Tillämpad Matematik III Övning ODE

Transkript

1 HH/IDE/BN Tillämpad Matematik III, Övning ODE Tillämpad Matematik III Övning ODE Allmänt Övningsuppgifterna, speciellt Tpuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. Undantag utgör naturligtvis moment som direkt hänvisar till användning av Mathematica. På tentan är du ensam, så det är viktigt att du klarar av uppgifterna på egen hand för hand! Trots detta rekommenderas och uppmuntras arbete i grupp samt användning av Mathematica!! I lösningsförslagen hittar du oftast både "tentavarianten" för hand och Mathematica. Detta för att du ska få träning på båda! Avsaknad av handräkning eller "snåla" sådana ska tolkas positivt som en inspiration och utmana dig till att flla igen luckor och verifiera det som är gjort för hand eller med Mathematica. Uppgifter Läsvecka. Visa att = ÅÅÅÅ 4 x4 + cosx + är en partikulärlösning till BVP ' = x 3 - sinx. 0 = 3 BV. Visa att = ÅÅÅÅ 3 x3 är en partikulärlösning till BVP ' = x 0 =. BV 3. Verifiera allmänna lösningen a) + x' = fl = C x + b) '' - = 0 fl = C t + C -t c) ' + = x - fl = C - ÅÅÅÅ x + x - 3 d) ' = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ -x fl ln = x + C e) x + + x' = 0 fl x + x = C 4. Integrera direkt a) ' = 3 x - 6 x + 5 b) ' = 5 x + ÅÅÅÅ 4 x c) ' = 4 -x d) ' = + x e) ' = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ tanx f) x =-g 5. Integrera direkt (BVP) a) ' = x + 5 b) ' = x + ÅÅÅÅÅ 5 0 = BV x c) ' = 3 - x 3 =- BV = d) ' = 4 -x - x e) x = t + sint 0 = 3 BV f) x = tant x0 = BV x0 = BV BV 6. Separabla a) ' = x ÅÅÅÅ b) ' =- x ÅÅÅÅ c) ' = ÅÅÅÅ x d) ' - x = x e) ' - x - x = 0 f) ' + x = ' 7. Separabla a) ' = x ÅÅÅÅÅÅÅÅ + Läsvecka x+ b) ' = + x + c) ' = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 + d) x' - = e) x 3 = ÅÅÅÅÅ ' f) ' = + ÅÅÅÅÅÅÅÅ +x 8. Separabla a) x - x ' = x + b) x' = x + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + e) x'cos + sin = 0 f) ' + x = x- 4+ c) x' = + x d) ' tanx = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ cos x 9. Linjära a) ' + 5 = x b) ' + 3 = 0 c) x' - 5 = x d) x' - 5 = x e) ' - x = x f) sinx' + cosx = ÅÅÅÅ cos x 0. Linjära a) 'x + = x 3 b) + x' + = + x c) x' - 5 = x 7 d) ' - = 5 x e) + x ' + x = + x f) ' + tanx = sinx. Blandat a) 'x - = - ' b) ' + x = x c) ' + ÅÅÅÅ x = ÅÅÅÅÅ d) x - 3 ' = 4 x e) x' - = x x - x f) ' + ÅÅÅÅÅ = 0 x. Blandat a) ' + = 3 x b) ' + tan = tanxtan c) ' - 7 = x d) x ' = 0 e) ' - ÅÅÅÅ x = ÅÅÅÅ 3 x4 f) ' + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 0+ x = 4

2 Tillämpad Matematik III, Övning ODE HH/IDE/BN 3. (BVP) a) ' - x = x 0 = 3 BV ' = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 x +cos b) =p BV c) x = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ t+ x- x0 =- BV Läsvecka För tillväxten av skogsmöss mt i Storskogen har man funnitmodellen BVP m' t = 0.4 mt ² ± m0 = 00 BV a Lös BVP. b Bestäm m5. 5. Den klotformade magen på en snögubbe smälter så att hastigheten av volmändringen är proportionell mot dess area. Man observerade att diametern var 50 cm från början och att den efter 7 timmar var 40 cm. a Formulera och lös BVP som bestämmer diametern dt. b När har snögubbens mage smält bort? 6. En iskub som glömts på stranden smälter så att volmändringen per tidsenhet är proportionell mot dess area. Antag att sidan var 3 cm från början och att den smält till cm på 5 min. a Formulera och lös BVP som bestämmer sidan st. b Hur länge dröjer det innan den har smält bort? 7. En bakteriekultur dubbleras på 30 min. Antag att tillväxten vid varje tidpunkt är proportionell mot antalet bakterier. a Formulera och lös BVP som bestämmer antalet bakterier bt. b Hur lång tid tar det innan bakteriekulturen har tiodubblats? 8. Den radioaktiva isotopen Thorium-34 sönderfaller med en hastighet som är proportionell mot kvarvarande mängd. Antag att 00 g reduceras till 64 g på 7 dagar. a Formulera och lös BVP som bestämmer mängden mt. b Vilken halveringstid har isotopen? c Hur lång tid tar det tills det finns endast ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ kvar av den ursprungliga mängden? Kaffet i en kopp har temperaturen 90 C. Temperaturen sjunker från 90 C till 75 C på 5 min då rumstemperaturen är 0 C. Antag att Newtons avsvalningslag gäller. a Formulera och lös BVP som bestämmer temperaturen Tt. b Vad är temperaturen efter 5 min? c Hur lång tid tar det tills kaffet är 50 C? 0. Ett järn placeras för avsvalning under rinnande vatten med temperaturen 0 C. Efter 5 s var temperaturen i järnet 0 C och 90 C efter 5 s. Antag att Newtons avsvalningslag gäller. a Formulera och lös BVP som bestämmer temperaturen Tt. b Hur varmt var järnet då avsvalningen inleddes?. Blod som medför ett ämne strömmar med flödet 3 cm 3 s genom ett organ med volmen 5 cm 3. Antag perfekt omrörning i organet, och att ämnets koncentration i det inkommande blodet är 0.4 g cm 3. a Formulera och lös BVP som bestämmer koncentrationen ct i organet om koncentrationen var 0. g cm 3 från början. b När når koncentrationen i organet 0. g cm 3?

3 HH/IDE/BN Tillämpad Matematik III, Övning ODE 3. En sjö har volmen 0 5 m 3. Från en å rinner det in rent vatten med flödet m 3 h. Vid en tidpunkt uppmättes koncentrationen kvicksilver i sjön till 4mgm 3. Anta perfekt omrörning samt att det finns ett utlopp från sjön så att dess volm är konstant över tiden. a Formulera och lös BVP som bestämmer koncentrationen kvicksilver ct efter uppmätningen. b Hur länge dröjer det innan koncentrationen har sjunkit till hälften? 3. En sjö har volmen 0 3 m 3. Från en å rinner det in rent vatten med flödet m 3 h och från en annan å med flödet 3 m 3 h vatten förorenat med kvicksilver 0 mgm 3. Låt sjön vara helt ren från början. Anta perfekt omrörning samt att det finns ett utlopp från sjön så att dess volm är konstant över tiden. Låt Pbt mgm 3 vara mängden kvicksilver i sjön vid tiden t. a Rita för hand en bild över situationen med sjö och åar vid godtcklig tidpunkt t. b Formulera med hjälp av a BVP som bestämmer Pbt mgm 3. c Lös BVP med DSolve. d Rita Pbt, t œ 0, 000 h i brunt med Plot. Pnta axlarna med lämplig text. e Sök Pbt efter lång tid. f När är koncentrationen Pbt lika med 3 mgm 3 i sjön? Använd NSolve. 4. En tank i form av en stående clinder är helt flld med vatten. Så öppnas en kran i botten så att vattnet strömmar ut med en hastighet som i varje ögonblick är proportionell mot kvadratroten ur vattendjupet, Torricellis lag. a Formulera och lös BVP som bestämmer vattendjupet ht. b Hur lång tid tar det att tömma tanken om den efter T s är tömd till hälften? 5. En tank i form av en rak cirkulär kon med spetsen vänd nedåtär helt flld med vatten. En kran i spetsen öppnas så att vattnet strömmar ut med en hastighet som i varje ögonblick är proportionell mot vattendjupet. Ledning : V kon = ÅÅÅÅ 3 pr h. a Formulera och lös BVP som bestämmer vattendjupet ht. b Hur lång tid tar det att tömma tanken om den efter T s är tömd till halva höjden? 6. En vattenho avsedd för djurhållning är avbildad till höger. Plötsligt springer den läck i botten så att vattnet strömmar ut med ett flöde som i varje ögonblick är proportionellt mot kvadratroten ur vattendjupet, Torricellis lag. I detta fall visar sig proportionalitetskonstantenvara 0.6 m 5 h. a Formulera och lös BVP som bestämmer vattendjupet ht. b Hur lång tid tar det för en full vattenho att tömmas? 7. En vattentank har formen av en ståendeclinder med radien m och höjden 3 m. Tanken flls på genom en i locket placerad ventil, som är så konstruerad att volmflödet genom den är proportionellt mot avståndet ner till vattentan. Proportionalitetskonstantenär p m min. a Formulera och lös BVP som bestämmer vattendjupet ht. b Hur lång tid tar det att flla en tom tank till hälften? 8. Grus forslas påett transportband med hastigheten 4 m 3 h. När gruset faller av bildas på marken en grushög i form av en rak cirkulär kon, där höjden är dubbelt så stor som basens diameter. Ledning : V kon = ÅÅÅÅ 3 pr h. a Formulera och lös BVP som bestämmer konens höjd ht. b Hur länge dröjer det innan konens höjd är 3 m?

4 4 Tillämpad Matematik III, Övning ODE HH/IDE/BN 9. I en verkstad droppar det olja på golvet så en pöl bildas. Det droppar med jämnt flöde literh. Avdunstningen antas vara proportionell mot oljemängden i pölen. Om pölen innehöll 3 liter skulle avdunstningen vara 0.4 literh. a Formulera och lös BVP som bestämmer oljepölens volm Vt. b Hur mcket olja finns i pölen 4 h efter det att det började droppa? c Hur mcket olja finns efter mcket lång tid? 30. Klockan.00 en kall vinterdag går strömmen i Svenssons eluppvärmda villa. Temperaturen inomhus sjunker då från 0 C till 5 C på 9 h. Antag att temperaturen ute är konstant C och att avsvalningen följer Newtons avsvalningslag. a Formulera och lös BVP som bestämmer Tt i villan. b Är det risk att vattenledningarna frser om strömmen inte kommer tillbaka förrän klockan.00 nästa dag? 3. En patient tillförs glukos blodsocker till blodet genom så kallat dropp med flödet gh. Glukosen omsätts ut i kroppen med en hastighet som är proportionell mot aktuell mängd glukos i blodet med proportionalitetskonstanten 3 h -. Läkaren är intresserad av mängden glukos st i blodet. a Låt mängden glukos vara g från början och formulera modellen som ett BVP. b Lös BVP. c Hur länge dröjer det innan glukosmängden har ökat till 3 g? d Vilken är den högsta mängd glukos patienten kan ha i blodet enligt denna modell? 3. Vid början av år 000 var världens folkmängd till 6. ÿ 0 6. För att uppskatta folkmängden under början av det na seklet antog man att tillväxthastigheten är proportionell mot aktuell folkmängd. Proportionalitetskonstanten var då.3 % per år, men förväntades avta linjärt till.% år 00. a Formulera och lös BVP som bestämmer folkmängden f t. b Bestäm med denna modell folkmängden vid början av Enligt en viss teori skulle det vid universums skapelse funnits lika stora mängder av de två uranisotoperna U 35 och U 38. Sönderfallshastigheten för dessa är vid varje tidpunkt proportionell mot kvarvarande mängd och halveringstiderna är t 35 = 0.75 miljarder år respektive t 38 = 4.5 miljarder år. Vid en uppmätning idag finner man att det finns 40 gånger så många U 38 atomer som U 35 atomer. Hur gammalt är universum enligt denna teori? Läsvecka Lös (ODE) a) '' - 4 ' + 3 = 0 b) '' - 4 ' + 4 = 0 c) '' - 4 ' + 5 = Lös (ODE) a) '' - 4 ' + 5 = x b) '' - 4 ' + 5 = x c) '' - 4 ' + 4 = sinx 36. Lös (BVP) med (BV) 37. Lös (BVP) med (BV) 0 = ' 0 = 0 0 = 0 ' 0 = 38. Lös differentialekvationen '' - ' + = x a) '' + ' + 5 = x b) '' + ' - 3 = x a) '' + ' - 3 = + x b) '' + ' + = c) '' + ' + 5 = x 39. Bestäm a och b så att ax + bx + x = cos ÅÅÅÅ t t t får partikulärlösningen a) 5 sin ÅÅÅÅ b) a cos ÅÅÅÅ Bestäm x x samt xt då a > 0 och a) x = ax b) x =-ax c) x =-ax

5 HH/IDE/BN Tillämpad Matematik III, Övning ODE 5 Läsvecka En boll släpps från 0 m. Försumma luftmotståndet och använd Newtons accelerationslag m = F. a Formulera och lös BVP som bestämmer bollens läge t. b Bestäm bollens hastighet som funktion av tiden t. c När når den marken? d Med vilken hastighet? 4. En boll nickas iväg rakt upp med farten 0 ms. Försumma luftmotståndet och använd Newtons accelerationslag m = F. a Formulera och lös BVP som bestämmer bollens läge t. b Bestäm bollens hastighet som funktion av tiden t. c Hur högt når den? d Hur mcket är klockan då? e När kommer den tillbaka och med vilken hastighet? 43. En boll med massan kgnickas iväg rakt upp med farten 0 ms. Luftmotståndet år proportionellt mot mot farten med proportionalitetskonstanten0. kgs. Låt g = 0 ms. a Formulera och lös BVP som bestämmer bollens läge t. b Bestäm bollens hastighet som funktion av tiden t. c Hur högt når den? d Hur mcket är klockan då? e När kommer den tillbaka och med vilken hastighet? 44. En bil med hastigheten 0 ms = 7 kmh accelererar plötsligt med konstant acceleration ÅÅÅÅ 4 ms under 00 m. Försumma luftmotstånd och använd Newtons accelerationslag mx = F. a Formulera och lös BVP som bestämmer bilens läge xt. b Ta hjälp av kedjeregeln för att skriva om BVP så att x x. c Lös BVP. d Bestäm hastigheten efter accelerationen. 45. En sportbilstillverkare begränsar prestandan för en av sina modeller genom att vid full gas stra bränsletillförseln så att accelerationen i varje ögonblick är proportionell mot skillnaden mellan önskad toppfart 80 ms º 88 kmh och aktuell fart med proportionalitetskonstantentill 0. s -. Försumma luftmotståndet och använd Newtons accelerationslag mx = F. a Formulera och lös BVP som bestämmer bilens läge xt. b Vilken fart har bilen efter 0 s om den startar från stillastående med gasen i botten? c Hur långt har den kört då? d Hur lång tid tar det till 50 ms = 50 kmh och hur långt har den då kört? 46. För att utreda vilken skidvalla som är bäst genomför många skidåkare så kallade glidprov. Med känd utgångshastighet mäter man upp hur långt man glider innan man stannar. Vid ett försök gav en utgångshastighet på 6 msen glidsträcka på 30 m. Bestäm nu friktionskoefficienten m om vi antar att den enda kraften som verkar på åkaren i rörelseriktningen är den bromsande friktionskraften som är proportionell mot såväl m som ekipagets tngd. Använd Newtons accelerationslag mx = F. 47. Under en fotbollsmatch sparkar Zlatan iväg bollen med med farten v 0 = 5 ms och vinkeln q=30. Försumma luftmotståndet och låt g = 0 ms. Hur högt når bollen? q v 0 x

6 6 Tillämpad Matematik III, Övning ODE HH/IDE/BN 48. Under samma match kom Zlatan och Freddie att prata om farten på bollen vid en inspark. De uppskattar längden 60 m och restiden 3 s till nedslagsplatsen. Hjälp dem att bestämma utgångsfarten v 0 och elevationsvinkeln q. Låt g = 0 ms och försumma luftmotståndet q v x 49. En bil bromsar in från 30 ms till stillastående enligt vidstående figur. Om bromsträckan ned till 0 ms är 40 m, hur lång är den återstående bromssträckan ned till stillastående? v ms t s 50. Ett äpple placeras försiktigt på toppen av en spiralfjäder. Fjädern trcks då ihop sträckan L. Hur mcket trcks fjädern ihop om man istället släpper äpplet precis på toppen av fjädern? Försumma dämpningen.