Sannolikhetslära. 1 Enkel sannolikhet. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Sannolikhet och relativ frekvens. Marco Kuhlmann
|
|
- Johan Lindberg
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Marco Kuhlmann Detta kapitel behandlar grundläggande begrepp i sannolikhetsteori: enkel sannolikhet, betingad sannolikhet, lagen om total sannolikhet och Bayes lag. 1 Enkel sannolikhet Den klassiska sannolikhetsteorin, som började utvecklas på 1600-talet, har sitt ursprung i tillämpningar på hasardspel. De frågor som man ville ha svar på var av typen Är det gynnsamt (skulle man vinna i längden på) att, vid jämna odds, slå vad om att man vid fyra kast med en tärning får minst en sexa? Detta specifika problem kallas även för De Mérés problem. 1 Din tur 1 Hur du skulle intuitivt svara på frågan? Hur skulle du kunna gå tillväga för att lösa problemet? 1.1 Sannolikhet och relativ frekvens Låt oss försöka att lösa detta problem empiriskt. I Figur 1 ser vi utdatan från ett program som kastar fyra tärningar åt oss och håller koll på antalet i sammanhanget gynnsamma utfall, dvs. antalet gånger där man kastat minst en sexa vid fyra kast. Programmet skriver även ut den relativa frekvensen av de gynnsamma utfallen: andelen som de gynnsamma utfallen har bland alla utfall. Som vi ser så ligger denna andel på 60% efter tio försök. Sannolikhetsteorin utvecklades för att man ville kunna förutsäga framtiden baserat på empiriska erfarenheter. Det hela bygger på antagandet att den relativa frekvensen av en given händelse (såsom att kasta minst en sexa vid fyra kast) så småningom stabiliseras kring ett värde. Detta värde kallas för händelsens sannolikhet. Sannolikheten för en händelse A skrivs P(A). Det gäller att 0 P(A) 1. P(A) = 0 innebär att händelse A aldrig inträffar och P(A) = 1 att den alltid inträffar. (Figur 1 visar att sannolikheten för ett gynnsamt utfall ligger någonstans mellan aldrig och alltid.) 1 Efter Antoine Gombaud ( ), som kallades Chevalier de Méré (även om han inte var riddare). 1(9)
2 Försök Tärningskast Gynsamma Rel. frekvens Figur 1: Experiment utifrån De Mérés problem Det är viktigt att förstå att en händelses sanna sannolikhet kan inte observeras; den kan bara skattas. (I det experiment som vi körde i Figur 1 observerade vi relativa frekvenser, inte sannolikheter.) Din tur 2 Är skattningen efter tio försök i Figur 1 pålitlig? 1.2 Utfall, händelser och sannolikhet För att lösa De Mérés problem med hjälp av sannolikhetsteorin börjar vi med en förenklad fråga: Är det gynnsamt att, vid jämna odds, slå vad om att man vid ett kast med en tärning får en sexa? Svaret på denna fråga är lätt. När man kastar en tärning finns det sex möjliga utfall: Tärningen kan visa en etta, en tvåa, en trea, en fyra, en femma eller en sexa. Mängden av alla möjliga utfall vid ett tärningskast eller ett annat experiment kallas för utfallsrum och betecknas med den grekiska bokstaven U. I det här fallet har vi alltså U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Vid jämna odds finns det alltså bara ett gynnsamt utfall (man kastar en sexa), men fem stycken ogynnsamma utfall (man kastar något annat). Det är alltså inte gynnsamt att slå vad om att man får en sexa. Din tur 3 Hur måste man argumentera om man istället är intresserad i frågan om det är gynnsamt att slå vad om att man vid ett kast med en tärning får ett jämt tal? 2(9)
3 Svar: Om man istället är intresserad av händelsen man kastar ett jämt tal så finns det tre gynnsamma utfall: en tvåa, en fyra och en sexa. Det föregående exemplet illustrerar skillnaden mellan begreppen utfall och händelse: Varje kast med tärningen kommer att ge exakt ett tal som utfall; men vissa relevanta händelser, t.ex. talet är jämnt ({2, 4, 6}) och talet är större än 3 ({4, 5, 6}), kan bara beskrivas som kombinationer av sådana utfall. Allmänt definierar man därför en händelse som en mängd utfall. En händelse är därför en delmängd till utfallsrummet. Och hela utfallsrummet utgör den händelse som alltid inträffar. Sannolikheten för en händelse A kan räknas ut på detta sätt, om alla utfall är lika sannolika: P(A) = antal utfall som leder till A antal möjliga utfall = A (Kom ihåg att notationen X betecknar kardinaliteten eller storleken hos X.) T.ex. vid tärningskast (med vanliga typen av tärning): {2, 4, 6} P(talet är jämnt) = P({2, 4, 6}) = = 3/6 = 0,5 {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4, 6} P(talet är inte 5) = P({1, 2, 3, 4, 6}) = = 5/6 0,833 {1, 2, 3, 4, 5, 6} P(talet är 7) = P( ) = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 0/6 = 0 P(talet är inte 7) = P({1, 2, 3, 4, 5, 6}) = Din tur 4 Vad för sorts händelser är och U? {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6/6 = 1 Svar: Den tomma mängden representerar omöjlighet : Det finns inget som helst utfall som kan leda till denna händelse; dess sannolikhet är 0. Den fullständiga mängden representerar nödvändighet : Alla möjliga utfall leder till denna händelse; dess sannolikhet är 1. Nu kan vi gå tillbaka till De Mérés problem. Din tur 5 Vilket utfallsrum får man för De Mérés problem? Vilken storlek har detta rum? Vilken händelse är man intresserad av? Hur stor är sannolikheten för den händelsen? Svar: Det nya utfallsrummet består av alla följder (tupler) av fyra tärningskast. Detta utfallsrum har kardinalitet 6 4 = Alltså: = Händelsen som är aktuell i De Mérés fall är den att få en följd som innehåller minst en sexa. Men det är inte så lätt att räkna ut sannolikheten för denna händelse En ganska dum 3(9)
4 U A Figur 2: Diagrammet visar att A c = U A = U A. metod vore att gå igenom alla följder (tupler) av fyra tärningskast och räkna hur många som innehåller minst en sexa, men det skulle vara ganska jobbigt och vi skulle riskera att räkna fel. Vi kan dessbättre tänka på ett smartare sätt för att räkna ut antalet utfall som leder till händelsen minst en sexa! Ett begrepp som är mycket användbart i samband med De Mérés problem är begreppet komplementhändelse. Med komplementhändelsen till en händelse A menas händelsen att A inte inträffar. Eftersom varje händelse är en mängd är komplementhändelsen till A helt enkelt komplementmängden till A, relativt till universum U. Det är inte svårt att se att sannolikheten för komplementhändelsen till en händelse A är P(A c ) = 1 P(A) På samma sätt får man P(A) = 1 P(A c ). Din tur 6 Kan du bevisa detta? Svar: Mängden A c kan skrivas som U A. Enligt definitionen av sannolikhet gäller då att P(A c ) = P(U A) = U A När man ritar ett Venn-diagram som i Figur 2 ser man att U A = U A. Men eftersom A U har man U A = A. Med detta: P(A c ) = U A = U A = A = A = 1 P(A) Det som gör begreppet komplementhändelsen användbart i samband med De Mérés problem är att det är mycket lättare att räkna ut storleken på komplementhändelsen till minst en sexa på fyra kast än händelsen själv. Din tur 7 Vad är komplementhändelsen, hur stor är respektive mängd och hur sannolikt är komplementhändelsen? 4(9)
5 Svar: Komplementhändelsen är ingen sexa på fyra kast ; dess storlek är 5 4 = 625; och sannolikheten för komplementhändelsen är då 625/1296 = 48,2%. Med detta vet vi alltså att sannolikheten att få minst en sexa på fyra kast (vilket är komplementhändelsen till komplementhändelsen, så att säga) är P(A) = 1 P(A c ) = ,8% Detta betyder att man har större chans att vinna än att förlora när man slår vad om att man vid fyra kast med en tärning får minst en sexa. 5(9)
6 A B Figur 3: Illustration av den betingade sannolikheten P(A B). 2 Betingad sannolikhet Definition 1 Låt A, B vara händelser. Den betingade sannolikheten för A givet B är P(A B) = A B B För att se att denna definition är en generalisering av vår tidigare definition av sannolikhet kan man notera att man får den vanliga (enkla) sannolikheten genom att sätta B = U: P(A U) = A U = A = P(A) Sammanhanget mellan enkel sannolikhet och betingad sannolikhet kan beskrivas så att man zoomar in på en delmängd av utfallen, nämligen dem som är förenliga med B. Dessa händelser blir det nya utfallsrummet. Detta illustreras i Figur 3. Om vi antar att sannolikheten för en händelse är proportionerlig till dess andel av arean så har vi P(A) = 4/16. Om vi nu vet att B har inträffat så har sannolikheten för A höjts rejält till P(A B) = A B B = 2 4. Definition 2 Två händelser A och B kallas oberoende om P(A B) = P(A)P(B). Sannolikheten P(A B) beräknas även om vi inte vet att A och B är oberoende: Lemma 1 För alla händelser A, B gäller att P(A B) = P(A B)P(B). Bevis. Vi börjar med produkten P(A B)P(B), tillämpar definition av betingad och enkel sannolikhet och kortar bråktalet: P(A B)P(B) = A B B B A B B A B = = = P(A B) B 6(9)
7 U P(A 1 ) P(A 2 ) A 1 A 2 P(B A 1 ) P(B c A 1 ) P(B A 2 ) P(B c A 2 ) A 1 B A 1 B c A 2 B A 2 B c Figur 4: Träddiagram för problem där A 1 A 2 = U och A 1 A 2 =. Om man kombinerar definition av oberoende händelser med Lemma 1 ser man att P(A B) = P(A) om A och B är oberoende. Den betingade sannolikheten för A givet B inte är större än den enkla sannolikheten för A; händelsen B händer har ingen påverkan på A. 3 Lagen om total sannolikhet Din tur 8 Hur räknar man ut P(A B)? Svar: Genom att använda oss av räknereglerna för kardinalitet får vi P(A B) = A B = A + B A B = P(A) + P(B) P(A B) Definition 3 Två händelser A 1, A 2 kallas disjunkta om A 1 A 2 =. Din tur 9 Hur räknar man ut P(A B)? om A och B är disjunkta? Svar: Då gäller P(A B) = 0 och P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = P(A) + P(B). När man har problem med två disjunkta händelser A 1, A 2 sådana att A 1 A 2 = U och en tredje händelse B (som inte behöver vara disjunkt till A 1 eller A 2 ) kan man visualisera det genom att rita ett träddiagram som i Figur 4. Man tänker sig att man startar i rotnoden (längst upp). Eftersom A 1 A 2 = U så måste antingen A 1 eller A 2 hända. Eftersom A 1 och A 2 är disjunkta kan antingen endast en av dessa hända: antingen A 1 (med sannolikhet P(A 1 )) eller A 2 (med sannolikhet P(A 2 )). Oberoende av vilken händelse som inträffar kan antingen B 7(9)
8 hända eller så händer B c, komplementet till B. Nu finns det fyra olika fall; exakt ett av dessa fall måste inträffa: A 1 B A 1 B c A 2 B A 2 B c Lagen om total sannolikhet säger att man kan beräkna sannolikheten för B genom att plussa ihop sannolikheterna för de två fall som kan leda till B: Lemma 2 (Lagen om total sannolikhet) Låt A 1, A 2 vara händelser sådana att A 1 A 2 = U och A 1 A 2 =. Då gäller följande för alla händelser B: P(B) = P(B A 1 ) + P(B A 2 ) = P(A 1 )P(B A 1 ) + P(A 2 )P(B A 2 ) Bevis. P(B) = P(B U) (eftersom B U) = P(B (A 1 A 2 )) (eftersom A 1 A 2 = U) = P((B A 1 ) (B A 2 )) (de Morgan) = P(B A 1 ) + P(B A 2 ) (eftersom A 1 A 2 = ) = P(A 1 )P(B A 1 ) + P(A 2 )P(B A 2 ) (Lemma 1) 4 Bayes lag Det finns många situationer då vi är intresserade i P(B A) men då vi bara har tillgång till P(A B). Bayes lag låter en vända på en betingad sannolikhet. Lemma 3 (Bayes lag) Låt A, B vara händelser. Då gäller P(B A) = P(A B)P(B) P(A) Bevis. Vi tillämpar Lemma 1 på två sätt: P(A B) = P(B A) P(A) P(A B) = P(A B) P(B) Nu sätter vi de båda termer till höger om likhetstecknet lika med varandra och dela med P(A) respektive P(B). Då får vi: P(B A) = P(A B) P(B) P(A) P(A B) = P(B A) P(A) P(B) 8(9)
9 Din tur 10 Vi har följande information: Meningit orsakar feber i 80% av alla fall. Meningit har en prevalens på 0,15%. 1 av 100 människor lider av feber. En läkare träffar en patient med feber. Hur sannolikt är det att denna patient har meningit? Från Bayes lag får vi: P(meningit feber) = P(feber meningit)p(meningit) P(feber) = 0,8 0,0015 0,01 = 0,12 9(9)
Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 (Marco Kuhlmann 2013, tillägg och redaktion Mats Dahllöf 2014).
UPPSALA UNIVERSITET Matematik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 (Marco Kuhlmann 2013, tillägg och redaktion Mats Dahllöf 2014). 9 Sannolikhet Detta kapitel
Läs merhändelsen som alltid inträffar. Den tomma mängden representerar händelsen som aldrig inträffar.
Marco Kuhlmann Detta är en kompakt sammanfattning av momentet sannolikhetslära som ingår i kurserna Matematik 1b och 1c på gymnasiet. 1 Grundläggande begrepp 1.01 När vi singlar slant eller kastar tärning
Läs merKombinatorik och sannolikhetslära
Grunder i matematik och logik (2018) Kombinatorik och sannolikhetslära Marco Kuhlmann Sannolikhetslära Detta avsnitt är för det mesta en kompakt sammanfattning av momentet sannolikhetslära som ingår i
Läs mer1 Föreläsning I, Mängdlära och elementär sannolikhetsteori,
1 Föreläsning I, Mängdlära och elementär sannolikhetsteori, LMA201, LMA521 1.1 Mängd (Kapitel 1) En (oordnad) mängd A är en uppsättning av element. En sådan mängd kan innehålla ändligt eller oändlligt
Läs merKap 2: Några grundläggande begrepp
Kap 2: Några grundläggande begrepp Varför sannolikhetslära är viktigt? Vad menar vi med sannolikhetslära? Träddiagram? Vad är den klassiska, empiriska och subjektiva sannolikheten? Vad menar vi med de
Läs merSannolikhetslära. 1 Grundläggande begrepp. 2 Likformiga sannolikhetsfördelningar. Marco Kuhlmann
Marco Kuhlmann Detta är en kompakt sammanfattning av momentet sannolikhetslära som ingår i kurserna Matematik 1b och 1c på gymnasiet. I slutet av dokumentet hittar du uppgifter med vilka du kan testa om
Läs mer1 Föreläsning I, Vecka I: 5/11-11/11 MatStat: Kap 1, avsnitt , 2.5
1 Föreläsning I, Vecka I: 5/11-11/11 MatStat: Kap 1, avsnitt 2.1-2.2, 2.5 Introduktion till kursen. Grundläggande sannolikhetslära. Mängdlära, händelser, sannolikhetsmått Händelse följer samma räkneregler
Läs merMatematisk statistik - Slumpens matematik
Matematisk Statistik Matematisk statistik är slumpens matematik. Började som en beskrivning av spel, chansen att få olika utfall. Brevväxling mellan Fermat och Pascal 1654. Modern matematisk statistik
Läs merIntroduktion till sannolikhetslära. Människor talar om sannolikheter :
F9 Introduktion till sannolikhetslära Introduktion till sannolikhetslära Människor talar om sannolikheter : Sannolikheten att få sju rätt på Lotto Sannolikheten att få stege på en pokerhand Sannolikheten
Läs merFöreläsning 2. Kapitel 3, sid Sannolikhetsteori
Föreläsning 2 Kapitel 3, sid 47-78 Sannolikhetsteori 2 Agenda Mängdlära Kombinatorik Sannolikhetslära 3 Mängdlära Används för att hantera sannolikheter Viktig byggsten inom matematik och logik Utfallsrummet,
Läs merF2 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT )
Stat. teori gk, ht 2006, JW F2 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT 4.1-4.2) Ordlista till NCT Random experiment Outcome Sample space Event Set Subset Union Intersection Complement Mutually exclusive Collectively exhaustive
Läs merFöreläsning 1, Matematisk statistik Π + E
Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Föreläsning 1, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 4 november 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F1 1/26 Introduktion Sannolikhetsteori
Läs merTAMS79: Föreläsning 1 Grundläggande begrepp
TMS79: Föreläsning 1 Grundläggande begrepp Johan Thim 31 oktober 2018 1.1 Begrepp Ett slumpförsök är ett försök där resultatet ej kan förutsägas deterministiskt. Slumpförsöket har olika möjliga utfall.
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Grundbegrepp, axiomsystem, betingad sannolikhet, oberoende händelser, total sannolikhet, Bayes sats Uwe Menzel uwe.menzel@slu.se 23 augusti 2017 Slumpförsök Ett försök
Läs merReliability analysis in engineering applications
Reliability analysis in engineering applications Fredrik Carlsson Sannolikhetsteorins grunder Fördelningar och stokastiska variabler Extremvärdesfördelningar Simulering Structural Engineering - Lund University
Läs merUtfall, Utfallsrummet, Händelse. Sannolikhet och statistik. Utfall, Utfallsrummet, Händelse. Utfall, Utfallsrummet, Händelse
Utfall, Utfallsrummet, Händelse Sannolikhet och statistik Sannolikhetsteorins grunder HT 2008 Uwe.Menzel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Denition 2.1 Resultatet av ett slumpmässigt försök kallas
Läs merSannolikhetsteori. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 23/ /14
1/14 Sannolikhetsteori Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 23/1 2013 2/14 Dagens föreläsning Relativa frekvenser Matematik för händelser Definition av sannolikhet
Läs merTMS136. Föreläsning 2
TMS136 Föreläsning 2 Sannolikheter För en händelse E skriver vi sannolikheten att E inträffar som P(E) För en händelse E skriver vi sannolikheten att E inte inträffar som P(E ) Exempel Låt E vara händelsen
Läs merTMS136. Föreläsning 2
TMS136 Föreläsning 2 Slumpförsök Med slumpförsök (random experiment) menar vi försök som upprepade gånger utförs på samma sätt men som kan få olika utfall Enkla exempel är slantsingling och tärningskast
Läs mer3 Grundläggande sannolikhetsteori
3 Grundläggande sannolikhetsteori Ämnet sannolikhetsteori har sin grund i studier av hasardspel utförda under 1500- och 1600-talen av bland andra Gerolamo Cardano, Pierre de Fermat och Blaise Pascal. Mycket
Läs merFöreläsning 1, Matematisk statistik för M
Föreläsning 1, Matematisk statistik för M Erik Lindström 23 mars 2015 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 1/30 Tillämpningar Praktiska detaljer Matematisk statistik slumpens matematik Sannolikhetsteori:
Läs merS0007M Statistik2: Slumpmodeller och inferens. Inge Söderkvist
Föreläsning 1 4.1 Slumpässighet 4.2 Sannolikhetsmodeller Viktiga grundbegrepp Slumpmässig (eng: random) Ett fenomen är slumpmässigt om individuella resultat är osäkra, men resultat alltid förekommer med
Läs merFöreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 2 HT07
Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 2 HT07 Bengt Ringnér August 31, 2007 1 Inledning Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna. 2 Händelser och sannolikheter
Läs merMatematisk statistik 9hp för: C,D,I, Pi
Matematisk statistik 9hp för: C,D,I, Pi Föreläsning 1, Sannolikhet Stas Volkov September 12, 2017 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 1/27 Tillämpningar Praktiska detaljer Matematisk
Läs merMatematisk statistik 9 hp för I, Pi, C, D och fysiker Föreläsning 1: Introduktion och Sannolikhet
Matematisk statistik 9 hp för I, Pi, C, D och fysiker Föreläsning 1: Introduktion och Sannolikhet Anna Lindgren 30+31 augusti 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 1/27 Praktiska
Läs merFinansiell statistik, vt-05. Sannolikhetslära. Mängder En mängd är en samling element (objekt) 1, 2,, F2 Sannolikhetsteori. koppling till verkligheten
Johan, Koskinen, Statistiska institutionen, Stockholms universitet Finansiell statistik, vt-05 F2 Sannolikhetsteori Sannolikhetslära koppling till verkligheten mängdlära räkna med sannolikheter definitioner
Läs merKolmogorovs Axiomsystem Kolmogorovs Axiomsystem Varje händelse A tilldelas ett tal : slh att A inträar Sannolikheten måste uppfylla vissa krav: Kolmog
Slumpvariabel (Stokastisk variabel) Resultat av ett slumpförsök - utgången kann inte kontrolleras Sannolikhet och statistik Sannolikhetsteorins grunder VT 2009 Resultatet kan inte förutspås, men vi vet
Läs mer{ } { } En mängd är en samling objekt A = 0, 1. Ex: Mängder grundbegrepp 5 C. Olof M C = { 7, 1, 5} M = { Ce, Joa, Ch, Je, Id, Jon, Pe}
Mängder grundbegrepp En mängd är en samling objekt Ex: { } { } A = 0, 1 B = 0 C = { 7, 1, 5} tomma mängden (har inga element) D = { 1, 2, 3,, 10} M = { Ce, Joa, Ch, Je, Id, Jon, Pe} kallas element i mängden
Läs merMatematisk Statistik och Disktret Matematik, MVE051/MSG810, VT19
Matematisk Statistik och Disktret Matematik, MVE051/MSG810, VT19 Nancy Abdallah Chalmers - Göteborgs Universitet March 25, 2019 1 / 36 1. Inledning till sannolikhetsteori 2. Sannolikhetslagar 2 / 36 Lärare
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 1. Jan Grandell & Timo Koski 01.09.2008 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 01.09.2008 1 / 48 Inledning Vi ska först ge några exempel på
Läs merStatistikens grunder HT, dagtid Statistiska institutionen
Statistikens grunder 1 2013 HT, dagtid Statistiska institutionen Orsak och verkan N Kap 2 forts. Annat ord: kausalitet Något av det viktigaste för varje vetenskap. Varför? Orsakssamband ger oss möjlighet
Läs mer(N) och mängden av heltal (Z); objekten i en mängd behöver dock inte vara tal. De objekt som ingår i en mängd kallas för mängdens element.
Grunder i matematik och logik (2017) Mängdlära Marco Kuhlmann 1 Grundläggande begrepp Mängder och element 2.01 En mängd är en samling objekt. Två standardexempel är mängden av naturliga tal (N) och mängden
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, BETINGAD SANNOLIKHETER, OBEROENDE. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 2 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, BETINGAD SANNOLIKHETER, OBEROENDE HÄNDELSER Tatjana Pavlenko 26 mars, 2015 SANNOLIKHETSGRUNDER (REPETITION) Slumpförsöket
Läs merTMS136. Föreläsning 1
TMS136 Föreläsning 1 Varför? Om vi gör mätningar vill vi kunna modellera och kvantifiera de osäkerheter som obönhörligen finns Om vi handlar med värdepapper vill kunna modellera och kvantifiera de risker
Läs merFöreläsning 1. Grundläggande begrepp
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 2009) Föreläsning 1 Sannolikhetsteori (LLL Kap 5) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course,
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 1
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 1 Sannolikhetslära (LLL Kap 5) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course,
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende Jan Grandell & Timo Koski 14.01.2013 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 14.01.2013 1 / 25 Repetition:
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 1. Jan Grandell & Timo Koski 19.01.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 19.01.2016 1 / 65 Många tänker på tabeller 1 när de hör ordet statistik.
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende Jan Grandell & Timo Koski 21.01.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 21.01.2016 1 / 39 Lärandemål Betingad
Läs merF3 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT ) För komplementhändelsen A till händelsen A gäller att
Stat. teori gk, ht 2006, JW F3 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT 4.3-4.4) Ordlista till NCT Complement rule Addition rule Conditional probability Multiplication rule Independent Komplementsatsen Additionssatsen Betingad
Läs merSannolikhetsbegreppet
Kapitel 3 Sannolikhetsbegreppet Betrakta följande försök: Ett symmetriskt mynt kastas 100 gånger och antalet krona observeras. Antal kast 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Antal krona 6 12 16 21 25 30 34
Läs merStatistik. Det finns tre sorters lögner: lögn, förbannad lögn och statistik
Statistik Statistik betyder ungefär sifferkunskap om staten Statistik är en gren inom tillämpad matematik som sysslar med insamling, utvärdering, analys och presentation av data eller information. Verkligheten
Läs merSF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 1 Mängdlära Grundläggande sannolikhetsteori Kombinatorik Deskriptiv statistik
SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 1 Mängdlära Grundläggande sannolikhetsteori Kombinatorik Deskriptiv statistik Jörgen Säve-Söderbergh Information om kursen Kom ihåg att
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende Jan Grandell & Timo Koski 21.01.2015 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 21.01.2015 1 / 1 Repetition:
Läs merStatistisk slutledning (statistisk inferens): Sannolikhetslära: GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSLÄRA. Med utgångspunkt från ett stickprov
OSÄKERHET Sannolikhetslära: Om det i ett område finns 32 % med universitetsexamen, vad är sannolikheten att ett stickprov kommer att innehålla 31-33 % med universitetsexamen? Om medelåldern i en population
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Grundbegrepp, axiomsystem, betingad sannolikhet, oberoende händelser, total sannolikhet, Bayes sats Uwe Menzel, 2018 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de
Läs merTMS136. Föreläsning 1
TMS136 Föreläsning 1 Varför? Om vi gör mätningar vill vi modellera och kvantifiera de osäkerheter som obönhörligen finns Om vi handlar med värdepapper vill vi modellera och kvantifiera de risker som finns
Läs merStatistik 1 för biologer, logopeder och psykologer
Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data
Läs mer7-1 Sannolikhet. Namn:.
7-1 Sannolikhet. Namn:. Inledning Du har säkert hört ordet sannolikhet förut. Hur sannolikt är det att få 13 rätt på tipset eller 7 rätt på lotto? I detta kapitel skall du lära dig vad sannolikhet är för
Läs mer7-2 Sammansatta händelser.
Namn: 7-2 Sammansatta händelser. Inledning Du vet nu vad som menas med sannolikhet. Det lärde du dig i kapitlet om just sannolikhet. Nu skall du tränga lite djupare i sannolikhetens underbara värld och
Läs merFöreläsning G70, 732G01 Statistik A
Föreläsning 3 732G70, 732G01 Statistik A Introduktion till sannolikhetslära Sannolikhetslära: område inom statistiken där vi studerar experiment vars utfall beror av slumpen Sannolikhet: numeriskt värde
Läs merMängder. 1 Mängder. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Grundläggande begrepp. 1.2 Beskrivningar av mängder. Marco Kuhlmann
Marco Kuhlmann 1 Diskret matematik handlar om diskreta strukturer. I denna lektion kommer vi att behandla den mest elementära diskreta strukturen, som alla andra diskreta strukturer bygger på: mängden.
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, STATISTIK BETINGADE SANNOLIKHETER, OBEROENDE. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 2 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, BETINGADE SANNOLIKHETER, OBEROENDE HÄNDELSER Tatjana Pavlenko 30 augusti, 2016 SANNOLIKHETSGRUNDER (REPETITION) Slumpförsöket
Läs merFöreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012
Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår
Läs merSF1911: Statistik för bioteknik
SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 3. TK 3.11.2017 TK Matematisk statistik 3.11.2017 1 / 53 Probability: What is it? Probability is a number between 0 and 1 that predicts the (relative) frequency
Läs merSlumpförsök för åk 1-3
Modul: Sannolikhet och statistik Del 3: Att utmana elevers resonemang om slump Slumpförsök för åk 1-3 Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet Andreas Eckert, Linnéuniversitetet I följande text beskrivs
Läs merÖvning 1 Sannolikhetsteorins grunder
Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder Två händelser A och B är disjunkta om {A B} =, det vill säga att snittet inte innehåller några element. Om vi har en mängd händelser A 1, A 2, A 3,..., A n, vilka är
Läs merAktiviteten, (Vad är mina chanser?), parvis, alla har allt material,
Aktiviteten, (Vad är mina chanser?), parvis, alla har allt material, Hur stor är chansen? NAMN Ni kommer att utvärdera olika spel för att hjälpa er förstå sannolikheten. För varje spel, förutsäga vad som
Läs merSannolikhetslära. 19 februari 2009. Vad är sannolikheten att vinna om jag köper en lott?
Sannolikhetslära 19 februari 009 Vad är en sannolikhet? I vardagen: Vad är sannolikheten att vinna om jag köper en lott? Borde jag ta paraply med mig till jobbet idag? Vad är sannolikheten att det kommer
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 3 4 november 2016 1 / 28 Idag Förra gången Stokastiska variabler (Kap. 3.2) Diskret stokastisk variabel (Kap. 3.3 3.4) Kontinuerlig stokastisk
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker. Matematisk statistik slumpens matematik. Tillämpningar för matematisk statistik.
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 1 Johan Lindström 4 september 2018 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F1 2/29 Matematisk statistik slumpens matematik Sannolikhetsteori:
Läs merFöreläsning 12: Repetition
Föreläsning 12: Repetition Marina Axelson-Fisk 25 maj, 2016 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI Grundläggande sannolikhetsteori Utfall = resultatet av ett försök Utfallsrum S = mängden av alla utfall Händelse
Läs merKapitel 1. betecknas detta antal med n(a). element i B; bet. A B. Den tomma mängden är enligt överenskommelsen en delmängd. lika; bet. A = B.
Kapitel 1 Mängdlära Begreppet mängd är fundamentalt i vårt tänkande; en mängd är helt allmänt en samling av objekt, vars antal kan vara ändligt eller oändligt. I matematiken kallas dessa objekt mängdens
Läs merAnna: Bertil: Cecilia:
Marco Kuhlmann 1 Osäkerhet 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 Intelligenta agenter måste kunna hantera osäkerhet. Världen är endast delvist observerbar och stokastisk. (Jmf. Russell och Norvig, 2014, avsnitt 2.3.2.)
Läs merUppgifter 6: Kombinatorik och sannolikhetsteori
Grunder i matematik och logik (2017) Uppgifter 6: Kombinatorik och sannolikhetsteori Marco Kuhlmann Kombinatorik Nivå A 6.01 En meny består av tre förrätter, fem huvudrätter och två efterrätter. På hur
Läs merKapitel Test 1 sidan sid 56 ff... 7 Blandade Uppgifter Totalt har högt blodtryck. 85 % av 80 st =68 dricker alkohol.
Matematik 5 svar till vissa uppgifter i kapitel 1. Kapitel 1... 1 Test 1 sidan sid 56 ff... 7 Blandade Uppgifter... 10 Kapitel 1 1105. 1106. A = { 1, 0,2,3,4,5,6,7,8,9,10} och B{x: x R, x 0} A B = { 1,0}
Läs merMatematisk statistik
Matematisk statistik för STS vt 2004 2004-03 - 23 Bengt Rosén Matematisk statistik Ämnet matematisk statistik omfattar de två delområdena Sannolikhetsteori Statistikteori Bloms A - bok behandlar sannolikhetsteori,
Läs merSannolikhetslära till pdf.notebook. May 04, 2012. Sannolikhetslära. Kristina.Wallin@kau.se
May 0, 0 Sannolikhetslära Kristina.Wallin@kau.se May 0, 0 Centralt innehåll Sannolikhet Åk Slumpmässiga händelser i experiment och spel. Åk 6 Sannolikhet, chans och risk grundat på observationer, experiment
Läs merBIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 1, OCH ÖVNING 2, SAMT INFÖR ÖVNING 3
LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 1, 2016-04-01 OCH ÖVNING 2, 2016-04-04 SAMT INFÖR ÖVNING 3 Övningarnas mål: Du ska förstå grundläggande
Läs merProbabilistisk logik 1
729G43 Artificiell intelligens / 2016 Probabilistisk logik 1 Marco Kuhlmann Institutionen för datavetenskap Osäkerhet 1.01 Osäkerhet Agenter måste kunna hantera osäkerhet. Agentens miljö är ofta endast
Läs merExempel: Väljarbarometern. Föreläsning 1: Introduktion. Om Väljarbarometern. Statistikens uppgift
Exempel: Väljarbarometern Föreläsning 1: Introduktion Matematisk statistik Det som typiskt karakteriserar ett statistiskt problem är att vi har en stor grupp (population) som vi vill analysera. Vi kan
Läs merSatsen om total sannolikhet och Bayes sats
Satsen om total sannolikhet och Bayes sats Satsen om total sannolikhet Ibland är det svårt att direkt räkna ut en sannolikhet pga att händelsen är komplicerad/komplex. Då kan man ofta använda satsen om
Läs merF2 Introduktion. Sannolikheter Standardavvikelse Normalapproximation Sammanfattning Minitab. F2 Introduktion
Gnuer i skyddade/oskyddade områden, binära utfall och binomialfördelningar Matematik och statistik för biologer, 10 hp Fredrik Jonsson Januari 2012 I vissa områden i Afrika har man observerat att förekomsten
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 1. Jan Grandell & Timo Koski 19.01.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 19.01.2016 1 / 70 Många tänker på tabeller 1 när de hör ordet statistik.
Läs merBetingad sannolikhet och oberoende händelser
Kapitel 5 Betingad sannolikhet och oberoende händelser Betrakta ett försök med ett ändligt utfallsrum Ω och en händelse A vid detta försök. Definitionsmässigt gäller att A Ω och försökets utfall ligger
Läs merFöreläsning 1: Introduktion
Föreläsning 1: Introduktion Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology March 22, 2014 Lärare och kurslitteratur David Bolin: Rum: E-mail: Fredrik Boulund: Rum: E-mail: Kursansvarig,
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, KORT OM BESKRIVANDE STATISTIK. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 1 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, KORT OM BESKRIVANDE STATISTIK Tatjana Pavlenko 23 mars, 2015 KURSINFORMATION Blom m.fl. Sannolokhetsteori och statistikteori
Läs mer1 Mätdata och statistik
Matematikcentrum Matematik NF Mätdata och statistik Betrakta frågeställningen Hur mycket väger en nyfödd bebis?. Frågan verkar naturlig, men samtidigt mycket svår att besvara. För att ge ett fullständigt
Läs merExperimentera i sannolikhet från teoretisk sannolikhet till data
Modul: Sannolikhet och statistik Del 3. Sannolikhet kopplingen mellan teoretisk modell och data Experimentera i sannolikhet från teoretisk sannolikhet till data Per Nilsson, Örebro universitet Sannolikhet
Läs merFMS012/MASB03: Matematisk statistik 9.0 hp för F+fysiker Föreläsning 1: Sannolikhet
FMS012/MASB03: Matematisk statistik 9.0 hp för F+fysiker Föreläsning 1: Sannolikhet Anna Lindgren 18 januari 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 1/27 Tillämpningar Praktiska
Läs merFÖRELÄSNING 3:
FÖRELÄSNING 3: 26-4-3 LÄRANDEMÅL Fördelningsfunktion Empirisk fördelningsfunktion Likformig fördelning Bernoullifördelning Binomialfördelning Varför alla dessa fördelningar? Samla in data Sammanställ data
Läs merKapitel 2. Grundläggande sannolikhetslära
Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 2 Grundläggande sannolikhetslära 1 Att beräkna en sannolikhet I många slumpförsök gäller att alla utfall i S är lika sannolika. Exempel: Tärningskast, slantsingling.
Läs merLaboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, FÖR I/PI, FMS 121/2, HT-3 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Läs merUppsala universitet Institutionen för lingvistik och filologi. Grundbegrepp: Mängder och element Delmängder
Mängder Joakim Nivre Uppsala universitet Institutionen för lingvistik och filologi Översikt Grundbegrepp: Mängder och element Delmängder Operationer på mängder: Union och snitt Differens och komplement
Läs merIntroföreläsning i S0001M, Matematisk statistik LP3 VT18
föreläsning i S0001M, Matematisk statistik LP3 VT18 Luleå tekniska universitet 15 januari 2018 Gruppindelning och lärare Gruppindelning Grupp A - Datateknik, Väg- och vatten (Mykola) Grupp B - Ind. ekonomi,
Läs merVad kan hända? strävorna
strävorna 4D Vad kan hända? föra, följa och värdera matematiska resonemang sannolikhet Avsikt och matematikinnehåll Innebörden i sannolikhet är en viktig kunskap för alla. Det finns gott om exempel på
Läs merSF1911: Statistik för bioteknik
SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 4. TK 7.11.2017 TK Matematisk statistik 7.11.2017 1 / 42 Lärandemål Betingad sannolikhet (definition, betydelse) Oberoende händelser Lagen om total sannolikhet
Läs merSTOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar
2007-10-08 sida 1 # 1 STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar Sven Erick Alm och Tom Britton Typsatt med liber1ab 2007-10-08 1 2007-10-08 sida 2 # 2 2007-10-08 sida i # 3 Innehåll
Läs merMATEMATIK ARBETSOMRÅDET LIKABEHANDLING Kränkande handlingar, nätmobbning, rasism och genus
MATEMATIK ARBETSOMRÅDET LIKABEHANDLING Kränkande handlingar, nätmobbning, rasism och genus STATISTIK/DIAGRAM VAD ÄR STATISTIK? En titt på youtube http://www.youtube.com/watch?v=7civnkawope Statistik omfattar
Läs merIntroföreläsning i S0001M Matematisk statistik Läsperiod 2, HT 2018
Introföreläsning i S0001M Matematisk statistik Läsperiod 2, HT 2018 Mykola Shykula Luleå tekniska universitet 5 november 2018 Gruppindelning och lärare Gruppindelning Grupp A: 30 st Arkitekt (TCARA), 20
Läs merSF1901: Övningshäfte
SF1901: Övningshäfte 5 september 2013 Uppgifterna under rubriken Övning kommer att gås igenom under övningstillfällena. Uppgifterna under rubriken Hemtal är starkt rekommenderade och motsvarar nivån på
Läs merFöreläsning 1: Tal, mängder och slutledningar
Föreläsning 1: Tal, mängder och slutledningar Tal Tal är organiserade efter några grundläggande egenskaper: Naturliga tal, N De naturliga talen betecknas med N och innehåller alla positiva heltal, N =
Läs mer14.1 Diskret sannolikhetslära
14.1 Diskret sannolikhetslära 14.1.1 Utfallsrum och händelser Vi ska här studera slumpmässiga försök med ändligt många utfall, resultat. Mängden av utfall kallas försökets utfallsrum. Varje delmängd av
Läs merSF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 23 mars, 2018
SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 3 DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 23 mars, 2018 PLAN FÖR DAGENSFÖRELÄSNING Repetition av betingade sannolikheter, användbara satser
Läs merLaboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Laboration 3 Matematisk statistik AK för CDIFysiker, FMS012/MASB03, HT15 Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 28 januari 2014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Sannolikheter Slumpvariabler Centrala gränsvärdessatsen Aalto-universitetet 8 januari 04 3 Tvådimensionella slumpvariabler
Läs mer15.1 Mer om betingad sannolikhet
15.1 Mer om betingad sannolikhet Exempel 1. En vanlig tärning kastas Låt A tärningen visar 1 Låt B tärningen visar ett udda poängantal Bestäm P(A). Bestäm P(A B), det vill säga: Hur stor är sannolikheten
Läs merStatistiska metoder för säkerhetsanalys
Anna Lindgren Matematisk statistik 2 september 2013 Formalia Syfte och Mål Om kursen Kursen ger 7.5 hp och är obligatorisk på Riskhantering. Förutsätter en grundläggande kurs i statistik/matematisk statistik.
Läs mer