STA101, Statistik och kvantitativa undersökningar, A 15 p Vårterminen 2017

Transkript

1 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för ekonomi, samhälle och teknik STA101, Statistik och kvantitativa undersökningar, A 15 p Vårterminen 2017 Räknestuga 2 Förberedelser: Lyssna på föreläsningarna F4, F5 och F6 i scalable learning. Arbeta med övningarna i övningskompendiet kring sannolikhetslära. Försök att göra uppgifterna 1, 3, 4 och 5 som hör till denna räknestuga. De övriga uppgifterna kan ni inte göra i förväg för där kommer jag att dela ut siffrorna ni ska räkna från under räknestugan. Ni får istället förbereda er genom att jobba med liknande övningar i övningskompendiet. Uppgift 2 är det också meningen att ni gör under räknestugan. Under räknestugan: Arbetar ni i grupper. Vi sätter ihop grupperna i klassrummet men du bör arbeta med andra studenter än de som du samarbetade med när du förberedde dig för räknestugan. I gruppen jämför ni era lösningar på övningarna, om ni har olika lösningar diskuterar ni varför ni kom fram till olika lösningar och försöker komma fram till om någon av lösningarna är felaktig. Dessutom gör ni uppgift 2. Jag kommer att dela ut tärningar på räknestugan. Vid räknestugans slut ska varje grupp lämna in en gemensam lösning till övningarna med de lösningar som ni ansåg rimligast. Denna utgör en del av examinationsmomentet inlämningsuppgift 1. Gruppdeltagare:.,,,,,,,,,

2 Uppgift 1 Antag att man slår 4 tärningar och räknar antalet sexor a) Antalet sexor är en slumpvariabel. Vad kalls dess fördelning? Binomialfördelning. b) Beräkna medelvärdet för slumpvariabeln antal sexor =4*1/6=4/6= 0,67 c) Beräkna standardavvikelsen för slumpvariabeln antal sexor =4*1/6*5/6=20/36= 0,56 Std=0,75 d) Beräkna sannolikhetsfördelningen för slumpvariabeln antal sexor. Dvs beräkna sannolikheten för vart och ett av de fem utfallen. Fyll i svaren i kolumnen teoretisk fördelning i tabellen till uppgift 2. e) Illustrera sannolikhetsfördelningen i ett stapeldiagram. 0,6 Diagramrubrik 0,5 0,4 0,3 0,2 0, f) Ange om fördelningen är symmetrisk, negativt skev eller positivt skev. Positivt skev

3 Uppgift 2 Simulering av binomialfördelning: Kasta 4 tärningar och räkna antalet sexor. Varje gång ni kastar kan ni alltså få 0, 1, 2, 3 eller 4 sexor. Fyll i tabellen nedan. I sista kolumn en ska ni fylla i svaren på uppgift 1d ovan. (För att effektivisera rekommenderar jag att ni delar in er i två grupper så att hälften av er gör denna uppgift samtidigt som andra halvan gör uppgift?) Totalt Relativ frekvens Teoretisk sannolikhet 0 0, , , , ,0008 Uppgift 3 Antag följande sannolikheter: P(A) = 0,8 P(B) = 0,5 P(C) = 0,2 Och följande betingade sannolikheter: P(A B) = 0,8 P(A C) = 0,4 P(B A) = 0,5 P(B C) = 0,5 P(C A) = 0,1 P(C B) = 0,2 a) Är A och B beroende händelser? Motivera ditt svar Nej eftersom P(A) = P(A B) b) Är A och C beroende händelser? Motivera ditt svar Ja eftersom P(A) P(A C) c) Beräkna sannolikheten att båda A och C inträffar, d.v.s. P(A och C). 0,08 d) Beräkna sannolikheten att åtminstone en av A och C inträffar, d.v.s. P(A eller C). 0,92 e) Beräkna sannolikheten att C inte inträffar 0,8 f) Är A och C ömsesidigt uteslutande händelser? Nej eftersom de kan hända samtidigt.

4 Uppgift 4 Av de anställda på en vintersportanläggning är 60 procent kvinnor och 40 procent män. Av kvinnorna jobbar 30 % på hotellet, 45 % i liftarna och resten i skiduthyrningen. Av männen jobbar 50 % på hotellet, 20 % i skiduthyrningen och resten i liftarna. a) Illustrera personalsammansättningen i korstabeller med relativa frekvenser. En tabell där alla celler summerar till 1, en tabell där kolumnsummorna är 1 och en tabell där radsummorna är 1. b) Om man väljer ut en anställd slumpmässigt, vad är sannolikheten att det är en kvinna som jobbar i skiduthyrningen? c) Om man väljer ut en anställd slumpmässigt, vad är sannolikheten att det är en anställd som jobbar i liftarna? d) Om man väljer ut en kvinna slumpmässigt vad är sannolikheten att hon jobbar i skiduthyrningen? e) Är kön och arbetsplats oberoende variabler i populationen de anställda på denna vintersportanlägging? kvinnor Män kvinnor Män kvinnor Män hotell 0,18 0,20 0,38 hotell 0,47 0,53 1 hotell 0,30 0,50 0,38 liftar 0,27 0,12 0,39 liftar 0,69 0,31 1 liftar 0,45 0,30 0,39 skiduthyrn 0,15 0,08 0,23 skiduthyrn 0,65 0,35 1 skiduthyrn 0,25 0,20 0,23 0,60 0,40 1 0,60 0, b) 0,15 c) 0,39 d) 0,25 e) Nej de är beroende

5 Uppgift 5 Pelles fotbollslag har två tränare, Olle och Lisa. Lisa tycker att Pelle är en duktig back så när hon tar ut laget får Pelle vara back hälften av gångerna, forward var fjärde gång och mittfältare var fjärde gång. Olle har dock inte riktigt samma åsikt så när Olle tar ut laget får Pelle bara vara backt var femte gång. Då får han istället vara mittfältare hälften av gångerna och resten av gångerna forward.. Olle tar ut laget i 40 procent av matcherna och Lisa tar ut laget de andra gångerna. Pelle vill räkna ut hur stor sannolikhet det är att han får vara forward nästa helg. a) Illustrera problemet i ett träddiagram. b) Beräkna sannolikheten att Pelle får vara back nästa helg c) Beräkna sannolikheten att Pelle får vara mittfältare nästa helg d) Beräkna sannolikheten att Pelle får vara forward nästa helg 0,2 Back 0,4 0,2 = 0,08 0,4 Olle 0,5 0,3 Mittfält forward 0,4 0,5 = 0,20 0,4 0, = 0,12 0,5 Back 0, 0,5 = 0, 0 0,6 Lisa 0,25 Mittfält 0, 0,25 = 0,15 0,25 forward 0, 0,25 = 0,15 b) 0,38 c) 0,35 d) 0,27

6 Uppgift 6 I den här övningen låssas vi att vi är ett företag med N=90 anställda. Det har utbrutit en ny blodsjukdom som bärs av ca en sjättedel av befolkningen. Vi förväntar oss därför att en sjättedel av våra anställda d.v.s. 15 personer bär sjukdomen. Vi vill nu identifiera dessa personer så att de kan behandlas mot sjukdomen. Att ta ett blodprov är relativ billigt men det test av blodet som ska göras är dyrt p.g.a. att endast ett läkemedelsföretag har en patenterad metod för detta. Vi vill därför minimera antalet tester som behöver göras för att kunna identifiera alla som bär sjukdomen. Under andra världskriget utvecklades en metod för detta där blodproverna från en grupp människor blandas ihop. Det görs sedan en test på hela gruppens blod. Om testet är positivt vet vi att minst en av personerna i gruppen bär sjukdomen. I det fallet görs ytterligare en test av varje enskild individ i gruppen. Om testet är negativt vet vi att alla är friska och de behöver inte testas någon mera gång. Er uppgift blir nu att ta reda på den optimala gruppstorleken. Detta kräver ett visst samarbete då varje grupp endast kommer hinna utvärdera en gruppstorlek. Den här gången behöver ni bara anteckna i protokollet om ni får noll eller minst en sexa. Varje grupp blir tilldelad en gruppstorlek. Om er grupp tilldelas gruppstorleken n ska ni kasta n tärningar 90/n gånger. På så vis kommer ni att kasta en tärning för varje anställd. (Om ni ska utvärdera gruppstorleken 6 kastar ni 6 tärningar 15 gånger, om ni ska utvärdera gruppstorleken 2 kastar ni 2 tärningar 45 gånger) Om ingen av tärningarna är en sexa har ni ett negativt testresultat vilket innebär att alla n gruppmedlemmar är friska. I dessa grupper behöver företaget alltså endast en test för alla gruppmedlemmarna. Om minst en av tärningarna är en sexa måste företaget göra ytterligare n tester. I dessa grupper kommer företaget därför att göra n+1 test i varje grupp. Beräkna totala antalet tester som företaget behöver göra. När ni är klara kommer ni fram till mig och rapporterar ert resultat. Simulering av antal blodtest: vi utvärderade gruppstorleken. Totalt Antal test 0; frisk 1; minst en sjuk Summa

7 Om ni har glömt vilken bokstav er grupp hade kan ni se nedan vilka siffror som stod i uppgifterna till de olika bokstäverna: Uppgift 7 En urna innehåller N kulor. Av dessa är S vita och N-S svarta. Du drar slumpmässigt n kulor ur urnan. a) Vad är sannolikheten att exakt x av kulorna är vita om du lägger tillbaka kulorna mellan varje dragning? b) Vad är sannolikheten att exakt x kulor är vita om du inte lägger tillbaka dem mellan varje dragning? N S n x A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T

8 Uppgift 8 Tidsåtgången för den årliga servicen av bussar är en kontinuerlig uniform fördelning med minimivärdet a minuter och max värdet b minuter. En busschaufför lämnar in bussen på service innan han går på lunch. a) Hur stor är sannolikheten att bussen inte är klar om han kommer tillbaka efter c minuter senare? b) Hur stor är sannolikheten att arbetsåtgången ligger mellan C och D minuter a b c d C D A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T

9 Uppgift 9 Tidsåtgången för den årliga servicen av bussar är normalfördelad med medelvärdet my minuter och standardavvikelsen std minuter. En busschaufför lämnar in bussen på service innan han går på lunch. a) Hur stor är sannolikheten att bussen inte är klar om han kommer tillbaka efter x 1 minuter senare? b) Hur stor är sannolikheten att arbetsåtgången ligger mellan x 2 och x 1 minuter? my std x 1 x 2 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T

10 Lösningar till de tre sista uppgifterna 7a 7b 8a 8b 9a 9b A 0,2646 0,2817 0,4444 0,0778 0,3694 0,1836 B 0,3456 0,3814 0,3889 0,1667 0,2525 0,3781 C 0,1792 0,1784 0,4359 0,1538 0,3503 0,3546 D 0,3389 0,3775 0,3205 0,2564 0,1408 0,5370 E 0,1943 0,1966 0,2879 0,3030 0,1016 0,6057 F 0,3520 0,3971 0,2424 0,3030 0,0611 0,5464 G 0,2109 0,2176 0,4667 0,1167 0,4207 0,2707 H 0,3634 0,4154 0,1667 0,3833 0,0228 0,5952 I 0,2963 0,3297 0,4167 0,1167 0,3085 0,2707 J 0,2963 0,3297 0,3333 0,2500 0,1587 0,5328 K 0,2975 0,3596 0,3958 0,2500 0,2660 0,5432 L 0,1883 0,1798 0,2083 0,4167 0,0401 0,7333 M 0,2424 0,2797 0,1667 0,4762 0,0228 0,7816 N 0,2155 0,2176 0,0952 0,4762 0,0076 0,6583 O 0,1608 0,1515 0,4444 0,1944 0,3694 0,4282 P 0,2462 0,2652 0,1667 0,4259 0,0228 0,6880 Q 0,2861 0,3636 0,1250 0,5208 0,0122 0,7970 R 0,3353 0,4329 0,1250 0,5000 0,0122 0,7611 S 0,2048 0,2222 0,0952 0,5714 0,0076 0,8338 T 0,3087 0,4167 0,1190 0,5238 0,0111 0,7932