Diskonteringsfaktorn per period betecknas i detta fall med d. Betalströmmens nuvärde ges därför av P V (x) = x 0 + dx d n x n. Övning 5 Du erhåller 2000 kr om året i 10 års tid med början om ett år. Beräkna nuvärdet av denna betalström om avkastningen är 5% per år. Övning 6 Vid skörd av energiskog efter ett år får man tillbaks 1.05 kronor netto för varje satsad krona. Motsvarande siffror vid skörd efter två eller tre år är 1.11 respektive Jämför dessa betalströmmar under förutsättning att hela intäkten går att återinvestera i nyplanteringar. 1.4 Effektiv ränta Den effektiva räntan är den ränta för vilken betalströmmen har nuvärdet 0 och bestämms därför av den diskonteringsfaktor för vilken P V (x) = 0. Förutsättningen är att diskonteringsfaktorn är entydigt bestämd. Övning 7 Visa att om x 0 > 0 och x i < 0 för i = 1,..., n (eller om x i < 0 för i = 0,..., n 1 och x n > 0), så är diskonteringsfaktorn entydigt bestämd. Visa även att räntan är positiv (d < 1) i dessa fall om och endast om x 0 < n n 1 x k (eller x n > x k ). k=1 k=0 Låt m beteckna antalet perioder per år. Diskonteringsfaktorn per år är då d m och den kontinuerliga räntan är därför m ln 1 d per år, medan årsavkastningen är 1 d m 1. Övning 8 Ett lån på 1000 kronor betalas av på två månader med 507 kronor per månad. Hur stor är den effektiva räntan?

5 Rak ränta 5 Övning 9 Beräkna den effektiva räntan för betalströmmarna i Övning 6. Övning 10 Visa att den effektiva räntan för lånet respektive sparandet ovan ges av de diskonteringsfaktorer som uppfyller d 1 dn 1 d = S K respektive d n 1 dn 1 d = S K. För att lösa d ur ekvationer av denna typ kan man använda Newtons metod att finna nollställen till en deriverbar funktion, F (x): Gissa ett tal x 0 som du tror ligger nära nollstället. Beräkna sedan x 1, x 2,... via formeln x k = x k 1 F (x k 1) F (x k 1 ), för k = 1, 2,... Denna följd konvergerar mot ett nollställe till F. För varje upprepning dubblas antalet rätta decimaler. Övning 11 Visa att x k är den punkt i vilken tangenten till F i punkten x k 1 skär x axeln samt använd detta till att illustrera konstruktionen av x 1, x 2,... grafiskt. Övning 12 Ett lån på 1000 kronor betalas av på tre månader med 338 kronor per månad. Hur stor är den effektiva räntan? Övning 13 Du lånar kr i en bank och betalar i slutet av varje månad 3000 kr. Den effektiva räntan ges av 0.5% avkastning per månad. Hur stor är årsräntan? Hur lång tid tar det att betala lånet? Hur mycket ska du betala per månad för att lånet ska vara avbetalat på 5 år? 1.5 Obligationer En obligation är en betalström av formen ( P, c/m,..., c/m, c/m + F ). Utbetalningarna sker m gånger per år i T = n/m år. T är obligationens löptid (time to maturity), c kupongen (coupon), F det nominella värdet (face value) och P priset. Den effektiva räntan per år bestäms därför av diskonteringsfaktorn d m, där d uppfyller P = c m n d k + d n F. k=1 Det framgår av detta uttryck att obligationspriset är en avtagande funktion av räntan. Obligationspriserna gå alltså ned då räntan går upp.

6 6 Finansmatematik II Övning 14 a) Visa att P = c dn d1 m 1 d + dn F. b) Definiera y genom d = 1. D.v.s. y är avkastningen under en period av 1+ y m längd 1/m multiplicerad med m. Visa att P = c y + dn (F c y ). Detta uttryck blir speciellt enkelt då c = yf (pari); P = F. Övning 15 Låt P 1 och P 2 beteckna priserna på två obligationer där den andra har längre löptid än den första men som för övrigt är lika (samma kupong, ränta, nominellt värde och periodlängd). Visa att P 1 < P 2 för y < c/f och P 1 > P 2 för y > c/f. Övning 16 Beräkna den effektiva räntan för en femårig obligation med nominellt värde 100 SEK och årlig kupong 4 SEK som betalas ut med 1 SEK varje kvartal. Obligationens pris är 100 SEK. Genom att sätta samman en portfölj av obligationer kan man bilda nya betalströmmar. Övning 17 Betrakta två obligationer med samma löptid, periodlängd och nominella värde. Den ena har kupongen c 1 och den andra c 2, c 1 < c 2. Priserna är P 1 respektive P 2. a) Konstruera med hjälp av dessa en obligation som har kupongen c men samma nominella värde. Vad blir priset på denna. b) Vilka vikter ska de två obligationerna ha i portföljen för att resultatet ska bli en nollkupongare? c) För vilka värden på c har bägge obligationerna positiv vikt i portföljen? 1.6 Den effektiva räntan som värderingsmått Den effektiva räntan är ett trubbigt verktyg då det gäller att värdera betalströmmar i allmänhet. Betrakta betalströmmen x = (ab, a b, 1). Denna har nuvärdet P V = ab d(a + b) + d 2 = (d a)(d b). Detta nuvärde är noll för d = a och d = b. Den effektiva räntan är alltså inte entydigt bestämd då a b. Dessutom har nuvärdet av betalströmmen x samma nollställen. Det är därför inte omedelbart klart hur man med hjälp av den effektiva räntan ska kunna avgöra vilken av de två betalströmmarna x och x som är att föredra (om någon). Antag att a = 1 och b = 3: x=(3,-4,1). I detta fall är d = 1 eller d = 3. I det första fallet är räntan noll, i det andra negativ. Nuvärdet är positivt för x

7 Räntans beroende av löptiden 7 och negativt för -x då d < 1, vilket gäller i normalfallet. Betalströmmen x torde därför vara att föredra framför -x. Antag att det är ett år mellan utbetalningarna och att du kan låna in pengar mot 5% avkastningasränta per år och låna ut mot 4%. Följande förfaringssätt visar att det är förmånligt att inneha x: Vid t = 0: Acceptera betalströmmen x. Du får 3 SEK som du lånar ut på ett år mot 4% ränta. Vid t = 1: Lånet återbetalas till dig med = 3.12 SEK. Du lånar 0.88 SEK på ett år och betalar 4 SEK. Vid t = 2: Du får in 1 SEK och återbetalar lånet med = SEK. Kvar SEK. På detta sätt erhålls betalströmmen (0, 0, 0.076) och man kan alltså göra en riskfri vinst. Vilket även kallas att göra arbitrage. Övning 18 Hur ska in- och utlåningsräntorna vara relaterade i ovanstående exempel för att det ska gå att göra arbitrage på detta sätt? Övning 19 Du är erbjuden två betalströmmar (1000, 3000, 2000) och ( 1000, 3000, 2000). Utbetalningarna sker en gång per år. a) Beräkna betalströmmarnas effektiva räntor. b) Du kan låna pengar mot 5% ränta per år och låna ut mot 4%. Beskriv hur du kan göra arbitrage (riskfri vinst). 2 Räntans beroende av löptiden Vi ska nu ta hänsyn till att räntan varierar med löptiden och se vilka följder detta faktum får. 2.1 Nollkupongsobligationer Innehav av en k-årig nollkupongsobligation innebär att man får 1 kr efter k år. Låt d k beteckna priset på den k-åriga nollkupongsobligationen, k=1, 2,..., n och sätt d 0 = 1. Priset d k definierar värdet idag (nuvärdet) av 1 kr om k år. Dessa priser definierar även den k-åriga spoträntan, r k. genom sambandet d k = e kr k. Vi ska för resonemangets skull idealisera verkligheten och tänka oss att vi kan köpa och sälja dessa obligationer i godtyckliga mängder utan transaktionskostnader. Så till exempel om vi skulle vilja sälja (t.ex. en bråkdel av) en obligation vi inte har kan vi kostnadsfritt låna denna och sälja den för att senare betala tillbaka.

8 8 Finansmatematik II 2.2 Arbitragefria betalströmmar Nuvärdet av betalströmmen x= (x 0, x 1,..., x n ) är P V (x) = n d k x k. Låt x beteckna den betalström man erhåller genom att göra på följande sätt: Köp vid t = 0 x k k-åringar (detta innebär att man säljer x k om x k < 0), k = 1,..., n. Vänta till t = n. Kostnaden vid t = 0 är k=0 n x k d k = PV(x) x 0 k=1 och man erhåller x k kr vid t = k, k = 1, 2,..., n. Därför x = x p där p = (PV(x), 0,..., 0). Antag att PV(x)> 0. Då kan man genom att acceptera betalströmmarna x och -x erhålla betalströmmen p=x-x och därmed en riskfri vinst. Om istället PV(x)< 0 kan man erhålla betalströmmen -p och därmed en riskfri vinst genom att acceptera -x och x. Detta kallas arbitrage. Om vi antar att man inte kan göra arbitrage så måste alltså PV(x)=0 för alla betalströmmar. Observera att ett geometriskt sätt att uttrycka detta är att säga att x är ortogonal mot diskonteringsvektorn d= (d 0, d 1,..., d n ); x d = 0. Övning 20 Du avser att låna 1000 SEK och har att välja bland följande två alternativ: x=(1000, -866, -181) och y=(1000, -426, -656). Den första återbetalningen görs om ett år och den andra om två år. Ettårsobligationen kostar 0.97 SEK och tvååringen 0.89 SEK. a) Beräkna lånens effektiva räntor. Svar: r a (x) = 4%, r a (y) = 5%. b) Beräkna betalströmmarnas nuvärden. Beräkna även de ett- och tvååriga spoträntorna. Svar: P V (x) = 1.11, P V (y) = 2.94., r 1 = 3%, r 2 = 6% (avrundat). c) Lånet y är alltså att föredra trots att det har högre ränta än x. Beskriv hur du kan göra arbitrage med hjälp av y. d) Beskriv även hur långivaren kan göra arbitrage om du tar lånet x. (Här förutsätts att långivaren kan sälja obligationer kort.) 2.3 Arbitragesatsen Glöm för en stund den konkreta tolkningen av d som obligationspriser. Vi ska här istället visa att det finns en entydig diskonteringsvektor på varje marknad som uppfyller vissa villkor. Låt x 1,x 2,..., x N vara givna betalströmmar i R n+1 och låt L beteckna det vektorrum som genereras av dessa. Vi ska säga att arbitragemöjligheter föreligger om det finns x i L sådant att x 0 och x 0 (det senare betyder x k 0 för alla k = 0, 1,..., n). Annars säges L vara arbitragefri, vilket också kan uttryckas: L R n+1 + = {0}. I detta fall måste dim(l) n. Vi ska också säga att marknaden (d.v.s. L) är fullständig om dim(l)=n.

9 Räntans beroende av löptiden 9 Sats. Marknaden L är fullständig och arbitragefri om och endast om det finns ett d i R n+1 med d 0 = 1 och d 1 > 0, d 2 > 0,..., d n > 0 så att L = {x; x d = 0}. Diskonteringsvektorn d är entydigt bestämd av L. Bevis. Satsen är geometriskt uppenbar då n = 1 och 2. Eller hur? Antag att L är fullständig och arbitragefri. Låt c 0 ligga i det ortogonala komplementet till L, d.v.s. c x=0 för alla x i L. Då är c entydigt bestämd så när som på en multiplikativ konstant och L = {x; c x = 0} på grund av fullständigheten. Om c k = 0, så e k c=0. Alltså e k L. En motsägelse. Alltså c k 0 för alla k. Antag att ej alla c k har samma tecken. Då finns i och j så att c i > 0 och c j < 0. Sätt u=c i e j c j e i. Då u 0, u 0 och u c=0, d.v.s. u L. En motsägelse. Alltså har alla c k samma tecken. Den ena riktningen följer nu med d k = c k /c 0. Omvänt är det klart att om x d=0 så kan inte x 0 och x 0. Antag att L är fullständig och arbitragefri och att en ny betalström av formen ( p, a 1,..., a n ), där a 1,..., a n är givna tal, introduceras på marknaden. För att denna utvidgade marknad ska vara arbitragefri så måste alltså p = d 1 a d n a n. Nollkupongarna b 1 = ( d 1, 1, 0, 0,..., 0, 0), b 2 = ( d 2, 0, 1, 0,...,, 0, 0),..., b n = ( d n, 0, 0, 0,..., 0, 1) är en bas i L. Eller hur? Övning 21 Marknaden L 1 genereras av de två vektorerna (5, -6, -6) och (5, -5, -4), L 2 genereras av (5, -6, -6) och (-1, 0, 3) medan L 3 genereras av (5, -4, -2) och (-8, 6, 3). a) Avgör vilka av dessa marknader som är arbitragefria. Svar: L 2. b) Ytterligare en betalström av formen (-p, 2, 3) introduceras på marknaden L 2. Prissätt denna (d.v.s. bestäm p) så att den utvidgade marknaden blir arbitragefri. Övning 22 Marknaden L genereras av betalströmmen (2, -2, -1) och är således inte fullständig. Ytterligare en betalström av formen (-p, 1, 1) ska introduceras. För vilka p blir den utvidgade marknaden fullständig? Arbitragefri? Övning 23 Betrakta följande tre obligationer där periodlängden är ett år: A = ( P A, 110, 0, 0)), B = ( P B, 10, 110, 0), C = ( P C, 10, 10, 110). Samtliga räntor nedan är avkastningsräntan per år. a) Bestäm priset, P C, och den effektiva räntan mätt med årsavkastningen för obligation C om spoträntorna är som följer: 1 år = 7%, 2 år =9%, 3 år =11%. b) Bestäm priserna och spoträntorna om A, B och C har de effektiva räntorna 8.5%, 9.0% respektive 11.5%. 2.4 Räntekurvans förändringar J. Frye (Principals of risk: Finding VAR through Factor-Based Interest Rate Scenarios. In VAR: Understanding and applying Value at Risk. Risk Publications, London, 1997, ) gjorde en statistisk studie över de dagliga

10 10 Finansmatematik II förändringarna av räntan, hos tio amerikanska statspapper under 1543 dagar mellan 1989 och Covariansmatrisen för dessa 1543 vektorer av dimension 10 beräknades (skattades) och spektraluppdelades. Egenvektorerna a 1,..., a 10 är givna i Tabell 2. Dessa är parvis ortogonala och har längden 1. Motsvarande egenvärden betecknas σ 2 1,..., σ Förändringen r har koordinaterna ξ k = r a k i denna bas: r = ξ 1 a ξ 10 a 10. De stokastiska variablerna ξ 1,..., ξ 10 är okorrelerade och ordnade efter avtagande standardavvikelser, σ 1 > σ 2 >... > σ 10 : Tabell 1 i σ i Enheten är baspunkter (bp), d.v.s. 1/100 %= Tabell 2 Löptid 3 mo. 6 mo. 1 yr. 2 yr. 3 yr. 4 yr. 5 yr. 7 yr. 10 yr. 30 yr. a a a a a a a a a a Väntevärdet av r är försumbart jämfört med fluktuationerna och därför är standardavvikelsen det väsentliga. Vi har därför E r 2 σ 2 = σ σ 2 10 = Ränteförändringar längs a 1 står för /367.9 = 83% av den totala variansen och förändringar längs a 2 står för 10%. Tillsammans 93%. Genom att lägga till a 3 kommer man upp till 96%. I Figur 1är a 1, a 2 och a 3 plottade. Den första svarar i grova drag mot en parallellförskjutning av räntekurvan, den andra mot en brantning; räntor med löptid under c:a 2 år går åt ett håll och de övriga åt det andra hållet. Den tredje faktorn motsvarar en krökning; korta och långa räntor går åt ett håll och de övriga åt det andra hållet. Vi ska inte använda de exakta uttrycken för a 1, a 2 och a 3 utan approximera dessa med enkla analytiska uttryck. Skäl för detta är (förutom att det är behändigt): 1 Undersökningen omfattar en marknad under en tidsperiod och det är inte klart att man skulle få exakt samma resultat under andra omständigheter. 2 Undersökningen avser Yieldkurvan som beskriver den effektiva avkastningen och inte spoträntan. 3 Avkastningen är inte exakt densamma som den kontinuerliga räntan. Antag att räntan med löptid k är r k för k = 1, 2,..., n och att räntan ändrar sig från r = (r 1,..., r n ) till r + r. De analytiska uttryck som approximerar r

11 Räntans beroende av löptiden a1 0.2 a a Figur 1: De tre viktigaste komponenterna som förklarar räntekurvans förändringar. kan väljas på olika sätt. Vi ska här i första hand betrakta parallellförskjutning, och i andra hand brantning, r = 1 p, där 1 = (1,..., 1) r = r b. Genom att även betrakta förändringar av formen r = r 2 c, där r 2 = (r 2 1,..., r 2 n), kan man även efterlikna en viss typ av krökning. Genom att lägga till r k = (r k 1,..., r k n) för k = 3, 4,... kan man öka precisionen (men också komplikationen) i approximationen av r för att vid k = n 1 få perfekt anpassning. Övning 24 Antag att r 1,..., r n alla är olika. Visa att r k, k = 0, 1,..., n 1 spänner R n. Det är klart att a 3 inte går att efterlikna med en parabel men detta faktum har inte någon avgörande betydelse. Vi ska senare använda resultaten i detta avsnitt till att immunisera obligationsportföljer. En möjlighet är att gruppera obligationerna genom att dela in löptiden i några intervall och behandla varje grupp för sig. I Figur 2 visas en del av Yieldkurvorna för svenska statspapper den 4 augusti och den 4 september Vi har använt minsta kvadratskattningarna (i lodled) för att anpassa polynom av grad 0, o, grad 1, *, och grad 2, +, till den undre kurvan.

12 12 Finansmatematik II / / Figur 2: Yieldkurvans förändring samt approximationer med polynom av grad 0, o, grad 1, *, och grad 2, +. 5 Medelavståndet mellan de två Yieldkurvorna, d = 1 (r i r i) 2 /5, är 31 baspunkter medan medelavståndet mellan den undre kurvan och de olika approximationerna är 7.6, 4.3 respektive 3.8. Parallellförskjutning förklarar alltså merparten av ränteförändringen i detta fall. 2.5 Räntekänslighet Priset på en T -årig nollkupongare med nominellt värde 1 ges av P = e rt, där r är den T-åriga spoträntan. I nästa övning ges förändringen, P, i obligationens pris då r r + r. Övning 25 Visa att om man negligerar termer av storleksordningen ( r) 2 och mindre, så gäller P = T r P för priset på en nollkupongare med löptid T. I detta fall är alltså den relativa prisförändrigen proportionell mot löptiden. Nollkupongare med lång löptid är speciellt känsliga för ränteförändringar. För att studera effekten av en ränteförändring r r+ r, där r = (r 1,..., r n ) och r = ( r 1,..., r n ), på en allmän betalström x = ( P, x 1,..., x n ) skriver vi P (r) = n d k x k k=1

13 Räntans beroende av löptiden 13 för nuvärdet av de framtida utbetalningarna som funktion av r. Vi har P (r + r) = P (r) + P (r) r + O ( r 2). Övning 26 Visa att Det följer att P r k = kd k x k. Här är så där P P = D r + O( r 2). D = (1v 1, 2v 2,..., nv n ) och v k = d kx k P. Speciellt gäller att om spoträntekurvan förändrar sig genom parallellförskjutning, P P = D p + O( p 2), D = D 1 = 1v 1 + 2v nv n är durationen för x. Observera att denna är ett viktat medelvärde av utbetalningstidpunkterna 1,...,n och där vikterna är proportionella mot nuvärdena av de utbetalade beloppen. (Här förutsatte vi att x k 0 för alla k.) Övning 27 Visa att om två obligationsportföljer har priserna P 1 och P 2 och durationerna D 1 och D 2, så har den sammanslagna portföljen durationen P 1 P 1 + P 2 D 1 + P 2 P 1 + P 2 D 2. Det följer att om man sammansätter en obligationsportfölj av ett antal obligationer och dessa har positiva vikter, så kommer portföljens duration att ligga mellan den minsta och den största av de ingående obligationernas durationer. Övning 28 Betrakta följande tre obligationer där periodlängden är ett år: A = ( P A, 5, 5, 5, 5, 105), B = ( P B, 4, 4, 4, 104, 0), C = ( P C, 0, 100, 0, 0, 0). Beräkna priserna och durationerna i det fall (de kontinuerliga) spoträntorna är 4.69, 4.88, 5.07, 5.17 respektive 5.19%. Övning 29 Betrakta en obligation med nominellt värde F och kupongen c som delas ut m gånger per år i T = n/m år. Periodlängden är alltså 1/m år. Antag att räntan är rak; d k = d k, där d = e r/m = 1. Visa att 1+ y m a) D = 1 ( c n kd k + nd n F ) /P år. m m k=1

14 14 Finansmatematik II b) c) d) då c = yf. n k=1 D = kd k 1 = 1 (1 d n+1 (n + 1)d n) 1 d 1 d ( c ( 1 y y + m) 1 (1 d n ) + T ( F c ) ) d n /P y D = ( 1 y + 1 ) (1 d n ) m där Om räntekurvan förändras genom brantning, r = r b, så P P = D(1) b + O ( b 2), D (1) = D r = r 1 v 1 + 2r 2 v nr n v n är ett viktat medelvärde av räntorna fram till de olika utbetalningstidpunkterna. På motsvarande sätt ger ränteförändringen r = r 2 c prisförändringen där P P = D(2) b + O ( c 2), D (2) = D r 2 = r 2 1v 1 + 2r 2 2v nr 2 nv n. Ränteförändringar av formen r k = π p+βr k b+γrk 2 c ger alltså prisförändringen P P πd p βd(1) b γd (2) c. Övning 30 Beräkna D (1) och D (2) för obligationerna i Övning 28. Antag att Figur 2 beskriver spoträntan (och inte den effektiva avkastningen). I Tabell 3 ges den relativa prisförändringen, P/P, för de tre obligationerna A, B och C. I de tre kolumnerna till höger ges πd p, πd p βd (1) b och πd p βd (1) b γd (2) c, där minsta kvadratskattningarna i som visas i figuren har använts. Enheten är baspunkter. Tabell 3 P/P parallell +brantning +krökning A B C I detta fall förbättras approximationerna för alla tre obligationerna om man även immuniserar mot brantning men endast för A och C om man dessutom immuniserar mot krökning.

15 Räntans beroende av löptiden Immunisering Antag att vi redan idag vill säkra framtida betalningsåtaganden; x 1, x 2,..., x n, där x k ska betalas vid tiden k. Detta kan även formuleras som att vi innehar betalströmmen x 0 = (0, x 1,..., x n ) och vill ersätta den med en betalström av formen ( P, 0,..., 0). En tänkbar möjlighet är att idag köpa x k nollkupongare med nominellt värde 1 och löptid k, för k = 1,..., n, d.v.s. att skaffa betalströmmen där x = ( P, x 1,..., x n ), P = d 1 x d n x n är det pris vi får betala för obligationerna. Våra betalningsåtaganden har nu reducerats till x 0 + x = ( P, 0,..., 0) och därmed har vi eliminerat de framtida åtagandena, förutsatt att obligationerna är riskfria. Det kanske inte finns nollkupongare med exakt dessa löptider eller utbetalningarna kanske är så många och små att ovanstående förfaringssätt inte är lämpligt. I detta fall är ett alternativ att skaffa sig en obligationsportfölj, y, som kanske består av färre obligationer och som kanske har andra löptider men som har samma nuvärde som x och som reagerar på ränteförändringar på liknande sätt. Vi har P y (r + r) P x (r + r) = P y (r) P x (r) + ( P y (r) P x (r) ) r + O ( r 2) och därför om P y (r + r) P x (r + r) = O ( r 2) P y (r) = P x (r) och ( P y (r) P x (r) ) r = 0. Om vi vill immunisera y-x mot parallellförskjutningar av spoträntekurvan, så tar det andra villkoret formen D y = D x medan identiteten D y (1) = D x (1) immuniserar mot brantning. Portföljen behöver balanseras om vid första utbetalningen och eventuellt även tidigare om räntan förändrar sig väsentligt.

16 16 Finansmatematik II Antag att portföljen y är sammansatt av obligationerna b 1,..., b l och att a k är antalet av obligationen b k, k = 1,..., l, i portföljen; y = a 1 b a l b l. Låt P k, D k etc beteckna priserna, durationerna etc för b k. Ovanstående ekvationer tar då formen a 1 P a l P l = P x a 1 P 1 D a n P l D l = P x D x a 1 P 1 D (1) a l P l D (1) l = P x D x (1) eller v v l = 1 v 1 D v l D l = D x, där v 1 D (1) v l D (1) l = D x (1) v k = a kp k P x är vikten av obligationen b k i portföljen. Exempel 1 Antag att spoträntorna är som i Övning 28 och att vi vill imitera betalströmmen x=(-p,100,100,100,100,100) med hjälp av obligationerna i den övningen. Beräkningar visar att P = , D = 2.89 och D (1) = Låt oss först behandla fallet då vi använder endast två av de tre obligationerna och vill immunisera mot parallellförskjutningar. Om vi vill att vikterna ska vara positiva, så kan vi inte välja A och B eftersom detta ger en portfölj med duration 3.77 > D. Vi måste därför välja C och en av de andra, B t.ex. Vi får ekvationerna v B + v C = 1 v B D B + v C D C = D vilket har lösningen v B = D D C D B D C, v C = D B D D B D C. Portföljen erhålls alltså genom att köpa obligation B för v B P = SEK och C för v C P = SEK. Antalet av obligationerna B och C i portföljen blir v B P/P B = 2.28 respektive v C P/P C = Om vi antar att spoträntan förändrar sig som i Figur 2, så blir P x /P x = 81 bp att jämföras med P y /P y = 93 bp. Övning 31 Gör en portfölj med hjälp av obligationerna A och C som är immun relativt x mot parallellförskjutningar. För denna portfölj gäller P y /P y = 91 bp om spoträntan förändrar sig som i Figur 2.

17 Räntans beroende av löptiden 17 Exempel 2 Vi ska här immunisera även mot brantning genom att använda alla tre obligationerna A, B och C. I detta fall har vi ekvationerna v A + v B + v C = 1 v A D A + v B D B + v C D C = D v A D (1) A + v BD (1) B + v CD (1) C = D(1) som har lösningen: -0.27, 0.89, Här krävs det alltså en kort position i obligationen A. För denna portfölj gäller P y /P y = 94 bp om spoträntan förändrar sig som i Figur 2. En försämring jämfört med de två portföljerna i Exempel 1 och Övning 31. Övning 32 Antag att det finns nollkupongare med valfri löptid. Låt y bestå av ett antal av en nollkupongare. Vilket villkor ska vara uppfyllt för att immunisera mot a) parallellförskjutning. b) brantning. Om man immuniserar nollkupongaren i a) relativt x mot parallellförskjutningar och spoträntekurvan förändar sig som i Figur 2, så blir den relativa prisförändringen 72 bp, att jämföras med 81 bp för x. Övning 33 Antag att du ska betala 1 kr om T år och vill säkra utbetalningen genom att köpa en nollkupongare med löptid T år. En sådan finns inte men däremot finns nollkupongare med löptider T 1 och T 2 år, där T 1 < T < T 2. a) Bilda en obligationsportfölj bestående av T 1 åringar och T 2 åringar. Bestäm vikterna så att portföljen har samma nuvärde och duration som den T åriga nollkupongaren. b) Låt 0 (r) beteckna skillnaden mellan portföljens och den T åriga nollkupongarens värde vid tiden 0 som funktion av räntan r. Visa att 0 (r + 1 p) = d T 2 (T T 1)(T 2 T )( p) 2 + O(( p) 3 ). Uttrycket i b) är alltså positivt för små p. Om man kunde lita på att räntan förändras genom parallellförskjutning, så vore det bättre att bilda ovanstående portfölj även om den T-åriga nollkupongaren finns. Men man kan inte lita på det: Om vi antar att spoträntekurvan förändar sig som i Figur 2 och vi låter T 1 = T 1, T 2 = T + 1 år för T = 2, 3, 4, så blir 0 (r + 1 p) : -26, 23 respektive -13 bp. Att jämföras med de absoluta förändringarna i d T : 75, 59 respektive 88 bp. Litteratur Luenberger, D.G., Investment Science. Oxford University Press 1998 Detta är en bred framställning som berör många områden inom finansmatematiken.

18 18 Finansmatematik II Svar till övningarna 3 P V (417) = 417/1.05 = , P V (430) = 430/ = T = ln 2/r = år=13 år 10 månader och 11 dagar kr 6 Om hela intäkten återinvesteras, så har man efter sex år 1.34, 1.37 respektive Skörd efter 2 år är alltså att föredra. 8 Kontinuerlig ränta=0.1113, avkastning= per år. 9 Den effektiva räntan ges av årsavkastningarna 0.050, respektive per år. 12 Kontinuerlig ränta=0.0835, avkastning= per år. 13 Årsavkastning=6.2%, månader, 3867 kr. 16 Årsavkastning=4.06%. 17 a P = (c 2 c)/(c 2 c 1 )P 1 + (c c 1 )/(c 2 c 1 )P 2 b c = 0, c 2 /(c 2 c 1 )P 1 /P respektive c 1 /(c 2 c 1 )P 2 /P. c För c mellan c 1 och c r u > r i /(1+r i ), där r u och r i står för ut- respektive inlåningsräntan angiven som årsavkastning. 19 a Den effektiva avkastningen är 0 eller 100% för båda. b Vid t = 0: Låna 1000 kr och acceptera den andra betalströmmen. Vid t = 1: Amortera lånet med = 1050 kr. Låna ut återstoden = 1950 kr. Vid t = 2: Lånet återbetalas till dig med = 2028 kr och du betalar 2000 kr. Kvar 28 kr. Du får alltså betalströmmen (0, 0, 28). 20 c: Ta lånet och köp 426 ettåringar och 656 tvååringar. Detta ger dig betalströmmen (2.94, 0, 0). 20 d Långivaren säljer kort 866 ettåringar och 181 tvååringar. Detta ger långivaren betalströmmen (1.11, 0, 0). 21 b p = 2. 22: Fullständig för alla p. Arbitragefri för 1 < p < a) Pris Effektiv ränta b) Pris , Effektiv ränta 8.50% 9.02% Priser: 98.67, 95.45, Durationer: 4.54, 3.77, D (1) : 0.235, 0.194, D (2) : 0.012, 0.010, Köp A för SEK och C för SEK: 32 a) T = D, b) T r T = D (1). 33 a) v T1 = T2 T T 2 T 1, v T2 = T T1 T 2 T 1

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 02 10 25. RÄNTA 1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 3.

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 3. STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 2. Luenberger: 2:1-5, 9, 11, 12. Övning 1. Du lånar 200000 kr i en bank

Läs mer

Formelsamling för kursen Grundläggande finansmatematik

Formelsamling för kursen Grundläggande finansmatematik STOCKHOLMS UNIVERSITET 13 december 006 Matematiska institutionen Avd. för matematisk statistik Mikael Andersson Formelsamling för kursen Grundläggande finansmatematik 1 Fundamental Theorem of Asset Pricing

Läs mer

Räntemodeller och marknadsvärdering av skulder

Räntemodeller och marknadsvärdering av skulder Räntemodeller och marknadsvärdering av skulder Fredrik Armerin Matematisk statistik, KTH Aktuarieföreningen 17-18 november 2004 Dag 2 NOLLKUPONGSKURVOR 1 Nollkupongsobligationer En nollkupongsobligation

Läs mer

Matematisk statistik i praktiken: asset-liability management i ett försäkringsbolag

Matematisk statistik i praktiken: asset-liability management i ett försäkringsbolag Matematisk statistik i praktiken: asset-liability management i ett försäkringsbolag Andreas N. Lagerås AFA Försäkring Kapitalförvaltning Investeringsanalys Docentföreläsning SU 2010-11-10 1(21) Asset liability

Läs mer

Övningsuppgifter för sf1627, matematik för ekonomer. 1. Förenkla följande uttryck så långt det går: 6. 7. 8. 9. 10. 2. Derivator 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Övningsuppgifter för sf1627, matematik för ekonomer. 1. Förenkla följande uttryck så långt det går: 6. 7. 8. 9. 10. 2. Derivator 1. 2. 3. 4. 5. 6. KTH matematik Övningsuppgifter för sf1627, matematik för ekonomer Harald Lang 1. Förenkla följande uttryck så långt det går: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Svar: 1. 2. 5 3. 1 4. 5 5. 1 6. 6 7. 1 8. 0 9.

Läs mer

Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering

Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 04 0 8 Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering 2 Finansmatematik II Risk och diversifiering

Läs mer

Lösningar till tentamen i Grundläggande nansmatematik. 21 december 2006 kl. 914

Lösningar till tentamen i Grundläggande nansmatematik. 21 december 2006 kl. 914 STOCKHOLMS UNIVERSITET MS 3290 MATEMATISKA INSTITUTIONEN TENTAMEN Avd. Matematisk statistik 21 december 2006 Lösningar till tentamen i Grundläggande nansmatematik 21 december 2006 kl. 914 Uppgift 1 Priset

Läs mer

Del 4 Emittenten. Strukturakademin

Del 4 Emittenten. Strukturakademin Del 4 Emittenten Strukturakademin Innehåll 1. Implicita risker och tillgångar 2. Emittenten 3. Obligationer 4. Prissättning på obligationer 5. Effekt på villkoren 6. Marknadsrisk och Kreditrisk 7. Implicit

Läs mer

Övningsuppgifter på derivator för sf1627, matematik för ekonomer (rev. 1) Produktregeln: derivera 1. 2. 3. 4.

Övningsuppgifter på derivator för sf1627, matematik för ekonomer (rev. 1) Produktregeln: derivera 1. 2. 3. 4. Övningsuppgifter på derivator för sf627, matematik för ekonomer (rev. ) Produktregeln: derivera. 2. 3. 4. 5. 6. Kvotregeln: derivera. 2. 3. 4. 5. Kedjeregeln: derivera. 2. 3. 4. 5. 6. Logaritmisk derivering

Läs mer

Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för:

Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Finansiell ekonomi Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 27/3 2015 Tid: 14:00 19:00 21FE1B Nationalekonomi 1-30 hp, omtentamen

Läs mer

Del 16 Kapitalskyddade. placeringar

Del 16 Kapitalskyddade. placeringar Del 16 Kapitalskyddade placeringar Innehåll Kapitalskyddade placeringar... 3 Obligationer... 3 Prissättning av obligationer... 3 Optioner... 4 De fyra positionerna... 4 Konstruktion av en kapitalskyddad

Läs mer

STYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR

STYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. KOMPLEMENT DAG 13. STYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR Hittills har vi betraktat

Läs mer

Övningsexempel i Finansiell Matematik

Övningsexempel i Finansiell Matematik KTH Matematik Harald Lang 27/3-04 Övningsexempel i Finansiell Matematik 1. Riskjusterade sannolikhetsmått 1. Vi betraktar en stokastisk utbetalning X(ω) som ger utdelning enligt tabellen ω 1 ω 2 ω 2 pris

Läs mer

Finansmatematik II Kapitel 2 Stokastiska egenskaper hos aktiepriser

Finansmatematik II Kapitel 2 Stokastiska egenskaper hos aktiepriser STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version Finansmatematik II Kapitel Stokastiska egenskaper hos aktiepriser Finansmatematik II För att kunna

Läs mer

Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för:

Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Finansiell ekonomi Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: 21FE1B Nationalekonomi 1-30 hp, ordinarie tentamen 7,5 högskolepoäng Tentamensdatum: 18/3 16 Tid: 09:00 13:00 Hjälpmedel: Miniräknare, rutat papper,

Läs mer

AID:... LÖSNINGSFÖRSLAG TENTA 2013-05-03. Aktiedelen, uppdaterad 2014-04-30

AID:... LÖSNINGSFÖRSLAG TENTA 2013-05-03. Aktiedelen, uppdaterad 2014-04-30 LÖSNINGSFÖRSLAG TENTA 013-05-03. Aktiedelen, udaterad 014-04-30 Ugift 1 (4x0.5 = oäng) Definiera kortfattat följande begre a) Beta värde b) Security Market Line c) Duration d) EAR Se lärobok, oweroints.

Läs mer

AID:... Uppgift 1 (2 poäng) Definiera kortfattat följande begrepp. a) IRR b) APR c) Going concern d) APV. Lösningsförslag: Se Lärobok och/alt Google.

AID:... Uppgift 1 (2 poäng) Definiera kortfattat följande begrepp. a) IRR b) APR c) Going concern d) APV. Lösningsförslag: Se Lärobok och/alt Google. Notera att det är lösningsförslag. Inga utförliga lösningar till triviala definitioner och inga utvecklade svar på essä-typ frågor. Och, att kursen undervisas lite olika år från år. År 2013 mera från Kap

Läs mer

Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för:

Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Finansiell ekonomi Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 23/8 13 Tid: 09:00 14:00 Hjälpmedel: Miniräknare SFE011 Nationalekonomi

Läs mer

Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för:

Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Finansiell ekonomi Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Skriftlig tentamen 21FE1B Nationalekonomi 1-30 hp 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum:

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

c S X Värdet av investeringen visas av den prickade linjen.

c S X Värdet av investeringen visas av den prickade linjen. VFTN01 Fastighetsvärderingssystem vt 2011 Svar till Övning 2011-01-21 1. Förklara hur en köpoptions (C) värde förhåller sig till den underliggande tillgångens (S) värde. a. Grafiskt: Visa sambandet, märk

Läs mer

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet

Läs mer

Lennart Carleson. KTH och Uppsala universitet

Lennart Carleson. KTH och Uppsala universitet 46 Om +x Lennart Carleson KTH och Uppsala universitet Vi börjar med att försöka uppskatta ovanstående integral, som vi kallar I, numeriskt. Vi delar in intervallet (, ) i n lika delar med delningspunkterna

Läs mer

Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2

Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2 Kapitel 4 Bisektionsalgoritmen Vi ska konstruera lösningar till algebraiska ekvationer av formen f(x) = 0 med hjälp av bisektionsalgoritmen (intervallhalveringsmetoden). På samma gång ska vi se hur man

Läs mer

Tentamen Finansiering (2FE253) Lördagen den 21 mars 2015, kl. 09:00-13:00

Tentamen Finansiering (2FE253) Lördagen den 21 mars 2015, kl. 09:00-13:00 Tentamen Finansiering (2FE253) Lördagen den 21 mars 2015, kl. 09:00-13:00 Skrivtid: 4 timmar (kl. 09:00 13:00) Hjälpmedel: Kalkylator och kursens formelblad. OBS! Endast formler som står med på formelbladet

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 8..05 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar

Läs mer

Del 17 Optionens lösenpris

Del 17 Optionens lösenpris Del 17 Optionens lösenpris Innehåll Optioner... 3 Optionens lösenkurs... 3 At the money... 3 In the money... 3 Out of the money... 4 Priset... 4 Kapitalskyddet... 5 Sammanfattning... 6 Strukturerade placeringar

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG Tentamen Finansiering I (FÖ3006) 22/2 2013

LÖSNINGSFÖRSLAG Tentamen Finansiering I (FÖ3006) 22/2 2013 LÖSNINGSFÖRSLAG Tentamen Finansiering I (FÖ006) 22/2 20 Hjälpmedel: Räknare samt formler på sidan. Betyg: G = p, VG = 9 p Maxpoäng 25 p OBS: Glöm ej att redovisa dina delberäkningar som har lett till ditt

Läs mer

Checklista för funktionsundersökning

Checklista för funktionsundersökning Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik, GA 08 januari 2015. Lösningar

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik, GA 08 januari 2015. Lösningar STOCKHOLMS UNIVERSITET MT712 MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, GA 8 januari 215 Lösningar Tentamen i Livförsäkringsmatematik I, 8 januari 215 Uppgift 1 a) Först konstaterar

Läs mer

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................

Läs mer

Modern kapitalförvaltning kundanpassning med flexibla lösningar

Modern kapitalförvaltning kundanpassning med flexibla lösningar Modern kapitalförvaltning kundanpassning med flexibla lösningar (Från Effektivt Kapital, Vinell m.fl. Norstedts förlag 2005) Ju rikare en finansmarknad är på oberoende tillgångar, desto större är möjligheterna

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

Uppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans.

Uppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. NpMab ht 01 Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-16. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet

Läs mer

SF1911: Statistik för bioteknik

SF1911: Statistik för bioteknik SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion

Läs mer

Tentamen Finansiering (2FE253) Onsdagen den 17 februari 2016, kl. 08:00-12:00

Tentamen Finansiering (2FE253) Onsdagen den 17 februari 2016, kl. 08:00-12:00 Tentamen Finansiering (2FE253) Onsdagen den 17 februari 2016, kl. 08:00-12:00 Skrivtid: 4 timmar (kl. 08:00 12:00) Hjälpmedel: Kalkylator och kursens formelblad. OBS! Endast formler som står med på formelbladet

Läs mer

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till

Läs mer

Differentialekvationer av första ordningen

Differentialekvationer av första ordningen Föreläsning 1 Differentialekvationer av första ordningen 1.1 Aktuella avsnitt i läroboken 1.1) Differential Equations and Mathematical Models. Speciellt exemplen 3, 4 och 5.) 1.2) Integrals as General

Läs mer

Matematisk kommunikation för Π Problemsamling

Matematisk kommunikation för Π Problemsamling Problemsamling Charlotte Soneson & Niels Chr. Overgaard september 200 Problem. Betrakta formeln n k = k= n(n + ). 2 Troliggör den först genom att exempelvis i summan +2+3+4+5+6 para ihop termer två och

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Detta kapitel är en liten matematisk vägledning om att beräkna tillväxttakten i Excel. Här visas exempel på potenser och logaritmer och hur dessa funktioner beräknas

Läs mer

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning. Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera

Läs mer

Logaritmer. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos

Logaritmer. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos Logaritmer Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos 24 september 2003 Innehåll 1 Introduktion 2 2 Naturliga logaritmer 3 2.1 Talet e................................. 3 2.2 Den naturliga

Läs mer

Tentamen Finansiering I (FÖ3006) 22/8 2013

Tentamen Finansiering I (FÖ3006) 22/8 2013 1 Tentamen Finansiering I (FÖ3006) 22/8 2013 Hjälpmedel: Räknare Betyg: G = 13 p, VG = 19 p Maxpoäng 25 p OBS: Glöm ej att redovisa dina delberäkningar som har lett till ditt svar! För beräkningsuppgifterna:

Läs mer

a3 bc 5 a 5 b 7 c 3 3 a2 b 4 c 4. Förklara vad ekvationen (2y + 3x) = 16(x + 1)(x 1) beskriver, och skissa grafen.

a3 bc 5 a 5 b 7 c 3 3 a2 b 4 c 4. Förklara vad ekvationen (2y + 3x) = 16(x + 1)(x 1) beskriver, och skissa grafen. MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 4 juni Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan

Läs mer

5B1574 - Portföljteori och riskvärdering

5B1574 - Portföljteori och riskvärdering 5B1574 - Portföljteori och riskvärdering Laboration 1 Farid Bonawiede - 831219-0195 Alexandre Messo - 831119-7472 1 - Spotränteberäkningar I denna uppgift ska vi beräkna spoträntan för olika löptider.

Läs mer

AID:... För definitioner se läroboken. För att få poäng krävs mer än att man bara skriver ut namnet på förkortningen.

AID:... För definitioner se läroboken. För att få poäng krävs mer än att man bara skriver ut namnet på förkortningen. Lösningsförslag aktiedelen Tenta augusti 11, 2014 Uppgift 1 (4 poäng) 2014-08-25 Definiera kortfattat följande begrepp a) CAPM b) WACC c) IRR d) Fria kassaflöden För definitioner se läroboken. För att

Läs mer

Kredit och valutamarknaden i ett, Ht 11A

Kredit och valutamarknaden i ett, Ht 11A Datum 008--0 Dokumentnummer Titel Instuderingsfrågor Kredit och valutamarknaden i ett, Ht A Rev 0.0 Upprättat av Göran Hägg Godkänt av Distribueras till För kännedom Instud.uppg. med utvalda svar Kredit

Läs mer

Finansmatematik II Kapitel 4 Tillväxt och risk

Finansmatematik II Kapitel 4 Tillväxt och risk 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd för Matematisk statistik Thmas Höglund Versin 04 10 21 Finansmatematik II Kapitel 4 Tillväxt ch risk 2 Finansmatematik II Man går inte in på aktiemarknaden

Läs mer

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för

Läs mer

Del 18 Autocalls fördjupning

Del 18 Autocalls fördjupning Del 18 Autocalls fördjupning Innehåll Autocalls... 3 Autocallens beståndsdelar... 3 Priset på en autocall... 4 Känslighet för olika parameterar... 5 Avkastning och risk... 5 del 8 handlade om autocalls.

Läs mer

Del 2 Korrelation. Strukturakademin

Del 2 Korrelation. Strukturakademin Del 2 Korrelation Strukturakademin Innehåll 1. Implicita tillgångar 2. Vad är korrelation? 3. Hur fungerar sambanden? 4. Hur beräknas korrelation? 5. Diversifiering 6. Korrelation och Strukturerade Produkter

Läs mer

Lektionsanteckningar 2: Matematikrepetition, tabeller och diagram

Lektionsanteckningar 2: Matematikrepetition, tabeller och diagram Lektionsanteckningar 2: Matematikrepetition, tabeller och diagram 2.1 Grundläggande matematik 2.1.1 Potensfunktioner xmxn xm n x x x x 3 4 34 7 x x m n x mn x x 4 3 x4 3 x1 x x n 1 x n x 3 1 x 3 x0 1 1

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

Asa Hansson. Sign: ECTS: D Civilekonom D Ekon.kand. D Pol.kand. D Fristående D LTH D Utbytesstudent D Annat. Betyg: Nationalekonomiska institutionen

Asa Hansson. Sign: ECTS: D Civilekonom D Ekon.kand. D Pol.kand. D Fristående D LTH D Utbytesstudent D Annat. Betyg: Nationalekonomiska institutionen Nationalekonomiska institutionen Sign: Lunds universitet TENTAMEN Leg OK: D Kurs: NEKA12 Finansiell ekonomi Lokal & tid: _E_ft_e_r_n_a_m_n_=------------------------------~P_e_~_o_n_n_r_: ~VIC 1 +2 08-13

Läs mer

120 110 S t : 100 100 90 80 Vi ska här betrakta ett antal portföljer som vid t = 0 är värda 100 SEK.

120 110 S t : 100 100 90 80 Vi ska här betrakta ett antal portföljer som vid t = 0 är värda 100 SEK. STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. KOMPLEMENT DAG 5. HANDELSSTRATEGIER Låt S t beteckna priset på en aktie vid tiden t. Vi

Läs mer

Övningar - Andragradsekvationer

Övningar - Andragradsekvationer Övningar - Andragradsekvationer Uppgift nr 1 x x = 36 Uppgift nr 2 x² = 64 Uppgift nr 3 0 = x² - 81 Uppgift nr 4 x² = -81 Uppgift nr 5 x² = 7 Ange också närmevärden med 3 decimaler med hjälp av miniräknare.

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

Några vanliga fördelningar från ett GUM-perspektiv

Några vanliga fördelningar från ett GUM-perspektiv Några vanliga fördelningar från ett GUM-perspektiv I denna PM redovisas några av de vanligaste statistiska fördelningarna och deras hantering inom ramen för GUM: Guide to the Expression of Uncertainty

Läs mer

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j. 34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt

Läs mer

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,

Läs mer

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln.

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Erik Darpö TENTAMEN I MATEMATIK MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 11 juni 014

Läs mer

Del 13 Andrahandsmarknaden

Del 13 Andrahandsmarknaden Del 13 Andrahandsmarknaden Strukturakademin Strukturakademin Srukturinvest Fondkommission 1 Innehåll 1. Produktens värde på slutdagen 2. Produktens värde under löptiden 3. Köp- och säljspread 4. Obligationspriset

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

5B1147. Envariabelanalys. MATLAB Laboration. Laboration 1. Gränsvärden och Summor

5B1147. Envariabelanalys. MATLAB Laboration. Laboration 1. Gränsvärden och Summor 5B47 MATLAB Laboration Laboration Gränsvärden och Summor joycew@kth.se uvehag@kth.se Innehåll Uppgift a... Problem... Lösning... Grafisk bestämning av gränsvärden... Beräkning av gränsvärden...2 Uppgift

Läs mer

Vi ska här utgå ifrån att vi har en aktie och ska med denna som grund konstruera tre olika optionsportföljer.

Vi ska här utgå ifrån att vi har en aktie och ska med denna som grund konstruera tre olika optionsportföljer. STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd för Matematisk statistik TH FINANSMATEMATIK I, HT 01 KOMPLEMENT DAG 12 Version 01 12 10 TRE OPTIONSSTRATEGIER Vi ska här utgå ifrån att vi har en aktie

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 21 Tentamen M0038M Tentamensdatum 2015-10-28 Sista anmälningsdag 2015-10-08 Tentamensanmälan

Läs mer

1.1 Polynomfunktion s.7-15

1.1 Polynomfunktion s.7-15 1.1 Polynomfunktion Vad är då en funktion? En funktion är en regel i matematiken som beskriver sambandet mellan två storheter. T.ex. Hur många hjul har 3 bilar? 3 4 = 12 Hur många hjul har 4 bilar? 4 4

Läs mer

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7 TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter TM-Matematik Mikael Forsberg 074-42 Pär Hemström 026-648962 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma04a 202 06 04 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare Karlstads universitet 19-0 april Exempel på elevaktiviteter framtagna i skolutvecklingsprojektet IKT och lärande i matematik 1

Läs mer

Experimentella metoder, FK3001. Datorövning: Finn ett samband

Experimentella metoder, FK3001. Datorövning: Finn ett samband Experimentella metoder, FK3001 Datorövning: Finn ett samband 1 Inledning Den här övningen går ut på att belysa hur man kan utnyttja dimensionsanalys tillsammans med mätningar för att bestämma fysikaliska

Läs mer

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Tentamen Finansiering (2FE253) Lördagen den 2 april 2016

Tentamen Finansiering (2FE253) Lördagen den 2 april 2016 Tentamen Finansiering (2FE253) Lördagen den 2 april 2016 Skrivtid: 4 timmar (kl. 09:00 13:00) Hjälpmedel: Kalkylator och kursens formelblad. OBS! Endast formler som står med på formelbladet får programmeras

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL 1 Inre produktrum 1 2 Cauchy-Schwarz olikhet 3 3 Ortogonala projektioner och Gram-Schmidts process 3 4 Uppgifter 4 61:13(a) 4 61:23(a) 4 61:29 5 62:7

Läs mer

Riktlinjer Allmänt Rapportens innehåll Identifikatortyp. ISIN CUSIP SEDOL OTHER Identifikator.

Riktlinjer Allmänt Rapportens innehåll Identifikatortyp. ISIN CUSIP SEDOL OTHER Identifikator. Riktlinjer Från och med 2014-05-31 1(5) Riktlinjer för rapportering av värdepappersemissioner giltiga från och med 2014-05-31 I Riksbankens författningssamling, RBFS 2012:1 ges riktlinjer om vilken typ

Läs mer

Gruppuppgifter 1 MMA132, Numeriska metoder, distans

Gruppuppgifter 1 MMA132, Numeriska metoder, distans Gruppuppgifter 1 MMA132, Numeriska metoder, distans Uppgifter märkta med redovisas 1. Läs om felkalkyl i enkla fall sidan 1.2-1.3. Givet a = 1,23, E a = 0,005 c = 0,00438 ± 0,5 10 5 b = 23,71, E b = 0,003

Läs mer

Tentamen'i'TMA321'Matematisk'Statistik,'Chalmers'Tekniska'Högskola.''

Tentamen'i'TMA321'Matematisk'Statistik,'Chalmers'Tekniska'Högskola.'' Tentamen'i'TMA321'Matematisk'Statistik,'Chalmers'Tekniska'Högskola.'' Hjälpmedel:'Valfri'räknare,'egenhändigt'handskriven'formelsamling'(4''A4Esidor'på'2'blad)' och'till'skrivningen'medhörande'tabeller.''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''

Läs mer

Del 15 Avkastningsberäkning

Del 15 Avkastningsberäkning Del 15 Avkastningsberäkning 1 Innehåll 1. Framtida förväntat pris 2. Price return 3. Total Return 5. Excess Return 6. Övriga alternativ 7. Avslutande ord 2 I del 15 går vi igenom olika möjliga alternativ

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

NUMPROG, 2D1212, vt Föreläsning 1, Numme-delen. Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden

NUMPROG, 2D1212, vt Föreläsning 1, Numme-delen. Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden NUMPROG, D, vt 006 Föreläsning, Numme-delen Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden En av de vanligaste numeriska beräkningar som görs i ingenjörsmässiga tillämpningar är att lösa ett

Läs mer

Bonusövningsuppgifter med lösningar till första delen i Makroekonomi

Bonusövningsuppgifter med lösningar till första delen i Makroekonomi LINKÖPINGS UNIVERSITET Ekonomiska Institutionen Nationalekonomi Peter Andersson Bonusövningsuppgifter med lösningar till första delen i Makroekonomi Bonusuppgift 1 Nedanstående uppgifter redovisas för

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

Del 14 Kreditlänkade placeringar

Del 14 Kreditlänkade placeringar Del 14 Kreditlänkade placeringar Srukturinvest Fondkommission 1 Innehåll 1. Obligationsmarknaden 2. Företagsobligationer 3. Risken i obligationer 4. Aktier eller obligationer? 5. Avkastningen från kreditmarknaden

Läs mer

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination

Läs mer

Ytterligare övningsfrågor finansiell ekonomi NEKA53

Ytterligare övningsfrågor finansiell ekonomi NEKA53 Ytterligare övningsfrågor finansiell ekonomi NEKA53 Modul 2: Pengars tidsvärde, icke arbitrage, och vad vi menar med finansiell risk. Fråga 1: Enkel och effektiv ränta a) Antag att den enkla årsräntan

Läs mer

TENTA 2011-08-15 723G28/723G29 (uppdaterad 2014-02-03)

TENTA 2011-08-15 723G28/723G29 (uppdaterad 2014-02-03) TENTA 2011-08-15 723G28/723G29 (uppdaterad 2014-02-03) LÖSNINGSFÖRSLAG: Notera förslag och att det är skisser inte fullständiga svar på definitioner och essäfrågor Uppgift 1 (2 poäng) Definiera kortfattat

Läs mer

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n Årgång 48, 1965 Första häftet 2505. Låt M = {p 1, p 2,..., p k } vara en mängd med k element. Vidare betecknar M 1, M 2,..., M n olika delmängder till M, alla bestående av tre element. Det gäller alltså

Läs mer

» Industriell ekonomi FÖ7 Investeringskalkylering

» Industriell ekonomi FÖ7 Investeringskalkylering » Industriell ekonomi FÖ7 Investeringskalkylering Norrköping 2013-01-29 Magnus Moberg Magnus Moberg 1 FÖ7 Investeringskalkylering» Välkommen, syfte och tidsplan» Repetition» Frågor? Magnus Moberg 2 » Definition

Läs mer

(A -A)(B -B) σ A σ B. på att tillgångarna ej uppvisar något samband i hur de varierar.

(A -A)(B -B) σ A σ B. på att tillgångarna ej uppvisar något samband i hur de varierar. Del 2 Korrelation Innehåll Implicita tillgångar... 3 Vad är korrelation?... 3 Hur fungerar sambanden?... 3 Hur beräknas korrelation?... 3 Diversifiering... 4 Korrelation och strukturerade produkter...

Läs mer

Grafen till funktionen z = x y.

Grafen till funktionen z = x y. Frågor och svar om ln x, e x och 1/x i anslutning till grafen finns på nästa sida och framåt. 1 (6) Grafen till funktionen z = x y. plot3d(x^y, x=-3..3, y=-1..2, axes=frame, grid=[25,25], title="z=x^y");

Läs mer

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Exempel :: Spegling i godtycklig linje. INNEHÅLL Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg :: 6 augusti 05 Sammanfattning:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som

Läs mer

.I Minkowskis gitterpunktssats

.I Minkowskis gitterpunktssats 1.I Minkowskis gitterpunktssats Minkowskis sats klarar av en mängd problem inom den algebraiska talteorin och teorin för diofantiska ekvationer. en kan ses som en kontinuerlig, eller geometrisk, variant,

Läs mer

PRÖVNINGSANVISNINGAR

PRÖVNINGSANVISNINGAR PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex.

Läs mer

Isometrier och ortogonala matriser

Isometrier och ortogonala matriser Isometrier och ortogonala matriser (Delvis resultat som kunde kommit tidigare i kursen) För att slippa parenteser, betecknas linära avbildningar med A och bilden av x under en lin avbildn med Ax i stället

Läs mer