Vid kartläggningen av elevernas kunskaper har vi använt Skolverkets

Transkript

1 Madeleine Löwing & Wiggo Kilborn Elevers kunskaper i mätning och geometri I Nämnaren nr 4, 2009, finns en artikel som beskriver svenska elevers kunskaper i aritmetik. Den beskriver första delen av ett projekt som kallas Att våga se och kunna ta ansvar. I den här artikeln beskrivs motsvarande kartläggning av elevers kunskaper i mätning och geometri. Vid kartläggningen av elevernas kunskaper har vi använt Skolverkets diagnoser Diamant, som vi för högstadiets del kompletterat med vårt eget uppföljningsmaterial Briljant. Med dessa instrument har vi diagnos tiserat ca elever från förskoleklass till årskurs 8. Det finns två skäl till att den andra delen av kartläggningen omfattar mätning och geo metri. Det ena skälet är att dessa är områden där svenska elever lyckas mindre bra på internationella undersökningar som TIMSS (2007). Det andra skälet är att ämnesstrukturen inom områdena mätning och geometri ser annorlunda ut än inom aritmetiken. Tillsammans ger dessa två kartläggningar en bra bild av grundskoleelevers kunskaper i matematik. Redan i samband med utprövningen av Diamant i mätning och geometri upptäckte vi allvarliga brister när det gäller elevers kunskapsutveckling. Ännu på högstadiet hade många elever svårigheter med att hantera grundläggande geometriska begrepp och de saknade även ett funktionellt språk för att kommunicera geometri. Termer som romb, rätblock, cylinder och kon var okända för många elever och sannolikt också motsvarande begrepp. Frågan är varför det ser ut så här. När vi diskuterar detta med lärare som deltagit i utvärderingen, av vilka många nu deltar i kompetensutveckling i mätning och geometri, kan vi se orsaker till detta. Det visar sig att lärare ofta saknar didaktiska kunskaper i geometri, något som i sin tur leder till bristande kontinuitet ur elevernas perspektiv. Detta är kanske inte så konstigt. På 1960-talet förkastade man inom skolan den alltför formella syn på geometri som bygger på Euklides Elementa och man försökte istället införa en avbildningsgeometri i svensk skola. Trots en landsomfattande kompetensutveckling gav inte detta något resultat. Man borde då ha sett till att bygga upp något hållbart alternativ för att undervisa om den grundläggande geometrin, t ex utgående från van Hieles taxonomi. Det gjordes inte och detta förbiseende har lett till att de flesta av dagens lärare vare sig mött någon intressant geometriundervisning under sin skoltid eller någon hållbar geometrididaktisk teori under sin lärarutbildning. 10 Nämnaren nr

2 När vi studerar lärares undervisning och läromedlens uppläggning blir bristen på geometrididaktiska idéer och kontinuitet i undervisningen ännu mer uppenbar. Undervisningens innehåll ser i själva verket ungefär likadant ut i årskurs 5 som i årskurs 8. En förklaring till detta kan vara att kursplanens uppnåendemål för just geometri har sett nästan likadana ut i årskurs 9 som i årskurs 5. De lärare vi intervjuat kan inte se någon tolkbar skillnad. Ett exempel på detta är följande mål att uppnå: Kunna avbilda och beskriva viktiga egenskaper hos vanliga geometriska objekt samt kunna tolka och använda ritningar och kartor (mål i årskurs 9), ha en grundläggande rumsuppfattning och kunna känna igen och beskriva några viktiga egenskaper hos geometriska figurer och mönster samt kunna använda ritningar och kartor (gäller årskurs 5). Vi ger nu ett antal exempel som belyser våra resultat när det gäller elevers geometrikunskaper. Detta följer vi upp genom att ge exempel på hur läraren, genom att utgå från enkla laborationer, kan ge eleverna alternativa vägar att närma sig geometrin. Plana figurer och begreppet symmetri Symmetri är ett av de mest grundläggande begreppen inom geometrin. Vi gav därför samma diagnos om symmetri (GSy) i årskurserna 1 4. På flera håll möttes vi till en början av protester från lärarna eftersom de inte hade undervisat om symmetri. Det visade sig emellertid att nästan alla elever kunde avgöra att följande figurer är symmetriska. Däremot kunde bara 12 % av eleverna i årskurs 4 rita ut symmetrilinjerna i en liksidig triangel och bara 38 % symmetrilinjerna i en kvadrat. Elevernas förmåga att redan i unga år uppfatta begreppet symmetri verkar inte ha utnyttjats i undervisningen. Vår analys av konsekvenserna av detta ser ut på följande sätt. Redan i förskoleklassen lär sig eleverna att känna igen en cirkel, en liksidig triangel och en kvadrat, även om många av dem (ännu i årskurs 4) kallar kvadrat en för fyrkant och cirkeln för en rund grej. Vad vi däremot kan konstatera är att eleverna inte vet vad som faktiskt menas med en triangel eller en kvadrat eller vilka egenskaper dessa figurer har. De inser t ex inte att kvadraten samtidigt är en parallellogram, en romb och en rektangel, eftersom kvadraten har alla dessa figurers egenskaper samtidigt. Ett annat exempel är att bara 28 % av eleverna i årskurs 5 kan avgöra vilka två sidor i en parallelltrapets som är parallella. För elever som inte behärskar grundläggande geometriska begrepp är det givetvis omöjligt att analysera egenskaperna hos enkla figurer och kroppar och de går därmed miste om väsentliga delar av geometriundervisningen. Nämnaren nr

3 En alternativ start av geometriundervisningen Vi presenterar nu idéer om hur den grundläggande geometriundervisningen kan läggs upp på ett annat sätt. Redan vid skolstarten bör man hjälpa eleverna att successivt bygga upp grundläggande begrepp, genom att gå från det enkla till det mer komplexa. Undervisningen om fyrhörningar kan t ex börja med att bygga figurer av fyra olika långa blomsterpinnar. Man kan då fokusera på begreppen sida och hörn liksom på diagonal och vinkel. Detta kan genomföras redan i årskurs 1. I nästa steg inför man ett nytt begrepp genom att göra två sidor parallella (parallelltrapetsen). Om man därefter använder fyra blomsterpinnar som parvis är lika stora får man en parallellogram, vars motstående vinklar är lika stora och som av diagonalen kan delas upp i två kongruenta trianglar. Först när eleverna behärskar dessa grundläggande begrepp är det meningsfullt att introducera de symmetriska figurerna rektangel och romb, med vinkelräta symmetrilinjer m.m. Vid det här laget har eleverna tillägnat sig en grundläggande terminologi som gör det möjligt att upptäcka och diskutera de egenskaper som romben och rektangeln har gemensamma med parallellogrammen samt att kvadraten har alla dessa egenskaper samtidigt. Om man börjar med kvadraten blir det emellertid svårare för eleverna att se alla intressanta egenskaper på grund av brist på variation. I nästa steg kan man upprepa den här proceduren med figurer som klippts ut i papper och eleverna kan därmed, via figurernas symmetriegenskaper, tränga ännu djupare in i geometrins grunder. För att ta romben som exempel kan man genom olika vikningar kring diagonalerna konstatera att motstående vinklar är lika stora, att symmetrilinjerna är diagonaler som skär varandra med räta vinklar och, med en ny vikning, att motstående sidor är parallella. Man får samtidigt en idé om hur man kan bestämma arean av romben med hjälp av de trianglar som bildas av diagonalerna. På motsvarande sätt kan man bygga upp begrepp kring triangeln och cirkeln. Det visar sig att en hel del av de uppgifter eleverna misslyckades med på högstadiet kan lösas relativt enkelt genom att de använder enkla grundläggande begrepp. Men så ser i allmänhet varken undervisning eller läromedel ut. Många av de laborationer vi studerat leder visserligen till aktivitet bland eleverna, men hjälper dem knappast att bygga upp grundläggande begrepp eller tillägna sig termer för att diskutera dessa begrepp. 12 Nämnaren nr

4 Om area Area är ett område där många elever saknar känsla och begrepp. Medan eleverna inte har några större svårigheter att använda enkla förutsägbara formler, så får de problem när de ställs inför nya situationer, där de inte direkt kan använda någon formel. I följande figur skall eleverna bestämma arean av det skuggade området. De givna rutorna har storleken 1 cm 2. I årskurserna 5, 6 och 7 är lösningsfrekvenserna 34 %, 45 % respektive 48 %. Redan i årskurs 5 borde många elever kunna inse att om man från en rektangel med arean 35 cm 2 tar bort två trianglar med den sammanlagda arean 10 cm 2 så blir det 25 cm 2 kvar. Ett mål att uppnå i årskurs 5 är ju att eleven skall kunna jämföra, uppskatta och mäta... areor.... Det allra enklaste är för övrigt att slå ihop de två vita trianglarna till en rektangel som består av 10 rutor och man behöver då inte ens använda någon formel. I följande uppgift skall eleverna rita en rektangel med dubbelt så stor area som den givna, skuggade rektangeln. Det finns många enkla lösningar för den som vet vad som menas med area. Det är ju bara att räkna rutor. Här följer två förslag till lösning. Det visade sig emellertid att varannan elev i 5:an och nästan lika många elever i 6:an och 7:an ritade en rektangel, likformig med den givna rektangeln, i skala 2 : 1 (se figur till höger). Den rektangeln har som bekant fyra gånger så stor area som den givna rektangeln. De här exemplen visar att många elever saknar känsla för geometri. Nämnaren nr

5 Om volym När det gäller volym hade de flesta elever mycket ytliga kunskaper ännu i årskurserna 7 och 8. Deras lärare förklarade detta med att de, enligt uppnåendemålen, arbetar med volym först i årskurs 9. Detta tyder på två missuppfattningar. Att ett mål är uppnåendemål i årskurs 9 innebär inte att det är då man skall undervisa om detta. Det skall man ha gjort så långt tidigare att alla elever skall kunna uppnå det målet i nian. Till detta kommer att mätning av volym i själva verket är ett uppnåendemål redan i årskurs 5. Alla elever skall då kunna jämföra, uppskatta och mäta... volymer.... Det visar sig emellertid att bara 29 % av eleverna i årskurs 8 kan bestämma höjden av en avbildad parallellepiped med basytan 7 cm 2 och volymen 28 cm 3, alltså att lösa ekvationen 7x = 28. En förklaring till elevernas bristande kunskaper om volym kan vara att det av kursplanen inte framgår vilken typ av volym som avses. Gäller det vätskors volym i liter eller geometriska kroppars volym i cm 3? Bara 8 % av eleverna i årskurs 8 kan bestämma volymen av en låda som byggs upp genom att man viker en kartong med måtten 21 dm x 15 dm där man i varje hörn klippt bort en kvadrat med sidan 3 dm. Detta ger en låda med måtten 15 dm x 9 dm x 3 dm. Kan elevernas tillkortakommande bero på att de är så ovana vid att laborera och resonera att de inte kan se lådan framför sig? Om vinklar, skala och likformighet Bristande förståelse av grundläggande geometriska begrepp i kombination med bristande laborativ erfarenhet leder som redan nämnts till att eleverna inte förmår se enkla lösningar på geometriska problem. Till sin hjälp att lösa följande uppgifter hade eleverna en graderad linjal. En av uppgifterna handlar om att ange i vilken skala den högra figuren har avbildats. Bild av föremål i naturlig storlek (skala 1:1) Svar: Bild i skala :1 Var tredje elev gör fel på den uppgiften, såväl i årskurs 4, 5 som 6. Det sker alltså ingen kunskapsutveckling under tre år. (Att behärska skala är ett mål att uppnå i årskurs 5.) 14 Nämnaren nr

6 Ännu intressantare är nästa uppgift på diagnosen där eleverna ska ange skalan mellan cirkeln till vänster och dess bild till höger. Bild av föremål i naturlig storlek (skala 1 : 1) Svar: Bild i skala 1: Bara varannan elev i årskurs 6 lyckades lösa uppgiften. Ett skäl till detta verkar vara att de inte kan definiera en cirkel och därför inte har något att referera till. Om de hade förstått att cirkeln definieras av dess radie så hade de haft något att referera till och skulle då ha kunnat lösa uppgiften genom att jämföra radierna eller diametrarna. Följande uppgift är också intressant. Eleverna vet att vinkel A i den här likbenta triangeln är 30 och skall bestämma övriga vinklar. Var fjärde elev i 7:an och 8:an kan inte bestämma vinkel B och varannan elev kan inte bestämma vinkel C. C A 30 B Genom symmetri (vikning längs mittpunktsnormalen till AB) kan man enkelt konstatera att vinkel B = vinkel A. Alla elever borde långt tidigare, genom en enkel laboration, ha lärt sig att vinkelsumman i en triangel är 180. Den mest intressanta uppgiften inom det här området är emellertid följande, där eleverna skall bestämma sträckorna AD och CD i följande figuren då de vet att AC är 9 cm. Bara 30 % av eleverna i årskurs 8 lyckades lösa uppgiften. När vi diskuterade detta resultat med lärarna menade de att topptriangelsatsen inte tas upp i deras läromedel förrän i årskurs 9 och därmed inte tas upp i undervisningen förrän i nian. Flera av dessa lärare verkade se geometrin som ett antal formler, inte som en konstruktion av enkla begrepp som man kan laborera sig fram till redan under de första skolåren. C D 2 cm E A 6 cm B Nämnaren nr

7 Laborationer för begreppsbildning Genom att laborera med olika geometriska figurer redan i årskurserna 1-3 kan eleverna få en grundläggande förståelse av geometri, vilket i sin tur hjälper dem att förstå innebörden i geometriska problem. Enkla laborationer av det slag som vi här presenterar kan dessutom leda till en rad intressanta och utvecklande samtal om matematik. För att bygga upp begreppet skala kan man låta eleverna utforska olika trianglar. I följande triangel har läraren i förväg ritat sträckor parallellt med sidorna och som går genom höjdernas mittpunkt. Den delas då upp i fyra kongruenta (likadana) trianglar som är likformiga med den ursprungliga figuren. Vid laborationen använder man sig av flera kopior av figuren och klipper ut och jämför den hela figuren med dess delar. Man finner då att sidorna i den stora triangeln är dubbelt så långa som motsvarande sidor i de små trianglarna. Detta illustrerar poängen med begreppet skala. Begreppen skala och likformighet är intimt kopplade till varandra. För att ge elever en uppfattning om vad likformighet handlar om, kan man låta dem laborera med figurer av följande slag. Läraren förbereder laborationen genom att konstruera likformiga trianglar på följande sätt. Först ritar man två transversaler, parallella med basen och på lika avstånd från varandra. Detta kan även göras genom att man viker figuren. Därefter vrider man figuren på följande sätt och upprepar proceduren två gånger H E G C D A B 16 Nämnaren nr

8 Man utgår nu från den högra figuren som jämförs med utklippta trianglar av olika storlek. Genom att jämföra delarna med hela figuren och studera och diskutera olika samband kan eleverna upptäcka ett antal egenskaper som gäller för skala och likformighet: CD är dubbelt så lång som EG och AB är tre gånger så lång som EG. CH är dubbelt så lång som EH och AH är tre gånger så lång som EH. DH är dubbelt så lång som GH och BH är tre gånger så lång som GH. De kan, genom att jämföra stora och små trianglar, konstatera att vinklarna HEG, HCD och HAB m.fl. är lika stora och att på samma sätt vinklarna HGE, HDC och HBA m fl är lika stora etc. De kan också se att EH CH = EG CD = GH DH = 1 EH och att 2 AH = EG AB = GH BH = 1 3 vilket till en början bör uttryckas informellt. Elever som fått laborera på det här sättet kan bygga upp en på konkretisering byggd förståelse för skala och likformighet och kan mot denna bakgrund finna enkla strategier för att lösa uppgifter som den med topptriangeln. Sammanfattning Våra erfarenheter efter en omfattande kartläggning och elevintervjuer är att de flesta elever på högstadiet verkar sakna känsla för geometri. En orsak till detta kan vara att eleverna under de tidigare årskurserna inte getts tillräckliga möjligheter att bygga upp grundläggande geometriska begrepp och termer med hjälp av laborationer. Detta leder i sin tur till att eleverna under senare årskurser saknar såväl språk som begrepp för att föra enkla resonemang om geometriska figurer och dess egenskaper. En förklaring till detta är att det under flera år saknats en aktuell terminologibok, vilket leder till att många lärare saknar en terminologi för den grundläggande geometrin. När vi tillsammans med lärare har diskuterat resultaten på våra kartläggningar av elevers kunskaper i mätning och geometri väcks frågan om hur det kunnat bli så här. I Sverige har vi i flera decennier haft nationellt konstruerade prov i matematik. Varför har man med hjälp av dessa nationella prov inte kunnat se de brister som såväl TIMSS som Diamant beskriver? En sannolik orsak kan härledas från gällande kursplan: Eftersom kursplanen saknar klart uttalade mål, så har man inget att utvärdera kunskaperna mot. Man kan därför inte veta om ett visst mål är uppnått eller inte. Förhoppningsvis kommer de nya kursplanemålen att ge lärarna bättre stöd i deras arbete med geometri. Litteratur Kiselman, C. & Mowitz, L. (2008). Matematiktermer för skolan. NCM, Göteborgs universitet. Nämnaren nr