S0007M Statistik2: Slumpmodeller och inferens. Inge Söderkvist

Transkript

1

2 Föreläsning Slumpässighet 4.2 Sannolikhetsmodeller

3 Viktiga grundbegrepp Slumpmässig (eng: random) Ett fenomen är slumpmässigt om individuella resultat är osäkra, men resultat alltid förekommer med samma proportioner efter många upprepningar. (Ex: tärningskast) Sannolikhet (eng: probability) Sannolikheten för ett visst resultat kan definieras av andelen uppkomster av resultatet vid väldigt många upprepningar. (Relativa frekvensen)

4 Simulering, klave

5 Viktiga grundbegrepp forts... Utfallsrum (eng: sample space) Mängden, S, av alla möjliga utfall Händelse (eng: event) Ett utfall eller en mängd av utfall, d.v.s en delmängd av utfallsrummet. Disjunkta händelser Två händelser utan gemensamma utfall Oberoende händelser Två händelser är oberoende om sannolikheten att den ena inträffar inte påverkas av att den andra har inträffat eller inte.

6 Exempel utfallsrum 3 st kast mot basketkorgen. T=träff, M=miss S = {TTT, TTM, TMT, TMM, MTT, MTM, MMT, MMM} Hur många kast träffade? S = {0, 1, 2, 3}

7 Sannolikheter Sannolikhet Sannolikheten för en händelse A betecknas P(A) Om alla utfall är lika sannolika kan sannolikheten för händelsen beräknas med antal utfall i A P(A) = antal utfall i S

8 Regler för sannolikheter A och B är händelser. 1 0 P(A) 1 2 P(utfallsrummet) = 1 3 P(A C ) = 1 P(A), A C är komplementet till A, (icke A) 4 Om A och B är disjunkta så gäller P(A eller B) = P(A) + P(B) 5 Allmännt P(A eller B) = P(A) + P(B) -P(A och B) 6 Om A och B är oberoende så gäller P(A och B) = P(A)P(B)

9 Exempel tärningskast S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} U = {1, 3, 5}, L = {1, 2} U och L är ej disjunkta P(U) = 3/6, P(L) = 2/6, P(U och L) = P({1}) = 1/6 P(U eller L) = P({1, 2, 3, 5}) = P(U) + P(L) P(U och L) = = 3/6 + 2/6 1/6 = 4/6

10 Exempel två tärningskast Kasta två tärningar. Vad är sannolikheten att summan blir 5? Vad blir utfallsrummet (36 möjliga utfall)? Sannolikheten för varje utfall är 1/36. P(Summan blir 5) = P(1,4) + P(2,3) + P(3,2) + P(4,1) = 4 / 36 = 0.111

11 Exempel 1 Vid tillverkning av en viss typ av byggelement kan två slags fel, A och B, uppkomma hos de tillverkade enheterna. Man vet att P(A)=0.1, P(B)=0.2 och P(A och B)=0.05. Beräkna sannolikhet att en tillverkad enhet har a) Något fel, Svar: 0.25 b) felet A men inte felet B, Svar: 0.05 (Obs! A och B ej oberoende, Löses enkelt med Venndiagram) c) felet B men inte felet A, Svar :0.15 d) exakt ett av felen A och B. Svar: 0.2

12 Exempel 2 En manlig student i Luleå väljs ut slumpmässigt. Sannolikheten att han äger en mobil är 96%, sannolikheten att han äger en cykel är 70% och sannolikheten att han äger både en mobil och en cykel är 67%. Hur stor är sannolikhet att han varken äger en mobil eller en cykel? Ange ditt svar i procent utan decimaler. Lösning: Låt M vara en händelse att han äger en mobiltelefon, P(M)=0.96 Låt C vara en händelse att han äger en cykel, P(C)=0.7 Vi vet också att P(M och C)=0.67 P(att han varken äger en mobil eller en cykel) = 1 - P(M eller C) P(M eller C) = P(M) + P(C) - P(M och C) = = 0.99 (alltså är sannoliheten = 0.01) Svar: 1 (OBS! Så ska man skriva i MapleTA.)

13 Exempel 3 I en studie av antalet defekta glödlampor ska totalt 12 lampor provas. Du ska beräkna sannolikheterna för olika händelser. Ibland är det enklare att inte direkt ta sig av den händelse som ställs, utan det kan vara lättare att beräkna sannolikheten genom en omskrivning. Para ihop sannolikheterna med omskrivningarna. i) P(högst tio defekta lampor) ii) P(minst en defekt lampa) iii) P(minst två defekta lampor) Omskrivningar a) P(minst två hela) b) 1 - P(högst en defekt lampa) c) 1 - P(ingen defekt lampa) Svar : ii c; iii b; i a