MATEMATIK. av Rolf Pettersson. Grafisk Formgivning: Lennart Jörelid. Utgiven i juni 1999 Upplaga ex

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "MATEMATIK. av Rolf Pettersson. Grafisk Formgivning: Lennart Jörelid. Utgiven i juni 1999 Upplaga 10.000 ex"

Transkript

1 MATMATIK Kort förberedande urs för blivande tenologer av Rolf Pettersson Grafis Formgivning: Lennart Jörelid Utgiven i juni 1999 Upplaga ex entrala Studievägledningen halmers Tenisa Högsola Göteborg Tel

2 Till dig som söer till högre tenis utbildning Som du vet förutsätter studier i tenisa ämnen goda unsaper i matemati n stor del av det första året ägnas därför åt grundläggande matematisa ämnen Goda resultat i de teoretisa ämnena under första studieåret öar dina möjligheter till framgång i de fortsatta studierna Det första läsåret vid en högsola innebär alltid en stor omställning från gymnasiestudierna Har man då lucor i gymnasiematematien, an det bli rätt arbetsamt Om du inte är säer på att du redan har mycet goda unsaper i matemati, gör du lot i att förbereda dig ordentligt genom att repetera gymnasieursen och läsa in avsnitt som du anse tidigare försummat Hur gör jag då? Till hjälp får du detta ompendium Matemati ort förberedande urs för blivande tenologer Arbeta igenom det så grundligt, att du behärsar de olia avsnitten De många övningsexemplen ger dig möjlighet till nyttig räneträning I början av ompendiet finns dessutom ett diagnostist prov och i slutet en provräning med blandade uppgifter Kompendiet är avsett för c:a 50 timmars studier Ta avsnitten i den ordning du själv finner lämplig n metod är att först räna alla [1] och [2]-uppgifterna (ompendiet rat igenom) Sedan alla [3]-uppgifterna osv Har du bra betyg i matemati från gymnasiet och tror dig unna gymnasieursen gansa bra, an du försöa dig på sista uppgiften i varje övningsuppgift (Uppgifterna är i stort sett ordnade efter växande svårighetsgrad) Är det något eller några områden du speciellt behöver repetera, tex logaritmer, trigonometri eller derivering med hjälp av edjeregeln, an du i första hand oncentrera dig på dessa Det väsentliga är att du ränar (mindre väsentligt är vad du ränar) Sulle du öra fast på några uppgifter an du eventuellt få hjälp per telefon (se bilaga Upplysningar inför terminsstarten) tt syfte med ompendiet Matemati ort förberedande urs för blivande tenologer är att nöta in vissa formler, som du anse varit van att hitta i en formelsamling På tentamen vid de tenisa högsolorna ommer du inte att ha formelsamlingen till hands Försö därför att lara dig utan, när du löser övningsexemplen Kunsapsontroll? Du ommer inte att avrävas redovisning av de här repetitionsövningarna Däremot ommer du snart att mära, att du har stor nytta av förberedelsearbetet, även om högsolestudierna inleds med en repetitionsurs i matemati Lyca till Med Hälsningar från de Tenisa Högsolorna ii

3 Tillägg av författaren I detta ompendium behandlas i huvudsa de moment, som matematilärare vid tenisa högsolor ansett vara de mest grundläggande delarna av gymnasiematematien Den nuvarande gymnasieursen i matemati är gemensam för alla solor i landet, men olia solor och lärare betonar anse vissa delar mer eller mindre start Därför an några delar av ompendiet vara mer (eller mindre) välbeanta för dig Tips: Hoppa över avsnittet 3 om ellipser mm, ifall dessa begrepp inte behandlats i din gymnasieurs Observera ocså att ompendiet är avsett att väsentligen vara en repetition av matematien i delarna A, B, och D, som bruar genomgås de två första åren på gymnasiet Däremot repeteras vanligen del (med bla tillämpning av integraler och differentialevationer), samt en eventuell, frivillig del F, i samband med de ordinarie matematiurserna på de tenisa högsolorna Lyca till Rolf Pettersson Årets utgåva av Matemati ort förberedande urs för blivande tenologer är en grafist bearbetad upplaga av ett äldre, i huvudsa masinsrivet, original Jag har i samråd med författaren försöt ge häftet en så lättöversådlig och pedagogis utformning som möjligt, utan att förändra dess sainnehåll nämnvärt ftersom jag själv är tenolog vid F-setionen på halmers och därmed onfronterats en del med tenis urslitteratur, har jag strävat efter att ge häftet en utformning som i så hög grad som möjligt linar tenologens vardagslitteratur detta för att ge Dig en så smidig övergång som möjligt mellan gymansielitteraturen och de Tenisa Högsolornas tt gott råd är dessutom att verligen försöa lägga undan miniränaren då Du ränar dig i igenom häftet nligt min egen erfarenhet, var detta en av de verligt givande poängerna med att repetera gymnasiets matemati Förståelsen för de grundläggande tenisa matteurserna öar enormt om många av detta häftes formler och samband sitter i ryggmärgen Lyca till Lennart Jörelid iii

4 Innehåll DIAGNOSTISKT PROV 5 1 Algebraisa räningar 7 11 Addition, subtration och multipliation av reella tal 7 12 Division av reella tal Bråräning Lineära evationssystem 1 1 Absolutbelopp Kvadratroten ur ett positivt reellt tal Ice-reella tal Komplexa tal Andragradsevationer Fatoruppdelning av andragradspolynom Fatorsatsen vationer av större gradtal än två Oliheter :te roten ur ett reellt tal Allmänna potenser Logaritmer 25 2 Trigonometri Vinelmätning Rätvinliga trianglar De trigonometrisa funtionerna för godtycliga vinlar 31 2 Några enla trigonometrisa formler 3 25 Additions- och subtrationsformler Formler för dubbla resp halva vineln 37 3 Plan analytis geometri Avståndet mellan två punter Räta linjen ireln 1 3 llipsen, hyperbeln och parabeln 2 Funtionslära 1 Inledning 2 Derivatans definition 5 iv

5 3 nla deriveringsregler De elementära funtionernas derivator 6 Sammansatta funtioner Kedjeregeln 8 5 Tangent och normal till en urva 51 6 Maximi- och minimiproblem 52 PROVRÄKNING (Blandade exempel) 5 FAIT TILL ÖVNINGSUPPGIFTRNA 56 Facit till det diagnostisa provet 69 Facit till provräningen (blandade exempel) 69 v

6 A DIAGNOSTISKT PROV (Lämplig tid: cira 2 timmar) (Svar finns på sista sidan i ompendiet) [1] Förenla [2] Lös evationen " [3] Förenla så långt som möjligt: $&%('*) / +-, )0 ' / ) + 0 [] Förorta (om möjligt) i uttrycet [5] Dividera (med polynomdivision) så långt som möjligt 6 1 " [6] Lös evationssystemet 8 [7] Bestäm exat >? : 9;: $ 9 $ A [8] Bestäm rötterna till evationen [9] För vila gäller oliheten [10] Förenla H HN 3 %JILK A IMK 3 : IMK 1-3 ILK 3 =< %B [11] Angiv exata värdet av O-P K RQS3T5 UWVTK RQS3 : [12] Bestäm alla vinlar mellan Y och : F G D Y som satisfiera (samt förenla) H [Z]\ HN O^ O_P K 3 3 [13] [a] I en rätvinlig triangel är sinus för en vinel lia med 2/3 och den mot denna vinel stående sidan är 3 längdenheter Bestäm hypotenusans längd exat [b] Samma uppgift som ovan, om i stället tangens för vineln är 2/3 [1] Bestäm UNVTK exat, om UWV K` 3a [15] Angiv på formen = $`cb " en evation för räta linjen genom punterna edbf5 och d 6

7 i [16] vationen gh$ medelpunt och radie [17] Bestäm derivatan ij [18] Bestäm i j, om i ), 3 D [19] Bestäm på formen $ b den punt på urvan, där [20] Bestäm det största värde som i : betyder geometrist en cirel (i ett ortonormerat system) Bestäm (och förenla den), om 1 ) < D en evation för tangenten till urvan $ O_P Kl7 mzn\ O an anta för reella 1 i 7

8 1 Algebraisa räningar 11 Addition, subtration och multipliation av reella tal För reella tal gäller bla följande enla räneregler: & f & & & f l = %?f g Jd? %? Man definierar potenser med heltalsexponenter som: 5o för dn qp r % osv s % ftbtbt- ^d dvs produten av stycen fatorer ty Varav följer Potenslagarna u % s uw s g s uv s 5uyx s s s ftersom? och zh &{, så gäller att y{ ovs För att förtydliga ges nedan några exempel: { dj y{ 1 &{ 1, xempel xempel 5 T " T b 6T b & Tl} b T b 5 T T ;bm Tl b & b $ W~ 1 %?= $ 1 $ ~ %?f25 %n W$ 1 f2 o $ ~ 8

9 Š Ö-1 Förenla Ö-2 Beräna [1] A $ :a ~ $ A 9 ~ $ [1] [2] z"6t b [2] 1 [3] b " 6 T b "ƒl b T [3]?f5 []?= 1 [5]? g o Ö-3 Förenla Ö- Omforma (genom att multiplicera ihop parenteserna) [1] g 1 % 2 g [1] n [2] 6<T 5 W [2] 7" ] 1 [3] 1W$ % $e-( % $ [3] " n6 []?= W$1 ~ 1z% ~ y%? 1ˆ$ Följande vitiga formler bör man unna utantill: KVADRRINGSRGLRNA KUBRINGSRGLRNA KONJUGATRGLN ƒ ] ƒ ƒ ] 1 ƒ 1 &]] FAKTORUPPDLNINGARNA T g 1 T g 1 1 g 1 ]] ] &] nƒ g OBS dw g och g an ej fatoruppdelas med reella tal xempel Utvecla 6 7 ~ 1 Lösning: 9 ~ 1 Š uberingsregeln med och 1 % z% ~ % {% ~ ƒ ~ : ~ m < ~ ~ ~ BŒ xempel Fatoruppdela uttrycet 2 b 1 1ˆbˆ 2 Wbˆ1 Lösning: 2T b b 2T b 1 ŽŠ alla gemensamma fatorer bryts ut T bl% ƒa T g 1 b b Œ ŽŠ an vadreringsregeln användas? T bl% ƒ g 1 % g 1 % bm 6 b Œ Œ Š vadreringsregeln T ˆbl% ƒ g 1 b Œ 9

10 i i p o xempel Fatoruppdela uttrycet 2 $1 Lösning: 2 $ 1 ŽŠ Kan fatoruppdelningen för 1 1 $ 1 $ ] M % $y 1 användas? $ Œ $ n (F $ $ Ö-5 Utvecla Ö-6 Förenla [1] $ [1] ] 9 [2] 6< [2] T nt [3] $1 [3] 6 m 5n 5n A5 Ö-7 Utecla Ö-8 Uppdela i fatorer [1] $ 1 [1] A [2] <T [2] 7 [3] T 1 [3] 5 J: [] ƒ : 1 Ö-9 Uppdela i fatorer Ö-10 Uppdela i fatorer [1] 2 $ $ [1] 1 [2] 2 n [2] $ ~ $ [3] W$e1S $ 1W$e [3] 2 1W$ Polynom; Kvadratomplettering Med ett polynom (i ) menas ett uttryc av formen där s s s tntbt 7 dbtntbt dw o allas oefficienter för sedbtbtbt d o Om s säges vara av grad tt vitigt begrepp är vadratomplettering i andragradspolynom (jämför detta med lösning av andragradseationer [17]) Kvadratompletteringen ges av: 9 % %B9 " 7 " xempel Bestäm (genom vadratomplettering) minsta värdet av Lösning: " 7 m " Š vadratomplettera %B % 1 1 " 1 7 Œ 1 J

11 b b 2 ftersom 1 š vilet inträffar då för alla, med lihet om och endast om 1 1, inser man att iœ Ÿž, Ö-11 Kvadratomplettera Ö-12 Kvadratomplettera [1] [1] 7 [2] < [2] [3] $ 2 $ [3] J: Ä a [] $ $e [] m [5] m: $ $ " [5] $e ~ $ ~ Ö-13 Bestäm (genom vadratomplettering) minsta värdet av: Ö-1 Bestäm största värdet av [1] m [1] < [2] < [2] [3] 7 [3] 12 Division av reella tal Bråräning nligt definitionen på brå har förstagradsevationen % (an ocså srivas 3T ) för 7p bl% %œb Förortning och b % %Bb förlängning: (för b p Multipliation: Division, dubbelbrå: Addition, subtration: OBS nämlligen r För bråräning gäller bla följande regler: % D ) b b b b % 3T b 3 b ( b % % % och % %œb % den entydiga lösningen v är ej lia med (Alltför vanligt fel att tro motsatsen) Om tex v, medan Potenser med negativa exponenter definieras som b, är 11

12 Definition s s 5u s varav följer u s s u xempel Förenla uttrycet: Lösning: ª «] z e?? œƒl? l ƒl xempel Sriv 9" som ett brå (på så enel form som möjligt), Lösning: 9 9 7" n 7 Š Fatoruppdela nämnarna Œ h%b Š Förläng de olia bråen, så att de nya bråen får samma nämnare Vi har minsta gemensamma nämnare D %5 % 9 %B 7 % Tn T 7 ] Œ n 7 %5 ] % 9 9 n 9 Tn 1 g 12

13 Anmärning: Man an ocså (i ovanstående exempel) först addera två av bråen och sedan till summan addera det tredje brået Genomför dessa räningar Ö-15 Beräna Ö-16 Beräna [1] 1 % J 1 1 [2] -3 [1] 1 [2] 3T5 [3]?=< 1 Ö-17 Sriv som potens av 2 Ö-18 Förenla [1] 3T5 [1] $ -3 $ o [2] T253T [2] T 1 ;: g -3 g [3] 2T ˆ3 1 [3] $e ~ 1 < ~ $ < ~ W$ -3< $ ~ Ö-19 förenla Ö-20 Förorta (om möjligt) [1] ]_3 [1] g-3ƒ [2] ] 3z [2] ƒ _3 g [3] ] 3z [3] 1 _3 1 [] z e 3 1 [5] ] 3z 1 Ö-21 förenla Ö-22 Lös evationen [1] 3-3 $ 3 $ _3 &" 3 $ $ [2] 3T 3T -3 3Tz3T [1] [2] 6< 9 T-3 g 3 ƒ 7 _36 Ö-23 Sriv som ett brå (på så enel form som möjligt): [1] 3 3 " [2] _3 7" [3] 3 3 z : _3ƒ Ö-2 Sriv som ett brå (på så enel form som möjligt): [1] 3 3 [2] 3ƒ 6 _3 [3] 7" _36 2 " _3ƒ 2 13

14 Rationella uttryc, Polynomdivision tt rationellt uttryc (i ) an srivas på formen, där och är polynom och p, dvs ej identist noll Om nu gradtalet för är större än eller lia med gradtalet för an divideras med, så att gradtalet för restpolynomet ± Man får ± r², där ² allas votpolynom Polynomen ² och ± an bestämmas med en polynomdivisionsalgoritm (se följande exempel) xempel Dividera 1mm -3 7 Lösning: Sriv upp täljaren och nämnaren stolen ):, blir mindre än gradtalet för så långt som möjligt med trappan (eller liggande, Multiplicera se- Fortsätt med att di-, dvs bilda Multiplicera och subtrahera som ovan 7-7" 1 ³² - 1 A " n ± _ Metod: Dividera högstagradstermen 1 i med högstagradstermen i dvs bilda 1 3, som blir första termen i voten ² dan hela nämnaren med och subtrahera från videra högstagradstermen i resten med högstagradstermen i 3, som blir nästa term i ² är strängt mindre än gradtalet för Fortsätt tills gradtalet i restpolynomet ± Svar: 1 7 7" n 7 Ö-25 Dividera så långt som möjligt: Ö-26 Dividera så långt som möjligt: [1] " _3 [1] :a T-3 [2] _3 " [2] 1 _36 [3] 1 < 7" _3 [3] m g

15 : < µ : < 13 Lineära evationssystem Vid lösning av evationer med flera obeanta söer man genom elimination saffa sig en evation, som innehåller endast en obeant Man an använda sig av en av två metoder substitutionsmetoden eller additionsmetoden För att illustrera, ges nedan ett exempel: (Tecnet µ betyder om och endast om ) xempel Lös evationssystemet 8 7 < $ 7 $ =< Lösning: Metod 1 [Substitutionsmetoden] ƒ < $ _3, som man sätter in i den andra Då erhålles Den första evationen ger ^ƒ < $ _3 $ B$ Alltså är ƒ < $ -3 Svar: = d $ ƒ =< _3 Lösning: Metod 2 [Additionsmetoden] µ = < $ $ µ y=2 f, och man får ett Multiplicera (för att eliminera ) båda leden i de givna evationerna med 3 resp och addera dem: : 7 < $ : $ B$ OBS Kontrollera alltid svaret genom insättning i de givna evationerna Anmärning: Den lineära evationen f $ b betyder geometrist en rät linje tt system av sådana evationer har alltså a) en b) ingen eller c) oändligt många lösningar beroende på om de räta linjerna är a) särande b) parallella (och olia) c) sammanfallande Härav fås y=2, som insatt i en av de givna evationerna ger Ö-27 Lös evationssystemet Ö-28 Lös evationssystemet [1] 8 [2] 8 [3] 8 9 $ 9 < $ $ 7 $ 7 $ < $ [1] 8 [2] 8 Ḩ¹ [3] 7 $ : 7 $ $ : $ 9 $ ~ 7$ ~ 9 $ ~ : µ = 15

16 < < 1 Absolutbelopp DFINITION om 8 qš om Alltså är éš för alla och om så är avståndet mellan punterna och på tallinjen Geometrist an º uppfattas som xempel nligt definitionen är &?=, ty xempel xvationen an srivas, varför rötterna är och = xempel Oliheten an även srivas =< 7, dvs = Studera tallinjen z, Ö-29 Bestäm Ö-30 Lös evationerna [1] < [1] [2] < [2] 7 [3] Ÿ: 2 [3] [] = t»< [] 7" [5] : 2 [5] 7 [6] < Ö-31 Angiv utan absolutbelopp de, som satisfiera: Ö-32 Sriv i är: [1] 9¼ [1] [2] ǵ½ [2] [3] [3] 7" ˆ [] ǵ½ [] e : 7 <et»< 3T utan absolutbelopp, om i 15 Kvadratroten ur ett positivt reellt tal ftersom š DFINITION ¾%œ;š för alla reella tal har evationen där š vadrat är Alltså ] reella lösningar endast om, menas det ice-negativa, reella tal vars för š 16

17 för f xempelvis B: (Mycet vanligt fel att tro motsatsen) Av definitionen följer vissa räneregler: och 3T > för och 2 för alla reella, % för š, alla n3 för @ ]_3 ]_3 för och = och Àp Reglerna allas förlängning med onjugatuttryc (se exempel nedan) OBS I allmänhet p xempel Förenla > xempel?= Lösning: nligt räneregel 2 ovan, är > n alternativ lösningsmetod är > 1 eá?=?= Sriv med heltalsnämnare Lösning: Förläng med onjugatet till nämnaren: < < < < < Ä < xempel Förenla Á ) ) och ange definitionsmängd är definierat för qš¼, men endast för För är: Svar: är ) Á @ 17

18 8 Ö-33 Förenla Ö-3 Förenla A t J: : <?f5 T 2 2 [3] > Ö-35 Förenla Ö-36 Sriv med heltalsnämnare: A : [1] [2] [3] @ < <-3 < [] @ : Ö-37 Förenla Ö-38 Förenla följande uttryc (och angiv definitionsmängd): %, om h och = [1] 7 9 %, om och = [2] 6< < [3] % 3T >, om h och = [3] [] % 3T >, om och [] 1 [5] 1 [6] 9 [7] 6-3 vationen OBS har för = två olia reella œd ÄÃ för š Ã Man sriver xempel vationen A xempel D, dvs D, 3 A har rötterna T3T sanar lösning, Àš 18

19 Æ Æ Æ Æ Æ 8 Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Ö-39 Lös evationen Ö-0 Lös evationen [1] [2] T [3] " 7" " 7 D " 16 Ice-reella tal Komplexa tal vationen sanar reella rötter om b b "Æ b, där Æ Man an nu (något oegentligt) sriva: b à baç b Æ Däremot har den ice-reella (imaginära) xempel vationen = har rötterna Å = dvs tt omplext tal an srivs på formen È Æ, där È och är reella tal och Æ är den imaginära enheten, som satisfierar evationen Æ xempel ]6 Š Konjugatregeln Œ A Ö-1 Lös evationen Ö-2 Sriv på formen È [1] =A [1] " [2] m D [2] ]6 [3] J: T< " [3] _36 [] f [] 3 " 3= [5] 5 m r Æ 19

20 ¹ Ï Ê Ê < Ê Æ 17 Andragradsevationer Fatoruppdelning av andragradspolynom n adragradsevation cb r an, då Àp r, srivas på normalform: * ¼É " n andragradsevation på normalform, h fà ", an lösas genom vadratomplettering: 7ËÊ *Ì Ê *Ì r µ Ên9 *Ì *Ì Alltså gäller att: vationen m 9 D har rötterna Å ŽÍ Ì Dessa rötter och är [1] Reella och olia, om 3 [2] Reella och lia, om 3 r [3] Ice-reella och olia, om 3 OBS Om D, har evationen Î D en rot r, samt roten xempel Beräna rötterna till evationen < Lösning: vationen an srivas på normalform: 1 ", och har rötterna Å Alltså är rötterna Ï <9 ŽÍ xempel vationen : " Å <*Ì < < Ê < < <*Ì D har A < T< OBS Kontrollera alltid svaret genom insättning i den givna evationen < < <9 < 20

21 Ñ Ö-3 Bestäm rötterna till evationerna Ö- Lös evationerna, dvs bestäm alla rötter: [1] : < r [1] 7: " [2] 9;: [2] 9 D [3] < D [3] < [] n [] ;: r (Sätt här [5] < D [5] [6] A " : D [7] : D Fatoruppdelning (av andragradspolynom) Om evationen Ð = r har rötterna och, så an polynomet Ð fatoruppdelas: ] Anmärning: Om 3T, så är och ice-reella och i så fall an 9 ej fatoruppdelas med reella tal (Därmot an ¾ c alltid fatoruppdelas med omplexa tal) ~ ) xempel Fatoruppdela polynomet Ñ Lösning: får Rötterna är alltså 8 Alltså är Å 3 Lös därför först evationen ŽÍ n J: Ê 7 *Ì n, varför ]6 &r r Man 21

22 d < < Æ Ö-5 Fatoruppdela (med reella tal): Ö-6 Angiv en andragradsevation med rötterna: [1] [1] 1 och = [2] : º och [3] m [3] Æ och [] 2 2 [5] : 9 18 Fatorsatsen vationer av större gradtal än två Sats Fatorsatsen Om är ett polynom i och Ò, dvs om är en rot till polynomevationen Ó, så är en fator i, dvs %J där är ett polynom av en enhet lägre grad än xempel Lös evationen 1 Tnm T 5< D Lösning: fter prövning (av tex d edbtbtbt ) finner man att är en rot, ty T }T 5< Ë nligt fatorsatsen är alltså polynomet 1 Tn T h 5< delbart med? " Division (av polynom, se 12) ger 1 n 9 5< 7" ] < Tredjegradsevaitonens övriga rötter fås ur evationen 5< alltså Å 1 : 5< :, dvs och 1 Svar: vationen har fötterna, och 1 Tillägg: Vi har alltså fatoruppdelningen 1 n Ô 5< <Tn OBS n tredjegradsevation har alltid tre rötter (lia eller olia) D Man får D n 22

23 ) š Ö-7 Lös evationerna Ö-8 Fatoruppdela (med reella tal): [1] 1 2 r [1] 1 2 [2] 1 " [2] 1 [3] 1 ;: r [3] 1 ;: [] 1 m D [] 1 m Ö-9 Lös evationerna Ö-50 Fatoruppdela [1] r [1] 1 [2] D [2] 1 n [3] D [3] 1 : W$ $ :T$ 19 Oliheter xempel För vila är 1 n 5<? Lösning: Oliheten an srivas 1 n T h 5< (Ha alltid för vana att flytta över termer, så att ena ledet blir noll) nligt exempel ovan har vi fatoruppdelningen 9 n <Tn Tecenstudium ger nu: Svar: Oliheten gäller för xempel För vila är 7" š Lösning: Oliheten an srivas )? och för < 7" Õ, där 7 ] I Õ har vi endast fatoruppdelat täljaren Tecenstudium av ger nu: Svar: Oliheten gäller för = ½Ö och för qš¼ OBS Den givna oliheten ( i senaste exemplet) får ej srivas 9" š, dvs oliheten får ej 23

24 Ú Ú > 8 µ µ Ú multipliceras med, ty an vara negativt h  %œb } %Jb d Allmänt gäller att 8 h  %œb %Jb d om b om b Ö-51 För vila gäller följande oliheter? Ö-52 För vila gäller följande oliheter? [1] ¼ [1] 7" _3 š [2] ½ [2] 6 _3 ½ [3] Àš [3] 3 qš [] š [5] 1m: < [6] : ½ < Ø :te roten ur ett reellt tal Allmänna potenser Med Û menas den reella (och positiva, om s Alltså är Ù Ú s, Ú ] s För den vanliga vadratroten gäller Ü för š potensuttrycet Wu Ü s (med rationell exponent ƒû¾3 ) genom u Ü s u Ü s satisfierar (de allmänna) potens- och exponentiallagarna: Potens- och exponentiallagarna ) % + ) 3T + ) + g ) 3T ) ) v + ) + ) x + ) % ) ) 3T ) jämnt heltal) roten till evationen definieras Man an visa att u Anmärning: Den andra lagen ger speciellt 3TN+ +, om D xempel Förenal Ý Lösning: Þ 6 % Ù, Ù Ý 6 ß, Ù Ý ß, x Ù Ý Ù à 2

25 ) ) ) ~ > Þ > Ö-53 Förenla Ö-5 Förenla [1] 2 à A [1] [2] á [2] 2 T Ü 1 [3] < [] A Ü % A o á à [] «A [5] 5T á ˆ3 á [5] : Man an allmänt definiera uttrycet ) för 9 och alla reella, så att ) satisfierar potenslagarna ovan ) allas for en potens av, där allas bas och exponent Av speciellt intresse är den (naturliga) exponentialfuntionen ) edˆ med basen 25T2ÄtBtBt För allmänt ) gäller bla att [1] ) [2] Wo [3] i för alla för alla ) är växande (för växande ) om avtagande (för växande ) om, och OBS Man siljer på a) potensfuntionen i och b) exponentialfuntionen i ) xempel Lös evationen ) % ) v xempel Lösning: vationen ) % ) v an srivas ) % % 5, dvs ) % eller ), varför Lös evationen ) ) D Lösning: Sätt ~ Då erhålles andragradsevationen ~T ~ " med rötterna ~ och ~ f Man får nu två fall: [1] ~ ger " f [2] är en orimlighet, eftersom ) för alla reella tal Svar: D 25

26 ) ) ) ) 1 : t ) Ö-55 Bestäm reella lösningar till Ö-56 Bestäm reella lösningar till [1] ) 2 [1] ) ) D (Sätt [2] ) v ) : [2] ) ) " D [3] A ) 3T [3] ) % ) 2 D [] % ) v [] ) v A % ) r [5] ) v % ) etâ< ~ ) 111 Logaritmer För tio-logaritmen IMã$ och naturliga logaritmen ILKÄ$ gäller IMã$ µ $ ), för $ IMKÄ$ µ $ ) r, för $ OBS För att ILãT$ resp IMKÄ$ sall vara definierat rävs alltså att $ IMã d ILã D ty tex $ d IMK Y d IMK " ) µ IMã d ILã5$ Speciellt är r Av formlerna ovan följer ocså diret att ILã och ILK för alla reella äÿåœæ= xempel xempel xempel xempel $ ž + och nä IMã ILã^ T IMã t ILã ILK Ü = Lös evationerna [1] %JILKw [2] % $ för alla $ 3 Lösning: [1] %JILKw [2] % µ IMKw µ t»< tâ< µ µ á ILK Dtâ<ç Dtè 26

27 t µ ä 1 ) Ö-57 Förenla Ö-58 Förenla [1] ILã` T [1] ILK [2] ILã [2] ILK ß [3] 1 á äÿå [3] ILK [] o á ž äÿå [] ä ž á [5] Ö-59 Lös evationerna Ö-60 Bestäm reella lösningar till: [1] ILã " [1] [2] ILKw [2] %5 [3] %JILãm [3] %5 ) " ) v [] ) < ) ;: r [5] %5 ) ) : Ur potenslagarna an man härleda följande logaritmlagar (för $ och ~ Sats Av lag 2 följer speciellt att OBS ILK $ ~ [1] ILK $&% ~ ILKÄ$ ILK ~ [2] ILK +é ILKÄ$ IMK ~ [3] ILKÄ$aê Ô%BILKÄ$ Logaritmlagarna Motsvarande lagar gäller ocså för tio-logaritmen, ILã ILK ~ ILK ~ är inte lia med IMKÄ$ ILK ~ (Mycet vanligt fel att tro motsatsen) : D ): xempel Lös evationen %JIMãm %BIMã Lösning: För att IMãT sall vara definierat rävs att gäller enligt logaritmlagarna, att %JIMãT %JIMã 2 µ µ ILã ILã 1 < µ < µ ILã Ê < < ty 2 Ì µ <3T< 27

28 Y Ö-61 Förenla Ö-62 Sö reella lösningar till evationerna [1] ILã 2 IMã 2 [2] ILK 52 : %JILK %BILK [3] ILã 2 : [] ILK 3TA [5] ILK IMK < ILK Ä ILK T [6] ILã t t»< IMã IMã` t»2 IMã [1] ILKw7 %BIMK ILK < [2] IMãy IMã [3] ILK " IMKw 1 : IMK [] ILK IMKl IMK [5] ILK " ILK ILK [6] ILã ƒ IMã 9 IMã 2 Trigonometri 21 Vinelmätning Vinlar an mätas i (delar av) varv, grader eller radianer Med 1 radian menas storleen av centrumvineln i en cirelsetor, där periferibågen är lia lång som cirelns radie (Rita en figur) Sambanden mellan de olia enheterna är: varv QS3 2 Y radianer och 1 radian= 2 3aQqç¼< etë Y (Ofta sriver man inte ut enheten radian, utan sriver tex A Y : Yz œq radianer Härav fås: QS3 ) Ö-63 Bestäm grader och radianer för Ö-6 Bestäm grader och radianer för [1] 3 varv [1] 3 varv [2] 3T varv [2] =< varv (Rita figur) Ö-65 Omvandla till radianer Ö-66 Omvandla till grader [1] g< Y [1] QS3 : [2] < Y [2] `QS3T2 [3] : Y [3] T Qì3 [] Y [] =<aq 28

29 í O Q 22 Rätvinliga trianglar I en rätvinlig triangel är en vinel A Qì3 Y den tredje vineln QS3, eftersom vinelsumman i en triangel är 2 YÄ (radianer) Om en av de övriga vinlarna är, blir Vineln QS3T allas omplementvineln till Den sida som står mot den räta vinlen allas hypotenusa och de båda övriga sidorna allas ateter För rätvinliga trianglar gäller Pythagoras sats: Sats Pythagoras sats QS3T De trigonometrisa funtionerna definieras (för ): DFINITION O-P K ƒ e3 b motstånende atet _3 hypotenusa Zn\ 3 O^ b närliggande atet -3 hypotenusa UWVTK 3T motstående atet _3 närliggande atet Zn\ U 3T närliggande atet _3 motstående atet Härur fås: bl% O_P K dw %BUWVTK dw UWVTK Ÿž5ï îí ð ñ ï bl% Zn\ O^ % Zn\ U, samt att ð ñóò ï För omplementvinlen ( Qì3 O-P K QS3T UWVTK QS3 Man erhåller ocså: Zn\ dnz]\ RQS3 Z]\ O^ U dnzn\ U RQS3 ) gäller: O-P K UWV K Trigonometrisa ettan b Sats O_P K Zn\ O OBS O-P K O_P K (Fås diret ur Pythagoras sats) O_P K % O_P K Ç O-P K är ej lia med O-P K 29

30 Y b A Y b Y ç 3 < xempel Solvera en rätvinlig traingel med sidor och vinlar som inte är givna Lösning: Vinlen õ Y ô : < Y Nu är O-P K ô t O-P K ô O-P K < (O-P K < Vidare är UWV K e3 ô, varför e3 UNVTK ô Svar: õ : < d b ç¼ et, och wç : të t och ô T< 3 b, varför sidan t ç et të5t Y fås med ränedosa, ränestica eller ur tabell) ç³ t (längdenheter) tè :: ç Y (se figur), dvs bestäm de : tè xempel Bestäm O-P K och Zn\ O, om UWVTK Lösning: 53< och Rita en rätvinlig triangel med ateterna nligt Pythagoras sats är hypotenusan T varför O-P K QS3T dnz]\ O^ Då är UNVTK T 53T< Ö-67 Solvera följande rätvinliga trianglar (betecningar enligt figur ovan): [1] b [2] [3] [] [5] [6] t : och ô t och t och t»< õ och et»< õ och et» b och ô QS3T Ö-68 Bestäm (för av: Y [1] Z]\ O och UNVTK, om O-P K 3T Rita en rätvinlig triangel med och t b [2] O-P K och UWVTK, om Zn\ 3T 5< O Y [3] O-P K och Zn\ O^, om UWVTK <3 Y [] O-P K och Zn\ O^, om Zn\ U të t»< D ) exata värdet (Ledning: ) 30

31 : O O O Q Q Q Q Vi härleder nu de trigonometrisa funtionernas värden för g< d : Y Y och TY (Om man inte an dessa värden utantill, måste man snabbt unna göra en härledning) För och g< QS3 Y, samt hypotenusan b är den rätvinliga triangeln (figur 1 ovan) en halv vadrat Då varför: O_P K g< Y Z]\ g< Y UNVTK g< Y Z]\ U g< Y O_P K Z]\ UNVTK Z]\ U QS3 För Y an den rätvinliga triangeln uppfattas som en halv lisidig triangel (figur 2 ovan) (I en lisidig triangel är alla vinlarna lia med : Y, varför vinlarna i en halv lisidig triangel är : dwa Y Y och Y ) Alltså är hypotenusan b T och Pythagoras sats varför: O_P K`: Y Z]\ O : Y UNVTK`: Y Z]\ U: Y O-P K Z]\ UNVTK Z]\ U @ För Y Qì3 : erhålles under betratande av samma figur som för : Y : 31

32 O Y O Q Q í O_P K Y Z]\ Y UNVTK Y Z]\ U Y O-P K Z]\ UNVTK Z]\ U : : Q :º @ ty O-P K TY =(motsående atet)/(hypotenusan)= 3T 3 osv Ö-69 Bestäm exata värdet av Ö-70 Förenla [1] Zn\ O UWV K Y Y [2] ƒz]\ O Y O-P K _3ƒZ]\ Y O : Y [3] UNVTK(: Zn\ Y O _3 UNVTK g< Y O-P K : TY O-P K TY [1] ð ñ Ü í ëö %B Ÿž Ü»ö 1 (Ledning: använd potenslagarna) [2] òl ž Ü ëö %B ð ñ Ü í ëö [3] Ÿž Ü í»ö v ð ñ Ü í ëö 1 3 òø ž Ü ëö v ð ñóò Ü»ö 23 De trigonometrisa funtionerna för godtycliga vinlar n vinel ränas positiv om den mäts moturs, och negativ om den mäts medurs, vanligen ränat från positiva -axeln Antag, att d $ är en punt på enhetscireln, vars evation är ;$ De trigonometrisa funtionerna för godtycliga vinlar definieras genom: 32

33 d 8 8 O $ O Q d O O p p 3 O DFINITION O-P K Zn\ O UWVTK Zn\ O $ 3 för p dó 3 $ r för $ p dù D dvs dvs QS3T ; QS QS QS3 Vi ser att definitionerna stämmer överens med de tidigare givna för, dvs för d $ (Rita figur) ftersom O-P K $, är O_P K positivt för vinlar i första och andra vadraten och negativt i tredje och fjärde Linande regler för Z]\ d O UNVTK dnz]\ U : Av definitionerna ovan följer diret att Sats [1] UNVTK O_P K 3mZn\ O^ 3mZ]\ U och Zn\ U Z]\ O O_P K 3 UWV K [2] ½ O-P K ½¼ och ½ Z]\ O^ ½¼ Š för alla vinlar Œ [3] O_P K D O_P K QS3T d O_P K Q r O_P K Qì3 d O-P K aq D [] Z]\ O dnz]\ QS3 dnzn\ dnz]\ QS3T dnz]\ aq D " [5] O_P K O-P K F% aqs och Zn\ Z]\ O^ F% aqì [6] O_P K Zn\ O [Trigonometrisa ettan], för varje heltal 33

34 O 8 O 3 3 O Q Q xempel Bestäm exat: Z]\ ƒ5 aqs3 O : ) Lösning: Z]\ ƒ5 aqs3 : Zn\ Qì3 : % aqs xempel Bestäm O-P K och Zn\ O, om Zn\ U Lösning: Med hälp av formeln Zn\ U Zn\ O^ O_P K samt triogometrisa ettan får man evationssystemet Zn\ O( O-P K Zn\ O O_P K Zn\ RQS3 : och 3T med lösningar 8 ftersom ligger i andra vadranten, där Zn\ O^ och O_P K Z]\ < Svar: O^ och O_P K < Ö-71 I vilen vadrant hamnar följande vinlar? Ö-72 Bestäm exat [1] TQS3T [1] Zn\ Q O [2] Y [2] O-P K aqs3 [3] < QS3 [3] O-P K T QS3 g [] aqs3 : [] Zn\?=T QS3 5 O [5] Y [5] UWV K?fA QS3ag [6] Qì3T [6] Zn\ U? QS3T5 Zn\ O O-P K ³ú < <, fås Ö-73 Visa att Ö-7 Visa (för godtycliga heltal ) att [1] 3mZn\ O [2] 3 O-P K UNVTK [1] O-P K` Q Zn\ U- D [2] Zn\ Q? O s [3] O-P K 6Ô QS3Ta [] Zn\ O MÔ" QS3œ D s Ö-75 Bestäm exat Ö-76 Beräna exat [1] O_P K och UNVTK, om Zn\ 53 aq O [2] Z]\ O^ och UWVTK, om O_P K û andra vadranten [3] O-P K och Zn\ O^, om QS3T UWVTK [] O-P K och UWVTK, om Zn\ O^ och QS3 të och är i, och Q 3 [1] O-P K Zn\ O^, om QS3T UWVTK [2] O_P K Zn\ O^, om Zn\ U [3] UWVTK Zn\ U, om O_P K Qì3 œq g3t och =3 och QS3T g<, och 3

35 8 8 O O O O Några enla trigonometrisa formler Sats 8 O_P K O_P K Z]\ Zn\ O^ O_P K Q¾ O-P K Z]\ O_P K RQS3= Zn\ Z]\ RQS3 O^ O-P K O_P K QS O_P K Z]\ Qì ÀZn\ O( UNVTK? UNVTK Z]\ U ÀZ]\ U Q¾ qzn\ O UWVTK QS3 Z]\ U Zn\ U QS3= UNVTK UWVTK QS UWV K Zn\ U QS Z]\ U Dessa formler an härledas med hjälp av spegling (se lärobo från gymnasiet) 35

36 O xempel 6<aQS3 : Bestäm Zn\ O Lösning: <œqs3 : ligger i andra vadranten Använd formeln Zn\ O Z]\ O Ê <aq : Ì ÀZ]\ O Ê Q¾ <aq : Ì ÀZ]\ O Ê ÀZn\ Q : Ì Vi får alltså xempel O_P K Ê 5<aQ Ì O-P K Ê : % aq¾ Q Ì O_P K Ê Q Ì O_P K Ê Q Ö-77 Bestäm exat Ö-78 Bestäm exat [1] O-P K?`QS3 g [1] O-P K Y [2] O-P K 6<aQì3 : [2] Zn\ O Y [3] UWVTK?`QS3T5 [3] O-P K? < TY [] Zn\ 6<aQì3 g O [] UWV K Y [5] Zn\?= aqs3 O : [6] UWVTK 6aQS3 5 Ö-79 Bestäm exat Ö-80 Visa (utgående från formlerna ovan) att [1] O-P K œqs3t5 [2] UWVTK 6 <aqì3 g [3] Zn\ 6< QS3T5 O [] Zn\ U? Qì3T5 [1] UWV K Q¾ [2] Zn\ U Q¾ Av formlerna ovan (i detta och föregående avsnitt) erhålles: K K È È È È Q È Sats (1) O_P O-P Èhµ Ð% œq Q Ð% aq (2) Z]\ Z]\ O^ O^Èhµ Ð% aq Ð% aq (3) UNVTK UNVTK Èhµ Ð% eller eller UNVTK ÀZ]\ U I samtliga formler ovan är ett godtycligt heltal 36

MATEMATIK. blivande teknologer. Rolf Pettersson. Grafisk formgivning: Lennart Jörelid. Chalmers tekniska högskola

MATEMATIK. blivande teknologer. Rolf Pettersson. Grafisk formgivning: Lennart Jörelid. Chalmers tekniska högskola MATMATI ort förberedande material för blivande tenologer av Rolf Pettersson Grafis formgivning: Lennart Jörelid halmers tenisa högsola Till dig som söer till högre tenis utbildning Somduvetförutsätterstudieritenisaämnengodaunsaperimatematinstordelav

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

Matematik 5 Kap 1 Diskret matematik I

Matematik 5 Kap 1 Diskret matematik I Matemati 5 Kap 1 Disret matemati I Inledning Konretisering av ämnesplan (län) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matemati/strutur_äm nesplan_matemati/strutur_ämnesplan_matemati.html Inledande ativitet

Läs mer

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n Årgång 48, 1965 Första häftet 2505. Låt M = {p 1, p 2,..., p k } vara en mängd med k element. Vidare betecknar M 1, M 2,..., M n olika delmängder till M, alla bestående av tre element. Det gäller alltså

Läs mer

Upphämtningskurs i matematik

Upphämtningskurs i matematik Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna

Läs mer

a k . Serien, som formellt är följden av delsummor

a k . Serien, som formellt är följden av delsummor Kapitel S Mer om serier I dettapitel sall vi fortsätta att studera serier, ett begrepp som introducerades i Kapitel 9.5 i boen, framförallt sa vi bevisa ett antal onvergensriterier. Mycet ommer att vara

Läs mer

Algebraiska räkningar

Algebraiska räkningar Kapitel 1 Algebraiska räkningar 1.1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller bl.a. följande enkla räkneregler, som man väl använder utan att speciellt tänka på dem:

Läs mer

Identification Label. Student ID: Student Name: Elevenkät Fysik. Skolverket Bo Palaszewski, Projektledare 106 20 Stockholm

Identification Label. Student ID: Student Name: Elevenkät Fysik. Skolverket Bo Palaszewski, Projektledare 106 20 Stockholm Identification Label Student ID: h Student Name: Elevenät Fysi Solveret Bo Palaszewsi, Proetledare 106 20 Stocholm International Association for the Evaluation of Educational Achievement Copyright IEA,

Läs mer

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer)

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Faktorsatsen 1. Pettersson: teori och exempel på sid. 21-22 Det intressanta är följande idé: Om man på något sätt (Vilket det är en annan fråga, se nedan!) har

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

RSA-kryptering. Torbjörn Tambour

RSA-kryptering. Torbjörn Tambour RSA-rytering Torbjörn Tambour RSA-metoden för rytering har den seciella och betydelsefulla egensaen att metoden för rytering är offentlig, medan metoden för derytering är hemlig. Detta an om man funderar

Läs mer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus

Läs mer

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs. Problemtentamen

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs. Problemtentamen 013-03-14 Tentamen i Meani SG1130, basurs. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och srivdon får användas KTH Meani 1. Problemtentamen En ub med massa m står lutad mot en vertial sträv vägg och med stöd på

Läs mer

Diagnostiskt test 1 tid: 2 timmar

Diagnostiskt test 1 tid: 2 timmar Diagnostist test tid: timmar Detta är ditt första diagnostisa test i matemati å den är reetitionsursen. Ge dig själv oäng för varje rätt svar. (ge inga ½ oäng). edömning: - oäng Du ar tillräcliga förunsaer

Läs mer

Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd

Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd Block 4 - Funktioner Funktionsbegreppet Definitionsmängd Värdemängd Grafen för en funktion Polynom Konstanta polynom Linjära polynom Andragradspolynom Potenser, exponential- och logaritmfunktioner Potensfunktioner

Läs mer

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar 1 Tisdag v 2 Speglingar, translationer och skalningar Ofta i matematik och i matematiska kurser är det så att man måste kunna några grundläggande exempel utantill och man måste kunna några regler som säger

Läs mer

SF2715 Tillämpad kombinatorik Kompletterande material och övningsuppgifter Del I

SF2715 Tillämpad kombinatorik Kompletterande material och övningsuppgifter Del I SF2715 Tillämpad ombinatori Kompletterande material och övningsuppgifter Del I Jaob Jonsson 2 augusti 2009 Detta häfte innehåller ompletterande material till Del I av ursen SF2715 Tillämpad ombinatori,

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a 2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda

Läs mer

Enklare uppgifter, avsedda för skolstadiet.

Enklare uppgifter, avsedda för skolstadiet. Årgång 11, 1927 Första häftet 265. Lös ekvationssystemet { x 3 5x + 2y = 0 y 3 + 2x 5y = 0 266. Visa att uttrycket na n+1 (n + 1)a n + 1 där a och n äro positiva hela tal och a > 2, alltid innehåller en

Läs mer

Multiplikationsprincipen

Multiplikationsprincipen Kombiatori Kombiatori hadlar oftast om att räa hur måga arragemag det fis av e viss typ. Multipliatiospricipe Atag att vi är på e restaurag för att provsmaa trerättersmåltider. Om det fis fyra förrätter

Läs mer

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper Sommarmatte del 2 Matematiska Vetenskaper 7 april 2009 Innehåll 5 Ekvationer och olikheter 1 5.1 Komplea tal.............................. 1 5.1.1 Algebraisk definition, imaginära rötter............. 1

Läs mer

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson ATT KUNNA TILL MA1203 Matte C 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov C1 Kunna kvadreringsreglerna! (...utan att titta i formelsamlingen) Kunna konjugatregeln! (...utan

Läs mer

Kvalificeringstävling den 30 september 2008

Kvalificeringstävling den 30 september 2008 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre

Läs mer

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

Komplexa tal: Begrepp och definitioner UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,

Läs mer

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013 Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter

Läs mer

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Modul 1 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation

Läs mer

Parabeln och vad man kan ha den till

Parabeln och vad man kan ha den till Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I det här dokumentet diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Repetitionsuppgifter i matematik De fyra enkla räknesätten Här övar vi på de fyra räknesätten för hela tal (positiva och negativa), tal i bråkform och tal i decimalform Bestäm de tal på tallinjen, som

Läs mer

Complex numbers. William Sandqvist

Complex numbers. William Sandqvist Complex numbers Hur många lösningar har en andragradsekvation? y = x 2 1 = 0 Två lösningar! Kommer Du ihåg konjugatregeln? Svaret kan ju lika gärna skrivas: x 1 = 1 x2 = + 1 Hur många lösningar har den

Läs mer

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra Matematik 1a Centralt innehåll Metoder för beräkningar med reella tal skrivna på olika former inom vardagslivet och karaktärsämnena, inklusive överslagsräkning, huvudräkning och uppskattning samt strategier

Läs mer

lena Alfredsson kajsa bråting patrik erixon hans heikne Matematik kurs 3c blå lärobok natur & kultur

lena Alfredsson kajsa bråting patrik erixon hans heikne Matematik kurs 3c blå lärobok natur & kultur lena Alfredsson kajsa bråting patrik erion hans heikne Matematik 5000 kurs c blå lärobok natur & kultur NATUR & KULTUR Bo 7, 0 5 Stockholm Kundtjänst: Tel 08-5 85 00, order@nok.se Redaktion: Tel 08-5 86

Läs mer

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1 FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1 Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet Ger studiepoäng Kostnadsfritt Fortlöpande anmälan på wwwmathse Eftertryck förbjudet utan tillåtelse 2007 MATHSE

Läs mer

geometri ma B 2009-08-26

geometri ma B 2009-08-26 OP-matematik opyright Tord Persson geometri ma 2009-08-26 Uppgift nr 1 Uppgift nr 3 26 13 z s Hur stor är vinkeln z i den här figuren? Uppgift nr 2 Hur stor är vinkeln s i den här figuren? Uppgift nr 4

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 44, 1961 Årgång 44, 1961 Första häftet 2298. Beräkna för en triangel (med vanliga beteckningar) ( (b 2 + c 2 )sin2a) : T (V. Thébault.) 2299. I den vid A rätvinkliga triangeln OAB är OA

Läs mer

MATMAT01b (Matematik 1b)

MATMAT01b (Matematik 1b) Sida 1 av 6 MATMAT01b (Matematik 1b) ATT KUNNA TILL PROV MATMAT01b1 - Öka, respektive minska temperaturer - Skriva tal skrivna med text med siffror, Ex två tiondelar = 0,2 - Hitta på två bråk som ger en

Läs mer

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter TM-Matematik Mikael Forsberg 074-42 Pär Hemström 026-648962 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma04a 202 06 04 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011

ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011 ÖVNINGAR I MATEMATIK Göran Forsling 4 april 0 Förord. Tänker du börja studera på ett tekniskt/naturvetenskapligt program till hösten? Vill du ge dina studier en flygande start? I stort sett vilken teknisk/naturvetenskaplig

Läs mer

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1 TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvu ISBN 91-27-51027-1 Förord Vår ambition med denna studiehandledning är att den skall guida dig genom boken Matematik 3000 kurs C/Komvu av Lars-Eric Björk,

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för

Läs mer

KVADRATISKA FORMER. Definition 1. ( av en kvadratisk form) En kvadratisk form är ett uttryck av typ. Några exempel på kvadratiska former:

KVADRATISKA FORMER. Definition 1. ( av en kvadratisk form) En kvadratisk form är ett uttryck av typ. Några exempel på kvadratiska former: KVADRAISKA FORMER Definition. ( av en vadratis form) En vadratis form är ett uttryc av typ nn nn aa iiii xx ii xx jj ii= jj= Några exempel på vadratisa former: QQ = 4xx + 5xx xx + 8xx xx 3 + 9xx + xx xx

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 41, 1958 Årgång 41, 1958 Första häftet 143. I en given cirkel är inskriven en triangel ABC, i vilken b + c = ma, där m är ett givet tal > 1. Sök enveloppen för linjen BC, då hörnet A är

Läs mer

GYMNASIEMATEMATIK FÖR LÄKARSTUDENTER

GYMNASIEMATEMATIK FÖR LÄKARSTUDENTER 2015-09-02 GYMNASIEMATEMATIK FÖR LÄKARSTUDENTER Nils Karlsson INDEX MATEMATISKA TAL...2 Värdesiffror...2 Absolutbelopp...3 Skala...3 STATISTIK...4 Lägesmått...4 Spridningsmått...4 Normalfördelning...4

Läs mer

Ekvationer och olikheter

Ekvationer och olikheter Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Z

Sammanfattningar Matematikboken Z Sammanfattningar Matematikboken Z KAPitel procent och statistik Procent Ordet procent betyder hundradel och anger hur stor del av det hela som något är. Procentform och 45 % = 0,45 6,5 % = 0,065 decimalform

Läs mer

14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek.

14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek. PASS 10. FUNKTIONER 10.1 Grundbegrepp om funktioner Mamman i den finländska modellfamiljen från pass fyra brukade dammsuga det 100 m 2 stora huset varje lördag. Det tog 30 minuter. Efter att pappan hade

Läs mer

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett

Läs mer

6.2 Implicit derivering

6.2 Implicit derivering 6. Implicit derivering 6 ANALYS 6. Implicit derivering Gränsvärden, som vi just tittat på, är ju en fundamental del av begreppet derivata, och i mattekurserna i gymnasiet har vi roat oss med att hitta

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

Svar och arbeta vidare med Student 2008

Svar och arbeta vidare med Student 2008 Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att

Läs mer

Sidor i boken Figur 1:

Sidor i boken Figur 1: Sidor i boken 5-6 Mer trigonometri Detta bör du kunna utantill Figur 1: Triangeln till vänster är en halv liksidig triangel. Varje triangel med vinklarna 0,60,90 är en halv liksidig triangel. Hypotenusan

Läs mer

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande

Läs mer

Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer

Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer LMA100 VT2005 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare Karlstads universitet 19-0 april Exempel på elevaktiviteter framtagna i skolutvecklingsprojektet IKT och lärande i matematik 1

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

Förord till läraren. 1. Mer praktisk information

Förord till läraren. 1. Mer praktisk information 10 Förord till läraren Förord till studenten innehåller praktisk information om bokens uppbyggnad. Det gäller exempel, teknikproblem, bevis, dialoger, rekommenderade övningar, matematiska fortsättningar,

Läs mer

Tentamen i Envariabelanalys 1

Tentamen i Envariabelanalys 1 Liöpigs uiversitet Matematisa istitutioe Matemati och tillämpad matemati Kursod: TATA4 Provod: TEN Iga hjälpmedel är tillåta. Tetame i Evariabelaalys 4-4-3 l 4 9 Lösigara sall vara fullstädiga, välmotiverade,

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7 TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg Tema: Pythagoras sats Linnéa Utterström & Malin Öberg Innehåll: Introduktion till Pythagoras sats! 3 Pythagoras sats! 4 Variabler! 5 Potenser! 5 Att komma tillbaka till ursprunget! 7 Vi bevisar Pythagoras

Läs mer

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Diskreta slumpvariabler En slumpvariabel tilldelar tal till samtliga utfall i ett slumpförsök. Vi

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013 SF625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

KURS A och B lärobok med övningsuppgifter Naturvetenskap och teknik. Sigurd Eriksson. Matematik DEL I. bearbetad av.

KURS A och B lärobok med övningsuppgifter Naturvetenskap och teknik. Sigurd Eriksson. Matematik DEL I. bearbetad av. KURS A och B lärobok med övningsuppgifter Naturvetenskap och teknik Sigurd Eriksson Matematik DEL I bearbetad av Lennart Gombrii Nyutgåva av Sigurd Eriksson Matematik I & II Del I Del II 325 exempel, 1365

Läs mer

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning Moment Begreppsbildning Mätningar och enheter Algebra och ekvationer Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Bedömningsgrunder för uppnåendemålen känna igen naturliga tal kunna positiva heltal:

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns):

Läs mer

TATM79: Föreläsning 3 Binomialsatsen och komplexa tal

TATM79: Föreläsning 3 Binomialsatsen och komplexa tal TATM79: Föreläsig 3 Biomialsatse och omplexa tal Joha Thim augusti 016 1 Biomialsatse Ett miestric för att omma ihåg biomialoefficieter (åtmistoe för rimligt små är Pascals triagel: 0 1 1 1 1 1 1 3 1 3

Läs mer

10. MEKANISKA SVÄNGNINGAR

10. MEKANISKA SVÄNGNINGAR 10. MEKANISKA SVÄNGNINGAR 10.1 Den enla harmonisa oscillatorn. Ett föremål med massan m, som hängs upp i en lätt fjäder, får svänga ring sitt jämvitsläge. Under svängningen påveras föremålet av en raft

Läs mer

Denna uppdelning är ovanlig i Sverige De hela talen (Både positiva och negativa) Irrationella tal (tal som ej går att skriva som bråk)

Denna uppdelning är ovanlig i Sverige De hela talen (Både positiva och negativa) Irrationella tal (tal som ej går att skriva som bråk) UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv 2006-10-24 SÄL 1-10p Avsnitt 1.1 Grundläggande begrepp Detta avsnitt behandlar de symboler som används

Läs mer

Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov

Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov År Startvecka 2013 2 Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov Vecka Lektion (2h) Datum Kapitel Avsnitt 2 Ti 08-jan Kap 1: Räta linjen

Läs mer

Lokala mål i matematik

Lokala mål i matematik Lokala mål i matematik År 6 År 7 År 8 År 9 Taluppfattning (aritmetik) förstår positionssystemets uppbyggnad med decimaler ex: kan skriva givna tal adderar decimaltal ex: 15,6 + 3,87 subtraherar decimaltal

Läs mer

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta 325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,

Läs mer

Tal Räknelagar. Sammanfattning Ma1

Tal Räknelagar. Sammanfattning Ma1 Tal Räknelagar Prioriteringsregler I uttryck med flera räknesätt beräknas uttrycket i följande ordning: 1. Parenteser 2. Potenser. Multiplikation och division. Addition och subtraktion Exempel: 5 22 1.

Läs mer

Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner.

Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. 1 (Bokens nr 3204) Ett straffkast i basket följer ekvationen h(x)

Läs mer

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1 Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer Carl-Henrik Fant E-post: carl-henrik.fant@chalmers.se Tel: 772 35 57 Kontor: L3037 i matematikhuset, Johanneberg Kursinnehåll i stora drag Funktioner

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2014-01-14 Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.

MATEMATIK Datum: 2014-01-14 Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel. MATEMATIK Datum: -- Tid: förmiddag Chalmers Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.: 7-88 Lösningar till tenta i TMV Analys och linjär algebra K/Bt/Kf,

Läs mer

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs D

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs D Studieanvisning till Matematik 3000 kurs D ISBN 91-27-51028-X Förord Vår ambition med denna studiehandledning är att den skall guida dig genom boken Matematik 3000 kurs D/Komvux av Lars-Eric Björk, Hans

Läs mer

Explorativ övning euklidisk geometri

Explorativ övning euklidisk geometri Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer

Läs mer

formler Centralt innehåll

formler Centralt innehåll Trigonometri och formler Centralt innehåll Trigonometriska uttrck. Bevis och användning av trigonometriska formler. Olika bevismetoder inom matematiken. Algebraiska metoder för att lösa trigonometriska

Läs mer

Experimentversion av Endimensionell analys 1

Experimentversion av Endimensionell analys 1 Matematikcentrum Matematik Eperimentversion av Endimensionell anals Alternativ eamination Under lp 999 kommer för Bi 99, L 99 och V 99 att ges en något modifierad kurs i Endimensionell anals. Kursen avviker

Läs mer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen

Läs mer

5 Klämkraft och monteringsmoment

5 Klämkraft och monteringsmoment 5 Klämraft och monteringsmoment 5 Klämraft och monteringsmoment Målsättningen med ett sruvförband är att sapa en lämraft mellan de sammanfogade delarna. Sruvförbandets målvärde är således dess lämraft.

Läs mer

TATM79: Föreläsning 3 Binomialsatsen och komplexa tal

TATM79: Föreläsning 3 Binomialsatsen och komplexa tal TATM79: Föreläsig 3 Biomialsatse och omplexa tal Joha Thim 7 september 015 1 Biomialsatse Ett miestric för att omma ihåg biomialoefficieter (åtmistoe för rimligt små är Pascals triagel: Pascals triagel

Läs mer

Förberedande kurs i matematik

Förberedande kurs i matematik Förberedande kurs i matematik vid Chalmers tekniska högskola Rolf Petterson Göteborg 04 ii Innehåll Algebraiska räkningar. Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal.............. Division

Läs mer

INDUKTION OCH DEDUKTION

INDUKTION OCH DEDUKTION Explorativ övning 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Syftet med övningen är att öka Din problemlösningsförmåga och bekanta Dig med olika bevismetoder. Vårt syfte är också att öva skriftlig framställning av matematisk

Läs mer

Studiehandledning till. MMA121 Matematisk grundkurs. Version 2012-09-03

Studiehandledning till. MMA121 Matematisk grundkurs. Version 2012-09-03 Studiehandledning till MMA Matematisk grundkurs läsåret 0/ Version 0-09-0 Kursinformation för MMA Mål Avsikten med kursen MMA Matematisk grundkurs är att ge grundläggande kunskaper i matematik, av betydelse

Läs mer

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal - " - " - " - " - - " - " - " - " -

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal -  -  -  -  - -  -  -  -  - År Startvecka Antal veckor 2013 34 18 Planering för ma 1b/c - ma 5000- boken OBS: För de i distansgruppen, meddela lärare innan prov. (justeringar för 1c ännu ej genomförda) Vecka Lektio n (2h) Datum Kapitel

Läs mer

SF1620 Matematik och modeller

SF1620 Matematik och modeller KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF1620 Matematik och modeller 2007-09-03 1 Första veckan Geometri med trigonometri Till att börja med kom trigometrin till för att hantera och lösa geometriska

Läs mer

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium. Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 39, 1956 Årgång 39, 1956 Första häftet 2028. En regelbunden dodekaeder och en regelbunden ikosaeder äro omskrivna kring samma klot (eller inskrivna i samma klot). Bestäm förhållandet mellan

Läs mer

BML131, Matematik I för tekniskt/naturvetenskapligt basår

BML131, Matematik I för tekniskt/naturvetenskapligt basår BML131 ht 2013 1 BML131, Matematik I för tekniskt/naturvetenskapligt basår Syfte och organisation Matematiken på basåret läses i två obligatoriska kurser; under första halvan av hösten BML131 (Matematik

Läs mer

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter TATM79: Föreläsning Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter Johan Thim 15 augusti 015 1 Absolutbelopp Absolutbelopp Definition. För varje reellt x definieras absolutbeloppet x enligt { x, x 0 x

Läs mer