Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker. Matematisk statistik slumpens matematik. Tillämpningar för matematisk statistik.

Transkript

1 Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 1 Johan Lindström 4 september 2018 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F1 2/29 Matematisk statistik slumpens matematik Sannolikhetsteori: Hur beskriver man slumpen? Statistikteori: Vilka slutsatser kan man dra av ett datamaterial? Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F1 3/29 Tillämpningar för matematisk statistik Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F1 4/29

2 Kostnad stormskador Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F1 5/29 Översvämningar Södra Nederländerna 1953 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F1 6/29 OMXS30 aktieindex OMXS Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F1 7/29

3 EKG och R-R variation Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F1 8/29 Careercast The Best Jobs of 2017 & Statistician 2. Medical Services Manager 3. Operations Research Analyst 5. Data Scientist 7. Mathematician Genetic Counselor 2. Mathematician 3. University Professor 5. Statistician 7. Data Scientist 9. Operations Research Analyst 10. Actuary Mathematicians and Data Scientists both can find lucrative opportunities in the tech space parsing and analyzing collected data. Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F1 9/29 Exjobb LUP Student Papers VT-18 (ett urval) Machine Learning: Artificial Neural Network Modelling of Intensive Care Mortality Evaluation of Data Augmentation of MR Images for Deep Learning Finans & risk: Pricing fixed price electricity contracts in the Nordic region Modelling Probability of Default in the Nordics Signalbehandling: Classification of bird syllables in noisy environments using multitapers Efficient Estimation of Decaying Sinusoids with Application in NMR Spectroscopy Modellering: Road modelling using LiDAR-data Spatio-Temporal Modelling of Air Pollution in Malta Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F1 10/29

4 Praktiska detaljer Färdighetstest Kursen går över 2 läsperioder 1+ föreläsning i veckan (2 i vecka 2 & 5). 1 räkneövning i veckan Mycket självstudietid (>10 h per vecka). Examination: 3 Godkända färdighetstest (2 i LP2, 1 i LP3). 4 Godkända datorövningar (2 i LP1, 2 i LP2). Tentamin Kurshemsida: Föreläsare: Johan Lindström, MH319 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F1 12/29 Förkunskapskrav Färdighetstest För att få läsa kursen måste man ha klarat 12 högskolepoäng inom: Linjär algebra (FMA420, FMAA20 Endimensionell analys (FMAA01, FMAA05) Flerdimensionell analys (FMA430, FMA435) innan kursen startar. Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F1 13/29 Färdighetstest Färdighetstest & Datorövningar Färdighetstest i Mozquizto Logga in med StiL-identitet Testen skall klaras (6 av 10) senast: , Måndag lv , Måndag lv , Måndag lv 6 Handledning på övningarna och i datorsal. Redovisningen sker i Mozquizto senast , Onsdag lv , Onsdag lv , Onsdag lv , Onsdag lv 7 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F1 14/29

5 Kursinnehåll En översikt Läsperiod 1 Sannolikhetsteori Grundläggande begrepp Modeller för slumpmässiga händelser Räkneregler för slumpmässiga händelser Läsperiod 2 Statistik Hur anpassar vi modeller till data? Hur bra är anpassningen? Vad kan vi dra för slutsatser från data? Finns det samband mellan olika datamaterial? Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F1 15/29 Ex Kolmogorov Frekvens Grundläggande begrepp (Kap. 2.2) Utfall resultatet av ett slumpmässigt försök. Bet. ω 1, ω 2,... Händelse en samling av ett eller flera utfall. Bet. A, B,... Utfallsrum mängden av möjliga utfall. Bet Ω Exempel: Tärningskast Utfallsrum Ω {1:a, 2:a, 3:a, 4:a, 5:a, 6:a} Utfall ω 1 1:a Händelse A Minst 4:a = {4:a, 5:a, 6:a} Utfallsrum vid kast av två tärningar? Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F1 16/29 Ex Kolmogorov Frekvens Exempel Kasta en tärning och definera händelserna A : Minst 4:a = {4:a, 5:a, 6:a} B : Högst 5:a = {1:a, 2:a, 3:a, 4:a, 5:a} C : 3:a = {3:a} Vad är: 1. A B? 2. A B? 3. A C? Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F1 17/29

6 Sannolikhet Bet. P(A) Ex Kolmogorov Frekvens Kolmogorovs axiomsystem (Kap. 2.3) 0 P(A) 1 En sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1 P(Ω) = 1 Sannolikheten att något skall hända är 1 P(A B) = P(A) + P(B) Om och endast om A och B är oförenliga Komplementsatsen: P(A ) = 1 P(A). Additionssatsen: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F1 18/29 Ex Kolmogorov Frekvens Klassiska sannolikhetsdefinitionen (Kap. 2.4) Om alla utfall är lika sannolika (likformigt sannolikhetsmått) är sannolikheten för en händelse A kvoten mellan antalet gynsamma fall, g, och antalet möjliga fall, m: P(A) = g ( = A ) m Ω Exempel: Dra två kort ur en kortlek. Vad är sannolikheten att båda är hjärter? Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F1 19/29 Ex Kolmogorov Frekvens Frekvenstolkning av sannolikhet (Kap. 2.4) Upprepa ett slumpmässigt försök n gånger Antal ggr A inträffar n P(A), då n 1 Relativa frekvensen av antal treor Relativ frekvens Antal tärningskast 1/6? Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F1 20/29

7 Betingad sannolikhet (Def. 2.6) Sannolikheten att B inträffar givet att vi observerat A är P(B A) = P(A B) P(A) Exempel: Sannolikheten att en slumpmässigt vald student är längre än 185 cm? manlig student är längre än 185 cm? Exempel: Dra två kort ur en kortlek. Vad är sannolikheten att båda är hjärter? Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F1 21/29 Satsen om total sannolikhet (Sats 2.9) Om vi har n st händelser H 1,..., H n som är Parvis oförenliga, H i H j =, i j Tillsammans täcker utfallsrummet, gäller för varje händelse A att P(A) = n H i = Ω n P(A H i )P(H i ) Bayes sats (Sats 2.10) P(H i A) = P(H i A) P(A) = P(A H i )P(H i ) n P(A H i)p(h i ) Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F1 22/29 Exemple: Bayes sats Om vi träffar en kvinnlig teknolog i årskurs 2, vilken sektion är det mest troligt att hon tillhör? Sektion F E M V K D W I P(Sek kvinna) Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F1 23/29

8 Data från LTHs antagningssystem Sektion P(kvinna Sek) Studenter F E M V K D W I tot 1044 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F1 24/29 Lagen om total sannolikhet Sektion P(kvinna Sek) P(Sek) F E M V K D W I tot 36.5 P(kvinna) = i P(kvinna Sek i ) P(Sek i ) Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F1 25/29 Sektion P( Sek) P(Sek) P(Sek ) P(Sek ) F E M V K D W I tot 36.5 P(Sek ) = P( Sek) P(Sek) P( ) Klassificering Exjobb: E. Persson (2018), Aspect-Based Opinion Mining from Swedish Digital Book Reviews Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F1 26/29

9 Oberoende händelser (Kap. 2.7) Händelserna A och B är oberoende av varandra P(A B) = P(A)P(B) För oberoende händelser gäller att P(A B) = P(A). Obs: Skilj mellan oberoende och oförenliga. Kan två oberoende händelser vara oförenliga? Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F1 27/29 Alla, ingen och någon (Kap. 2.7) Om vi har n st oberoende händelser A 1,..., A n fås följande sannolikheter för Alla: P(A 1 A n ) = Ingen: P(A 1 A n) = Minst en: n P(A i ) n (1 P(A i )) P(A 1 A n ) = 1 n (1 P(A i )) Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F1 28/29 Exempel Alla, ingen och någon Kasta 4 tärningar vad är sannolikheten att få: 1. Alla (4 stycken) 3:or? 2. Inga 5:or? 3. Minst ett udda (1:a, 3:a, 5:a) nummer? Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F1 29/29