Elever ska i matematik utveckla sin förmåga att tolka en problemsituation

Transkript

1 ndeas Beglund & Pe-Olf Nilssn Det bli ju pi! tt ge eleve utmaninga sm inte hö ihp med ett visst avsnitt i läbken ebjude tillfälle att söka samband, leta efte mönste ch hitta egna ingånga till pblemlösning. Newtntävlingen ä ett sätt att ganisea sådana utmaninga fö gymnasiet ch den gå att anpassa till alla ålda. Eleve ska i matematik utveckla sin fömåga att tlka en pblemsituatin ch att fmulea den med matematiska begepp ch symble samt välja metd ch hjälpmedel fö att lösa pblemet, enligt stydkumenten. Detta tycke vi ä en mycket viktig del i elevenas utveckling mt att föstå vad matematik egentligen handla m. Fö matematik ä inte enbat att äkna ut en massa sake utan målet ä att eleven ska läa sig se mönste ch med utgångspunkt i dessa mönste kunna se geneella samband. Fö att detta ska fungea måste eleven läa sig abstahea. Nä man finne dessa samband kan matematiken upplevas sm en vacke knstfm dä vi med någa få bkstäve ch symble kan visa ett mönste. En av sakena till att många av ss läae undvike den hä delen av matematiken ä att man kan möta mtstånd fån elevena. Elevena fövänta sig att snabbt finna ett sva till uppgiften, helst ett numeiskt väde sm de kan lämna in fö bedömning själva abetspcessen mt svaet ä fö det mesta inte intessant utan snabbheten ä ftast det viktigaste fö dem. Eleve använde gäna nyinläda fmle, men de eflektea sällan öve hu fmeln häleds ch dämed föstå de inte vafö den fungea. Vi t att saken till detta ä att eleve inte ä vana vid att häleda fmle utan baa lä sig dem utantill. Det ä till exempel en väsentlig skillnad på en elev sm med hjälp av en inläd fmel beäkna tignmetiska funktine genm att använda en äknae ch en elev sm med hjälp av enhetscikeln visa en djupae föståelse av hu beäkning av tignmetiska funktine fungea. Den senae kan utan stöe pblem gå vidae fån det enkla användningsmådet tignmeti ch vidaeutveckla sina kunskape till me geneella studie av abstaktine ch mönste. En elev sm baa använde inläda fmle få en begänsad matematisk upplevelse ch fö eleven te sig matematik däfö sm ett ändligt beäknande ch inte sm ett sökande efte samband. Det ä just i detta sökande sm den matematik böja sm inte baa finns i klassummet, utan sm stimulea elevena till att samtala m matematik utanfö lektinstiden. 46 Nämnaen n

2 Newtntävlingen På Igelstavikens gymnasium i Södetälje ha vi angipit denna pblematik genm att ha en matematiktävling sm löpe unde hela läsået. Tävlingen ä döpt till Newtntävlingen. Vaje temin få elevena ett antal pblem sm ä knstueade fö att stimulea matematiska samtal eleve sinsemellan men även mellan eleve ch läae. Vi kunde snabbt se esultat av tävlingen. Både eleve ch pesnal, blev engageade i fågeställningana. Fö många blev det en ahaupplevelse att matematik inte enbat handla m tal ch äkning utan att många lika type av pblem kan stimulea tänkandet. Vi ha fösökt att blanda pblem fån te lika type av pblemmåden: lgik, kmbinatik ch gemeti eftesm dessa type av psi Isaac Newtn blem kan ymma en lättföståelig fågeställning ch samtidigt ckså vaa lite knepiga att lösa. Vi lämna ut ett nytt pblem vaannan måndag. Pblemen gös av läae i sklan ch inspieas fta av uppgifte fån t ex Nämnaen ch anda webbplatse med matematikuppgifte. De anslås på sklans anslagstavla ch via sklans mnite infmeas elevena m att ett nytt pblem ä ute. Elevena få två veck på sig att lösa pblemet ch svaen lämnas till ss skiftligt. Enbat lösninga med ett följbat esnemang bedöms. Vid säkehet äcke det ftast med ett pa följdfåg fö att avgöa m eleven själv gjt lösningen. Vi fösöke att vaiea innehållet ch ha fletalet av de me avanceade pblemen mt slutet av teminen. På så sätt kan alla känna att de kan vaa med i böjan. Med tiden höje vi nivån ch födjupa det matematiska esnemanget. Tanken ä att eleve u alla åskuse ch pgam ska ha vektyg att besvaa pblemen. Ett exempel på pblem sm vi använde i böjan av en temin: En man kmme in på en ba, beställe en dink ch böja småpata med batenden. Efte att ha patat en stund få mannen veta att batenden ha te ban. Hu gamla ä banen? fåga mannen. Ja, pdukten av deas ålde ä 72, svaa batenden. Mannen fundea en stund ch säge sedan: Det ä inte tilläckligt med infmatin. Okej, svaa batenden, men m du gå ut ch titta på husnumet sm stå vanfö ingången till baen så se du summan av banens ålde. Mannen gå ut, ch efte en liten stund kmme han in igen ch utbiste: Det ä ändå inte tilläckligt! Batenden le ch säge: Den yngsta älska jdgubbsglass. ha! Då vet jag. Hu gamla ä banen? Nämnaen n

3 Senae unde teminen höjde vi svåighetsgaden med ett kmbinatiskt pblem sm bygge på ett pblem fån Nämnaen: I en nyligen upptäck cell fån en lien ha man funnit någt mycket intessant. I vanliga celle på jden kpieas DN av ett enzym sm hete DNplymeas. Kpieingen ske ett baspa åt gången, så fö att kpiea 15 baspa använde DN-plymeas 15 steg. I lien -cellen ha man hittat ett mycket annlunda DN-plymeas. Skillnaden ligge i att plymeaset kan kpiea alltifån 1-10 baspa åt gången. Wlfam Stanley, pfess i Xenbilgi, behöve lite hjälp. Han unda: På hu många lika sätt kan lienenzymet kpiea 15 baspa DN? (d v s på hu många lika sätt kan man kpiea 15 baspa (steg m man kan vaiea steglängden mellan 1 10 baspa pe steg? Elevenas eaktine Hu se då elevena på tävlingen? Elevena tycke att tävlingen stimulea till samtal utanfö klassummet, speciellt nä uppgiftena ä lite tuffae. Pblemen i tävlingen skilje sig fån uppgiftena de ä vana vid i böckena. Någa känne att de ha fått vidgade vye fö vad matematik ä. En elev utyckte att det va psitivt att få tävla ch ha ligt med matte utan att behöva tänka på betyg etc. En annan elev sa att man böja tänka utanfö lådan, dvs att man se matematiken med nya ögn. Hu va det då med användbaheten? Kunde elevena se en kppling mellan det de gjde i tävlingen ch det de gjde på lektinen? I de flesta fall ansåg elevena att de hade nytta av de fädighete de övat upp unde tävlingen. Jag ha lät mig att man måste ganska en fåga dentligt ch tänka efte innan man äkna ut den fö att få en så enkel utäkning sm möjligt. Det t jag att jag böjat göa på lektinstid. En svåknäckt nöt En av de me avanceade pblemställninga sm vi gav våa eleve byggde på kimedes sökande efte vädet på pi. Pblemet va: Jämfö mketsen av en egelbunden månghöning inskiven i en cikel med mketsen på cikeln ch fmulea ett geneellt samband. Pblemet visade sig vaa en svå nöt fö elevena att knäcka. Det diskuteades fiskt på sklan ch många lika lösningsmdelle pesenteades fö ss. Flea eleve såg snat ett samband: m de delade upp vaje liksidig plygn med hjälp av bisektise i likbenta tiangla, fick de en ny likbent tiangel fö vaje nytt hön. Fågan va nu hu man kunde vidaeutveckla detta samband. Eleve i åskus te använde den nyinläda csinussatsen fö att lösa pblemet medan eleve i de tidigae åskusena använde sig av definitinen av sinus fö vinkeln. 48 Nämnaen n

4 Elevena knäcke uppgiften Geneellt satte elevena antalet hön i en liksidig plygn till en vaiabel. Villket fö vaiabeln va att den måste vaa stöe än elle lika med 3, d v s minst en tiangel. Omketsen satte de till en annan vaiabel. Elevlösning 1 (csinussatsen: Vi sätte sm antalet hön i en månghöning ch x fö längden på en sida i en månghöning. Villk fö en månghöning ä att 3 fö m ä läge än 3 kmme den baa att bli ett steck! Jag sätte O = mketsen på en månghöning ch O c = mkets på en cikel. Då bli: v = 360 x O = x O c = d π =2π v = 360 Jag löse ut x med csinus-satsen: ( 360 x 2 = cs ( ( 360 x = cs = cs ( ( 360 O = x = cs = 2 ( ( cs ( 360 Nu ta jag eda på det geneella föhållandet mellan O ch O c : O = (1 ( 2 cs 360 O c 2π = 2 (1 ( cs 360 2π Sva: = 2 (1 ( cs 360 m 3 2π Nämnaen n

5 v ( 360 n ( 360 2n y x Elevlösning 2 (sinus fö en vinkel: n = antal sid v = 360 2n hyptenusan= y = x 2 x =2y sin v = y ( 360 sin = y 2n ( 180 x ( sin = n sin n ( 180 O n = sin 2 n n O c =2π 2 = x O n = sin O c ( 180 n 2 n = sin ( 180 n n,n 3 2π π Sm vi se ä det ingen av elevena sm ha eflekteat öve att analysea det geneella föhållandet me utföligt då antalet hön i plygnen växe. Reflektine Hu få vi då elevena till att göa sådana eflektine? Vi t att det ä hä sm vå fämsta pedaggiska uppgift finns. Vid feedbacken till sådana hä fågeställninga kan vi hjälpa elevena att ta steget vidae så att de böja eflektea öve sina egna lösningsmdelle. Vid vå feedback gick det upp fö elevena att det samband sm de kmmit fam till faktiskt va att täljaen gå mt pi då n växe ch hela uttycket gå mt 1. Nä väl den insikten km, infann sig ckså aha-upplevelsen. Sm en elev utyckte sig: Det bli ju pi! LITTERTUR Bannan, D. (2006. fist cuse in mathematical analysis. Cambidge Univesity Pess, s Kulik, S. (2009. Pblem ch matematik någa favite. Nämnaen 2009 (4, s Lundgen, U., Pamling Samuelssn, I., Säljö, R., Bölin,., Richadsn, G., m fl (2008. Läaens handbk: läplane, skllag, diskimineingslag, ykesetiska pincipe, FN:s banknventin (8:e upplagan. Lund: Studentlitteatu. Wikstöm, F. tt fska i matematik. abel.math.umu.se/f_inf/attfsk/index.html 50 Nämnaen n