Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Peter Hegarty (a) Låt (3p)

Transkript

1 MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 5 kl 4 8 Tentamen Telefonvakt: Peter Hegarty TMV4/86: Linjär algebra Z/TD Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista och samtliga inlämnade papper Fyll i omslaget ordentligt För godkänt på tentan krävs 5 poäng på tentamens första del (godkäntdelen Bonuspoäng från duggor 5 räknas med, men maximal poäng på denna del är För betyg 4 eller 5 krävs dessutom resp 4 poäng sammanlagt på tentamens två delar För att få slutbetyg på kursen skall också Matlabmomentet vara godkänt Lösningar läggs ut på kursens webbsida Resultat meddelas via Ladok senast tre veckor efter tentamenstillfället Granskning alla vardagar utom onsdag -, MV:s exp Del : Godkäntdelen Denna uppgift finns på separat blad på vilket lösningar och svar skall skrivas Detta blad inlämnas (5p tillsammans med övriga lösningar (a Definiera vad som menas med nollrummet hos en m n matris A (p (b Bestäm rang(a, samt baser för Row(A, Col(A och Nul(A, där A (4p (a Definiera begreppet egenvektor till en n n matris A (p 8 5 (b Låt A Bestäm matriser P och D sådan att D är en diagonalmatris och (p 7 A PDP (c Lös begynnelsevärdesproblemet x (t 8x (t + 5x (t, x (t x (t + 7x (t, x (, x ( (p 4 (a Låt (p 4 A 8 Bestäm en ortogonalbas för Col(A (b Bestäm den linje y kx + m som i minstakvadratmetodens mening är bäst anpassad till punkterna (p (,, (,, (,, (4, 4 Var god vänd!

2 Del : Överbetygsdelen Poäng på dessa uppgifter kan inte räknas in för att nå godkäntgränsen Normalt krävs för poäng på uppgift att man redovisat en fullständig lösningsgång, som i princip lett, eller åtminstone skulle kunnat leda, till målet 5 (a Antag att 5% av dem som dricker Coke byter till Pepsi varje år medan att 7% av dem som (p dricker Pepsi byter till Coke (i Skriv upp en stokastisk matris för denna Markovkedja (ii Om exakt 5% dricker Coke nu, vilken andel av befolkningen dricker Coke om ett år? (iii I det stabila tillståndet, vilken andel av befolkningen dricker Coke? (b Låt U vara det underrum i P som består av alla polynom p(t at + bt + c som uppfyller p( p( Bestäm en bas för U (p 6 Låt T : R R vara den linjära avbildning som ges av spegling i planet x y + z Bestäm (5p matrisen M för T i standardbas, samt en ortogonaldiagonalisering av M 7 (a Låt A vara en symmetrisk n n matris, och låt v, v vara två egenvektorer som hör till olika (5p egenvärden Bevisa att v och v är ortogonala (b Låt A vara en n n matris som uppfyller A A + I n Bevisa att A är inverterbar (p Lycka till! Peter H

3 Anonym kod sidnummer Poäng TMV4/86: Linjär algebra Z/TD 5 Till nedanstående uppgifter skall korta lösningar redovisas, samt svar anges, på anvisad plats (endast lösningar och svar på detta blad, och på anvisad plats, beaktas (a För vilket/vilka a R är följande tre vektorer linjärt beroende? (p v T, v T, v a T Lösning: Svar: (b Låt A 7 4 (4p Bestäm det(a, det(a, det(a och A Lösning: (c Låt Svar: B 5 4 7, C 5, D (p Lös ekvationen BXC T XC T + D för matrisen X Lösning: Svar:

4 (d Låt T : R R vara den linjära avbildning som uppfyller ( ( T, ( ( T Bestäm matrisen för T (i standardbas samt T Lösning: ( 4 5 (p Svar: (e Låt B {b,b } och C {c,c } vara de baser för R som består resp av b, b, c 5, c 5 6 (p Bestäm basbytematrisen C P B Låt v b b Bestäm koordinatvektorn v C Lösning:

5 Lösningar TMV4/86, Linjär Algebra Z/TD, 5 (a Vi ställer upp vektorerna i en matris v v v a Matrisens determinant kan beräknas tex via en kofaktor utveckling längs första raden och blir a 6 Kolumnerna är linjärt beroende om och endast om determinanten är noll, dvs omm a (b Vi utför radoperationer på den utökade matrisen A I Om vi först utför operationerna så förvandlas A till trappstegsformen R R R, R R R, R R + R, U Redan nu kan vi notera att det(u och eftersom ingen av radoperationerna ovan förändrar determinanten (alla är skevningar så är också det(a Följdaktligen är det(a (det(a + och, eftersom A är en matris, det(a det(a 8 Vi kan sedan fortsätta reduktionen med operationerna R R + R, R R R, R R, som resulterar i I A och (c Skriv om ekvationen så här: A 5 BXC T XC T + D BXC T XC T D (B I XC T D X (B I D(C T Sedan är det bara att räkna 4 X

6 (d Kalla T:s matris för A T De två givna ekvationerna kan slås ihop till en matrisekvation A T A T 5/ / Slutligen har vi T ( 4 5 ( 5/ / ( 4 5 ( 4 5 (e C P B c c b b Det är givet att v B T Således är v C P 9 C B v B 7

7 (a För en m n matris A gäller att (b Då vi utför radoperationerna Nul(A {x R n : Ax } R R R, R R R, R R, R R 4R så erhålls trappstegsformen De nollskilda raderna utgör en bas för Row(A: Bas för Row(A { T, T } Pivoterna ligger i :a och :e kolumner och dessa kolumner i A utgör en bas för dess kolonnrum: Bas för Col(A { T, 4 T } Låt nu x x x x x 4 T tillhöra Nul(A Variablerna x och x 4 är fria och bakåtsubstitution leder till x x 4, x x x 4 Så som medför att x x x x 4 x + x 4, Bas för Nul(A { T, T } Slutligen, rang(a är den gemensamma dimensionen av Row(A och Col(A, dvs rang(a (a En vektor x R n sägs vara en egenvektor till A om x och det finns ett λ R sådan att Ax λx (b Den karakteristiska ekvationen lyder ( 8 λ(7 λ ( (5 λ + λ 6 (λ (λ + λ, λ 5 4 λ : A I, så vi tar v λ : A + I, så vi tar v Det innebär att A PDP med P 4 (c Lösningen lyder, D x(t c e λt v + c e λt v, där c c P x( 4 5 Insättning leder till följande svar: x (t e t + 5e t, x (t 4e t + 5e t

8 4 (a Kalla kolumnera för v, v, v Vi byter ut dem mot tre ortogonala vektorer w, w, w via Gram-Schmidt proceduren Först tar vi w v Näst tar vi Slutligen tar vi ( v w w v w w w ( ( v w v w w v w w w w w w ( 4 8 ( 9 (b Vi söker minstakvadratlösningen till systemet Ax b där A m, x, b k 4 4 ( 7 Man beräknar A T A 4, A T 8 b 7, så vi löser normalekvationen / 7/5 Svar: y 7 5 x

9 5 (a Låt c t, vara andelen av befolkningen som dricker Coke efter t år och motsvarande för p t ct Givet är att c p / Sätt x t Då har vi att x t+ Ax t med den stokastiska matrisen A p t Vi har c p c A p / / 5 49, (b som innebär att 5% dricker Coke om ett år För att ta reda på det stabila tillståndet sätter vi λ och hittar en egenvektor: , så v 7 5 T Normalisering ger sannolikhetsvektorn v 7/ 5/ T, som innebär att 7/ av befolkningen dricker Coke i det stabila tillståndet p( p( c a + b + c a b + c I parametrisk vektorform, a b c b + c, så en bas för U består av polynomen som svarar mot vektorerna T och T, nämligen t + t och t +

10 6 Matrisen i standardbas ges som vanligt av M T E T(e T(e T(e Vi har också speglingsformeln T(x x ( x n n n n Här är n T Man kan räkna i tur och ordning att T(e /7 /7 6/7 T, T(e /7 6/7 /7 T, T(e 6/7 /7 /7 T Således är M T E För att ortogonaldiagonalisera denna matris sätter vi v n och tar fram en ortogonalbas {v, v } för planet För v tar vi en valfri vektor sådan att v v, tex v T Sedan kan vi ta v v v 6 T Slutligen normaliserar vi: u v v 4 u v v 6 5 u v v 4 Således har vi ortogonaldiagonaliseringen M PDP T där / / 5 / 4 D, P u u u / / 5 / 4 5/ 5 / 4 7 (a Theorem 7 i boken (b som säger just att A I n A 5,, A A + I n A A I n A(A I n I n,