5B Portföljteori och riskvärdering

Transkript

1 B7 - Portföljteori och riskvärdering Laboration Farid Bonawiede Alexandre Messo Beräkning av den effektiva fronten för en portfölj Uppgiften går ut på att beräkna de portföljer som ger den så kallade minvarianskurvan. Portföljen ska inledningsvis endast bestå av aktier, men vi ska även ta fram den effektiva fronten då vi inkluderar en riskfri tillgång i form av en statsskuldsväxel. Vi har i uppgiften möjlighet att välja ifrån 0 olika aktier. Datan för dessa aktier är given i form av slutkursen vid varje dag under drygt fem år tillbaka. Se figur för ett exempel på hur datan såg ut Kurs Dagar räknat ifrån startdagen Figur : Kursutvecklingen för Cesar Enterprises AB Vi börjar med att räkna fram den skattade förväntade dagsavkastningen på följande vis. Vi skapar en matris där varje kolonn representerar en aktie och raderna är denna akties dagsavkastning vid alla dagsslut. Detta blir en

2 n k matris, där n är antalet dagar () och k är antalet aktier (0). Medelvärdet av varje kolonn är den förväntade avkastningen r k för varje aktie. Se formeln nedan, r k = n n ri k, k =,..., 0 i= Genom att använda Matlabs inbyggda funktion cov så skapade vi en kovariansmatris. Diagonalelementen är varje akties skattade varians och de övriga matriselementen representerar kovariansen mellan aktie k och l. Dessa värden fås av följande formel σ kl = n n (ri k r k )(ri l r l ), k, l =,..., 0 i= Vi har nu tillräckligt med information för att kunna beräkna den effektiva fronten. Vi börjar med fallet då vi tillåter kortning. Med andra ord tillåter vi negativa vikter i portföljen. Följande minimeringsproblem skall då lösas, där ˆr är vår portföljs förväntade avkastning, minimera då 0 k,l= 0 k= 0 w k w l σ kl w k r k = ˆr w k = Detta minimeringsproblem löses lämpligen med Lagranges ekvationer, vilket ger oss i= l= σ kl w l λr k µ = 0 k =,..., 0 då k= w k r k = ˆr k= w k =

3 Dessa ekvationer löser vi för olika avkastningar och genererar således den sökta minvarianskurvan. Om vi istället inte tillåter kortning, får vi kravet att vikterna inte får vara negativa. Vi kan nu inte lösa problemet med vanlig ekvationslösning utan använder istället Matlabfunktionen quadprog. Vi ger helt enkelt vårt minimeringproblem som argument till funktionen med kravet att vikterna ska vara positiva. Vi löser även detta problem för olika avkastningar och genererar således den sökta minvarianskurvan. I figur ser man de två minvarianskurvorna som vi fått fram. Med kortning finns det alltid en portfölj som ger lägre standardavvikelse än utan kortning. Detta beror på att då vi tillåter kortning så är bivillkoren på portföljen inte lika strikta. Förväantade avkastningen µ 8 x Med korta aktier Utan korta aktier x 0 Figur : Min-varians kurvan med och utan kortning Vi lägger till vår riskfria tillgång och gör en skattning av dess ränta som medeländringen av varje dagsändring. Vi får att vår statsskuldsväxel har en dagsränta på r f =.00 0 %. Vi söker nu en linjärkombination mellan denna ränta och en portfölj ifrån den effektiva fronten av aktieportföljer. Denna linjärkombination kommer att representera den nya effektiva fronten. Vi hittar denna portfölj genom att lösa följande ekvationer 0 l= σ kl λw l = r k r f, k =,..., 0

4 där λ är en okänd konstant. Utför man substitutionen v l = λw l för alla l, erhålls följande l= σ kl v l = r k r f, k =,..., 0 Genom att lösa dessa linjära ekvationer för alla v l och sedan normalisera dessa så får vi ut våra sökta vikter. D.v.s, w l v l = 0 k= vk Med denna portfölj får vi en ny effektiv front, se figur. Förväantade avkastningen µ x Med korta aktier Utan korta aktier Med en riskfri tillgång x 0 Figur : Min-varians kurvan med och utan kortning samt då vi har en riskfri tillgång - Faktormodell I det fall vi nu har gått igenom har vi kunnat konstruera en rätt bra modell över hur de tio aktierna korrelerar till varandra. Dock är det i verkligheten rätt tidskrävande att beräkna fram denna kovariansmatris. Istället kan man använda sig av en faktor och sedan studera hur alla aktier korrelerar till denna faktor. Givetvis antar vi här att korrelationen aktier emellan är noll. Vi använder oss av en single-factor modell enligt följande ekvationer

5 r k = a k + b k f + e k r k = a k + b k f (σ k ) = (b k ) σ f + σ e k där f är faktorn, f dess väntevärde, e k är felet i faktormodellen (E[e k e l ] = E[e k ] = E[(f f)e k ] = 0)). Vi antar alltså att felen är okorellerade sinsemellan och med faktorn. Vidare är a k och b k par av konstanter för varje aktie. Efter att vi skattat variansen för varje enskild aktie, beräknar vi kovariansen mellan aktierna och faktorn, cov(r k, f) = n n (ri k r k )(f i f), k =,..., 0 i= Sedan beräknas konstanterna genom ovanstående ekvationer. Vår nya minvarianskurva ser ut enligt figur. Förväantade avkastningen µ 8 x Med korta aktier Utan korta aktier 0 x 0 Figur : Minvarianskurvan med och utan kortning för vår faktormodell Ur tabell ser vi att kovariansen mellan felen för aktierna är liten i förhållande till variansen på deras avkastningar. Den icke-systematiska risken är med andra ord liten. Därför drar vi slutsatsen att denna faktormodell är bra!

6 l = k = Tabell : Kovarianserna för felen cov(e k e l ) (0 ) - Egen tidsserie Vi ska i denna uppgift generera en egen tidsserie. Vi har valt att ersätta en av de tidsserier med en ny. Eftersom vi vill ha så nya värden som möjligt så väljer vi att slumpa vår nya tidsserie baserad på den aktie som har den högsta variansen. Jul & Naturkompaniet har högst varians och samtidigt det högsta väntevärdet. Vi slumpar ut urfall ur Jul & Naturkompaniets dagsavkastningar med lika sannolikhet för dagar. Vi gör detta ett flertal gånger och väljer ett fall då tidsserien är väldigt säregen. Om vi låter denna tidsserie ersätta Jul & Naturkompaniets tidsserie så får vi följande minvarians-kurva. 6

7 Förväantade avkastningen µ. x x 0 Figur : Min-varians kurvan med kortning för våra aktier med två olika tidsserier som ersätter Jul & Naturkompaniets tidsserie 7