Grafen till funktionen z = x y.
|
|
- Dan Sandberg
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Frågor och svar om ln x, e x och 1/x i anslutning till grafen finns på nästa sida och framåt. 1 (6) Grafen till funktionen z = x y. plot3d(x^y, x=-3..3, y=-1..2, axes=frame, grid=[25,25], title="z=x^y");
2 2 (6) Rubrik Mystiken med e^x, ln x, 1/x m.m. Namn Mårten Berglund Postad :24:36 Hej! Jag har några funderingar kring de intressanta sambanden mellan funktionerna e^x, ln x, 1/x m.m. 1) Först något om att den primitiva funktionen till 1/x är ln x (jag bortser här från konstanterna som uppkommer i de primitiva funktionerna). Tittar man på följande figur som visar funktionen z=x^y, [Klicka här] så ser man att z=x^y för y=[-0,9..-1,1] är en kontinuerlig yta. Men för de primitiva funktionerna till z=x^y inom detta intervall för y, gäller istället att alla är vanliga potensfunktioner, utom för just y=-1. Just mycket nära y=-1 verkar det hända dramatiska saker, som t.ex. att för y=-1 blir den primitiva funktionen en logaritmfunktion (nämligen ln x) i stället för en potensfunktion trots den kontinuerliga ytan kring ursprungsfunktionen 1/x (=x^-1). För t.ex. z(x)=x^-0,9 är (1) Z(x) = (x^0,1)/0,1 = 10*x^(1/10) och för z(x)=x^-1,1 är (2) Z(x) = x^-0,1/-0,1 = -10*1/x^(1/10). Om man nu tittar på (1) ovan verkar det som om (3) lim (p - oo) d/dx (p*x^1/p) = 1/x. Detta motsvarar alltså att studera den primitiva funktionen för x^y när y närmar sig -1 från höger (alltså -0,9; -0,99; -0,999 osv). Med andra ord har den primitiva funktion som beskrivs i (3) ovan (och som man kan tänka sig i figuren i närheten av y=0, fast nu magnifierad med en faktor som går mot oändligheten) faktiskt samma egenskaper som ln x. Dessutom verkar det enligt (1) och (2) ovan som om de primitiva funktionerna i närheten av y=0 snarare beskriver någon form av kontinuerlig yta, och att det egentligen inte händer några dramatiska saker där. Stämmer detta resonemang, dvs är uttrycket d/dx (p*x^1/p) = d/dx ln x, p - oo korrekt? Innebär detta också att de primitiva funktionerna till z=x^y för y i närheten av -1 faktiskt beskriver en kontinuerlig yta kring y=0? 2) Om man istället endast studerar kurvan y=1/x och den area som uppstår under denna kurva. Kan man då på något enkelt sätt i 1/x-kurvan "se" ln x eller ln x:s invers e^x? T.ex. att man på något sätt i 1/x-kurvan kan se e:s definition (1+1/n)^n, n - oo? 3) Funktionen e^x sägs dyka upp vid s.k. momentan kapitalisering. Detta innebär att om man sätter in 1000 kronor på ett konto med 10 % ränta på ett år, så delar man upp den här räntan så att man får 5 % ränta två gånger om året eller 10/365 % ränta 365 ggr om året osv. Avkastningen blir då större än om man bara fått räntan en gång per år, eller mer precis blir avkastningen i detta fall då man delar upp året i oändligt antal delar 1000*(1 + 0,10/n)^n = 1000*e^0,10 = 1,105 vilket är något mer än vad 10 % ränta en gång per år hade inneburit. Här undrar jag vad idén bakom momentan kapitalisering egentligen är? Det verkar vara ett feltänk att dela upp räntan på det här linjära sättet när vi talar om en exponentialfunktion som vi har i det här fallet, med y = k * 1,10^t. Borde inte snarare en momentan kapitalisering innebära, för t.ex. en uppdelning av 365 räntetillfällen per år att räntefaktorn varje gång blir 365:e roten ur 1,10? Eller allmänt att vid en uppdelning av n räntetillfällen per år då räntan är 10 % på ett år, så blir räntefaktorn
3 varje gång 1,10^(1/n). Borde inte detta vara en mer korrekt momentan kapitalisering? Räntan efter ett år blir då den samma oavsett antal räntetillfällen. Eller vad finns det för någon logik i att dela upp räntan linjärt? 4) Funktionen e^x sägs beskriva många förlopp i naturen. Ofta kan dessa förlopp dock beskrivas med vilken exponentialfunktion som helst - det behöver inte nödvändigtvis vara just en e^x-funktion, även om man kan skriva om uttrycket till en e^x-funktion. T.ex. populationstillväxt, med t.ex. en population där varje individ efter en generation blir två nya individer och ursprungsindividen dör: populationen kan då beskrivas enligt N=2^t, t = antal generationer och N'=N*ln2. Men finns det förlopp i naturen som verkligen beskrivs av just bara den rena e^x-funktionen? Och inte bara att e förekommer implicit som det gör i t.ex. tillväxthastigheten ovan via e^x-funktionens invers ln x (som just ovan är ln 2). Ursäkta om detta blev lite långt... Vore hursomhelst mycket glad om någon kunde ge mig klarhet i dessa frågor. /Mårten. 3 (6) Date: Sat, 30 Jul :27: (MEST) From: Marten Berglund <mabe6041@student.uu.se To: hoglund@math.uu.se Subject: Re: Frågor om e m.m. Hej och tack så hemskt mycket för svar! Här några kommentarer och följdfrågor tillbaks. Skriv gärna ev. kommentarer/svar direkt intill texten nedan: 1) I uttrycket mitt på sidan 2 framgår inte klart vilket som ska utföras först, deriveringen eller gränsövergången. Om vi tänker oss att p är mycket stort (och x fixt) är p*x^(1/p) mycket nära p. Derivering ger då 0. Om vi omvänt först deriverar får vi d/dx(p*x^(1/p))=p*1/p*x^(1/p-1)= x^(1/p-1) som går mot x^(-1) =1/x då p går mot infty. A) Det är knivigt det där med vad som görs först - deriveringen eller att p går mot oo. Jag tror jag tänker mig att det sker samtidigt. För om man gör på det sistnämnda av de sätt du föreslår ovan, så känns det som om man först deriverar vid ett fixt p, och sen efteråt låter p gå mot oändligheten, och det känns lite fuskigt. Är det så du menar? B) Min idé om att kurvan y=ln x egentligen har samma egenskaper som kurvan y=p*x^1/p, p - oo stämmer alltså inte? (Med samma egenskaper menar jag att de har samma lutning fast y=p*x^1/p är i jämförelse liksom "förskjuten" uppåt i y-led med en oändlighet.) C) Förresten, kanske man kan göra så här: För att samtidigt låta derivering ske och låta p gå mot oo, är det kanske möjligt att låta p bero på h i deriveringen?? Dvs så här: (f(x+h)-f(x))/h, h - 0, f(x)=p*x^1/p, p=1/h. I vårt fall får vi alltså: ( (1/h) * (x+h)^h - (1/h) * x^h ) / h, h - 0. Det här uttrycket övergår dock mina kunskaper i gränsvärdesräkning. Hur förenklar man detta, och vad blir lösningen? 2) Varför skulle man kunna "se" hur en primitiv funktion ser ut genom att titta på derivatan? Kan man "se" att primitiva funktionen till 2x är x^2 (+C)?
4 4 (6) Jag kanske missuppfattar något, men man ser ju direkt på 2x att den har primitiven x^2 - det är ju arean av den triangel som syns under 2x-kurvan. På ett liknande sätt vill jag kunna se e (eller (1+1/n)^n) eller ln x i 1/x-kurvan eller 1/x-uttrycket. Att 1/x har detta samband med e är för mig ett mysterium, men också fantastiskt intressant. T.ex. kan jag förstå varje enskilt steg i härledningen av derivatan av ln x, men att dessa steg sen leder till 1/x har jag svårt att greppa i en tanke. Det jag efterlyser är någon form av pedagogisk förklaring som får mig att "se" sambandet direkt bara genom att se på kurvorna eller uttrycken. (Ungefär som när någon grek en gång i tiden lär ha tittat på formeln för Pythagoras sats och påstått att han direkt kunde se att det stämde.) 3) Momentan kapitalisering kan betraktas som ett övningsexempel, jag känner till inte till något fall där det används i praktiken. Varför skulle man göra räntan tidsberoende? Om räntan beräknas efter ett halvår och sedan efter ett år är det väl naturligt att använda samma räntefot. Samma gäller om man delar året i n delar. Vitsen med att dela ut ränta vid flera tillfällen är ju att man senare får ränta även på den ränta som tidigare utgått ("ränta på ränta"). Med din metod är det ju helt meningslöst med flera ränteberäkningar, man kan lika gärna använda helår. Förstår ej. Borde inte ränta definieras så här: Man bestämmer en räntesats, t.ex. 10 %, vilken ska gälla för en viss tidsenhet, t.ex. 1 år. Detta är ekvivalent med att definiera en exponentialfunktion p(t)=k*1,10^t, där k är pengarna från början och t är tiden i enheten år. Pengarna ska växa enligt den här funktionen punkt slut. Man får visst det ränta på ränta, efter två år nämligen precis p=k*1,10*1,10. Självklart ska räntan vara tidsberoende; den ska vara precis 1,10^t. Det har aldrig varit någon avsikt att göra flera ränteberäkningar - man stoppar bara in den förlupna tiden t i enheten år i p(t) och får fram behållningen. Varför skulle man gå ifrån det exponentiella beteendet i p(t)-kurvan och plötsligt börja räkna linjärt som man gör när man delar upp räntesatsen så som du förordar? Övningsexemplet med momentan kapitalisering verkar bygga på ett onaturligt antagande att man kan dela upp räntesatsen linjärt, medan det mest naturliga måste vara att följa p(t) eftersom det är den funktionen som man bestämt ska styra hur pengarna ska växa; och det inget man kan komma ifrån bara för att man delar upp räntan på flera tillfällen. Förstår du mitt resonemang? Håller du inte med lite? 4) Jag vet att det i naturen förekommer ett flertal exempel på exponentiell tillväxt. Dessa låter sig nog beskrivas enklast med någon annan bas än e men vilken exponentialfunktion som helst kan ju alltid skrivas om med e som bas. Okej. Ungefär så som jag har resonerat också. Hälsningar Mårten.
5 5 (6) Date: Sat, 30 Jul :42: (CEST) From: To: Marten Berglund Subject: Re: Frågor om e m.m. A) Det är knivigt det där med vad som görs först - deriveringen eller att p går mot oo. Jag tror jag tänker mig att det sker samtidigt. För om man gör på det sistnämnda av de sätt du föreslår ovan, så känns det mot oändligheten, och det känns lite fuskigt. Är det så du menar? Det är inget skumt med att först derivera och sedan låta p gå mot infty. Tänk dig först ett fixt x och ett fixt p. Derivera. Resultatet blir en funktion av x och p. När nu p går mot infty blir svaret 1/x. Detta gäller för ALLA x. B) Min idé om att kurvan y=ln x egentligen har samma egenskaper som kurvan y=p*x^1/p, p - oo stämmer alltså inte? (Med samma egenskaper menar jag att de har samma lutning fast y=p*x^1/p är i jämförelse liksom "förskjuten" uppåt i y-led med en oänd Graferna till lnx och 10*x^0,1 har ungefär samma utseende men är belägna på olika ställen. C) Förresten, kanske man kan göra så här: För att samtidigt låta derivering ske och låta p gå mot oo, är det kanske möjligt att låta p bero på h i deriveringen?? Dvs så här: (f(x+h)-f(x))/h, h - 0, f(x)=p*x^1/p, p=1/h. I vårt fall får vi alltså: ( (1/h) * (x+h)^h - (1/h) * x^h ) / h, h - 0. Uttrycket= 1/h^2(x^h(1+h/x)^h-x^h)=1/h^2(x^h+h^2/x+O(h^4)-x^h) =1/x+O(h^2) går mot 1/x då h går mot noll. x h 1 + h x h 2 h x h x H h O( h 4 ) x h x 1 + O( h 2 ) h 2 x Jag kanske missuppfattar något, men man ser ju direkt på 2x att den har primitiven x^2 - det är ju arean av den triangel som syns under 2x-kurvan. På ett liknande sätt vill jag kunna se e (eller (1+1/n)^n) eller ln x i 1/x-kurvan eller 1/x-uttrycket. Att 1/x har detta samband med e är för mig ett mysterium, men också fantastiskt intressant. T.ex. kan jag förstå varje enskilt steg i härledningen av derivatan av ln x, men att dessa steg sen leder till 1/x har jag svårt att greppa i en tanke. Det jag efterlyser är någon form av pedagogisk förklaring som får mig att "se" sambandet direkt bara genom att se på kurvorna eller uttrycken. (Ungefär som när någon grek en gång i tiden lär ha tittat på formeln för Pythagoras sats och påstått att han direkt kunde se att det stämde.) (Mapleifierat. H=h. (Maple tar bort x h annars.)) OK. 2x kan du klara geometriskt men hur "ser" du att arean under x^2 är x^3/3 (+C). Här måste du utnyttja att derivatan av x^3/3 är x^2. På samma sätt utnyttjar man att derivatan av lnx är 1/x. I de flesta läroböcker definieras lnx som den area A(x) som ligger mellan kurvan 1/t och linjerna t=1, t=x och t-axeln om x=1. Om x<1 fär vi byta tecken. Det är ganska lätt att visa att derivatan av denna funktion är 1/x. Prova. Ifall du inte lyckas, hör av dig.
6 6 (6) Det har aldrig varit någon avsikt att göra flera ränteberäkningar - man stoppar bara in den förlupna tiden t i enheten år i p(t) och får fram behållningen. Varför skulle man gå ifrån det exponentiella beteendet i p(t)-kurvan och plötsligt börja räkna linjärt som man gör när man delar upp räntesatsen så som du förordar? Övningsexemplet med momentan kapitalisering verkar bygga på ett onaturligt antagande att man kan dela upp räntesatsen linjärt, medan det mest naturliga måste vara att följa p(t) eftersom det är den funktionen som man bestämt ska styra hur pengarna ska växa; och det inget man kan komma ifrån bara för att man delar upp räntan på flera tillfällen. Förstår du mitt resonemang? Håller du inte med lite? Du verkar fast bestämd att enbart tillåta att räntan förs till kaptitalet helårsvis. Tanken med att beräkna halvårsvis är ju att ge kunden en liten favör eftersom halvårsräntan blir kapital och ingår som underlag för nästa ränteberäkning. Detta blir inte alls linjärt utan en exponentialfunktion (fast en annan).
4 Fler deriveringsregler
4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x
Läs mery y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x
Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för
Läs merFöreläsning 7. SF1625 Envariabelanalys. Hans Thunberg, 13 november 2018
Föreläsning 7 SF1625 Envariabelanalys 13 november 2018 SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 1 / 23 Dagens teman: exponentialfunktioner och logaritmer standardgränsvärden tillväxtproblem SF1625 CDEPR1,
Läs merVi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.
Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8 Figur : Vi konstaterar följande: Då
Läs mer13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till
3 Potensfunktioner 3. Dagens teori Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8
Läs merKOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................
Läs mer20 Gamla tentamensuppgifter
20 Gamla tentamensuppgifter 20.1 Lätta avdelningen Övning 20.1 Beräkna f 0 ( 3) för f(x) = 3x2 2x + 1 med jälp av derivatans definition. Lösning: Här är det allmänna uttrycket för derivatans definition
Läs merKan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.
Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera
Läs merMatematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator
Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs merLMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014
LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite
Läs merEkvationer & Funktioner Ekvationer
Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus
Läs merav envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)
Lösningsskisser till TATA69 Flervariabelanalys 16-1- 1 Stationära punkter ges av f (4x 3 + 4x, 3y + 6z, z + 6y (,,, dvs (x, y, z (,, eller (x, y, z (, 6, 18 Ur andraderivatorna fås de kvadratiska formerna
Läs merKap Implicit givna funktioner
Kap 12.8. Implicit givna funktioner A 701. Betrakta ekvationen x 2 y 2 = 0 och funktioner y = y(x). a. Hur många funktioner satisfierar ekvationen? b. Hur många kontinuerliga funktioner satisfierar ekvationen?
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 2303 d) TB: Jaha, nu gäller det att kunna sina deriveringsregler. Polynom kommer man alltid ihåg hur de ska deriveras. f(x) = 4x 2 + 5x 3 ger derivatan f
Läs merIngen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar.
Ingen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar. 1 Bestäm med jälp av derivatans definition f () då f(x) = x + x + Funktionen f(x) = x 4x + 8 ar en minpunkt. Bestäm
Läs merNär vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1
Lathund inför tentan När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort Ekvationer Ekvationer av första och andra graden kommer alltid att kunna
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merLogaritmer. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos
Logaritmer Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos 24 september 2003 Innehåll 1 Introduktion 2 2 Naturliga logaritmer 3 2.1 Talet e................................. 3 2.2 Den naturliga
Läs merMatematik D (MA1204)
Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merMATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR
MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 8..05 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar
Läs mer6 Derivata och grafer
6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000
Läs merD 1 u(x, y) = e x (1 + x + y 2 ), D 2 u(x, y) = 2ye x + 1, (x, y) R 2.
Differentialekvationer I Modellsvar till räkneövning 4 De frivilliga uppgifterna U1 och U2 påminner om nyttiga kunskaper, och räknas inte för extrapoäng (fråga vid behov). U1. Sök en potentialfunktion
Läs merFunktioner. Räta linjen
Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter
Läs merKap Inversfunktion, arcusfunktioner.
Kap 3. 3.5. Inversfunktion, arcusfunktioner. 30. (A) Förenkla uttrycken så långt som möjligt a. ln 8 ln + ln 8 ln + ln b. ln 3 log 0 3 log 0 e + 3 ln 3 log 3 e 30. (A) Lös ekvationerna a. e x = e x b.
Läs merAllt du behöver veta om exponentialfunktioner
Allt du behöver veta om exponentialfunktioner Problem 1. Funktionerna a) a(x) = e x b) b(x) = e x c) c(x) = 4 x e x ln4 d) d(x) = 3 10 x 3 e x ln10 e) e(x) = ex 3 avbildas i figuren. Vilken är vilken?
Läs merDagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.
Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att
Läs merf (x) = 8x 3 3x Men hur är det när exponenterna inte är heltal eller är negativ, som till exempel g(x) = x h (x) = n x n 1
Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: Derivatan blir: f(x) = x 4 x + x + 8 f (x) = 8x x + Men hur
Läs merKomposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.
Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.06.5 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:
Läs merLösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik
Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merTENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor
TENTAMEN Ten, Matematik Kurskod HF93 Skrivtid 3:5-7:5 Fredagen 5 oktober 3 Tentamen består av sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa ej tillåten. Tentamen består av uppgifter som totalt kan ge
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs merv0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik
v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
Läs merDERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2
DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt
Läs merBlandade A-uppgifter Matematisk analys
TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x
Läs mer2x ex dx. 0 = ln3 e
Institutionen för Matematik Lösningsförslag till tentamen i SF627, Matematik för ekonomer, del 2, 6 hp. 26..7. Räkna inte denna uppgift om du är godkänd på lappskrivning 3 Visa att funktionen f (x) = x
Läs merpolynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner
Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,
Läs mer10.1 Linjära första ordningens differentialekvationer
10.1 Linjära första ordningens differentialekvationer Här ska vi studera linjära första ordningens differentialekvationer som kan skrivas y (x) + g(x)y(x) = h(x) Om g(x) har en primitiv funktion G(x) så
Läs mer5 Blandade problem. b(t) = t. b t ln b(t) = e
5 Blandade problem 5.1 Dagens Teori Ett person sätter in 10000 kr på banken vid nyår 2000 till 4% ränta. Teckna en funktion, b(t) för beloppets utveckling. b(t) = 10000 1.04 t Skriv om funktionen med basen
Läs merChecklista för funktionsundersökning
Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara
Läs merTeori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 3216) Figur 1:
Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 316) Figur 1: a) Bestäm y som funktion av x genom att utnyttja likformiga trianglar. Se figur 1. b) Ange funktionens definitionsmängd
Läs mer3 Deriveringsregler. Vi ska nu bestämma derivatan för dessa fyra funktioner med hjälp av derivatans definition
3 Deriveringsregler 3.1 Dagens Teori Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. 3.1.1 Vi är på jakt efter ett mönster
Läs merMatematik 4 Kap 3 Derivator och integraler
Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.
Läs merTentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 202-03-23 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merUpphämtningskurs i matematik
Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna
Läs merLäsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.
Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.
Läs merDen räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Läs merRepetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T
Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 7 Institutionen för matematik KTH 12 september 2016 Injektiva funktioner En funktion är en regel som till varje tal i definitionsmängden ordnar ett bestämt tal i värdemängden. Injektiva funktioner
Läs merHur länge ska fisken vara i dammen?
Hur länge ska fisken vara i dammen? Frågeställning Uppgift 10 fiskodling Uppgiften går ut på att ta reda på hur länge ett stim fisk ska växa upp i en fiskodling för att få den maximala vikten tillsammans.
Läs merDel I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare.
Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Dina lösningar på denna del görs på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din miniräknare. Observera
Läs mer4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.
TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att
Läs mer1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).
Repetition, analys.. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t). 2. Beräkna längden av kurvan r(t) =
Läs merR AKNE OVNING VECKA 2 David Heintz, 13 november 2002
RÄKNEÖVNING VECKA 2 David Heintz, 3 november 22 Innehåll Uppgift 29.4 2 Uppgift 29. 3 3 Uppgift 29.2 5 4 Uppgift 3. 7 5 Uppgift 3. 9 6 Uppgift 3.2 Uppgift 29.4 Prove that ln( + x) x for x >, and that ln(
Läs merf(x + h) f(x) h f(x) f(x h) h
NUMPROG, D för M, vt 008 Föreläsning N: Numerisk derivering och integrering Inledning: numerisk lösning av analytiska problem Skillnader mellan matematisk analys och numeriska metoder. Grundläggande begrepp
Läs merRIEMANNSUMMOR. Den bestämda integralen definieras med hjälp av Riemannsummor. Låt vara en begränsad funktion,, reella tal och. lim.
RIEMANNSUMMOR Låt vara en begränsad funktion,, reella tal och. Den bestämda integralen definieras med hjälp av ä ä, ; lim. Om funktionen har en elementär primitivfunktion då är insättningsformeln (Newton-
Läs merNpMa3c vt Kravgränser
Kravgränser Provet består av ett muntligt delprov (Del A) och tre skriftliga delprov (Del B, Del C och Del D). Tillsammans kan de ge 66 poäng varav 25 E-, 24 C- och 17 A-poäng. Observera att kravgränserna
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs merMer om generaliserad integral
Föreläsning XI Mer om generaliserad integral Ex 64: Givet h(x) = ( x 2 5x + 2 ) e x/2. (a) Bestäm en p.f. till h(x). (b) Beräkna h(x)dx. (a) Vi har här en integrand som är en produkt av ett polynom av
Läs merf(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:
Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,
Läs merM0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 21 Tentamen M0038M Tentamensdatum 2015-10-28 Sista anmälningsdag 2015-10-08 Tentamensanmälan
Läs merTentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag
Tentamen i Matematisk analys MVE5 26-8-23 Lösningsförslag Kl. 8.3 2.3. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics handbook for science and engineering (BE- TA) eller CRC Standard Mathematical Tables. Indexeringar
Läs meri utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,
Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5
Läs merDen räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs merMatematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler
Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Inledning I kap 4 Differentialekvationer behövs derivator (och integraler) och i kap 5 Omfångsrika problemsituationer finns intressanta problem med användning
Läs mer4. Vad kan man multiplicera x med om man vill öka värdet med 15 %?
Axel Weüdelskolan/Komvux Matematik/Sibe 1. Förenkla x 1 1 1 1 1 x 2. Förenkla 5 3. Beräkna värdet av a 2 b om a = -3 och b = 2 4. Vad kan man multiplicera x med om man vill öka värdet med 15 %? 5. Vilket
Läs merHögskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk
Läs merMälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation
Mälardalens ögskola Akademin för undervisning, kultur oc kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0..08 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna
Läs merMeningslöst nonsens. December 14, 2014
December 4, 204 Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Röd: Det är ett
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59
Moment.0-. Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö.9-., Ö.5, Ö.55, Ö.59 Funktioner Definition. En funktion y = f(x) är ett samband mellan variablerna x och y, sådant att ett x-värde motsvaras av högst ett värde
Läs merUPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merMA2001 Envariabelanalys
MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 Mikael Hindgren 11 november 2018 Derivatans definition Exempel 1 s-t-graf för ett föremål i rörelse. s(0) = 0. s s = v t Hastigeten konstant: Rät linje
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik
Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här
Läs merMATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR
MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 8906 BESKRIVNING AV GODA SVAR Examensämnets censorsmöte har godkänt följande beskrivningar av goda svar Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram till
Läs merMATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR
MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS..07 BESKRIVNING AV GODA SVAR Examensämnets censorsmöte har godkänt följande beskrivningar av goda svar. Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram till
Läs merLösning till tentamen i 5B1126 Matematik förberedande kurs för TIMEH1, , kl
Institutionen för Matematik, KTH, Olle Stormark. Lösning till tentamen i 5B116 Matematik förberedande kurs för TIMEH1, 5-1-19, kl. 8 1. Tentamensskrivningen består av 4 moment, svarande mot kursens olika
Läs merTentamen IX1304 Matematik, Analys , lösningsidéer
Tentamen IX0 Matematik, Analys 0-05-0, lösningsidéer. Gör en linjär approximation till kurvan y x, kring den punkt på kurvan där lutningen är. Bestäm sedan för vilka x som det relativa felet för approximationen
Läs merLösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018
Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel
Läs merUppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans.
NpMab ht 01 Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-16. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet
Läs merLÄRARHANDLEDNING Harmonisk svängningsrörelse
LÄRARHANDLEDNING Harmonisk svängningsrörelse Utrustning: Dator med programmet LoggerPro LabQuest eller LabPro Avståndsmätare Kraftgivare Spiralfjäder En vikt Stativmateriel Kraftgivare Koppla mätvärdesinsamlaren
Läs merBedömningsanvisningar
Bedömningsanvisningar Exempel på ett godtagbart svar anges inom parentes. Till en del uppgifter är bedömda elevlösningar bifogade för att ange nivån på bedömningen. Om bedömda elevlösningar finns i materialet
Läs merG VG MVG Programspecifika mål och kriterier
Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår
Läs mer2 Derivator. 2.1 Dagens Teori. Figur 2.1: I figuren ser vi grafen till funktionen. f(x) = x
Derivator.1 Dagens Teori Figur.1: I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) = x 3 + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7 3 finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10 3
Läs merTATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer
TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både
Läs merUPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER
UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till
Läs merBedömningsanvisningar
Bedömningsanvisningar Exempel på ett godtagbart svar anges inom parentes. Till en del uppgifter är bedömda elevlösningar bifogade för att ange nivån på bedömningen. Om bedömda elevlösningar finns i materialet
Läs merLösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson
, MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8
Läs merATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson
ATT KUNNA TILL MA1203 Matte C 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov C1 Kunna kvadreringsreglerna! (...utan att titta i formelsamlingen) Kunna konjugatregeln! (...utan
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på
Läs merMatematiska Institutionen, K T H. B. Krakus. Matematik 1. Maplelaboration 2.
Matematiska Institutionen, K T H. B. Krakus Matematik. Maplelaboration. . Kommandon, funktioner och konstanter i denna laboration: expand(uttryck) simplify(uttryck) utvecklar uttrycket. T.ex. expand((x+)*(x-)^);
Läs mer1 Förändingshastigheter och derivator
Förändingsastigeter oc derivator. Dagens Teori Som en inledning till begreppet derivata, ska vi är diskutera genomsnittlig förändingsastiget. Utan att veta vad som änt mellan två givna tider t oc t 2 kan
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN3 Lösningsförslag 0.03.30 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:
Läs merx 4 a b X c d Figur 1. Funktionsgrafen y = f (x).
Konveitet En funktionsgraf, som inte är en rät linje, böjer ofta av åt ett bestämt håll i ett visst intervall. För en funktion som är deriverbar två gånger kan man med hjälp av andraderivatan ta reda på
Läs merFler uppgifter på andragradsfunktioner
Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har
Läs mer