Lena Alfredsson Kajsa Bråting Patrik Erixon Hans Heikne. Matematik. Kurs 5 Blå lärobok. Natur & Kultur. M5000 Kurs 5 Bla.indb :34

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Lena Alfredsson Kajsa Bråting Patrik Erixon Hans Heikne. Matematik. Kurs 5 Blå lärobok. Natur & Kultur. M5000 Kurs 5 Bla.indb 1 2013-07-11 15:34"

Transkript

1 Lena lfredsson Kajsa råting Patrik Erixon Hans Heikne Matematik 5000 Kurs 5 lå lärobok Natur & Kultur M5000 Kurs 5 la.indb :34

2 NTUR & KULTUR ox , Stockholm Kundtjänst: Tel , Redaktion: Tel , Order och distribution: Förlagssystem, ox , Stockholm Tel , Projektledare: Irene onde Textredaktör: Mats Karlsson/Devella H ildredaktör: Erica Högsborn Grafisk form och omslag: Graffoto och Åsa Lundbom Layout: Måns jörkman/typ & Design och Mats Karlsson/Devella H Sättning: Mats Karlsson/Devella H Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering är förbjuden, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt avtal med onus Presskopia och den mycket begränsade rätten till kopiering för privat bruk. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare Lena lfredsson, Jonas jörk, Lars-Eric jörk, Hans rolin, Kajsa råting, Patrik Erixon, Hans Heikne, nna Palbom och Natur & Kultur, Stockholm Tryckt i Lettland 2013 Första utgåvans första tryckning ISN M5000 Kurs 5 la.indb :34

3 Välkommen till Matematik 5000 Matematik 5000 är en läroboksserie för gymnasieskolan och vuxenutbildningen. Den är inriktad på färdigheter, förståelse, kommunikation och problemlösning och erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning. Matematik 5000 ger eleverna goda förutsättningar att utveckla de förmågor och nå de kunskapsmål som beskrivs i den nya ämnesplanen. Denna bok, Kurs 5 lå lärobok, riktar sig främst till elever som studerar på teknikprogrammet eller naturvetenskapsprogrammet. Hur är boken upplagd? Teoriavsnitten utgår ofta från konkreta exempel som framställs och förklaras på ett sätt som ger eleverna möjlighet att förstå och upptäcka matematiken. Teorin avslutas med flera lösta exempel som belyser det viktigaste. Därefter kommer övningsuppgifter i tre nivåer, a, b och c, i stigande svårighetsgrad. ktiviteterna ger stora möjligheter att variera undervisningen. De finns i fyra olika kategorier: Upptäck, Undersök, Diskutera och Laborera. De flesta är avsedda för arbete i grupp. I varje kapitel finns dessutom en kort Inledande aktivitet som introducerar delar av kapitlets innehåll. I Teman finns teori och uppgifter anpassade till naturvetenskapsprogrammet och teknikprogrammet och i Historik, med tillhörande uppgifter, sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang. På många sidor blandas uppgifter av standardkaraktär, uppgifter anpassade främst till teknikoch naturvetenskapsprogrammet och uppgifter som kräver matematisk problemlösning. Varje kapitel avslutas med: En ktivitet som uppmuntrar till kommunikation: Sant eller falskt? En kort Sammanfattning av kapitlet. Kan du det här? och Diagnos som tillsammans ger eleverna en god möjlighet till egen kunskapskontroll. I Kan du det här? kan eleverna i par eller smågrupper värdera sina kunskaper om matematiska begrepp och strategier och i Diagnos kan de enskilt testa sina grundläggande kunskaper. Om en elev behöver repetera delar av kapitlet finns Repetitionsuppgifter i slutet av boken. Repetitionsuppgifterna är texten till de lösta uppgifterna i bokens teoriavsnitt. Två olika varianter av landade övningar avslutar varje kapitel. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel. landade övningar består av tre delar: Utan räknare, Med räknare och Utredande uppgifter. I Svarsdelen finns ledtrådar och lösningar till många uppgifter. Till läroboken finns en lärarhandledning med kommentarer, ytterligare aktiviteter och övningsuppgifter samt en provbank. Med Matematik 5000 inbjuder vi lärare och elever till en variation av arbetssätt och arbetsformer och erbjuder många olika möjligheter för eleverna att utveckla sina matematiska förmågor. Mer information om läromedlet och digitalt material finns på Lycka till med matematiken! önskar Hans, Kajsa, Lena och Patrik FÖRORD 3 M5000 Kurs 5 la.indb :34

4 Innehåll 1. Diskret matematik I 6 Centralt innehåll 6 Inledande aktivitet: Hur många? Kombinatorik 8 Lådprincipen 8 Multiplikations- och additionsprincipen 11 Permutationer 15 Kombinationer 19 Kommer du ihåg sannolikhetslära? 23 Kombinatorik och sannolikhetslära 26 Tema: Poker och Yatzy 28 inomialsatsen 30 Historik: Pascals triangel Mängdlära 35 Mängder Grundbegrepp 35 Mängdoperatorer 39 Venndiagram 41 ktivitet: Undersök Kan du rita utan att lyfta pennan? Grafteori 46 Inledning 46 Historik: Fyrfärgsproblemet 49 Några klassiska problem 50 Träd 54 ktivitet: Diskutera Sant eller falskt? 57 Sammanfattning 1 58 Kan du det här? 1 60 Diagnos 1 61 landade övningar kapitel Diskret matematik II 66 Centralt innehåll 66 Inledande aktivitet: Hittar du mönstret? Talteori 68 Delbarhet och primtal 68 Gemensamma och icke gemensamma faktorer 71 ktivitet: Upptäck Räkna med rester 74 Kongruens och moduloräkning 75 Historik: Diofantiska ekvationer och Fermats stora sats 79 Talsystem med olika baser 80 Tema: RS-kryptering Talföljder 84 Inledning 84 ktivitet: Undersök Sierpińskis triangel 87 Rekursionsformler 88 ritmetiska talföljder 90 Geometriska talföljder 92 ktivitet: Undersök Hur högt blir trädet? 95 Ekonomiska, natur- och samhällsvetenskapliga tillämpningar 96 ktivitet: Laborera Hur högt studsar bollen? 101 Historik: Fibonaccis talföljd Induktionsbevis 103 ktivitet: Diskutera Sant eller falskt? 108 Sammanfattning Kan du det här? Diagnos landade övningar kapitel landade övningar kapitel INNEHÅLL M5000 Kurs 5 la.indb :34

5 3. Derivator och integraler 118 Centralt innehåll 118 Inledande aktivitet: Finn grafen Derivator 120 Repetition 120 Några bevis 126 Tangenter och linjär approximation 128 Förändringshastigheter och derivator 130 ktivitet: Laborera allongen Extremvärden 137 Tillämpningar och problemlösning 137 Historik: Den första läroboken Integraler 145 Primitiva funktioner, integraler och areaberäkningar 145 Geometriska sannolikheter 150 Partiell integration 151 Volymberäkning med skivmetoden 154 Historik: Kepler och vintunnornas geometri 157 Volymberäkning med cylindriska skal 158 Generaliserade integraler 160 ktivitet: Diskutera Sant eller falskt? 162 Sammanfattning Kan du det här? Diagnos landade övningar kapitel landade övningar kapitel Differentialekvationer 174 Centralt innehåll 174 Inledande aktivitet: estäm en funktion Inledning 176 Grundläggande begrepp 176 Historik: Newton 179 Differentialekvationer och primitiva funktioner 180 Verifiering av en lösning Differentialekvationer av första ordningen 184 Differentialekvationen y + ay = Den inhomogena ekvationen y + ay = f x) 188 ktivitet: Upptäck Riktningsfält 191 Riktningsfält 192 Historik: Euler och hans stegmetod Matematiska modeller med differentialekvationer 198 Enkla förändringsmodeller 198 landningsproblem 200 vsvalning 202 Fritt fall med luftmotstånd 203 Tillväxt med begränsningar 204 Lösning med digitala verktyg 206 ktivitet: Diskutera Sant eller falskt? 210 Sammanfattning Kan du det här? Diagnos landade övningar kapitel landade övningar kapitel Omfångsrika problemsituationer 224 Repetitionsuppgifter 237 Svar, ledtrådar och lösningar 242 Register 283 INNEHÅLL 5 M5000 Kurs 5 la.indb :34

6 1 DISKRET MTEMTIK I Centralt innehåll egreppen permutation och kombination. Metoder för beräkningar av antalet kombinationer och permutationer. egreppet mängd, operationer på mängder, mängdlärans notationer och Venndiagram. egreppet graf, olika typer av grafer och dess egenskaper samt några kända grafteoretiska problem. Strategier för matematisk problemlösning. Matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria. I kapitel 3 ska vi arbeta med area, omkrets och volym, skala och likformighet samt trigonometri. M5000 Kurs 5 la.indb :34

7 Inledande aktivitet HUR MÅNG? Diskret matematik är en gren av matematiken som sysslar med objekt som är åtskilda från varandra och som går att räkna upp. 1 a) Hur många tresiffriga tal kan bildas av sifforna 1,2 och 3 om varje siffra bara får förekomma en gång? Skriv upp alla talen. b) Hur många tvåsiffriga tal kan bildas av siffrorna 4 och 7 om varje siffra får förekomma flera gånger? Skriv upp alla talen. c) Du ska bilda en summa av ett av de tresiffriga och ett av de tvåsiffriga talen i uppgift a) och b). Hur många olika summor kan du få? 2 a) Hur många tresiffriga tal kan bildas av sifforna 1, 2 och 3 om varje siffra får förekomma flera gånger? b) Hur många tresiffriga tal kan bildas av sifforna 8, 9 och 0 om varje siffra får förekomma flera gånger? 3 a) Hur många fyrsiffriga tal finns det? b) Hur många fyrsiffriga tal finns det som är delbara med 11? M5000 Kurs 5 la.indb :34

8 1.1 Kombinatorik Lådprincipen kombinatorik Kombinatorik är den gren av matematiken som handlar om hur vi kan välja ut, ordna och kombinera olika föremål. Frågorna Hur många och På hur många sätt är vanliga. Vi visar några generella verktyg som kan användas för att lösa kombinatoriska problem. Exempel lådprincipen Om en brevbärare ska lägga 6 brev i 5 brevlådor, så måste åtminstone en brevlåda innehålla två eller flera brev. Detta är ett exempel på lådprincipen. Om brevbäraren istället har 16 brev att lägga i de 5 lådorna så kommer åtminstone en brevlåda att innehålla 4 eller flera brev. 16 = brev i varje låda och ytterligare 1 brev) Lådprincipen Om n + 1 föremål ska placeras i n lådor, så måste åtminstone en låda innehålla två eller fler av föremålen. Om n k + 1 föremål ska placeras i n lådor, så måste åtminstone en låda innehålla k + 1 eller fler av föremålen. I detta kapitel betecknar n och k positiva heltal. Det är förvånande att denna enkla princip kan användas för att lösa så många olika problem. Som problemlösare ska du försöka identifiera vad som är låda respektive föremål. Tyvärr är detta inte alltid så lätt! KOMINTORIK M5000 Kurs 5 la.indb :34

9 1101 Visa att i en grupp på 13 personer har minst två personer födelsedag i samma månad. Lådor: Årets 12 månader Föremål: De 13 födelsedagarna Placera de 13 födelsedagarna i de 12 månaderna. Enligt lådprincipen innehåller då åtminstone en månad två eller flera födelsedagar Visa att om fem punkter placeras i en liksidig triangel med sidan 6 cm, så finns det minst två punkter vars avstånd är högst 3 cm. Triangeln delas i fyra kongruenta liksidiga deltrianglar med sidan 3 cm. Lådor: De fyra deltrianglarna n = 4) Föremål: De fem punkterna n + 1 = 5) Placera de fem punkterna i de fyra deltrianglarna. Enligt lådprincipen innehåller då minst en triangel två eller fler punkter. vståndet mellan två sådana punkter är högst 3 cm. T ex T ex 6 cm 6 cm 1103 Storstockholm har invånare. Vi antar att en människa har färre än hårstrån på huvudet. Visa att åtminstone 4 av dessa invånare har exakt samma antal hårstrån. Lådor: st, dvs 0, 1, 2,..., hårstrån Föremål: stockholmare Eftersom > så säger lådprincipen att åtminstone en låda innehåller minst föremål. Det innebär att minst 4 stockholmare har samma antal hårstrån på huvudet. 1.1 KOMINTORIK 9 M5000 Kurs 5 la.indb :34

10 1104 I en låda ligger enfärgade, osorterade strumpor i färgerna svart, vit, blå och grå. Hur många strumpor måste man ta ur lådan för att vara säker på att få ett par av samma färg? 1105 Visa att det i en klass på 32 elever finns åtminstone två som har födelsedag på samma datum i någon månad Visa att om fem punkter placeras i en kvadrat med sidan 2 cm, så finns det två punkter vars avstånd är högst 2 cm Till en nordisk skolkonferens kom det sammanlagt 31 elever från Sverige, Norge, Danmark, Finland och Island. a) Vilket tal är n antalet lådor )? b) Visa att något land representeras av minst 7 elever EU-parlamentet består av 754 personer från 27 olika stater. Visa att minst 28 personer kommer från samma stat En låda innehåller 50 tröjor i fyra olika färger. Förklara varför det är a) minst 13 tröjor av samma färg b) minst 14 tröjor av samma färg om man vet att det finns exakt 8 röda tröjor År 2010 fanns 7,2 miljoner invånare i Sverige, som var 20 år eller äldre. v dessa hade 47 % en månadsinkomst före skatt som var mindre än kr. Visa att det år 2010 fanns åtminstone 160 svenskar som hade exakt på kronan samma månadsinkomst Enligt SC hade Sverige invånare den 30 november Det finns en dag på året även skottår)då åtminstone x svenska invånare har födelsedag. estäm x Visa att om 10 punkter placeras i en liksidig triangel med sidan 6 cm, så finns det två punkter vars avstånd är högst 2 cm I ett rum finns det n gifta par. Hur många av dessa 2n personer måste väljas ut för att man ska vara säker på att få minst ett gift par? Motivera. I en skål ligger 8 röda och 5 blå kulor. Hur många kulor måste du slumpvis ta upp för att säkert få två av a) samma färg b) olika färg c) varje färg? 1110 En musiker övar 110 timmar under en period på 12 dagar. Visa att hon övar sammanlagt åtminstone 19 timmar under två på varandra följande dagar. Hon övar i hela timmar.) KOMINTORIK M5000 Kurs 5 la.indb :34

11 Multiplikations- och additionsprincipen Exempel 1 När lma ska träna har hon följande kläder att välja på: linne, kortärmad tröja eller långärmad tröja korta byxor, knälånga byxor eller långa byxor löparskor eller inomhusskor. Vi visar med ett träddiagram på hur många olika sätt hon kan klä sig. linne kort lång Tröja korta knä långa korta knä långa korta knä långa yxor Skor löp inom löp inom löp inom löp inom löp inom löp inom löp inom löp inom löp inom Diagrammet visar att lma kan klä sig på 18 olika sätt. Utan träddiagram kan vi tänka att hon har tre val att göra: 3 olika tröjor, 3 olika byxor och 2 olika skor. Detta ger beräkningen = 18. multiplikationsprincipen Den regel inom kombinatoriken som ger det totala antalet möjliga kombinationer när flera val görs oberoende av varandra kallas multiplikationsprincipen. Multiplikationsprincipen Om ett första val kan ske på p sätt och ett andra val kan göras på q sätt, så kan de båda valen utförda efter varandra göras på p q sätt. En förutsättning för detta är att det första valet inte påverkar det andra valet. 1.1 KOMINTORIK 11 M5000 Kurs 5 la.indb :34

12 M E N Y Förrätt: Soppa Sallad Huvudrätt: Fisk Kött Vegetariskt Efterrätt: Glass Tårta Paj Exempel 2 På en restaurang kan man välja förrätt och huvudrätt eller huvudrätt och efterrätt för 200 kr. Erik undrar på hur många sätt man kan välja två rätter. Multiplikationsprincipen ger att: Förrätt + Huvudrätt kan väljas på 2 3 = 6 olika sätt. Huvudrätt + Efterrätt kan väljas på 3 3 = 9 olika sätt. Välj förrätt och huvudrätt eller huvudrätt och efterrätt för 200 kr Sammanlagt finns det alltså = 15 olika sätt att välja 2 rätter på restaurangen. llmänt gäller: dditionsprincipen Om man ska välja 1 föremål från en mängd med p olika föremål eller från en mängd med q olika föremål, så kan detta ske på p + q olika sätt. Obs! En förutsättning är att mängderna inte har något föremål gemensamt När William ska köpa en surfplatta står han inför tre val trots att han har bestäm vilket märke kan ska köpa. Det finns tre olika skärmstorlekar och liten eller stor hårddisk. åda hårddiskarna finns till alla skärmar och surfplattorna finns i färgerna svart, rött, grönt, blått eller vitt. Hur många olika surfplattor har William att välja på? Han står inför tre valsituationer där antalet valmöjligheter är 3, 2 respektive 5. Inget val påverkar det andra. ntalet varianter av surfplattor är = KOMINTORIK M5000 Kurs 5 la.indb :35

13 1117 Conrad ska välja en karamell ur vardera skålen. a) På hur många sätt kan detta ske? b) På hur många sätt kan detta ske om han vill ha minst en röd karamell? a) Multiplikationsprincipen ger 4 5 = 20 sätt. b) Den runda röda kan kombineras med de 5 fyrkantiga karamellerna, vilket ger 5 sätt. Den fyrkantiga röda kan kombineras med de 4 runda karamellerna, vilket ger 4 sätt. Här måste vi minska med 1 sätt eftersom två röda ingår i båda fallen ovan. dditionsprincipen ger = 8 sätt I en klass går det 11 pojkar och 15 flickor. På hur många sätt kan man välja a) en elevrepresentant b) två elevrepresentanter, en pojke och en flicka? 1119 Lukas som ska köpa en cykel ställs inför flera val. Herr eller damcykel? Vilket av fem märken? Mountainbike, streetcykel eller racer? 3, 5, 7, 18 eller 21 växlar? Pakethållare eller inte? Vilken av fyra färger? Lukas leker med tanken på att alla varianter kan kombineras med varandra. Hur många cyklar har han då att välja på? 1120 När man spelar på V75 ska man välja vilken häst som vinner i sju olika lopp. Vid ett tillfälle startade 9, 10, 9, 9, 11, 10 respektive 10 hästar i de olika loppen. På hur många olika sätt kan man skriva en V75-rad till den spelomgången? 1121 Hur många fyrsiffriga pinkoder finns det? 1122 Lubna ska låna ljudböcker på biblioteket. Hon väljer mellan fem deckare, tre självbiografier och fyra fantasyböcker. På hur många sätt kan hon välja a) en bok b) tre böcker med en i varje genre c) två böcker i olika genrer? 1123 Sex personer är med i utlottningen av två lika stora vinster. Det är herr och fru lm, herr och fru Olsson samt herr och fru Raciz. På hur många sätt kan de två vinsterna fördelas om åtminstone en av personerna i familjen lm vinner? 1124 Hur många olika svenska bilregistreringsskyltar för bilar kan man göra enligt modellen först 3 bokstäver och sedan 3 siffror? okstäverna I, Q, V, Å, Ä och Ö används inte. 1.1 KOMINTORIK 13 M5000 Kurs 5 la.indb :35

14 1125 En kokbok innehåller 50 förrätter, 100 huvudrätter och 50 efterrätter. På hur många sätt kan man ur boken komponera en två- eller trerättersmiddag som innehåller en huvudrätt? 1126 En myra kryper kortaste vägen från till längs kubens kantlinjer. Hur många vägar kan myran krypa? 1127 I en av två parallellklasser går 17 killar och 9 tjejer. I den andra klassen går 13 killar och 15 tjejer. En elev från vardera klassen ska utses till elevrepresentanter. På hur många olika sätt kan detta ske om a) båda representanterna ska vara killar b) en kille och en tjej ska utses c) åtminstone en tjej ska utses? 1128 Evy har gjort en tipspromenad med 16 frågor som ska besvaras med 1, X eller 2. Hon påstår att a) det finns fler än 16 miljoner olika möjligheter att skriva en sådan tipsrad. Stämmer det? b) det bara finns 17 tipsrader med minst 15 rätt. Stämmer det? Motivera dina svar Ett binärt tal skrivs med enbart nollor och ettor. T ex = två Hur många binära tal med sex eller färre siffror finns det? 1130 I sin garderob har Kim 1 röd, 1 blå, 1 vit och 1 grön skjorta 2 par blå jeans, ett par grå finbyxor och ett par chinos 1 par stumpor vardera av färgerna röd, blå, svart och vit 1 par boots, 1 par sneakers och ett par svarta lackskor. På hur många sätt kan han klä sig, om a) alla skjortor, byxor, strumpor och skor kan användas tillsammans b) bootsen bara kan användas till jeans eller chinos c) han bara kan ha svarta strumpor till lackskorna och alltid vit skjorta till finbyxorna? På fredag ska Kim på födelsedagsfest till sin faster som fyller 34 år. d) Vad tycker du han ska ha på sig? 1131 Visa att ett val bland p föremål följt av ett val bland q föremål alltid leder till fler valmöjligheter, än ett val bland p + q föremål, förutsatt att p 2 och q > Hur många binära tal mindre än 256 börjar och/eller slutar med två ettor? KOMINTORIK M5000 Kurs 5 la.indb :35

15 Permutationer Exempel 1 permutation Johannes har en spellista som innehåller 10 favoritlåtar. Om han trycker shuffle blandning) spelas varje låt en gång i slumpartad ordning. Varje sådant ordnat urval utan upprepning kallas en permutation. Varje låt på listan spelas endast en gång. På hur många olika sätt kan listans låtar spelas? När den första låten ska väljas finns det 10 valmöjligheter. Den andra låten kan sedan väljas på 9 sätt och den tredje på 8 sätt osv. ntalet möjliga sätt blir då enligt multiplikationsprincipen = ntalet permutationer av 10 föremål element) kan skrivas 10! 10! = n -fakultet Produkten av alla heltal från 1 till n kallas n-fakultet och betecknas n! llmänt gäller: ntalet permutationer av n element ntalet permutationer av n element är n! = n n 1) n 2) där n är ett positivt heltal. Exempel 2 Om endast 3 låtar ska väljas från listan med 10 låtar kan detta göras på = 720 olika sätt. ntalet permutationer ordnade urval) av 3 låtar bland 10 låtar kan skrivas P10, 3) = = ! = 10! 10! = 7! 7! 10 3)! Vi förlänger med 7! 1.1 KOMINTORIK 15 M5000 Kurs 5 la.indb :35

16 llmänt gäller: ntalet permutationer av k element bland n ntalet permutationer av k element bland n givna element är n! P n, k ) = n n 1) n k + 1) = n k)! Elementen väljs endast en gång och med hänsyn till ordningen. Två specialfall: Om vi väljer n element av n får vi Pn, n) = n! n n)! = n! = n! om vi definierar 0! = 1 0! Om vi väljer 0 element av n får vi Pn, 0) = n! = 1 med tolkningen: noll element kan väljas på ett sätt. n! 1133 C Julia ska sätta upp förstoringar av tre fotografier i sitt rum. De ska hänga på rad. a) Utgå från det tre fotona, och C och gör en lista över de olika permutationerna. b) Hur många permutationer finns det? c) Julia lägger till fem foton och har nu åtta att välja på. På hur många sätt kan då tre foton hängas upp? a) C C C C C C b) ntalet permutationer av 3 element är 3! = = 6 Svar: Det finns 6 permutationer. c) ntalet permutationer av 3 element bland 8 är P 8, 3) = = 336 eller P 8, 3) = 8! 8 3)! = 8! 5! = 336 Svar: På 336 olika sätt KOMINTORIK M5000 Kurs 5 la.indb :35

17 1134 Hur många olika ord kan man bilda av bokstäverna i ordet a) KEMI b) MTTE a) Fyra bokstäver kan ordnas på 4! = 24 olika sätt. De flesta orden saknar dock betydelse.) b) Fem bokstäver kan ordnas på 5! = 120 olika sätt. Eftersom det finns två T i ordet MTTE kommer flera av de 120 orden att vara lika. Två bokstäver kan ordnas på 2! = 2 sätt så antalet olika ord ges av 5! 2! = = 60 Svar: a) 24 ord b) 60 ord 1135 Tolka och beräkna a) P 6, 6) b) P 8, 5) c) P 8, 1) d) P 8, 0) a) P 6, 6) är antalet permutationer ordnade urval) av 6 element. P 6, 6) = 6! = = 720 b) P 8, 5) är antalet permutationer när man väljer 5 element av 8. P 8, 5) = = eller P 8, 5) = 8! 8 5)! = 8! 3! = c) P 8, 1) är antalet sätt att välja 1 element bland 8. P 8, 1) = 8 d) P 8, 0) är antalet sätt att välja 0 element bland 8. P 8, 0) = 1 På många räknare finns verktyg för beräkning av n! och P n, k). T ex 9 npr 4 ger att P 9, 4) = KOMINTORIK 17 M5000 Kurs 5 la.indb :35

18 1136 Sju personer ska skriva sitt namn på en lista. På hur många sätt kan listan se ut om man tar hänsyn till namnens inbördes ordning? 1137 eräkna utan räknare a) 4! c) 2! 3! b) 11! d) 100! 11 2)! 100 1)! 1138 I styrelsen till en idrottsförening ska man välja ordförande, sekreterare och kassör. På hur många sätt kan dessa väljas om styrelsen består av a) 6 personer b) 12 personer? 1139 eräkna och tolka a) P 9, 3) c) P 15, 1) b) P 4,4) d) P 100, 0) 1140 En vanlig kortlek innehåller 52 olika kort. På hur många sätt kan man dra fem kort om man tar hänsyn till ordningen och a) lägger tillbaka kortet efter varje dragning b) inte lägger tillbaka korten? 1141 Hur många tresiffriga tal a) finns det b) med endast jämna siffror finns det c) med endast udda siffror finns det, om varje siffra endast får förekomma en gång? 1142 a) Teckna och beräkna antalet permutationer av tre element bland fem. b) Förklara vad du beräknat i a) a) Hur många olika ord kan man bilda av bokstäverna i ordet NN? b) Hur många av orden i uppgift a) börjar med N? 1145 Tolv damer och tolv herrar kommer till en danskurs. a) Först hälsar alla på varandra genom att ta i hand. Hur många handskakningar innebär detta? b) Sedan bildas danspar av en dam och en herre. Hur många olika danspar kan bildas? 1146 a) estäm värdet på k utan räknare då 5 9! + 5 8! = k 8! b) Visa att a n! + an + 1)! kan skrivas a n!n + 2) I ett klassrum med 30 bänkar och 30 elever säger läraren: Vi prövar en ny placering varje dag. Hur många läsår dröjer det innan alla tänkbara placeringar är prövade? Vi antar att ett läsår har 200 dagar.) 1148 Ett spelbolag har ett spel, där det gäller att bland åtta deltagare i en tävling tippa de n första i rätt ordning. Hur stort måste n minsta vara, om antalet olika tipsrader ska bli mer än 1 000? 1149 Visa att P n, n) = P n, n 1) genom att a) förenkla båda uttrycken b) använda multiplikationsprincipen Hur många fyrsiffriga koder finns det med a) siffrorna 0, 6, 8, 9 b) olika siffror c) siffrorna 3, 5, 5, KOMINTORIK M5000 Kurs 5 la.indb :35

19 Kombinationer Exempel 1 Vi återvänder till exemplet med Julias fotografier se uppgift 1133). Den här gången ska hon välja ut tre fotografier av totalt fyra. Vi skriver upp permutationerna av tre av fotografierna,, C och D: C D CD CD C D DC DC C D CD CD C D CD CD C D DC DC C D DC DC I den första kolumnen finns alla permutationer av, och C, i den andra alla permutationer av, och D, i den tredje alla permutationer av, C och D och i den sista alla permutationer av, C och D. Men nu är vi inte längre intresserade av i vilken ordning fotografierna ska hänga på väggen. Vi är bara intresserade av vilka tre fotografier Julia väljer ut. Varje kolumn motsvarar då en av Julias valmöljigheter. I varje kolumn finns 3! = 6 permutationer av de tre fotografierna överst i kolumnen. ntalet val får vi om vi delar det totala antalet permutationer 24) med 6. ntal permutationer av 3 element bland 4 = P4, 3) = ntal sätt att ordna 3 element 3! = 4! 4 3)! 3! = 4! 3!4 3)! = = 4 kombination Varje urval, utan hänsyn till ordningen, kallas en kombination. ntalet kombinationer av 3 element av 4 betecknas C 4, 3) eller 4 3 ) som läses 4 över 3. llmänt gäller: ntalet kombinationer ntalet kombinationer av k element bland n element är C n, k ) = n k ) = n! k!n k)! Elementen väljs utan hänsyn till ordningen. 1.1 KOMINTORIK 19 M5000 Kurs 5 la.indb :35

20 Exempel 2 Hur tolkar vi och hur beräknar vi 8 3 )? 8 3 ) = 8! 3!8 3)! = = = 56 Tre faktorer i både täljare och nämnare. Varje gång vi väljer 3 element bland 8 så blir 5 element kvar. ntalet sätt att välja 3 element bland 8 är alltså lika många som att välja 5 element bland ) = = 56 Symmetri Talen n k ) har den viktiga symmetriegenskapen n ) k = n n k ) På många räknare finns ett verktyg för n k ) T ex 8 ncr 3 ger att 8 3 ) = eräkna a) 20 3 ) a) 20 3 ) b) ) c) = = b) ) = ) = = c) P30,4) 4! d) P5,5) 5! P30,4) 4! d) P5,5) 5! = 30 4 ) = = = 5 5 ) = 1 Vi utnyttjar symmetrin KOMINTORIK M5000 Kurs 5 la.indb :35

21 1151 gnes har 30 pocketböcker i sin bokhylla. 10 av dem är på engelska och resten är på svenska. Hon ska låna ut sex böcker till en kompis som vill ha två engelska böcker. På hur många sätt kan gnes välja böckerna hon ska låna ut? Svenska Engelska ntal pocketböcker ntal att låna ut 4 2 ntal sätt 20 4 ) 10 2 ) Multiplikationsprincipen ger antalet urval med 4 svenska och 2 engelska böcker ) ) = 10 9 = Svar: Det finns urval med 4 svenska och 2 engelska böcker Poker spelas med en vanlig kortlek som har 13 valörer i 4 färger spader, hjärter, ruter och klöver ). En pokerhand har fem kort. a) Hur många pokerhänder finns det? b) Hur många pokerhänder innehåller minst ett hjärterkort? a) Vi söker antalet kombinationer oordnade urval) av 5 kort bland ) = = Svar: Det finns olika pokerhänder. b) Vi börjar med att beräkna antalet pokerhänder som inte innehåller något hjärterkort alls. ntalet kort som inte är hjärter är = 39 Vi söker antalet kombinationer av 5 kort bland ) = = ntalet händer med minst ett hjärter = = Totala antalet händer ntalet händer utan hjärter = = 52 5 ) 39 5 ) = = Svar: Det finns olika pokerhänder som innehåller minst ett hjärterkort. 1.1 KOMINTORIK 21 M5000 Kurs 5 la.indb :35

22 1153 eräkna a) 10 3 ) b) 10 7 ) 1154 eräkna utan räknare a) ) b) ) c) 25 4 ) c) 10 0 ) 5th venue Madison venue Park venue Chrysler building Lexington venue 41st Street 40th Street 39th Street 38th Street 3rd venue 42nd Street 1155 I en skål ligger fyra kulor med olika färger. På hur många sätt kan man dra två kulor ur skålen a) om ingen hänsyn tas till ordningen b) om hänsyn tas till ordningen? 1156 En person är ledig två dagar varje vecka. Hur många olika sätt finns det att ordna ledigheten om han inte vill vara ledig både lördag och söndag? 1157 Lasse ska göra en bukett. Han har 15 olika blommor att välja bland. På hur många sätt kan han välja blommor till buketten om den ska bestå av a) 10 blommor b) 5 blommor c) Kommentera resultatet i a) och b) Ett test består av två delar med totalt 24 frågor. Del innehåller 8 frågor och del 16 frågor. För att få godkänt krävs att totalt minst 10 frågor är rätt, varav minst 4 rätt på del. På hur många sätt kan man få precis 10 rätt och bli godkänd? 1159 Lena ska bjuda 7 personer till en fest. Hon väljer bland 12 kompisar, där Nils och Erik ingår. Hon vet att det inte är lyckat att bjuda dem på samma fest. På hur många sätt kan hon göra sitt val om hon tar hänsyn till detta? You 37th Street 36th Street 35th Street 34th Street 1160 På Manhattan i New York är gatorna i kvarteren parallella. nta att du ska gå från korsningen 5th venue och 35th Street till Chrysler building. På hur många sätt kan du då gå den kortaste vägen? 1161 Ett innebandylag med 23 ungdomar och tre tränare har fått tio biljetter till en -lagsmatch. De undrar på hur många sätt de kan lotta ut de tio biljetterna om minst en tränare ska med. Erik föreslår beräkningen: C3, 1) C25, 9) Filip föreslår beräkningen: C26, 10) C23, 10). Förklara hur Erik respektive Filip kan ha tänkt. Har någon av dem tänkt rätt? 1162 Linn bakar tio cupcakes som kan dekoreras på fyra olika sätt. På hur många sätt kan dekorationerna fördelas? KOMINTORIK M5000 Kurs 5 la.indb :35

LARS JAKOBSSON KLAS NILSON. Kapitel 1 med tillhörande facit

LARS JAKOBSSON KLAS NILSON. Kapitel 1 med tillhörande facit JONS SJUNNESSON MRTIN HOLMSTRÖM EV SMEDHMRE LRS JKOSSON KLS NILSON Kapitel med tillhörande facit ISN 978-9-47-0928-9 203 Jonas Sjunnesson, Martin Holmström, Eva Smedhamre, Lars Jakobsson, Klas Nilson och

Läs mer

Kombinatorik. Bilder: Akvareller gjorda av Ramon Cavallers, övriga diagram och foton av Nils-Göran. Nils-Göran Mattsson och Bokförlaget Borken, 2011

Kombinatorik. Bilder: Akvareller gjorda av Ramon Cavallers, övriga diagram och foton av Nils-Göran. Nils-Göran Mattsson och Bokförlaget Borken, 2011 Kombinatorik Teori Multiplikationsprincipen..2 Teori Permutationer 3 Teori Kombinationer...5 Modell Dragning utan återläggning & sannolikheter 8 Teori Duvslageprincipen 11 Teori Pascals triangel & Mosertal...13

Läs mer

7-2 Sammansatta händelser.

7-2 Sammansatta händelser. Namn: 7-2 Sammansatta händelser. Inledning Du vet nu vad som menas med sannolikhet. Det lärde du dig i kapitlet om just sannolikhet. Nu skall du tränga lite djupare i sannolikhetens underbara värld och

Läs mer

Kombinatorik. Kapitel 2. Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av

Kombinatorik. Kapitel 2. Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av Kapitel 2 Kombinatorik Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av det antal sätt, på vilket elementen i en given mängd kan arrangeras i delmängder på något sätt.

Läs mer

Repetitionsuppgifter 1

Repetitionsuppgifter 1 Repetitionsuppgifter 1 Beräkna 1 a) 0,5 + 0,7 b) 0,45 + 1,6 c) 2,76 0,8 2 a) 4,5 10 b) 30,5 10 c) 0,45 1 000 3 Vilka av produkterna är a) större än 6 1,09 6 0,87 6 1 6 4,3 6 0,08 6 b) mindre än 6 4 Skriv

Läs mer

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal - " - " - " - " - - " - " - " - " -

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal -  -  -  -  - -  -  -  -  - År Startvecka Antal veckor 2013 34 18 Planering för ma 1b/c - ma 5000- boken OBS: För de i distansgruppen, meddela lärare innan prov. (justeringar för 1c ännu ej genomförda) Vecka Lektio n (2h) Datum Kapitel

Läs mer

Hur många registreringsskyltar finns det som inte innehåller samma tecken mer än en

Hur många registreringsskyltar finns det som inte innehåller samma tecken mer än en Föreläsning 10 Multiplikationsprincipen Additionsprincipen Permutationer Kombinationer Generaliserade permutationer och kombinationer. Binomialsatsen Multinomialsatsen Lådprincipen (Duvslagsprincipen)

Läs mer

Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan

Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan 3.5 Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet

Läs mer

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra Matematik 1a Centralt innehåll Metoder för beräkningar med reella tal skrivna på olika former inom vardagslivet och karaktärsämnena, inklusive överslagsräkning, huvudräkning och uppskattning samt strategier

Läs mer

Jörgen Lagnebo PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8

Jörgen Lagnebo PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8 PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8 TERMINSPLAN HÖSTTERMINEN ÅK 8: 1 1.1 ANDELEN 2 1.2 HÖJNING OCH SÄNKNING 3 FORTS. 1.2 HÖJNING OCH SÄNKNING 4 1.3 HUR STOR ÄR DELEN 1 5 AKTIVITET + 1.4 HUR STOR ÄR

Läs mer

kan använda sig av matematiskt tänkande för vidare studier och i vardagslivet kan lösa problem och omsätta idéer i handling på ett kreativt sätt

kan använda sig av matematiskt tänkande för vidare studier och i vardagslivet kan lösa problem och omsätta idéer i handling på ett kreativt sätt Lokal pedagogisk planering Matematik år 2 Syfte Undervisningen i matematikämnet ska syfta till att eleverna ska utveckla kunskaper om matematik och visa intresse och tilltro till sin förmåga att använda

Läs mer

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning Moment Begreppsbildning Mätningar och enheter Algebra och ekvationer Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Bedömningsgrunder för uppnåendemålen känna igen naturliga tal kunna positiva heltal:

Läs mer

Studiehandledning. kurs Matematik 1b

Studiehandledning. kurs Matematik 1b Studiehandledning kurs Matematik 1b Innehållsförteckning Inledning och Syfte... 1 Ämnesplan för ämnet matematik... 1 Ämnets syfte... 1 Centralt innehåll... 2 Problemlösning... 2 Taluppfattning, aritmetik

Läs mer

Kombinatorik 6.19. Förenkla C(n+1,2)-C(n,2) och C(n+1,3)-C(n,3)

Kombinatorik 6.19. Förenkla C(n+1,2)-C(n,2) och C(n+1,3)-C(n,3) Kombinatorik 6.19 Förenkla C(n+1,2)-C(n,2) och C(n+1,3)-C(n,3) S: Sitter med med uppgift 6.19 a och b i EA och trots att det finns lösningsförslag till a på hemsidan så förstår jag inte. C(n+1,2) - C(n,2)

Läs mer

Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan

Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust

Läs mer

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik

Läs mer

REPETITION 2 A. a) Är sträckan proportionell mot tiden? b) Beräkna medelhastigheten under de fem första sekunderna.

REPETITION 2 A. a) Är sträckan proportionell mot tiden? b) Beräkna medelhastigheten under de fem första sekunderna. REPETITION Hur mcket är a) 9 b) 00 0 c) 00 På en karta i skala : 0 000 är det, cm mellan två små sjöar. Hur långt är det i verkligheten? Grafen visar hur långt en bil hinner de se första sekunderna efter

Läs mer

ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik

ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik Övergripande Mål: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska begrepp och samband

Läs mer

Kängurutävlingen Matematikens hopp

Kängurutävlingen Matematikens hopp Kängurutävlingen Matematikens hopp Junior 2010 Här följer svar, rättningsmall och redovisningsblanketter. Förutom svar ger vi också några olika lösningsförslag. De flesta problem kan lösas på flera sätt

Läs mer

5.3 Sannolikhet i flera steg

5.3 Sannolikhet i flera steg 5.3 Sannolikhet i flera steg När man singlar slant kan man få utfallen krona eller klave. Sannolikheten att få klave är - och krona ^. Vad är sannolikheten att fä krona två. kast i rad? Träddlagram För

Läs mer

1014 Att lyckas få ointresserade elever att förstå och uppskatta ämnet matematik

1014 Att lyckas få ointresserade elever att förstå och uppskatta ämnet matematik 1014 Att lyckas få ointresserade elever att förstå och uppskatta ämnet matematik Beskriver några projekt, laborationer och alternativa arbetsformer som gett goda resultat. Diskussion om tillvägagångssätt

Läs mer

Matematik Uppnående mål för år 6

Matematik Uppnående mål för år 6 Matematik Uppnående mål för år 6 Allmänt: Eleven ska kunna förstå, lösa samt redovisa problem med konkret innehåll inom varje avsnitt. Ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och

Läs mer

Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600

Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 Kurs: Matematik Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk verksamhet är till sin lad till den samhälleliga, sociala och tekniska utvecklingen. Kunskaper

Läs mer

5Chans och risk. Mål. Grunddel K 5. Ingressen

5Chans och risk. Mål. Grunddel K 5. Ingressen Chans och risk ål När eleverna har studerat det här kapitlet ska de kunna: förklara vad som menas med begreppet sannolikhet räkna ut sannolikheten för att en händelse ska inträffa känna till hur sannolikhet

Läs mer

Kursplan Grundläggande matematik

Kursplan Grundläggande matematik 2012-12-06 Kursplan Grundläggande matematik Grundläggande matematik innehåller tre delkurser, sammanlagt 600 poäng: 1. Delkurs 1 (200 poäng) GRNMATu, motsvarande grundskolan upp till årskurs 6 2. Delkurs

Läs mer

RÖDA TRÅDEN MATEMATIK F-KLASS ÅK

RÖDA TRÅDEN MATEMATIK F-KLASS ÅK RÖDA TRÅDEN MATEMATIK F-KLASS ÅK 5 F-KLASS TALUPPFATTNING ALGEBRA Hur enkla mönster i talföljder och enkla geometriska mönster kan konstrueras, beskrivas och uttryckas Matematiska likheter och likhetstecknets

Läs mer

2012-01-12 FÖRSLAG TILL KURSPLAN INOM KOMMUNAL VUXENUTBILDNING GRUNDLÄGGANDE NIVÅ

2012-01-12 FÖRSLAG TILL KURSPLAN INOM KOMMUNAL VUXENUTBILDNING GRUNDLÄGGANDE NIVÅ Matematik, 600 verksamhetspoäng Ämnet handlar bland annat om mängder, tal och geometriska figurer. Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska

Läs mer

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg Tema: Pythagoras sats Linnéa Utterström & Malin Öberg Innehåll: Introduktion till Pythagoras sats! 3 Pythagoras sats! 4 Variabler! 5 Potenser! 5 Att komma tillbaka till ursprunget! 7 Vi bevisar Pythagoras

Läs mer

Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se.

Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se. Matematik Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se. ADDITION, SUBTRAKTION, DIVISION OCH MULTIPLIKATION.

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs Tolkning Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning

Läs mer

Repetitionsuppgifter 1

Repetitionsuppgifter 1 Repetitionsuppgifter 1 1 Är talet a) 5 ett heltal b) 9 ett naturligt tal c) π ett rationellt tal d) 5 ett reellt tal 6 2 Rita av figuren och placera in talen rätt talmängd. naturliga tal hela tal rationella

Läs mer

Öppna frågor (ur Good questions for math teaching)

Öppna frågor (ur Good questions for math teaching) Här är öppna frågor som jag hämtat från boken Good questions for math teaching som jag läste i våras när jag gick Lärarlyftet. Frågorna är sorterade efter ämne/tema och förhoppningsvis kan fler ha nytta

Läs mer

Ämnesplaner för matematik grundskolan enligt Lgr11 och gymnasieskolan enligt Gy11

Ämnesplaner för matematik grundskolan enligt Lgr11 och gymnasieskolan enligt Gy11 Ämnesplaner för matematik grundskolan enligt Lgr11 och gymnasieskolan enligt Gy11 I ämnesplanen för grundskolans matematik har tidigare ering markerats om det är Matematik eller en högre kurs eller momentet

Läs mer

Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping

Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping Enhet 591 Ekholmen Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping Fakta Förståelse Färdighet Förtrogenhet De olika formerna samspelar och utgör varandras förutsättningar. För att

Läs mer

Föreläsning 1, Matematisk statistik för M

Föreläsning 1, Matematisk statistik för M Föreläsning 1, Matematisk statistik för M Erik Lindström 23 mars 2015 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 1/30 Tillämpningar Praktiska detaljer Matematisk statistik slumpens matematik Sannolikhetsteori:

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Välkommen till Borgar!

Välkommen till Borgar! Välkommen till Borgar! Välkommen till Borgar! Vi ser fram emot att snart träffa en ny årskull med naturettor och hoppas att du kommer att trivas mycket bra hos oss. Studier i naturvetenskapliga ämnen förutsätter

Läs mer

Kunskapsmål och betygskriterier för matematik

Kunskapsmål och betygskriterier för matematik 1 (1) 2009-0-12 Kunskapsmål och betygskriterier för matematik För betyget G i matematik skall eleven kunna utföra beräkningar, lösa problem samt se enklare samband utifrån de kunskapsmål som anges under

Läs mer

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs Tolkning Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning

Läs mer

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla.

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla. Om LGR 11 FÖRMÅGOR FÖRMÅGOR Lgr 11: Genom undervisningen i matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt

Läs mer

Målet med undervisningen är att eleverna ges förutsättningar att:

Målet med undervisningen är att eleverna ges förutsättningar att: Matematik Målet med undervisningen är att eleverna ges förutsättningar att: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska

Läs mer

Sannolikhetslära. 19 februari 2009. Vad är sannolikheten att vinna om jag köper en lott?

Sannolikhetslära. 19 februari 2009. Vad är sannolikheten att vinna om jag köper en lott? Sannolikhetslära 19 februari 009 Vad är en sannolikhet? I vardagen: Vad är sannolikheten att vinna om jag köper en lott? Borde jag ta paraply med mig till jobbet idag? Vad är sannolikheten att det kommer

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte. Kurser i ämnet

MATEMATIK. Ämnets syfte. Kurser i ämnet MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

2006-02-03 Dnr 2005/1520 2006:1. Kvartalsredovisning. Antalet EU-intyg hänförliga till EGförordning. arbetslöshetsersättning. - fjärde kvartalet 2005

2006-02-03 Dnr 2005/1520 2006:1. Kvartalsredovisning. Antalet EU-intyg hänförliga till EGförordning. arbetslöshetsersättning. - fjärde kvartalet 2005 2006-02-03 Dnr 2005/1520 2006:1 Kvartalsredovisning Antalet EU-intyg hänförliga till EGförordning 1408/71 som rör svensk arbetslöshetsersättning - fjärde kvartalet 2005 Sidan 2 (10) Innehåll 1. Inledning...5

Läs mer

SF1901: Övningshäfte

SF1901: Övningshäfte SF1901: Övningshäfte 5 september 2013 Uppgifterna under rubriken Övning kommer att gås igenom under övningstillfällena. Uppgifterna under rubriken Hemtal är starkt rekommenderade och motsvarar nivån på

Läs mer

SANNOLIKHET OCH SPEL

SANNOLIKHET OCH SPEL SANNOLIKHET OCH SPEL I ÖVNINGEN INGÅR ATT: Formulera, analysera och lösa matematiska problem samt värdera valda strategier, metoder och resultat (MA) Tolka en realistisk situation och utforma en matematisk

Läs mer

Stokastisk geometri. Lennart Råde. Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet

Stokastisk geometri. Lennart Råde. Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet Stokastisk geometri Lennart Råde Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet Inledning. I geometrin studerar man geometriska objekt och deras inbördes relationer. Exempel på geometriska objekt

Läs mer

KRAVNIVÅER. Åtvidabergs kommuns grundskolor MATEMATIK

KRAVNIVÅER. Åtvidabergs kommuns grundskolor MATEMATIK KRAVNIVÅER Åtvidabergs kommuns grundskolor MATEMATIK Reviderade april 2009 Förord Välkommen att ta del av Åtvidabergs kommuns kravnivåer och bedömningskriterier för grundskolan. Materialet har tagits fram

Läs mer

Studiehandledning för Matematik 1a

Studiehandledning för Matematik 1a Studiehandledning för Matematik 1a Innehåll Studiehandledning för Matematik 1a... 1 Inledning och Syfte... 2 Ämne - Matematik... 3 Ämnets syfte... 3 Matematik 1a... 4 Centralt innehåll... 4 Kunskapskrav...

Läs mer

Lutande torn och kluriga konster!

Lutande torn och kluriga konster! Lutande torn och kluriga konster! Aktiviteter för barn under Vetenskapsfestivalens skolprogram 2001 Innehåll 1 Bygga lutande torn som inte faller 2 2 Om konsten att vinna betingat godis i spel 5 3 Den

Läs mer

Kursplan för Matematik

Kursplan för Matematik Sida 1 av 5 Kursplan för Matematik Inrättad 2000-07 SKOLFS: 2000:135 Ämnets syfte och roll i utbildningen Grundskolan har till uppgift att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs för

Läs mer

Hälsa: är du redo för semestern? Res inte utan ditt europeiska sjukförsäkringskort!

Hälsa: är du redo för semestern? Res inte utan ditt europeiska sjukförsäkringskort! MEMO/11/4 Bryssel den 16 juni 2011 Hälsa: är du redo för semestern? Res inte utan ditt europeiska sjukförsäkringskort! Njut av semestern ta det säkra för det osäkra! Planerar du att resa inom EU eller

Läs mer

Stavelsen Det talade ordet Läsa via skrivandet Strukturerad inlärning Vi arbetar i studiegrupper, dvs. ettor och tvåor tillsammans i mindre grupper.

Stavelsen Det talade ordet Läsa via skrivandet Strukturerad inlärning Vi arbetar i studiegrupper, dvs. ettor och tvåor tillsammans i mindre grupper. Stavelsen Det talade ordet Läsa via skrivandet Strukturerad inlärning Vi arbetar i studiegrupper, dvs. ettor och tvåor tillsammans i mindre grupper. Lokala mål Tala och lyssna: Jag kan lyssna och förstå

Läs mer

2005-05-02. Kvartalsredovisning. Antalet EU-intyg hänförliga till EGförordning. arbetslöshetsersättning Första kvartalet 2005

2005-05-02. Kvartalsredovisning. Antalet EU-intyg hänförliga till EGförordning. arbetslöshetsersättning Första kvartalet 2005 2005-05-02 Kvartalsredovisning Antalet EU-intyg hänförliga till EGförordning 1408/71 som rör svensk arbetslöshetsersättning Första kvartalet 2005 Innehåll 1. Inledning... 3 2. Redovisning... 3 2.1 Ärenden

Läs mer

MATEMATIK KURS A Våren 2005

MATEMATIK KURS A Våren 2005 MATEMATIK KURS A Våren 2005 1. Vilket tal pekar pilen på? 51 52 53 Svar: (1/0) 2. Skugga 8 3 av figuren. (1/0) 3. Vad är 20 % av 50 kr? Svar: kr (1/0) 4. Hur mycket vatten ryms ungefär i ett dricksglas?

Läs mer

ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform.

ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform. 1 (6) 2005-08-15 Matematik, år 9 Mål för betyget Godkänd Beroende på arbetssätt och arbetsmaterial kan det vara svårt att dela upp dessa uppnående mål mellan skolår 8 och skolår 9. För att uppnå godkänd

Läs mer

Privatpersoners användning av datorer och Internet. - i Sverige och övriga Europa

Privatpersoners användning av datorer och Internet. - i Sverige och övriga Europa Privatpersoners användning av datorer och Internet - i Sverige och övriga Europa Undersökningen Görs årligen sedan år Omfattar personer i åldern - år ( och - år) Data samlas in i telefonintervjuer som

Läs mer

Matematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal

Matematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal Matematik Mål att sträva mot Vi strävar mot att varje elev ska utveckla intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik utveckla sin förmåga att

Läs mer

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Provet omfattar s. 102-135 (kap 4) och s.183-186, 189, 191, 193, 200-215. Repetition: Repetitionsuppgifter 4, läa 13-16 (s. 255 260) samt andra övningsuppgifter

Läs mer

Matematik A Testa dina kunskaper!

Matematik A Testa dina kunskaper! Testa dina kunskaper! Försök i största möjliga mån att räkna utan hjälp av boken, skriv små noteringar i kanten om ni tycker att ni kan uppgifterna, att ni löste dem med hjälp av boken etc. Facit kommer

Läs mer

Högskoleprovet. Block 1. Anvisningar. Övningsexempel. Delprovet innehåller 22 uppgifter.

Högskoleprovet. Block 1. Anvisningar. Övningsexempel. Delprovet innehåller 22 uppgifter. Block 1 2010-04-10 Högskoleprovet Svarshäfte nr. DELPROV 1 NOGc Delprovet innehåller 22 uppgifter. Anvisningar Varje uppgift innehåller en fråga markerad med fet stil. Uppgiften kan även innehålla viss

Läs mer

Matematik 5000 Kurs 1a röd lärobok eller motsvarande., ISBN 978-91-27-42156-1. Prövningen är skriftlig, eventuellt kompletterad med en muntlig del

Matematik 5000 Kurs 1a röd lärobok eller motsvarande., ISBN 978-91-27-42156-1. Prövningen är skriftlig, eventuellt kompletterad med en muntlig del prövning matematik 1a Malmö stad Komvux Malmö Södervärn PRÖVNING PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövningen avser Kurskod Matematik 1a MATMAT01a Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prövningsutformning Bifogas Matematik 5000

Läs mer

Spelregler för restaurangkasinospel

Spelregler för restaurangkasinospel Spelregler för restaurangkasinospel Innehållsförteckning Allmänt... 2 Dessa spelregler gäller för samtliga restaurangkasinospel... 2 Black Jack... 3 Black Jack Burn... 5 Varianten Two Decks Black Jack...

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Y

Sammanfattningar Matematikboken Y Sammanfattningar Matematikboken Y KAPitel 1 TAL OCH RÄKNING Numeriska uttryck När man beräknar ett numeriskt uttryck utförs multiplikation och division före addition och subtraktion. Om uttrycket innehåller

Läs mer

Matematik Åk 3 Tal och räkning

Matematik Åk 3 Tal och räkning FA C I T Lgr 11 Matematik Åk 3 Tal och räkning Catherine Bergman Maria Österlund Kan du använda och beskriva tal? Hur långt kan du räkna framåt? Jag kan räkna till: Hur långt kan du räkna bakåt? Jag kan

Läs mer

Graärgning och kromatiska formler

Graärgning och kromatiska formler Graärgning och kromatiska formler Henrik Bäärnhielm, d98-hba 2 mars 2000 Sammanfattning I denna uppsats beskrivs, för en ickematematiker, färgning av grafer samt kromatiska formler för grafer. Det hela

Läs mer

UPPGIFT 1 EURO. Utdata: Två rader, som för indata ovan, ser ut som följer: Före resan: bank 1 Efter resan: bank 3

UPPGIFT 1 EURO. Utdata: Två rader, som för indata ovan, ser ut som följer: Före resan: bank 1 Efter resan: bank 3 UPPGIFT 1 EURO Harry ska åka till Portugal och behöver växla till sig 500 Euro från svenska kronor. När han kommer tillbaka från Portugal kommer han att ha 200 Euro över som han vill växla tillbaka till

Läs mer

Kommentarer till uppbyggnad av och struktur för ämnet matematik

Kommentarer till uppbyggnad av och struktur för ämnet matematik 2011-06-10 Kommentarer till uppbyggnad av och struktur för ämnet matematik Likheter och skillnader jämfört med den gamla kursplanen Ämnesplanen i gymnasieskola 2011 (Gy 2011) har en ny struktur jämfört

Läs mer

Torskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning

Torskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning Torskolan i Torsås Mars 2007 Matematik Kriterier för betyget godkänd Metoder: Arbetssätt Ta ansvar för sin egen inlärning. Göra läxor. Utnyttja lektionstiden (lyssna, arbeta). Utnyttja den hjälp/stöd som

Läs mer

Addera. Skriv mellanled. Subtrahera Skriv mellanled. 532-429 1685-496 1 1 10 10 10

Addera. Skriv mellanled. Subtrahera Skriv mellanled. 532-429 1685-496 1 1 10 10 10 Namn: Hela och halva tusental till 00 000 Addera och subtrahera. 000+ 000= 000 000+ 00 = 00 000-000= 000 000-00 = 00 Skriv talen i fallande ordningsföljd. 000 0 00 0 00 0 00 00 0 000 0 00 0 00 0 00 0 00

Läs mer

Lättläst om svenskt studiestöd

Lättläst om svenskt studiestöd Lättläst om svenskt studiestöd Grundläggande rätt för utländska medborgare 2014/15 1 2 Innehåll Vilka är länderna inom EU och EES?...7 Vilka krav behöver du uppfylla för att få svenskt studiestöd?...8

Läs mer

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow Matematik i Gy11 110912 Susanne Gennow Var finns matematik? Bakgrund Nationella utredning 2003 PISA 2009 TIMSS Advanced 2008 Skolinspektionens rapporter Samband och förändring åk 1 3 Olika proportionella

Läs mer

Högskoleverket. Delprov NOG 2005-04-09

Högskoleverket. Delprov NOG 2005-04-09 Högskoleverket Delprov NOG 2005-04-09 1. Eva, Pia och Linus köpte totalt 18 frukter. Hur många frukter köpte Eva? (1) Eva och Linus köpte sammanlagt dubbelt så många frukter som Pia. (2) Pia köpte tre

Läs mer

Elever skall i samtliga årskurser ges tillfälle till regelbunden träning i muntliga och skriftliga räknemetoder

Elever skall i samtliga årskurser ges tillfälle till regelbunden träning i muntliga och skriftliga räknemetoder Matematik Elever skall i samtliga årskurser ges tillfälle till regelbunden träning i muntliga och skriftliga räknemetoder Ämnets syfte och roll i utbildningen Grundskolan har till uppgift att hos eleven

Läs mer

sex miljoner tre miljarder femton miljoner trehundratusen 6 000 000 520 000 > 50 200 40 000 500 > 40 000 050 5 505 050 < 5 505 500

sex miljoner tre miljarder femton miljoner trehundratusen 6 000 000 520 000 > 50 200 40 000 500 > 40 000 050 5 505 050 < 5 505 500 Namn: Förstå och använda stora tal som miljoner och miljarder Skriv talen med siffror. sex miljoner tre miljarder femton miljoner trehundratusen Läs talen först. Använd sedan > eller > < Vilket tal

Läs mer

Grundläggande 1 övningar i kombinatorik

Grundläggande 1 övningar i kombinatorik UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Vera Koponen Baskurs i matematik Grundläggande 1 övningar i kombinatorik Se till att ni klarar av dessa uppgifter innan ni går vidare till svårare uppgifter

Läs mer

Innehåll. Stryk under, ringa in, kryssa 2. I vilken ordning? 6. Vilken information? 10. På samma sätt 14. Följ ledtrådarna 18. Mönster 22.

Innehåll. Stryk under, ringa in, kryssa 2. I vilken ordning? 6. Vilken information? 10. På samma sätt 14. Följ ledtrådarna 18. Mönster 22. Innehåll Stryk under, ringa in, kryssa 2 I vilken ordning 6 Vilken information 10 På samma sätt 14 Följ ledtrådarna 18 Mönster 22 Glyfer 26 Pusselbitar 30 Den här boken tillhör 3 Stryk under, ringa in,

Läs mer

Matematik. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det fjärde skolåret. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det femte skolåret

Matematik. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det fjärde skolåret. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det femte skolåret Balderskolan, Uppsala musikklasser 2009 Matematik Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det fjärde skolåret läsa och skriva tal inom talområdet 0 10 000 räkna de fyra räknesätten med olika metoder

Läs mer

Sannolikhetslära Albertus Pictor Lyckohjulet

Sannolikhetslära Albertus Pictor Lyckohjulet Sannolikhetslära Albertus Pictor Lyckohjulet Regnabo. Regnaui. Sum sine Regno står det målat över Albertus Pictors lyckohjul i Härkeberga vapenhus. Det betyder jag skall ha makten, jag har makten, jag

Läs mer

Känguru 2014 Student sida 1 / 8 (gymnasiet åk 2 och 3)

Känguru 2014 Student sida 1 / 8 (gymnasiet åk 2 och 3) Känguru 2014 Student sida 1 / 8 NAMN GRUPP Poängsumma: Känguruskutt: Lösgör svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under uppgiftsnumret. Felaktigt svar ger minus 1/4 poäng av uppgiftens totala poängantal.

Läs mer

MATTESPANARNA. Lena Zetterqvist

MATTESPANARNA. Lena Zetterqvist MATTESPANARNA Spanarboken ÅR 4 Lena Zetterqvist ISBN 978-91-47-10120-7 2011 Lena Zetterqvist och Liber AB projektledare Mirvi Unge, Maria Österlund redaktör Inger Strömsten omslag Marta Coronel grafisk

Läs mer

Matematisk Grundkurs

Matematisk Grundkurs LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematisk Grundkurs för högskoleingenjörer inom byggnadsteknik Peter Holgersson Institutionen för teknik och naturvetenskap Sida 2 Syfte och mål Kursen syftar till att bidra till

Läs mer

Geometri. Kapitel 8 Geometri. Borggården sidan 66 Diagnos sidan 79 Rustkammaren sidan 80 Tornet sidan 84 Sammanfattning sidan 89 Utmaningen sidan 90

Geometri. Kapitel 8 Geometri. Borggården sidan 66 Diagnos sidan 79 Rustkammaren sidan 80 Tornet sidan 84 Sammanfattning sidan 89 Utmaningen sidan 90 Geometri Kapitel 8 Geometri I detta kapitel möter eleverna vinkelbegreppet och får öva på att avgöra om en vinkel är rät, spetsig eller trubbig. De får också öva på att namnge olika månghörningar och be

Läs mer

Svenska Finska Estniska. Ryska Engelska Koreanska. Franska Tyska Italienska. Grekiska Danska Norska. Isländska Ungerska Spanska

Svenska Finska Estniska. Ryska Engelska Koreanska. Franska Tyska Italienska. Grekiska Danska Norska. Isländska Ungerska Spanska Kapitel 4 - Nationalitet och språk Aktivering 4.1. Vilka språk talar Åsa och Jens? Vi undersöker vilka språk som talas i gruppen och i världen. Material: språkplansch på väggen med olika språk. Affisch

Läs mer

Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9

Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9 Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9 Arbetsområde 1. Procent och statistik Syfte formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder. reflektera

Läs mer

Matematik 1A 4 Potenser

Matematik 1A 4 Potenser Matematik 1A 4 Potenser förklara begrepp t ex. potens, bas, exponent och grundpotensform (Nivå E C) tolka, skriva och räkna med tal i grundpotensform (Nivå E A) helst kunna redogöra för räkneregler för

Läs mer

Ungefär lika stora tal

Ungefär lika stora tal Bilaga 2:1 Arbeta med jämförelser mellan tal Ungefär lika stora tal Jämför de tre talen här nedan: 234567 234566 234568 Alla siffrorna i talen är lika utom den sista, den högra, där siffrorna är 7,6 och

Läs mer

Repetitionsuppgifter 1

Repetitionsuppgifter 1 Repetitionsuppgifter 1 1 Vilka tal pekar pilarna på? a) b) Skriv talen med siffror 2 a) trehundra sju b) femtontusen fyrtiofem c) tvåhundrafemtusen tre 3 a) fyra tiondelar b) 65 hundradelar c) 15 tiondelar

Läs mer

UPPGIFT 1 V75 FIGUR 1.

UPPGIFT 1 V75 FIGUR 1. UPPGIFT 1 V75 FIGUR 1. Varje lördag året om spelar tusentals svenskar på travspelet V75. Spelet går ut på att finna sju vinnande hästar i lika många lopp. Lopp 1: 5 7 Lopp 2: 1 3 5 7 8 11 Lopp 3: 2 9 Lopp

Läs mer

Metoder för beräkningar med potenser med rationella exponenter.

Metoder för beräkningar med potenser med rationella exponenter. Kurskod: MATMAT02a Kursen matematik 2a omfattar punkterna 1 7 under rubriken Ämnets syfte. Centralt innehåll Kommentar Begrepp i kursen matematik 2a Metoder för beräkningar vid budgetering. Budgetering

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

Labora&v matema&k - för en varierad undervisning

Labora&v matema&k - för en varierad undervisning Labora&v matema&k - för en varierad undervisning Per Berggren & Maria Lindroth 2012-02- 23 Lgr11- Matema&ska förmågor Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar

Läs mer

Familjeförmåner inom EU

Familjeförmåner inom EU Familjeförmåner inom EU Dessa regler gäller även EES-länder och Schweiz Föräldrar som arbetar eller bor och arbetar i olika länder inom EU kan ha rätt till förmåner från båda länderna. Det betyder att

Läs mer

LÄS, TÄNK OCH LÖS STEG SOMMARJOBBET

LÄS, TÄNK OCH LÖS STEG SOMMARJOBBET LÄS, TÄNK OCH LÖS STEG 2 SOMMARJOBBET Copy ISBN 978-91-86611-68-2 2013 Mirvi Unge Thorsén och Askunge AB Produktion Mirvi Unge Thorsén Illustration Oskar Jonsson Första upplagan 1 Boken uppfyller miljökraven

Läs mer

En noggrant planerad och organiserad kurs i matematik är ibland alltför lik en fjällvandring som aldrig lämnar den markerade leden.

En noggrant planerad och organiserad kurs i matematik är ibland alltför lik en fjällvandring som aldrig lämnar den markerade leden. En noggrant planerad och organiserad kurs i matematik är ibland alltför lik en fjällvandring som aldrig lämnar den markerade leden. Man ser en jämn ström av uppseendeväckande scenarier. Man undviker nog

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Läxa nummer 1 klass 2

Läxa nummer 1 klass 2 Läxa nummer 1 klass 2 Rita hur det ser ut när du gör matteläxan! Skriv ditt namn också. Det här är din läxbok för klass 2. Du kommer i regel att få en läxa i veckan hela året. Skriv vilket tal som är X

Läs mer

Flytt av ett bolags säte till ett annat EU-land samråd från GD MARKT

Flytt av ett bolags säte till ett annat EU-land samråd från GD MARKT Flytt av ett bolags säte till ett annat EU-land samråd från GD MARKT Inledning Inledande anmärkning: Följande dokument har tagits fram av generaldirektoratet för inre marknaden och tjänster för att bedöma

Läs mer