Problem att fundera över

Transkript

1 Problem att fundera över Här får du öva dig på att formulera en förmodan och försökabevisaden. Jag förväntar mig inte att du klarar av att gå till botten med alla frågorna! Syftet är att ge dig smakprov på frågeställningar, som i högsta grad är matematik, även om du kanske aldrig sysslat med något liknande i skolan, få dig att känna behov och glädje av att söka allmängiltiga samband och allmängiltiga resonemang 1. Fullfölj följande uträkningar: 1 = = = = = = Välj ett godtyckligt positivt tal a och addera dess inverterade värde: a + 1 a Är summan alltid 2? 5. Rita 3-4 olika trianglar. varje triangel dra så noga som möjligt de tre medianerna: en median är en sträcka som sammanbinder ett triangelhörn med motstående sidas mittpunkt. Något intressant att lägga märke till? Tror du att detsamma gäller för alla trianglar? 6. Och så helt apropå: Varför ( 1) ( 1) = 1? Skulle du, på grundval av resultaten ovan, vilja komma med en förmodan hur stor summan av de n första udda talen blir, där n kan beteckna vilket positivt heltal som helst? Kan du ge några starkare skäl, än uträkningarna ovan, för att din förmodan skulle vara riktig? 2. Betrakta följande sanna likheter: 1 3 = 1 = = 9 = (1+2) = 36 = (1+2+3) 2 Kan det här vara en tillfällighet, eller är det specialfall av något generellt samband? Hur skulle det generella sambandet lyda, i så fall? Testa det i åtminstone två fall till. 3. Betrakta uttrycket n 2 n +41 Stoppa in n =1, 2, 3, 4,...,9 och jämför resultatet med primtalslistan på sid.??. Något intressant att lägga märke till? Tror du att detsamma gäller för alla heltal n? 8

2 Logisk tortyr en saga med övningsuppgifter (För mer underhållning av den här typen: köp någon bok av Raymond Smullyan.) Sultanen i Bengazien hade två favoritnöjen: kluriga logiska gåtor samt sadistiska lekar med de politiska motståndare han spärrat i fängelse. Så en dag bestämde han sig för att kombinera båda. Jag väljer ut en fånge, ställer honom framför två dörrar och tvingar honom välja dörr. Bakom någon av dörrarna har jag låtit en hungrig tiger vänta. Ovanför dörrarna har jag satt upp skyltar med litet upplysningar. Om fången kan resonera logiskt och tolkar informationen rätt så att han väljer rätt dörr, utan någon tiger bakom, får han gå fri, annars... Första dagen satte sultanen tre fångar på prov. Alla tre fick veta att det kunde finnasentigerbakomenavdörrarna, men det kunde också tänkas att det väntade tigrar bakom båda dörrarna, eller att det inte fanns någon tiger alls. 1. Och vad göra, om det väntar tigrar bakom båda dörrarna? undrade den första fången missmodigt. Då har du otur, får man väl säga... svarade sultanen. Ochomdetintefinns någon tiger alls, betyder det verkligen att jag blir fri? Jajamän! Men,omdetfinns tiger bakom en av dörrarna endast? Ja, då spelar det verkligen roll vilken dörr du väljer det förstår du väl?! Hur skulle jag då kunna veta vilken jag ska välja? Sultanen pekade då på skyltarna ovanför resp. dörr leder till friheten, bakom den andra dörren En av dessa dörrar leder till friheten, bakom en av dem och sade: En av skyltarna är sann, medan den andra är falsk. Men vilken som är vilken får du lista ut själv! Tänk om du var i fångens ställe! Vilken dörr väljer du? Det handlar om liv och död, så det gäller att övertyga sig om att ens val är riktigt! Hur resonerar du? 2. Den första fången klarade sig, hoppas du gjorde det också. Så arrangerade sultanen en ny valsituation. Den andra fången fick se följande skyltar: Minst en av dessa dörrar Bakom den andra dörren 9

3 Ska jag tro på skyltarna? undrade fången. De är antingen båda sanna eller båda falska. fick han veta av sultanen. Vilken dörr? 3. Även för den tredje fången gällde det att skyltarna är antingen båda sanna eller båda falska: Antingen finns en tiger bakom denna dörr eller så leder den andra dörren till friheten. Andra dagen Gårdagen var ju helt misslyckad, tänkte sultanen alla fångarna klarade sig. dag måste jag vara tuffare! Så han ställde fem fångar på prov och alla fem fick veta att de kunde räkna med följande: För den vänstra dörren, dörr, gäller: Om den leder till friheten, så är dess skylt sann, men om det döljer sig en tiger bakom, så är skylten falsk. För den högra dörren, dörr, är det tvärtom: fall den leder till friheten är skylten falsk, medan skulle det finnas en tiger bakom, så är skylten sann. Återigen är det möjligt att ingen, en eller båda dörrarna döljer en tiger. 4. Den fjärde fången fick se följande skyltar Vilken dörr bör han välja? 5. Den femte fången fick se Minst en av dörrarna 6. Den sjätte fångens skyltar var sultanen särskilt nöjd med: Det spelar ingen roll vilken dörr du väljer. 7. Och den sjunde fångens skyltar var han riktigt stolt över: Det spelar visst roll vilken dörr du väljer. Det vore bättre att välja den andra dörren. Klarar du av dem? 10

4 8. Den åttonde fången, som redan hunnit sätta sig in i lekens spelregler ryktesvägen, fick sig en liten överraskning. Menvarärskyltarna? Jag har inte hunnit sätta upp dem än de blev färdiga alldeles nyss men här är de svarade sultanen och drog fram följande två texter: döljer en tiger. döljer tigrar. OK, men vilka dörrar hör de ihop med? Sultanen tog en kort tankepaus och sken upp i ett leende: Det behöver jag faktiskt inte säga du bör kunna reda ut det ändå! Kom bara ihåg: tiger bakom vänstra dörren om och endast om vänstra dörrens skylt är falsk, tiger bakom högra dörren om och endast om dess skylt är sann. Hjälp den stackars fången med lösningen! Tredje dagen Fan också, tänkte sultanen, alla fångarna har lyckats hittills! Jag får skärpa mig. dag ska ja ha tre dörrar. Endast en av dem ska jag låta vara utan tiger, så får vi se... Sagt och gjort. Fångarna fick också veta att en dörr leder till friheten, medan de andra två döljer tigrar. 9. Den nionde fången fick se Bakom denna dörr Bakom dörr Sultanen förklarade också att högst en av skyltarna var sann. Vilken dörr leder till friheten? 10. Den tionde fången fick se Bakom dörr Bakom denna dörr Bakom dörr och blev upplyst om att skylten till frihetens dörr var sann, medan av övriga två var minst en falsk. 11

5 Fjärde dagen Fruktansvärt, suckade sultanen. Har inte kunnat överlista en enda av mina fångar än! Så i ett sista desperat försök ställde han den elfte fången inför valet mellan inte mindre än nio dörrar! Dessutom krånglade han till förutsättningarna: 11. Endast en av dörrarna skulle leda till frihet. Bakom övriga dörrar skulle det stå antingen en tiger eller en grym vakt med piska. Frihetens dörr skulle ha en sann skylt, tigrarnas dörrar falska, medan piskarnas dörrar kunde vara av vilken sort som helst. Härärskyltarna: Friheten väntar bakom en dörr med udda nummer. Här får du pisk. Skylt V är sann eller skylt V är falsk. V Skylt är falsk. V Skylt är sann eller skylt V är sann. V Skylt är falsk. V Dörr leder inte till friheten. V Här finns en tiger och bakom dörr X finns en piskare. X Här finns en tiger och skylt V är falsk. Den stackars fången funderade länge. Det går ju inte att avgöra vilken dörr som leder till friheten! utbrast han till slut. Ja, just det! skrattade sultanen rått. Fången hade lättare att hålla sig för skratt. Det här är inte rättvist alla de andra fick chansen. Kom igen nu, säg mig åtminstone: Finns det en piskare bakom dörr V eller inte? Sultanen lät sig bevekas och med hjälp av hans svar lyckades även den elfte fången bli fri. Vilken dörr ledde till friheten? 12