Kombinatorik Förenkla C(n+1,2)-C(n,2) och C(n+1,3)-C(n,3)

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Kombinatorik 6.19. Förenkla C(n+1,2)-C(n,2) och C(n+1,3)-C(n,3)"

Transkript

1 Kombinatorik 6.19 Förenkla C(n+1,2)-C(n,2) och C(n+1,3)-C(n,3) S: Sitter med med uppgift 6.19 a och b i EA och trots att det finns lösningsförslag till a på hemsidan så förstår jag inte. C(n+1,2) - C(n,2) Jag är med på att C(n,2) = n(n-1)/2. Men hur får jag att C(n+1,2) = (n+1)*n/2? Kan inte se hur jag får att det blir gånger n här. Uppgift b är ju snarlik a så antar att den blir förståelig när jag fattar a. L: Om du är med på att C(n, 2) = n(n-1)/2 så skall denna formel gälla för alla heltal n. Även n+1 så C(n+1,2) = (n+1)(n+1-1)/2 =(n+1)*n/2. Det är det som är det fina med en formel. Den gäller alltid! (här då n 2) Om du skall låna 2 av mina 7 dvd och jag sedan visar en 8:e som du också får låna, hur många fler valmöjligheter har du då fått? Ja den 8:e tillsammans med någon de sju första. I b så ger jag dig 2 extra att välja bland. Hur många fler valmöjligheter har du då fått? Försök lösa den med kombinatoriskt tänk och se sedan att algebran ger samma resultat b, 6.11d 6.11d. Hur många 5-siffriga tal kan man bilda av siffrorna 1,2,3,4 och 5 så att ingen siffra är på sin egen plats. Varje siffra förekommer precis en gång. S:Jag har problem med dessa två uppgifter i kombinatoriken. Trots att jag ser svaren i facit kan jag inte lista ut hur man räknar fram dem. De flesta talen i facit är förklarade med kombinatoriska begrepp men 6.10.b) i min utgåva har bara själva värdet av uträkningen utskrivet. Speciellt förvirrande är dessutom 6.11.d) i facit eftersom de skriver C(5,4)*4! vilket ju är ekvivalent med P(5,4). Varför detta sätt att förklara det på? Jag räknar (hehe) med att fler studenter har problem med dessa uppgifter då jag frågade ett par erfarna matematikstudenter och de inte kunde hjälpa mig. Jag vet i alla fall att jag skulle vara alldeles oerhört tacksam om du lade upp något av dina egna pedagogiska lösningsförslag till dessa!

2 L: 6.10b. Här försöker jag skissa på ett Venn-diagram. Vad kan hända? Antingen är alla tre bokstäverna olika. Hur många sådana "ord" finns det? Eller så innehåller de två M. två T eller två A. Hur många ord finns det med 2 M? Ja sedan är det bara att addera alla fallen (additionsprincipen). Inga överlappande mängder så vi behöver inte fundera över någon dubbelräkning d. Stjärnmärkt och därmed en utmaning! Börja med något mindre problem som är lättare att överblicka. T.ex. tre siffror. 123, 132, 213, 231, 312, 321 Från alla 3! skall vi dra bort de där 1:an är på rätt plats. Det finns 2! sådana. Totalt finns det C(3,1)=3 fall där en siffra är på rätt plats. Men vänta nu! Vi har dragit bort fallet när 1 och 2 är på rätt plats en gång för mycket osv 3! - C(3,1) 2! + C(3,2)1! - C(3,3)0!= =2 (de är 231 och 312). Tror du att du efter denna uppvärmning kan ge dig på det 5-siffriga problemet? OBS Fel i facit. Skall vara C(5,0) i sista termen. Metoden kallas inklusions- och exklusionsmetoden. Man får hålla på och korrigera för dubbelräkningar o.s.v. tills man får det rätt. T6.5-T6.7 S: Det handlar om Permutationer och Kombinationer. Jag förstår alla formler och vad de betyder osv. men det jag har svårt för är att veta när man ska använda dem. På din föreläsning på nätet har du ritat upp en figur med ja och nej till med hänsyn tagen till ordningen och jag och nej till med återläggning. Jag tror att det är här som jag inte fattar, jag förstår inte när det är med hänsyn tagen till ordningen eller med återläggning eller när det inte är det. T.ex. uppgift T6.5-T6.7 i EA, jag förstår inte hur jag ska tänka för att komma på hur jag ska lösa uppgiften. Kan du hjälpa mig? 1) LL: Först utan återläggning och utan hänsyn till ordning. Du lånar 3 av mina 7 DVD. Det kan du göra på C(7,3) sätt. Tänk så här 7*6*5 möjligheter men för varje val t.ex. DVD 2,3 och 5 finns det 6 permutationer (235,253, 325, 352, 523,532). De måste divideras bort för ordningen är ointressant här. Vi bryr oss inte om ordningen! Så det finns 7*6*5 / (3*2*1) möjligheter för dig att låna tre av mina 7 DVD. Det talet kallar vi 7 över 3 och betecknar C(7,3) eller med parentes och 7 över 3 i den. Ser du urnan med 7 bollar (dvd) och att du drar 3 gånger utan återläggning (du kan bara välja en dvd en gång)? 2)UUtan återläggning och med hänsyn till ordning: Hur många ord med tre bokstäver

3 kan bildas av A,B,C,D,E,F,G. Ingen bokstav får användas mer än en gång. P.PP.s.s. 7*6*5 men denna gången bryr vi oss om ordningen så vi skall inte dividera med 6. T. ex. BCE, BEC, CBE, BEC, EBC, ECB, är sex olika ord. Ser du urnan med 7 bollar (bokstäver) och att du drar 3 gånger utan återläggning (du kan bara välja en bokstav en gång)? 3)MMed återläggning och med hänsyn till ordning. Hur många symbolsträngar av längd 7 kan bildas av 1, X och 2 (obegränsad tillgång av 1, X och 2)? 3 möjligheter för position 1 men det har vi för position 2,3, 7 också så det finns 3⁷ möjligheter. Ser du urnan med 3 bollar (1,X,2) och att du drar 7 gånger med återläggning (symbolerna får användas igen)? Tipsrader är strängar av längd 13. Det finns 3¹³ olika tipsrader. T6.17b, 6.1b, 6.19b Student: Jag kan inte 6.19 b. (Ser vad du gjort på 6.19 a, men förstår inte den första omskrivningen av uttrycket) På T6.17 b förstår jag inte hur du får fram den gemensamma nämnaren. Hur försvinner (n-1-k)! och (k-1)! Förstår inte heller när det är! eller ej. Vet ej heller hur jag ska visa lösningen till 6.1b. Lärare: Ditt problem när det gäller T6.17b är, tror jag, att definitionerna av binomialkoefficient och fakultet inte sitter riktigt. De finns på formelbladet, se k! = k * ((k-1)!) följer direkt från definitionen (och därmed att 1/(k-1)! =k/k!). 6.1b är lite klurig! Här tycker jag man skall pröva sig fram med tre personer A, B, C. Lista alla fall på led (blir 3!=6) och alla möjligheter kring det runda bordet. Här skall vi räkna det fall då A har B till höger och C till vänster endast en gång. Hur många gånger förekom den situationen i din lista? Försök se ett mönster. 6.19b. Kan förstås med ett kombinatoriskt resonemang: Välja 3 objekt från n+1 stycken kan göras på C(n,3) +C(n,2) sätt. I första fallet tar jag inte med det n+1 :a objektet, i det andra fallet gör jag det och då skall jag välja 2 av de n objekten. I min föreläsning tog jag upp detta med exempel med CD-skivor. Går naturligtvis också bra att använda definitionen av C(n,k)=n! / k! (n-k)! och räkna på.

4 T6.16 S: T6.16. Jag får 15 över 8, detta stämmer ej med facit. L: C(15,7)=C(15,8). Allmänt C(n,k)=C(n,n-k). Antingen tittar jag på vilka jag skall välja eller vilka jag inte skall välja och det kan göras på lika många sätt b, 6.11d 6.11d. Hur många 5-siffriga tal kan man bilda av siffrorna 1,2,3,4 och 5 så att ingen siffra är på sin egen plats. Varje siffra förekommer precis en gång. S:Jag har problem med dessa två uppgifter i kombinatoriken. Trots att jag ser svaren i facit kan jag inte lista ut hur man räknar fram dem. De flesta talen i facit är förklarade med kombinatoriska begrepp men 6.10.b) i min utgåva har bara själva värdet av uträkningen utskrivet. Speciellt förvirrande är dessutom 6.11.d) i facit eftersom de skriver C(5,4)*4! vilket ju är ekvivalent med P(5,4). Varför detta sätt att förklara det på? Jag räknar (hehe) med att fler studenter har problem med dessa uppgifter då jag frågade ett par erfarna matematikstudenter och de inte kunde hjälpa mig. Jag vet i alla fall att jag skulle vara alldeles oerhört tacksam om du lade upp något av dina egna pedagogiska lösningsförslag till dessa! L: 6.10b. Här försöker jag skissa på ett Venn-diagram. Vad kan hända? Antingen är alla tre bokstäverna olika. Hur många sådana "ord" finns det? Eller så innehåller de två M. två T eller två A. Hur många ord finns det med 2 M? Ja sedan är det bara att addera alla fallen (additionsprincipen). Inga överlappande mängder så vi behöver inte fundera över någon dubbelräkning d. Stjärnmärkt och därmed en utmaning! Börja med något mindre problem som är lättare att överblicka. T.ex. tre siffror. 123, 132, 213, 231, 312, 321 Från alla 3! skall vi dra bort de där 1:an är på rätt plats. Det finns 2! sådana. Totalt finns det C(3,1)=3 fall där en siffra är på rätt plats. Men vänta nu! Vi har dragit bort fallet när 1 och 2 är på rätt plats en gång för mycket osv 3! - C(3,1) 2! + C(3,2)1! - C(3,3)0!= =2 (de är 231 och 312). Tror du att du efter denna uppvärmning kan ge dig på det 5-siffriga problemet? OBS Fel i facit. Skall vara C(5,0) i sista termen.

5 Metoden kallas inklusions- och exklusionsmetoden. Man får hålla på och korrigera för dubbelräkningar o.s.v. tills man får det rätt. 1) 3)

Hur många registreringsskyltar finns det som inte innehåller samma tecken mer än en

Hur många registreringsskyltar finns det som inte innehåller samma tecken mer än en Föreläsning 10 Multiplikationsprincipen Additionsprincipen Permutationer Kombinationer Generaliserade permutationer och kombinationer. Binomialsatsen Multinomialsatsen Lådprincipen (Duvslagsprincipen)

Läs mer

Grundläggande 1 övningar i kombinatorik

Grundläggande 1 övningar i kombinatorik UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Vera Koponen Baskurs i matematik Grundläggande 1 övningar i kombinatorik Se till att ni klarar av dessa uppgifter innan ni går vidare till svårare uppgifter

Läs mer

Kombinatorik. Kapitel 2. Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av

Kombinatorik. Kapitel 2. Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av Kapitel 2 Kombinatorik Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av det antal sätt, på vilket elementen i en given mängd kan arrangeras i delmängder på något sätt.

Läs mer

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd I föreläsning 18 bekantade vi oss med talföljder, till exempel eller 3, 6, 9, 1, 15, 18 1,, 4, 8, 16, 3 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd och 3 + 6 + 9 + 1 + 15 + 18 1 + + 4

Läs mer

Kombinatorik. Bilder: Akvareller gjorda av Ramon Cavallers, övriga diagram och foton av Nils-Göran. Nils-Göran Mattsson och Bokförlaget Borken, 2011

Kombinatorik. Bilder: Akvareller gjorda av Ramon Cavallers, övriga diagram och foton av Nils-Göran. Nils-Göran Mattsson och Bokförlaget Borken, 2011 Kombinatorik Teori Multiplikationsprincipen..2 Teori Permutationer 3 Teori Kombinationer...5 Modell Dragning utan återläggning & sannolikheter 8 Teori Duvslageprincipen 11 Teori Pascals triangel & Mosertal...13

Läs mer

getsmart Grå Regler för:

getsmart Grå Regler för: (x²) 1 2 Regler för: getsmart Grå Algebra 8 _ (x²) 1 2 Algebra 4 (2 2³) 1 4 _ xy (2 2³) 1 4 _ xy (x²) 1 2 _ (2 2³) 1 4 _ xy (x²) 1 2 _ (2 2³) 1 4 _ xy 4 Algebra Algebra _ 8 Det rekommenderas att man börjar

Läs mer

Graärgning och kromatiska formler

Graärgning och kromatiska formler Graärgning och kromatiska formler Henrik Bäärnhielm, d98-hba 2 mars 2000 Sammanfattning I denna uppsats beskrivs, för en ickematematiker, färgning av grafer samt kromatiska formler för grafer. Det hela

Läs mer

Jörgen Lagnebo PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8

Jörgen Lagnebo PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8 PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8 TERMINSPLAN HÖSTTERMINEN ÅK 8: 1 1.1 ANDELEN 2 1.2 HÖJNING OCH SÄNKNING 3 FORTS. 1.2 HÖJNING OCH SÄNKNING 4 1.3 HUR STOR ÄR DELEN 1 5 AKTIVITET + 1.4 HUR STOR ÄR

Läs mer

Att räkna med mellanbilder genom ett system med många linser och gränsytor blir krångligt. Vi vill kunna avbilda genom alla ytor direkt.

Att räkna med mellanbilder genom ett system med många linser och gränsytor blir krångligt. Vi vill kunna avbilda genom alla ytor direkt. Föreläsning 9 0 Huvudplan Önskan: Tänk om alla optiska system vore tunna linser så att alltid gällde! Att räkna med mellanbilder genom ett system med många linser och gränsytor blir krångligt. Vi vill

Läs mer

Kursutvärdering NEK A1 Moment 3: Makroekonomi, vt-11

Kursutvärdering NEK A1 Moment 3: Makroekonomi, vt-11 Kursutvärdering NEK A1 Moment 3: Makroekonomi, vt-11 Ansvarig lärare: Andréa Mannberg 1. Deskriptiv statistik Descriptive Statistics N Min Max Mean Std. Deviation Vilket betyg vill du ge kursen som helhet?

Läs mer

Laboration 1. "kompilera"-ikonen "exekvera"-ikonen

Laboration 1. kompilera-ikonen exekvera-ikonen Programmerade system I1 Syfte Laboration 1. Syftet med denna laboration är dels att göra dej bekant med de verktyg som kan vara aktuella i programmeringsarbetet, dels ge en första inblick i att skriva

Läs mer

Instruktion 1. I var och en av dessa celler kan man mata in något av följande:

Instruktion 1. I var och en av dessa celler kan man mata in något av följande: Instruktion 1. Kalkylprogrammen används till allt från vardagliga till mer komplicerade beräkningar. Du kan använda kalkylbladet till att lägga upp alltifrån en enkel hushållsbudget till ett bokföringssystem

Läs mer

Microsoft Office Excel, Grundkurs 1. Introduktion

Microsoft Office Excel, Grundkurs 1. Introduktion Dokumentation - Kursmaterial Innehåll 1. Introduktion 1.1. Programfönster 1.2. Inskrift och redigering 1.3. Cellformat 1.4. Arbeta med formler Kursövning E1.xlsx Egna Övningar E1E.xlsx - OnePRO IT, Bengt

Läs mer

Boken om SO 1 3. Provlektion: Om demokrati och hur möten, till exempel klassråd, genomförs och organiseras.

Boken om SO 1 3. Provlektion: Om demokrati och hur möten, till exempel klassråd, genomförs och organiseras. Boken om SO 1 3 Boken om SO 1 3 är elevernas första grundbok i geografi, samhällskunskap, historia och religion. Provlektion: Om demokrati och hur möten, till exempel klassråd, genomförs och organiseras.

Läs mer

Utskrift av karta. Skriv ut en karta. Skriv ut skärmområde

Utskrift av karta. Skriv ut en karta. Skriv ut skärmområde Skriv ut en karta Förutsättningar Kartan kan skrivas ut som den ser ut på skärmen, dvs. visas texter på fälten blir de också utskrivna. Vid utskrift öppnas alltid en förhandsgranskning där anpassning av

Läs mer

Laboration 1. "kompilera"-ikonen "exekvera"-ikonen

Laboration 1. kompilera-ikonen exekvera-ikonen Syfte Laboration 1. Objektorienterad programmering, Z1 Syftet med denna laboration är dels att göra dej bekant med de verktyg som kan vara aktuella i programmeringsarbetet, dels ge en första inblick i

Läs mer

Diverse beteckningar och formler som dyker upp i induktionsavsnittet, men även litet överallt annars:

Diverse beteckningar och formler som dyker upp i induktionsavsnittet, men även litet överallt annars: Talföljder Diverse beteckningar och formler som dyker upp i induktionsavsnittet, men även litet överallt annars: Talföljd En ändlig eller oändlig följd av tal uppställda i en bestämd ordning, t.ex. 1,,

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

Problemlösning Lösningar

Problemlösning Lösningar Problemlösning Lösningar Lösning Problemlösning 1. Dela bröd och pengar (0) Luffarna åt 8/3 bröd var. Luffare A gav bort 3 8/3 = 1/3 bröd till C och luffare B gav bort 5 8/3 = 7/3 bröd till C. Alltså ska

Läs mer

KALKYL OCH DIAGRAM. Kalkylbladet. 170 Datorkunskap Kalkyl och diagram

KALKYL OCH DIAGRAM. Kalkylbladet. 170 Datorkunskap Kalkyl och diagram 170 Datorkunskap Kalkyl och diagram KALKYL OCH DIAGRAM När du behöver göra beräkningar, diagram eller sammanställa större mängder data använder du Excel. Kalkylbladet Ett Excel-dokument kallas även för

Läs mer

Lutande torn och kluriga konster!

Lutande torn och kluriga konster! Lutande torn och kluriga konster! Aktiviteter för barn under Vetenskapsfestivalens skolprogram 2001 Innehåll 1 Bygga lutande torn som inte faller 2 2 Om konsten att vinna betingat godis i spel 5 3 Den

Läs mer

Matematik A Testa dina kunskaper!

Matematik A Testa dina kunskaper! Testa dina kunskaper! Försök i största möjliga mån att räkna utan hjälp av boken, skriv små noteringar i kanten om ni tycker att ni kan uppgifterna, att ni löste dem med hjälp av boken etc. Facit kommer

Läs mer

Algebra - uttryck och ekvationer

Algebra - uttryck och ekvationer Förenkla: Tänk så här: Du går till affären och köper 3 äpplen och 2 bananer och lösgodis för 7 kr. Din kompis köper 1 äpple och 3 bananer och lösgodis för 10 kr. Hur många äpplen och hur många bananer

Läs mer

DD2458-224344 - 2014-12-19

DD2458-224344 - 2014-12-19 KTH / KURSWEBB / PROBLEMLÖSNING OCH PROGRAMMERING UNDER PRESS DD2458-224344 - 2014-12-19 Antal respondenter: 26 Antal svar: 18 Svarsfrekvens: 69,23 % RESPONDENTERNAS PROFIL (Jag är: Man) Det var typ en

Läs mer

Optimering av depåpositioner för den minimala bensinförbrukningen i öknen

Optimering av depåpositioner för den minimala bensinförbrukningen i öknen Optimering av depåpositioner för den minimala bensinförbrukningen i öknen Frågeställning: En jeep kan sammanlagt ha 200 liter bensin i tanken samt i lösa dunkar. Jeepen kommer 2,5 km på 1 liter bensin.

Läs mer

RÖRELSE. - Mätningar och mätinstrument och hur de kan kombineras för att mäta storheter, till exempel fart, tryck och effekt.

RÖRELSE. - Mätningar och mätinstrument och hur de kan kombineras för att mäta storheter, till exempel fart, tryck och effekt. RÖRELSE Inledning När vi går, springer, cyklar etc. förflyttar vi oss en viss sträcka på en viss tid. Ibland, speciellt när vi har bråttom, tänker vi på hur fort det går. I det här experimentet undersöker

Läs mer

4 Kolumn Kalkylbladet är uppdelat i rader (horisontellt) och kolumner (vertikalt). Där dessa möts finns alltid en cell.

4 Kolumn Kalkylbladet är uppdelat i rader (horisontellt) och kolumner (vertikalt). Där dessa möts finns alltid en cell. Lathund för Microsoft Excel 1 2 9 4 Kolumn Kalkylbladet är uppdelat i rader (horisontellt) och kolumner (vertikalt). Där dessa möts finns alltid en cell. Innehåll Autofyll Celler Diagram Ändra diagramtyp

Läs mer

Programmeringsolympiaden 2015

Programmeringsolympiaden 2015 Programmeringsolympiaden 2015 TÄVLINGSREGLER FÖR SKOLKVALET Tävlingen äger rum på av skolan bestämt datum under sex timmar effektiv tid. Eleven ska i förväg komma överens med läraren om att använda egen

Läs mer

SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR

SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR STUDIEAVSNITT 3 SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR I detta avsnitt ska vi titta på några av de skogliga tillämpningar på geometri som finns. SKOGSKARTAN EN MODELL AV VERKLIGHETEN Arbetar man i skogen klarar man sig

Läs mer

Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4

Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4 Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 014-015 Denna lektion ska vi studera rekursion. Lektion 4 Principen om induktion Principen om induktion är ett vanligt sätt att bevisa

Läs mer

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning Moment Begreppsbildning Mätningar och enheter Algebra och ekvationer Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Bedömningsgrunder för uppnåendemålen känna igen naturliga tal kunna positiva heltal:

Läs mer

UPPGIFT 1 TVÅPOTENSER. UPPGIFT 2 HISSEN I LUSTIGA HUSET.

UPPGIFT 1 TVÅPOTENSER. UPPGIFT 2 HISSEN I LUSTIGA HUSET. UPPGIFT 1 TVÅPOTENSER. 2 ½ ¾ = 5575186299632655785383929568162090376495104 n = 142 är det minsta värde på n för vilket 2 Ò inleds med siffrorna 55. Uppgiften består i att skriva ett program som tar emot

Läs mer

Skillnaden mot att jobba som i ett vanligt ordbehandlingsdokument, är att internet tar inte emot textrutor. Det få r man istället ersätta med ramar.

Skillnaden mot att jobba som i ett vanligt ordbehandlingsdokument, är att internet tar inte emot textrutor. Det få r man istället ersätta med ramar. Gör en hemsida Denna övning utgå r frå n att man skapar en affish på internet. Man kan ex. informera om en teaterföreställning, som klassen producerat, eller annat arrangemang. Skillnaden mot att jobba

Läs mer

Mina omvärldsfaktorer

Mina omvärldsfaktorer Juni 2012 Manual Mina omvärldsfaktorer Ägare Leif Jougda Ansvariga personer Per Sandström Bengt Näsholm Leif Jougda Åke Sjöström Stefan Sandström Förslag och synpunkter skickas till Leif Jougda leif.jougda@skogsstyrelsen.se

Läs mer

1. a) I en fortskridande våg, vad är det som rör sig från sändare till mottagare? Svara med ett ord. (1p)

1. a) I en fortskridande våg, vad är det som rör sig från sändare till mottagare? Svara med ett ord. (1p) Problem Energi. a) I en fortskridande våg, vad är det som rör sig från sändare till mottagare? Svara med ett ord. (p) b) Ge en tydlig förklaring av hur frekvens, period, våglängd och våghastighet hänger

Läs mer

LDAP i KK2.1. Innehåll. Sammanställt av Roland Hedberg Version: 1.0 Datum: 2006 10 31

LDAP i KK2.1. Innehåll. Sammanställt av Roland Hedberg Version: 1.0 Datum: 2006 10 31 2006 10 31 LDAP i KK2.1 Sammanställt av Roland Hedberg Version: 1.0 Datum: 2006 10 31 Innehåll LDAP i KK2.1 1 Introduktion...1 2 Organisation...2 2.1 Placering i LDAP katalogen...2 2.2 Översättning mellan

Läs mer

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Karlstads GeoGebrainstitut Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet Mats Brunström Maria Fahlgren GeoGebra ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Invigning

Läs mer

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik

Läs mer

Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan

Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan 3.5 Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet

Läs mer

Kursplan för Matematik

Kursplan för Matematik Sida 1 av 5 Kursplan för Matematik Inrättad 2000-07 SKOLFS: 2000:135 Ämnets syfte och roll i utbildningen Grundskolan har till uppgift att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs för

Läs mer

Laboration1 Vektorgrafik med Illustrator Innehåll: Filter Text Objekt Knappar Kurvor Ritverktyget Formverktyget Symboler Övertoning Effekt Lager

Laboration1 Vektorgrafik med Illustrator Innehåll: Filter Text Objekt Knappar Kurvor Ritverktyget Formverktyget Symboler Övertoning Effekt Lager Laboration1 Vektorgrafik med Illustrator Innehåll: Filter Text Objekt Knappar Kurvor Ritverktyget Formverktyget Symboler Övertoning Effekt Lager Uppgift 1 Designa en webbknapp Rita en form Håll ned musen

Läs mer

Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 2 Strukturer 2 2.1 Domäner... 2 2.2 Tolkningar... 3

Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 2 Strukturer 2 2.1 Domäner... 2 2.2 Tolkningar... 3 Föreläsning 2 Semantik 729G06 Logikdelen Föreläsningsanteckningar i Programmering och logik 27 januari 2014 Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet 2.1 Innehåll Innehåll 1 Lite mer syntax 1 2 Strukturer

Läs mer

Excel XP. Programfönster

Excel XP. Programfönster Excel XP Programfönster I den här övningen tränar du på olika programfönster. Alla övningar har facit och går att göra på egen hand. Om du ska göra datakörkortet är det här extra bra övningar att träna

Läs mer

5Chans och risk. Mål. Grunddel K 5. Ingressen

5Chans och risk. Mål. Grunddel K 5. Ingressen Chans och risk ål När eleverna har studerat det här kapitlet ska de kunna: förklara vad som menas med begreppet sannolikhet räkna ut sannolikheten för att en händelse ska inträffa känna till hur sannolikhet

Läs mer

Talmönster och algebra. TA

Talmönster och algebra. TA Talmönster och algebra. TA Diagnoserna i området avser att kartlägga om eleverna kan upptäcka talmönster samt på olika sätt bearbeta algebraiska uttryck och ekvationer. Förståelse av koordinatsystem och

Läs mer

ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform.

ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform. 1 (6) 2005-08-15 Matematik, år 9 Mål för betyget Godkänd Beroende på arbetssätt och arbetsmaterial kan det vara svårt att dela upp dessa uppnående mål mellan skolår 8 och skolår 9. För att uppnå godkänd

Läs mer

LPP: kristendom, judendom och islam (grupparbete)

LPP: kristendom, judendom och islam (grupparbete) LPP: kristendom, judendom och islam (grupparbete) 1. Bekanta er med religionen ni ska jobba med genom att läsa i både läromedel, uppslagsverk och liknande. Det räcker inte med att använda en källa för

Läs mer

Talområden. Utvidga talområden: - naturliga tal. - hela tal. -100, -5 0, 1, 2 o.s.v. - rationella tal. - reella tal. π, 2 o.s.v.

Talområden. Utvidga talområden: - naturliga tal. - hela tal. -100, -5 0, 1, 2 o.s.v. - rationella tal. - reella tal. π, 2 o.s.v. TALUPPFATTNING Mål som eleven ska ha uppnått i slutet av det nionde skolåret: Eleven skall ha förvärvat sådana kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer samt lösa

Läs mer

Förberedelser: Göm i hemlighet en boll i den mellersta muggen, som visas på bilden nedan.

Förberedelser: Göm i hemlighet en boll i den mellersta muggen, som visas på bilden nedan. MUGGAR OCH BOLLAR Placera en boll på toppen av en mugg och täck den med de andra två muggarna. Knacka på muggen och bollen kommer att passera genom muggen och hamna på bordet under. De återstående bollarna

Läs mer

Föreläsning 4. 732G19 Utredningskunskap I. Föreläsningsunderlagen bygger på underlag skapade av Kalle Wahlin

Föreläsning 4. 732G19 Utredningskunskap I. Föreläsningsunderlagen bygger på underlag skapade av Kalle Wahlin Föreläsning 4 732G19 Utredningskunskap I Föreläsningsunderlagen bygger på underlag skapade av Kalle Wahlin Dagens föreläsning Systematiskt urval Väntevärdesriktiga skattningar Jämförelse med OSU Stratifierat

Läs mer

Vad är det? Översikt. Innehåll. Vi behöver modeller!!! Kontinuerlig/diskret. Varför modeller??? Exempel. Statiska system

Vad är det? Översikt. Innehåll. Vi behöver modeller!!! Kontinuerlig/diskret. Varför modeller??? Exempel. Statiska system Vad är det? Översikt Discrete structure: A set of discrete elements on which certain operations are defined. Discrete implies non-continuous and therefore discrete sets include finite and countable sets

Läs mer

Tenta i Digitalteknik

Tenta i Digitalteknik Tenta i Digitalteknik Kurskod D0011E Tentamensdatum 2010-08-27 Skrivtid 9.00-14.00 Maximalt resultat 50 poäng Godkänt resultat 25 poäng inkl bonus Jourhavande lärare Per Lindgren Tel 070 376 8150 Tillåtna

Läs mer

Programmering. Den första datorn hette ENIAC.

Programmering. Den första datorn hette ENIAC. Programmering Datorn är bara en burk. Den kan inget själv. Hur får man den att göra saker? Man programmerar den. Människor som funderar ut program som fungerar. Datorn förstår bara ettor och nollor och

Läs mer

Kängurutävlingen Matematikens hopp

Kängurutävlingen Matematikens hopp Kängurutävlingen Matematikens hopp Junior 2010 Här följer svar, rättningsmall och redovisningsblanketter. Förutom svar ger vi också några olika lösningsförslag. De flesta problem kan lösas på flera sätt

Läs mer

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs Tolkning Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning

Läs mer

Läs in Räkna ut A Läs in Räkna ut a

Läs in Räkna ut A Läs in Räkna ut a LÄS IN RÄKNA UT A Innehåll Stryk under, ringa in, kryssa Till höger och till vänster 6 Hitta rätt mönster 8 I ordning 10 Följ ledtrådarna 14 Hemliga språk och koder 18 Tabeller och diagram 0 Tänk logiskt

Läs mer

Labora&v matema&k - för en varierad undervisning

Labora&v matema&k - för en varierad undervisning Labora&v matema&k - för en varierad undervisning Per Berggren & Maria Lindroth 2012-02- 23 Lgr11- Matema&ska förmågor Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar

Läs mer

DIGITAL KOMMUNIKATION

DIGITAL KOMMUNIKATION EN KOR SAMMANFANING AV EORIN INOM DIGIAL KOMMUNIKAION Linjär kod En binär linjär kod kännetecknas av att summan av två kodord också är ett kodord. Ett specialfall är summan av ett kodord med sig själv

Läs mer

ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik

ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik Övergripande Mål: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska begrepp och samband

Läs mer

Enkätresultat. Kursenkät, Flervariabelanalys. Datum: 2010-03-29 08:47:04. Aktiverade deltagare (MMGF20, V10, Flervariabelanalys) Grupp:

Enkätresultat. Kursenkät, Flervariabelanalys. Datum: 2010-03-29 08:47:04. Aktiverade deltagare (MMGF20, V10, Flervariabelanalys) Grupp: Enkätresultat Enkät: Status: Kursenkät, Flervariabelanalys stängd Datum: 2010-03-29 08:47:04 Grupp: Besvarad av: 13(40) (32%) Aktiverade deltagare (MMGF20, V10, Flervariabelanalys) Helheten Mitt helhetsomdöme

Läs mer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen

Läs mer

Kombinera bild och text i Word97

Kombinera bild och text i Word97 SYDSOL Handledning Win 2000-02-23 Kombinera bild och text i Word97 Syfte: Kombinera text och bild till en enhet Att arbeta med text kombinerat med bild har varit omständligt i Word. Word är ju i första

Läs mer

reella tal x i, x + y = 2 2x + z = 3. Här har vi tre okända x, y och z, och vi ger dessa okända den naturliga

reella tal x i, x + y = 2 2x + z = 3. Här har vi tre okända x, y och z, och vi ger dessa okända den naturliga . Lösningsmängden till homogena ekvationssystem I denna första föreläsning börjar vi med att repetera det grunnläggande begreppet inom linjär algebran. Linjär algebra är studiet av lösningsmängden till

Läs mer

INTRODUKTION TILL KURSEN. Makroekonomi

INTRODUKTION TILL KURSEN. Makroekonomi INTRODUKTION TILL KURSEN ROB HART Makroekonomi I makroekonomi studerar vi ekonomisk aktivitet inom systemet i sin helhet; företeelser som tillväxt, inflation och arbetslöshet analyseras,

Läs mer

Mätning av fokallängd hos okänd lins

Mätning av fokallängd hos okänd lins Mätning av fokallängd hos okänd lins Syfte Labbens syfte är i första hand att lära sig hantera mätfel och uppnå god noggrannhet, även med systematiska fel. I andra hand är syftet att hantera linser och

Läs mer

Regler för: - Räkna med sedlar og mynt!

Regler för: - Räkna med sedlar og mynt! Regler för: getsmart Kids - Räkna med sedlar og mynt! Det rekommenderas att man börjar med att se på powerpoint-reglerna när man ska lära sig olika spel med kortleken! Kolla in hemsidan för fler powerpoint

Läs mer

räkna med vasa övningar att genomföra i vasamuseet

räkna med vasa övningar att genomföra i vasamuseet räkna med vasa övningar att genomföra i vasamuseet lärarhandledning 2 (av 2) övningar att genomföra i vasamuseet Denna handledning riktar sig till läraren som i sin tur muntligt instruerar sina elever.

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Y

Sammanfattningar Matematikboken Y Sammanfattningar Matematikboken Y KAPitel 1 TAL OCH RÄKNING Numeriska uttryck När man beräknar ett numeriskt uttryck utförs multiplikation och division före addition och subtraktion. Om uttrycket innehåller

Läs mer

Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600

Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 Kurs: Matematik Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk verksamhet är till sin lad till den samhälleliga, sociala och tekniska utvecklingen. Kunskaper

Läs mer

SF1635, Signaler och system I

SF1635, Signaler och system I SF635, Signaler och system I Tentamen tisdagen 0--, kl 4 00 9 00 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook Räknedosa utan program Formelsamling i Signalbehandling (rosa), Formelsamling för Kursen SF635 (ljusgrön)

Läs mer

Grafisk Teknik. Rastrering. Övningar med lösningar/svar. Sasan Gooran (HT 2013)

Grafisk Teknik. Rastrering. Övningar med lösningar/svar. Sasan Gooran (HT 2013) Grafisk Teknik Rastrering Övningar med lösningar/svar Det här lilla häftet innehåller ett antal räkneuppgifter med svar och i vissa fall med fullständiga lösningar. Uppgifterna är för det mesta hämtade

Läs mer

Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan

Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust

Läs mer

MATEMATIK KURS A Våren 2005

MATEMATIK KURS A Våren 2005 MATEMATIK KURS A Våren 2005 1. Vilket tal pekar pilen på? 51 52 53 Svar: (1/0) 2. Skugga 8 3 av figuren. (1/0) 3. Vad är 20 % av 50 kr? Svar: kr (1/0) 4. Hur mycket vatten ryms ungefär i ett dricksglas?

Läs mer

Repetitionsuppgifter 1

Repetitionsuppgifter 1 Repetitionsuppgifter 1 Beräkna 1 a) 0,5 + 0,7 b) 0,45 + 1,6 c) 2,76 0,8 2 a) 4,5 10 b) 30,5 10 c) 0,45 1 000 3 Vilka av produkterna är a) större än 6 1,09 6 0,87 6 1 6 4,3 6 0,08 6 b) mindre än 6 4 Skriv

Läs mer

Öppna frågor (ur Good questions for math teaching)

Öppna frågor (ur Good questions for math teaching) Här är öppna frågor som jag hämtat från boken Good questions for math teaching som jag läste i våras när jag gick Lärarlyftet. Frågorna är sorterade efter ämne/tema och förhoppningsvis kan fler ha nytta

Läs mer

Talsystem Teori. Vad är talsystem? Av Johan Johansson

Talsystem Teori. Vad är talsystem? Av Johan Johansson Talsystem Teori Av Johan Johansson Vad är talsystem? Talsystem är det sätt som vi använder oss av när vi läser, räknar och skriver ner tal. Exempelvis hade romarna ett talsystem som var baserat på de romerska

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Implicita odds och omvända implicita odds

Implicita odds och omvända implicita odds Kapitel sju Implicita odds och omvända implicita odds Under de tidiga satsningsrundorna och satsningsrundorna i mitten sänks vanligtvis pottoddset avsevärt om du behöver syna framtida satsningar, och du

Läs mer

Laboration i Geometrisk Optik

Laboration i Geometrisk Optik Laboration i Geometrisk Optik Stockholms Universitet 2002 Modifierad 2007 (Mathias Danielsson) Innehåll 1 Vad är geometrisk optik? 1 2 Brytningsindex och dispersion 1 3 Snells lag och reflektionslagen

Läs mer

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs Tolkning Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning

Läs mer

Regelverk för identitetsfederationer för Svensk e-legitimation

Regelverk för identitetsfederationer för Svensk e-legitimation 1 (5) Regelverk för identitetsfederationer för Svensk e-legitimation Bilaga A Ersättning och fakturering 2 (5) 1. Bakgrund och syfte 1.1 Detta dokument är en bilaga till huvudtexten i Regelverk för identitetsfederationer

Läs mer

Manual fö r webbkartörnas grundla ggande funktiöner

Manual fö r webbkartörnas grundla ggande funktiöner Manual fö r webbkartörnas grundla ggande funktiöner Webbfönster När du klickar på en kartlänk öppnas kartan i ett nytt fönster eller en ny flik, beroende på inställningen i din webbläsare. Bilden nedan

Läs mer

INNEHÅLL ALLMÄNT... 2

INNEHÅLL ALLMÄNT... 2 INNEHÅLL ALLMÄNT... 2 POWERPOINT... 2 KOMMA IGÅNG MED POWERPOINT... 3 SKAPA EN PRESENTATION... 4 INFOGA... 5 Kopiera kalkylbladsceller från Microsoft Excel till en presentation...5 Dela information mellan

Läs mer

2012-01-12 FÖRSLAG TILL KURSPLAN INOM KOMMUNAL VUXENUTBILDNING GRUNDLÄGGANDE NIVÅ

2012-01-12 FÖRSLAG TILL KURSPLAN INOM KOMMUNAL VUXENUTBILDNING GRUNDLÄGGANDE NIVÅ Matematik, 600 verksamhetspoäng Ämnet handlar bland annat om mängder, tal och geometriska figurer. Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska

Läs mer

MÄLARDALENS HÖGSKOLA. CD5560 Formella språk, automater och beräkningsteori. Användarmanual. för simulatorn JFLAP

MÄLARDALENS HÖGSKOLA. CD5560 Formella språk, automater och beräkningsteori. Användarmanual. för simulatorn JFLAP MÄLARDALENS HÖGSKOLA CD5560 Formella språk, automater och beräkningsteori Användarmanual för simulatorn JFLAP Innehållsförteckning Att komma igång med JFLAP... 3 Att köra en sträng... 5 Att köra flera

Läs mer

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium. Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter

Läs mer

3-3 Skriftliga räknemetoder

3-3 Skriftliga räknemetoder Namn: 3-3 Skriftliga räknemetoder Inledning Skriftliga räknemetoder vad är det? undrar du kanske. Och varför behöver jag kunna det? Att det står i läroplanen är ju ett klent svar. Det finns miniräknare,

Läs mer

Lärarmaterial. Tarik och Ida hjälps åt. Boken handlar om: Lgr 11 - Centralt innehåll och förmågor som tränas: Eleverna tränar följande förmågor:

Lärarmaterial. Tarik och Ida hjälps åt. Boken handlar om: Lgr 11 - Centralt innehåll och förmågor som tränas: Eleverna tränar följande förmågor: SIDAN 1 Författare: Hanne Fredsted Boken handlar om: Tarik kommer till skolan och vill gärna vara med och spela fotboll, men det är så många nya, och svåra, ord att hålla reda på. Att läsa går bra, och

Läs mer

Stavelsen Det talade ordet Läsa via skrivandet Strukturerad inlärning Vi arbetar i studiegrupper, dvs. ettor och tvåor tillsammans i mindre grupper.

Stavelsen Det talade ordet Läsa via skrivandet Strukturerad inlärning Vi arbetar i studiegrupper, dvs. ettor och tvåor tillsammans i mindre grupper. Stavelsen Det talade ordet Läsa via skrivandet Strukturerad inlärning Vi arbetar i studiegrupper, dvs. ettor och tvåor tillsammans i mindre grupper. Lokala mål Tala och lyssna: Jag kan lyssna och förstå

Läs mer

Lokal studieplan för träningsskolan i verklighetsuppfattning åk 1-9

Lokal studieplan för träningsskolan i verklighetsuppfattning åk 1-9 Lokal studieplan för träningsskolan i verklighetsuppfattning åk 1-9 Kunskaps område Människa, djur och natur Centralt innehåll Kunskapskrav åk 9 grundläggande Människans upplevelse av ljud, ljus, temperatur,

Läs mer

Inlämningsuppgift 1. Inlämningsuppgift 1. Metod. Tester. Högskolan i Kristianstad: Interaktionsdesign I. 2010-09-17, Per-Ola Olsson

Inlämningsuppgift 1. Inlämningsuppgift 1. Metod. Tester. Högskolan i Kristianstad: Interaktionsdesign I. 2010-09-17, Per-Ola Olsson Inlämningsuppgift 1 Metod Jag har valt att studera några av de vanliga funktionerna på en mobiltelefon, sk smartphone. Vi använde min iphone 3GS med ios 4.1 och språket inställt på svenska. Testerna genomfördes

Läs mer

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg Tema: Pythagoras sats Linnéa Utterström & Malin Öberg Innehåll: Introduktion till Pythagoras sats! 3 Pythagoras sats! 4 Variabler! 5 Potenser! 5 Att komma tillbaka till ursprunget! 7 Vi bevisar Pythagoras

Läs mer

Matematik. Bedömningsanvisningar. Vårterminen 2009 ÄMNESPROV. Delprov C ÅRSKURS

Matematik. Bedömningsanvisningar. Vårterminen 2009 ÄMNESPROV. Delprov C ÅRSKURS ÄMNESPROV Matematik ÅRSKURS 9 Prov som ska återanvändas omfattas av sekretess enligt 4 kap. 3 sekretesslagen. Avsikten är att detta prov ska kunna återanvändas t.o.m. 2009-06-30. Vid sekretessbedömning

Läs mer

Lässvårigheter och räknesvårigheter pedagogiska förslag och idéer

Lässvårigheter och räknesvårigheter pedagogiska förslag och idéer Lässvårigheter och räknesvårigheter pedagogiska förslag och idéer Görel Sterner Artikel ur Svenska Dyslexiföreningens och Svenska Dyslexistiftelsens tidskrift Dyslexi aktuellt om läs- och skrivsvårigheter

Läs mer

sex miljoner tre miljarder femton miljoner trehundratusen 6 000 000 520 000 > 50 200 40 000 500 > 40 000 050 5 505 050 < 5 505 500

sex miljoner tre miljarder femton miljoner trehundratusen 6 000 000 520 000 > 50 200 40 000 500 > 40 000 050 5 505 050 < 5 505 500 Namn: Förstå och använda stora tal som miljoner och miljarder Skriv talen med siffror. sex miljoner tre miljarder femton miljoner trehundratusen Läs talen först. Använd sedan > eller > < Vilket tal

Läs mer

Snabbmanual version: 5.2

Snabbmanual version: 5.2 dicompacs Snabbmanual version: 5.2 1. Musknappar funktioner Vänster musknapp Mus hjul Höger musknapp Funktion för vänster musknapp I navigeringsfönstret: -Om du klickar på en bild i navigeringsfönstret

Läs mer

Processledar manual. Landsbygd 2.0

Processledar manual. Landsbygd 2.0 Processledar manual Landsbygd 2.0 Inledning och tips Bilda grupper Börja med att placera deltagarna i grupper om ca 5-8 personer i varje. De som kommer från samma ort ska vara i samma grupp eftersom det

Läs mer

Lathund till PowerPoint 2002 (XP)

Lathund till PowerPoint 2002 (XP) Lathund till PowerPoint 2002, sid 1(5) Lathund till PowerPoint 2002 (XP) Överblick 1. Arbetsfönstret här jobbar du med dina bilder 2. Överblick här ser du miniatyrer av alla bilder 3. Åtgärdsfönstret här

Läs mer

Ett enkelt Kalkylexempel - Fruktaffären

Ett enkelt Kalkylexempel - Fruktaffären Ett enkelt Kalkylexempel - Fruktaffären Öppna en ny arbetsbok genom att gå upp i Arkivmenyn och där välja Nytt ange Arbetsbok. Eller klicka på knappen för ny arbetsbok. Du skall nu göra en kalkyl för ett

Läs mer