Effektivitet och implicit volatilitet för Stockholmsbörsens OMX-index Kan den implicita volatiliteten beskrivas som en random walk?

Transkript

1 Stockholms Universitet Nationalekonomiska institutionen Effektivitet och implicit volatilitet för Stockholmsbörsens OMX-index Kan den implicita volatiliteten beskrivas som en random walk? Författare: Zeki Algan och Jesper Högberg Handledare: Professor Mats Persson Kurs: NE3070 Termin: VT 2004

2 Innehåll 1. Inledning Tidigare studier Teoretisk referensram Optioner OMX-optionen Black & Scholes ekvation Riskfria räntan Estimering av volatilitet Historisk volatilitet Implicit volatilitet Random walk Den effektiva marknadshypotesen Svag form Halvstark form Stark form Sammanfattning av den effektiva marknadshypotesen Analys Två tidsserier Runs test Totala antalet runs Totala antalet runs för respektive tecken Antalet runs av en viss längd Sammanfattning av runs test Modellanpassning Sammanfattning av analysen Strategier Åtgärder vid fluktuationer i den implicita volatiliteten Grundpositioner Strut Vagga Slutsatser Tack Litteraturförteckning

3 1. Inledning På Stockholmsbörsen finns ett index med de 30 mest omsatta aktierna, kallat OMXindex. I denna uppsats ska vi analysera marknadens förväntade standardavvikelse hos OMX-index, benämnt som den implicita volatiliteten. Undersökningen har för avsikt att redogöra för huruvida marknaden är effektiv med avseende på den implicita volatiliteten. Dessutom ska vi redogöra för vilka vinstgivande strategier en placerare skall inta, med vetskapen om volatilitetsutvecklingen. Om marknaden är effektiv innebär det att volatiliteten följer en s.k. random walk, d.v.s. den ändras slumpmässigt från dag till dag. Om marknaden inte är effektiv, kan man däremot möjligtvis förutse förändringar i volatiliteten och därmed göra systematiska vinster genom att inta vinstgivande positioner. Med andra ord vill vi ha svar på: Kan den implicita volatiliteten för Stockholmsbörsens OMX-index beskrivas som en random walk? Vilka strategier ska en placerare inta för att få överavkastning på optionspositioner, om denne kan förutse den implicita volatilitetens utveckling? För att utreda ovanstående problem ska vi använda oss av samma beprövade tester som Eugene Fama gjorde år 1965, i sin mycket välkända artikel The Behavior of Stock-Market Prices. Då gjorde han liknande undersökningar på aktiekurser för att klarlägga om aktiemarknaden med avseende på aktiepriserna var effektiv och om priserna kunde beskrivas med hjälp av teorin om random walks. Anledningen till att vi använder oss Famas undersökningsmetodik är dels att vissa av hans tester är enkla att tillämpa, dels att dessa vunnit ett stort erkännande bland ekonomer världen runt. Fama kunde med sina empiriska tester på ett enkelt sätt fastställa att aktiemarknaden med avseende på aktiekurserna är effektiv. I denna redogörelse ämnar vi att göra liknande analyser med avseende på den implicita volatiliteten. Avgränsningar Vi vill redan nu understryka att vi endast haft tillgång till data över tre års historik, vilket kan ha påverkat våra resultat och uppvisa ett beteende som inte är representativt ur ett längre perspektiv. Dessutom har vi p.g.a. tidsbrist endast kunna analysera effektivitet av den svaga formen (se avsnitt 3.4.1). Aktiepriser anses vara 2

4 effektiva med avseende på den halvstarka formen, men fundamentala analyser som krävs för studier av denna form är svårare att systematisera och avgränsa på ett lämpligt sätt. Därtill innehåller fundamentala analyser ofta subjektiva argument (se avsnitt 3.4.2). Eftersom vi i denna redogörelse vill göra en teknisk och objektiv studie har vi därför valt att analysera effektivitet av den svaga formen. Vi har valt att använda oss av en AR (10) 1 modell för att avgöra om den implicita volatiliteten följer random walk. Anledningen till detta är dels att AR (10) är möjlig att implementera i Matlab (det verktyg vi arbetar med), dels att random walk är en del av AR (10) processen, nämligen en AR (1). Orsaken till att vi inte använder oss av andra matematiska metoder som ARCH (p) och en vidareutveckling GARCH (p,q), är att vi vill fokusera oss på resultatet av studien och inte tillvägagångssättet. Dessutom blir detta mer pedagogiskt och lättförståeligt för läsaren AR (10). För övrigt används ARCH (p) och GARCH (p,q) metoderna mestadels för att statistiskt modellera tidsvarierande volatilitet. Man skulle också kunna göra en mycket mer omfattande känslighetsanalys om vad som händer då ränta, tid till lösen och pris på det underliggande OMX-index förändras. Känslighetsanalysen är dock i sig ett komplext område som vi i denna redogörelse inte ska analysera. Disposition I kapitel 2 tar vi upp tidigare studier och i kapitel 3 kommer en teoretisk bakgrund där vi förklarar vissa grundläggande begrepp inom portföljteorin. Därefter följer kapitel 4 med analys. Då undersöker vi de aktuella tidsserierna för OMX-index och dess implicita volatilitet samt tar fram statistik för att få en översikt. Dessutom gör vi olika empiriska tester i syfte att bedöma den implicita volatilitetens egenskaper och oberoende. Slutligen gör vi en AR (10) anpassning för att se om volatiliteten kan beskrivas som en random walk. Efter det behandlar vi tänkbara vinstgivande strategier i kapitel 5. Sedan avslutar vi med slutsatser i kapitel Tidigare studier Fama gjorde i sin artikel från 1965 tester för att svara på huruvida marknaden med avseende på aktiepriser var effektiv. Fama utgick ifrån teorin om random walk, d.v.s. 1 AR betyder Auto Regressive och p, d.v.s. (10) är en parameter som talar om med hur många komponenter det glidande medelvärdet ska skattas. 3

5 han ville undersöka ifall aktiepriserna följer en random walk. Detta skulle i så fall betyda att marknaden med avseende på aktiepriserna var effektiv och att det inte var lönsamt att med teknisk och fundamental analys försöka generera överavkastning. Fama strukturerade sitt arbete på så sätt att han delade upp problemet i två delar. Först ville han svara på om aktiepriserna uppvisade ett oberoende. Sedan ville han studera med vilken fördelning man kunde beskriva utvecklingen av aktiepriserna. Famas artikel är en doktorsavhandling och innehåller en mängd olika tester. Vissa av testerna är svårtolkade och ointressanta för vårt arbete, medan andra är lättare att ta till sig. I denna uppsats har vi koncentrerat oss på de tester som vi funnit vara på en lämplig nivå. Det finns många uppsatser, särskilt inom den finansiella grenen av företagsekonomin, där man tidigare studerat den implicita volatiliteten. En vanlig företeelse är då att man studerat aktiviteten på aktiemarknaden och den implicita volatilitetens utveckling kring viktiga händelser som kvartalsrapporter och årsredovisningar. Då har man också testat olika optionsstrategier för tiden kring sådana händelser. Det finns även studier där man matematiskt försökt modellera den implicita volatiliteten med hjälp av glidande medelvärden. Det vanliga är då att man använt färdiga prognosverktyg. Därutöver finns det studier där man jämfört den historiska och den implicita volatiliteten i syfte att avgöra om optioner är över eller undervärderade. Detta ska ge en indikation om vilka strategier man ska ha för att generera överavkastning med optioner. Vi har till skillnad från tidigare uppsatser haft en matematisk fokusering i redogörelsen och inte använt färdiga prognosverktyg, utan själva implementerat alla matematiska samband. Vi har försökt skapa en uppfattning av hur volatiliteten kan beskrivas matematiskt och förutses. Då vi tagit upp optionsstrategier så har vi inte studerat någon enskild händelse utan koncentrerat oss på att övergripande beskriva vad som är lönsamt med tron eller vetskapen om den implicita volatilitetens framtida utveckling. 3. Teoretisk referensram För att läsaren lättare ska kunna förstå denna redogörelse har vi valt att inledningsvis kortfattat förklara vissa grundläggande begrepp inom portföljteorin, såsom optioner, OMX-index, Black & Scholes ekvation, Blacks ekvation, volatilitet, implicit 4

6 volatilitet, effektivitet samt random walk. Att ha insikt i dessa begrepp är av central betydelse för förståelsen av uppsatsen. 3.1 Optioner En option är rätten, men inte skyldigheten, att handla i en underliggande tillgång till ett i förväg fastställt pris vid en viss tidpunkt. Denna underliggande tillgång kan vara en aktie, ett aktieindex, en valuta eller en råvara. Det finns två olika typer av optioner, nämligen köpoptioner och säljoptioner. En köpoption ger innehavaren rätt att köpa den underliggande tillgången till ett visst pris. En säljoption ger innehavaren rätt att sälja den underliggande tillgången till ett visst pris. Den som ställer ut säljoption är skyldig att köpa aktierna till det överenskomna priset, om motparten utnyttjar sin rätt att sälja. Likaså är utställaren av en köpoption skyldig att sälja aktierna till det överenskomna priset, om motparten utnyttjar sin rättighet att köpa. Priset i optionskontraktet kallas lösenpris och tidpunkten kallas lösendag. Amerikanska optioner kan utnyttjas när som helst under löptiden, d.v.s. tiden mellan optionens utfärdande och lösendagen. Europeiska optioner kan endast utnyttjas på lösendagen, d.v.s. ett redan från början fastställt datum (Brealey & Myers 2000, s ). Vid värdering av optioner använder man sig oftast av en formel som kallas Black & Scholes ekvation (se avsnitt 2.2). De parametrar som används vid värdering av optioner är: den underliggande tillgångens värde, optionens lösenpris, optionens återstående löptid, den underliggande tillgångens volatilitet samt den riskfria räntan (Grinblatt & Titman 2002, s 287) OMX-optionen OMX-optionen är en option vars underliggande tillgång är ett index, kallat för OMXindex. Detta index speglar som tidigare nämnts kursutvecklingen för de 30 mest omsatta aktierna på Stockholmsbörsen. OMX-optionen är av europeisk typ, d.v.s. denna kan endast lösas på optionens slutdag. 3.2 Black & Scholes ekvation Fischer Black och Myron Scholes presenterade år 1973 en banbrytande formel för värdering av aktieoptioner. Denna modell innebar ett genombrott i prissättningen av 5

7 optioner och vann snabbt erkännande bland ekonomer. Metoden har också bidragit till framväxten av nya finansiella produkter och underlättat en effektivare riskhantering i samhället. Formeln är beroende av endast fem parametrar, varav alla utom en är enkla att bestämma, och ser ut på följande sätt för en köpoption: C = SN ( d) Le rt ( d σ t ) där hjälpvariabeln d definieras av; d = ln (1) 2 S σ + r t L + 2 σ t Enligt denna formel ges köpoptionens värde C, av skillnaden mellan det förväntade aktievärdet och den förväntade kostnaden om optionen utnyttjas. Den säger att optionsvärdet för köpoptionen ökar när: när marknadspriset på den underliggande tillgången (S) stiger när den riskfria räntan (r) stiger N när det är längre tid kvar till lösen (t) när lösenkursen (L) sjunker när sannolikheten för att optionen kommer att utnyttjas är stor (sannolikheten utvärderas med hjälp av fördelningsfunktionen N för normalfördelningen), d.v.s. när den underliggande tillgångens volatilitet ( σ ) stiger För en säljoption ser formeln ut på följande sätt: P= Le rt ( σ t ) SN(d) N d (2) Värdet på säljoptionen (P) förändras på samma sätt som köpoptionen om de ingående variablerna ändras med undantagen S och L som verkar tvärtom. Volatiliteten är den enda okända parametern och samtidigt det som är av mest intresse i vårt sammanhang Riskfria räntan Med riskfri ränta syftar man vanligtvis på den ränta en 90-dagars statsskuldväxel ger. Denna ränta utgör således ett minimum för hur låg avkastning en placerare är villig att acceptera. Om avkastningen på en placering är lägre än den riskfria räntan kommer investeraren därmed inte att vara villig att investera kapital, då denne riskfritt kan låna pengar till staten till en högre ränta. 6

8 3.2.2 Estimering av volatilitet Inom portföljteorin används det statistiska måttet volatilitet (standardavvikelse), för en bestämd aktie eller en hel marknads avkastning, som ett mått på tillgångens risk. I stora drag är definitionen av begreppet ett mått på hur stor osäkerheten är inför den framtida kursutvecklingen. Volatilitet är en parameter som används vid värdering av en option och är den enda parametern som kräver estimering i Black & Scholes ekvation (Grinblatt och Titman 2002, s. 280). Att ha en uppfattning om volatilitet är således av yttersta vikt vid optionshandel. Den som handlar med optioner handlar med volatilitet, d.v.s. köper och säljer risk. En hög volatilitet hos den underliggande tillgången medför att optionen blir mer värdefull och vice versa (Grinblatt och Titman 2002, s. 287). Det finns flera sätt att bestämma volatiliteten under antagandet att den är konstant. Den volatilitet som vi kommer att arbeta med i uppsatsen är den implicita volatiliteten Historisk volatilitet Vid värdering av optioner är det av stor vikt att kunna uppskatta marknadens framtida volatilitet, så att priset för optionen blir så korrekt som möjligt. Att göra denna värdering med historisk volatilitet som bakgrund är en vanlig metod, d.v.s. man analyserar hur stora rörelser den underliggande tillgången haft t.ex. de senaste 30 dagarna. Fördelarna med att använda sig av historisk volatilitet är att det är enkelt att få fram data och att man ofta får en god uppskattning av den framtida volatiliteten. Att använda sig av den historiska volatiliteten som riskmått är dock otillfredsställande av minst fyra skäl (Johansson och Persson 1989, s 88-89); Börsen påverkas av exogena händelser som minskar eller ökar osäkerheten, oberoende av tidigare kursrörelser. Kursen kan ligga oförändrad p.g.a. att en hög sannolikhet av stora vinster balanserar en ungefär lika hög sannolikhet av stora förluster. En tillgångs värde kan ha kraftiga, men ändå förutsägbara, svängningar t.ex. säsongmässigt. Detta fenomen gäller främst för råvarumarknaden. Osäkerheten är ett psykologiskt fenomen, d.v.s. det finns ingen rationell förklaring till att placerarna upplever en ökad osäkerhet. 7

9 3.2.4 Implicit volatilitet Implicit volatilitet är den volatilitet som marknaden tror att aktien kommer att ha under resten av löptiden. Denna kan sägas vara en uppskattning av den osäkerhet som marknaden förknippar med den underliggande tillgången. Priset på optionen är beroende av den implicita volatiliteten. Om man antar att grundförutsättningarna för Black & Scholes ekvation är uppfyllda och att optionsmarknaden fungerar effektivt, kan man räkna ut den implicita volatiliteten, d.v.s. σ, baklänges (Johansson och Persson 1989, s 88-89). Man ställer då upp formeln som en ekvation med σ som den eftersökta variabeln, och sätter sedan in de redan kända variablerna i ekvationen (den underliggande tillgångens pris, lösenpriset, räntan och den återstående löptiden). Hur detta görs ska dock ej behandlas här, eftersom ekvationen kräver en komplicerad numerisk iteration för beräkning av volatiliteten. 3.3 Random walk Det var år 1953 som Maurice Kendall upptäckte att aktiekurserna följer en s.k. random walk, d.v.s. att aktiepriset ändras slumpmässigt från dag till dag. Detta var en relativt ny upptäckt, då man tidigare trodde att aktiepriset följde ett mönster. Att kurserna följer en random walk innebär att investerare inte kan förutsäga morgondagens kurser enbart genom att titta på dagens kursrörelser. Alltså kan man inte generera onormal avkastning genom investeringsstrategier. Undersökningar som har gjorts visar nämligen att det i stort sett inte finns något samband mellan avkastningen från en vecka till nästa (Brealey & Myers 2000, s ). En process kan sägas följa random walk om den kan beskrivas på följande sätt: V 1 = V + ε (3) t+ t där V t+ 1 är morgondagens värde, V t är dagens värde och ε är en brusterm, s.k. vitt brus (Brockwell och Davis 1996, s 16). Brustermen ε har ett medelvärde som är noll och en varians som är skild från noll och kan ha olika fördelningar, t.ex. normalfördelad. 3.4 Den effektiva marknadshypotesen M. Kendalls upptäckt ligger till grund för den effektiva marknadsteorin. Denna utgår från den effektiva marknadshypotesen, vilken är baserad på antagandet om att 8

10 informationen är enkel och lättillgänglig för investerare (Ross, Westerfield & Jaffe 1996, s 335). Med andra ord innebär detta att samtliga intressenter på marknaden har samma information och att de tolkar den lika. 2 Att effektivitet råder medför således att all information omedelbart reflekteras i aktiepriserna. En investerare kan därmed inte vinna på att handla aktier utifrån ny information, då aktiepriset hunnit ändras redan innan nyheten offentliggörs (Ross, Westerfield och Jaffe 1996, s. 335 och Brealey och Myers 2000, s. 354). Alltså är tidpunkten när investeraren får informationen oväsentlig, då priset redan är justerat för ny information. Professionella och välinformerade aktörer kan således inte heller åstadkomma en avkastning som är bättre än den genomsnittlige placerarens. Marknadseffektivitet innebär också att teknisk analys inte har något värde. Inom den effektiva marknadsteorin finns det tre nivåer av effektivitet, vilka delas upp mellan hur stor påverkan informationen har på aktiepriset. Viss information påverkar nämligen aktiepriset snabbare än annan information. Effektivitetsnivåerna kallas för svag, halvstark samt stark form Svag form Den svagaste typen av effektivitet kallas svag form och innebär att marknaden endast utgår från historiska aktiekurser för att se aktiens utveckling (Ross, Westerfield och Jaffe 1996, s ). Denna information är lätt att få tag på. Svag form råder om det är omöjligt att förutsäga framtida prisförändringar genom att endast använda sig av historiska prisförändringar (Brealey och Myers 2000, s. 351). Även om det finns ett återkommande mönster i prisrörelserna på de finansiella marknaderna ska man således inte kunna göra vinst på att följa mönstret, om man tar hänsyn till transaktionskostnader. Att bara använda sig av historisk data för att se framtida utvecklingar är enkelt, men har inte så stort värde då andra faktorer troligtvis påverkar mer (Brealey och Myers 2000, s ). Den svaga formen speglar nämligen inte information som t.ex. framtida vinster, sammanslagningar eller företagets likviditet. Att svag effektivitet råder utesluter därför inte att man kan förutsäga framtida prisförändringar baserat på denna information, och därmed generera vinster. 2 Marknaden är dock mer komplex i verkligheten 9

11 3.4.2 Halvstark form En marknad är halvstarkt effektiv om det är omöjligt att förutsäga framtida prisförändringar endast genom att använda information som är tillgänglig för allmänheten. Sådan information är historiska aktiekurser samt offentlig information som företagsledningens uttalanden, affärstidningars rekommendationer, kvartalsrapporter, årsredovisningar etc. (Brealey och Myers 2000, s ). Ofta lägger investerare ner mycket tid på att studera dessa innan de investerar i aktier. Den halvstarka formen speglar dock inte privat information, d.v.s. insiderinformation. Att halvstark effektivitet råder utesluter därför inte att man kan göra vinst på insideraffärer. Ett exempel är om ett företag drar nytta av insiderinformation och köper tillbaks aktier i det egna bolaget innan de offentliggör ökningen i avkastningen, för att sedan sälja dem när kursen gått upp och på så sätt göra vinst Stark form En marknad är starkt effektiv om det är omöjligt att använda någon form av information för att förutsäga framtida prisförändringar. All information reflekteras omedelbart i aktiepriserna, d.v.s. både offentlig, privat samt historiska priser. Således ska man inte ens kunna dra nytta av insiderinformation eftersom även detta snabbt återspeglas på aktiekursen. Därmed hinner inte insideraktören köpa eller sälja aktien innan den påverkas av informationen (Brealey och Myers 2000, s. 351, Ross, Westerfield och Jaffe 1996, s. 340) Sammanfattning av den effektiva marknadshypotesen Det finns skilda meningar om halvstark och stark effektiv marknad är bra eller dåliga för att förklara hur en finansmarknad fungerar. Den halvstarka effektiva marknaden anses vanligtvis vara den mest verklighetstrogna och påvisbara. Den starka effektiva marknaden är svår att applicera på någon marknad idag eftersom det visat sig att insideraffärer faktiskt är förekommande (Ross, Westerfield och Jaffe 1996, s. 341). Inom ramen för denna uppsats ska vi endast undersöka om marknaden med avseende på volatiliteten är svagt effektiv. Anledningen till detta är att våra tester endast är baserade på historiska kursrörelser då detta är vår enda data. Vi har därmed inte tagit hänsyn till information som företagsledningens uttalanden, affärstidningars rekommendationer, kvartalsrapporter, årsredovisningar, insidertips etc. 10

12 4. Analys I detta avsnitt följer uppsatsens huvudanalys som syftar till att besvara de centrala frågorna. Vi ska börja med att undersöka tidsserierna för OMX-index och dess implicita volatilitet samt ta fram statistik för att få en översikt. Sedan gör vi olika empiriska tester för att se om volatiliteten kan beskrivas som en random walk. Om den kan beskrivas som en random walk så innebär det att marknaden är effektiv med avseende på den implicita volatiliteten. Det betyder att det inte lönar sig att göra tekniska och fundamentala analyser för att sedan med olika investeringsstrategier göra systematiska vinster. Vi kommer att göra s.k. runs tests. Testerna syftar till att undersöka möjligheten att förutspå framtida utvecklingar hos den implicita volatiliteten med hjälp av historisk data. Sedan ska vi undersöka om man kan approximera den implicita volatiliteten som en AR (10) process. Genom att göra denna modellanpassning av tidsserien kan vi nämligen få svar på om volatiliteten kan beskrivas som en random walk. Som en jämförelse kommer vi att göra samma modellanpassning av den underliggande tillgången (OMXindex) för att se skillnaderna dem emellan. Tidsserierna kommer i sin tur från Bloombergs. 3 Med dessa tidsserier som indata utför vi tester med hjälp av programmeringsspråket Matlab. Samtliga data till nedanstående tabeller och grafer har vi tagit fram själva genom att implementera de aktuella formlerna, d.v.s. alla grafer och tabeller är våra egna. 4.1 Två tidsserier De tidsserier vi använt oss av i denna studie är de historiska värdena för OMX-index och dess underliggande implicita volatilitet under perioden 26 februari 2001 fram till 5 mars Volatiliteten är beräknad med hjälp av ett medelvärde av de 3 OMXköpoptioner som är närmast at the money (ATM), d.v.s. har ett lösenpris som ligger närmast dagskursen och lösendag närmast den aktuella dagen. Anledningen till att vi använder oss av ATM-optioner är att dessa är de mest omsatta. Optioner med lösenpris långt ifrån aktuell terminskurs är inte intressanta för oss, då en variation i deras priser påverkar den implicita volatiliteten oproportionellt mycket (Johansson och Persson 1989, s 90). I tidsserien för den implicita volatiliteten finns ett värde för varje handelsdag som är baserat på stängningskurserna för OMX-index. Dessa värden 3 Bloombergs är världsledande inom finansiell realtidsinformation. 11

13 beskriver hur placerarnas riskuppfattning varierar från dag till dag. Då det är tre till fem dagar kvar till lösen byter man lösenmånad till närmast påföljande. För att värdera OMX-optionerna använder man en formel som kallas Blacks ekvation. Anledningen är av praktisk natur. Eftersom det är svårt att värdera en portfölj med hänsyn till framtida aktieutdelningar under optionens löptid så används terminspriset (F) som underliggande tillgång i Blacks ekvation, som är en variant av Black & Scholes ekvation. De parametrar som styr OMX-optionens värde är samma som i Black & Scholes ekvation (se avsnitt 2.2). Ekvationen ser ut på följande sätt för en köpoption (Black 1976, s ): ( FN( d ) LN( )) rt C = e (4) 1 d 2 där d 1 och d 2 definieras av; d 1 2 F σ t log + L 2 = resp. d 2 = d 1 σ t σ t För att man ska kunna använda Blacks ekvation vid beräkning av den implicita volatiliteten, antar man att OMX-index är lognormalfördelat. Nedan (figur 1) visas en graf som styrker detta antagande. 150 Norm alfördelning Figur 1. Den logaritmerade dagliga förändringen för OMX-index. Vid tidigare studier av denna typ som gjorts på aktiekurser har man undersökt den logaritmerade förändringen av kurserna, eftersom man är intresserad av den 12

14 procentuella förändringen. I vår empiriska studie har vi dock valt att studera de ickelogaritmerade värdena hos den implicita volatiliteten. Orsaken till detta är att volatiliteten i sig själv redan uttrycks som en procentuell årsavkastning, vilket också är det vi vill undersöka. Nedan (figur 2) visas en graf över stängningskurserna för OMX-index samt dess volatilitet. OMX Index OMX Index Impl. Vol (%) på årsbasis Implicita Volatiliteten för OMX Index Tiden Figur 2. OMX-index och dess implicita volatilitet 26 februari mars Några reflektioner kan göras genom att studera graferna. Vi kan börja med att konstatera att kraschen på World Trade Center, New York, den 11 september 2001 hade stora skadeverkningar på världsekonomin. Denna resulterade nämligen i kraftiga börsfall världen över. Som framgår i den nedre delen av figur 2, hade den också stora effekter på den implicita volatiliteten som hade sitt högsta värde just den 11:e september Osäkerheten fortsatte naturligtvis att vara hög även efter 11 september, men minskade successivt i takt med att världens börser sakta återhämtade sig. Återhämtningen blev dock inte långvarig utan följdes av kraftiga börsfall de tre första kvartalen under år 2002, vilket resulterade i att osäkerheten och volatiliteten ökade kraftigt. Vi kan därför se ytterligare en topp i den nedre figuren den 1:a augusti Världens börser har dock efter denna period stabiliserats allt eftersom osäkerheten minskat. Börsuppgången tog fart i Östeuropa och Asien, som sedan drog 13

15 med sig Europa, däribland Stockholmsbörsen och dess OMX-index. Nedan presenteras statistik för den implicita volatiliteten. Antal dagar Medel Standardavvikelse Median Max Min Tabell 1. Statistik för den implicita volatiliteten 4.2 Runs test Kan man förutspå framtida värden för den implicita volatiliteten genom att studera de historiska värdena, d.v.s. är framtiden beroende av historien? Runs tests är ett sätt att undersöka detta samband. Detta är ett korrelationstest där man inte tar hänsyn till förändringarnas storlek utan endast förändringen i sig. Alla förändringar har samma betydelse och extrema förändringar ger därmed inte missvisande resultat. Om man förväntar sig ett positivt samband i de dagliga förändringarna så kan man också förvänta sig långa runs. I detta avsnitt kommer vi att göra en studie i tre steg. Vi ska undersöka tecknet av differensen för den implicita volatiliteten från dag till dag. Om volatiliteten stiger från en dag till nästa blir tecknet positivt. Om den sjunker blir tecknet negativt och om den förblir oförändrad blir tecknet noll. En förändring i samma riktning flera dagar i sträck (t.ex. stigande volatilitet 3 dagar i rad) utgör en s.k. run, eller med andra ord en följd. Denna undersökning kommer bl.a. att ge oss svar på hur den implicita volatiliteten ser ut i minsta detalj, sannolikheter för sjunkande eller stigande volatilitet samt om värdena uppvisar ett stort oberoende. På så sätt kan vi fastslå om man kan förutspå den implicita volatilitetens utveckling eller ej. Vi ska börja med att studera det totala antalet runs. Sedan undersöker vi antalet runs av varje tecken och avslutningsvis analyseras runs av varje längd för ett visst tecken. Följande tabell ger en översikt för sannolikheten av att en viss teckenförändring inträffar i våra testdata. Sannolikhet stigande volatilitet Sannolikhet sjunkande volatilitet Sannolikhet oförändrad volatilitet Tabell 2. Här visas sannolikheterna för förändring av varje typ i testdata. Ur tabellen kan läsas att sannolikheten för en sjunkande volatilitet i våra testdata är aningen högre än för stigande, men att de ändå är i samma storleksordning. Man kan således inte förvänta sig en utveckling i samma riktning flera dagar i rad, då 14

16 sannolikheten för en utveckling i motsatt riktning är ungefär lika stor. Frågan huruvida man kan förutsäga volatilitetens utveckling kan dock inte besvaras endast utifrån denna information utan kvarstår fortfarande Totala antalet runs I detta avsnitt undersöks det totala antalet verkliga respektive förväntade runs för att utreda förhållandet mellan dessa. Med andra ord ska vi utreda möjligheten till att kunna förutsäga den framtida volatilitetsutvecklingen. Vi utgår då ifrån antagandet om att vår tidsserie med 790 dagars information bör ge en god approximation av den implicita volatiliteten historiskt sett, d.v.s. hela populationen. 4 Om man antar att värdena är oberoende av varandra, så kan det totala antalet förväntade runs i vår tidsserie beräknas med följande matematiska uttryck (Fama 1965, s 74-74): N m = ( N + 1) N 3 i 1 2 ni där m är det förväntade antalet runs, N är samplestorleken 790 och n i är det verkliga antalet runs för varje tecken. Genom beräkning av data i vår tidsserie blev m = och totala antalet verkliga runs blev 484. Differensen mellan det verkliga och förväntade antalet runs blir då För ett stort urval kan man göra antagandet att m är normalfördelad. Den förväntade standardavvikelsen i m, d.v.s. σ m räknas fram på följande sätt: ni ni + N( N + 1) 2 N ni N i = 1 i = 1 i = 1 σ = m 2 N ( N 1) (6) Våra beräkningar visar på σ m = Detta betyder att vi med % säkerhet kan konstatera att skillnaden mellan det verkliga och förväntade antalet runs är för stor. Detta tyder på ett större oberoende än förväntat. Vårt första deltest säger således att det är svårt att förutspå den implicita volatiliteten utveckling. 1 2 (5) 4 Att göra detta antagande kan delvis vara missvisande då vår tidsserie endast innefattar en treårsperiod. 15

17 4.2.2 Totala antalet runs för respektive tecken I detta avsnitt ska vi klargöra om volatiliteten går att förutsäga genom att studera sambandet mellan det förväntade och verkliga antalet runs för ett visst tecken. Till att börja med beräknas sannolikheten för en positiv, negativ respektive oförändrad följd. Denna kalkyl bygger på att man tar kvoten mellan det förväntade antalet runs av ett visst tecken i vårt urval och det totala förväntade antalet runs. Uträkning sker enligt följande (Fama 1965, s 77-78): ( run) = NP( + )[ 1 P( + ) ] m P + /, ( run) = NP( ) [ 1 P( ) ] m P / respektive (7) ( 0run) = NP( 0) [ 1 P( 0) ] m P / där P(+ run) är sannolikheten för positiva runs, P(- run) för negativa runs och P(0 run) för oförändrade runs. P(+) är sannolikheten för en positiv förändring, P(-) för en negativ förändring och P(0) för en icke-förändring. Resultatet sammanfattas i nedanstående tabell. Sannolikhet positiv run Förväntad sannolikhet positiv run Sannolikhet negativ run Förväntad sannolikhet negativ run Sannolikhet oförändrad run Förväntad sannolikhet oförändrad run Tabell 3. Sannolikheter för att inleda en följd av förändringar med ett visst tecken. Dessa resultat är sedan nödvändiga för att beräkna det förväntade antalet runs för varje tecken. Vi sätter in dessa värden i följande formel för att få det vi söker (Fama 1965, s 77-78): _ ( + ) = R[ P( run) ] R +, _ R ( ) = R[ P( run) ] respektive (8) _ ( 0) = R[ P( run) ] R 0 där R _ är förväntade antalet runs i vår tidsserie och R är det verkliga antalet runs. De nya resultaten presenteras nedan. Antal positiva runs Förväntat antal positiva runs Antal negativa runs Förväntat antal negativa runs Antal oförändrade runs Förväntat antal oförändrade runs Tabell 4. Det verkliga resp. förväntade frekvensen av antalet runs av ett visst tecken. 16

18 Ur tabellen kan man utläsa att vi gjort en betydande överskattning och två underskattningar av antalet runs för ett visst tecken 5. Sålunda visar även vår andra deltest att man inte med säkerhet kan förutsäga den framtida volatiliteten, eftersom värdena i tiddserien återigen uppvisar ett större oberoende än förväntat Antalet runs av en viss längd I detta avsnitt söker vi klargöra om volatilitetsutvecklingen går att förutsäga, genom att uppskatta det förväntade antalet gånger samma teckenförändring förekommer ett visst antal dagar i följd. Vi ska således beräkna det förväntade antalet runs av en viss längd för varje tecken. Här använder vi oss av formel (9) nedan. Sannolikheten för en run av längd i med positiv förändring blir då (Fama 1965, s 78-79): NP NP i ( ) [ P( + ) ] ( + )[ 1 P( + ) ] = P i ( + ) [ 1 P( + ) ] För att beräkna sannolikheten för en run med negativ eller oförändrad tecken, använder man sig istället av: ( ) 1 [ P( ) ] P i 1 ( 0) 1 [ 1 P( 0) ] P i (9) vid beräkning av negativ, samt (10) vid beräkning av oförändrad tecken. Dessa sannolikheter kan sedan användas för att räkna fram det förväntade antalet runs av längd i för respektive tecken, med hjälp av följande formel (Fama 1965, s 78-79): _ R i 1 ( + ) = R( + ) P( + ) [ P( + ) ] i 1, _ R i 1 ( ) = R( ) P( ) [ P( ) ] i 1 respektive _ R i i 1 ( 0) = R( 0) P( 0) [ 1 P( 0) ] Våra resultat visas nedan i tabell 5. Där redogörs för verkligt och förväntat antal runs av en viss längd för respektive tecken. Denna information ger oss en mycket bra bild av hur den implicita volatiliteten är uppbyggd i minsta beståndsdel. (11) 5 Detta resultat har inte varit möjligt att säkerställa statistikt då vi inte känner till hur detta ska kunna göras. Det är för komplicerat att inom ramen för denna uppsats göra en sådan matematisk utvikning. I Famas artikel från 1965 finns det inte med några metoder för att statistikt säkerställa denna typ av information. 17

19 Antal dagar Antal Förväntat antal Negativa Förväntad antal Oförändrade Förväntat antal i en följd positiva runs positiva runs runs negativa runs runs oförändrade runs Tabell 5. Det verkliga samt de förväntade antalet runs av en viss längd i vår tidsserie. Det som är utmärkande med tabell 5 är att de verkliga värdena för långa förändringar i samma riktning är lägre än de förväntade 6, vilket tyder på ett större oberoende och kortare runs än förväntat. Även vår tredje och sista runs test visar således att man inte med säkerhet kan förutsäga den framtida volatilitetsutvecklingen. Då de förväntade värdena är mindre än ett, finns det endast ett begränsat intresse i dessa siffror eftersom det inte existerar 0.54 dagars slutkurser för den implicita volatiliteten. Vår tidsserie innehåller nämligen endast ett värde per handelsdag på Stockholmsbörsen. Naturligt nog är följderna av samma tecken mestadels korta Sammanfattning av runs test Efter de genomförda testerna kan vi fastslå att antalet verkliga runs är fler och kortare än förväntat. Detta tyder på ett större oberoende än förväntat, vilket innebär att man inte med säkerhet kan förutsäga den framtida volatilitetsutvecklingen. Vi kan dock fortfarande inte konstatera om tidsserien kan beskrivas som en random walk, då enbart detta resultat inte utgör tillräckligt starkt stöd för denna hypotes. 4.3 Modellanpassning Nu ska vi göra en modellanpassning för att utreda huruvida man kan beskriva den implicita volatiliteten som en random walk. I det test vi använder oss av här beskriver man tidsserien som en AR (10) process. AR står för Auto Regressive och formeln (12) säger att det finns tio koefficienter som ska bestämmas. Denna metod är ganska enkel att förstå och ger oss samtidigt viktig information. Man förutsäger det framtida 6 Dessa siffror är inte statistisk säkerställda, återigen av skälet att en sådan matematisk utvikning inte rymms inom denna uppsats. 18

20 värdet genom att observera de tio senaste värdena. Formeln ser ut som följer (Brockwell och Davis 1996, s ): 10 = V V + ε (12) t+ 1 t+1 i = 1 i t+ 1 i V är morgondagens värde, Vt +1 i är historisk data, i är modellvariabler som anpassas så att de kan beskriva tidsserien och ε är vitt brus, d.v.s. en okorrelerad slumpvariabel. För att denna process ska kunna beskrivas som en random walk måste brustermen ha ett medelvärde på noll och en varians skild från noll. Dessutom måste 2 t.o.m. 10 vara noll eller nära noll, samtidigt som den nollskilda koefficienten 1 har ett värde nära ett. Om man kan beskriva den implicita volatiliteten som en random walk så är ekvation (3) och (12) identiska. Våra beräknade resultat visas i nedanstående tabell. Skattat Värde för att vara Övre gräns för 95% Undre gräns för 95% Koefficient värde en random walk konfidensintervall konfidensintervall Tabell 6. Koefficienterna tillhörande den AR(10) modell som anpassats till den implicita volatilitetens tidsserie. Denna process har en brusterm (ε ) med medelvärdet noll och variansen Ur tabellen kan utläsas att 1 är signifikant skild från ett, medan de övriga koefficienterna är signifikant skilda från noll. För samtliga koefficienter gäller att man betraktar 95 % säkerhetsnivå (Brockwell och Davis 1996, s ). Vi kan därmed konstatera att den implicita volatiliteten inte kan betraktas som en random 7 Dessa värden är framtagna genom Yule-Walker ekvationerna för en AR (10) process. 19

21 walk, då ovannämnda kriterier inte är uppfyllda. Således kan vi fastslå att marknaden inte är effektiv med avseende på den implicita volatiliteten. Vi ska nu genomföra exakt samma test med OMX-index. Syftet är att jämföra de olika resultaten eftersom den implicita volatiliteten är beroende av OMX-index. Beroendet är svagt negativt och korrelationskoefficienten mellan OMX-index och den implicita volatiliteten är Resultatet för OMX-index visas i nedanstående tabell. Värde för att vara Övre gräns för 95% Undre gräns för 95% Koefficient Skattat värde en random walk konfidensintervall konfidensintervall Tabell 7. Koefficienterna tillhörande den AR (10) modell som anpassats till OMX-index. Tabell 7 visar att dessa värden, till skillnad från de för den implicita volatiliteten, nära nog uppfyller villkoret för random walk. Här har vi nämligen en stor koefficient 1 med ett värde nära ett, medan de andra är relativt små, och ett vitt brus med medelvärdet noll och variansen Samtliga koefficienter är signifikant skilda från de värden som gäller för en random walk med 95 % säkerhet. Skillnaden är av den storleken att man ändå kan kalla detta för en random walk. Därmed kan vi fastslå att OMX-index kan beskrivas som en random walk, d.v.s. man kan inte med hjälp av historiska värden förutsäga framtida indexkurser. Det är intuitivt inte så egendomligt att OMX-index liknar en random walk, då det är uppbyggt av de 30 mest likvida aktierna på Stockholmsbörsen. Det vore snarare mer uppseendeväckande om det inte kunde beskrivas som en random walk. Detta skulle i så fall betyda att marknaden med avseende på de 30 mest omsatta aktierna på Stockholmsbörsen inte är effektiv. 20

22 4.4 Sammanfattning av analysen Effektivitet handlar som sagt i stor utsträckning om oförutsägbarhet och om det finns metoder att göra onaturligt stora vinster. Att OMX-index kan beskrivas som en random walk innebär att marknaden är effektiv. Därmed bör man inte kunna göra systematiska vinster genom investeringsstrategier på OMX-index. Med runs testerna kunde vi påvisa att man inte med säkerhet kan förutsäga den framtida volatilitetsutvecklingen. Vi kunde dock fortfarande inte konstatera om tidsserien kan beskrivas som en random walk, då enbart dessa resultat inte utgjorde tillräckligt starkt stöd för denna hypotes. Efter att ha anpassat tidsserien till en AR (10) process, kunde vi omedelbart fastställa att den implicita volatiliteten inte kan beskrivas som en random walk. Detta innebär att man trots allt bör kunna förutsäga volatilitetsutvecklingen och därmed göra systematiska vinster, d.v.s. man bör kunna tjäna pengar på att inta rätt positioner. 8 Vi har dock inget konkret svar på hur man kan förutspå volatilitetsutvecklingen i verkligheten Strategier Intresset för utvecklingen av den implicita volatiliteten för OMX-index ökar alltjämt och det finns aktörer som ständigt analyserar historik och gör fundamentala analyser för att förutspå denna. Det går dock inte att med säkerhet förutspå utvecklingen då denna styrs av utbud och efterfrågan. Optioner köps och utfärdas dels för att skydda sig mot finansiella risker, dels i spekulationssyfte. Ungefär 90 % av alla avslut som görs är i spekulations- eller försäkringssyfte. Resterande 10 % går till lösen, d.v.s. man köper eller säljer den underliggande tillgången. Då man spekulerar i optionsaffärer har man ofta optionens avkastningsfunktion på lösendagen klart för sig. Med tron om att volatiliteten ska röra sig i en viss riktning kan man kombinera optioner på ett sätt som ger en gynnsam avkastning. Det går även att genom kombination av optioner återskapa avkastningskurvan för ett annat instrument. Detta kallas för syntetiska positioner. 8 Mer om de vinstgivande positioner en placerare ska inta när han vet hur volatiliteten ska utvecklas, ska tas upp i avsnitt 5. 9 Anledningen till detta är att även andra faktorer (än historiska kursrörelser) i verkligheten påverkar kurserna. Sådana faktorer kan vara årsredovisningar, kvartalsrapporter etc. 21

23 I detta avsnitt ska vi förklara grundläggande beteenden för köp- och säljoptioner. Vi belyser dessa beteenden var för sig, eftersom de ingår som komponenter i s.k. volatilitetsstrategier. Med volatilitetsstrategier avses sådana strategier som kan ge vinst då man spekulerar i volatilitet. Två sådana strategier är strut och vagga. För strut och vagga gäller s.k. deltaneutralitet i utgångsläget, d.v.s. vid små rörelser i den underliggande tillgången spekulerar man endast i volatilitet. Den köpta struten och vaggan har ett positivt vega som är ett mått på hur positionens värde förändras då volatiliteten ändras. Det motsatta gäller för utfärdad strut och vagga. Vi ska förklara hur man gör vinst på rörelser i volatiliteten. Samtliga positioner kommer att illustreras med en figur. 5.1 Åtgärder vid fluktuationer i den implicita volatiliteten Det finns en tumregel som säger att handel med optioner är samma sak som att handla volatilitet, oavsett om det är en köp- eller säljoption man talar om. Både köp- och säljoptionens pris är proportionellt mot volatiliteten. Man köper volatilitet i tron om att denna ska stiga. Det är som att köpa aktier med tron om att dessa ska stiga i värde. Om volatiliteten stiger och allt annat lika, ska man således köpa optionen eftersom den blir mer värd (Natenberg 1994, s ). Om volatiliteten sjunker och allt annat lika, ska man istället sälja optionen eftersom den blir mindre värd. Vilka positioner man ska inta vid en oförändrad volatilitet är däremot svårare att besvara. En oförändrad volatilitet leder vanligtvis till att optionen minskar i värde, eftersom denna även är beroende av tiden. Därmed är det mest gynnsamt att sälja optionen. 5.2 Grundpositioner En köpt köpoption fungerar på så vis att man betalar premien för att begränsa sin förlust, samtidigt som man behåller möjligheten till en obegränsad vinst. Här illustreras grundläggande egenskaper. Avkastning Optionspremie Köpt köpoption Lösenpris Avkastningskurva på lösendagen Pris underliggande Break even point Figur 4. Grundläggande egenskaper för en köpt köpoption på dess lösendag. 22

24 Nedan följer egenskaperna om man utfärdar, d.v.s. säljer en köpoption. I detta fall erhåller man en premie och förlusten är obegränsad om priset på underliggande stiger. Avkastning Erhållen optionspremie Utfärdad köpoption Break even point Pris underliggande Lösenpris Avkastningskurva på lösendagen Figur 5. Grundläggande egenskaper för en utfärdad köpoption på dess lösendag. För säljoptionen utgörs förlustrisken av premien och vinstmöjligheten är begränsad. Avkastning Köpt säljoption Avkastningskurva på lösendagen Lösenpris Pris underliggande Optionspremie Break even point Figur 6. Grundläggande egenskaper för en köpt säljoption på dess lösendag. Att utfärda en säljoption innebär att man, som framhållits ovan, säljer volatilitet eftersom man tror att denna ska sjunka. För en utfärdad säljoption är förlustrisken nedåt begränsad och vinstmöjligheten är den premie man får vid tillfället då optionen utfärdades. Avkastning Erhållen optionspremie Break even point Utfärdad säljoption Lösenpris Pris underliggande Avkastningskurva på lösendagen Figur 7. Grundläggande egenskaper för en utfärdad säljoption på dess lösendag. 23

25 5.3 Strut Det finns strategier som används då man tror att volatiliteten ska stiga. En strategi är att köpa en s.k. strut (Natenberg 1994, s ). Att köpa en strut är samma sak som att köpa både en köpoption och en säljoption, med samma lösenpris och lösendag. Det normala är att man köper optioner med lösenpris som nära sammanfaller med dagens pris på den underliggande tillgången. Denna strategi har blivit döpt efter formen på dess avkastningskurva, som liknar en strut. Värdet på optionerna är proportionella mot den implicita volatiliteten som i sin tur har en koppling till rörelserna i tillgången. Man kan förvänta sig att en kraftig ökning i volatiliteten följs av kraftiga rörelser i den underliggande tillgången dock utan att veta i vilken riktning. I själva verket tror man på stora svängningar för OMX-index i framtiden, vid t.ex. kvartalsrapporter eller annan information som kan påverka värdet av tillgången. De stora förväntade svängningarna, d.v.s. den stora osäkerheten, speglas i ökad implicit volatilitet. Om den implicita volatiliteten ökar, allt annat lika så kommer struten att öka i värde. En köpt strut ger god avkastning vid stora kursrörelser för OMX-index och förlust om marknaden förblir stillastående. Förlustrisken är begränsad till optionspremien och vinstmöjligheterna är obegränsade uppåt. Avkastning Köpt strut Break even point Avkastningskurva på lösendagen Pris underliggande Optionspremie Vänstra halvan kommer av en köpt säljoption Högra halvan kommer av en köpt köpoption Figur 8. Grundläggande egenskaper för en köpt strut dess lösendag. Om man tror att markanden förblir stillastående med en sjunkande volatilitet, ska man istället utfärda en strut. Den utfärdade struten ökar i värde då volatiliteten minskar, allt annat lika. Poängen är då att man får in en premie som består av en köpoption samt en säljoption. En nedgång i volatiliteten minskar nämligen optionspremien, vilket medför att man kan köpa tillbaka positionen och därmed behålla premiens värdeförändring. Denna strategi innebär en obegränsad förlustrisk då priset på den 24

26 underliggande tillgången ökar och en förlustrisk på tillgångens hela värde vid en eventuell nedgång. Vinstmöjligheten består i den erhållna premien. Avkastning Utfärdad strut Break even point Erhållen optionspremie Vänstra halvan kommer av en utfärdad säljoption Högra halvan kommer av en utfärdad köpoption Pris underliggande Avkastningskurva på lösendagen Figur 9. Grundläggande egenskaper för utfärdad strut på dess lösendag. 5.4 Vagga Köpt vagga är en kombination som är billigare än att köpa struten, men kräver större förändring i underliggande för att vara lönsam (Natenberg 1994, s ). Vaggan kan då få en dramatisk värdeökning eftersom priset är lågt i utgångsläget. Anledningen till att den är billigare än struten är att man normalt sett köper optioner med lösenpris som inte är desamma som dagens underliggandepris, dvs. out of the money optioner. Dagens underliggande pris ligger mittemellan de båda lösenpriserna. Den ökar i värde då den implicita volatiliteten ökar, allt annat lika. Denna position är alltså vinstgivande om volatiliteten ökar kraftigt och det sker stora kursrörelser hos OMX-index i någon riktning. Förlustrisken är begränsad till premien och vinstmöjligheten är uppåt obegränsad. I denna kombination har köpoptionen och säljoptionen olika lösenpriser och samma lösendag. Detta gör att formen på avkastningskurvan på lösendagen blir som en vagga, därav också namnet. Avkastning Köpt vagga Break even point Avkastningskurva på lösendagen Optionspremie Pris underliggande Vänstra halvan kommer av en köpt säljoption Högra halvan kommer av en köpt köpoption Figur 10. Grundläggande egenskaper för köpt vagga på dess lösendag. För en utfärdad vagga gäller att man får behålla premien då volatiliteten sjunker och priset på den underliggande tillgången står stilla. Den utfärdade vaggans värde ökar 25

27 då volatiliteten minskar, allt annat lika. Man kan i så fall köpa tillbaka vaggan och göra en förtjänst. Dock är den erhållna premien i regel inte speciellt stor. Här handlar det om att sälja volatilitet. Avkastning Utfärdad vagga Erhållen optionspremie Pris underliggande Vänstra halvan kommer av en utfärdad säljoption Break even point Högra halvan kommer av en utfärdad köpoption Avkastningskurva på lösendagen Figur 11. Grundläggande egenskaper för utfärdad vagga på dess lösendag. Det finns även andra strategier som kräver fler optioner men som vi inte kommer att ta upp här. Anledningen är att de inte är så vanliga i praktiken eftersom det blir väldigt stora transaktionskostnader. 6. Slutsatser Uppsatsens huvudsyfte var att utreda huruvida den implicita volatiliteten kan beskrivas som en random walk. Vi belyser även vad man ska göra för att generera vinster med vetskapen om framtida volatilitetsförändringar. Med runs testerna kunde vi påvisa att man inte med säkerhet kan förutsäga den framtida volatilitetsutvecklingen. Vi kunde dock fortfarande inte konstatera om tidsserien kan beskrivas som en random walk, då enbart dessa resultat inte utgjorde tillräckligt starkt stöd för denna hypotes. Efter att ha anpassat tidsserien till en AR(10) process, kunde vi omedelbart fastställa att den implicita volatiliteten inte kan beskrivas som en random walk. Detta innebär att man trots allt bör kunna förutsäga volatilitetsutvecklingen och därmed göra systematiska vinster, d.v.s. man bör kunna tjäna pengar på att inta rätt positioner. 10 Slutligen har vi svarat på vilka vinstgivande positioner man ska inta, i vetskapen om att volatiliteten ska stiga eller sjunka. Eftersom man vet att optionens värde är proportionellt mot dess volatilitet, gäller det att köpa optioner om volatiliteten 10 Eftersom vår resultat endast är baserat på historisk data ska man inte dra alltför långtgående slutsatser av detta. Anledningen är att även andra faktorer (än historiska kursrörelser) i verkligheten påverkar kurserna. Sådana faktorer kan vara årsredovisningar, kvartalsrapporter etc. 26