Kap 2: Några grundläggande begrepp

Transkript

1 Kap 2: Några grundläggande begrepp Varför sannolikhetslära är viktigt? Vad menar vi med sannolikhetslära? Träddiagram? Vad är den klassiska, empiriska och subjektiva sannolikheten? Vad menar vi med de termerna: Försök, händelse, utfall, permutation och kombinatorik? Hur beräknar vi sannolikheten genom att använda additionssatsen? Vad menar vi med: betingad sannolikhet? Hur beräknar vi sannolikheten genom att använda multiplikationssatsen? 1

2 Varför sannolikhetslära är viktigt? För att kunna: dra statistiska slutsatser Används inom många vetenskaper Används till vardags 2

3 Exempel 1: Myntkastförsök Myntkast (krona, klave?): Antag att du har för avsikt att kasta ett mynt. Resultatet (utfallet) av detta slumpförsök är krona eller klave, och sannolikheten för klave är ½ vilken är sannolikheten för krona. Detta brukas skrivas på följande sätt: P(klave) = 0.5 P(krona) = 0.5 P kommer från latinets probabilitias. 3

4 Exempel 2: Tärningskastförsök Tärningskast (1,2,3,4,5,6?) När man kastar en tärning kan resultatet (utfallet) bli att sidan som hamnar upp 1, 2,, eller 6 prickar. Av symmetriskäl är sannolikheten för var och en av de 6 olika utfallen lika sannolika, vilket gör att var och en måste ha sannolikheten 1/6: P(1 prick) = P(2 prickar) = = P(6 prickar) = 1/6. 4

5 Träddiagram Ett alternativt sätt att få struktur på problemet Ett utmärkt redskap för att räkna ut sannolikheter för Ex: Dra två kort från en kortlek utan återläggning Exempel 2.1, sidan 39 5

6 Träddiagram för experimentet att dra två kort (utan återläggning) ur en kortlek 3/51 Ess 4/52 Ess 48/51 Ej Ess 4/51 Ess 48/52 Ej Ess 47/51 Ej Ess 6

7 Definitioner Försök: allmänt är att utföra någon handling och sedan invänta resultatet av den utförda handlingen Ex: att kasta en tärning och sedan notera hur många prickar som kommer up Deterministisk försök: ett försök som alltid ger samma resultat då upprepas under samma betingelser Ex: en ovanlig tärning där alla sidor har endast en prick Slumpmässigt försök: ett försök som vid upprepning under samma betingelser ger resultat som varierar från gång till gång Ex: Upprepade kast med en tärning 7

8 Definitioner forts Utfall: resultatet av ett slumpmässigt försök Ex forts: 5 prickar Utfallsrum: alla möjliga utfall som försöket kan ge Ex forts: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Händelse: en samling av ett eller flera utfall Händelser betecknas med stora bokstäver A, B, C, Ex forts: låt händelsen (A) vara att få ett jämnt antal ögon upp. A = {2, 4, 6} 8

9 Definitioner forts Sannolikhet: är ett mått på hur säkert det är att en händelse skall inträffa Sannolikheten för en händelse är ett tal mellan 0 och 1 Subjektiva sannolikheter: sannolikheter är personliga och mäter grad av övertygelse Ex: chansen är 90% att du får jobbet (enligt min bedömning) 9

10 Klassiska sannolikheten Likformig sannolikhetsfördelning: Ett slumpförsök där varje utfall har samma sannolikhet. Om det totalt finns n möjliga utfall betyder att varje utfall har sannolikheten 1/n. Klassisk sannolikhet: För en likformig sannolikhetsfördelning gäller följande P( A) = antal gynsamma utfall antal möjliga utfall Exempel 2.2, sidan 42 10

11 Empiriska sannolikheten Som baserad på relativa frekvensen, som t ex vid kast med tärning P( att få 6:a ) = antalet kast som ger 6:a / totala antalet kast 11

12 Några viktiga händelser och termer (Venn-diagram) Utfallsrummet Händelsen A, A inträffar Komplementära händelsen ~A till A, A inträffar inte Unionhändelsen, A eller B eller båda inträffar B A Snitthändelsen, både A och B inträffar B A A och B oförenliga händelser, A och B kan inte inträffa samtidigt B A 12

13 Exempel 3 Försök: kasta en tärning och notera antalet prickar som kommer upp Utfallsrum S: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Händelsen A: A = udda antal prickar dvs. A = {1, 3, 5} Händelsen B: B = antalet prickar är mindre än fyra dvs. B = {1, 2, 3} 13

14 Exempel forts Unionen: Händelsen C: C = A eller B inträffar C = A B = {1, 2, 3, 5} Snittet: Händelsen D: D = A och B inträffar D = A B = {1, 3} 14

15 Exempel forts Ibland kan vi vilja uttala oss om motsatta händelsen till A eller B eller C A c = {2, 4, 6} B c = {4, 5, 6} AUA c = S BUB c = S 15

16 Axiom 1 För varje händelse A gäller att 0 P( A) 1 16

17 Axiom 2 För hela utfallsrummet S gäller att P(S)=1 17

18 Axiom 3 Om A och B är disjunkta gäller att P( A B) = P( A) + P( B) Dessa tre axiom utgör grunden för hela sannolikhetsteorin Från axiomen kan vi t.ex. härleda följande viktiga satser: ( A ) = 1 P( A) P c P( ) = 0 18

19 Några regler för att beräkna sannolikheten Additionssatsen Komplementsatsen Betingad sannolikhet Multiplikationssatsen 19

20 Additionssatsen P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B) För disjunkta (ömsesidigt uteslutande) händelser gäller att P(A B) = 0, dvs. P(A U B) = P(A) + P(B) Ex: i exempel 3 kan P(A U B) då beräknas som P(A U B) =3/6 + 3/6 2/6 =4/6 Antal möjliga utfall P( A) = antal gynsamma utfall antal möjliga utfall 20

21 Komplementsatsen P(A) = 1 P(A c ) Ex: i exempel 3 kan P(A) då beräknas som P(A) = 1 3/6 = 3/6 Exempel 2.8, sidan 49 21

22 Betingad sannolikhet Ibland är man intresserad av att beräkna sannolikheten för en händelse A när man vet att en annan händelse B har inträffat Detta kallas för den Betingade sannolikheten för A givet att B har inträffat och definieras som P(A B) = P(A B)/P(B), P(B)>0 Betingad sannolikheten för B givet att A har inträffat P(B A) = P(A B)/P(A) 22

23 Exempel 4 I exempel 3 kan P(A B) då beräknas som P(A B) = P(A B)/P(B) = 2/6 / 3/6 = 2/3 Exempel 2.12, sidan 57 23