Något om sannolikheter, slumpvariabler och slumpmässiga urval

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Något om sannolikheter, slumpvariabler och slumpmässiga urval"

Transkript

1 LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen Statistik Stig Danielsson Något om sannolikheter, slumpvariabler och slumpmässiga urval 1. Inledning Observerade data innehåller ofta någon form av information om en företeelse som man vill studera. Vill man t.ex. belysa trafikolyckor och deras uppkomst, samlar man förutom antalet olyckor in en mängd information om olycksförarna, fordonen, vägen, väderförhållanden etc. Bl.a. vill man kanske belysa sambandet mellan antal olyckor och fordonens hastigheter samt kanske trafikmängden. Sådana analyser kan göras rent deskriptivt med olika tabeller och diagram, men ofta syftar man litet längre och vill uttala sig mera generellt. Det är då man kan se uttalanden av typen: "hastigheterna har en statistiskt säkerställd påverkan på antalet olyckor", "en sänkning av hastigheterna med 1 km i timmen leder till en statistiskt säkerställd minskning av antalet dödolyckor med mellan a och b stycken per år". Förutom sådana uttalanden ser man ofta också sådana som har med "felmarginal" att göra: "ökningen av antalet dödsolyckor sedan förra året ligger inom den statistiska felmarginalen". Bakom utsagor av denna typ döljer sig någon statistisk modell (eller population) som man uttalar sig om, och man har då också mer eller mindre tydligt anammat ett begrepp som kallas sannolikhet.. Vad är sannolikhet? Sannolikhet är ett väldefinierat matematiskt begrepp, men det skulle föra alldeles för långt att gå in i dessa detaljer. Vi nöjer oss därför med vissa intuitiva resonemang. Grunden för sannolikheter är att man studerar företeelser, som kan resultera i olika utfall och att man inte säkert kan förutsäga vilket utfall som kommer att inträffa. Om vi t.ex. kastar en tärning, så vet vi att en, två, tre, fyra, fem eller sex prickar kommer upp när vi kastar den, men vi kan inte säkert förutsäga resultatet i ett enskilt kast. Däremot är vi kanske beredda att säga att alla sex utfallen är lika sannolika (om tärningen är symmetrisk). Förutom att den företeelse man studerar skall kunna resultera i flera utfall, kräver vi också något mera för att prata om sannolikheter, nämligen att den situation man studerar i princip skall kunna upprepas ett godtyckligt antal gånger under samma yttre betingelser. Detta är något som uppenbart bör vara uppfyllt vid kast av en tärning. Skälet till upprepbarhet är, att man vill definiera sannolikheter så att de "liknar" motsvarande relativa frekvenser. Med "liknar" menar vi dels att sannolikheter och relativa frekvenser skall ha samma matematiska egenskaper, men också att en explicit modell för sannolikheter är till praktisk nytta, bara om sannolikheterna och relativa frekvenserna är rimligt lika varandra. Om vi t.ex. orkar kasta en symmetrisk tärning säg 6000 gånger, är vi väl alla beredda på att sätta en slant på att frekvensen ettor, tvåor etc. alla ligger nära 1000, och att de relativa frekvenserna ligger mycket nära 1/6. En rimlig modell är då att sannolikheterna för etta, tvåa etc. alla sätts till 1/6. 1

2 Vad skall vi då kräva för egenskaper hos en sannolikhet för en händelse? Beteckna händelsen med A och skriv sannolikheten som P(A). Eftersom alla relativa frekvenser måste ligga mellan 0 och 1, kräver vi förstås också att 0 P ( A) 1. Vidare gäller ju för en händelse som säkert inträffar (t.ex. att man vid tärningskast får en etta eller en tvåa eller...eller en sexa) att relativa frekvensen är 1, och då kräver vi även detta för sannolikheter. Med motsvarande motivering får en omöjlig händelse sannolikheten 0. Man brukar också postulera ytterligare ett par matematiska krav för att definiera sannolikheten för en händelse, men vi hoppar över detta här. Nu räcker det ju inte att bara postulera egenskaperna hos sannolikheter, utan i praktiken måste man också ange sannolikheterna explicit (utom möjligen att vissa parametrar är okända). Detta kan ibland göras med teoretiska argument, men ofta är det observerade data som ligger till grund för modellvalen (t.ex. att man kan stödja sig på relativa frekvenser). Datas roll återkommer vi till nedan och tar här upp ett så enkelt experiment att det bör vara lätt att sätta upp en sannolikhetsmodell. Exempel. Kast med mynt. Antag att man har en enkrona som man kastar slumpmässigt på ett bord och noterar vilken sida som kommer upp (krona eller klave). De flesta skulle nog vara beredda att ansätta modellen P(krona) = P(klave) = 1/, och denna modell är förstås den rimliga om myntet kan anses vara symmetriskt. Antag nu att vi inte har en vanlig enkrona, utan myntet kan ev. vara manipulerat. Den modell vi då kan ansätta är bara P( krona) p och därmed P( klave) 1 p, och det enda vi kan säga om parametern p är att den ligger mellan 0 och 1. För att komma längre måste vi kasta myntet ett antal gånger och uppskatta p med relativa frekvensen för krona. Antag att vi har två symmetriska enkronor som vi kastar samtidigt och observerar vilka sidor som kommer upp. De tre möjliga utfallen är två st. krona, två st. klave resp. en klave och en krona. Eftersom vi kastar symmetriska mynt bör väl de tre utfallen vara lika sannolika, dvs vi ansätter sannolikheten 1/3 för vardera utfallet? Om vi genomför ett antal kast med de två mynten, kommer vi snart bli varse att relativa frekvenserna inte alls ligger kring 1/3, utan i stället kring 1/4, 1/4 resp. 1/ (det sista värdet för utfallet en krona och en klave). Med litet eftertanke inser vi att detta är teoretiskt korrekt, eftersom utfallet en krona och en klave kan uppkomma på två olika sätt från de två mynten. De utfall som har lika sannolikheter är följande fyra, där vi skriver ut resultaten på mynt 1 resp. mynt : (kr, kr), (kl, kl), (kr, kl) och (kl, kr) De två sista resulterar båda i en klave och en krona, och därför får denna händelse sannolikheten 1/. Vi skall inte gå djupare in på ren sannolikhetslära utan nöjer oss här med dessa ganska intuitiva resonemang. I stället skall vi något djupare behandla den situation som är mera praktiskt användbar, nämligen att de möjliga utfallen består av reella tal eller att man intresserar sig bara för beskrivningar som är reella tal. Vi kan anknyta till kastet med två mynt ovan, där vi har skrivit upp fyra (lika sannolika) utfall på de två mynten. Alternativt skulle vi kunna ha nöjt oss med att notera t.ex. antalet krona, som ju har de möjliga värdena 0, 1 eller. Troligen är denna beskrivning av försöket till fyllest för de flesta ändamål, och man säger då att man studerar en slumpvariabel (i detta fall antalet krona).

3 3. Slumpvariabler och sannolikhetsfördelningar Vi utgår nu ifrån att vi studerar en slumpmässig företeelse (kallas ibland för slumpmässigt försök) i den dubbla betydelse som vi diskuterade ovan. Vi är bara intresserade av utfall som kan formuleras i reella tal, och då säger vi att vi studerar en slumpvariabel (ibland används ordet stokastisk variabel) X. Denna slumpvariabel bör vanligen ha flera möjliga utfall x, eftersom vi betraktar slumpmässiga företeelser. Vi håller oss här till konventionen att en slumpvariabel betecknas med stor bokstav, medan en slumpvariabels möjliga värden (utfallen) betecknas med liten bokstav. De möjliga värdena x kan ibland vara diskret många och ibland alla värden i ett intervall (eller kanske t.o.m. alla reella tal). Oavsett typen av möjliga värden på X, måste vi på något sätt ange en s.k. sannolikhetsfördelning för att specificera vår modell. Om de möjliga värdena är diskreta så är situationen enkel i den meningen, att man i princip kan ange sannolikheten för varje enskilt värde. Självfallet måste man då se till att summan av dessa sannolikheter är 1. Om de möjliga värdena utgör ett helt intervall, kan man inte specificera en sannolikhet för varje enskilt värde. I stället brukar man definiera en s.k. sannolikhetstäthet (eller frekvensfunktion) för X, som gör det möjligt att beräkna sannolikheter att utfallen hamnar inom olika delintervall. En sådan sannolikhet definieras som arean under täthetsfunktionen begränsad till det aktuella intervallet. Hela arean under täthetsfunktionen måste förstås vara 1. Det resonemang vi nu har genomfört känns förmodligen ganska teoretiskt och abstrakt, varför vi genast skall exemplifiera med två av de vanligaste sannolikhetsfördelningarna. Binomialfördelningen är ett exempel på en diskret fördelning, där de möjliga värdena är ändligt många. Vi går tillbaka till exemplet med kast av två mynt och låter X vara antalet krona som 1 1 erhålls. Vi har kommit fram till att P ( X 0) P( X ), medan P ( X 1). 4 Detta är ett exempel på en binomialfördelning och vi noterar att summan av sannolikheterna är 1, dvs P ( X x) 1. x 0 Litet mera generellt kan vi betrakta en situation, där man upprepar ett försök n gånger oberoende av varandra. Varje gång noterar vi om en viss händelse A inträffar eller inte (t.ex. om vi får krona eller inte på ett mynt). Vi intresserar oss bara för antalet gånger A inträffar och betecknar detta antal med slumpvariabeln X. De möjliga värdena på X är 0, 1,..., n, och man kan visa att X har sannolikhetsfördelningen n! x n x P( X x) p (1 p) för x 0,1,..., n. x!( n x)! Det är kanske litet svårt att inse detta, men det är däremot ganska lätt att se att 1 myntexemplet är ett specialfall med n och p. 3

4 Frequency Normalfördelningen. De observationer som vi har i många datamaterial kan ofta ses som oberoende mätningar på någon slumpmässig företeelse. T.ex. vill man studera kvävehalten i en sjö och tar därför ett antal prover över sjön och mäter provernas kvävehalter. Om man sedan gör ett histogram över mätningarna, ser man ofta att histogrammet är relativt symmetriskt med en tydlig topp, en s.k. "klockkurva". Den s.k. normalfördelningen har typiskt ett sådant utseende, och skulle därför kunna vara en rimlig modell för observationerna. Vi skall inte djupare gå in på fördelningen, men för den intresserade kan vi ange sannolikhetstätheten för en slumpvariabel X som är normalfördelad: 1 1 ( x ) f ( x) e ; x Här är populationens medelvärde (väntevärde) och populationens standardavvikelse. I exemplet ovan skall vi tolka detta så, att är den verkliga kvävehalten i sjön (som vi är ute efter att uppskatta med hjälp av mätningarna). Ett viktigt specialfall har vi när väntevärdet är 0 och standardavvikelsen är 1. För denna fördelning finns tabeller, som visar sannolikheten att en observation hamnar t.ex. till höger om ett givet värde z. Denna sannolikhet är då arean till höger om z under sannolikhetstätheten för normalfördelningen (se någon lämplig tabell). T.ex. är sannolikheten att hamna till höger om 0 exakt 50%, medan sannolikheten är 15.9% att hamna till höger om 1. Vi kan illustrera normalfördelningen genom att simulera data i Minitab. Nedan finns ett histogram med anpassad normalfördelningskurva för 60 observationer som är normalfördelade med väntevärde 0 och standardavvikelse 1: Histogram of C1, with Normal Curve ,0-1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5,0,5 C1 Med 60 observationer får inte histogrammet någon självklar klockform, trots att observationerna kommer från en "riktig" normalfördelning. Däremot har man en hyggligt symmetrisk fördelning och väsentligt flera observationer i mitten än ute i svansarna. Slutligen ett teoretiskt besvärligt resultat att visa men praktiskt mycket viktigt: Om man har oberoende observationer på en slumpvariabel X och bildar medelvärdet av 4

5 observationerna, dvs X, så gäller att detta medelvärde är approximativt normalfördelat bara antalet observationer n är stort. Och detta gäller oavsett vilken fördelning X har från början!. Normalfördelningen blir därför mycket användbar i många praktiska sammanhang som vi kommer att se senare. 4. Slumpmässiga urval Vi har hittills litet löst pratat om oberoende observationer, slumpmässiga mätvärden och populationer. Det är nu dags att något förtydliga dessa begrepp. Population kan beteckna något mycket konkret och något ganska vagt. Om man ser på en mätsituation (t.ex. att få grepp över kvävehalten i en sjö), så är ju populationen i någon mening alla tänkbara observationer som kan göras, och den måste då ses som oändligt stor. Det rimliga sättet att beskriva denna population är att säga att observationerna är oberoende mätningar på någon slumpvariabel X, och man försöker att finna en rimlig sannolikhetsfördelning för denna slumpvariabel. Ett intressant mått på fördelningen är väntevärdet (populationsmedelvärdet), som man ofta vill skatta och dessutom vill man ange osäkerheten i skattningen. En population kan också vara högst konkret, t.ex. bestå av alla individer i Sverige. Man säger då att man har en ändlig population. Det kan vara av intresse att få kännedom om någon parameter i populationen, t.ex. andelen individer som vill att vi skall gå med i EMU. I princip skulle vi kunna ta reda på detta genom att tillfråga alla i populationen, men i praktiken skattar man andelen genom att ta ett slumpmässigt urval och mäta andelen EMU-sympatisörer i detta. Självfallet kan vi då inte vara säkra på att observera den sanna andelen i populationen, utan i olika urval kommer andelen att variera en del. Denna variation kommer vi att kunna kvantifiera och hantera med statistiska metoder och sannolikhetsteoretiska argument. Men man bör observera att vi här inte antar att vi har observationer på någon slumpvariabel, utan det är själva sättet att göra urvalet som skapar slumpmässigheten i resultaten. Slumpmässiga urval ur en ändlig population kan göras på många sätt. Vi begränsar oss här till s.k. OSU, obundet slumpmässigt urval (enkelt slumpmässigt urval). Man väljer då sitt urval helt på måfå, dvs så att alla individer har samma sannolikhet att komma med i urvalet. Om dragningen görs med återläggning blir de n observationerna oberoende av varandra. Detta gäller inte om dragningen görs utan återläggning, eftersom en redan dragen individ inte kan dras igen. Om populationen är stor kan dock dragning utan återläggning ses som dragning med återläggning, och man kan utnyttja samma typ av statistiska metoder, som när man har oberoende observationer på en slumpvaraiabel. Vi avslutar detta avsnitt med ett enkelt exempel att öva på. Antag att vi har en ändlig population bestående av 5 element, och att mätvärdena på en variabel är, 4,, 6, 10. Vi gör ett enkelt slumpmässigt urval utan återläggning av individer och noterar deras variabelvärden. Hur många olika urval kan vi dra? Skriv upp alla och beräkna urvalsmedelvärdena. Beräkna fördelningen för de olika medeltalen (den s.k. samplingfördelningen) och notera hur pass stor variation vi kan räkna med. Beräkna också medelvärdet för alla urvalsmedeltal och notera att det är lika med populationsmedelvärdet. Och detta är inte en slump, utan man kan teoretiskt visa att urvalsmedeltalet i snitt alltid blir lika med populationsmedelvärdet (oavsett att enskilda urvalsmedelvärden varierar kraftigt). Praktiskt innebär detta att om man i sitt 5

6 urval använder medeltalet som uppskattning av populationsmedelvärdet, så har man en skattningsmetod som är vettig i den meningen, att den i snitt kan förväntas ge skattningar som träffar rätt. Även när man gör dragningen med återläggning erhålls motsvarande resultat. Det är lätt att genomföra motsvarande beräkningar som ovan och konstatera detta faktum. 5. Statistisk slutledning (inferens) Vi har flera gånger nämnt att vi med hjälp av observationer skall skatta t.ex. ett medelvärde eller en andel i en population. Det praktiska intresset att göra detta är lätt att föreställa sig, men hur hänger detta ihop med den sannolikhetslära som vi har antytt behovet av? Antag att vi har en slumpvariabel X med en viss fördelning, t.ex. normalfördelning. Om alla parametrar är kända i fördelningen kan vi då beräkna alla efterfrågade sannolikheter. Om vi gör oberoende observationer på X, kan vi också med sannolikhetsteorin uttala oss om dessa observationer, t.ex. säga med vilken sannolikhet medelvärdet hamnar i ett visst intervall. I praktiken har vi dock oftast ett omvänt problem. Vi har observationer på en slumpvariabel som kanske är normalfördelad, men vi vet inte dess väntevärde, dvs populationsmedelvärdet. Med hjälp av observationerna vill vi skatta t.ex. genom att beräkna observationernas medelvärde. Som vi har sett i enkla exempel har dock skattningen en variation beroende på vilka observationer man råkar ha fått. Men nu kommer sannolikhetsläran till hjälp. Variationen kan uttryckas i sannolikhetstermer, och det blir möjligt att kvantifiera säkerheten/osäkerheten i den beräknade skattningen. När vi har klarat detta har vi genomfört en statistisk slutledning om parametern. 6. Grundläggande teoretiska resultat för stickprov Vi behandlar nu den teoretiskt enklaste situationen, nämligen att vi har gjort n oberoende observationer på en slumpvariabel X. Sådana data kan man ibland ha genom att man gjort oberoende mätningar av någon "företeelse", eller att man har gjort ett slumpmässigt urval ur en stor population. För att förenkla beskrivningen säger man att man i sådana situationer har ett stickprov. Vanligen vill vi dra slutsatser till väntevärdet (populationsmedelvärdet) eller ibland till en populationsandel P, dvs den andel i populationen som har en viss egenskap (P kan också i en oändlig population tolkas som sannolikheten att en slumpmässigt vald individ har egenskapen i fråga). En sådan andel kan också tolkas som ett medelvärde, nämligen medelvärdet av en variabel som antar värdet 1 för den aktuella egenskapen och värdet 0 i övrigt. Vi kan därför nöja oss med att fortsättningsvis behandla väntevärden. Den ganska självklara skattningen av är ju stickprovets medelvärde. Med resonemang liknande det i föregående avsnitt kan man övertyga sig om, att denna skattning i genomsnitt träffar rätt, och detta brukar formuleras som att stickprovsmedelvärdet är en väntevärdesriktig skattning av. Hur pass säker/osäker är nu skattningen? Vi måste då studera spridningen, dvs standardavvikelsen för skattningen. Intuitivt känner vi väl på oss att medelvärdet av 6

7 många observationer borde vara mycket säkrare än medelvärdet av några få, och detta är också något man matematiskt kan visa. Det gäller att standardavvikelsen för ett stickprovsmedelvärde är, där är populationens standardavvikelse. En n observation har alltså standardavvikelsen, medelvärdet av 4 observationer har standaravvikelsen, etc. Standardavvikelsen avtar alltså med roten ur antalet observationer, och med ett mycket stort antal observationer har vi nästan ingen spridning alls i medelvärdet, dvs medelvärdet blir nästan exakt lika med! Detta kan sägas vara grunden till all statistisk metodik, nämligen att medelvärdesbildning gör att man kan få stabila skattningar. Ytterligare ett teoretiskt resultat måste lyftas fram. I resonemanget ovan om standardavvikelsen för ett medelvärde ingick populationsstandardavvikelsen. Denna är normalt inte känd, utan behöver skattas från stickprovet. Vi använder då naturligen stickprovsstandardavvikelsen s. Man kan visa att detta är en vettig skattning, i den meningen att s är en väntevärdesriktig skattning av. Och här har vi förklaringen till att man använder nämnaren n - 1 i stickprovsvariansen. Man behöver nämligen den nämnaren för att skattningen skall bli väntevärdesriktig! 7

8 7. Övningar 7.1 I stort sett föds lika många pojkar som flickor i Sverige sett över varje år. Betrakta en slumpmässigt vald fyrabarnsfamilj. a) Hur många flickor bör man vänta sig att familjen har? b) Vilken är sannolikheten att familjen har bara flickor? c) Vilken är sannolikheten att familjen har två flickor och två pojkar? d) Beräkna sannolikhetsfördelningen för antalet flickor. 7. Ett lotteri har 100 lotter, varav 10 ger vinst. a) Drag en lott på måfå. Vilken är sannolikheten för att få en nitlott? b) Om man tar fem lotter på måfå, vilken är då sannolikheten att man får bara nitlotter? c) Dragning som i b) men beräkna nu sannolikheten att man får exakt en vinstlott. 7.3 Betrakta en slumpvariabel Z som är normalfördelad med väntevärde 0 och standardavvikelse 1, vilket brukar benämnas att den är standardiserat normalfördelad. Beräkna genom att använda tabell: a) P ( Z 0.43) b) P ( Z 1.96) c) P ( 0. Z 1.8) d) P ( Z 0.33) 7.4 Betrakta en slumpvariabel X som är normalfördelad med väntevärde och standardavvikelse Man kan visa att en sådan variabel alltid kan göras standardiserat normalfördelad med transformationen Z X. Antag nu att X har väntevärdet 10 och standardavvikelsen. Beräkna a) P ( X 10) b) P ( X 13) c) P ( 11 X 13) 7.5 Antag att vi har tagit 186 vattenprover ur en sjö och mätt halten av ett giftigt ämne. Antag vidare att denna halt i genomsnitt bör vara 0.6 och med standardavvikelsen Vilken är (den approximativa) sannolikheten att medelvärdet hos de 186 vattenproven överstiger värdet 0.7? 7.6 I en tillverkningsprocess under kontroll räknar man med att 90% av alla tillverkade enheter är helt felfria. Vid en kvalitetskontroll undersöker man 10 enheter valda på måfå ur en dagsproduktion. Bestäm sannolikheten att högst 85% av dessa enheter är helt felfria om processen är under kontroll. 7.7 Vikten hos en viss typ av äpple kan antas vara normalfördelad med genomsnittsvikt 10 g och med standardavvikelse 10g. Äpplena packas i korgar och man lägger i äpplen till dess vågen visar kg eller mer. Hur stor är sannolikheten att en korg innehåller högst 16 stycken äpplen? 8

9 Svar: 7.1 a) st. b) 1/16. c) 6/16. d) 1/16, 4/16, 6/16, 4/16, 1/ a) 0.9. b). c) a) 33.4%. b) 97.5%. c) 38.5%. d) 37.1%. 7.4 a) 50%. b) 6.7%. c) 4.% % % 7.7.3%. 9

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet

Läs mer

Föreläsning G60 Statistiska metoder

Föreläsning G60 Statistiska metoder Föreläsning 4 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Sannolikhet Vad är sannolikhet? o Slumpvariabel o Sannolikhetsfördelningar Binomialfördelning Normalfördelning o Stickprov och population o Centrala

Läs mer

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data

Läs mer

Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid 79-14 Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Slumpvariabel En variabel för vilken slumpen bestämmer utfallet. Slantsingling, tärningskast,

Läs mer

Samplingfördelningar 1

Samplingfördelningar 1 Samplingfördelningar 1 Parametrar och statistikor En parameter är en konstant som karakteriserar en population eller en modell. Exempel: Populationsmedelvärdet Parametern p i binomialfördelningen 2 Vi

Läs mer

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012 Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår

Läs mer

4 Diskret stokastisk variabel

4 Diskret stokastisk variabel 4 Diskret stokastisk variabel En stokastisk variabel är en variabel vars värde bestäms av utfallet av ett slumpmässigt försök. En stokastisk variabel betecknas ofta med X, Y eller Z (i läroboken används

Läs mer

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Avd. Matematisk statistik Tobias Rydén 2011-09-30 SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Förberedelser. Innan du går till laborationen, läs igenom den här handledningen. Repetera också i

Läs mer

Föreläsning 7. Statistikens grunder.

Föreläsning 7. Statistikens grunder. Föreläsning 7. Statistikens grunder. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Föreläsningens innehåll Översikt, dagens föreläsning: Inledande

Läs mer

1 Mätdata och statistik

1 Mätdata och statistik Matematikcentrum Matematik NF Mätdata och statistik Betrakta frågeställningen Hur mycket väger en nyfödd bebis?. Frågan verkar naturlig, men samtidigt mycket svår att besvara. För att ge ett fullständigt

Läs mer

Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori

Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori Statistiska institutionen Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori 23 JANUARI 2009 2 Sannolikhetsteorins grunder 1. Tre vanliga symmetriska tärningar kastas. Om inte alla tre tärningarna visar sexa,

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko. SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt

Läs mer

Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, ): Punktskattningar

Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, ): Punktskattningar Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, 7.1-7.3): Punktskattningar Marina Axelson-Fisk 4 maj, 2016 Stickprov (sample) Idag: Stickprovsmedelvärde och varians Statistika (statistic) Punktskattning (point estimation)

Läs mer

Kap 3: Diskreta fördelningar

Kap 3: Diskreta fördelningar Kap 3: Diskreta fördelningar Sannolikhetsfördelningar Slumpvariabler Fördelningsfunktion Diskreta fördelningar Likformiga fördelningen Binomialfördelningen Hypergeometriska fördelningen Poisson fördelningen

Läs mer

4.1 Grundläggande sannolikhetslära

4.1 Grundläggande sannolikhetslära 4.1 Grundläggande sannolikhetslära När osäkerhet förekommer kan man aldrig uttala sig tvärsäkert. Istället använder vi sannolikheter, väntevärden, standardavvikelser osv. Sannolikhet är ett tal mellan

Läs mer

DATORÖVNING 6: CENTRALA GRÄNSVÄRDES-

DATORÖVNING 6: CENTRALA GRÄNSVÄRDES- DATORÖVNING 6: CENTRALA GRÄNSVÄRDES- SATSEN OCH FELMARGINALER I denna datorövning ska du använda Minitab för att empiriskt studera hur den centrala gränsvärdessatsen fungerar, samt empiriskt utvärdera

Läs mer

Kap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen

Kap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen Kap 6: Normalfördelningen Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen σ μ 1 Sats 6 A Om vi ändrar läge och/eller skala på en normalfördelning så har vi fortfarande

Läs mer

Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3. Laboration 2. Fördelningar och simulering

Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3. Laboration 2. Fördelningar och simulering Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3 Laboration 2 Fördelningar och simulering Introduktion 2014-02-06 Syftet med laborationen är dels

Läs mer

Mer om slumpvariabler

Mer om slumpvariabler 1/20 Mer om slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/2 2013 2/20 Dagens föreläsning Diskreta slumpvariabler Vilket kretskort ska man välja? Väntevärde

Läs mer

Sannolikhetsbegreppet

Sannolikhetsbegreppet Kapitel 3 Sannolikhetsbegreppet Betrakta följande försök: Ett symmetriskt mynt kastas 100 gånger och antalet krona observeras. Antal kast 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Antal krona 6 12 16 21 25 30 34

Läs mer

Föreläsning G60 Statistiska metoder

Föreläsning G60 Statistiska metoder Föreläsning 5 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Konfidensintervall För andelar För medelvärden Vid jämförelser o Den statistiska felmarginalen o Stickprovsstorlek 2 Introduktion När man beräknar

Läs mer

Föreläsning G70 Statistik A

Föreläsning G70 Statistik A Föreläsning 2 732G70 Statistik A Introduktion till sannolikhetslära Sannolikhetslära: område inom statistiken där vi studerar experiment vars utfall beror av slumpen Sannolikhet: numeriskt värde (mellan

Läs mer

TMS136. Föreläsning 10

TMS136. Föreläsning 10 TMS136 Föreläsning 10 Intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov kan göra punktskattningar för fördelnings-/populationsparametrar En punkskattning är som vi minns ett tal som är en (förhoppningsvis

Läs mer

Introduktion. Konfidensintervall. Parade observationer Sammanfattning Minitab. Oberoende stickprov. Konfidensintervall. Minitab

Introduktion. Konfidensintervall. Parade observationer Sammanfattning Minitab. Oberoende stickprov. Konfidensintervall. Minitab Uppfödning av kyckling och fiskleveroljor Statistiska jämförelser: parvisa observationer och oberoende stickprov Matematik och statistik för biologer, 10 hp Fredrik Jonsson vt 2012 Fiskleverolja tillsätts

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics

Läs mer

TMS136. Föreläsning 7

TMS136. Föreläsning 7 TMS136 Föreläsning 7 Stickprov När vi pysslar med statistik handlar det ofta om att baserat på stickprovsinformation göra utlåtanden om den population stickprovet är draget ifrån Situationen skulle kunna

Läs mer

F2 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT )

F2 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT ) Stat. teori gk, ht 2006, JW F2 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT 4.1-4.2) Ordlista till NCT Random experiment Outcome Sample space Event Set Subset Union Intersection Complement Mutually exclusive Collectively exhaustive

Läs mer

F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4)

F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4) Stat. teori gk, ht 006, JW F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.1-5.3, samt del av 5.4) Ordlista till NCT Random variable Discrete Continuous Probability distribution Probability distribution function Cumulative

Läs mer

Föreläsning 1. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 1. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 1 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Kursens uppbyggnad 9 föreläsningar Föreläsningsunderlag läggs ut på kurshemsidan 5 lektioner Uppgifter från kursboken enligt planering 5 laborationer

Läs mer

FÖRELÄSNING 8:

FÖRELÄSNING 8: FÖRELÄSNING 8: 016-05-17 LÄRANDEMÅL Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är okänd T-fördelningen Goodness of fit-test χ -fördelningen Hypotestest Signifikansgrad Samla in data Sammanställ data

Läs mer

Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer

Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer Måns Thulin thulin@math.uu.se Senast uppdaterad 20 februari 2013 Diskussionsproblem till Lektion 3 1. En projektledare i ett byggföretaget ska undersöka

Läs mer

Kapitel 7 Samplingfördelningar och Centrala gränsvärdessatsen

Kapitel 7 Samplingfördelningar och Centrala gränsvärdessatsen Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 7 Samplingfördelningar och Centrala gränsvärdessatsen 1 Statistikor och samplingfördelningar I Kapitel 6 studerades metoder för att bestämma sannolikhetsfördelningen

Läs mer

Föreläsning 12: Regression

Föreläsning 12: Regression Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är

Läs mer

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Diskreta slumpvariabler En slumpvariabel tilldelar tal till samtliga utfall i ett slumpförsök. Vi

Läs mer

Kap 2: Några grundläggande begrepp

Kap 2: Några grundläggande begrepp Kap 2: Några grundläggande begrepp Varför sannolikhetslära är viktigt? Vad menar vi med sannolikhetslära? Träddiagram? Vad är den klassiska, empiriska och subjektiva sannolikheten? Vad menar vi med de

Läs mer

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29)

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29) LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29) Aktuella avsnitt i boken: Kap 61 65 Lektionens mål: Du ska

Läs mer

F6 STOKASTISKA VARIABLER (NCT ) Används som modell i situation av följande slag: Slh för A är densamma varje gång, P(A) = P.

F6 STOKASTISKA VARIABLER (NCT ) Används som modell i situation av följande slag: Slh för A är densamma varje gång, P(A) = P. Stat. teori gk, ht 2006, JW F6 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.4-5.6) Binomialfördelningen Används som modell i situation av följande slag: Ett slumpförsök upprepas n gånger (oberoende upprepningar). Varje

Läs mer

, s a. , s b. personer från Alingsås och n b

, s a. , s b. personer från Alingsås och n b Skillnader i medelvärden, väntevärden, mellan två populationer I kapitel 8 testades hypoteser typ : µ=µ 0 där µ 0 var något visst intresserant värde Då användes testfunktionen där µ hämtas från, s är populationsstandardavvikelsen

Läs mer

Tentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola.

Tentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola. Tentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola. Tid: Måndagen den 2015-06-01, 8.30-12.30. Examinator och Jour: Olle Nerman, tel. 7723565, rum 3056, MV, Chalmers. Hjälpmedel: Valfri

Läs mer

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning?

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning? När vi nu lärt oss olika sätt att karaktärisera en fördelning av mätvärden, kan vi börja fundera över vad vi förväntar oss t ex för fördelningen av mätdata när vi mätte längden av en parkeringsficka. Finns

Läs mer

Hypotesprövning. Andrew Hooker. Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University

Hypotesprövning. Andrew Hooker. Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Hypotesprövning Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Hypotesprövning Liksom konfidensintervall ett hjälpmedel för att

Läs mer

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller: Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen TT091A TGMAS15h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 30 Maj Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare (nollställd) samt allmänspråklig

Läs mer

F2 Introduktion. Sannolikheter Standardavvikelse Normalapproximation Sammanfattning Minitab. F2 Introduktion

F2 Introduktion. Sannolikheter Standardavvikelse Normalapproximation Sammanfattning Minitab. F2 Introduktion Gnuer i skyddade/oskyddade områden, binära utfall och binomialfördelningar Matematik och statistik för biologer, 10 hp Fredrik Jonsson Januari 2012 I vissa områden i Afrika har man observerat att förekomsten

Läs mer

Sannolikhetslära. 19 februari 2009. Vad är sannolikheten att vinna om jag köper en lott?

Sannolikhetslära. 19 februari 2009. Vad är sannolikheten att vinna om jag köper en lott? Sannolikhetslära 19 februari 009 Vad är en sannolikhet? I vardagen: Vad är sannolikheten att vinna om jag köper en lott? Borde jag ta paraply med mig till jobbet idag? Vad är sannolikheten att det kommer

Läs mer

Statistikens grunder HT, dagtid Statistiska institutionen

Statistikens grunder HT, dagtid Statistiska institutionen Statistikens grunder 1 2013 HT, dagtid Statistiska institutionen Orsak och verkan N Kap 2 forts. Annat ord: kausalitet Något av det viktigaste för varje vetenskap. Varför? Orsakssamband ger oss möjlighet

Läs mer

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Bengt Ringnér September 20, 2006 Inledning Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna. 2 Väntevärde standardavvikelse

Läs mer

TMS136. Föreläsning 1

TMS136. Föreläsning 1 TMS136 Föreläsning 1 Varför? Om vi gör mätningar vill vi kunna modellera och kvantifiera de osäkerheter som obönhörligen finns Om vi handlar med värdepapper vill kunna modellera och kvantifiera de risker

Läs mer

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, OCH INFÖR ÖVNING 4

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, OCH INFÖR ÖVNING 4 LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, 216-4-6 OCH INFÖR ÖVNING 4 Övningens mål: Du ska förstå begreppet slumpvariabel och skilja

Läs mer

Föreläsning 2. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 2. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 2 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Normalfördelning Samplingfördelningar och CGS Fördelning för en stickprovsstatistika (t.ex. medelvärde) kallas samplingfördelning. I teorin är

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 25..26 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 25..26 / 44 Stokastiska

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 4 juni 2004, kl 14.00-19.00

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 4 juni 2004, kl 14.00-19.00 Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 4 juni 004, kl 14.00-19.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formelsamling, approimationsschema och tabellsamling (dessa skall returneras). Egen miniräknare.

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK 2007-08-29

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK 2007-08-29 UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Statistik för Teknologer, 5 poäng (TNK, ET, BTG) Peter Anton, Per Arnqvist Anton Grafström TENTAMEN 7-8-9 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN

Läs mer

Tabell- och formelsamling. A4 Grundläggande Statistik A8 Statistik för ekonomer

Tabell- och formelsamling. A4 Grundläggande Statistik A8 Statistik för ekonomer Tabell- och formelsamling A4 Grundläggande Statistik A8 Statistik för ekonomer Observera att inga anteckningar får finnas i formelsamlingen vid tentamenstillfället Thommy Perlinger 17 september 2015 Innehåll

Läs mer

LUNDS UNIVERSITET 1(6) STATISTISKA INSTITUTIONEN Per-Erik Isberg

LUNDS UNIVERSITET 1(6) STATISTISKA INSTITUTIONEN Per-Erik Isberg LUNDS UNIVERSITET 1(6) STATISTISKA INSTITUTIONEN Per-Erik Isberg Simulering i MINITAB Det finns goda möjligheter att utföra olika typer av simuleringar i Minitab. Gemensamt för dessa är att man börjar

Läs mer

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0 Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF191, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 1:A JUNI 216 KL 8. 13.. Kursledare: Thomas Önskog, 8-79 84 55 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i

Läs mer

Statistik. Det finns tre sorters lögner: lögn, förbannad lögn och statistik

Statistik. Det finns tre sorters lögner: lögn, förbannad lögn och statistik Statistik Statistik betyder ungefär sifferkunskap om staten Statistik är en gren inom tillämpad matematik som sysslar med insamling, utvärdering, analys och presentation av data eller information. Verkligheten

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Hypotesprövning Innehåll Hypotesprövning 1 Hypotesprövning Inledande exempel Hypotesprövning Exempel. Vi är intresserade av en variabel X om vilken vi kan anta att den är (approximativt) normalfördelad

Läs mer

Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle

Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle Lärare: Mikael Elenius, 2006-08-25, kl:9-14 Betygsgränser: 65 poäng Väl Godkänt, 50 poäng

Läs mer

Kapitel 4. Kontinuerliga slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar. Sannolikhetslära och inferens II

Kapitel 4. Kontinuerliga slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar. Sannolikhetslära och inferens II Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 4 Kontinuerliga slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Kontinuerliga slumpvariabler En slumpvariabel som kan anta alla värden på något intervall sägs

Läs mer

Tentamen i Statistik, STG A01 och STG A06 (13,5 hp) Torsdag 5 juni 2008, Kl

Tentamen i Statistik, STG A01 och STG A06 (13,5 hp) Torsdag 5 juni 2008, Kl Karlstads Universitet Avdelningen för Nationalekonomi och Statistik Tentamen i Statistik, STG A0 och STG A06 (3,5 hp) Torsdag 5 juni 008, Kl 4.00-9.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formelsamling, approximationsschema

Läs mer

Bearbetning och Presentation

Bearbetning och Presentation Bearbetning och Presentation Vid en bottenfaunaundersökning i Nydalasjön räknade man antalet ringmaskar i 5 vattenprover. Följande värden erhölls:,,,4,,,5,,8,4,,,0,3, Det verkar vara diskreta observationer.

Läs mer

Vi har en ursprungspopulation/-fördelning med medelvärde µ.

Vi har en ursprungspopulation/-fördelning med medelvärde µ. P-värde P=probability Sannolikhetsvärde som är resultat av en statistisk test. Anger sannolikheten för att göra den observation vi har gjort eller ett sämre / mer extremt utfall om H 0 är sann. Vi har

Läs mer

Statistisk slutledning (statistisk inferens): Sannolikhetslära: GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSLÄRA. Med utgångspunkt från ett stickprov

Statistisk slutledning (statistisk inferens): Sannolikhetslära: GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSLÄRA. Med utgångspunkt från ett stickprov OSÄKERHET Sannolikhetslära: Om det i ett område finns 32 % med universitetsexamen, vad är sannolikheten att ett stickprov kommer att innehålla 31-33 % med universitetsexamen? Om medelåldern i en population

Läs mer

Introduktion till sannolikhetslära. Människor talar om sannolikheter :

Introduktion till sannolikhetslära. Människor talar om sannolikheter : F9 Introduktion till sannolikhetslära Introduktion till sannolikhetslära Människor talar om sannolikheter : Sannolikheten att få sju rätt på Lotto Sannolikheten att få stege på en pokerhand Sannolikheten

Läs mer

Repetitionsföreläsning

Repetitionsföreläsning Slumpförsök Repetitionsföreläsning Föreläsning 15 Sannolikhet och Statistik 5 hp Med händelser A B... avses delmängder av ett utfallsrum. Slumpförsök = utfallsrummet + ett sannolikhetsmått P. Fredrik Jonsson

Läs mer

Analys av medelvärden. Jenny Selander , plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken

Analys av medelvärden. Jenny Selander , plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken Analys av medelvärden Jenny Selander jenny.selander@ki.se 524 800 29, plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december 20111 Innehåll Normalfördelningen

Läs mer

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser

Läs mer

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U.

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U. Veckoblad 3 Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U. ya begrepp: likformig fördelning, hypergeometerisk fördelning, Hyp(, n, p), binomialfördelningen, Bin(n, p), och Poissonfördelningen, Po(λ). Standardfördelningarna

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 samt STA A13 9p 24 augusti 2005, kl

Tentamen i Statistik, STA A10 samt STA A13 9p 24 augusti 2005, kl Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för statistik Tentamen i Statistik, STA A0 samt STA A3 9p 4 augusti 005, kl. 08.5-3.5 Tillåtna hjälpmedel: Ansvarig lärare: Övrigt:

Läs mer

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) Fredag 16 januari 2009, Kl 14.00-19.00

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) Fredag 16 januari 2009, Kl 14.00-19.00 Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) Fredag 16 januari 2009, Kl 14.00-19.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formelsamling, tabellsamling (dessa skall returneras). Miniräknare. Ansvarig lärare: Jari Appelgren,

Läs mer

F9 Konfidensintervall

F9 Konfidensintervall 1/16 F9 Konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 18/2 2013 2/16 Kursinformation och repetition Första inlämningsuppgiften rättas nu i veckan. För att

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Fredag 8 december 2006, Kl

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Fredag 8 december 2006, Kl Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Fredag 8 december 2006, Kl 08.15-13.15 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formelsamling, approximationsschema och tabellsamling (dessa skall returneras). Egen

Läs mer

SF1901: Övningshäfte

SF1901: Övningshäfte SF1901: Övningshäfte 5 september 2013 Uppgifterna under rubriken Övning kommer att gås igenom under övningstillfällena. Uppgifterna under rubriken Hemtal är starkt rekommenderade och motsvarar nivån på

Läs mer

Lektion 1: Fördelningar och deskriptiv analys

Lektion 1: Fördelningar och deskriptiv analys Density Lektion 1: Fördelningar och deskriptiv analys 1.,3 Uniform; Lower=1; Upper=6,3,2,2,1,, 1 2 3 X 4 6 7 Figuren ovan visar täthetsfunktionen för en likformig fördelning. Kurvan antar värdet.2 över

Läs mer

PROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd

PROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren PROGRAMFÖRKLARING I Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p.1/4 Statistik

Läs mer

Nedan redovisas resultatet med hjälp av ett antal olika diagram (pkt 1-6):

Nedan redovisas resultatet med hjälp av ett antal olika diagram (pkt 1-6): EM-fotboll 2012 några grafer Sport är en verksamhet som genererar mängder av numerisk information som följs med stort intresse EM i fotboll är inget undantag och detta dokument visar några grafer med kommentarer

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 april 2004, klockan 08.15-13.15

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 april 2004, klockan 08.15-13.15 Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för Statistik Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 6 april 004, klockan 08.15-13.15 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad

Läs mer

Föreläsning 1. 732G60 Statistiska metoder

Föreläsning 1. 732G60 Statistiska metoder Föreläsning 1 Statistiska metoder 1 Kursens uppbyggnad o 10 föreläsningar Teori blandas med exempel Läggs ut några dagar innan på kurshemsidan o 5 räknestugor Tillfälle för individuella frågor Viktigt

Läs mer

Urvalsmetoder: Sannolikhetsurval resp. icke-sannolikhetsurval, OSU (kap )

Urvalsmetoder: Sannolikhetsurval resp. icke-sannolikhetsurval, OSU (kap ) F3 Urvalsmetoder: Sannolikhetsurval resp. icke-sannolikhetsurval, OSU (kap 9.1-9.4) Urval Anta att vi ska göra en urvalsunderökning och samla in primärdata Totalundersökning ofta inte möjlig För dyrt Tar

Läs mer

Övningstentamen i kursen Statistik och sannolikhetslära (LMA120)

Övningstentamen i kursen Statistik och sannolikhetslära (LMA120) Övningstentamen i kursen Statistik sannolikhetslära (LMA0). Beräkna ( ) 04.. Malin har precis yttat, ska skruva ihop sitt rektangulära skrivbord igen. Bordet har ett ben i varje hörn, har två långsidor

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Måndag 14 maj 2007, Kl

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Måndag 14 maj 2007, Kl Karlstads universitet Avdelningen för nationalekonomi och statistik Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Måndag 14 maj 2007, Kl 08.15-13.15 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formelsamling, approximationsschema

Läs mer

Jesper Rydén. Matematiska institutionen, Uppsala universitet Tillämpad statistik 1MS026 vt 2014

Jesper Rydén. Matematiska institutionen, Uppsala universitet Tillämpad statistik 1MS026 vt 2014 Föreläsning 1. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper@math.uu.se Tillämpad statistik 1MS026 vt 2014 Varför tillämpad statistik? Användningsområden i medicin, naturvetenskap

Läs mer

Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 (Marco Kuhlmann 2013, tillägg och redaktion Mats Dahllöf 2014).

Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 (Marco Kuhlmann 2013, tillägg och redaktion Mats Dahllöf 2014). UPPSALA UNIVERSITET Matematik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 (Marco Kuhlmann 2013, tillägg och redaktion Mats Dahllöf 2014). 9 Sannolikhet Detta kapitel

Läs mer

Hur måttsätta osäkerheter?

Hur måttsätta osäkerheter? Geotekniska osäkerheter och deras hantering Hur måttsätta osäkerheter? Lars Olsson Geostatistik AB 11-04-07 Hur måttsätta osäkerheter _LO 1 Sannolikheter Vi måste kunna sätta mått på osäkerheterna för

Läs mer

Stora talens lag eller det jämnar ut sig

Stora talens lag eller det jämnar ut sig Stora talens lag eller det jämnar ut sig kvensen för krona förändras när vi kastar allt fler gånger. Valda inställningar på räknaren Genom att trycka på så kan man göra ett antal inställningar på sin räknare.

Läs mer

Statistisk acceptanskontroll

Statistisk acceptanskontroll Publikation 1994:41 Statistisk acceptanskontroll BILAGA 2 - Grundbegrepp i statistiken Metodbeskrivning 908:1994 B2 Grundbegrepp i statistiken... 3 B2.1 Syften och fundament... 3 B2.1.1 Statistik - ett

Läs mer

Urval. Slumpmässiga urval (sannolikhetsurval) Fördelar med slumpmässiga urval

Urval. Slumpmässiga urval (sannolikhetsurval) Fördelar med slumpmässiga urval Urval F3 Urvalsmetoder: Sannolikhetsurval resp. icke-sannolikhetsurval, OSU (kap 9.1-9.4) Ursprung: Linda Wänström Anta att vi ska göra en urvalsunderökning och samla in primärdata Totalundersökning ofta

Läs mer

Föreläsning 11. Slumpvandring och Brownsk Rörelse. Patrik Zetterberg. 11 januari 2013

Föreläsning 11. Slumpvandring och Brownsk Rörelse. Patrik Zetterberg. 11 januari 2013 Föreläsning 11 Slumpvandring och Brownsk Rörelse Patrik Zetterberg 11 januari 2013 1 / 1 Stokastiska Processer Vi har tidigare sett exempel på olika stokastiska processer: ARIMA - Kontinuerlig process

Läs mer

Varför statistik? det finns inga dumma frågor, bara dumma svar! Serik Sagitov

Varför statistik? det finns inga dumma frågor, bara dumma svar! Serik Sagitov Summer Science Camp, Tjärnö, 8 August 2012 Varför statistik? Serik Sagitov http://www.math.chalmers.se/ serik/ Avdelningen för matematisk statistik Matematiska Vetenskaper Chalmers Tekniska Högskola och

Läs mer

Slumpvariabler och sannolikhetsfördelningar

Slumpvariabler och sannolikhetsfördelningar och sannolikhetsfördelningar Föreläsning 4 Sannolikhet och Statistik 5 hp Fredrik Jonsson April 2010 Översikt 1. Verklighetsanknutna exempel. Definition relativt utfallsrum. 2. Sannolikhetsfördelningar

Läs mer

händelsen som alltid inträffar. Den tomma mängden representerar händelsen som aldrig inträffar.

händelsen som alltid inträffar. Den tomma mängden representerar händelsen som aldrig inträffar. Marco Kuhlmann Detta är en kompakt sammanfattning av momentet sannolikhetslära som ingår i kurserna Matematik 1b och 1c på gymnasiet. 1 Grundläggande begrepp 1.01 När vi singlar slant eller kastar tärning

Läs mer

Slumpförsök för åk 1-3

Slumpförsök för åk 1-3 Modul: Sannolikhet och statistik Del 3: Att utmana elevers resonemang om slump Slumpförsök för åk 1-3 Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet Andreas Eckert, Linnéuniversitetet I följande text beskrivs

Läs mer

MVE051/MSG Föreläsning 7

MVE051/MSG Föreläsning 7 MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 7 Petter Mostad Chalmers November 23, 2016 Överblick Deskriptiv statistik Grafiska sammanfattningar. Numeriska sammanfattningar. Estimering (skattning) Teori Några exempel

Läs mer

Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 3 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDIFYSIKER, FMS012/MASB03, HT12 Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla

Läs mer

Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat.

Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat. Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Ytterligare begrepp Viktiga

Läs mer

I den här datorövningen ser vi hur R kan utnyttjas för att kontrollera modellantaganden och beräkna konfidensintervall.

I den här datorövningen ser vi hur R kan utnyttjas för att kontrollera modellantaganden och beräkna konfidensintervall. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Måns Thulin Statistik för ingenjörer 1MS008 VT 2011 DATORÖVNING 2: SKATTNINGAR OCH KONFIDENSINTERVALL 1 Inledning I den här datorövningen ser vi hur R kan

Läs mer

LABORATION 1. Syfte: Syftet med laborationen är att

LABORATION 1. Syfte: Syftet med laborationen är att LABORATION 1 Syfte: Syftet med laborationen är att ge övning i hur man kan använda det statistiska programpaketet Minitab för beskrivande statistik, grafisk framställning och sannolikhetsberäkningar, visa

Läs mer

4.3 Stokastiska variabler (slumpmässiga variabler) 4.4 Väntevärde och varians till stokastiska variabler

4.3 Stokastiska variabler (slumpmässiga variabler) 4.4 Väntevärde och varians till stokastiska variabler Föreläsning 2 4.3 Stokastiska variabler (slumpmässiga variabler) 4.4 Väntevärde och varians till stokastiska variabler Stokastiskavariabler Stokastisk variabel (eng: random variable) En variabel vars värde

Läs mer

Vetenskaplig metod och statistik

Vetenskaplig metod och statistik Vetenskaplig metod och statistik Innehåll Vetenskaplighet Hur ska man lägga upp ett experiment? Hur hanterar man felkällor? Hur ska man tolka resultatet från experimentet? Experimentlogg Att fundera på

Läs mer