MA2018 Tillämpad Matematik III Övning ODE, vt08, lp3

Transkript

1 HH/SET/BN Tillämpad Matematik III, Övning ODE MA08 Tillämpad Matematik III Övning ODE, vt08, lp3 Allmänt Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. Undantag utgör naturligtvis moment som direkt hänvisar till användning av Mathematica. På tentan är du ensam, så det är viktigt att du klarar av uppgifterna på egen hand för hand! Trots detta rekommenderas och uppmuntras arbete i grupp samt användning av Mathematica!! I lösningsförslagen hittar du oftast både "tentavarianten" för hand och Mathematica. Detta för att du ska få träning på båda! Avsaknad av handräkning eller "snåla" sådana ska tolkas positivt som en inspiration och utmana dig till att fylla igen luckor och verifiera det som är gjort för hand eller med Mathematica. Uppgifter Vecka 3. Visa att y = ÅÅÅÅ 4 x4 + coshxl + är en partikulärlösning till HBVPL l o y' = x 3 - sinhxl HODEL mn o. yh0l = 3 HBVL Först yh0l = ÅÅÅÅ cosh0l + = = 3, sedan y' = x 3 - sinhxl, vilket är (ODE).. Visa att y = ÅÅÅÅ 3 x3 är en partikulärlösning till HBVPL l o y' = x y mn o yh0l = HODEL. HBVL Först yh0l = 0 =, sedan med kedjeregeln y' = ÅÅÅÅ 3 x3 ÅÅÅÅ 3 3 x = x y, vilket är (ODE). 3. Verifiera allmänna lösningen a) H + xly' = y fl y = C Hx + L b) y'' - y = 0 fl y = C t + C -t c) y' + y = x - fl y = C - ÅÅÅÅ x + x - 3 d) y' = ÅÅÅ y -xy fl lnhyl = xy + C e) x + y + xyy' = 0 fl x + xy = C Derivera allmänna lösningen, sätt in i (ODE). a) Derivera y = C Hx + L fl y' = C fl H + xly' = H + xlc = y b) y' = C t - C -t fl y'' = C t + C -t fl y'' - y = C t + C -t - HC t + C -t L = 0 c) y' =-ÅÅÅÅ C - ÅÅÅÅ x + fl y' + y = I- ÅÅÅÅ C - ÅÅÅÅ x + M + C - ÅÅÅÅ x + x - 3 = x - d) Derivera implicit lnhyl = xy + C fl ÅÅÅÅÅ y' y = y + xy' ñ y' = y + xyy' ñ H - xyly' = y vilket är (ODE) e) Derivera implicit x + xy = C fl x + y + x ÿ yy' = 0 vilket är (ODE) 4. Integrera direkt a) y' = 3 x - 6 x + 5 b) y' = 5 x + ÅÅÅÅ 4 x c) y' = 4 -x d) y' = H + xl e) y' = ÅÅÅÅ tanhxl f) x =-g a) y = x 3-3 x + 5 x + C b) y = ÅÅÅÅ 5 3 x3 + 4 lnhxl + C c) y =-4 -x + C d) y = ÅÅÅÅ 6 H + xl3 + C e) y = lnhsinhxll + C f) x =-ÅÅÅÅ gt + C t + C

2 HH/SET/BN Tillämpad Matematik III, Övning ODE 5. Integrera direkt (BVP) a) l o y' = x + 5 HODEL mn o b) l o y' = x + ÅÅÅÅÅ 5 HODEL mn x yh0l = HBVL o c) l o y' = H3 - xl 3 mn yhl =- HBVL o yhl = d) l o y' = 4 -x - x HODEL mn o e) l o x = t + sinhtl HODEL mn yh0l = 3 HBVL o f) l o x = tanhtl HODEL mn xh0l = HBVL o xh0l = HBVL HODEL HBVL a) y = ÅÅÅÅ 3 x3 + 5 x + b) y = ÅÅÅÅ e) x = ÅÅÅÅ 3 x3 + ÅÅÅÅÅ 3 - ÅÅÅÅ 5 x Ht - coshtl -p L f) x = - lnhcoshtll c) y = 7 ÅÅÅÅÅ 8 - ÅÅÅÅ 8 H3 - xl4 d) y = ÅÅÅÅÅ 5-4 -x - ÅÅÅÅ x 6. Separabla a) y' = x ÅÅÅÅ y b) y' =- x ÅÅÅÅ y c) y' = y ÅÅÅÅ x d) y' - x = xy e) y' - x - x = 0 f) yy' + x = y' a) x - y = C b) x + y ÅÅÅÅ = C c) y = C x eller y = 0 d) y =- + C x e) y = x + ÅÅÅÅ 3 x3 + C f) y - y =-x + C 7. Separabla a) y' = x +y x+ b) y' = H + xl H + yl c) y' = ÅÅÅ y 4 + d) xy' - y = e) y x 3 = ÅÅÅÅÅ y' f) y' = +y +x a) ÅÅÅÅ y + y = x + C b) lnh + yl = ÅÅÅÅ x + x + C c) ÅÅÅÅ 5 y5 + y = ÅÅÅÅ x + x + C d) arctanhyl = lnhxl + C e) y = HC - ÅÅÅÅÅ 3 ÅÅÅÅ 3 f) lnh + yl = lnh + xl + C x L Vecka 4 8. Separabla a) Hx y - x Ly' = y x + y b) xyy' = x + ÅÅÅ +y e) xy'coshyl + sinhyl = 0 f) y' + x = x-y 4+y c) xy' = y + xy d) yy' tanhxl = ÅÅÅÅÅÅ cos HxL a) lnhyl + ÅÅÅÅ y = lnhxl - ÅÅÅÅ x + C eller y = 0 b) ÅÅÅÅ 3 y3 + ÅÅÅÅ y = ÅÅÅÅ x + lnhxl + C c) y = C x x eller y = 0 d) y = C tan HxL - 4 e) sinhyl = C ÅÅÅÅÅÅ eller y = 0 f) ln» - y» + x = C x 9. Linjära a) y' + 5 y = x b) y' + 3 y = 0 c) xy' - 5 y = xy d) xy' - 5 y = x e) y' - x = xy f) sinhxly' + coshxly = ÅÅÅÅ cosh xl a) y = ÅÅÅÅ 6 x + C -5 x b) y = C -3 x eller y = 0 c) y = C x 5 x eller y = 0 d) y =-ÅÅÅÅ 3 x + C x 5 e) y =- + C ÅÅÅÅ x f) y = ÅÅÅÅ sinhxl + C ÅÅÅÅ sinhxl 0. Linjära a) y'x + y = x 3 b) H + xly' + y = H + xl c) xy' - 5 y = x 7 d) y' - y = 5 x e) H + x Ly' + xy = è!!!!!!!!!!! + x f) y' + y tanhxl = sinhxl

3 HH/SET/BN Tillämpad Matematik III, Övning ODE 3 a) xy = ÅÅÅÅ 4 x4 + C b) y = ÅÅÅÅ 3 H + xl + C +x c) y = ÅÅÅÅ x7 + C x 5 d) y = ÅÅÅÅ 3 5 x + C x e) y = x+c ÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!! f) y = coshxl HC - lnhcoshxlll +x. Blandat a) y'x - = - y' b) y' + xy = x c) y' + ÅÅÅÅ x y = ÅÅÅÅÅ d) xhy - 3L y' = 4 y x e) xy' - y = x x - x f) y' + ÅÅÅÅÅ y = 0 x a) y = lnh + xl + C b) y = + C - ÅÅÅÅ x c) y = C ÅÅÅÅÅÅ x e) y = x x - 4 x lnhxl + C x f) y = C ÅÅÅÅ x + ÅÅ lnhxl d) x 4 y 3 = C x y. Blandat a) y' + y = 3 x b) y' + tanhyl = tanhxl tanhyl c) y' - 7 y = x d) x 3 + H + yl y' = 0 e) y' - ÅÅÅÅ x y = ÅÅÅÅ 3 x4 f) y' + ÅÅÅÅÅ 0+ x y = 4 a) y = ÅÅÅÅ 5 x + C - x b) y = arcsini ÅÅÅÅ C -x coshxl M eller y = np c) y = C 7 x - ÅÅÅÅ d) 3 x 4 + 4H + yl 3 = C e) ÅÅÅÅ 9 x5 + C x f) y = x +0 x+c ÅÅÅÅ x+5 6 x 3. (BVP) a) l o y' - xy = x mn o yh0l = 3 HODEL HBVL lo y' = ÅÅ 4 x y+coshyl b) m o n yhl =p HODEL HBVL c) l o x = ÅÅÅ t+ HODEL mn x- o xh0l =- HBVL a) y =- + 4 ÅÅÅÅ x b) 3y + 6 sinhyl = 8 x 3 + 3p - 8 c) H - xl = t + t + 4 Vecka 5, 6 4. Den klotformade magen på en snögubbe smälter så att hastigheten av volymändringen är proportionell mot dess area. Man observerade att diametern var 50 cm från början och att den efter 7 timmar var 40 cm. När har snögubbens mage smält bort? Vi har magens volym V = k d 3 och area A = k d. Enligt uppgift gäller att ÅÅÅÅÅÅÅ V = k t 3 A. Med kedjeregeln har vi då ÅÅÅÅÅÅÅ V = k t 3 A îî fl ÅÅÅÅÅÅ KR d Hk d 3 L ÅÅÅÅÅÅ d = k t 3 k d fl ÅÅÅÅÅÅ d = k så vi har begynnelsevärdesproblemet t HBVPL d lo ÅÅÅÅÅÅ = k HODEL t m o n dh0l = 50 HBVL med lösningen davt = DSolve@8d'@tD k, d@0d 50<, d@td, tdêêfirst 8dHtL Ø kt+ 50< Randvillkoret dh7l = 30 fixerar k. kvärde = Solve@d@tD 30 ê. davt ê. t 7D êêfirst

4 HH/SET/BN Tillämpad Matematik III, Övning ODE 4 9k Ø- 5 8 = Och slutligen livslängden i timmar. Solve@d@tD 0 ê. davt ê. kvärded 88t Ø 80<< Å en titt på bantningen över tiden. Plot@d@tD ê. davt ê. kvärde, 8t, 0, 80<, PlotStyle Hue@0.6D, AxesLabel En iskub som glömts på stranden smälter så att volymändringen per tidsenhet är proportionell mot dess area. Antag att sidan var 3 cm från början och att den smält till cm på 5 min. Hur länge dröjer det innan den har smält bort? Enligt uppgift gäller att ÅÅÅÅÅÅÅ V = ka. Så med sidan s och kedjeregeln får vi då ÅÅÅÅÅÅÅ V = ka ñ V s ÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ = k 6 s ñ t t s t ñ ÅÅÅÅÅÅ s Hs3 L ÅÅÅÅÅÅ s = k 6 s ñ 3 s ÅÅÅÅÅÅ s = k 6 s ñ ÅÅÅÅÅÅ s = k. Varav s = kt + m. Begynnelsevärde och randvillkor ger sedan t t t lo 3 = k ÿ 0 + m mo n = k ÿ 5 + m fl k =- ÅÅÅÅ och m = 3. 5 Slutligen svaret på den brännande frågan: 0 =-ÅÅÅÅ t + 3 fl t = 5 min. Eller savt = DSolve@ 8s'@tD k, s@0d 3<, s@td, tdêêfirst 8sHtL Ø kt+ 3< Randvärde (RV) bestämmer k kvärde = Solve@s@tD ê. savt ê. t 5D êêfirst 9k Ø-ÅÅÅÅÅ 5 = som sedan opereras in i shtl savt = savt ê. kvärde 9sHtL Ø 3 - ÅÅÅÅÅ t 5 = Slutligen smälttiden Solve@s@tD 0 ê. savtd êêfirst 8t Ø 5< 5

5 HH/SET/BN Tillämpad Matematik III, Övning ODE 5 6. En bakteriekultur dubbleras på 30 min. Hur lång tid tar det innan kulturen har tiodubblats? Antag att tillväxten vid varje tidpunkt är proportionell mot antalet bakterier. Efter översättning av texten har vi b' HtL = kbhtl bavt = DSolve@b'@tD kb@td, b@td, tdêêfirst 8bHtL Ø kt c < Kravet på dubblering fixerar proportionalitetskonstanten k ekv = b@td c ê. bavt ê. t k c c kvärde = Solve@ekv, kd êêfirst 9k Ø loghl 30 = Slutligen tiden i minuter till tiodubbling ekv = b@td 0 c ê. bavt ê. kvärde tê30 c 0 c t0 = Solve@ekv, td êêfirst % êê N 30 logh0l 9t Ø ÅÅÅÅÅ = loghl 8t Ø < 7. Den radioaktiva isotopen Thorium-34 sönderfaller med en hastighet som är proportionell mot kvarvarande mängd. Antag att 00 g reduceras till 64 g på 7 dagar. al Bestäm mängden som funktion av tiden t. bl Vilken halveringstid har isotopen? cl Hur lång tid tar det tills det finns endast ÅÅÅ kvar av den ursprungliga mängden? 000 Efter översättning av texten har vi m' HtL = kmhtl med (BV) mh0l = 00. mavt = DSolve@8m'@tD km@td, m@0d 00<, m@td, tdêêfirst 8mHtL Ø 00 kt < Randvillkoret mh7l = 64 fixerar proportionalitetskonstanten k Slutligen mhtl kvärde = Solve@m@tD 64 ê. mavt ê. t 7D êêfirst 9k Ø- ÅÅÅÅÅ 7 logj 50 4 N= mavt = mavt ê. kvärde 9mHtL Ø 3- t ÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ t 7 4 tê7 =

6 HH/SET/BN Tillämpad Matematik III, Övning ODE 6 Plot@m@tD ê. mavt, 8t, 0, 00<, PlotStyle Hue@0.D, AxesLabel a) Halveringstid t bestäms som namnet antyder av mhtl = ÅÅÅÅ mh0l b) Tid till SolveAm@tD 00 ê. mavte % êê N 7 loghl 99t Ø ÅÅÅÅÅÅÅ loghl + logh5l - logh4l == 88t Ø << ÅÅÅ 000 kvar, det vill säga lös mhtl = ÅÅÅ 000 mh0l SolveAm@tD 00 ê. mavte 000 % êê N 7 logh000l 99t Ø ÅÅÅÅÅÅÅ loghl + logh5l - logh4l == 88t Ø << 8. Kaffet i en kopp har temperaturen 90 C. Temperaturen sjunker från 90 C till 75 C på 5 min då rumstemperaturen är 0 C. Bestäm när kaffet är 50 C. Vad är temperaturen efter 5 min? Antag att Newtons avsvalningslag gäller. Newtons avsvalningslag med (BV) TH0L = 90. TAvt = DSolve@8T'@tD k HT@tD 0L, T@0D 90<, T@tD, tdêêfirst 8THtL Ø 0 H + 7 kt L< Randvärdet TH5L = 75 fixerar nu k ekv = T@tD 75 ê. TAvt ê. t 5 0 H k L 75 kvärde = Solve@ekv, kd 99k Ø- ÅÅÅÅÅ 5 logj 4 N== När är temperaturen 50 C?

7 HH/SET/BN Tillämpad Matematik III, Övning ODE 7 Solve@T@tD 50 ê. TAvt ê. kvärded % êê N 5 HlogH6L - logh4ll 99t Ø ÅÅÅ == loghl - logh4l 88t Ø 7.567<< Temperaturen efter 5 min? TAvt ê. kvärde ê. t 5 % êê N 99TH5L Ø 0575 Å 96 == 88TH5.L Ø << Slutligen en liten bild över spektaklet. Plot@T@tD ê. TAvt ê. kvärde, 8t, 0, 00<, PlotRange 80, 00<, PlotStyle Hue@0D, AxesLabel CD"<D; CD Ett järn placeras för avsvalning under rinnande vatten med temperaturen 0 C. Efter 5 s var temperaturen i järnet 0 C och efter 5 s 90 C. Hur varmt var järnet då avsvalningen inleddes? Antag att Newtons avsvalningslag gäller. Newtons avsvalningslag med (RV) TH5L = 0. TAvt = DSolve@8T'@tD k HT@tD 0L, T@5D 0<, T@tD, tdêêfirst 8THtL Ø 0-5 k H 5 k + kt L< Randvärdet TH5L = 90 fixerar nu k ekv = T@tD 90 ê. TAvt ê. t k H 5 k + 5 k L 90 kvärde = Solve@ekv, kd % êê N 99k Ø- 0 logj 8 N== 88k Ø << Avsvalningen över tiden.

8 HH/SET/BN Tillämpad Matematik III, Övning ODE 8 Plot@T@tD ê. TAvt ê. kvärde, 8t, 0, 00<, PlotRange 80, 00<, PlotStyle Hue@0D, AxesLabel CD"<D; CD Slutligen temperaturen lite mera precist vid t = 0 TAvt ê. kvärde ê. t 0 êê Simplify % êê N 605 "####### ÅÅÅÅÅÅ 99TH0L Ø 0 + ÅÅÅÅÅ == 8 88TH0.L Ø << Här kan det vara lämpligt att nämna ett litet trick Om vi även låter k vara en funktion av tiden, det vill säga khtl med vetskap om att den faktiskt är konstant k ' HtL = 0 kan vi lösa ett system av differentialekvationer istället. Detta ger oss möjlighet att ta med randvillkoret TH5L = 90 direkt. Kom ihåg att vi kan bara sätta lika många (BV)+(RV) som vi har totalt antal derivator. Nu har vi ju två, T ' HtL och k ' HtL. TÅk = DSolve@8T'@tD k@td HT@tD 0L, k'@td 0, T@5D 0, T@5D 90<, 8T@tD, k@td<, td 99kHtL ØÂ i j p-âlogi 3ê0 yy 5 i è!!!!!! j ÅÅÅÅÅÅÅ 0 è!!!!!! zz, THtL Ø- k k {{ 6 j-3 + Â t i jp-â log i j 3ê0 y 0 è!!!!! z y zy k k {{ z =, k { 9kHtL Ø log i 3ê0 y j ÅÅÅÅÅÅÅ 0 è!!!!!! z, THtL Ø 5-tê0 I 3 tê0 è!!!!!! + 6 è!!! tê0 M ÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅ k { =, 9kHtL Ø log i è!!!!!!! 5 j - - 3ê0 y è!!!!!! ÅÅÅÅÅÅ 0 z, THtL Ø 5-tê0 I6 è!!! tê0 + 3 tê0 è!!!!!! I- è!!!!!!! 5 - M t M ÅÅÅÅÅÅ k { =, 9kHtL Ø log i è!!!!!!! 5-3ê0 y j è!!!!!! ÅÅÅÅÅÅ 0 z, THtL Ø 5-tê0 I- H-L tê5 3 tê0 è!!!!!! + 6 è!!! tê0 M ÅÅ k { =, 9kHtL Ø log i j - H-Lê5 3ê0 y è!!!!!! ÅÅ 0 z, THtL Ø 5-tê0 I6 è!!! tê0-3 tê0 è!!!!!! H-H-L ê5 L t M ÅÅÅ k { =, 9kHtL Ø log i H-Lê5 3ê0 y j è!!!!!! ÅÅ 0 z, THtL Ø 5-tê0 I H-L tê5 3 tê0 è!!!!!! + 6 è!!! tê0 M Å k { =, 9kHtL Ø log i j - H-L3ê5 3ê0 y è!!!!!! ÅÅ 0 z, THtL Ø 5-tê0 I6 è!!! tê0 + 3 tê0 è!!!!!! H-H-L 3ê5 L t M ÅÅÅ k { =, 9kHtL Ø log i H-L 3ê5 3ê0 y j è!!!!!! ÅÅ 0 z, THtL Ø 5-tê0 I- H-L 3 tê5 3 tê0 è!!!!!! + 6 è!!! tê0 M ÅÅÅÅÅ k { =, 9kHtL Ø log i j - H-L4ê5 3ê0 y è!!!!!! ÅÅ 0 z, THtL Ø 5-tê0 I6 è!!! tê0-3 tê0 è!!!!!! H-H-L 4ê5 L t M ÅÅÅ k { =, 9kHtL Ø log i H-L4ê5 3ê0 y j è!!!!!! ÅÅ 0 z, THtL Ø 5-tê0 I H-L 4 tê5 3 tê0 è!!!!!! + 6 è!!! tê0 M Å k { == Många lösningar blir det. Det blir inte alltid så här. Vi är dock bara intresserade av de(n) reella TÅk = Select@TÅk, Im@k@tD ê.#d 0&DêêFullSimplify 99kHtL Ø- 0 logj 8 N, THtL Ø 0 + t 53 ÅÅÅÅÅÅÅ 0 - ÅÅÅÅÅ 7 5 ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅ t 0 ==

9 HH/SET/BN Tillämpad Matematik III, Övning ODE 9 Ok, slutligen livet vid t = 0 TÅk ê. t 0 % êê N 99kH0L Ø- 0 logj 605 "####### ÅÅÅÅÅÅ N, TH0L Ø 0 + ÅÅÅÅÅ == kH0.L Ø , TH0.L Ø << 0. En sjö har volymen 0 5 m 3. Från en å rinner det in rent vatten med flödet m 3 êh. Vid en tidpunkt uppmättes koncentrationen kvicksilver i sjön till 4mgêm 3. Sök koncentrationen kvicksilver i sjön som funktion av tiden efter uppmätningen. Hur länge dröjer det innan koncentrationen har sjunkit till hälften? Anta perfekt omrörning samt att det finns ett utlopp från sjön så att dess volym är konstant över tiden. Typiskt blandningsproblem. Med kända beteckningar har vi (BVP) lo ÅÅÅÅÅ t m HVcL = c in q in - c ut q ut o n ch0l = c 0 V =konstant=0 5, q in =q ut =, c in =0 îîîîîîîîîîîîîîîîîîîîîîîîîîîîîîîîfl perfekt omrörning fl c ut =c l om 0 5 ÅÅÅÅÅÅ c = H0 - cl n o t ch0l = 4 Denna kan lösas antingen som linjär eller separabel. Vi börjar känna igen att det är "samma" (ODE) antingen vi har blandningsproblem, Newtons avsvalningslag, radioaktivt sönderfall Matematik är användbart! Halveringstiden. cavt = DSolve@80 5 c'@td H0 c@tdl, c@0d 4<, c@td, tdêêfirst êê Simplify 8cHtL Ø 4 -tê50000 < Solve@c@tD ê. cavt, td 88t Ø loghl<< Å så här ser skådespelet ut under de tjugo första åren Plot@Evaluate@c@tD ê. cavt ê. t td, 8t, 0, 0<, PlotStyle Hue@0D, PlotRange All, AxesLabel 3 hd", 3 D"<D; 3 D hd Vi ser både i den analytiska lösningen och i figuren ovan att föroreningen i sjön efter lång tid närmar sig den i inloppet. Verkar ju rimligt.

10 HH/SET/BN Tillämpad Matematik III, Övning ODE 0. Blod som medför ett ämne strömmar med flödet 3 cm 3 ês genom ett organ med volymen 5 cm 3. Bestäm koncentrationen av ämnet i organet vid tiden t om det inte fanns något spår av det från början och om ämnets koncentration i det inkommande blodet är 0. g êcm 3. När når koncentrationen i organet 0. g êcm 3? Antag perfekt omrörning i organet! Typiskt blandningsproblem. Med kända beteckningar har vi (BVP) lo ÅÅÅÅÅ t m HVcL = c in q in - c ut q ut o n ch0l = c 0 V =konstant=5, q in =q ut =3, c in =0. îîîîîîîîîîîîîîîîîîîîîîîîîîîîîîîîîîî fl perfekt omrörning fl c ut =c l om 5 ÅÅÅÅÅÅ c = 3 H0. - cl n o t ch0l = 0 Denna kan lösas antingen som linjär eller separabel. Vi börjar känna igen att det är "samma" (ODE) antingen vi har blandningsproblem, Newtons avsvalningslag, radioaktivt sönderfall Matematik är användbart! cavt = DSolve@85 c'@td 3 H0. c@tdl, c@0d 0<, c@td, tdêêfirst êê Simplify 8cHtL Ø t < När är koncentrationen 0. g êcm 3? Solve@c@tD 0. ê. cavtd 88t Ø 8.88<< Å så här ser skådespelet ut under de första sekunderna Plot@c@tD ê. cavt, 8t, 0, 00<, PlotStyle Hue@0D, PlotRange All, AxesLabel 3 D"<D; 3 D Vi ser både i den analytiska lösningen och i figuren ovan att ämnets koncentration i organet efter lång tid närmar sig den inkommande. Verkar ju rimligt.. I en verkstad droppar det olja på golvet så en pöl bildas. Det droppar med jämnt flöde literêh. Avdunstningen antas vara proportionell mot oljemängden i pölen. Om pölen innehöll 3 liter skulle avdunstningen vara 0.4 literêh. Hur mycket olja finns i pölen 5 h efter det att det började droppa och hur mycket innehåller pölen efter mycket lång tid? Låt VHtL vara mängden olja i pölen vid tiden t. Under tiden t vid varje tidpunkt t måste det gälla att "ökning = tillfört - avdunstat", det vill säga ÅÅÅÅÅÅÅ V = q t in - q ut = - kvhtl, där enligt uppgift k = ÅÅÅÅÅÅÅ 0.4. Denna (ODE) är både 3 separabel och linjär så med VH0L = 0 har vi (BVP) och dess lösning VAvt = DSolveA9V'@tD 0.4 V@tD, V@0D 0=, V@tD, teêêsimplify 3 88VHtL Ø t <<

11 HH/SET/BN Tillämpad Matematik III, Övning ODE Efter 4 h har vi mängden och efter lång tid VAvt ê. t 4 88VH4L Ø 6.003<< VAvt ê. t 88VH L Ø 5.<< Eftersom avdunstningen enligt uppgift är proportionell mot volymen i pölen kommer den allt eftersom pölen växer till att motsvara precis det som tillförs. Volymändringen per tidsenhet avtar alltså mot noll och vid jämvikt har vi därför V ÅÅÅÅÅÅÅ = 0 = - kv ñ V = ÅÅÅÅ t k = ÅÅÅ = 5. Jämför gränshastighet! Slutligen mängd olja i pölen som funktion av tiden 0.4ê3 Plot@V@tD ê. VAvt, 8t, 0, 50<, PlotStyle Hue@0.D, PlotRange All, AxesLabel 3 D"<D; 3 D En tank i form av en stående cylinder är helt fylld med vatten. Så öppnas en kran i botten så att vattnet strömmar ut med en hastighet som i varje ögonblick är proportionell mot kvadratroten ur vattendjupet HTorricellis lagl. Hur lång tid tar det att tömma tanken om den efter T s är tömd till hälften? Vi har enligt uppgift ÅÅÅÅÅ d dt HpR hl =-Ak è!!! h om R är tankens radie och A är kranrörets area, det vill säga pr h' HtL =-Ak è!!!!!!!! hhtl ñpr h' HtL =- Ak è!!!!!!!! hhtl ñ h' HtL = k è!!!!!!!! hhtl. Denna är separabel. Antag att tanken har höjden H så pr har vi att hh0l = H och hhtl = ÅÅÅÅÅ H. Detta bestämmer k. Även här har vi en repris med nya tillstånd som bestämmer tömningstiden t. Vi kör direkt på målet med hjälp av separation och bestämd integral där gränserna ges av (BV) och (RV) Hê ekv = 9 è!!! H h T 0 h k t, 0 H 9I- + è!!! M è!!!!! H kt, - è!!!!! H k t= è!!! h τ h k t= 0 τåk = Solve@ekv, 8k, τ<d êê Simplify êê First 9t ØI + è!!! M T, k Ø è!!! I- + M è!!!!! H ÅÅ = T Kanske är förloppet över tiden också intressant. havt = DSolveA9h'@tD k è!!!!!!!!!! h@td,h@0d H=, h@td, te 99hHtL Ø ÅÅÅÅÅ 4 Ik t - 4 è!!!!! Hkt + 4 HM=, 9hHtL Ø ÅÅÅÅÅ 4 Ik t + 4 è!!!!! Hkt + 4 HM==

12 HH/SET/BN Tillämpad Matematik III, Övning ODE PlotA ê. havtpt ê.t u τ ê. τåk, 8u, 0, <, PlotStyle Hue@0.7D, H PlotRange All, AxesLabel 8"têτ", "hhtlêh"<, Ticks 9JoinARange@0,, 0.D, 99 T ê. τåk, "Têτ"==E, τ Join@Range@0,, 0.D, 880.5, "ê"<<d=, hhtlêh ê i y T Epilog 9Hue@0D, Dashing@80.0<D, LineA 0.5 τ ê. τåke=e; j T k 0 z τ { 0. Têt têt Vecka 7 4. Lös (ODE) a) y'' - 4 y' + 3 y = 0 b) y'' - 4 y' + 4 y = 0 c) y'' - 4 y' + 5 y = 0 a) y = C x + C 3 x b) y = HC + C xl x c) y = x HC coshxl + C sinhxll 5. Lös (ODE) a) y'' - 4 y' + 5 y = x b) y'' - 4 y' + 5 y = x c) y'' - 4 y' + 4 y = sinhxl a) y = ÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ x 5 + x HC coshxl + C sinhxll b) y = c) y = HC + C xl x + ÅÅÅÅÅ H4 coshxl + 3 sinhxll ÅÅÅÅÅ 5 x + ÅÅÅÅ 5 x + x HC coshxl + C sinhxll 6. Lös (BVP) med (BV) l o mn o yh0l = y' H0L = 0 a) y'' + y' + 5 y = x b) y'' + y' - 3 y = x a) y = ÅÅÅÅÅ 5 H5 x - + -x H7 cosh xl + sinh xlll b) y = 08 H-36 x - 48 x x + 35 x L 7. Lös (BVP) med (BV) l o mn o yh0l = 0 y' H0L = a) y'' + y' - 3 y = + x b) y'' + y' + y = c) y'' + y' + 5 y = x a) y = ÅÅÅÅÅ 36 H-4H3 x + 5L x + 7 x L b) y = - -x c) y = ÅÅÅÅ 8 -x H-cosH xl + 3 sinh xll + ÅÅÅÅ 8 x

13 HH/SET/BN Tillämpad Matematik III, Övning ODE 3 8. Lös differentialekvationen y'' - y' + y = x a) y = ÅÅÅÅ x Hx + C x + C L 9. Bestäm a och b så att ax + bx + x = cosh ÅÅÅÅ t t t L får partikulärlösningen a) 5 sinh ÅÅÅÅ L b) a cosh ÅÅÅÅ L. a) a = 6, b = 4 ÅÅÅÅ 5 b) a = 8 4è!!! 3,b = Bestäm x HxL samt xhtl då a > 0 och a) x = ax b) x =-ax c) x =-ax a) l o x = ax + C m n o x = C è!!! at + C -è!!! at b) l o x = C - ax eller x = 0 mn o x = C + C -at c) l o m n o x = C -ax eller x = 0 x = ÅÅÅÅ a lnhat + C L + C Vecka 8, 9 3. En boll släpps från 0 m. Bestäm läge och hastighet som funktion av tiden t, samt hastighet som funktion av läget. När träffar den marken och med vilken hastighet? Försumma luftmotståndet. Lägg ett koordinatsystem med origo vid startpunkten och y riktad nedåt. (Det går naturligtvis lika bra att lägga det vid marken och y uppåt. Gör det gärna som övning!!) Newton ger oss direkt (BVP), så läge och hastighet som funktion av tiden t yavt = DSolve@8m y''@td mg,y@0d 0, y'@0d 0<, y@td, tdêêfirst 9yHtL Ø gt ÅÅÅ = vavt = D@yAvt, td 8y HtL Ø gt< När träffar den marken? tmark = Solve@y@tD 0 ê. yavt, td 99t Ø- è!!!!!! 0 ÅÅÅ è!!! =, 9t Ø è!!!!!! 0 ÅÅÅ è!!! == g g Här gäller naturligtvis den sista lösningen. (Ett av de riktigt stora problemen i fysik, INGEN nu känd teori ger tiden med riktning! Man får alltid två lösningar som till beloppet är lika). Så slutligen nedslagshastigheten vavt ê. Last@tMarkD 9y i è!!!!!! 0 y j ÅÅÅ è!!! z k g Ø è!!!!!! 0 è!!! g = {

14 HH/SET/BN Tillämpad Matematik III, Övning ODE 4 Notera glädjen med att arbeta med Regler, man får en automatisk dokumentation jämfört med om man redan från början "plockat ut" yavt = y@tdê. Solve êê First fl yavt = ÅÅÅÅ gt. När det gäller hastighet som funktion av läge kan man naturligtvis eliminera tiden mellan uttrycken för y och y ovan. ekv = 8yAvt, vavt< ê. Rule Equal ê. y@td y ê. y'@td y êê Flatten 9y gt ÅÅÅ, y gt= Solve@ekv, y,td 99y Ø- è!!! è!!! g è!!! y =, 9y Ø è!!! è!!! g è!!! y == Där naturligtvis den sista lösningen är den som vi vill befatta oss med. Men man kan som bekant också gå direkt till y HyL med hjälp av omskrivningen y = ÅÅÅÅÅÅ y y = y ÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅ y t KR y t y y. Vi vår då my = mg ñ ÅÅÅÅÅÅ y y y = g vilket är en separabel (ODE) som vi för y övnings skull löser med bestämd integral Ÿ 0 y y y = Ÿ 0 g y ÅÅÅÅ y y D 0 y 0 ñ ÅÅÅÅ y = gy ñ y = è!!!!!!!! gy. Slutligen i repris med Mathematica som inte tycker om prickade variabler i DSolve. DSolve@8v@yD v'@yd g, v@0d 0<, v@yd, yd 99vHyL Ø- è!!! è!!!!!!! gy=, 9vHyL Ø è!!! è!!!!!!! gy== 3. En boll nickas iväg rakt upp med hastigheten 0 mês. al Försumma luftmotståndet och bestäm läge och hastighet som funktion av tiden t. bl Hur högt når den? cl Vad är klockan då? dl När kommer den tillbaka och med vilken hastighet? Repriser skadar inte Lägg ett koordinatsystem med origo vid marken och y uppåt. Sedan ger Newton (BVP). Först läget, sedan hastigheten yavt = DSolve@8m y''@td mg,y@0d 0, y'@0d 0<, y@td, tdêêfirst 9yHtL Ø ÅÅÅÅÅ H0 t - gt L= vavt = D@yAvt, td 9y HtL Ø ÅÅÅÅÅ H0 - gtl= Hur högt når den? I vändpunkten rör den ju sig varken uppåt eller nedåt, så y' HtL = 0. thögst = Solve@y'@tD 0 ê. vavt, td êêfirst 9t Ø 0 g = yhögst = yavt ê. thögst 9y i k j 0 y z Ø 50 g { g = När träffar den marken? tmark = Solve@y@tD 0 ê. yavt, td 98t Ø 0<, 9t Ø 0 g == Här gäller naturligtvis den sista lösningen. Den första är ju när resan började. Så slutligen nedslagshastigheten

15 HH/SET/BN Tillämpad Matematik III, Övning ODE 5 vavt ê. Last@tMarkD 9y i k j 0 y z Ø-0= g { Hastigheten är negativ, det vill säga den rör sig mot koordinatriktningen som sig bör. Matematiken fixar allt liten reseberättelse. Slutligen en Plot@Evaluate@8y@tD, y'@td< ê. yavt ê. vavt ê. g 9.8D, 8t, 0, <, PlotRange All, PlotStyle 8Hue@0D, Hue@0.7D<, AxesLabel "yhtl@md,vhtl@mêsd"<d; yhtl@md,vhtl@mêsd En bil med hastigheten 0 mês H= 7 kmêhl accelererar plötsligt med konstant acceleration ÅÅÅÅ 4 mês under 00 m. Bestäm hastigheten efter accelerationen. Om accelerationen är konstant a har vi med Newton (BVP) x lo = a m x Hx = 0L = 0 o n x Hx = 00L =? HODEL HBVL Vi är inte primärt intresserade av hur saker förändras med tiden utan med läget x. Vi gör därför den välkända omskrivningen x = x ÅÅÅÅÅÅ dx dx = a. Denna är separabel v Ÿ 0 x x x = Ÿ 0 a x vavx = DSolveA9v@xD v'@xd,v@0d 0=, v@xd, xeêêfirst 4 è!!!!!!!!!!!!!!! x vHxL Ø è!!! ÅÅÅÅÅ = Så den efterfrågade hastigheten efter 00 m, samt en liten bild över förloppet. vavx ê. x 00. 8vH00.L Ø.3607< Plot@v@xD ê. vavx, 8x, 0, 00 <, PlotStyle Hue@0.4D, AxesLabel

16 HH/SET/BN Tillämpad Matematik III, Övning ODE För att bestämma friktionskoefficienten m mellan snö och kälkens medar låter nissarna genomföra ett så kallat utrullningsprov, det vill säga med känd utgångshastighet mäter man upp hur långt de glider innan kälken stannar. Efter sammanvägning av flera prov verkar en utgångshastighet på 0 kmêh ge en glidsträcka på 30 m. Bestäm nu m om vi antar att den enda inbromsande kraften är proportionell mot såväl m som ekipagets tyngd. Typiskt exempel på Newtons accelerationslag. Eftersom vi inte är intresserade av läget som funktion av tiden utan hastigheten som funktion av läget vhxl gör vi den vanliga omskrivningen x = x ÅÅÅÅÅÅ dx dx. vavx = DSolveA9m v@xd v'@xd µmg,v@0d 0 =,v@xd, xeêêfirst 3.6 9vHxL Ø è!!! è!!!!!!!!!!!!!!!! 5.43!!!!!!!!!!!!!!! - gxm = Nu är det bara att lösa ut det efterfrågade m ur villkoret att resan tog slut efter 30 m. v@xd 0 ê. vavx ê. 8x 30, g 9.8< êêsolve 88m Ø << 35. Ett äpple placeras försiktigt på toppen av en spiralfjäder. Fjädern trycks då ihop sträckan L. Hur mycket trycks fjädern ihop om man istället släpper äpplet precis på toppen av fjädern? Försumma dämpningen. Newton Låt xhtl vara hoptryckningen av fjädern med fjäderkonstanten k och m äpplets massa. xavt = DSolve@8m x''@td mg kx@td, x@0d 0, x'@0d 0<, x@td, tdêêfirst gm- gmcosi è!!! k t ÅÅÅ è!!!!! M m 9xHtL Ø ÅÅÅ ÅÅ = k Detta uttryck antar maximum då cosh L =-, vilket sker då = p + n p. xavt ê. t π $%%%%%% m k 9x i è!!!! m p y j ÅÅ è!!! k k { z Ø ÅÅÅÅÅÅ gm = k êê PowerExpand Vilket är precis L. I detta fall har vi att göra med en dynamisk belastning jämfört med en statisk då vi lastade på äpplet försiktigt till jämviktsläge. Från kurs i mekanik vet vi att w = è!!!!!!!!!! k ê kallas vinkelhastighet. Då vi inte har någon dämpare (-cx i högerledet) som äter energi kommer äpplet att "något" orealistiskt svänga i all oändliget längs en cosinuskurva. Plot@x@tD ê. xavt ê. 8m, g, k <, 8t, 0, 0<, PlotStyle Hue@0.D, PlotRange All, AxesLabel 8"ωt", "xhtlkêmg"<d; xhtlkêmg wt