Matematisk statistik 9hp för: C,D,I, Pi
|
|
- Emilia Bengtsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Matematisk statistik 9hp för: C,D,I, Pi Föreläsning 1, Sannolikhet Stas Volkov September 12, 2017 Stanislav Volkov FMSF45 F1: Sannolikhet 1/27
2 Tillämpningar Praktiska detaljer Matematisk statistik slumpens matematik Sannolikhetsteori: Hur beskriver man slumpen? Statistikteori: Vilka slutsatser kan man dra av ett datamaterial? Stanislav Volkov FMSF45 F1: Sannolikhet 2/27
3 Tillämpningar Praktiska detaljer Slumpmässig Variation Inom population Mätosäkerhet Stanislav Volkov FMSF45 F1: Sannolikhet 3/27
4 Tillämpningar Praktiska detaljer Vad kan vi veta om slumpmässig variation? Inte exakt vad som ska hända, men hur ofta olika saker händer. Vad vi kan säga är hur sannolika olika händelser är. Stanislav Volkov FMSF45 F1: Sannolikhet 4/27
5 Tillämpningar Praktiska detaljer Tillämpningar för matematisk statistik Miljö Ozonlagret bild Våghöjd bild Ekonomi Aktiedata bild Försäkringar bild Signalbehandling EEG/EKG bild Hitta sprängämnen bild Hitta narkotika bild Stanislav Volkov FMSF45 F1: Sannolikhet 5/27
6 Tillämpningar Praktiska detaljer Tillämpningar för matematisk statistik (forts) Mobil kommunikation Elmarknad Försäkringar Spel/Lotterier Biologi Geologi osv Stanislav Volkov FMSF45 F1: Sannolikhet 6/27
7 Tillämpningar Praktiska detaljer Praktiska detaljer Ny kurs på 9hp. Äldre årskullar som inte läst eller inte är godkända på FMS012, ska kontakta programmet! Kräver 12 hp inom Endim och/eller Flerdim och/eller Linalg. Vi inväntar augustitentorna innan vi kastar ut er från kursen. 1 föreläsningar i veckan med några undantag se 1 räkneövning i veckan 4 obligatoriska datorövningar 1 obligatoriskt färdighetsprov (deadline: se hemsida) skriftlig tentamen 11 januari 2018 Kurshemsida: Föreläsare: Stanislav Volkov, MH:316 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 7/27
8 Venn Ex Kolmogorov Frekvens Grundläggande sannolikhetsteori Grundläggande begrepp Utfall resultatet av ett slumpmässigt försök. Bet. ω 1, ω 2,... Händelse en samling av ett eller flera utfall. Bet. A, B,... Utfallsrum mängden av möjliga utfall. Bet Ω Stanislav Volkov FMSF45 F1: Sannolikhet 8/27
9 Venn Ex Kolmogorov Frekvens Exempel: Tärningskast Ex. Kasta en tärning. Utfallsrum Ω = {1:a, 2:a, 3:a, 4:a, 5:a, 6:a} En händelse A : Minst 4:a = {4:a, 5:a, 6:a} B : Högst 5:a = {1:a, 2:a, 3:a, 4:a, 5:a} C : 3:a = {3:a} Ex. Kasta två tärningar. Ej uppenbart hur man skall välja utfallsrum. T.ex. Ω = {(1, 1), (1, 2),..., (6, 6)}. Totalt 36 utfall. Om man bara är intresserad av summan: Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. 11 utfall. Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 9/27
10 Venn Ex Kolmogorov Frekvens Händelser Venn-diag. Mängdteori Utfallsrummet Ω Händelsen A; A inträffar Komplementhändelsen. A till A; A inträffar ej Unionhändelsen A B; A eller B eller båda inträffar Snitthändelsen A B = AB; både A och B inträffar A och B oförenliga hndlser; kan ej inträffa samtidigt Grundmängden Delmängden A Komplementet A till A Unionen A B Snittet A B A och B disjunkta Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 10/27
11 Venn Ex Kolmogorov Frekvens Exempel (kasta en tärning rep, forts) A : Minst 4:a = {4:a, 5:a, 6:a} B : Högst 5:a = {1:a, 2:a, 3:a, 4:a, 5:a} C : 3:a = {3:a} Några exempel på snitt och union A B = {4:a, 5:a} A B = Ω B C = C = {3:a} A C = {} =. Kan inte inträffa, eftersom A och C är oförenliga. Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 11/27
12 Venn Ex Kolmogorov Frekvens Sannolikhet Sannolikheten att en händelse A skall inträffa bet. P(A) En sannolikhet måste uppfylla följande, Kolmogorovs axiomsystem: 0 P(A) 1 (En sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1) P(Ω) = 1 (Sannolikheten att något skall hända är 1) P(A B) = P(A) + P(B) såvida A och B är oförenliga Därav följer att även t.ex. Komplementsatsen P(A ) = 1 P(A). Om det är slh 1/100 att vinna på ett lotteri är slh 99/100 att inte vinna. Additionssatsen P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) OBS! 3:e axiomet borde faktiskt hålla för även uppräknelig mängd av A i : P(A 1 A 2... ) = i=1 P(A i) ifall A i är parvis oförenliga Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 12/27
13 Venn Ex Kolmogorov Frekvens Frekvenstolkning av sannolikhet Upprepa ett slumpmässigt försök n gånger Antal ggr A inträffar n P(A), n Ex Kasta tre tärningar ggr och räkna ut relativa frekvensen treor i varje kast för var och en av tärningarna 1 Relativa frekvensen av antal treor Relativ frekvens Antal tärningskast 1/6? Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 13/27
14 Venn Ex Kolmogorov Frekvens Den klassiska sannolikhetsdefinitionen Om ett försök kan utfalla på m möjliga sätt som alla är lika sannolika (har vi en likformig sannolikhetsfördelning) och en händelse A inträffar vid g st av dessa gäller P(A) = g m Ex Dra ett kort ur en kortlek. Vad är sannolikheten att det är ett hjärter? Lsg Det finns m = 52 kort varav g = 13 är hjärter så P( ) = 13/52 = 1/4 Ex Dra två. Vad är sannolikheten att båda är hjärter? Lsg Med lite kombinatorik blir det lite mer komplicerat P(båda ) = ( 13 ) Antal sätt att välja två Antal sätt att välja två kort = 2 ) = = 1 17 ( 52 2 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 14/27
15 Bayes Oberoende Flera händelser Betingad sannolikhet Ex. För en tärning har vi P(Etta) = 1/6, men om vi vet att utfallet är udda får vi P(Etta om udda utfall) = 1/3. Def. Den betingade sannolikheten att A skall inträffa om vi vet att B inträffat betecknas P(A B) och definieras som P(A B) = P(A B) P(B) Ur detta (och P(B A)) får vi två räkneregler för P(A B) P(A B) = P(A B) P(B) = P(B A) P(A) Ex (igen) Dra två kort. Vad är sannolikheten att båda är hjärter? Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 15/27
16 Bayes Oberoende Flera händelser Betingad risk Stanislav Volkov FMSF45 F1: Sannolikhet 16/27
17 Bayes Oberoende Flera händelser Satsen om total sannolikhet Om vi har n st händelser H 1,..., H n som är Parvis oförenliga, dvs H i H j =, i j n Tillsammans täcker utfallsrummet, dvs H i = Ω gäller för varje händelse A i=1 P(A) = n P(A H i ) P(H i ) i=1 samt Konsten att vända en betingad sannolikhet eller Bayes sats P(H i A) = P(H i A) P(A) = P(A H i) P(H i ) P(A) Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 17/27
18 Bayes Oberoende Flera händelser Oberoende händelser Om det visar sig att P(A B) = P(A), påverkas inte A av att B inträffat eller ej, de är oberoende. Detta kan med definitionen av betingad sannolikhet skrivas om som P(A B) = P(A) P(B). Def. Händelserna A och B är oberoende av varandra P(A B) = P(A) P(B) Obs. Skilj mellan oberoende och oförenliga. Kan två oberoende händelser vara oförenliga? Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 18/27
19 Bayes Oberoende Flera händelser Exempel: Oberoende Kasta två tärningar och låt A = Första tärningen visar sexa B = Summan är sju C = Summan är åtta Vilka av händelserna A, B och C är oberoende av varandra? 6 A B C 5 Tärning Tärning 1 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 19/27
20 Bayes Oberoende Flera händelser Alla, ingen och någon Om vi har n st oberoende händelser A 1,..., A n kan vi räkna ut sannolikheten att alla inträffar P(A 1 A n ) = P(A 1 )... P(A n ) ingen inträffar, dvs alla inträffar inte P(A 1 A n) = P(A 1 )... P(A n) = = [1 P(A 1 )]... [1 P(A n )] någon inträffar, dvs minst en, eller inte ingen P(A 1 A n ) = 1 P(A 1 A n) = = 1 [1 P(A 1 )]... [1 P(A n )] Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 20/27
21 Ozon i Dobson enheter Tillbaka Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 21/27
22 Våghöjd Tillbaka Stanislav Volkov FMSF45 F1: Sannolikhet 22/27
23 OMXS30 aktieindex Tillbaka OMXS Stanislav Volkov FMSF45 F1: Sannolikhet 23/27
24 Kostnad stormskador Tillbaka Stanislav Volkov FMSF45 F1: Sannolikhet 24/27
25 EKG och R-R variation Tillbaka Stanislav Volkov FMSF45 F1: Sannolikhet 25/27
26 Detektion av sprängämne Tillbaka Stanislav Volkov FMSF45 F1: Sannolikhet 26/27
27 NQR signal meta-amfetamin Tillbaka Stanislav Volkov FMSF45 F1: Sannolikhet 27/27
Matematisk statistik 9 hp för I, Pi, C, D och fysiker Föreläsning 1: Introduktion och Sannolikhet
Matematisk statistik 9 hp för I, Pi, C, D och fysiker Föreläsning 1: Introduktion och Sannolikhet Anna Lindgren 30+31 augusti 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 1/27 Praktiska
Läs merFöreläsning 1, Matematisk statistik Π + E
Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Föreläsning 1, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 4 november 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F1 1/26 Introduktion Sannolikhetsteori
Läs merFöreläsning 1, Matematisk statistik för M
Föreläsning 1, Matematisk statistik för M Erik Lindström 23 mars 2015 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 1/30 Tillämpningar Praktiska detaljer Matematisk statistik slumpens matematik Sannolikhetsteori:
Läs merFMS012/MASB03: Matematisk statistik 9.0 hp för F+fysiker Föreläsning 1: Sannolikhet
FMS012/MASB03: Matematisk statistik 9.0 hp för F+fysiker Föreläsning 1: Sannolikhet Anna Lindgren 18 januari 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 1/27 Tillämpningar Praktiska
Läs merMatematisk statistik - Slumpens matematik
Matematisk Statistik Matematisk statistik är slumpens matematik. Började som en beskrivning av spel, chansen att få olika utfall. Brevväxling mellan Fermat och Pascal 1654. Modern matematisk statistik
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker. Matematisk statistik slumpens matematik. Tillämpningar för matematisk statistik.
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 1 Johan Lindström 4 september 2018 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F1 2/29 Matematisk statistik slumpens matematik Sannolikhetsteori:
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Grundbegrepp, axiomsystem, betingad sannolikhet, oberoende händelser, total sannolikhet, Bayes sats Uwe Menzel uwe.menzel@slu.se 23 augusti 2017 Slumpförsök Ett försök
Läs merUtfall, Utfallsrummet, Händelse. Sannolikhet och statistik. Utfall, Utfallsrummet, Händelse. Utfall, Utfallsrummet, Händelse
Utfall, Utfallsrummet, Händelse Sannolikhet och statistik Sannolikhetsteorins grunder HT 2008 Uwe.Menzel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Denition 2.1 Resultatet av ett slumpmässigt försök kallas
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, BETINGAD SANNOLIKHETER, OBEROENDE. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 2 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, BETINGAD SANNOLIKHETER, OBEROENDE HÄNDELSER Tatjana Pavlenko 26 mars, 2015 SANNOLIKHETSGRUNDER (REPETITION) Slumpförsöket
Läs merKolmogorovs Axiomsystem Kolmogorovs Axiomsystem Varje händelse A tilldelas ett tal : slh att A inträar Sannolikheten måste uppfylla vissa krav: Kolmog
Slumpvariabel (Stokastisk variabel) Resultat av ett slumpförsök - utgången kann inte kontrolleras Sannolikhet och statistik Sannolikhetsteorins grunder VT 2009 Resultatet kan inte förutspås, men vi vet
Läs merKap 2: Några grundläggande begrepp
Kap 2: Några grundläggande begrepp Varför sannolikhetslära är viktigt? Vad menar vi med sannolikhetslära? Träddiagram? Vad är den klassiska, empiriska och subjektiva sannolikheten? Vad menar vi med de
Läs merMatematisk statistik fo r B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Beskriva Data Florence Nightingale.
Matematisk statistik fo r B, K, N, BME och Kemister Fo rela sning 1 Johan Lindstro m 28 augusti 2017 Johan Lindstro m - johanl@maths.lth.se FMSF70/MASB02 F1 2/18 Tilla mpningar Matematisk statistik slumpens
Läs merMatematisk statistik for B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Beskriva Data Florence Nightingale. Forel.
Matematisk statistik for B, K, N, BME och Kemister asning Forel 1 Johan Lindstrom 29 augusti 2016 Johan Lindstr om - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F1 2/21 Till ampningar Matematisk statistik slumpens
Läs merFöreläsning 2. Kapitel 3, sid Sannolikhetsteori
Föreläsning 2 Kapitel 3, sid 47-78 Sannolikhetsteori 2 Agenda Mängdlära Kombinatorik Sannolikhetslära 3 Mängdlära Används för att hantera sannolikheter Viktig byggsten inom matematik och logik Utfallsrummet,
Läs merStatistik. Det finns tre sorters lögner: lögn, förbannad lögn och statistik
Statistik Statistik betyder ungefär sifferkunskap om staten Statistik är en gren inom tillämpad matematik som sysslar med insamling, utvärdering, analys och presentation av data eller information. Verkligheten
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, STATISTIK BETINGADE SANNOLIKHETER, OBEROENDE. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 2 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, BETINGADE SANNOLIKHETER, OBEROENDE HÄNDELSER Tatjana Pavlenko 30 augusti, 2016 SANNOLIKHETSGRUNDER (REPETITION) Slumpförsöket
Läs merF2 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT )
Stat. teori gk, ht 2006, JW F2 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT 4.1-4.2) Ordlista till NCT Random experiment Outcome Sample space Event Set Subset Union Intersection Complement Mutually exclusive Collectively exhaustive
Läs merSF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 1 Mängdlära Grundläggande sannolikhetsteori Kombinatorik Deskriptiv statistik
SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 1 Mängdlära Grundläggande sannolikhetsteori Kombinatorik Deskriptiv statistik Jörgen Säve-Söderbergh Information om kursen Kom ihåg att
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, KORT OM BESKRIVANDE STATISTIK. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 1 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, KORT OM BESKRIVANDE STATISTIK Tatjana Pavlenko 23 mars, 2015 KURSINFORMATION Blom m.fl. Sannolokhetsteori och statistikteori
Läs mer1 Föreläsning I, Vecka I: 5/11-11/11 MatStat: Kap 1, avsnitt , 2.5
1 Föreläsning I, Vecka I: 5/11-11/11 MatStat: Kap 1, avsnitt 2.1-2.2, 2.5 Introduktion till kursen. Grundläggande sannolikhetslära. Mängdlära, händelser, sannolikhetsmått Händelse följer samma räkneregler
Läs mer1 Föreläsning I, Mängdlära och elementär sannolikhetsteori,
1 Föreläsning I, Mängdlära och elementär sannolikhetsteori, LMA201, LMA521 1.1 Mängd (Kapitel 1) En (oordnad) mängd A är en uppsättning av element. En sådan mängd kan innehålla ändligt eller oändlligt
Läs merFöreläsning 2, FMSF45 Slumpvariabel
Föreläsning 2, FMSF45 Slumpvariabel Stas Volkov 2017-09-05 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F2: Slumpvariabel 1/23 Begrepp Samband Grundläggande begrepp och beteckningar Utfall resultatet
Läs merMatematisk Statistik och Disktret Matematik, MVE051/MSG810, VT19
Matematisk Statistik och Disktret Matematik, MVE051/MSG810, VT19 Nancy Abdallah Chalmers - Göteborgs Universitet March 25, 2019 1 / 36 1. Inledning till sannolikhetsteori 2. Sannolikhetslagar 2 / 36 Lärare
Läs merSannolikhetsteori. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 23/ /14
1/14 Sannolikhetsteori Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 23/1 2013 2/14 Dagens föreläsning Relativa frekvenser Matematik för händelser Definition av sannolikhet
Läs merSannolikhetsbegreppet
Kapitel 3 Sannolikhetsbegreppet Betrakta följande försök: Ett symmetriskt mynt kastas 100 gånger och antalet krona observeras. Antal kast 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Antal krona 6 12 16 21 25 30 34
Läs merFöreläsning 2, Matematisk statistik för M
Repetition Stok. Var. Diskret Kont. Fördelningsfnk. Föreläsning 2, Matematisk statistik för M Erik Lindström 25 mars 2015 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F2 1/16 Repetition Stok. Var. Diskret
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 1. Jan Grandell & Timo Koski 01.09.2008 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 01.09.2008 1 / 48 Inledning Vi ska först ge några exempel på
Läs merTAMS79: Föreläsning 1 Grundläggande begrepp
TMS79: Föreläsning 1 Grundläggande begrepp Johan Thim 31 oktober 2018 1.1 Begrepp Ett slumpförsök är ett försök där resultatet ej kan förutsägas deterministiskt. Slumpförsöket har olika möjliga utfall.
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende Jan Grandell & Timo Koski 14.01.2013 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 14.01.2013 1 / 25 Repetition:
Läs merIntroduktion till sannolikhetslära. Människor talar om sannolikheter :
F9 Introduktion till sannolikhetslära Introduktion till sannolikhetslära Människor talar om sannolikheter : Sannolikheten att få sju rätt på Lotto Sannolikheten att få stege på en pokerhand Sannolikheten
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 1
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 1 Sannolikhetslära (LLL Kap 5) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course,
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel Anna Lindgren 6+7 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F2: Slumpvariabel 1/23 Begrepp Samband Grundläggande begrepp Utfall
Läs merFöreläsning 1. Grundläggande begrepp
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 2009) Föreläsning 1 Sannolikhetsteori (LLL Kap 5) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course,
Läs merF3 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT ) För komplementhändelsen A till händelsen A gäller att
Stat. teori gk, ht 2006, JW F3 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT 4.3-4.4) Ordlista till NCT Complement rule Addition rule Conditional probability Multiplication rule Independent Komplementsatsen Additionssatsen Betingad
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Grundbegrepp, axiomsystem, betingad sannolikhet, oberoende händelser, total sannolikhet, Bayes sats Uwe Menzel, 2018 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de
Läs merFöreläsning G70, 732G01 Statistik A
Föreläsning 3 732G70, 732G01 Statistik A Introduktion till sannolikhetslära Sannolikhetslära: område inom statistiken där vi studerar experiment vars utfall beror av slumpen Sannolikhet: numeriskt värde
Läs merStatistikens grunder HT, dagtid Statistiska institutionen
Statistikens grunder 1 2013 HT, dagtid Statistiska institutionen Orsak och verkan N Kap 2 forts. Annat ord: kausalitet Något av det viktigaste för varje vetenskap. Varför? Orsakssamband ger oss möjlighet
Läs merFinansiell statistik, vt-05. Sannolikhetslära. Mängder En mängd är en samling element (objekt) 1, 2,, F2 Sannolikhetsteori. koppling till verkligheten
Johan, Koskinen, Statistiska institutionen, Stockholms universitet Finansiell statistik, vt-05 F2 Sannolikhetsteori Sannolikhetslära koppling till verkligheten mängdlära räkna med sannolikheter definitioner
Läs merTMS136. Föreläsning 2
TMS136 Föreläsning 2 Slumpförsök Med slumpförsök (random experiment) menar vi försök som upprepade gånger utförs på samma sätt men som kan få olika utfall Enkla exempel är slantsingling och tärningskast
Läs merSannolikhetslära. 1 Enkel sannolikhet. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Sannolikhet och relativ frekvens. Marco Kuhlmann
Marco Kuhlmann Detta kapitel behandlar grundläggande begrepp i sannolikhetsteori: enkel sannolikhet, betingad sannolikhet, lagen om total sannolikhet och Bayes lag. 1 Enkel sannolikhet Den klassiska sannolikhetsteorin,
Läs merhändelsen som alltid inträffar. Den tomma mängden representerar händelsen som aldrig inträffar.
Marco Kuhlmann Detta är en kompakt sammanfattning av momentet sannolikhetslära som ingår i kurserna Matematik 1b och 1c på gymnasiet. 1 Grundläggande begrepp 1.01 När vi singlar slant eller kastar tärning
Läs merReliability analysis in engineering applications
Reliability analysis in engineering applications Fredrik Carlsson Sannolikhetsteorins grunder Fördelningar och stokastiska variabler Extremvärdesfördelningar Simulering Structural Engineering - Lund University
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 1. Jan Grandell & Timo Koski 19.01.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 19.01.2016 1 / 65 Många tänker på tabeller 1 när de hör ordet statistik.
Läs merFöreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 2 HT07
Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 2 HT07 Bengt Ringnér August 31, 2007 1 Inledning Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna. 2 Händelser och sannolikheter
Läs merSF1914/SF1916: SANNOLIKHETSTEORI OCH GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, STATISTIK KORT OM BESKRIVANDE STATISTIK. Tatjana Pavlenko.
SF1914/SF1916: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 1 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, KORT OM BESKRIVANDE STATISTIK Tatjana Pavlenko 27 augusti, 2018 KURSINFORMATION Blom m.fl. Sannolikhetsteori
Läs mer3 Grundläggande sannolikhetsteori
3 Grundläggande sannolikhetsteori Ämnet sannolikhetsteori har sin grund i studier av hasardspel utförda under 1500- och 1600-talen av bland andra Gerolamo Cardano, Pierre de Fermat och Blaise Pascal. Mycket
Läs merTMS136. Föreläsning 1
TMS136 Föreläsning 1 Varför? Om vi gör mätningar vill vi kunna modellera och kvantifiera de osäkerheter som obönhörligen finns Om vi handlar med värdepapper vill kunna modellera och kvantifiera de risker
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende Jan Grandell & Timo Koski 21.01.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 21.01.2016 1 / 39 Lärandemål Betingad
Läs merSatsen om total sannolikhet och Bayes sats
Satsen om total sannolikhet och Bayes sats Satsen om total sannolikhet Ibland är det svårt att direkt räkna ut en sannolikhet pga att händelsen är komplicerad/komplex. Då kan man ofta använda satsen om
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 3 4 november 2016 1 / 28 Idag Förra gången Stokastiska variabler (Kap. 3.2) Diskret stokastisk variabel (Kap. 3.3 3.4) Kontinuerlig stokastisk
Läs merKombinatorik och sannolikhetslära
Grunder i matematik och logik (2018) Kombinatorik och sannolikhetslära Marco Kuhlmann Sannolikhetslära Detta avsnitt är för det mesta en kompakt sammanfattning av momentet sannolikhetslära som ingår i
Läs merS0007M Statistik2: Slumpmodeller och inferens. Inge Söderkvist
Föreläsning 1 4.1 Slumpässighet 4.2 Sannolikhetsmodeller Viktiga grundbegrepp Slumpmässig (eng: random) Ett fenomen är slumpmässigt om individuella resultat är osäkra, men resultat alltid förekommer med
Läs merStatistisk slutledning (statistisk inferens): Sannolikhetslära: GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSLÄRA. Med utgångspunkt från ett stickprov
OSÄKERHET Sannolikhetslära: Om det i ett område finns 32 % med universitetsexamen, vad är sannolikheten att ett stickprov kommer att innehålla 31-33 % med universitetsexamen? Om medelåldern i en population
Läs merSF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 23 mars, 2018
SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 3 DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 23 mars, 2018 PLAN FÖR DAGENSFÖRELÄSNING Repetition av betingade sannolikheter, användbara satser
Läs merMatematisk statistik
Matematisk statistik för STS vt 2004 2004-03 - 23 Bengt Rosén Matematisk statistik Ämnet matematisk statistik omfattar de två delområdena Sannolikhetsteori Statistikteori Bloms A - bok behandlar sannolikhetsteori,
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende Jan Grandell & Timo Koski 21.01.2015 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 21.01.2015 1 / 1 Repetition:
Läs merÖvning 1 Sannolikhetsteorins grunder
Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder Två händelser A och B är disjunkta om {A B} =, det vill säga att snittet inte innehåller några element. Om vi har en mängd händelser A 1, A 2, A 3,..., A n, vilka är
Läs merStatistik 1 för biologer, logopeder och psykologer
Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data
Läs merIntroföreläsning i S0001M Matematisk statistik Läsperiod 2, HT 2018
Introföreläsning i S0001M Matematisk statistik Läsperiod 2, HT 2018 Mykola Shykula Luleå tekniska universitet 5 november 2018 Gruppindelning och lärare Gruppindelning Grupp A: 30 st Arkitekt (TCARA), 20
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Exempel: Utsläpp från Källby reningsverk.
Mtemtisk sttistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 1 John Lindström 1 september 2014 John Lindström - johnl@mths.lth.se FMS086/MASB02 F1 2/26 Exempel Tillämpningr Signlbehndling Mtemtisk sttistik
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, STATISTIK KORT OM BESKRIVANDE STATISTIK. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 1 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, KORT OM BESKRIVANDE STATISTIK Tatjana Pavlenko 28 augusti, 2017 KURSREGISTRERING Det är viktigt att du kursanmäler
Läs merIntroföreläsning i S0001M, Matematisk statistik LP3 VT18
föreläsning i S0001M, Matematisk statistik LP3 VT18 Luleå tekniska universitet 15 januari 2018 Gruppindelning och lärare Gruppindelning Grupp A - Datateknik, Väg- och vatten (Mykola) Grupp B - Ind. ekonomi,
Läs merInstitutionen för lingvistik och filologi VT 2014 (Marco Kuhlmann 2013, tillägg och redaktion Mats Dahllöf 2014).
UPPSALA UNIVERSITET Matematik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 (Marco Kuhlmann 2013, tillägg och redaktion Mats Dahllöf 2014). 9 Sannolikhet Detta kapitel
Läs merStatistiska metoder för säkerhetsanalys
Anna Lindgren Matematisk statistik 2 september 2013 Formalia Syfte och Mål Om kursen Kursen ger 7.5 hp och är obligatorisk på Riskhantering. Förutsätter en grundläggande kurs i statistik/matematisk statistik.
Läs merFöreläsning 1: Introduktion
Föreläsning 1: Introduktion Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology March 22, 2014 Lärare och kurslitteratur David Bolin: Rum: E-mail: Fredrik Boulund: Rum: E-mail: Kursansvarig,
Läs merTMS136. Föreläsning 2
TMS136 Föreläsning 2 Sannolikheter För en händelse E skriver vi sannolikheten att E inträffar som P(E) För en händelse E skriver vi sannolikheten att E inte inträffar som P(E ) Exempel Låt E vara händelsen
Läs merSTOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar
2007-10-08 sida 1 # 1 STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar Sven Erick Alm och Tom Britton Typsatt med liber1ab 2007-10-08 1 2007-10-08 sida 2 # 2 2007-10-08 sida i # 3 Innehåll
Läs merExempel: Väljarbarometern. Föreläsning 1: Introduktion. Om Väljarbarometern. Statistikens uppgift
Exempel: Väljarbarometern Föreläsning 1: Introduktion Matematisk statistik Det som typiskt karakteriserar ett statistiskt problem är att vi har en stor grupp (population) som vi vill analysera. Vi kan
Läs merFöreläsning 1: Introduktion
Föreläsning 1: Introduktion Matematisk statistik Chalmers University of Technology Mars 23, 2015 Lärare och kurslitteratur : Rum: E-mail: Anders Hildeman: Rum: E-mail: Kursansvarig och föreläsare H3018
Läs merFöreläsning G70 Statistik A
Föreläsning 2 732G70 Statistik A Introduktion till sannolikhetslära Sannolikhetslära: område inom statistiken där vi studerar experiment vars utfall beror av slumpen Sannolikhet: numeriskt värde (mellan
Läs merTMS136. Föreläsning 1
TMS136 Föreläsning 1 Varför? Om vi gör mätningar vill vi modellera och kvantifiera de osäkerheter som obönhörligen finns Om vi handlar med värdepapper vill vi modellera och kvantifiera de risker som finns
Läs merKURSPROGRAM HT-18 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR D, I OCH PI, FMSF45 & MASB03
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK KURSPROGRAM HT-18 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR D, I OCH PI, FMSF45 & MASB03 Allmänt Kursen ger 9hp och omfattar 36 timmar föreläsning, 28 timmar
Läs mer7-1 Sannolikhet. Namn:.
7-1 Sannolikhet. Namn:. Inledning Du har säkert hört ordet sannolikhet förut. Hur sannolikt är det att få 13 rätt på tipset eller 7 rätt på lotto? I detta kapitel skall du lära dig vad sannolikhet är för
Läs merFöreläsning 1: Introduktion
Föreläsning 1: Introduktion Matematisk statistik Chalmers University of Technology August 29, 2016 Lärare : Rum: E-mail: Anders Hildeman: Rum: E-mail: Sandra Eriksson Barman: Rum: E-mail: Kursansvarig
Läs mer{ } { } En mängd är en samling objekt A = 0, 1. Ex: Mängder grundbegrepp 5 C. Olof M C = { 7, 1, 5} M = { Ce, Joa, Ch, Je, Id, Jon, Pe}
Mängder grundbegrepp En mängd är en samling objekt Ex: { } { } A = 0, 1 B = 0 C = { 7, 1, 5} tomma mängden (har inga element) D = { 1, 2, 3,, 10} M = { Ce, Joa, Ch, Je, Id, Jon, Pe} kallas element i mängden
Läs merFöreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar
Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F8: Statistikteori 1/20 Översikt Exempel Repetition Exempel Matematisk statistik
Läs merSannolikhetslära och statistik, grundkurs
DNR LIU-2018-02499 1(5) Sannolikhetslära och statistik, grundkurs Programkurs 6 hp Probability and Statistics, First Course TAMS42 Gäller från: 2019 VT Fastställd av Programnämnden för data- och medieteknik,
Läs merSannolikhetslära. 1 Grundläggande begrepp. 2 Likformiga sannolikhetsfördelningar. Marco Kuhlmann
Marco Kuhlmann Detta är en kompakt sammanfattning av momentet sannolikhetslära som ingår i kurserna Matematik 1b och 1c på gymnasiet. I slutet av dokumentet hittar du uppgifter med vilka du kan testa om
Läs merFöreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012
Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår
Läs merBetingad sannolikhet och oberoende händelser
Kapitel 5 Betingad sannolikhet och oberoende händelser Betrakta ett försök med ett ändligt utfallsrum Ω och en händelse A vid detta försök. Definitionsmässigt gäller att A Ω och försökets utfall ligger
Läs mer1.1 Diskret (Sannolikhets-)fördelning
Föreläsning III. Diskret (Sannolikhets-)fördelning Med diskret menas i matematik, att något antar ett ändligt antal värden eller uppräkneligt oändligt med värden e.vis {, 2, 3,...}. Med fördelning menas
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 1. Jan Grandell & Timo Koski 19.01.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 19.01.2016 1 / 70 Många tänker på tabeller 1 när de hör ordet statistik.
Läs merSF1911: Statistik för bioteknik
SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 3. TK 3.11.2017 TK Matematisk statistik 3.11.2017 1 / 53 Probability: What is it? Probability is a number between 0 and 1 that predicts the (relative) frequency
Läs merKapitel 1. betecknas detta antal med n(a). element i B; bet. A B. Den tomma mängden är enligt överenskommelsen en delmängd. lika; bet. A = B.
Kapitel 1 Mängdlära Begreppet mängd är fundamentalt i vårt tänkande; en mängd är helt allmänt en samling av objekt, vars antal kan vara ändligt eller oändligt. I matematiken kallas dessa objekt mängdens
Läs merExempel för diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler
Stokastisk variabel ( slumpvariabel) Sannolikhet och statistik Stokastiska variabler HT 2008 Uwe.Menzel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Stokastisk variabel, slumpvariabel (s.v.): Funktion: Resultat
Läs merFöreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden
Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden Stas Volkov 2017-09-19 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 1/18 2D stokastisk variabel Tvådimensionella stokastisk variabel (X, Y)
Läs merKURSPROGRAM HT-10 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDI, FMS 012
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK KURSPROGRAM HT-10 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDI, FMS 012 Hemsida Kursens hemsida finns på http://www.maths.lth.se/matstat/kurser/fms012/
Läs merF5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4)
Stat. teori gk, ht 006, JW F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.1-5.3, samt del av 5.4) Ordlista till NCT Random variable Discrete Continuous Probability distribution Probability distribution function Cumulative
Läs mer4 Diskret stokastisk variabel
4 Diskret stokastisk variabel En stokastisk variabel är en variabel vars värde bestäms av utfallet av ett slumpmässigt försök. En stokastisk variabel betecknas ofta med X, Y eller Z (i läroboken används
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Diskreta fördelningar Uwe Menzel, 2018 www.matstat.de Begrepp fördelning Hur beter sig en variabel slumpmässigt? En slumpvariabel (s.v.) har en viss fördelning, d.v.s.
Läs merFöreläsning 12: Repetition
Föreläsning 12: Repetition Marina Axelson-Fisk 25 maj, 2016 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI Grundläggande sannolikhetsteori Utfall = resultatet av ett försök Utfallsrum S = mängden av alla utfall Händelse
Läs merVälkommen till Matematik 3 för lärare!
Välkommen till Matematik 3 för lärare! Nu: Statistik för lärare + Linjär algebra + datorlabbar Antagen? Registrerad? För er som läser första ämnet nu (MAxx eller FYMA): Hållbar Utveckling med Människan
Läs merValfritt läromedel för kurs Matematik B Exempel: Räkna med Vux B, Gleerups förlag. Tag kontakt med examinator om du har frågor
Våren 010 PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik B Kurskod MA 10 Gymnasiepoäng 50 Läromedel Prov Muntligt prov Valfritt läromedel för kurs Matematik B Exempel: Räkna med Vux B, Gleerups förlag Skriftligt
Läs merSlumpvariabler och sannolikhetsfördelningar
och sannolikhetsfördelningar Föreläsning 4 Sannolikhet och Statistik 5 hp Fredrik Jonsson April 2010 Översikt 1. Verklighetsanknutna exempel. Definition relativt utfallsrum. 2. Sannolikhetsfördelningar
Läs mer4.1 Grundläggande sannolikhetslära
4.1 Grundläggande sannolikhetslära När osäkerhet förekommer kan man aldrig uttala sig tvärsäkert. Istället använder vi sannolikheter, väntevärden, standardavvikelser osv. Sannolikhet är ett tal mellan
Läs merSannolikhetslära till pdf.notebook. May 04, 2012. Sannolikhetslära. Kristina.Wallin@kau.se
May 0, 0 Sannolikhetslära Kristina.Wallin@kau.se May 0, 0 Centralt innehåll Sannolikhet Åk Slumpmässiga händelser i experiment och spel. Åk 6 Sannolikhet, chans och risk grundat på observationer, experiment
Läs merF9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT
Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion
Läs mer14.1 Diskret sannolikhetslära
14.1 Diskret sannolikhetslära 14.1.1 Utfallsrum och händelser Vi ska här studera slumpmässiga försök med ändligt många utfall, resultat. Mängden av utfall kallas försökets utfallsrum. Varje delmängd av
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 2009) Föreläsning 2. Diskreta Sannolikhetsfördelningar. (LLL Kap 6) Stokastisk Variabel
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 009) Föreläsning Diskreta (LLL Kap 6) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course, 7,5 ECTS,
Läs mer