Om Gauss skosnöreformel och planimetrar
|
|
- Jan-Olof Lindgren
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Om Gauss skosnöreformel och planimetrar Anders Källén MatematikCentrum TH Sammanfattning I den här artikeln ska vi härleda en formel för arean av ett område som innesluts av ett polygon. Genom att sedan approximera allmänna områdens rand med polygon kan vi från det härleda en formel från vilken man kan beräkna arean av ett område genom att göra en lämplig integration längs områdets rand. Vi ser också hur man omsatt denna insikt i ett mekaniskt hjälpmedel som kan användas till att beräkna just arean av olika områden.
2 Om Gauss skosnöreformel och planimetrar 1 (9) Introduktion Hur beräknar en kartograf ytan av ett område? Om terrängavsnittet begränsas av räta linjer är detta enkelt med klassisk geometri, men i många sammanhang begränsas området av mycket mer komplicerade kurvor än räta linjer. Denna typ av problem dök också upp i andra områden när industrialismen tog fart. Ett klassiskt exempel är när mans skulle beräkna en motors arbetsförmåga, som ges just av arean av ett område som begränsas av en kurva av mätdata. Det visade sig att man kan beräkna sådana areor endast genom att se vad som händer på randen till området. Metoden är dessutom så enkel att man kunde konstruera mekaniska hjälpmedel för att beräkna arean, s.k. planimetrar. Det fanns olika typer av sådana, men grundprincipen är att man för ett stift längs kurvan samtidigt som en räknare beräknar arean. I den här artikeln ska vi beskriva vilken princip dessa bygger på. Historien börjar dock med att hitta en användbar formel för hur man beräknar arean av ett område vars rand är en polygonkurva. Arean av en rektangel Alla vet att arean av en rektangel beräknas som hälften av produkten av dess bas och dess höjd. Men frågan är, om triangeln är given i ett koordinatsystem genom att hörnen anges med koordinater, hur beräknar vi då arean? Betrakta figuren till höger, där vi lagt ett av hörnen i origo. De andra två betecknas med (a, b) och (c, d). Problemet här är att hitta ett uttryck för arean av rektangeln som endast beror av de fyra talen a, b, c, d. Det mest omedelbara sättet att beräkna triangelns area är nog att skriva in rektangel vars sidor är parallella med axlarna. Då kommer kommer den rektangeln att delas upp i fyra trianglar, nämligen den ursprungliga triangeln samt d tre stycken rätvinkliga trianglar. Som framgår av figuren till höger gäller då rektangelns area är lika med summan av fyra triangelareor (tre gröna och en blå). Om A är den ursprungliga triangelns area, så gäller alltså att ad = A + ab 2 + dc (d b)(a c) (0, 0) c (c, d) a a c A = 1 (ad bc). 2 (a, b) d b b Det är dock inte självklart att denna formel gäller för alla trianglar. Den i figuren är spetsvinklig, men vad händer sådana trianglar som har en trubbig vinkel? Figuren överst på nästa sida visar att det inte gör någon direkt skillnad. Nu har vi istället sambandet som leder till samma formel. ab = ab 2 + A + cd 2 + c(b d) + (b d)(a c) 2
3 Om Gauss skosnöreformel och planimetrar 2 (9) Ett alternativt geometriskt bevis som inte innebär något räknande illustreras nedan. I den har vi skapat ett parallellogram av triangeln genom att spegla den i den sida som hörn i punkterna (a, b) och (c, d). Dess area är två gånger triangelns area. Rita sedan, som tidigare, in den axelparallella rektangel som omfattar triangeln. Detta definierar de två rätvinkliga trianglar som är gröna i den vänstra figuren nedantill. b d c a c b d (c, d) a (a, b) (0, 0) Betrakta nu den högra figuren, i vilken vi har flyttat de två gröna trianglarna. De övertäcker då varandra i det område som begränsas av den gula rektangeln. Den stora rektangeln har arean ad medan den lilla ha arean bc. En kort reflektion visar nu att arean av parallellogrammet är skillnaden mellan arean av den röda rektangeln och arean av den gula rektangeln. Alltså, arean = ad bc. Det finns en kortformel för detta som är mycket användbar. Man skriver ad bc = Pilarna visar vilka tal som ska multipliceras. Dessa ska sedan adderas så att talet som fås av den nedåtgående pilen ska ha ett plustecken, medan talet som fås av den uppåtgående pilen ska ha ett minustecken. Anmärkning Men inför ofta en speciell beteckning för detta tal: a b c d. Uttrycket kallas determinanten av matrisen ( ) a b, c d som i sin tur endast är ett kvadratiskt schema av tal. Anmärkning En viktig observation är vilken punkt som ska utgöra första och vilken som ska utgöra andra raden i determinanten. För att få en positiv area ska de räknas i den ordning som innebär att vi genomlöper hörnen i följande ordning: (0, 0), (a, b), (c, d), så genomlöper vi randen på sådant sätt att området hela tiden ligger till vänster om oss. Man säger då att man genomlöper randen till området i positiv omloppsriktning. Byter vi omloppsriktning så får vi den negativa arean! a c b d.
4 Om Gauss skosnöreformel och planimetrar 3 (9) Arean av ett slutet polygonområde Betrakta nu ett polygonområde, alltså ett område vars rand är ett slutet polygon, och antag a) polygonet inte skär över sig själv, b) origo ligger inne i området. c) området är stjärnformat med avseende på origo, d.v.s. varje rät linje från origo till en punkt på randen ligger helt i området. åt antalet hörn i polygonet vara n+1, och kalla dem P 0 = (x 0, y 0 ), P 1 = (x 1, y 1 ),..., P n = (x n, y n ). Vi vill då bestämma arean av det område som begränsas av detta polygon. Figuren till vänster ovan visar hur ett sådant område typiskt ser ut. P 2 P 0 P 3 P 1 O P 5 T 2 T 1 T 0 T 5 O T 3 T 4 P 4 Figuren till höger hur man gör för att bestämma dess area. Eftersom vi har formeln arean av T k = x k y k x k+1 y k+1, k = 0,..., n 1 men arean av T n = x n y n x 0 y 0, så får vi att arean av polygonet = n x k y k x k+1 y k+1, k= där vi satt (x n+1, y n+1 ) = (x 0, y 0 ). Vi kan också skriva detta uttryck på den form som beskrivs till höger, vilket förklarar varför vissa kallar denna en skosnöreformel. Dessutom är den lätt att konstruera, man ska bara komma ihåg att sätta den översta punkten längst ned också. Vad händer då om området inte är stjärnformat? Vi antar alltjämnt att origo ligger inuti området. Vi kan illustrera det med figuren till höger, där vi lagt till ett hörn så att området inte längre är stjärnformat nära det hörnet. Det är området mellan origo och den del av randen som ligger mellan P 2 och P 5 som vi är intresserade av att förstå närmare. De trianglar som ingår i beräkningsformeln är OP 2 P 3, OP 3 P 4 och OP 4 P 5. Men dessa är nu överlappande och innefattar dessutom ett P 4 P 3 P 2 P 5 P 1 O P 0 P 6
5 Om Gauss skosnöreformel och planimetrar 4 (9) område som inte ska vara med. Men, triangeln OP 3 P 4 genomlöps medurs, vilket betyder att formeln applicerad på den triangeln ger den negativa arean. I detta fall har vi alltså att formeln ger area(op 2 P 3 ) area(op 3 P 4 ) + area(op 4 P 5 ), vilket är precis den area vi söker. Motsvarande gäller generellt, så vi har visat formeln för alla polygonområden som innehåller origo. Det återstår att också ta bort förutsättningen att origo ligger i området. Betrakta därför figuren till höger, där origo ligger utanför polygonområdet. Som vanligt är det arean av det gråa området vi söker. Formeln ger oss arean av alla trianglar som utgör uppdelningen av polygonområdet vars rand är OP 0 P 1... P 5. Av dessa noterar vi att OP 3 P 4 och OP 4 P 5 är trianglar som inte ingår i det gråa området, utan triangulerar det området som förbinder den nedre delen av området med origo. P 3 T 2 P 2 T 1 P 1 O T 0 T 3 P 4 T 4 Men de trianglarna genomlöps medurs, så formeln ger den negativa arean för dem. Med andra ord, skosnöresformeln ger arean av området med rand OP 0 P 1... P 5 minus arean av området OP 5 P 4 P 3, vilket är precis det gråa området ifråga. Villkoret att polygonen inte får skära över sig själv kan emellertid inte elimineras. Om vi har ett polygon som skär över sig själv får vi ett antal separata områden vars ränder är polygonkurvor som inte skär över sig själva, men formeln kommer att ge motsvarande areor omväxlande med plustecken och minustecken, beroende på om randen genomlöps i positiv eller negativ omloppsriktning. Så totalsumman blir i allmänhet inte arean av det inneslutna området. T 5 P 0 P 5 Arean av ett slutet område med en styckvis C 1 rand Vad gäller då om vi har ett område vars rand inte är en polygonkurva, utan en glatt (eller styckvis glatt) kurva? Svaret är att om vi kan approximera randen godtyckligt väl med en polygonkurva, vilket vi kan om den är styckvis C 1, så kan vi använda metoden ovan, med den skillnaden att summan ovan övergår i en integral. För att se varför, betrakta ett område Ω i planet vars rand är en styckvis C 1 kurva. åt oss anta att randen kan parametriseras enligt = {c(t) = (x(t), y(t)); a t b} där c är deriverbar i alla utom eventuellt ändligt många undantagspunkter, vilka i så fall svarar mot eventuella hörn. Gör en indelning a = t 0 < t 1 <... t n = b av intervallet [a, b], så vald att alla hörn svarar mot någon indelningspunkt (d.v.s. om P är ett hörn, så gäller att P = c(t k ) för något k). Vi kan då definiera en approximation av Ω som det område som innesluts av polygonen med hörn i punkterna P k = c(t k ), k = 0,... n. ägg märke till att P 0 = P n, d.v.s. polygonen är sluten. Detta illustreras i figuren till nedan.
6 Om Gauss skosnöreformel och planimetrar 5 (9) Vi vet nu att polygonen omsluter ett område vars area är A n = 1 n 2 x(t k) y(t k ) n x(t k+1 ) y(t k+1 ) = (x(t k )y(t k+1 ) y(t k )x(t k+1 )). k=0 Men om c är deriverbar i punkten t k och t k+1 t k = k t är litet gäller att x(t k+1 ) = x(t k ) + x (t k ) k t + k t något som går mot 0 då k t 0, och motsvarande för y. Vi får därför att x(t k )y(t k+1 ) y(t k )x(t k+1 ) = (x(t k )y (t k ) y(t k )x (t k )) k t + k t något försumbart. Men detta betyder att A n är en Riemannsumma, nämligen för integralen och vi har att A = 1 2 b a k=0 (x(t)y (t) y(t)x (t))dt = b A n A då n. a ( y(t)x (t) + x(t)y (t))dt, Eftersom integralen är oberoende av vilken parametrisering vi väljer (det är ju samma area i alla fall), så vill man skriva denna formel på ett sätt som inte refererar till en speciell parametrisering av randen. För detta observerar vi att vi kan skriva integranden som en skalärprodukt: y(t)x (t) + x(t)y (t) = ( y(t), x(t)) (x (t), y (t)). Men här är c (t) = (x (t), y (t)) en tangentvektor till punkten c(t) på randen som pekar i rörelsens riktning (vi genomlöper randen moturs). åt T (p) beteckna enhetsnormalen i rörelsens riktning i punkten p. Då får vi ( y(t), x(t)) (x (t), y (t))dt = ( y(t), x(t)) T (c(t)) c (t) dt = ( y(t), x(t)) T (c(t))ds, där ds står för båglängden längs kurvan. Vi skriver därför A = 1 ( y, x) T (x, y) ds. 2 Vi ser att arean ges av en integration längs randen m.a.p. båglängden. För att få en positiv area måste vi genomlöpa randen i positiv omloppsriktning, d.v.s. går längs randen så att området hela tiden ligger till vänster om oss.
7 Om Gauss skosnöreformel och planimetrar 6 (9) Kommentar om differentialformer När man integrerar en funktion på formen f(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) T (x, y) längs en kurva (m.a.p. båglängden) så skriver man gärna integralen på ett annorlunda sätt. Vi har ju nämligen att f(x, y)ds = (u(x, y), v(x, y)) (x, y )dt = (u(x, y), v(x, y)) (dx, dy) = u(x, y)dx + v(x, y)dy. I detta uttryck är x = x(t), y = y(t), men man inför s.k. differentialformer ω(x, y) = u(x, y)dx + v(x, y)dy, vilka inte har med en speciell kurva att göra. Sådana differentialformer är storheter som kan integreras längs kurvor, och för att göra detta inför man en parametrisering av kurvan, γ = {c(t) = (x(t), y(t)); a t b} och har att ω = u(x, y)dx + v(x, y)dy = (u(c(t))x (t) + v(c(t))y (t))dt. γ γ Speciellt betyder det att vi kan skriva formeln från föregående avsnitt som att 1 ydx + xdy = arean av Ω. 2 Men man måste inte använda Cartesiska koordinater. Om man använder polära koordinater x = r cos θ, y = r sin θ, får vi att γ dx = dr cos θ + r( sin θ)dθ, dy = dr sin θ + r(cos θ)dθ och därför att ydx + xdy = r 2 dθ. Vi får därför att 1 r 2 dθ = arean av Ω, 2 vilket i det här sammanhanget är mest användbart om vi beskriver i polära koordinater Vi får då formeln = {c(θ) = r(θ)e iθ ; 0 θ 2π}. 1 2π r 2 (θ)dθ = arean av Ω. 2 0 En avslutande kommentar. Om det finns en funktion F sådan att ω = df, så gäller alltid att df = 0. Observera att vi integrerar längs en sluten kurva!
8 Om Gauss skosnöreformel och planimetrar 7 (9) Detta är helt enkelt analysens huvudsats: om vi parametriserar randen står här b d F (c(t))dt = a dt F (c(b)) F (c(a)) = 0, eftersom c(b) = c(a). Men det betyder t.ex. att ydx + xdy = d(xy) = 0, och från det får vi de alternativa area-formlerna xdy = ydx = arean av Ω. Den första av dessa ska vi använda i diskussionen i nästa avsnitt om planimetrarna. Planimetern En planimeter består i princip av en horisontell stång och en s.k. integraltrissa som gör själva mätningen. Stångens ena ände bär en vertikal spets, med vilken vi följer randen ett varv moturs, medan den andra änden, som kallas pivån, genom konstruktionen tvingas att förflytta sig längs en godtycklig linje som kallas instrumentets direktris. I praktiken använde man som direktris antingen en rät linje, man talar då om en linjärplanimeter, eller en cirkel, som används i en polarplanimeter. Bilderna nedan, lånade från internet, illustrerar detta. Själva trissan består av ett hjul och en räknare för antalet varv detta hjul snurrar. Hjulet avläser stångens sidoförflyttning, alltså hur stor rörelsen är vinkelrät mot stångens riktning. I den kommande diskussionen antar vi att stången har längden och att hjulet sitter på avståndet a ifrån pivån. Matematik för linjärplanimetern Vi lägger planimetern i ett koordinatsystem så att direktrisen, som är en rät linje, sammanfaller med y- axeln. När spetsen på stången befinner sig i punkten (x, y) befinner sig då pivån i en punkt (0, b(x, y)) på avståndet ifrån spetsen. Då gäller att (x + dx, y + dy) (x, y + db) (x, y) x 2 + (y b(x, y)) 2 = 2 och dess enhetsnormal i hjulets rörelseriktning riktning är N(x, y) = ( (y b(x, y)), x)/. b + db b
9 Om Gauss skosnöreformel och planimetrar 8 (9) Det följer att den totala sträckan som hjulet mäter upp är s = 1 (y b(x, y))dx + xdy. För att beräkna detta, betraktar vi rörelsen av stiftet då det rör sig en liten bit längs kurvan, från punkten (x, y) till punkten (x+dx, y +dy) moturs. Denna rörelse kan vi dela upp i två rörelser: (1) basen rör sig från (0, b) till (0, b + db) på sådant sätt att armens vinkel α med y-axeln är fix vilket leder till att spetsen är i punkten (x, y + db), och (2) en rotation en vinkel dθ så att stiftet slutar i (x + dx, y + dy). Då kommer hjulet att röra sig sträckan sin αdb + adθ = x db + adθ, eftersom det endast är rörelsen vinkelrät mot armen som resulterar i att hjulet roterar. När vi går runt ett varv på detta sätt kommer den totala rotationen (θ) att vara 0, vilket betyder att den totala sträcka som hjulet roterat är s = 1 xdb(x, y). Om vi nu återvänder till vårt tidigare uttryck för s så kan vi använda de två observationerna d(xy) = ydx + xdy, d(b(x, y)x) = b(x, y)dx + xdb(x, y) till att se att Vi får därför att och alltså att Med andra ord: xdy = ydx, s = s = b(x, y)dx = xdb(x, y) = s. (y b(x, y))dx + xdy = 2 xdy s. xdb(x, y) = xdy = arean av Ω. Den totala rotationen av hjulet = 1 arean av Ω. Matematik för polarplanimetern Vi börjar med att räkna med komplexa tal. I detta fall ska vi ersätta linjen (0, b) från linjärplanimeterfallet med cirkeln som ges av talen be iφ och är streckad i figuren till höger. När vi nu rör oss från z till z + dz rör sig pivån från be iφ till be i(φ+dφ) = be iφ (1+idφ)+... (lägg märke till att dφ är negativ i figuren till höger). iksom tidigare kan vi dela upp denna rörelse i två: a) en parallell-rörelse av de andra armen då spetsen rör sig från z till z +ibe iφ dφ. Sträckan hjulet dφ z + dz dθ z
10 Om Gauss skosnöreformel och planimetrar 9 (9) roterar, som är rörelsen vinkelrät mot axeln, ges då av 1 Re(i(z beiφ ))ibe iφ dφ) = b Re(zeiφ b) = b (x cos φ + y sin φ) (detta svarar mot skalärprodukten för vektorer). b) en rotation av armen en vinkel dθ. Sammanlagt kommer därför hjulet att snurra sträckan s = b (x cos φ + y sin φ b)dφ + adθ = b eftersom totalvariationen i θ är noll. Men vi kan också beräkna sträckan som hjulet roterat genom 1 sin φ y)dx + (x b cos φ)dy = 2 (b 2 xdy b (x cos φ + y sin φ)dφ, (x cos φ + y sin φ)dφ, och kombinerar vi dessa formler i analogi med hur vi gjorde ovan får vi att Den totala rotationen av hjulet = 1 arean av Ω.
Dubbelintegraler och volymberäkning
ubbelintegraler och volymberäkning Volym och dubbelintegraler över en rektangel Alla funktioner nedan antas vara kontinuerliga. Om f (x) i intervallet [a, b], så är arean av mängden {(x, y) : y f (x),
Läs merTentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
Läs merA = D. r s r t dsdt. [(1 + 4t 2 ) 3/2 1]dt (1) där det sista steget fås genom variabelbytet u = 1 + 4s 2. Integralen. (1 + 4t 2 ) 3/2 dt
TATA44 Lösningar till tentamen 27/8/2..) Arean A av ytstycket ges av formeln A r s r t dsdt där : s t, t. En enkel räkning ger r s r t ( 2s 2 cos t, 2s 2 sin t, s) av vilket det följer att A s2 + 4s 4
Läs merPrimitiva funktioner i flerdim
Analys 36 En webbaserad analyskurs Differentialkalkyl Primitiva funktioner i flerdim Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Primitiva funktioner i flerdim 1 (11) 1 Introduktion Att bestämma
Läs merOm ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper
Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs kurvor som uppkommer
Läs merAB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet
AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet Kurvintegralener Kurvor på parameterform Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En rymdkurva på parameterform ges av tre ekvationer x = x(t),
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 2 augusti 215 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merTentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller
Tentamen SF66, Analys i flera variabler, --8 Svar och lösningsförslag. Låt fx, y) = ye x y. Bestäm största och minsta värde till f på den slutna kvadraten med hörn i, ),, ),, ) och, ). Lösning. f är kontinuerlig
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F. Tentamen fredag 25 maj 27, 8.-3. Förslag till lösningar (ändrat 28/5-7, 29/5-7).
Läs merSpiralkurvor på klot och Jacobis elliptiska funktioner
Spiralkurvor på klot och Jacobis elliptiska funktioner Sammanfattning Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com I den här artikeln ska vi ta en titt på en tillämpning av Jacobis elliptiska
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merProblem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik
KTH -matematik Problem i matematik EPR & MAT Flervariabelanalys Problem inför KS.. Låt F(, y, z) + y 3z + och G(, y, z) 3 + y 3 4z +. Visa att i en omgivning av punkten (,, ) definieras genom ekvationerna
Läs merVisa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)
Kap. 15.1 15.2, 15.4, 16.3. Vektorfält, integralkurva, konservativa fält, potential, linjeintegraler av vektorfält, enkelt sammanhängande område, oberoendet av vägen, Greens formel. A 1701. Undersök om
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- EL A 1. Betrakta funktionen f som är definierad i området där x + y genom f(x, y, z) x z x + y. (a) Beräkna gradienten f(x, y, z). (1 p) (b)
Läs merInstitutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken
Läs merVi har. x (xy2 ) + y ( yz2 ) + z (zx2 ) = y 2 z 2 + x 2 = x 2 + y 2 z 2, xy 2 yz 2 zx 2
Lektion 6, Flervariabelanals den februari 6.. Beräkna div F och rot F av F e + e. Divergensen och rotationen ges av div F F,,,, + + + +, rot F F,,,, e e e z, +,,,. rot F F,, e e e z z, z, z z z, + z, z
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merCykloiden och dess släktingar
Cykloiden och dess släktingar Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Cykloiden är den enklaste av en samling kurvor som uppkommer genom att man roterar cirklar på cirklar
Läs mer{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.
34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-3: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. 4 poäng Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna gränsvärdet om det existerar:
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 24-8-2 DEL A. Bestäm och skissera definitionsmängden till funktionen fx, y) = x 2 + y 2 + 2x 4y + + x. Är definitionsmängden kompakt? 4 p) Lösning.
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merParabeln och vad man kan ha den till
Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I det här dokumentet diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs merFlervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar vecka 6. ( ) kommer vi att studera ytintegraler, r r dudv
Flervariabelanalys I Vintern 11 Översikt föreläsningar vecka 6 tintegraler Givet en yta i rummet och en funktion f x, y,z f dsdär ds är det så kallade ytelementet. ( ) kommer vi att studera ytintegraler,
Läs merÖvningstenta: Lösningsförslag
Övningstenta: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. (4 poäng) Bestäm tangentplanet i punkten (,, ) till ytan z f(x, y) där f(x, y) x 4
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 2 mars 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,
Läs merTentamen TMA044 Flervariabelanalys E2
Tentamen TMA44 Flervariabelanalys E 4--3 kl. 8.3.3 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Elin Solberg, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan från
Läs mer1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26-3-2 DEL A. Låt D vara fyrhörningen med hörn i punkterna, ), 6, ),, 5) och 4, 5). a) Skissera fyrhörningen D och beräkna dess area. p) b) Bestäm
Läs meru av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734 41 3 31 Flervariabelanalys mag31 1669 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merf(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1). 3. Hitta maximala arean för en rektangel inskriven i en ellips på formen x 2 a 2 + y2
TM-Matematik Mikael Forsberg Matematik med datalogi, mfl. Flervariabelanalys mk12b Övningstenta vt213 nr1 Skrivtid: 5 timmar. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler
Läs merIntegraler av vektorfält Mats Persson
Föreläsning 1/8 Integraler av vektorfält Mats Persson 1 Linjeintegraler Exempel: En partikel rör sig längs en kurva r(τ) under inverkan av en kraft F(r). i vill då beräkna arbetet som kraften utövar på
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs merx ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
Läs merDifferentialens geometriska betydelse
Analys 360 En webbaserad analyskurs Differentialkalkyl Differentialens geometriska betydelse Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Differentialens geometriska betydelse 1 (9) Introduktion
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-3-7 EL A. Betrakta funktionen f, y y. a Beräkna riktningsderivatan av f i punkten, i den riktning som ges av vektorn 4, 3. p b Finns det någon riktning
Läs merParabeln och vad man kan ha den till
Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Fredag 9 juni 7 8:-: SF67 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Ma: poäng. poäng Bestäm samtliga horisontella tangentplan till ytan z y y + y +. Lösning: Tangentplanet
Läs merUndersökande arbetssätt i matematik 1 och 2
Matematik Gymnasieskola Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg Del 6: Undersökande arbetssätt med matematisk programvara Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2 I texten Undersökande arbetssätt
Läs merLäsanvisningar till Analys B, HT 15 Del 1
Läsanvisningar till Analys B, HT 15 Del 1 Dag 1 Avsnitt 6.1 Definition av trappfunktion och integral av en trappfunktion. Räkneregler (de är mer eller mindre uppenbara). Definition av Riemannintegralen
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Läs merLösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Lösningsförslag till tentamen TMA3 Flervariabelanalys E2 23--6 kl. 8.3 2.3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Adam Andersson, telefon: 73 88 3 Hjälpmedel: bifogat
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016
Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merLUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. LÖSNINGAR FLERDIMENSIONELL ANALYS, FMA kl 8 13
LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR FLERIMENSIONELL ANALYS, FMA40 04-0- kl 8. Vi börjar med att rita triangelskivan. Linjen genom, och, har ekvationen y x+, linjen genom, och, har ekvationen y 4
Läs merLösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 5 mars 7 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsystem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rymdpolära
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel. Vi utnyttjar definitionen av skalärprodukt som ger att u v u v, där α är (minsta) vinkeln mellan u v. I vårt fall så får vi 7 =. Alltså är den sökta vinkeln
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-- DEL A. Bestäm en ekvation för tangentplanet i punkten (,, 2 till ellipsoiden 2x 2 +3y 2 +z 2 = 9. (4 p Lösning. Vi uppfattar ytan som nivåytan
Läs merKS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y
KS övning 1 Problem 1. Beräkna 48 1 3 Problem 2. Förenkla 6 1 3 (x 1 3 y 1 3 )(x 2 3 +x 1 3 y 1 3 +y 2 3 ) Problem 3. I ABC är AB = 15 cm och AC = 12 cm. En rät linje parallell med BC träffar AB i D och
Läs merVektorgeometri. En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B.
Vektorgeometri En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B. Två pilar AB, A B tilllhör samma vektor om de har samma riktning och samma längd. Vi skriver v = AB = B A B
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.
Läs merkan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut.
vsnitt 2, Vektorer kan vi uttrycka med a, b och c. W109 är basytan (en kvadrat) i en regelbunden fyrsidig pyramid med spetsen. Låt = a, = b och = c. eräkna. Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste
Läs merVektoranalys II. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik
Vektoranalys II Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 9 september 215 Översikt 1 Kurvor och ytor, linje- och yt-mått 2 Integraler, Kap. 1.3 Linjeintegraler Ytintegraler Volymsintegraler
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF166 Flervariabelanalys entamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag 1) Låt fx, y) = xy lnx + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten 1, ) som störst, och hur stor är
Läs merOm ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper. Och lite biljard
Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper. Och lite biljard Sammanfattning Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs
Läs merAnalys på en torus. MatematikCentrum LTH
Analys på en torus Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln ska vi diskutera differentialgeometri på en torus, både inbäddad som en badring i rummet och
Läs merVeckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet
Läs merLösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den januari 7 DEL A. En partikel rör sig så att positionen efter starten ges av (x, y, z (t cos t, t sin t, t
Läs merMMA127 Differential och integralkalkyl II
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA17 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 9..19 8. 11. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva tillåten).
Läs merMatematik CD för TB = 5 +
Föreläsning 4 70 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler: A R = b h A T = b h Svar:
Läs merav envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)
Lösningsskisser till TATA69 Flervariabelanalys 16-1- 1 Stationära punkter ges av f (4x 3 + 4x, 3y + 6z, z + 6y (,,, dvs (x, y, z (,, eller (x, y, z (, 6, 18 Ur andraderivatorna fås de kvadratiska formerna
Läs merEllipsen. 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt.
Ellipsen 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt. Vi skall stifta bekantskap med, och ganska noga undersöka, den plana kurva som kallas ellips. Man kan närma sig kurvan på olika sätt men vi väljer som
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet
Läs mer2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a
2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1. Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x och y =
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den januari 27 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så
Läs mer1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70
1 Föreläsning 7 1.1 tokes sats ats 1 åt vara en yta i R med randen. Vi antar att orienteringen på och är vald på ett sådant sätt att om man går längs i den valda riktningen då ligger till vänster (på vänstersidan).
Läs merInlämningsuppgift nr 2, lösningar
UPPALA UNIVRITT MATMATIKA INTITUTIONN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 8 Inlämningsuppgift nr, lösningar. Visa att ekvationen x + x(y ) + (y ) + z + sin(yz) definierar z som en funktion
Läs merVektoranalys, snabbrepetition. Vektorfält
Vektorfält Ett vektorfält F är en funktion F : R 2 R 2. (Eller mer allmänt en funktion R n R n.) Observera att F(x, y) har två komponenter, som båda beror av x och y. Låt oss kalla dessa komponenter för
Läs merLektion 1. Kurvor i planet och i rummet
Lektion 1 Kurvor i planet och i rummet Innehål Plankurvor Rymdkurvor Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation
Läs merParametriserade kurvor
CTH/GU LABORATION 4 TMV37-4/5 Matematiska vetenskaper Inledning Parametriserade kurvor Vi skall se hur man ritar parametriserade kurvor i planet samt hur man ritar tangenter och normaler i punkter längs
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F. Tentamen tisdag 8 augusti 7, 4.-9. Förslag till lösningar.. Om F (x, y, z) x y + y z
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanals Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 5 mars 207 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad
Läs merPoincarés modell för den hyperboliska geometrin
Poincarés modell för den hyperboliska geometrin Niklas Palmberg, matrikelnr 23604 Uppsats för kandidatexamen i naturvetenskaper Matematiska institutionen Åbo Akademi 12.2.2001 Innehåll 1 Presentation av
Läs merTATA44 ösningar till tentamen 13/01/ ) Paraboloiden z = 2 x 2 y 2 skär konen z = x 2 + y 2 då x 2 + y 2 = 2 x 2 y 2. Med
TATA44 ösningar till tentamen 1/1/211. 1. Paraboloiden z 2 x 2 y 2 skär konen z x 2 + y 2 då x 2 + y 2 2 x 2 y 2. Med ρ x 2 + y 2 då är ρ 2 + ρ 2 vilket ger ρ + 2ρ 1. åledes är ρ 1 ty ρ. Vi betecknar den
Läs merOctober 9, Innehållsregister
October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
1 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 2 Hans Thunberg Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 4 2 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Dagens lektion: avsnitt 11.1 11.3 Funktioner från R till
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar hristian Forssén, Institutionen för fysik, halmers, Göteborg, verige ep 6, 217 3. Integraler Det mesta av detta material förutsätts vara
Läs merMVE465. Innehållsförteckning
Lösningar på övningsuppgifter Detta dokument innehåller mina renskrivna lösningar på övningsuppgifter i kursen Linjär algebra och analys fortsättning (). Jag kan inte lova att samtliga lösningar är välformulerade
Läs merKomposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.
Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 mars 7 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merFigur 1: Postföretagets rektangulära låda, definitioner.
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För distans och campus Flervariabelanalys ma1b 14 8 13 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel, förutom den bifogade formelsamlingen. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs merKapitel 4. cos(64 )= s s = 9 cos(64 )= 3.9m. cos(78 )= s s = 9 cos(78 )= 1.9m. a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 24cm
Kapitel 4 4107 4103 a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 4cm 35 b) cos(40 )= x x = 61 cos(40 )= 47cm 61 c) tan(56 )= 43 x x = 43 tan(56 ) = 9cm d) sin(53 )= x x = 75 sin(53 )= 60cm 75 4104 a) tan(v )= 7 4 v
Läs merOmtentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys
Omtentamen (med lösningar) MVE85 Flervariabelanalys 26--4 kl. 8.3 2.3 Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Anna Persson, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: endast bifogat
Läs merKroklinjiga koordinater och räkning med vektoroperatorer. Henrik Johanneson/(Mats Persson)
Föreläsning 7/9 Kroklinjiga koordinater räkning med vektoroperatorer Kroklinjiga koordinater Henrik Johanneson/Mats Persson) Allmänt behöver vi tre parametrar u, u 2, u 3 för att beskriva en godtycklig
Läs merFör studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg
ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MAB 8 Skrivtid: 9:-4:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler bifogas
Läs merx f x + y f y x. 2 Funktionen f(x, y) uppfyller alltså given differentialekvation.
SF1626 Flervariabelanalys Svar och lösningsförslag till Tentamen 14 mars 211, 8. - 13. 1) Visa att funktionen f, y) = y4 y ) 2 +2 sin är en lösning till differentialekvationen f + y f y = 2f. Lösning:
Läs merÖvning 6, FMM-Vektoranalys, SI1140
Övning 6, FMM-ektoranalys, I114 ˆ 6. Beräkna integralen där A dr A x 2 ay + z) ) e x + y 2 az ) e y + z 2 ax + y) ) e z och är den kurva som utgör skärningslinjen mellan cylindern { x a) 2 + y 2 a 2 och
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891
KTH Matematik 5B1134 Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari 6 1. a) Bestäm sidlängderna i en triangel med vinklarna 44, 63 73 om arean av triangeln är 64 cm. Ange svaren som närmevärden
Läs merTrigonometri. Sidor i boken 26-34
Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor
Läs merKurvlängd och geometri på en sfärisk yta
325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,
Läs mer1 Några elementära operationer.
Föreläsning Några elementära operationer. Ett skalärfält är en reellvärd eller komplexvärd funktion Φ(x, y, z). Ett vektorfält är en vektorvärd funktion A(x, y, z). I ett kartesiskt koordinatsystem kan
Läs merTAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab
TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 3. Linjär algebra Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion 2 En Komet Kometer rör sig enligt ellipsformade
Läs mer