basår Kursbunt Version 1.y

Transkript

1 Kursbunt Version 1.y

2 2

3 INNEHÅLLSFÖRTECKNING 1 Implikation och ekvivalens Linjära ekvationssystem... 5 Mer om vektorer Absolutbelopp Formler Area och volymskala Facit... 26

4 IMPLIKATION OCH EKVIVALENS I matematisk argumentation används ibland de logiska symbolerna och. Pilarna kan skrivas mellan två påståenden och. 1 Ekvivalenspil Exempel 1 Exempel 2 Implikationspil Exempel Exempel 4 Exempel 5 Dubbelpilen är en ekvivalenspil. Den uttalas u är ekvivalentt med eller om och endast om. Om påståendet föree pilen är sant, så är också påståendet efter pilen sant. Och om påståendet efter pilen är sant, så är också påståendet före pilen sant " ä. " "å ä. " Enkelpilen är en implikationspil. Den uttalas implicerar eller medför. Man säger att det första påståendet medför det andra, eller attt det andraa påståendet följer avv det första. Omvändningen gäller dock inte. 0 9 Omvändningen gäller ej. Den andra ekvationen har r två lösningar medan den första endast har en lösning. " ä. " " ä ö. " Omvändningen gäller ej. Det finns fyrhörningar somm inte är kvadrater. " ä. " " ä. " Omvändningen gäller ej. Det finns EU medborgare som inte är svenska medbörjare Vilken av symbolerna eller ska stå i rutan? Motivera ditt svar. Triangel är liksidig. Triangelns vinklar är lika c) är ett naturligt tal. är ett heltal. d) Vinkel 50. Vinkel är spetsig. e) Cirkelns radie är 5. Cirkelns diameter är 10. f) Robin år 17 år. Robin är enn tonåring Ge exempel på ett påstående som kan stå efter pilen. 517 Vinkel 100. c) är en rektangel. d) 25 e) Vinkelsummaa i en polygon är 540 f) 0 g) Djuret är en fisk. h) Heltalet är delbart med. 1 Sid 4 något omarbetat från: M. Karlsson, E. Högsborn, Å. Lundbom (2011), Matematik 5000 kurs 1C, Natur och Kultur läromedel, ISBN

5 RÄTA LINJENS EKVATION OCH 2 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM Räta linjens ekvation Riktningskoefficient En funktion vars graf är en e rät linje är en linjär funktion. är en förstaordningens polynom, där konstanterna och avgör det linjära sambandett mellan variablerna och. Ekvationen beskriver den räta linjens ekvation. k kallas riktningskoefficient och betecknar lutningen på linjen. Ettt positivt k-värde ger en linje som lutar snett uppåt åt höger i koordinatsystemet, vilket innebär att funktionsvärdet blir större ju större värdet blir på den oberoende variabeln. v Ettt negativt k-värde ger en linje somm lutar snett neråt åt höger, att funktionsvärdet blir mindre ju större värdet blir på den oberoende variabeln. Om k0 så har kurvan en horisontell lutning och kurvan ligger därför parallellt med x-axeln. Intercept Proportionalitett Konstanten m kallas konstantterm eller även intercept och bestämmer varr linjen skärr y-axeln. m-värdet motsvarar y-värdet i den punkten där x 0, alltså där linjen skär y-axeln. Om 0, dvs. om linjen går genom origo, ärr variablerna och proportione ella mot varandra. 2 ; 2, ; 0, 1,5 ; 1,5, Riktningskoefficienten definieras som: och visar hur många enheter stigerr eller faller linjen i led för varie enhet vii går framåt i led. 2 Sid 5 12 något omarbetat från: L. Alfredsson, K. Bråting m.fl. (2012), Matematik M 5000 kurs 2c, Natur & Kultur läromedel, ISBN

6 Linjärt ekvationssystem Exempel 1 Ett linjärt ekvationssystem bestårr av två eller flera räta linjers ekvationer. Lösningen till ett linjärt ekvationssystem med två ekvationer är ett talpar, som satisfierarr båda ekvationer. Varje talpar motsvarar en punkt i koordinatsystemet. Att talparet, satisfierar båda ekvationer i ekvationssystemet innebär att punkten, ligger på p de båda räta linjer som representeras av dessa ekvationer. Detta är bara möjligt om punkten, är de rätta linjernas skärningspunkt. Lös ekvationssystemet grafiskt Vii ritar de båda linjerna i samma koordinatsk system och konstaterar att punktenn ; 2 ligger på bådaa linjer och därmed är lösningenn till ekvationssystemet. Grafisk lösning Sammanfattning Algebraiska lösnings Metoder Exemplen ovan visar på en grafisk lösning tilll ekvationssystemet. Attt lösa ett ekvationssystem innebär att man bestämmer ekvationernas gemensamma lösning. Till ett linjärt ekvationssystem med två obekantaa kan man grafiskt finna lösningen i linjernas skärningspunkt. Dealgebraiska lösningsmetodernaa är de metoder som direkt ger den exakta lösningen. Substitutionsmetoden En metod kallas substitutionsmetoden och innebär 1 2 Lös ut enn variabel ur den ena ekvationen. Ersätt variabeln i den andra ekvationen e med detta uttryck och lös ekvationen. Lösningen till ekvationen sätts in i någonn av de ursprungliga ekvationerna, som därefter löses. 6

7 Exempel2: Lös följande ekvationssystem exakt Den andra ekvationer ger sätts in i den första ekvationen insättes i 5 1 som ger Svar: Ekvationssystemet har lösningen 2 9 Additionsmetoden Hur löser vi ett ekvationssystem där vi inte på ett enkelt sätt kan lösa ut en variabel? Vi undersöker ekvationssystemet Jämför ekvation (1) och ekvation (2). Koefficienterna framför y har samma siffervärde, men motsatt tecken. Adderar vi ledvis, tar y termerna ut varandra sätts in i en av ekvationerna och ger 2. Ekvationssystemet har lösningen 5 2. Additionsmetoden innebär 1 2 Multiplicera den ena eller båda ekvationerna med lämpliga tal så att koefficienterna framför den ena variabeln blir motsatta tal. Addera ekvationerna ledvis. Vi får då en ekvation med en variabel. Lös ekvationen. Lösningen till ekvationen sätts in i någon av de ursprungliga ekvationerna, som därefter löses. 7

8 Exempel Lös ekvationssystemet med additionsmetoden För att lösa ekvationssystemet med additionsmetoden, måste vi först bestämma oss vilken av variablerna eller som ska elimineras. Om vi vill få bort variabel, bör vi multiplicera ekvationen 1 med 2 och ekvationn 2 med. Koefficienterna framför blirr motsatta tal, 6 och sätts in i ekvation (2) Svar: Ekvationssystemet lösning är Graferna till ekvationerna i ett ekvationssystem är ritade i figuren. 20. Avläs ekvationssystemets lösning Rita grafen till 1 och i samma koordinatsystem. Avläs lösningen till ekvationssystemet 1 Bestäm linjernass ekvationer. Vilket ekvationssystem kan lösas grafiskt g med hjälp av figuren? c) Avläs lösningen. l 204. Lös ekvationssystemet grafiskt

9 205. Lös ekvationssystemet kr 206. Lös ut variabeln som står i parentesen c) Lös ekvationssystemen med substitutionsmetod c) d) krr 46 kr 8 kr 8 8 kr kr Ställ uppp ett ekvationssystem som beskriver situationen. Bestäm priset på en banan respektive en ost macka Lösningen till ekvations systemet 1 7 får vi när 8/5, men vilket värde har? Visa att lösningen stämmer. 59 kr Ställ upp ett ekvationssystem som beskriverr situationen. Bestäm priset på en koppp kaffe respektive en bulle Bestäm exakt koordinaternaa för skärningspunktenn mellan de båda rätta linjerna. 2 2 ochh och Bestäm talet i ekvationen 5 44 så att uttrycket 5 44 får värdet Linjerna 2, 2 1 och 0,5 20 innesluter en triangel. Bestäm exakt koordinaterna för triangelns hörn Undersök om linjerna 2 0, 2 50 och 11 0 går genom en och samma punkt Bestäm talen a och b så att ekvationssystemet 6 Får lösningen 7 och Lös ekvationssystemet med additionsmetoden

10 Vad ska du multiplicera den andra ekvationen med för attt termerna ska försvinna vid addition? Lös ekvationssystemet Lös ekvationssystemett med additionsmetoden Vad kan du multiplicera ekvationn 1 respektive ekvation 2 med om duu vid addition vill eliminera termerna termerna 220. Lös ekvationssystemett med additionsmetoden ,5 0, 6 0 c) Lös ekvationssystemett ,75 genom att sätta 1 och Lös ekvation nssystemett Lös följande ekvationssystem. Använd substitutionsmetoden eller additionsmetoden 1,2 2,05,4 0,8 1,47, José har lämnat tre backar med tillsammans 60 tomglas i pantautomaten och Maria har lämnat enn back medd 14 tomglas. Bilden visar deras kvitton. Bestäm panten för en tom back och panten för ett tomglas. Företagett Koori tillverkar två olika sorters bumeranger, en traditionell och en exklusiv variant. Bumerangerna skaa först snidas för handd och sedann målas. En traditionell bumerang tar tre timmar att snida och en timme att måla. Enn exklusiv bumerang tar t fyra timmar att snida och tre timmar att måla. Under en vecka tillverkades ett antal bumeranger så att det vid veckans slut endast fanns helt färdiga bumerangeb er. Då hade snidarnaa arbetat sammanlagtt i 150 timmar och målarna sammanlagt i 100 timmar. Hur många bumeranger tillverkades under r denna vecka? 10

11 Några speciella ekvationssystem Exempel När man löserr ett ekvationssystem kan tre fall inträffa: Att ekvationssystemet har en lösning, saknar lösning eller har obegränsat antal lösningar. Låt oss titta påå tre exempel Algebraisk lösning Grafiskk lösning Fall Ekvationssystemet har en lösning: En skärningspunkt Detta gäller när linjerna har olika k-värden. Fall (orimligt) Ekvationssystemet saknar lösning. Ingen skärningspunkt. Detta gäller när linjerna har samma k-värde och olika m- värde. Fall Vi löser ut y ur den andra ekvationen och får 2 Ekvationerna beskriver samma rätta linje. Ekvationssystemet har oändligt många lösningar. Alla punkter är gemensamma. Detta gäller när linjerna har samma -värde och samma - värde. 11

12 Ekvationssystemet 4 har endast en lösning 2 ochh 10. Bestäm talet. Linjerna har ekvationen och har ekvationenn Vad kan du säga om lösningen till ekvationssystemet? Motivera ditt svar. Graferna till ekvationerna i ekvationssystemet 2 är ritade i figuren. Bestäm talet. Vilken lösning har ekvations systemet? c) Om linjen roterar runt skärningspunkten så ändrass värdet på och. Vilket värde har och då ekvationssystemet har oändligt många lösningar? 7 Undersök antalet lösningar till ekvationssystemet för olika värden på och. Motivera dina svar Lös ekvationssystemet och tolka svaret grafiskt. c) d) , Skriv en ekvation som tillsammans med ekvationen 2 5 ger ett ekvations lösningar. system som Saknar lösning Har oändligt många l För vilka värden på saknar ekvationssystemet lösning har ekvationssystemet en lösning c) har ekvationssystemet en lösning i 1:a kvadranten, 0?? 2. För vilka värden på talet a har ekvationssystemet ,5 En enda e lösning? 24. Lös ekvationssystemet Exakt, för och sedan för,1. Förklara geometriskt varför en litenn ändring i koefficienten i detta fall ger en stor ändring i lösningen.

13 MER OM VEKTORER Basvektorer ON system En vektor kan alltid delas upp i komposante er längs tvåå givna riktningar. Dessa riktningar ges i planet av två vektorer, och, dvs. i respektive riktning. Om de väljss så att de inte är parallella sägs vektorparet vara basvektorer, de utgör en bas. Om de dessutom är vinkelräta och har längden ett utgör de enn så kallad ON bas, ett ON system. ON betyder ortonormal, orto från (vinkelrät) och normerat därför att basvektorerna har längden ett. Varje vektor kan alltidd skrivas som en summa av och. I figuren nedan blir +2 ellerr om man underförstå år basvektorerna,, 2. Man säger att vektorn harr koordinaterna, 2. Komposanterna till vektor är och 2. Parallella vektorer Exempel 1 Lösning Två vektorer och är parallellaa om och endast om,. Bestäm det reella talett t så att vektor,1 1,, 2 blir parallell med vektor 1, 1., 1 1,, 2, 1 2 ska vara parallell medd 1, 1. Det ska alltså finnas ett tal k, sådant att 1, 1,12 Denna vektorekvationn ger upphov till ekvationssystemet: 12 som har lösningen 2 5 Det reella talet 2 gör att, 1 1,, 2, 1 21, 2, 1 2, 4 5,5 vilket är parallell med 1, 1. Sid 1 16 något omarbetat från: L. A. Callenberg (2006), Matematik Breddning, Studentlitteraturr AB, ISBN

14 Ekvivalens klass Två vektorer sägs varaa ekvivalenta om de är lika långaa och har samma riktning. Man kan också säga att de tillhör samma s ekvivalensklass. Vektorer ur samma ekvivalensklass. Ortvektor Om en vektor i ekvivalensklassenn har sin början i origo, så har denna vektor samma koordinater som den punkt där d vektornn slutar, och kallas ortsvektor. Om man i sitt koordinatsystem ritar in en vektor med start i punkten och slut i punkten kan man kalla denna vektor v. Koordinaterna för vektorn blir, om, och,, dvs. slutpunktens koordinater minus startpunktens koordinater. I figuren inses även attt Exempel 2 Lösning Punkterna och har koordinaterna, 4 4 respektive 5,. Bestäm koordinaterna för vektorerna, ochh. är vektorn som går mellan origo och punkten P 1 och vektorns koordinaterr är naturligtvis,4 5, 4 2, 1 5, 4 2, 1 14

15 Exempel Punkterna och har koordinaterna 0, 1 1 respektive 2, 0. Bestäm koordinaterna för vektorn Q Q. Vektorn Q Q är ekvivalent med av vektorerna i Exempel 2. Vilken? Varför? c)ortsvektorn i denna ekvivalensklass startar i origo och slutar i en punkt. Vilken punkt? Lösning 20,0 1 2, 1 P P har samma längd och riktning som Q Q eftersom vektorernas koordinaterr är samma. c) En vektor som börjar i origo och slutar i punkten p (2, 1) har samma längd och riktning som Q Q Vektorlängd I många tillämpningarr är det viktigt att kunna beräknaa en vektors längd. Om man har angett vektors koordinater i ON bas blir detta väldigt enkelt. Längden av en vektor kallas ofta också för beloppet. b Längden av vektorn, eller beloppet, skrivs. Längden av en vektor är ett reellt tal kopplat till vektorn. I en ON bas är om koordinaterna för är,. Exempel 4 Vektor, 2 är given. Beräkna , 2 6,

16 01. Låt u 1, 4 och v 2, 2. Beräkna i koordinatform 2 c) d) Vektorn 2, 5 och 1, 4 är givna. Beräkna 2 0. Vektorerna 0, 4 och 4, är givna. Beräkna 2 c) d) 04. I ett koordinatsystem är en triangel ritad. Hörnen är placerade i punkterna 1, 2, 4, 0 och 1, 1. Ange koordinaterna för vektorerna c) d) 05. Visa att punkterna 1, 0, 4, 2 och 6, 10 ligger på en rät linje genom att beräkna koordinaterna för vektorerna och. 06. Bestäm så att de tre punkterna 1, 2, 0, 4 och, ligger på en rät linje. 16

17 ABSOLUTBELOPP4 Definition Absolutbeloppet av ettt tal betecknas och o definieras enligt nedan: Exempel Notera att 0 för alla reella tal, och 0 baraa om 0. Ett alternativt sätt att definiera är därförr. Observera att gäller alltid, men gäller bara när 0. Geometriskt representerar avståndet mellan x och h 0 på tallinjen. Mer generellt representerar avståndet mellan punkterna och på tallinjen, eftersom detta avstånd är det samma som avståndet från punkten på tallinjen till 0. Räkneregler c) d) Ekvationer och Olikheter Ekvationen där 0 har två lösningar, och, d.v.s. två punkter på tallinjen som står på avståndet från 0. Olikheten kan tolkass som ett avstånd som är mindree än, så detta innebär att måste ligga mellan och. Vid algebraisk lösningg av ekvationer och olikheter med absolutbelopp så är det ofta praktiskt att dela upp problemett i olika fall med hjälp av följande samband: 0 å ä 0 å ä 4 Sid.17 Något omarbetat från: K. Eriksson, H. Gavel (201),, Diskret matematik och diskreta modeller, Studentlitteratur AB, ISBN

18 Exempel 2a Lös ekvationen 0 Lösning Exempel 2b Lös olikheten 0 Lösning Exempel 2c Lös olikheten 0 Lösning Exempel 2d Lösning Lös olikheten Exempel 2e Lösning Lös olikheten

19 Exempel a Lös ekvationen 52. Använd tallinje Lösning: för att enkelt visa Teckenväxling sker när d.v.s. när 2,5 aktuellt intervall 2,5 I detta intervall blir ekvationen Svar: 1 och 4 I detta intervall blir ekvationen Exempel b Lös olikheten 2 1. Lösning: Teckenväxling sker när 2 0 d.v.s. när 2 2 I detta intervall blir olikheten x 2 1 2x1 21x x I detta intervall blir olikheten Vi får 1 Vi får Svar: Beräkna genom att ta bort absolutbeloppets tecken c) 4 d) Låt och 7, och visa att räknereglerna till d) nedan stämmer c) d x x 40. Lös ekvationen c) d) 2 1 e) Lös olikheten c) d) 1 2 e)

20 FORMLER I Sverige mäter vi temperaturen i grader Celsius. I USA används grader Fahrenheit. För att omvandla från grader Fahrenheit till grader Celsius gör man så här: 1. Subtrahera 2 från Fahrenheitgraderna. 2. Dividera med 1,8.. Svaret är i grader Celsius. Formel I stället för att beskriva detta med ord kan vi göra det medd hjälp av en formel. Vänsterled VL 2 Högerled HL 1,8 En formel är en likhet, därr vänstra ledet är en variabel v ochh högra ledet är ett uttryck. Formeln ovan gerr oss en regel för hur temperaturt ren C kan beräknas. Lösa ut Om vi löser ut F i denna likhet får vi en formel för att överföra Celsiusgrader C till Fahrenheitgrader F. 1,8 2 Att lösa en variabel ut ur ett uttryck innebär attt få den fritt på ena sidan av likhetstecknet och allt annat (även andra variabler) på andra sidan av likhetstecknet. 20

21 501. Lös ut variabel som står inom parentes efter formeln c) S 2 2 d) 502. Lös ut variabel som står inom parentes efter formeln. c) d) Lös ut variabel som står inom parentes efter formeln. 2 c) 1 d) 504. Lös ut variabel som står inom parentes efter formeln. 2 c) F d) e) f) Lös ut I ur sambandet Lös ut ur formeln Lös ut de positiva storheterna D respektive L ur sambandet Man har sambandet där alla ingående storheter är positiva. Lös ut,, resp Då man räknar på en typ av växelströmkrets kommer man fram till sambandet där alla storheter är positiva. Lös ut, respektive Om man räknar med energi så kan man komma fram till sambandet mellan de positiva storheterna,,,, och. Lös ut, resp Den som sysslar med plan böjning av rak balk får förr eller senare anledning att befatta sig sambandet. Lös ut storheterna, resp Lös ut h ur formeln Lös ut ur formeln Man har 0 och 0. Lös ut ur formeln Lös ut, 0, ur formeln

22 AREA OCH VOLYMSKALA 5 Kartor och ritningar ärr likformiga avbildningar av verkligheten (föremålet). Exempel1 Om en kartaa har skalann (skalfaktorn) 1:20 000, 0 så är ä å ä Exempel 2 Om en ritning är gjort i skalan 1: 50, så är ä 50 ä å Exempel Den stora cylindern ärr en likformig avbildning (en förstoring) av den lilla cylindern. Längdskala ä ä ä öå Areaskala öå = Volymskala ä öå ä Allmänt gäller för likformiga områden och kroppar k Samman Fattning Om längdskalan s så är areaskalan och o volymskalan 5 Sid något omarbetat från: L. Alfredsson, K. Bråting m.fl. (2012), Matematik M 5000 kurs 2c, Natur & Kultur läromedel, ISBN

23 Exempel 1 Trianglarnaa och är likformiga. är en avbildning av. Bestäm längdskalan areaskalan c) arean Lösning: ä ä c) Svar: Arean av är Exempel 2 Två vaser har samma form men olika storlek. Den större vasen är 15 cm hög och har volymen Den mindre vasen är 9,0 hög. Beräkna den mindre vasens volym,. Lösning: Den mindre vasen kann ses som en förminskad modell av den större, vilket ger ä

24 Svar: Den mindre vasens volym är Av ett föremål med höjden A formatet är dee vanligaste görs en kopia med höjden 1. pappersformatenn i Europa. Ange längdskalan areaskalan c) volymskalan Trianglarnaa har olika storlek men sammaa form. är en avbildning av. Bestäm längdskalan areaskalan c) den mindre triangelns area. 60. Rätblocken är likformiga. Beräkna den okända volymen, I den mindre av två likformiga trianglar är en sida 80 % av motsvarande sida i den större triangeln. Vilket är förhållandet mellan den mindre och den större triangeln areor? 605. På en kartaa i skala 1:4 000 uppskattar Bella arean av ett naturreservat till 80. Hur många ha (hektar) är området i verkligheten? Vilken längdskala ger en fördubbling av arean volymen 24 Alla rektanglarnaa i A serien är likformiga. 0 har arean 1. 1 har måtten Denn korta sidan på ett 7 är 74. Vilkett mått har långsidan? Vilken area har 2? 608. Hur många gånger större blir arean av en figurr om alla längdmått i figuren blir 2 ggr så långaa ggr så långaa c) 4 ggr så långa? 609. Sverige är ca 1577 långt och har enn total areaa på Är dett sant att enn Sverigekarta i skala 1: får plats på ett A4 papper? Motivera ditt svar Till ettt par jeans med byxlängden (innersömmen) 80 går det tyg. Med hur h många procent bör tygåtgången öka, om man syr ett par jeans av samma modelll men med en e 10 % längre innersöm?

25 611. Ett koniskt glas rymmer 8 dåå det är fylld till bredden Ett rätblock medd sidorna, och avbildas med skalan. Visa att areaskalan ärr volymskalan är. 61. Triangeln har lika stor area som parallelltrapp petsen. Hur många centiliter har man druckit då vätskans höjd sjunkit till hälften? Bestäm i exakt form kvoten. 25

26 FACIT 101. Symbolen ska stå i rutorna i, och e). Symbolen ska stå i rutorna c), d) och f) c) d) e) f) g) h) Ledtråd: Avläs skärningspunkten T ex: 4 T ex: Vinkelnn är trubbig. T ex: är en fyrhörning. T ex: 5 T ex: Polygonen är en femhörning. T ex: är ettt negativt tal. T ex: Djuret kan simma. T ex: Siffersumman i heltalet är delbar med och 5 1,8 och 0, Ledtråd: Ersätt med 4 i den andra ekvationen c) 21 2 d) c) 1 2 d) 4 Ledtråd c): c Börja med att lösa ut x i den första ekvationen ärr priset på en banan och är priset på en macka. m En banan b kostar 6 kr. c) En macka m kostar 14 kr Kontroll: ärr priset på en kopp kaffe och är priset på en bulle. En kopp k kaffe kostar 12,50. c) En bulle b kostar 8,50 kr

27 Ledtråd: Bestäm värdet på 5 4 om ,2, 2,, 2, Ja, alla linjer går genom punkten 14, ,1 Ledtråd: Sätt in 7 och 2. Lös ekvationssystemet i och Ledtråd: Börja med att addera ledvis Ledtråd: Lös ekvationssystemet T ex Ekvation 1 med och ekvation 2 med 5. Ekvation 1 med 6 och ekvation 2 med c) Ledtråd: Ekvationssystemet ,75 ger 1 8 och Ledtråd: Börja med att multiplicera ekvationerna med någon gemensam nämnare ,5 0, En back pantas för 21,4 kr och ett tomglas för 0,70 kr. Ledtråd: Lös ekvationssystemet , , Det tillverkas 10 traditionella bumeranger och 0 exklusiva bumeranger. Ledtråd: Lös ekvationssystemet Ekvationssystemet saknar lösning eftersom linjerna saknar skärningspunkt. Linjerna är parallella Ledtråd: Bestäm lutningen på, 1 c) 1 och 2 Ledtråd: Ekvationssystemet har oändligt många lösningar eftersom ekvationerna beskriver samma linje Om finns en enda lösning till ekvationssystemet. Motivering: Linjerna är inte parallella Om och 7 saknas lösning. Motivering: Linjerna är parallella men inte identiska. Om och 7 finns oändligt många lösningar. Motivering: Ekvationerna är identiska. Saknar lösning. Grafisk tolkning: Ingen skärningspunkt. Lösning: 2 1 Grafisk tolkning: En skärningspunkt. c) Lösning: Alla, för vilka 2 Grafisk tolkning: Alla punkter är gemensamma. d) Saknar lösning. Grafisk tolkning: Ingen skärningspunkt. T ex 2 1 Ledtråd: 2 5 kan skrivas 2 5 T ex ,5 0,5 c) 1 Ledtråd: Då 1 hamnar skärningspunkten på axeln. 27

28 ger 49 16, och 44,1 ger 98 och 269,4 Linjerna är nästan parallella. Ledtråd: Jämför deras värden , 12, 8 c) 5, 10 d) 2, 7 c) d) c) d) 05., 2, 2, 4 2 Vilket innebär att, och ligger på en rättt linje , 2 5, 1 2, 5, 1 6 och , c) 4 4 d) c) d) 1 1 e) Alla c) d) 1 eller e) c) 2 d) 1 c) d) c) d) c) d) e) f) 28

29 Förhållandet är eller den mindre arean är 64 % av a den större arean. Ledtråd: 80 % kan skrivas hektar (12,8) Nej. Motivering: Kartbilden av Sverige är 157 cm lång % Ledtråd: Längdskalan 1, Ledtråd: Volymskalan Längdskalan= 2 Längdskalan= , c) 16 Rätblockens area Bildens area: Rätblockens volym: Bildens volym: Om så får man två lösningar c) c) 1 4 Ledtråd: ä öå ä 1 16 Ledtråd: Ledtråd: Ledtråd: Skalan brukar anges med heltal ,8 (6,75) 29

30 0

31 1