MATEMATIK. av Rolf Pettersson. Grafisk Formgivning: Lennart Jörelid. Utgiven i juni 1999 Upplaga ex

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "MATEMATIK. av Rolf Pettersson. Grafisk Formgivning: Lennart Jörelid. Utgiven i juni 1999 Upplaga 10.000 ex"

Transkript

1 MATMATIK Kort förberedande urs för blivande tenologer av Rolf Pettersson Grafis Formgivning: Lennart Jörelid Utgiven i juni 1999 Upplaga ex entrala Studievägledningen halmers Tenisa Högsola Göteborg Tel

2 Till dig som söer till högre tenis utbildning Som du vet förutsätter studier i tenisa ämnen goda unsaper i matemati n stor del av det första året ägnas därför åt grundläggande matematisa ämnen Goda resultat i de teoretisa ämnena under första studieåret öar dina möjligheter till framgång i de fortsatta studierna Det första läsåret vid en högsola innebär alltid en stor omställning från gymnasiestudierna Har man då lucor i gymnasiematematien, an det bli rätt arbetsamt Om du inte är säer på att du redan har mycet goda unsaper i matemati, gör du lot i att förbereda dig ordentligt genom att repetera gymnasieursen och läsa in avsnitt som du anse tidigare försummat Hur gör jag då? Till hjälp får du detta ompendium Matemati ort förberedande urs för blivande tenologer Arbeta igenom det så grundligt, att du behärsar de olia avsnitten De många övningsexemplen ger dig möjlighet till nyttig räneträning I början av ompendiet finns dessutom ett diagnostist prov och i slutet en provräning med blandade uppgifter Kompendiet är avsett för c:a 50 timmars studier Ta avsnitten i den ordning du själv finner lämplig n metod är att först räna alla [1] och [2]-uppgifterna (ompendiet rat igenom) Sedan alla [3]-uppgifterna osv Har du bra betyg i matemati från gymnasiet och tror dig unna gymnasieursen gansa bra, an du försöa dig på sista uppgiften i varje övningsuppgift (Uppgifterna är i stort sett ordnade efter växande svårighetsgrad) Är det något eller några områden du speciellt behöver repetera, tex logaritmer, trigonometri eller derivering med hjälp av edjeregeln, an du i första hand oncentrera dig på dessa Det väsentliga är att du ränar (mindre väsentligt är vad du ränar) Sulle du öra fast på några uppgifter an du eventuellt få hjälp per telefon (se bilaga Upplysningar inför terminsstarten) tt syfte med ompendiet Matemati ort förberedande urs för blivande tenologer är att nöta in vissa formler, som du anse varit van att hitta i en formelsamling På tentamen vid de tenisa högsolorna ommer du inte att ha formelsamlingen till hands Försö därför att lara dig utan, när du löser övningsexemplen Kunsapsontroll? Du ommer inte att avrävas redovisning av de här repetitionsövningarna Däremot ommer du snart att mära, att du har stor nytta av förberedelsearbetet, även om högsolestudierna inleds med en repetitionsurs i matemati Lyca till Med Hälsningar från de Tenisa Högsolorna ii

3 Tillägg av författaren I detta ompendium behandlas i huvudsa de moment, som matematilärare vid tenisa högsolor ansett vara de mest grundläggande delarna av gymnasiematematien Den nuvarande gymnasieursen i matemati är gemensam för alla solor i landet, men olia solor och lärare betonar anse vissa delar mer eller mindre start Därför an några delar av ompendiet vara mer (eller mindre) välbeanta för dig Tips: Hoppa över avsnittet 3 om ellipser mm, ifall dessa begrepp inte behandlats i din gymnasieurs Observera ocså att ompendiet är avsett att väsentligen vara en repetition av matematien i delarna A, B, och D, som bruar genomgås de två första åren på gymnasiet Däremot repeteras vanligen del (med bla tillämpning av integraler och differentialevationer), samt en eventuell, frivillig del F, i samband med de ordinarie matematiurserna på de tenisa högsolorna Lyca till Rolf Pettersson Årets utgåva av Matemati ort förberedande urs för blivande tenologer är en grafist bearbetad upplaga av ett äldre, i huvudsa masinsrivet, original Jag har i samråd med författaren försöt ge häftet en så lättöversådlig och pedagogis utformning som möjligt, utan att förändra dess sainnehåll nämnvärt ftersom jag själv är tenolog vid F-setionen på halmers och därmed onfronterats en del med tenis urslitteratur, har jag strävat efter att ge häftet en utformning som i så hög grad som möjligt linar tenologens vardagslitteratur detta för att ge Dig en så smidig övergång som möjligt mellan gymansielitteraturen och de Tenisa Högsolornas tt gott råd är dessutom att verligen försöa lägga undan miniränaren då Du ränar dig i igenom häftet nligt min egen erfarenhet, var detta en av de verligt givande poängerna med att repetera gymnasiets matemati Förståelsen för de grundläggande tenisa matteurserna öar enormt om många av detta häftes formler och samband sitter i ryggmärgen Lyca till Lennart Jörelid iii

4 Innehåll DIAGNOSTISKT PROV 5 1 Algebraisa räningar 7 11 Addition, subtration och multipliation av reella tal 7 12 Division av reella tal Bråräning Lineära evationssystem 1 1 Absolutbelopp Kvadratroten ur ett positivt reellt tal Ice-reella tal Komplexa tal Andragradsevationer Fatoruppdelning av andragradspolynom Fatorsatsen vationer av större gradtal än två Oliheter :te roten ur ett reellt tal Allmänna potenser Logaritmer 25 2 Trigonometri Vinelmätning Rätvinliga trianglar De trigonometrisa funtionerna för godtycliga vinlar 31 2 Några enla trigonometrisa formler 3 25 Additions- och subtrationsformler Formler för dubbla resp halva vineln 37 3 Plan analytis geometri Avståndet mellan två punter Räta linjen ireln 1 3 llipsen, hyperbeln och parabeln 2 Funtionslära 1 Inledning 2 Derivatans definition 5 iv

5 3 nla deriveringsregler De elementära funtionernas derivator 6 Sammansatta funtioner Kedjeregeln 8 5 Tangent och normal till en urva 51 6 Maximi- och minimiproblem 52 PROVRÄKNING (Blandade exempel) 5 FAIT TILL ÖVNINGSUPPGIFTRNA 56 Facit till det diagnostisa provet 69 Facit till provräningen (blandade exempel) 69 v

6 A DIAGNOSTISKT PROV (Lämplig tid: cira 2 timmar) (Svar finns på sista sidan i ompendiet) [1] Förenla [2] Lös evationen " [3] Förenla så långt som möjligt: $&%('*) / +-, )0 ' / ) + 0 [] Förorta (om möjligt) i uttrycet [5] Dividera (med polynomdivision) så långt som möjligt 6 1 " [6] Lös evationssystemet 8 [7] Bestäm exat >? : 9;: $ 9 $ A [8] Bestäm rötterna till evationen [9] För vila gäller oliheten [10] Förenla H HN 3 %JILK A IMK 3 : IMK 1-3 ILK 3 =< %B [11] Angiv exata värdet av O-P K RQS3T5 UWVTK RQS3 : [12] Bestäm alla vinlar mellan Y och : F G D Y som satisfiera (samt förenla) H [Z]\ HN O^ O_P K 3 3 [13] [a] I en rätvinlig triangel är sinus för en vinel lia med 2/3 och den mot denna vinel stående sidan är 3 längdenheter Bestäm hypotenusans längd exat [b] Samma uppgift som ovan, om i stället tangens för vineln är 2/3 [1] Bestäm UNVTK exat, om UWV K` 3a [15] Angiv på formen = $`cb " en evation för räta linjen genom punterna edbf5 och d 6

7 i [16] vationen gh$ medelpunt och radie [17] Bestäm derivatan ij [18] Bestäm i j, om i ), 3 D [19] Bestäm på formen $ b den punt på urvan, där [20] Bestäm det största värde som i : betyder geometrist en cirel (i ett ortonormerat system) Bestäm (och förenla den), om 1 ) < D en evation för tangenten till urvan $ O_P Kl7 mzn\ O an anta för reella 1 i 7

8 1 Algebraisa räningar 11 Addition, subtration och multipliation av reella tal För reella tal gäller bla följande enla räneregler: & f & & & f l = %?f g Jd? %? Man definierar potenser med heltalsexponenter som: 5o för dn qp r % osv s % ftbtbt- ^d dvs produten av stycen fatorer ty Varav följer Potenslagarna u % s uw s g s uv s 5uyx s s s ftersom? och zh &{, så gäller att y{ ovs För att förtydliga ges nedan några exempel: { dj y{ 1 &{ 1, xempel xempel 5 T " T b 6T b & Tl} b T b 5 T T ;bm Tl b & b $ W~ 1 %?= $ 1 $ ~ %?f25 %n W$ 1 f2 o $ ~ 8

9 Š Ö-1 Förenla Ö-2 Beräna [1] A $ :a ~ $ A 9 ~ $ [1] [2] z"6t b [2] 1 [3] b " 6 T b "ƒl b T [3]?f5 []?= 1 [5]? g o Ö-3 Förenla Ö- Omforma (genom att multiplicera ihop parenteserna) [1] g 1 % 2 g [1] n [2] 6<T 5 W [2] 7" ] 1 [3] 1W$ % $e-( % $ [3] " n6 []?= W$1 ~ 1z% ~ y%? 1ˆ$ Följande vitiga formler bör man unna utantill: KVADRRINGSRGLRNA KUBRINGSRGLRNA KONJUGATRGLN ƒ ] ƒ ƒ ] 1 ƒ 1 &]] FAKTORUPPDLNINGARNA T g 1 T g 1 1 g 1 ]] ] &] nƒ g OBS dw g och g an ej fatoruppdelas med reella tal xempel Utvecla 6 7 ~ 1 Lösning: 9 ~ 1 Š uberingsregeln med och 1 % z% ~ % {% ~ ƒ ~ : ~ m < ~ ~ ~ BŒ xempel Fatoruppdela uttrycet 2 b 1 1ˆbˆ 2 Wbˆ1 Lösning: 2T b b 2T b 1 ŽŠ alla gemensamma fatorer bryts ut T bl% ƒa T g 1 b b Œ ŽŠ an vadreringsregeln användas? T bl% ƒ g 1 % g 1 % bm 6 b Œ Œ Š vadreringsregeln T ˆbl% ƒ g 1 b Œ 9

10 i i p o xempel Fatoruppdela uttrycet 2 $1 Lösning: 2 $ 1 ŽŠ Kan fatoruppdelningen för 1 1 $ 1 $ ] M % $y 1 användas? $ Œ $ n (F $ $ Ö-5 Utvecla Ö-6 Förenla [1] $ [1] ] 9 [2] 6< [2] T nt [3] $1 [3] 6 m 5n 5n A5 Ö-7 Utecla Ö-8 Uppdela i fatorer [1] $ 1 [1] A [2] <T [2] 7 [3] T 1 [3] 5 J: [] ƒ : 1 Ö-9 Uppdela i fatorer Ö-10 Uppdela i fatorer [1] 2 $ $ [1] 1 [2] 2 n [2] $ ~ $ [3] W$e1S $ 1W$e [3] 2 1W$ Polynom; Kvadratomplettering Med ett polynom (i ) menas ett uttryc av formen där s s s tntbt 7 dbtntbt dw o allas oefficienter för sedbtbtbt d o Om s säges vara av grad tt vitigt begrepp är vadratomplettering i andragradspolynom (jämför detta med lösning av andragradseationer [17]) Kvadratompletteringen ges av: 9 % %B9 " 7 " xempel Bestäm (genom vadratomplettering) minsta värdet av Lösning: " 7 m " Š vadratomplettera %B % 1 1 " 1 7 Œ 1 J

11 b b 2 ftersom 1 š vilet inträffar då för alla, med lihet om och endast om 1 1, inser man att iœ Ÿž, Ö-11 Kvadratomplettera Ö-12 Kvadratomplettera [1] [1] 7 [2] < [2] [3] $ 2 $ [3] J: Ä a [] $ $e [] m [5] m: $ $ " [5] $e ~ $ ~ Ö-13 Bestäm (genom vadratomplettering) minsta värdet av: Ö-1 Bestäm största värdet av [1] m [1] < [2] < [2] [3] 7 [3] 12 Division av reella tal Bråräning nligt definitionen på brå har förstagradsevationen % (an ocså srivas 3T ) för 7p bl% %œb Förortning och b % %Bb förlängning: (för b p Multipliation: Division, dubbelbrå: Addition, subtration: OBS nämlligen r För bråräning gäller bla följande regler: % D ) b b b b % 3T b 3 b ( b % % % och % %œb % den entydiga lösningen v är ej lia med (Alltför vanligt fel att tro motsatsen) Om tex v, medan Potenser med negativa exponenter definieras som b, är 11

12 Definition s s 5u s varav följer u s s u xempel Förenla uttrycet: Lösning: ª «] z e?? œƒl? l ƒl xempel Sriv 9" som ett brå (på så enel form som möjligt), Lösning: 9 9 7" n 7 Š Fatoruppdela nämnarna Œ h%b Š Förläng de olia bråen, så att de nya bråen får samma nämnare Vi har minsta gemensamma nämnare D %5 % 9 %B 7 % Tn T 7 ] Œ n 7 %5 ] % 9 9 n 9 Tn 1 g 12

13 Anmärning: Man an ocså (i ovanstående exempel) först addera två av bråen och sedan till summan addera det tredje brået Genomför dessa räningar Ö-15 Beräna Ö-16 Beräna [1] 1 % J 1 1 [2] -3 [1] 1 [2] 3T5 [3]?=< 1 Ö-17 Sriv som potens av 2 Ö-18 Förenla [1] 3T5 [1] $ -3 $ o [2] T253T [2] T 1 ;: g -3 g [3] 2T ˆ3 1 [3] $e ~ 1 < ~ $ < ~ W$ -3< $ ~ Ö-19 förenla Ö-20 Förorta (om möjligt) [1] ]_3 [1] g-3ƒ [2] ] 3z [2] ƒ _3 g [3] ] 3z [3] 1 _3 1 [] z e 3 1 [5] ] 3z 1 Ö-21 förenla Ö-22 Lös evationen [1] 3-3 $ 3 $ _3 &" 3 $ $ [2] 3T 3T -3 3Tz3T [1] [2] 6< 9 T-3 g 3 ƒ 7 _36 Ö-23 Sriv som ett brå (på så enel form som möjligt): [1] 3 3 " [2] _3 7" [3] 3 3 z : _3ƒ Ö-2 Sriv som ett brå (på så enel form som möjligt): [1] 3 3 [2] 3ƒ 6 _3 [3] 7" _36 2 " _3ƒ 2 13

14 Rationella uttryc, Polynomdivision tt rationellt uttryc (i ) an srivas på formen, där och är polynom och p, dvs ej identist noll Om nu gradtalet för är större än eller lia med gradtalet för an divideras med, så att gradtalet för restpolynomet ± Man får ± r², där ² allas votpolynom Polynomen ² och ± an bestämmas med en polynomdivisionsalgoritm (se följande exempel) xempel Dividera 1mm -3 7 Lösning: Sriv upp täljaren och nämnaren stolen ):, blir mindre än gradtalet för så långt som möjligt med trappan (eller liggande, Multiplicera se- Fortsätt med att di-, dvs bilda Multiplicera och subtrahera som ovan 7-7" 1 ³² - 1 A " n ± _ Metod: Dividera högstagradstermen 1 i med högstagradstermen i dvs bilda 1 3, som blir första termen i voten ² dan hela nämnaren med och subtrahera från videra högstagradstermen i resten med högstagradstermen i 3, som blir nästa term i ² är strängt mindre än gradtalet för Fortsätt tills gradtalet i restpolynomet ± Svar: 1 7 7" n 7 Ö-25 Dividera så långt som möjligt: Ö-26 Dividera så långt som möjligt: [1] " _3 [1] :a T-3 [2] _3 " [2] 1 _36 [3] 1 < 7" _3 [3] m g

15 : < µ : < 13 Lineära evationssystem Vid lösning av evationer med flera obeanta söer man genom elimination saffa sig en evation, som innehåller endast en obeant Man an använda sig av en av två metoder substitutionsmetoden eller additionsmetoden För att illustrera, ges nedan ett exempel: (Tecnet µ betyder om och endast om ) xempel Lös evationssystemet 8 7 < $ 7 $ =< Lösning: Metod 1 [Substitutionsmetoden] ƒ < $ _3, som man sätter in i den andra Då erhålles Den första evationen ger ^ƒ < $ _3 $ B$ Alltså är ƒ < $ -3 Svar: = d $ ƒ =< _3 Lösning: Metod 2 [Additionsmetoden] µ = < $ $ µ y=2 f, och man får ett Multiplicera (för att eliminera ) båda leden i de givna evationerna med 3 resp och addera dem: : 7 < $ : $ B$ OBS Kontrollera alltid svaret genom insättning i de givna evationerna Anmärning: Den lineära evationen f $ b betyder geometrist en rät linje tt system av sådana evationer har alltså a) en b) ingen eller c) oändligt många lösningar beroende på om de räta linjerna är a) särande b) parallella (och olia) c) sammanfallande Härav fås y=2, som insatt i en av de givna evationerna ger Ö-27 Lös evationssystemet Ö-28 Lös evationssystemet [1] 8 [2] 8 [3] 8 9 $ 9 < $ $ 7 $ 7 $ < $ [1] 8 [2] 8 Ḩ¹ [3] 7 $ : 7 $ $ : $ 9 $ ~ 7$ ~ 9 $ ~ : µ = 15

16 < < 1 Absolutbelopp DFINITION om 8 qš om Alltså är éš för alla och om så är avståndet mellan punterna och på tallinjen Geometrist an º uppfattas som xempel nligt definitionen är &?=, ty xempel xvationen an srivas, varför rötterna är och = xempel Oliheten an även srivas =< 7, dvs = Studera tallinjen z, Ö-29 Bestäm Ö-30 Lös evationerna [1] < [1] [2] < [2] 7 [3] Ÿ: 2 [3] [] = t»< [] 7" [5] : 2 [5] 7 [6] < Ö-31 Angiv utan absolutbelopp de, som satisfiera: Ö-32 Sriv i är: [1] 9¼ [1] [2] ǵ½ [2] [3] [3] 7" ˆ [] ǵ½ [] e : 7 <et»< 3T utan absolutbelopp, om i 15 Kvadratroten ur ett positivt reellt tal ftersom š DFINITION ¾%œ;š för alla reella tal har evationen där š vadrat är Alltså ] reella lösningar endast om, menas det ice-negativa, reella tal vars för š 16

17 för f xempelvis B: (Mycet vanligt fel att tro motsatsen) Av definitionen följer vissa räneregler: och 3T > för och 2 för alla reella, % för š, alla n3 för @ ]_3 ]_3 för och = och Àp Reglerna allas förlängning med onjugatuttryc (se exempel nedan) OBS I allmänhet p xempel Förenla > xempel?= Lösning: nligt räneregel 2 ovan, är > n alternativ lösningsmetod är > 1 eá?=?= Sriv med heltalsnämnare Lösning: Förläng med onjugatet till nämnaren: < < < < < Ä < xempel Förenla Á ) ) och ange definitionsmängd är definierat för qš¼, men endast för För är: Svar: är ) Á @ 17

18 8 Ö-33 Förenla Ö-3 Förenla A t J: : <?f5 T 2 2 [3] > Ö-35 Förenla Ö-36 Sriv med heltalsnämnare: A : [1] [2] [3] @ < <-3 < [] @ : Ö-37 Förenla Ö-38 Förenla följande uttryc (och angiv definitionsmängd): %, om h och = [1] 7 9 %, om och = [2] 6< < [3] % 3T >, om h och = [3] [] % 3T >, om och [] 1 [5] 1 [6] 9 [7] 6-3 vationen OBS har för = två olia reella œd ÄÃ för š Ã Man sriver xempel vationen A xempel D, dvs D, 3 A har rötterna T3T sanar lösning, Àš 18

19 Æ Æ Æ Æ Æ 8 Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Ö-39 Lös evationen Ö-0 Lös evationen [1] [2] T [3] " 7" " 7 D " 16 Ice-reella tal Komplexa tal vationen sanar reella rötter om b b "Æ b, där Æ Man an nu (något oegentligt) sriva: b à baç b Æ Däremot har den ice-reella (imaginära) xempel vationen = har rötterna Å = dvs tt omplext tal an srivs på formen È Æ, där È och är reella tal och Æ är den imaginära enheten, som satisfierar evationen Æ xempel ]6 Š Konjugatregeln Œ A Ö-1 Lös evationen Ö-2 Sriv på formen È [1] =A [1] " [2] m D [2] ]6 [3] J: T< " [3] _36 [] f [] 3 " 3= [5] 5 m r Æ 19

20 ¹ Ï Ê Ê < Ê Æ 17 Andragradsevationer Fatoruppdelning av andragradspolynom n adragradsevation cb r an, då Àp r, srivas på normalform: * ¼É " n andragradsevation på normalform, h fà ", an lösas genom vadratomplettering: 7ËÊ *Ì Ê *Ì r µ Ên9 *Ì *Ì Alltså gäller att: vationen m 9 D har rötterna Å ŽÍ Ì Dessa rötter och är [1] Reella och olia, om 3 [2] Reella och lia, om 3 r [3] Ice-reella och olia, om 3 OBS Om D, har evationen Î D en rot r, samt roten xempel Beräna rötterna till evationen < Lösning: vationen an srivas på normalform: 1 ", och har rötterna Å Alltså är rötterna Ï <9 ŽÍ xempel vationen : " Å <*Ì < < Ê < < <*Ì D har A < T< OBS Kontrollera alltid svaret genom insättning i den givna evationen < < <9 < 20

21 Ñ Ö-3 Bestäm rötterna till evationerna Ö- Lös evationerna, dvs bestäm alla rötter: [1] : < r [1] 7: " [2] 9;: [2] 9 D [3] < D [3] < [] n [] ;: r (Sätt här [5] < D [5] [6] A " : D [7] : D Fatoruppdelning (av andragradspolynom) Om evationen Ð = r har rötterna och, så an polynomet Ð fatoruppdelas: ] Anmärning: Om 3T, så är och ice-reella och i så fall an 9 ej fatoruppdelas med reella tal (Därmot an ¾ c alltid fatoruppdelas med omplexa tal) ~ ) xempel Fatoruppdela polynomet Ñ Lösning: får Rötterna är alltså 8 Alltså är Å 3 Lös därför först evationen ŽÍ n J: Ê 7 *Ì n, varför ]6 &r r Man 21

22 d < < Æ Ö-5 Fatoruppdela (med reella tal): Ö-6 Angiv en andragradsevation med rötterna: [1] [1] 1 och = [2] : º och [3] m [3] Æ och [] 2 2 [5] : 9 18 Fatorsatsen vationer av större gradtal än två Sats Fatorsatsen Om är ett polynom i och Ò, dvs om är en rot till polynomevationen Ó, så är en fator i, dvs %J där är ett polynom av en enhet lägre grad än xempel Lös evationen 1 Tnm T 5< D Lösning: fter prövning (av tex d edbtbtbt ) finner man att är en rot, ty T }T 5< Ë nligt fatorsatsen är alltså polynomet 1 Tn T h 5< delbart med? " Division (av polynom, se 12) ger 1 n 9 5< 7" ] < Tredjegradsevaitonens övriga rötter fås ur evationen 5< alltså Å 1 : 5< :, dvs och 1 Svar: vationen har fötterna, och 1 Tillägg: Vi har alltså fatoruppdelningen 1 n Ô 5< <Tn OBS n tredjegradsevation har alltid tre rötter (lia eller olia) D Man får D n 22

23 ) š Ö-7 Lös evationerna Ö-8 Fatoruppdela (med reella tal): [1] 1 2 r [1] 1 2 [2] 1 " [2] 1 [3] 1 ;: r [3] 1 ;: [] 1 m D [] 1 m Ö-9 Lös evationerna Ö-50 Fatoruppdela [1] r [1] 1 [2] D [2] 1 n [3] D [3] 1 : W$ $ :T$ 19 Oliheter xempel För vila är 1 n 5<? Lösning: Oliheten an srivas 1 n T h 5< (Ha alltid för vana att flytta över termer, så att ena ledet blir noll) nligt exempel ovan har vi fatoruppdelningen 9 n <Tn Tecenstudium ger nu: Svar: Oliheten gäller för xempel För vila är 7" š Lösning: Oliheten an srivas )? och för < 7" Õ, där 7 ] I Õ har vi endast fatoruppdelat täljaren Tecenstudium av ger nu: Svar: Oliheten gäller för = ½Ö och för qš¼ OBS Den givna oliheten ( i senaste exemplet) får ej srivas 9" š, dvs oliheten får ej 23

24 Ú Ú > 8 µ µ Ú multipliceras med, ty an vara negativt h  %œb } %Jb d Allmänt gäller att 8 h  %œb %Jb d om b om b Ö-51 För vila gäller följande oliheter? Ö-52 För vila gäller följande oliheter? [1] ¼ [1] 7" _3 š [2] ½ [2] 6 _3 ½ [3] Àš [3] 3 qš [] š [5] 1m: < [6] : ½ < Ø :te roten ur ett reellt tal Allmänna potenser Med Û menas den reella (och positiva, om s Alltså är Ù Ú s, Ú ] s För den vanliga vadratroten gäller Ü för š potensuttrycet Wu Ü s (med rationell exponent ƒû¾3 ) genom u Ü s u Ü s satisfierar (de allmänna) potens- och exponentiallagarna: Potens- och exponentiallagarna ) % + ) 3T + ) + g ) 3T ) ) v + ) + ) x + ) % ) ) 3T ) jämnt heltal) roten till evationen definieras Man an visa att u Anmärning: Den andra lagen ger speciellt 3TN+ +, om D xempel Förenal Ý Lösning: Þ 6 % Ù, Ù Ý 6 ß, Ù Ý ß, x Ù Ý Ù à 2

25 ) ) ) ~ > Þ > Ö-53 Förenla Ö-5 Förenla [1] 2 à A [1] [2] á [2] 2 T Ü 1 [3] < [] A Ü % A o á à [] «A [5] 5T á ˆ3 á [5] : Man an allmänt definiera uttrycet ) för 9 och alla reella, så att ) satisfierar potenslagarna ovan ) allas for en potens av, där allas bas och exponent Av speciellt intresse är den (naturliga) exponentialfuntionen ) edˆ med basen 25T2ÄtBtBt För allmänt ) gäller bla att [1] ) [2] Wo [3] i för alla för alla ) är växande (för växande ) om avtagande (för växande ) om, och OBS Man siljer på a) potensfuntionen i och b) exponentialfuntionen i ) xempel Lös evationen ) % ) v xempel Lösning: vationen ) % ) v an srivas ) % % 5, dvs ) % eller ), varför Lös evationen ) ) D Lösning: Sätt ~ Då erhålles andragradsevationen ~T ~ " med rötterna ~ och ~ f Man får nu två fall: [1] ~ ger " f [2] är en orimlighet, eftersom ) för alla reella tal Svar: D 25

26 ) ) ) ) 1 : t ) Ö-55 Bestäm reella lösningar till Ö-56 Bestäm reella lösningar till [1] ) 2 [1] ) ) D (Sätt [2] ) v ) : [2] ) ) " D [3] A ) 3T [3] ) % ) 2 D [] % ) v [] ) v A % ) r [5] ) v % ) etâ< ~ ) 111 Logaritmer För tio-logaritmen IMã$ och naturliga logaritmen ILKÄ$ gäller IMã$ µ $ ), för $ IMKÄ$ µ $ ) r, för $ OBS För att ILãT$ resp IMKÄ$ sall vara definierat rävs alltså att $ IMã d ILã D ty tex $ d IMK Y d IMK " ) µ IMã d ILã5$ Speciellt är r Av formlerna ovan följer ocså diret att ILã och ILK för alla reella äÿåœæ= xempel xempel xempel xempel $ ž + och nä IMã ILã^ T IMã t ILã ILK Ü = Lös evationerna [1] %JILKw [2] % $ för alla $ 3 Lösning: [1] %JILKw [2] % µ IMKw µ t»< tâ< µ µ á ILK Dtâ<ç Dtè 26

27 t µ ä 1 ) Ö-57 Förenla Ö-58 Förenla [1] ILã` T [1] ILK [2] ILã [2] ILK ß [3] 1 á äÿå [3] ILK [] o á ž äÿå [] ä ž á [5] Ö-59 Lös evationerna Ö-60 Bestäm reella lösningar till: [1] ILã " [1] [2] ILKw [2] %5 [3] %JILãm [3] %5 ) " ) v [] ) < ) ;: r [5] %5 ) ) : Ur potenslagarna an man härleda följande logaritmlagar (för $ och ~ Sats Av lag 2 följer speciellt att OBS ILK $ ~ [1] ILK $&% ~ ILKÄ$ ILK ~ [2] ILK +é ILKÄ$ IMK ~ [3] ILKÄ$aê Ô%BILKÄ$ Logaritmlagarna Motsvarande lagar gäller ocså för tio-logaritmen, ILã ILK ~ ILK ~ är inte lia med IMKÄ$ ILK ~ (Mycet vanligt fel att tro motsatsen) : D ): xempel Lös evationen %JIMãm %BIMã Lösning: För att IMãT sall vara definierat rävs att gäller enligt logaritmlagarna, att %JIMãT %JIMã 2 µ µ ILã ILã 1 < µ < µ ILã Ê < < ty 2 Ì µ <3T< 27

28 Y Ö-61 Förenla Ö-62 Sö reella lösningar till evationerna [1] ILã 2 IMã 2 [2] ILK 52 : %JILK %BILK [3] ILã 2 : [] ILK 3TA [5] ILK IMK < ILK Ä ILK T [6] ILã t t»< IMã IMã` t»2 IMã [1] ILKw7 %BIMK ILK < [2] IMãy IMã [3] ILK " IMKw 1 : IMK [] ILK IMKl IMK [5] ILK " ILK ILK [6] ILã ƒ IMã 9 IMã 2 Trigonometri 21 Vinelmätning Vinlar an mätas i (delar av) varv, grader eller radianer Med 1 radian menas storleen av centrumvineln i en cirelsetor, där periferibågen är lia lång som cirelns radie (Rita en figur) Sambanden mellan de olia enheterna är: varv QS3 2 Y radianer och 1 radian= 2 3aQqç¼< etë Y (Ofta sriver man inte ut enheten radian, utan sriver tex A Y : Yz œq radianer Härav fås: QS3 ) Ö-63 Bestäm grader och radianer för Ö-6 Bestäm grader och radianer för [1] 3 varv [1] 3 varv [2] 3T varv [2] =< varv (Rita figur) Ö-65 Omvandla till radianer Ö-66 Omvandla till grader [1] g< Y [1] QS3 : [2] < Y [2] `QS3T2 [3] : Y [3] T Qì3 [] Y [] =<aq 28

29 í O Q 22 Rätvinliga trianglar I en rätvinlig triangel är en vinel A Qì3 Y den tredje vineln QS3, eftersom vinelsumman i en triangel är 2 YÄ (radianer) Om en av de övriga vinlarna är, blir Vineln QS3T allas omplementvineln till Den sida som står mot den räta vinlen allas hypotenusa och de båda övriga sidorna allas ateter För rätvinliga trianglar gäller Pythagoras sats: Sats Pythagoras sats QS3T De trigonometrisa funtionerna definieras (för ): DFINITION O-P K ƒ e3 b motstånende atet _3 hypotenusa Zn\ 3 O^ b närliggande atet -3 hypotenusa UWVTK 3T motstående atet _3 närliggande atet Zn\ U 3T närliggande atet _3 motstående atet Härur fås: bl% O_P K dw %BUWVTK dw UWVTK Ÿž5ï îí ð ñ ï bl% Zn\ O^ % Zn\ U, samt att ð ñóò ï För omplementvinlen ( Qì3 O-P K QS3T UWVTK QS3 Man erhåller ocså: Zn\ dnz]\ RQS3 Z]\ O^ U dnzn\ U RQS3 ) gäller: O-P K UWV K Trigonometrisa ettan b Sats O_P K Zn\ O OBS O-P K O_P K (Fås diret ur Pythagoras sats) O_P K % O_P K Ç O-P K är ej lia med O-P K 29

30 Y b A Y b Y ç 3 < xempel Solvera en rätvinlig traingel med sidor och vinlar som inte är givna Lösning: Vinlen õ Y ô : < Y Nu är O-P K ô t O-P K ô O-P K < (O-P K < Vidare är UWV K e3 ô, varför e3 UNVTK ô Svar: õ : < d b ç¼ et, och wç : të t och ô T< 3 b, varför sidan t ç et të5t Y fås med ränedosa, ränestica eller ur tabell) ç³ t (längdenheter) tè :: ç Y (se figur), dvs bestäm de : tè xempel Bestäm O-P K och Zn\ O, om UWVTK Lösning: 53< och Rita en rätvinlig triangel med ateterna nligt Pythagoras sats är hypotenusan T varför O-P K QS3T dnz]\ O^ Då är UNVTK T 53T< Ö-67 Solvera följande rätvinliga trianglar (betecningar enligt figur ovan): [1] b [2] [3] [] [5] [6] t : och ô t och t och t»< õ och et»< õ och et» b och ô QS3T Ö-68 Bestäm (för av: Y [1] Z]\ O och UNVTK, om O-P K 3T Rita en rätvinlig triangel med och t b [2] O-P K och UWVTK, om Zn\ 3T 5< O Y [3] O-P K och Zn\ O^, om UWVTK <3 Y [] O-P K och Zn\ O^, om Zn\ U të t»< D ) exata värdet (Ledning: ) 30

31 : O O O Q Q Q Q Vi härleder nu de trigonometrisa funtionernas värden för g< d : Y Y och TY (Om man inte an dessa värden utantill, måste man snabbt unna göra en härledning) För och g< QS3 Y, samt hypotenusan b är den rätvinliga triangeln (figur 1 ovan) en halv vadrat Då varför: O_P K g< Y Z]\ g< Y UNVTK g< Y Z]\ U g< Y O_P K Z]\ UNVTK Z]\ U QS3 För Y an den rätvinliga triangeln uppfattas som en halv lisidig triangel (figur 2 ovan) (I en lisidig triangel är alla vinlarna lia med : Y, varför vinlarna i en halv lisidig triangel är : dwa Y Y och Y ) Alltså är hypotenusan b T och Pythagoras sats varför: O_P K`: Y Z]\ O : Y UNVTK`: Y Z]\ U: Y O-P K Z]\ UNVTK Z]\ U @ För Y Qì3 : erhålles under betratande av samma figur som för : Y : 31

32 O Y O Q Q í O_P K Y Z]\ Y UNVTK Y Z]\ U Y O-P K Z]\ UNVTK Z]\ U : : Q :º @ ty O-P K TY =(motsående atet)/(hypotenusan)= 3T 3 osv Ö-69 Bestäm exata värdet av Ö-70 Förenla [1] Zn\ O UWV K Y Y [2] ƒz]\ O Y O-P K _3ƒZ]\ Y O : Y [3] UNVTK(: Zn\ Y O _3 UNVTK g< Y O-P K : TY O-P K TY [1] ð ñ Ü í ëö %B Ÿž Ü»ö 1 (Ledning: använd potenslagarna) [2] òl ž Ü ëö %B ð ñ Ü í ëö [3] Ÿž Ü í»ö v ð ñ Ü í ëö 1 3 òø ž Ü ëö v ð ñóò Ü»ö 23 De trigonometrisa funtionerna för godtycliga vinlar n vinel ränas positiv om den mäts moturs, och negativ om den mäts medurs, vanligen ränat från positiva -axeln Antag, att d $ är en punt på enhetscireln, vars evation är ;$ De trigonometrisa funtionerna för godtycliga vinlar definieras genom: 32

33 d 8 8 O $ O Q d O O p p 3 O DFINITION O-P K Zn\ O UWVTK Zn\ O $ 3 för p dó 3 $ r för $ p dù D dvs dvs QS3T ; QS QS QS3 Vi ser att definitionerna stämmer överens med de tidigare givna för, dvs för d $ (Rita figur) ftersom O-P K $, är O_P K positivt för vinlar i första och andra vadraten och negativt i tredje och fjärde Linande regler för Z]\ d O UNVTK dnz]\ U : Av definitionerna ovan följer diret att Sats [1] UNVTK O_P K 3mZn\ O^ 3mZ]\ U och Zn\ U Z]\ O O_P K 3 UWV K [2] ½ O-P K ½¼ och ½ Z]\ O^ ½¼ Š för alla vinlar Œ [3] O_P K D O_P K QS3T d O_P K Q r O_P K Qì3 d O-P K aq D [] Z]\ O dnz]\ QS3 dnzn\ dnz]\ QS3T dnz]\ aq D " [5] O_P K O-P K F% aqs och Zn\ Z]\ O^ F% aqì [6] O_P K Zn\ O [Trigonometrisa ettan], för varje heltal 33

34 O 8 O 3 3 O Q Q xempel Bestäm exat: Z]\ ƒ5 aqs3 O : ) Lösning: Z]\ ƒ5 aqs3 : Zn\ Qì3 : % aqs xempel Bestäm O-P K och Zn\ O, om Zn\ U Lösning: Med hälp av formeln Zn\ U Zn\ O^ O_P K samt triogometrisa ettan får man evationssystemet Zn\ O( O-P K Zn\ O O_P K Zn\ RQS3 : och 3T med lösningar 8 ftersom ligger i andra vadranten, där Zn\ O^ och O_P K Z]\ < Svar: O^ och O_P K < Ö-71 I vilen vadrant hamnar följande vinlar? Ö-72 Bestäm exat [1] TQS3T [1] Zn\ Q O [2] Y [2] O-P K aqs3 [3] < QS3 [3] O-P K T QS3 g [] aqs3 : [] Zn\?=T QS3 5 O [5] Y [5] UWV K?fA QS3ag [6] Qì3T [6] Zn\ U? QS3T5 Zn\ O O-P K ³ú < <, fås Ö-73 Visa att Ö-7 Visa (för godtycliga heltal ) att [1] 3mZn\ O [2] 3 O-P K UNVTK [1] O-P K` Q Zn\ U- D [2] Zn\ Q? O s [3] O-P K 6Ô QS3Ta [] Zn\ O MÔ" QS3œ D s Ö-75 Bestäm exat Ö-76 Beräna exat [1] O_P K och UNVTK, om Zn\ 53 aq O [2] Z]\ O^ och UWVTK, om O_P K û andra vadranten [3] O-P K och Zn\ O^, om QS3T UWVTK [] O-P K och UWVTK, om Zn\ O^ och QS3 të och är i, och Q 3 [1] O-P K Zn\ O^, om QS3T UWVTK [2] O_P K Zn\ O^, om Zn\ U [3] UWVTK Zn\ U, om O_P K Qì3 œq g3t och =3 och QS3T g<, och 3

35 8 8 O O O O Några enla trigonometrisa formler Sats 8 O_P K O_P K Z]\ Zn\ O^ O_P K Q¾ O-P K Z]\ O_P K RQS3= Zn\ Z]\ RQS3 O^ O-P K O_P K QS O_P K Z]\ Qì ÀZn\ O( UNVTK? UNVTK Z]\ U ÀZ]\ U Q¾ qzn\ O UWVTK QS3 Z]\ U Zn\ U QS3= UNVTK UWVTK QS UWV K Zn\ U QS Z]\ U Dessa formler an härledas med hjälp av spegling (se lärobo från gymnasiet) 35

36 O xempel 6<aQS3 : Bestäm Zn\ O Lösning: <œqs3 : ligger i andra vadranten Använd formeln Zn\ O Z]\ O Ê <aq : Ì ÀZ]\ O Ê Q¾ <aq : Ì ÀZ]\ O Ê ÀZn\ Q : Ì Vi får alltså xempel O_P K Ê 5<aQ Ì O-P K Ê : % aq¾ Q Ì O_P K Ê Q Ì O_P K Ê Q Ö-77 Bestäm exat Ö-78 Bestäm exat [1] O-P K?`QS3 g [1] O-P K Y [2] O-P K 6<aQì3 : [2] Zn\ O Y [3] UWVTK?`QS3T5 [3] O-P K? < TY [] Zn\ 6<aQì3 g O [] UWV K Y [5] Zn\?= aqs3 O : [6] UWVTK 6aQS3 5 Ö-79 Bestäm exat Ö-80 Visa (utgående från formlerna ovan) att [1] O-P K œqs3t5 [2] UWVTK 6 <aqì3 g [3] Zn\ 6< QS3T5 O [] Zn\ U? Qì3T5 [1] UWV K Q¾ [2] Zn\ U Q¾ Av formlerna ovan (i detta och föregående avsnitt) erhålles: K K È È È È Q È Sats (1) O_P O-P Èhµ Ð% œq Q Ð% aq (2) Z]\ Z]\ O^ O^Èhµ Ð% aq Ð% aq (3) UNVTK UNVTK Èhµ Ð% eller eller UNVTK ÀZ]\ U I samtliga formler ovan är ett godtycligt heltal 36

MATEMATIK. blivande teknologer. Rolf Pettersson. Grafisk formgivning: Lennart Jörelid. Chalmers tekniska högskola

MATEMATIK. blivande teknologer. Rolf Pettersson. Grafisk formgivning: Lennart Jörelid. Chalmers tekniska högskola MATMATI ort förberedande material för blivande tenologer av Rolf Pettersson Grafis formgivning: Lennart Jörelid halmers tenisa högsola Till dig som söer till högre tenis utbildning Somduvetförutsätterstudieritenisaämnengodaunsaperimatematinstordelav

Läs mer

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs. Problemtentamen

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs. Problemtentamen 013-03-14 Tentamen i Meani SG1130, basurs. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och srivdon får användas KTH Meani 1. Problemtentamen En ub med massa m står lutad mot en vertial sträv vägg och med stöd på

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra Matematik 1a Centralt innehåll Metoder för beräkningar med reella tal skrivna på olika former inom vardagslivet och karaktärsämnena, inklusive överslagsräkning, huvudräkning och uppskattning samt strategier

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg Tema: Pythagoras sats Linnéa Utterström & Malin Öberg Innehåll: Introduktion till Pythagoras sats! 3 Pythagoras sats! 4 Variabler! 5 Potenser! 5 Att komma tillbaka till ursprunget! 7 Vi bevisar Pythagoras

Läs mer

Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov

Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov År Startvecka 2013 2 Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov Vecka Lektion (2h) Datum Kapitel Avsnitt 2 Ti 08-jan Kap 1: Räta linjen

Läs mer

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Diskreta slumpvariabler En slumpvariabel tilldelar tal till samtliga utfall i ett slumpförsök. Vi

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning Moment Begreppsbildning Mätningar och enheter Algebra och ekvationer Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Bedömningsgrunder för uppnåendemålen känna igen naturliga tal kunna positiva heltal:

Läs mer

Kommentarer till uppbyggnad av och struktur för ämnet matematik

Kommentarer till uppbyggnad av och struktur för ämnet matematik 2011-06-10 Kommentarer till uppbyggnad av och struktur för ämnet matematik Likheter och skillnader jämfört med den gamla kursplanen Ämnesplanen i gymnasieskola 2011 (Gy 2011) har en ny struktur jämfört

Läs mer

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal - " - " - " - " - - " - " - " - " -

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal -  -  -  -  - -  -  -  -  - År Startvecka Antal veckor 2013 34 18 Planering för ma 1b/c - ma 5000- boken OBS: För de i distansgruppen, meddela lärare innan prov. (justeringar för 1c ännu ej genomförda) Vecka Lektio n (2h) Datum Kapitel

Läs mer

KOMBINATORIK. Multiplikationsprincipen

KOMBINATORIK. Multiplikationsprincipen KOMBINATORIK How to count without counting. Mar Kac In some cases, theanswermaybenothingmorethan a matter of common nowledge In other cases, the answer may require technical information. But our concern

Läs mer

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Experimentversion av Endimensionell analys 1

Experimentversion av Endimensionell analys 1 Matematikcentrum Matematik Eperimentversion av Endimensionell anals Alternativ eamination Under lp 999 kommer för Bi 99, L 99 och V 99 att ges en något modifierad kurs i Endimensionell anals. Kursen avviker

Läs mer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen

Läs mer

Proppteori Komplement till propplektionerna

Proppteori Komplement till propplektionerna Innehåll Proppteori Komplement till propplektionerna Petter Helgesson 3 juli 0 0 Kära recce! 7 Uttryck 8 Ekvationer 8.0. Exempel: Lös ekvationen 4x = 6.......... 8. Andragradsekvationer.......................

Läs mer

Uppgifter övning I8: Uppgift nr 1 Sealine AB

Uppgifter övning I8: Uppgift nr 1 Sealine AB Uppgifter övning I8: Uppgift nr 1 Sealine AB Rederiet Sealine AB har undersöt specialfartygsmarnaden under senaste året för 700 000 r och funnit en lämplig fartygsstorle, som det an tecna ontrat på. Vid

Läs mer

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium. Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter

Läs mer

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Karlstads GeoGebrainstitut Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet Mats Brunström Maria Fahlgren GeoGebra ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Invigning

Läs mer

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Detta kapitel är en liten matematisk vägledning om att beräkna tillväxttakten i Excel. Här visas exempel på potenser och logaritmer och hur dessa funktioner beräknas

Läs mer

Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets

Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets Frågeställning Svar 1. Vi förväntades ta reda på olika metoder för att beräkna en superellips eller en ellips omkrets. o Givet var ellipsens ekvation:. (Källa

Läs mer

Ämnesplaner för matematik grundskolan enligt Lgr11 och gymnasieskolan enligt Gy11

Ämnesplaner för matematik grundskolan enligt Lgr11 och gymnasieskolan enligt Gy11 Ämnesplaner för matematik grundskolan enligt Lgr11 och gymnasieskolan enligt Gy11 I ämnesplanen för grundskolans matematik har tidigare ering markerats om det är Matematik eller en högre kurs eller momentet

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Y

Sammanfattningar Matematikboken Y Sammanfattningar Matematikboken Y KAPitel 1 TAL OCH RÄKNING Numeriska uttryck När man beräknar ett numeriskt uttryck utförs multiplikation och division före addition och subtraktion. Om uttrycket innehåller

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte. Kurser i ämnet

MATEMATIK. Ämnets syfte. Kurser i ämnet MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik

Läs mer

Kapitel Grafer för koniska sektioner

Kapitel Grafer för koniska sektioner Kapitel 14 Grafer för koniska sektioner Det går att rita en graf över följande koniska sektioner med hjälp av räknarens inbyggda funktioner. Parabelgraf Cirkelgraf Elliptisk graf Hyperbelgraf 14-1 Före

Läs mer

λ = T 2 g/(2π) 250/6 40 m

λ = T 2 g/(2π) 250/6 40 m Problem. Utbredning av vattenvågor är komplicerad. Vågorna är inte transversella, utan vattnet rör sig i cirklar eller ellipser. Våghastigheten beror bland annat på hur djupt vattnet är. I grunt vatten

Läs mer

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Frågeställning Av en cirkulär pappersskiva kan en cirkelsektor med en viss vinkel klippas bort. Med den resterande sektorn går

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april. Liten introduktionsguide för nybörjare

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april. Liten introduktionsguide för nybörjare GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare 19-20 april Liten introduktionsguide för nybörjare GeoGebra 0 Introduktionsövningar till GeoGebra När man startar GeoGebra är det

Läs mer

Överbryggningskurs i matematik del I. Teknik och Samhälle 2012

Överbryggningskurs i matematik del I. Teknik och Samhälle 2012 Överbryggningskurs i matematik del I Teknik och Samhälle 0 Malmö 0 Förord och studietips Föreliggande kompendium i två delar är en överbryggning mellan gymnasiets och högskolans matematikkurser. Målet

Läs mer

Approximation av funktioner

Approximation av funktioner Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Variansjämförelse av excess-of-loss-kontrakt med och utan aggregerat självbehåll

Variansjämförelse av excess-of-loss-kontrakt med och utan aggregerat självbehåll Matematis statisti Stocholms universitet Variansjämförelse av excess-of-loss-ontrat med och utan aggregerat självbehåll Sabina Jusupovic Examensarbete 003:9 Postadress: Matematis statisti Matematisa institutionen

Läs mer

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C Sats 1.3 De Morgans lagar för mängder För alla mängder A och B gäller att (A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B C A C B C (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

Driftskostnader -150 tkr

Driftskostnader -150 tkr Uppgift övning I4: Uppgift nr 1 Bima AB Bima AB tär öppna en biltvättanläggning och har därför öpt in en anläggning som är installerad och färdig att tas i drift vid årssiftet. Följande gäller för biltvättanläggningens

Läs mer

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Provet omfattar s. 102-135 (kap 4) och s.183-186, 189, 191, 193, 200-215. Repetition: Repetitionsuppgifter 4, läa 13-16 (s. 255 260) samt andra övningsuppgifter

Läs mer

Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping

Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping Enhet 591 Ekholmen Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping Fakta Förståelse Färdighet Förtrogenhet De olika formerna samspelar och utgör varandras förutsättningar. För att

Läs mer

Matematik Uppnående mål för år 6

Matematik Uppnående mål för år 6 Matematik Uppnående mål för år 6 Allmänt: Eleven ska kunna förstå, lösa samt redovisa problem med konkret innehåll inom varje avsnitt. Ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och

Läs mer

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 8..05 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar

Läs mer

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Logövningar. Slumpad ordning. Uppgift nr 10 Lös ekvationen 10 y = 0,001. Uppgift nr 13 Lös ekvationen lg x = 4

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Logövningar. Slumpad ordning. Uppgift nr 10 Lös ekvationen 10 y = 0,001. Uppgift nr 13 Lös ekvationen lg x = 4 Logövningar Uppgift nr 1 lg y -2 Uppgift nr 2 Huvudräkna lg200 + lg5 Uppgift nr 3 71 z 70 Uppgift nr 4 Ange derivatan till y e x Uppgift nr 5 Skriv 3 lg5 som en logaritm utan faktor framför. Uppgift nr

Läs mer

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden 824 17. MATEMATISK MODELLERING: DIFFERENTIALEKVATIONER 20 15 10 5 0-5 10 20 40 50 60 70 80-10 Innetemperaturen för a =1, 2och3. Om vi har yttertemperatur Y och startinnetemperatur I kan vi med samma kalkyl

Läs mer

Matematisk Grundkurs

Matematisk Grundkurs LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematisk Grundkurs för högskoleingenjörer inom byggnadsteknik Peter Holgersson Institutionen för teknik och naturvetenskap Sida 2 Syfte och mål Kursen syftar till att bidra till

Läs mer

PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN

PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN Institutionen för beteendevetenskapliga mätningar PBMaE 5-5 Umeå universitet Provtid PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN Del I: Uppgift -9 Del II: Uppgift -7 Anvisningar Totalt 4 minuter

Läs mer

Teresia Månsson, VFU, Matematik 5, 2014-12-10

Teresia Månsson, VFU, Matematik 5, 2014-12-10 Temauppgifter Syfte Det är tänkt att det ska finnas möjlighet med uppgiften att öva på följande förmågor: begrepps-, procedur-, problemlösning, kommunikations-, resonemang, modelleringsförmåga och relevansförmåga

Läs mer

Riktlinjer för rapportering av räntestatistikblankett MIR

Riktlinjer för rapportering av räntestatistikblankett MIR (5) Ritlinjer för rapportering av räntestatistiblanett MIR (200-09-30) 2 2(5) Innehållsförtecning sida Posternas innehåll... 3. Referensperiod... 3.2 Löptidsfördelning av utlåning... 4.3 Definition av

Läs mer

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow Matematik i Gy11 110912 Susanne Gennow Var finns matematik? Bakgrund Nationella utredning 2003 PISA 2009 TIMSS Advanced 2008 Skolinspektionens rapporter Samband och förändring åk 1 3 Olika proportionella

Läs mer

exakt en exponent x som satisfierar ekvationen. Den okända exponent x i ekvationen = kallas logaritm av b i basen a och betecknas x =log

exakt en exponent x som satisfierar ekvationen. Den okända exponent x i ekvationen = kallas logaritm av b i basen a och betecknas x =log LOGARITMER Definition av begreppet logaritm Betrakta ekvationen =. Om a är ett positivt tal skilt från 1 och b >0 då finns det exakt en exponent x som satisfierar ekvationen. Den okända exponent x i ekvationen

Läs mer

Beräkningsmodell för anslutning av vindkraftverk till elnätet

Beräkningsmodell för anslutning av vindkraftverk till elnätet Högsolan på Gotland Wind Power Technology Vårterminen 2007 Beräningsmodell för anslutning av vindraftver till elnätet Daniel Asplund 16 mars 2007 Sammanfattning Nya vindraftsanläggningar planeras på en

Läs mer

SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR

SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR STUDIEAVSNITT 3 SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR I detta avsnitt ska vi titta på några av de skogliga tillämpningar på geometri som finns. SKOGSKARTAN EN MODELL AV VERKLIGHETEN Arbetar man i skogen klarar man sig

Läs mer

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet FACIT: Numeriska metoder Man måste lösa tre problem. Problemen 1 och är obligatoriska, och man kan välja Problemet 3 eller 4 som den tredje. Hjälp medel: Miniräknare (med Guidebook för miniräknare) och

Läs mer

Kap1 1.1 Tal i olika former Mål Mål Mål Mål Mål Mål Rek. uppgifter 1101, 1106, 1107, 1113, 1118, 1120 Talmängder

Kap1 1.1 Tal i olika former Mål Mål Mål Mål Mål Mål Rek. uppgifter 1101, 1106, 1107, 1113, 1118, 1120 Talmängder Kap1 1.1 Tal i olika former Mål Mål Mål Mål Mål Mål Rek. uppgifter Känna till de vanligaste talmängderna och de Veta hur talmängderna betecknas Ha kunskap om hur de olika talmängderna är 1101, 1106, 1107,

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. Detta material är en utskrift av det webbaserade innehållet i wiki.math.se/wikis/forberedandematte Studiematerialet

Läs mer

Matematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal

Matematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal Matematik Mål att sträva mot Vi strävar mot att varje elev ska utveckla intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik utveckla sin förmåga att

Läs mer

Kap 6 Partikelns kinetik

Kap 6 Partikelns kinetik 6.1 Histori, grundläggande lagar och begrepp 6.13 Använd resultaten i 6.1 a) och c). 6.6 Uttryc noralaccelerationen för en planet i dess banradie och oloppstid. Kraften är uttryct i banradien = avståndet

Läs mer

Att räkna med mellanbilder genom ett system med många linser och gränsytor blir krångligt. Vi vill kunna avbilda genom alla ytor direkt.

Att räkna med mellanbilder genom ett system med många linser och gränsytor blir krångligt. Vi vill kunna avbilda genom alla ytor direkt. Föreläsning 9 0 Huvudplan Önskan: Tänk om alla optiska system vore tunna linser så att alltid gällde! Att räkna med mellanbilder genom ett system med många linser och gränsytor blir krångligt. Vi vill

Läs mer

Välkommen till studier i Matematik kurs C

Välkommen till studier i Matematik kurs C Innehåll Välkommen till studier Matematik kurs C...2 Studietips...2 Kursens uppläggning och mål...5 Examination...6 Kursmaterial...7 Webbtips...8 Litteraturtips...8 Övrigt om kursen...10 Problemlösning...11

Läs mer

Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203

Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203 Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203 Styrdokument: Kursplan i matematik med betygskriterier. Läromedel: Matematik 3000 N&K. Lån för studerande upp till 20 år De studerande

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Mer om reella tal och kontinuitet

Mer om reella tal och kontinuitet Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer

Läs mer

Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren

Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren Publicerad med tillstånd av Nämnaren Thomas Lingefjärd Geogebra i gymnasieskolan En tilltalande egenskap med Geogebra är att programmet kan användas tvärs över stora delar av utbildningssystemets matematikkurser.

Läs mer

SF1635, Signaler och system I

SF1635, Signaler och system I SF635, Signaler och system I Tentamen tisdagen 0--, kl 4 00 9 00 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook Räknedosa utan program Formelsamling i Signalbehandling (rosa), Formelsamling för Kursen SF635 (ljusgrön)

Läs mer

Arbetsutvecklingsrapport

Arbetsutvecklingsrapport Arbetsutveclingsrapport Vad tycer bruarna? Den andra länsgemensamma bruarundersöningen för personer med insatsen bostad med särsild service enligt LSS Författare: Eva Rönnbäc Rapport: nr 2011:7 ISSN 1653-2414

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 Prov som ska återanvändas omfattas av sekretess enligt 17 kap. 4 offentlighets- och sekretesslagen (009:400). Avsikten är att detta prov ska kunna återanvändas t.o.m. 017-06-0. Vid sekretessbedömning ska

Läs mer

Vakuumpumpar/-ejektorer Large

Vakuumpumpar/-ejektorer Large P6040 Tekniska data Vakuumflöde Patenterad COAX teknologi. Trestegs COAX cartridge MIDI Välj en Si cartridge för extra vakuum flöde, en Pi cartridge för högt flöde vid lågt drivtryck och Xi cartridge om

Läs mer

Instruktioner för rapportering av räntestatistikblankett MIR

Instruktioner för rapportering av räntestatistikblankett MIR 1 1(13) Instrutioner för rapportering av räntestatistiblanett MIR NOVEMBER 2014 Rapporteringen av räntestatisti för monetära finansinstitut (MFI) görs i den så allade MIR-blanetten. I RBFS 2014:2 ges generella

Läs mer

Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se.

Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se. Matematik Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se. ADDITION, SUBTRAKTION, DIVISION OCH MULTIPLIKATION.

Läs mer

Torskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning

Torskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning Torskolan i Torsås Mars 2007 Matematik Kriterier för betyget godkänd Metoder: Arbetssätt Ta ansvar för sin egen inlärning. Göra läxor. Utnyttja lektionstiden (lyssna, arbeta). Utnyttja den hjälp/stöd som

Läs mer

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo.

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo. UDDA FUNKTIONER OCH DUBBELINTEGRALER. Från en variabelanalys vet vi att integral över ett symetrisk intervall, av en udda funktion är lika med 0. 0 om är udda. T ex 0 Här upprepar vi def. av udda ( och

Läs mer

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad 9.5. Prov c a b 8+ d / 8 + / + 7 6 + + + + 5 d / 5 5 ( 5 5 8 8 + 5 5 5 6 6 5 9 8 5 5 5 5 7 7 5 5 d π sin d π sin d u( s s' π / cos U( s π cos

Läs mer

MATEMATIK KURS A Våren 2005

MATEMATIK KURS A Våren 2005 MATEMATIK KURS A Våren 2005 1. Vilket tal pekar pilen på? 51 52 53 Svar: (1/0) 2. Skugga 8 3 av figuren. (1/0) 3. Vad är 20 % av 50 kr? Svar: kr (1/0) 4. Hur mycket vatten ryms ungefär i ett dricksglas?

Läs mer

Matematik 3000 kurs A

Matematik 3000 kurs A Studieanvisning till läroboken Matematik 3000 kurs A Innehåll Kursöversikt...4 Vad skall du kunna efter Matematik kurs A?...5 Så här jobbar du med boken...6 Studieenhet Arbeta med tal...7 Studieenhet Procent...12

Läs mer

NÄR TYSTNADEN VÄSNAS. Projektet Anti Depp 2006-2009 Informationsbroschyr om tinnitus. Antidepp_broschyr.indd 1 28.8.2009 16:24:58

NÄR TYSTNADEN VÄSNAS. Projektet Anti Depp 2006-2009 Informationsbroschyr om tinnitus. Antidepp_broschyr.indd 1 28.8.2009 16:24:58 NÄR TYSTNADEN VÄSNAS Projetet Anti Depp 2006-2009 Informationsbroschyr om tinnitus Antidepp_broschyr.indd 1 28.8.2009 16:24:58 Helsingfors, 2009 Utgivare: Psyosociala förbundet rf Östanpåvägen 32 68660

Läs mer

Kortaste Ledningsdragningen mellan Tre Städer

Kortaste Ledningsdragningen mellan Tre Städer Kortaste Ledningsdragningen mellan Tre Städer Tre städer A, B och C, belägna som figuren till höger visar, ska förbindas med fiberoptiska kablar. En så kort ledningsdragning som möjligt vill uppnås för

Läs mer

Att undervisa och studera matematik med datoralgebraprogrammet Maxima. Per Jönsson och Thomas Lingefjärd

Att undervisa och studera matematik med datoralgebraprogrammet Maxima. Per Jönsson och Thomas Lingefjärd Att undervisa och studera matematik med datoralgebraprogrammet Maxima Per Jönsson och Thomas Lingefjärd Malmö och Göteborg 2009 1 Kort om Maxima Begreppet CAS (computer algebra system) eller på svenska

Läs mer

2 Tillämpad Matematik I, Övning 1 HH/ITE/BN. De objekt som finns G men inte i H.

2 Tillämpad Matematik I, Övning 1 HH/ITE/BN. De objekt som finns G men inte i H. HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 0 3 Tillämpad Matematik I Övning Allmänt 0 Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna

Läs mer

Välkommen till Borgar!

Välkommen till Borgar! Välkommen till Borgar! Välkommen till Borgar! Vi ser fram emot att snart träffa en ny årskull med naturettor och hoppas att du kommer att trivas mycket bra hos oss. Studier i naturvetenskapliga ämnen förutsätter

Läs mer

Postadress: Internet: Matematisk statistik Matematiska institutionen Stockholms universitet 106 91 Stockholm Sverige. http://www.math.su.

Postadress: Internet: Matematisk statistik Matematiska institutionen Stockholms universitet 106 91 Stockholm Sverige. http://www.math.su. Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ËØÓ ÓÐÑ ÙÒ Ú Ö Ø Ø Ê ÔÖÓ Ð Ö Ö Ö Ò ÓÐ Ú Ö Ä Ö ÓÒ Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼½ ostadress: Matematis statisti Matematisa institutionen Stocholms universitet 106 91 Stocholm Sverige Internet: http://www.math.su.se/matstat

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2005

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2005 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till och med den 10 juni 2005. Anvisningar NATIONELLT

Läs mer

Kunskapsmål och betygskriterier för matematik

Kunskapsmål och betygskriterier för matematik 1 (1) 2009-0-12 Kunskapsmål och betygskriterier för matematik För betyget G i matematik skall eleven kunna utföra beräkningar, lösa problem samt se enklare samband utifrån de kunskapsmål som anges under

Läs mer

Repetitionsuppgifter 1

Repetitionsuppgifter 1 Repetitionsuppgifter 1 1 Är talet a) 5 ett heltal b) 9 ett naturligt tal c) π ett rationellt tal d) 5 ett reellt tal 6 2 Rita av figuren och placera in talen rätt talmängd. naturliga tal hela tal rationella

Läs mer

1. a) I en fortskridande våg, vad är det som rör sig från sändare till mottagare? Svara med ett ord. (1p)

1. a) I en fortskridande våg, vad är det som rör sig från sändare till mottagare? Svara med ett ord. (1p) Problem Energi. a) I en fortskridande våg, vad är det som rör sig från sändare till mottagare? Svara med ett ord. (p) b) Ge en tydlig förklaring av hur frekvens, period, våglängd och våghastighet hänger

Läs mer

MATEMATIK - grunderna och lite till - Hans Elvesjö

MATEMATIK - grunderna och lite till - Hans Elvesjö MATEMATIK - grunderna och lite till - Hans Elvesjö 1 Största delen av boken ligger på höstadienivå med en mindre del på gymnasienivå Den har ej för avsikt att följa läroplanen men kan med fördel användas

Läs mer

5Genrepet. Mål. Arbetssätt K 5

5Genrepet. Mål. Arbetssätt K 5 Genrepet Mål I det här kapitlet får eleverna möjlighet att repetera och reparera grunderna i grundskolans matematik. apitlet är indelat i se avsnitt: Tal Bråk och procent Geometri Algebra Statistik och

Läs mer

Studieanvisning i Optik, Fysik A enligt boken Quanta A

Studieanvisning i Optik, Fysik A enligt boken Quanta A Detta är en något omarbetad version av Studiehandledningen som användes i tryckta kursen på SSVN. Sidhänvisningar hänför sig till Quanta A 2000, ISBN 91-27-60500-0 Där det har varit möjligt har motsvarande

Läs mer

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse

Läs mer

SF1635, Signaler och system I

SF1635, Signaler och system I SF65, Signaler och system I Tentamen tisdagen 4--4, kl 8 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook. Formelsamling i Signalbehandling rosa), Formelsamling för Kursen SF65 ljusgrön). Obs : Obs : Obs : Obs 4:

Läs mer

Karlstads universitet Tel 202 Elkraftteknik och kraftelektronik Bilaga 3 Avd. för elektroteknik Asynkronmotorn 1(12) Asynkronmotorn

Karlstads universitet Tel 202 Elkraftteknik och kraftelektronik Bilaga 3 Avd. för elektroteknik Asynkronmotorn 1(12) Asynkronmotorn Karltad univeritet Tel 0 Elraftteni och rafteletroni Bilaga Avd. för eletroteni Aynronmotorn 1(1) Aynronmotorn Namn: Godänd laboration: Syfte Du all underöa egenaperna ho en trefa aynronmotor. Underöningen

Läs mer

Talmönster och algebra. TA

Talmönster och algebra. TA Talmönster och algebra. TA Diagnoserna i området avser att kartlägga om eleverna kan upptäcka talmönster samt på olika sätt bearbeta algebraiska uttryck och ekvationer. Förståelse av koordinatsystem och

Läs mer

Stokastisk geometri. Lennart Råde. Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet

Stokastisk geometri. Lennart Råde. Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet Stokastisk geometri Lennart Råde Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet Inledning. I geometrin studerar man geometriska objekt och deras inbördes relationer. Exempel på geometriska objekt

Läs mer

Kombinatorik. Kapitel 2. Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av

Kombinatorik. Kapitel 2. Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av Kapitel 2 Kombinatorik Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av det antal sätt, på vilket elementen i en given mängd kan arrangeras i delmängder på något sätt.

Läs mer

lena Alfredsson Kajsa Bråting Patrik erixon hans heikne Matematik Kurs 2b Grön lärobok natur & Kultur

lena Alfredsson Kajsa Bråting Patrik erixon hans heikne Matematik Kurs 2b Grön lärobok natur & Kultur lena Alfredsson Kajsa Bråting Patrik erion hans heikne Matematik 5000 Kurs 2b Grön lärobok natur & Kultur NATUR & KULTUR Bo 27 323, 02 54 Stockholm Kundtjänst: Tel 08-453 85 00, order@nok.se Redaktion:

Läs mer

9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar

9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar 9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar 9.43 b) Villkor för att linan inte skall glida ges av ekv (4.1.6). 9.45 Ställ upp grundekvationerna, ekv (9.2.1) + (9.2.4), för trådrullen. I momentekvationen,

Läs mer

Laboration i Geometrisk Optik

Laboration i Geometrisk Optik Laboration i Geometrisk Optik Stockholms Universitet 2002 Modifierad 2007 (Mathias Danielsson) Innehåll 1 Vad är geometrisk optik? 1 2 Brytningsindex och dispersion 1 3 Snells lag och reflektionslagen

Läs mer

Matematik A Testa dina kunskaper!

Matematik A Testa dina kunskaper! Testa dina kunskaper! Försök i största möjliga mån att räkna utan hjälp av boken, skriv små noteringar i kanten om ni tycker att ni kan uppgifterna, att ni löste dem med hjälp av boken etc. Facit kommer

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer