MATEMATIK. av Rolf Pettersson. Grafisk Formgivning: Lennart Jörelid. Utgiven i juni 1999 Upplaga ex

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "MATEMATIK. av Rolf Pettersson. Grafisk Formgivning: Lennart Jörelid. Utgiven i juni 1999 Upplaga 10.000 ex"

Transkript

1 MATMATIK Kort förberedande urs för blivande tenologer av Rolf Pettersson Grafis Formgivning: Lennart Jörelid Utgiven i juni 1999 Upplaga ex entrala Studievägledningen halmers Tenisa Högsola Göteborg Tel

2 Till dig som söer till högre tenis utbildning Som du vet förutsätter studier i tenisa ämnen goda unsaper i matemati n stor del av det första året ägnas därför åt grundläggande matematisa ämnen Goda resultat i de teoretisa ämnena under första studieåret öar dina möjligheter till framgång i de fortsatta studierna Det första läsåret vid en högsola innebär alltid en stor omställning från gymnasiestudierna Har man då lucor i gymnasiematematien, an det bli rätt arbetsamt Om du inte är säer på att du redan har mycet goda unsaper i matemati, gör du lot i att förbereda dig ordentligt genom att repetera gymnasieursen och läsa in avsnitt som du anse tidigare försummat Hur gör jag då? Till hjälp får du detta ompendium Matemati ort förberedande urs för blivande tenologer Arbeta igenom det så grundligt, att du behärsar de olia avsnitten De många övningsexemplen ger dig möjlighet till nyttig räneträning I början av ompendiet finns dessutom ett diagnostist prov och i slutet en provräning med blandade uppgifter Kompendiet är avsett för c:a 50 timmars studier Ta avsnitten i den ordning du själv finner lämplig n metod är att först räna alla [1] och [2]-uppgifterna (ompendiet rat igenom) Sedan alla [3]-uppgifterna osv Har du bra betyg i matemati från gymnasiet och tror dig unna gymnasieursen gansa bra, an du försöa dig på sista uppgiften i varje övningsuppgift (Uppgifterna är i stort sett ordnade efter växande svårighetsgrad) Är det något eller några områden du speciellt behöver repetera, tex logaritmer, trigonometri eller derivering med hjälp av edjeregeln, an du i första hand oncentrera dig på dessa Det väsentliga är att du ränar (mindre väsentligt är vad du ränar) Sulle du öra fast på några uppgifter an du eventuellt få hjälp per telefon (se bilaga Upplysningar inför terminsstarten) tt syfte med ompendiet Matemati ort förberedande urs för blivande tenologer är att nöta in vissa formler, som du anse varit van att hitta i en formelsamling På tentamen vid de tenisa högsolorna ommer du inte att ha formelsamlingen till hands Försö därför att lara dig utan, när du löser övningsexemplen Kunsapsontroll? Du ommer inte att avrävas redovisning av de här repetitionsövningarna Däremot ommer du snart att mära, att du har stor nytta av förberedelsearbetet, även om högsolestudierna inleds med en repetitionsurs i matemati Lyca till Med Hälsningar från de Tenisa Högsolorna ii

3 Tillägg av författaren I detta ompendium behandlas i huvudsa de moment, som matematilärare vid tenisa högsolor ansett vara de mest grundläggande delarna av gymnasiematematien Den nuvarande gymnasieursen i matemati är gemensam för alla solor i landet, men olia solor och lärare betonar anse vissa delar mer eller mindre start Därför an några delar av ompendiet vara mer (eller mindre) välbeanta för dig Tips: Hoppa över avsnittet 3 om ellipser mm, ifall dessa begrepp inte behandlats i din gymnasieurs Observera ocså att ompendiet är avsett att väsentligen vara en repetition av matematien i delarna A, B, och D, som bruar genomgås de två första åren på gymnasiet Däremot repeteras vanligen del (med bla tillämpning av integraler och differentialevationer), samt en eventuell, frivillig del F, i samband med de ordinarie matematiurserna på de tenisa högsolorna Lyca till Rolf Pettersson Årets utgåva av Matemati ort förberedande urs för blivande tenologer är en grafist bearbetad upplaga av ett äldre, i huvudsa masinsrivet, original Jag har i samråd med författaren försöt ge häftet en så lättöversådlig och pedagogis utformning som möjligt, utan att förändra dess sainnehåll nämnvärt ftersom jag själv är tenolog vid F-setionen på halmers och därmed onfronterats en del med tenis urslitteratur, har jag strävat efter att ge häftet en utformning som i så hög grad som möjligt linar tenologens vardagslitteratur detta för att ge Dig en så smidig övergång som möjligt mellan gymansielitteraturen och de Tenisa Högsolornas tt gott råd är dessutom att verligen försöa lägga undan miniränaren då Du ränar dig i igenom häftet nligt min egen erfarenhet, var detta en av de verligt givande poängerna med att repetera gymnasiets matemati Förståelsen för de grundläggande tenisa matteurserna öar enormt om många av detta häftes formler och samband sitter i ryggmärgen Lyca till Lennart Jörelid iii

4 Innehåll DIAGNOSTISKT PROV 5 1 Algebraisa räningar 7 11 Addition, subtration och multipliation av reella tal 7 12 Division av reella tal Bråräning Lineära evationssystem 1 1 Absolutbelopp Kvadratroten ur ett positivt reellt tal Ice-reella tal Komplexa tal Andragradsevationer Fatoruppdelning av andragradspolynom Fatorsatsen vationer av större gradtal än två Oliheter :te roten ur ett reellt tal Allmänna potenser Logaritmer 25 2 Trigonometri Vinelmätning Rätvinliga trianglar De trigonometrisa funtionerna för godtycliga vinlar 31 2 Några enla trigonometrisa formler 3 25 Additions- och subtrationsformler Formler för dubbla resp halva vineln 37 3 Plan analytis geometri Avståndet mellan två punter Räta linjen ireln 1 3 llipsen, hyperbeln och parabeln 2 Funtionslära 1 Inledning 2 Derivatans definition 5 iv

5 3 nla deriveringsregler De elementära funtionernas derivator 6 Sammansatta funtioner Kedjeregeln 8 5 Tangent och normal till en urva 51 6 Maximi- och minimiproblem 52 PROVRÄKNING (Blandade exempel) 5 FAIT TILL ÖVNINGSUPPGIFTRNA 56 Facit till det diagnostisa provet 69 Facit till provräningen (blandade exempel) 69 v

6 A DIAGNOSTISKT PROV (Lämplig tid: cira 2 timmar) (Svar finns på sista sidan i ompendiet) [1] Förenla [2] Lös evationen " [3] Förenla så långt som möjligt: $&%('*) / +-, )0 ' / ) + 0 [] Förorta (om möjligt) i uttrycet [5] Dividera (med polynomdivision) så långt som möjligt 6 1 " [6] Lös evationssystemet 8 [7] Bestäm exat >? : 9;: $ 9 $ A [8] Bestäm rötterna till evationen [9] För vila gäller oliheten [10] Förenla H HN 3 %JILK A IMK 3 : IMK 1-3 ILK 3 =< %B [11] Angiv exata värdet av O-P K RQS3T5 UWVTK RQS3 : [12] Bestäm alla vinlar mellan Y och : F G D Y som satisfiera (samt förenla) H [Z]\ HN O^ O_P K 3 3 [13] [a] I en rätvinlig triangel är sinus för en vinel lia med 2/3 och den mot denna vinel stående sidan är 3 längdenheter Bestäm hypotenusans längd exat [b] Samma uppgift som ovan, om i stället tangens för vineln är 2/3 [1] Bestäm UNVTK exat, om UWV K` 3a [15] Angiv på formen = $`cb " en evation för räta linjen genom punterna edbf5 och d 6

7 i [16] vationen gh$ medelpunt och radie [17] Bestäm derivatan ij [18] Bestäm i j, om i ), 3 D [19] Bestäm på formen $ b den punt på urvan, där [20] Bestäm det största värde som i : betyder geometrist en cirel (i ett ortonormerat system) Bestäm (och förenla den), om 1 ) < D en evation för tangenten till urvan $ O_P Kl7 mzn\ O an anta för reella 1 i 7

8 1 Algebraisa räningar 11 Addition, subtration och multipliation av reella tal För reella tal gäller bla följande enla räneregler: & f & & & f l = %?f g Jd? %? Man definierar potenser med heltalsexponenter som: 5o för dn qp r % osv s % ftbtbt- ^d dvs produten av stycen fatorer ty Varav följer Potenslagarna u % s uw s g s uv s 5uyx s s s ftersom? och zh &{, så gäller att y{ ovs För att förtydliga ges nedan några exempel: { dj y{ 1 &{ 1, xempel xempel 5 T " T b 6T b & Tl} b T b 5 T T ;bm Tl b & b $ W~ 1 %?= $ 1 $ ~ %?f25 %n W$ 1 f2 o $ ~ 8

9 Š Ö-1 Förenla Ö-2 Beräna [1] A $ :a ~ $ A 9 ~ $ [1] [2] z"6t b [2] 1 [3] b " 6 T b "ƒl b T [3]?f5 []?= 1 [5]? g o Ö-3 Förenla Ö- Omforma (genom att multiplicera ihop parenteserna) [1] g 1 % 2 g [1] n [2] 6<T 5 W [2] 7" ] 1 [3] 1W$ % $e-( % $ [3] " n6 []?= W$1 ~ 1z% ~ y%? 1ˆ$ Följande vitiga formler bör man unna utantill: KVADRRINGSRGLRNA KUBRINGSRGLRNA KONJUGATRGLN ƒ ] ƒ ƒ ] 1 ƒ 1 &]] FAKTORUPPDLNINGARNA T g 1 T g 1 1 g 1 ]] ] &] nƒ g OBS dw g och g an ej fatoruppdelas med reella tal xempel Utvecla 6 7 ~ 1 Lösning: 9 ~ 1 Š uberingsregeln med och 1 % z% ~ % {% ~ ƒ ~ : ~ m < ~ ~ ~ BŒ xempel Fatoruppdela uttrycet 2 b 1 1ˆbˆ 2 Wbˆ1 Lösning: 2T b b 2T b 1 ŽŠ alla gemensamma fatorer bryts ut T bl% ƒa T g 1 b b Œ ŽŠ an vadreringsregeln användas? T bl% ƒ g 1 % g 1 % bm 6 b Œ Œ Š vadreringsregeln T ˆbl% ƒ g 1 b Œ 9

10 i i p o xempel Fatoruppdela uttrycet 2 $1 Lösning: 2 $ 1 ŽŠ Kan fatoruppdelningen för 1 1 $ 1 $ ] M % $y 1 användas? $ Œ $ n (F $ $ Ö-5 Utvecla Ö-6 Förenla [1] $ [1] ] 9 [2] 6< [2] T nt [3] $1 [3] 6 m 5n 5n A5 Ö-7 Utecla Ö-8 Uppdela i fatorer [1] $ 1 [1] A [2] <T [2] 7 [3] T 1 [3] 5 J: [] ƒ : 1 Ö-9 Uppdela i fatorer Ö-10 Uppdela i fatorer [1] 2 $ $ [1] 1 [2] 2 n [2] $ ~ $ [3] W$e1S $ 1W$e [3] 2 1W$ Polynom; Kvadratomplettering Med ett polynom (i ) menas ett uttryc av formen där s s s tntbt 7 dbtntbt dw o allas oefficienter för sedbtbtbt d o Om s säges vara av grad tt vitigt begrepp är vadratomplettering i andragradspolynom (jämför detta med lösning av andragradseationer [17]) Kvadratompletteringen ges av: 9 % %B9 " 7 " xempel Bestäm (genom vadratomplettering) minsta värdet av Lösning: " 7 m " Š vadratomplettera %B % 1 1 " 1 7 Œ 1 J

11 b b 2 ftersom 1 š vilet inträffar då för alla, med lihet om och endast om 1 1, inser man att iœ Ÿž, Ö-11 Kvadratomplettera Ö-12 Kvadratomplettera [1] [1] 7 [2] < [2] [3] $ 2 $ [3] J: Ä a [] $ $e [] m [5] m: $ $ " [5] $e ~ $ ~ Ö-13 Bestäm (genom vadratomplettering) minsta värdet av: Ö-1 Bestäm största värdet av [1] m [1] < [2] < [2] [3] 7 [3] 12 Division av reella tal Bråräning nligt definitionen på brå har förstagradsevationen % (an ocså srivas 3T ) för 7p bl% %œb Förortning och b % %Bb förlängning: (för b p Multipliation: Division, dubbelbrå: Addition, subtration: OBS nämlligen r För bråräning gäller bla följande regler: % D ) b b b b % 3T b 3 b ( b % % % och % %œb % den entydiga lösningen v är ej lia med (Alltför vanligt fel att tro motsatsen) Om tex v, medan Potenser med negativa exponenter definieras som b, är 11

12 Definition s s 5u s varav följer u s s u xempel Förenla uttrycet: Lösning: ª «] z e?? œƒl? l ƒl xempel Sriv 9" som ett brå (på så enel form som möjligt), Lösning: 9 9 7" n 7 Š Fatoruppdela nämnarna Œ h%b Š Förläng de olia bråen, så att de nya bråen får samma nämnare Vi har minsta gemensamma nämnare D %5 % 9 %B 7 % Tn T 7 ] Œ n 7 %5 ] % 9 9 n 9 Tn 1 g 12

13 Anmärning: Man an ocså (i ovanstående exempel) först addera två av bråen och sedan till summan addera det tredje brået Genomför dessa räningar Ö-15 Beräna Ö-16 Beräna [1] 1 % J 1 1 [2] -3 [1] 1 [2] 3T5 [3]?=< 1 Ö-17 Sriv som potens av 2 Ö-18 Förenla [1] 3T5 [1] $ -3 $ o [2] T253T [2] T 1 ;: g -3 g [3] 2T ˆ3 1 [3] $e ~ 1 < ~ $ < ~ W$ -3< $ ~ Ö-19 förenla Ö-20 Förorta (om möjligt) [1] ]_3 [1] g-3ƒ [2] ] 3z [2] ƒ _3 g [3] ] 3z [3] 1 _3 1 [] z e 3 1 [5] ] 3z 1 Ö-21 förenla Ö-22 Lös evationen [1] 3-3 $ 3 $ _3 &" 3 $ $ [2] 3T 3T -3 3Tz3T [1] [2] 6< 9 T-3 g 3 ƒ 7 _36 Ö-23 Sriv som ett brå (på så enel form som möjligt): [1] 3 3 " [2] _3 7" [3] 3 3 z : _3ƒ Ö-2 Sriv som ett brå (på så enel form som möjligt): [1] 3 3 [2] 3ƒ 6 _3 [3] 7" _36 2 " _3ƒ 2 13

14 Rationella uttryc, Polynomdivision tt rationellt uttryc (i ) an srivas på formen, där och är polynom och p, dvs ej identist noll Om nu gradtalet för är större än eller lia med gradtalet för an divideras med, så att gradtalet för restpolynomet ± Man får ± r², där ² allas votpolynom Polynomen ² och ± an bestämmas med en polynomdivisionsalgoritm (se följande exempel) xempel Dividera 1mm -3 7 Lösning: Sriv upp täljaren och nämnaren stolen ):, blir mindre än gradtalet för så långt som möjligt med trappan (eller liggande, Multiplicera se- Fortsätt med att di-, dvs bilda Multiplicera och subtrahera som ovan 7-7" 1 ³² - 1 A " n ± _ Metod: Dividera högstagradstermen 1 i med högstagradstermen i dvs bilda 1 3, som blir första termen i voten ² dan hela nämnaren med och subtrahera från videra högstagradstermen i resten med högstagradstermen i 3, som blir nästa term i ² är strängt mindre än gradtalet för Fortsätt tills gradtalet i restpolynomet ± Svar: 1 7 7" n 7 Ö-25 Dividera så långt som möjligt: Ö-26 Dividera så långt som möjligt: [1] " _3 [1] :a T-3 [2] _3 " [2] 1 _36 [3] 1 < 7" _3 [3] m g

15 : < µ : < 13 Lineära evationssystem Vid lösning av evationer med flera obeanta söer man genom elimination saffa sig en evation, som innehåller endast en obeant Man an använda sig av en av två metoder substitutionsmetoden eller additionsmetoden För att illustrera, ges nedan ett exempel: (Tecnet µ betyder om och endast om ) xempel Lös evationssystemet 8 7 < $ 7 $ =< Lösning: Metod 1 [Substitutionsmetoden] ƒ < $ _3, som man sätter in i den andra Då erhålles Den första evationen ger ^ƒ < $ _3 $ B$ Alltså är ƒ < $ -3 Svar: = d $ ƒ =< _3 Lösning: Metod 2 [Additionsmetoden] µ = < $ $ µ y=2 f, och man får ett Multiplicera (för att eliminera ) båda leden i de givna evationerna med 3 resp och addera dem: : 7 < $ : $ B$ OBS Kontrollera alltid svaret genom insättning i de givna evationerna Anmärning: Den lineära evationen f $ b betyder geometrist en rät linje tt system av sådana evationer har alltså a) en b) ingen eller c) oändligt många lösningar beroende på om de räta linjerna är a) särande b) parallella (och olia) c) sammanfallande Härav fås y=2, som insatt i en av de givna evationerna ger Ö-27 Lös evationssystemet Ö-28 Lös evationssystemet [1] 8 [2] 8 [3] 8 9 $ 9 < $ $ 7 $ 7 $ < $ [1] 8 [2] 8 Ḩ¹ [3] 7 $ : 7 $ $ : $ 9 $ ~ 7$ ~ 9 $ ~ : µ = 15

16 < < 1 Absolutbelopp DFINITION om 8 qš om Alltså är éš för alla och om så är avståndet mellan punterna och på tallinjen Geometrist an º uppfattas som xempel nligt definitionen är &?=, ty xempel xvationen an srivas, varför rötterna är och = xempel Oliheten an även srivas =< 7, dvs = Studera tallinjen z, Ö-29 Bestäm Ö-30 Lös evationerna [1] < [1] [2] < [2] 7 [3] Ÿ: 2 [3] [] = t»< [] 7" [5] : 2 [5] 7 [6] < Ö-31 Angiv utan absolutbelopp de, som satisfiera: Ö-32 Sriv i är: [1] 9¼ [1] [2] ǵ½ [2] [3] [3] 7" ˆ [] ǵ½ [] e : 7 <et»< 3T utan absolutbelopp, om i 15 Kvadratroten ur ett positivt reellt tal ftersom š DFINITION ¾%œ;š för alla reella tal har evationen där š vadrat är Alltså ] reella lösningar endast om, menas det ice-negativa, reella tal vars för š 16

17 för f xempelvis B: (Mycet vanligt fel att tro motsatsen) Av definitionen följer vissa räneregler: och 3T > för och 2 för alla reella, % för š, alla n3 för @ ]_3 ]_3 för och = och Àp Reglerna allas förlängning med onjugatuttryc (se exempel nedan) OBS I allmänhet p xempel Förenla > xempel?= Lösning: nligt räneregel 2 ovan, är > n alternativ lösningsmetod är > 1 eá?=?= Sriv med heltalsnämnare Lösning: Förläng med onjugatet till nämnaren: < < < < < Ä < xempel Förenla Á ) ) och ange definitionsmängd är definierat för qš¼, men endast för För är: Svar: är ) Á @ 17

18 8 Ö-33 Förenla Ö-3 Förenla A t J: : <?f5 T 2 2 [3] > Ö-35 Förenla Ö-36 Sriv med heltalsnämnare: A : [1] [2] [3] @ < <-3 < [] @ : Ö-37 Förenla Ö-38 Förenla följande uttryc (och angiv definitionsmängd): %, om h och = [1] 7 9 %, om och = [2] 6< < [3] % 3T >, om h och = [3] [] % 3T >, om och [] 1 [5] 1 [6] 9 [7] 6-3 vationen OBS har för = två olia reella œd ÄÃ för š Ã Man sriver xempel vationen A xempel D, dvs D, 3 A har rötterna T3T sanar lösning, Àš 18

19 Æ Æ Æ Æ Æ 8 Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Ö-39 Lös evationen Ö-0 Lös evationen [1] [2] T [3] " 7" " 7 D " 16 Ice-reella tal Komplexa tal vationen sanar reella rötter om b b "Æ b, där Æ Man an nu (något oegentligt) sriva: b à baç b Æ Däremot har den ice-reella (imaginära) xempel vationen = har rötterna Å = dvs tt omplext tal an srivs på formen È Æ, där È och är reella tal och Æ är den imaginära enheten, som satisfierar evationen Æ xempel ]6 Š Konjugatregeln Œ A Ö-1 Lös evationen Ö-2 Sriv på formen È [1] =A [1] " [2] m D [2] ]6 [3] J: T< " [3] _36 [] f [] 3 " 3= [5] 5 m r Æ 19

20 ¹ Ï Ê Ê < Ê Æ 17 Andragradsevationer Fatoruppdelning av andragradspolynom n adragradsevation cb r an, då Àp r, srivas på normalform: * ¼É " n andragradsevation på normalform, h fà ", an lösas genom vadratomplettering: 7ËÊ *Ì Ê *Ì r µ Ên9 *Ì *Ì Alltså gäller att: vationen m 9 D har rötterna Å ŽÍ Ì Dessa rötter och är [1] Reella och olia, om 3 [2] Reella och lia, om 3 r [3] Ice-reella och olia, om 3 OBS Om D, har evationen Î D en rot r, samt roten xempel Beräna rötterna till evationen < Lösning: vationen an srivas på normalform: 1 ", och har rötterna Å Alltså är rötterna Ï <9 ŽÍ xempel vationen : " Å <*Ì < < Ê < < <*Ì D har A < T< OBS Kontrollera alltid svaret genom insättning i den givna evationen < < <9 < 20

21 Ñ Ö-3 Bestäm rötterna till evationerna Ö- Lös evationerna, dvs bestäm alla rötter: [1] : < r [1] 7: " [2] 9;: [2] 9 D [3] < D [3] < [] n [] ;: r (Sätt här [5] < D [5] [6] A " : D [7] : D Fatoruppdelning (av andragradspolynom) Om evationen Ð = r har rötterna och, så an polynomet Ð fatoruppdelas: ] Anmärning: Om 3T, så är och ice-reella och i så fall an 9 ej fatoruppdelas med reella tal (Därmot an ¾ c alltid fatoruppdelas med omplexa tal) ~ ) xempel Fatoruppdela polynomet Ñ Lösning: får Rötterna är alltså 8 Alltså är Å 3 Lös därför först evationen ŽÍ n J: Ê 7 *Ì n, varför ]6 &r r Man 21

22 d < < Æ Ö-5 Fatoruppdela (med reella tal): Ö-6 Angiv en andragradsevation med rötterna: [1] [1] 1 och = [2] : º och [3] m [3] Æ och [] 2 2 [5] : 9 18 Fatorsatsen vationer av större gradtal än två Sats Fatorsatsen Om är ett polynom i och Ò, dvs om är en rot till polynomevationen Ó, så är en fator i, dvs %J där är ett polynom av en enhet lägre grad än xempel Lös evationen 1 Tnm T 5< D Lösning: fter prövning (av tex d edbtbtbt ) finner man att är en rot, ty T }T 5< Ë nligt fatorsatsen är alltså polynomet 1 Tn T h 5< delbart med? " Division (av polynom, se 12) ger 1 n 9 5< 7" ] < Tredjegradsevaitonens övriga rötter fås ur evationen 5< alltså Å 1 : 5< :, dvs och 1 Svar: vationen har fötterna, och 1 Tillägg: Vi har alltså fatoruppdelningen 1 n Ô 5< <Tn OBS n tredjegradsevation har alltid tre rötter (lia eller olia) D Man får D n 22

23 ) š Ö-7 Lös evationerna Ö-8 Fatoruppdela (med reella tal): [1] 1 2 r [1] 1 2 [2] 1 " [2] 1 [3] 1 ;: r [3] 1 ;: [] 1 m D [] 1 m Ö-9 Lös evationerna Ö-50 Fatoruppdela [1] r [1] 1 [2] D [2] 1 n [3] D [3] 1 : W$ $ :T$ 19 Oliheter xempel För vila är 1 n 5<? Lösning: Oliheten an srivas 1 n T h 5< (Ha alltid för vana att flytta över termer, så att ena ledet blir noll) nligt exempel ovan har vi fatoruppdelningen 9 n <Tn Tecenstudium ger nu: Svar: Oliheten gäller för xempel För vila är 7" š Lösning: Oliheten an srivas )? och för < 7" Õ, där 7 ] I Õ har vi endast fatoruppdelat täljaren Tecenstudium av ger nu: Svar: Oliheten gäller för = ½Ö och för qš¼ OBS Den givna oliheten ( i senaste exemplet) får ej srivas 9" š, dvs oliheten får ej 23

24 Ú Ú > 8 µ µ Ú multipliceras med, ty an vara negativt h  %œb } %Jb d Allmänt gäller att 8 h  %œb %Jb d om b om b Ö-51 För vila gäller följande oliheter? Ö-52 För vila gäller följande oliheter? [1] ¼ [1] 7" _3 š [2] ½ [2] 6 _3 ½ [3] Àš [3] 3 qš [] š [5] 1m: < [6] : ½ < Ø :te roten ur ett reellt tal Allmänna potenser Med Û menas den reella (och positiva, om s Alltså är Ù Ú s, Ú ] s För den vanliga vadratroten gäller Ü för š potensuttrycet Wu Ü s (med rationell exponent ƒû¾3 ) genom u Ü s u Ü s satisfierar (de allmänna) potens- och exponentiallagarna: Potens- och exponentiallagarna ) % + ) 3T + ) + g ) 3T ) ) v + ) + ) x + ) % ) ) 3T ) jämnt heltal) roten till evationen definieras Man an visa att u Anmärning: Den andra lagen ger speciellt 3TN+ +, om D xempel Förenal Ý Lösning: Þ 6 % Ù, Ù Ý 6 ß, Ù Ý ß, x Ù Ý Ù à 2

25 ) ) ) ~ > Þ > Ö-53 Förenla Ö-5 Förenla [1] 2 à A [1] [2] á [2] 2 T Ü 1 [3] < [] A Ü % A o á à [] «A [5] 5T á ˆ3 á [5] : Man an allmänt definiera uttrycet ) för 9 och alla reella, så att ) satisfierar potenslagarna ovan ) allas for en potens av, där allas bas och exponent Av speciellt intresse är den (naturliga) exponentialfuntionen ) edˆ med basen 25T2ÄtBtBt För allmänt ) gäller bla att [1] ) [2] Wo [3] i för alla för alla ) är växande (för växande ) om avtagande (för växande ) om, och OBS Man siljer på a) potensfuntionen i och b) exponentialfuntionen i ) xempel Lös evationen ) % ) v xempel Lösning: vationen ) % ) v an srivas ) % % 5, dvs ) % eller ), varför Lös evationen ) ) D Lösning: Sätt ~ Då erhålles andragradsevationen ~T ~ " med rötterna ~ och ~ f Man får nu två fall: [1] ~ ger " f [2] är en orimlighet, eftersom ) för alla reella tal Svar: D 25

26 ) ) ) ) 1 : t ) Ö-55 Bestäm reella lösningar till Ö-56 Bestäm reella lösningar till [1] ) 2 [1] ) ) D (Sätt [2] ) v ) : [2] ) ) " D [3] A ) 3T [3] ) % ) 2 D [] % ) v [] ) v A % ) r [5] ) v % ) etâ< ~ ) 111 Logaritmer För tio-logaritmen IMã$ och naturliga logaritmen ILKÄ$ gäller IMã$ µ $ ), för $ IMKÄ$ µ $ ) r, för $ OBS För att ILãT$ resp IMKÄ$ sall vara definierat rävs alltså att $ IMã d ILã D ty tex $ d IMK Y d IMK " ) µ IMã d ILã5$ Speciellt är r Av formlerna ovan följer ocså diret att ILã och ILK för alla reella äÿåœæ= xempel xempel xempel xempel $ ž + och nä IMã ILã^ T IMã t ILã ILK Ü = Lös evationerna [1] %JILKw [2] % $ för alla $ 3 Lösning: [1] %JILKw [2] % µ IMKw µ t»< tâ< µ µ á ILK Dtâ<ç Dtè 26

27 t µ ä 1 ) Ö-57 Förenla Ö-58 Förenla [1] ILã` T [1] ILK [2] ILã [2] ILK ß [3] 1 á äÿå [3] ILK [] o á ž äÿå [] ä ž á [5] Ö-59 Lös evationerna Ö-60 Bestäm reella lösningar till: [1] ILã " [1] [2] ILKw [2] %5 [3] %JILãm [3] %5 ) " ) v [] ) < ) ;: r [5] %5 ) ) : Ur potenslagarna an man härleda följande logaritmlagar (för $ och ~ Sats Av lag 2 följer speciellt att OBS ILK $ ~ [1] ILK $&% ~ ILKÄ$ ILK ~ [2] ILK +é ILKÄ$ IMK ~ [3] ILKÄ$aê Ô%BILKÄ$ Logaritmlagarna Motsvarande lagar gäller ocså för tio-logaritmen, ILã ILK ~ ILK ~ är inte lia med IMKÄ$ ILK ~ (Mycet vanligt fel att tro motsatsen) : D ): xempel Lös evationen %JIMãm %BIMã Lösning: För att IMãT sall vara definierat rävs att gäller enligt logaritmlagarna, att %JIMãT %JIMã 2 µ µ ILã ILã 1 < µ < µ ILã Ê < < ty 2 Ì µ <3T< 27

28 Y Ö-61 Förenla Ö-62 Sö reella lösningar till evationerna [1] ILã 2 IMã 2 [2] ILK 52 : %JILK %BILK [3] ILã 2 : [] ILK 3TA [5] ILK IMK < ILK Ä ILK T [6] ILã t t»< IMã IMã` t»2 IMã [1] ILKw7 %BIMK ILK < [2] IMãy IMã [3] ILK " IMKw 1 : IMK [] ILK IMKl IMK [5] ILK " ILK ILK [6] ILã ƒ IMã 9 IMã 2 Trigonometri 21 Vinelmätning Vinlar an mätas i (delar av) varv, grader eller radianer Med 1 radian menas storleen av centrumvineln i en cirelsetor, där periferibågen är lia lång som cirelns radie (Rita en figur) Sambanden mellan de olia enheterna är: varv QS3 2 Y radianer och 1 radian= 2 3aQqç¼< etë Y (Ofta sriver man inte ut enheten radian, utan sriver tex A Y : Yz œq radianer Härav fås: QS3 ) Ö-63 Bestäm grader och radianer för Ö-6 Bestäm grader och radianer för [1] 3 varv [1] 3 varv [2] 3T varv [2] =< varv (Rita figur) Ö-65 Omvandla till radianer Ö-66 Omvandla till grader [1] g< Y [1] QS3 : [2] < Y [2] `QS3T2 [3] : Y [3] T Qì3 [] Y [] =<aq 28

29 í O Q 22 Rätvinliga trianglar I en rätvinlig triangel är en vinel A Qì3 Y den tredje vineln QS3, eftersom vinelsumman i en triangel är 2 YÄ (radianer) Om en av de övriga vinlarna är, blir Vineln QS3T allas omplementvineln till Den sida som står mot den räta vinlen allas hypotenusa och de båda övriga sidorna allas ateter För rätvinliga trianglar gäller Pythagoras sats: Sats Pythagoras sats QS3T De trigonometrisa funtionerna definieras (för ): DFINITION O-P K ƒ e3 b motstånende atet _3 hypotenusa Zn\ 3 O^ b närliggande atet -3 hypotenusa UWVTK 3T motstående atet _3 närliggande atet Zn\ U 3T närliggande atet _3 motstående atet Härur fås: bl% O_P K dw %BUWVTK dw UWVTK Ÿž5ï îí ð ñ ï bl% Zn\ O^ % Zn\ U, samt att ð ñóò ï För omplementvinlen ( Qì3 O-P K QS3T UWVTK QS3 Man erhåller ocså: Zn\ dnz]\ RQS3 Z]\ O^ U dnzn\ U RQS3 ) gäller: O-P K UWV K Trigonometrisa ettan b Sats O_P K Zn\ O OBS O-P K O_P K (Fås diret ur Pythagoras sats) O_P K % O_P K Ç O-P K är ej lia med O-P K 29

30 Y b A Y b Y ç 3 < xempel Solvera en rätvinlig traingel med sidor och vinlar som inte är givna Lösning: Vinlen õ Y ô : < Y Nu är O-P K ô t O-P K ô O-P K < (O-P K < Vidare är UWV K e3 ô, varför e3 UNVTK ô Svar: õ : < d b ç¼ et, och wç : të t och ô T< 3 b, varför sidan t ç et të5t Y fås med ränedosa, ränestica eller ur tabell) ç³ t (längdenheter) tè :: ç Y (se figur), dvs bestäm de : tè xempel Bestäm O-P K och Zn\ O, om UWVTK Lösning: 53< och Rita en rätvinlig triangel med ateterna nligt Pythagoras sats är hypotenusan T varför O-P K QS3T dnz]\ O^ Då är UNVTK T 53T< Ö-67 Solvera följande rätvinliga trianglar (betecningar enligt figur ovan): [1] b [2] [3] [] [5] [6] t : och ô t och t och t»< õ och et»< õ och et» b och ô QS3T Ö-68 Bestäm (för av: Y [1] Z]\ O och UNVTK, om O-P K 3T Rita en rätvinlig triangel med och t b [2] O-P K och UWVTK, om Zn\ 3T 5< O Y [3] O-P K och Zn\ O^, om UWVTK <3 Y [] O-P K och Zn\ O^, om Zn\ U të t»< D ) exata värdet (Ledning: ) 30

31 : O O O Q Q Q Q Vi härleder nu de trigonometrisa funtionernas värden för g< d : Y Y och TY (Om man inte an dessa värden utantill, måste man snabbt unna göra en härledning) För och g< QS3 Y, samt hypotenusan b är den rätvinliga triangeln (figur 1 ovan) en halv vadrat Då varför: O_P K g< Y Z]\ g< Y UNVTK g< Y Z]\ U g< Y O_P K Z]\ UNVTK Z]\ U QS3 För Y an den rätvinliga triangeln uppfattas som en halv lisidig triangel (figur 2 ovan) (I en lisidig triangel är alla vinlarna lia med : Y, varför vinlarna i en halv lisidig triangel är : dwa Y Y och Y ) Alltså är hypotenusan b T och Pythagoras sats varför: O_P K`: Y Z]\ O : Y UNVTK`: Y Z]\ U: Y O-P K Z]\ UNVTK Z]\ U @ För Y Qì3 : erhålles under betratande av samma figur som för : Y : 31

32 O Y O Q Q í O_P K Y Z]\ Y UNVTK Y Z]\ U Y O-P K Z]\ UNVTK Z]\ U : : Q :º @ ty O-P K TY =(motsående atet)/(hypotenusan)= 3T 3 osv Ö-69 Bestäm exata värdet av Ö-70 Förenla [1] Zn\ O UWV K Y Y [2] ƒz]\ O Y O-P K _3ƒZ]\ Y O : Y [3] UNVTK(: Zn\ Y O _3 UNVTK g< Y O-P K : TY O-P K TY [1] ð ñ Ü í ëö %B Ÿž Ü»ö 1 (Ledning: använd potenslagarna) [2] òl ž Ü ëö %B ð ñ Ü í ëö [3] Ÿž Ü í»ö v ð ñ Ü í ëö 1 3 òø ž Ü ëö v ð ñóò Ü»ö 23 De trigonometrisa funtionerna för godtycliga vinlar n vinel ränas positiv om den mäts moturs, och negativ om den mäts medurs, vanligen ränat från positiva -axeln Antag, att d $ är en punt på enhetscireln, vars evation är ;$ De trigonometrisa funtionerna för godtycliga vinlar definieras genom: 32

33 d 8 8 O $ O Q d O O p p 3 O DFINITION O-P K Zn\ O UWVTK Zn\ O $ 3 för p dó 3 $ r för $ p dù D dvs dvs QS3T ; QS QS QS3 Vi ser att definitionerna stämmer överens med de tidigare givna för, dvs för d $ (Rita figur) ftersom O-P K $, är O_P K positivt för vinlar i första och andra vadraten och negativt i tredje och fjärde Linande regler för Z]\ d O UNVTK dnz]\ U : Av definitionerna ovan följer diret att Sats [1] UNVTK O_P K 3mZn\ O^ 3mZ]\ U och Zn\ U Z]\ O O_P K 3 UWV K [2] ½ O-P K ½¼ och ½ Z]\ O^ ½¼ Š för alla vinlar Œ [3] O_P K D O_P K QS3T d O_P K Q r O_P K Qì3 d O-P K aq D [] Z]\ O dnz]\ QS3 dnzn\ dnz]\ QS3T dnz]\ aq D " [5] O_P K O-P K F% aqs och Zn\ Z]\ O^ F% aqì [6] O_P K Zn\ O [Trigonometrisa ettan], för varje heltal 33

34 O 8 O 3 3 O Q Q xempel Bestäm exat: Z]\ ƒ5 aqs3 O : ) Lösning: Z]\ ƒ5 aqs3 : Zn\ Qì3 : % aqs xempel Bestäm O-P K och Zn\ O, om Zn\ U Lösning: Med hälp av formeln Zn\ U Zn\ O^ O_P K samt triogometrisa ettan får man evationssystemet Zn\ O( O-P K Zn\ O O_P K Zn\ RQS3 : och 3T med lösningar 8 ftersom ligger i andra vadranten, där Zn\ O^ och O_P K Z]\ < Svar: O^ och O_P K < Ö-71 I vilen vadrant hamnar följande vinlar? Ö-72 Bestäm exat [1] TQS3T [1] Zn\ Q O [2] Y [2] O-P K aqs3 [3] < QS3 [3] O-P K T QS3 g [] aqs3 : [] Zn\?=T QS3 5 O [5] Y [5] UWV K?fA QS3ag [6] Qì3T [6] Zn\ U? QS3T5 Zn\ O O-P K ³ú < <, fås Ö-73 Visa att Ö-7 Visa (för godtycliga heltal ) att [1] 3mZn\ O [2] 3 O-P K UNVTK [1] O-P K` Q Zn\ U- D [2] Zn\ Q? O s [3] O-P K 6Ô QS3Ta [] Zn\ O MÔ" QS3œ D s Ö-75 Bestäm exat Ö-76 Beräna exat [1] O_P K och UNVTK, om Zn\ 53 aq O [2] Z]\ O^ och UWVTK, om O_P K û andra vadranten [3] O-P K och Zn\ O^, om QS3T UWVTK [] O-P K och UWVTK, om Zn\ O^ och QS3 të och är i, och Q 3 [1] O-P K Zn\ O^, om QS3T UWVTK [2] O_P K Zn\ O^, om Zn\ U [3] UWVTK Zn\ U, om O_P K Qì3 œq g3t och =3 och QS3T g<, och 3

35 8 8 O O O O Några enla trigonometrisa formler Sats 8 O_P K O_P K Z]\ Zn\ O^ O_P K Q¾ O-P K Z]\ O_P K RQS3= Zn\ Z]\ RQS3 O^ O-P K O_P K QS O_P K Z]\ Qì ÀZn\ O( UNVTK? UNVTK Z]\ U ÀZ]\ U Q¾ qzn\ O UWVTK QS3 Z]\ U Zn\ U QS3= UNVTK UWVTK QS UWV K Zn\ U QS Z]\ U Dessa formler an härledas med hjälp av spegling (se lärobo från gymnasiet) 35

36 O xempel 6<aQS3 : Bestäm Zn\ O Lösning: <œqs3 : ligger i andra vadranten Använd formeln Zn\ O Z]\ O Ê <aq : Ì ÀZ]\ O Ê Q¾ <aq : Ì ÀZ]\ O Ê ÀZn\ Q : Ì Vi får alltså xempel O_P K Ê 5<aQ Ì O-P K Ê : % aq¾ Q Ì O_P K Ê Q Ì O_P K Ê Q Ö-77 Bestäm exat Ö-78 Bestäm exat [1] O-P K?`QS3 g [1] O-P K Y [2] O-P K 6<aQì3 : [2] Zn\ O Y [3] UWVTK?`QS3T5 [3] O-P K? < TY [] Zn\ 6<aQì3 g O [] UWV K Y [5] Zn\?= aqs3 O : [6] UWVTK 6aQS3 5 Ö-79 Bestäm exat Ö-80 Visa (utgående från formlerna ovan) att [1] O-P K œqs3t5 [2] UWVTK 6 <aqì3 g [3] Zn\ 6< QS3T5 O [] Zn\ U? Qì3T5 [1] UWV K Q¾ [2] Zn\ U Q¾ Av formlerna ovan (i detta och föregående avsnitt) erhålles: K K È È È È Q È Sats (1) O_P O-P Èhµ Ð% œq Q Ð% aq (2) Z]\ Z]\ O^ O^Èhµ Ð% aq Ð% aq (3) UNVTK UNVTK Èhµ Ð% eller eller UNVTK ÀZ]\ U I samtliga formler ovan är ett godtycligt heltal 36

MATEMATIK. blivande teknologer. Rolf Pettersson. Grafisk formgivning: Lennart Jörelid. Chalmers tekniska högskola

MATEMATIK. blivande teknologer. Rolf Pettersson. Grafisk formgivning: Lennart Jörelid. Chalmers tekniska högskola MATMATI ort förberedande material för blivande tenologer av Rolf Pettersson Grafis formgivning: Lennart Jörelid halmers tenisa högsola Till dig som söer till högre tenis utbildning Somduvetförutsätterstudieritenisaämnengodaunsaperimatematinstordelav

Läs mer

L HOSPITALS REGEL OCH MACLAURINSERIER.

L HOSPITALS REGEL OCH MACLAURINSERIER. L HOSPITALS REGEL OCH MACLAURINSERIER Läs avsnitten 73 och 8-82 Lös övningarna 78-75, 82, 84a,b, 85a,c, 89, 80 samt 8 Avsnitt 73 L Hospitals regel an ibland vara till en viss nytta, men de flesta gränsvärden

Läs mer

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b

Läs mer

Hur Keplers lagar för planetrörelser följer av Newtons allmänna fysikaliska lagar.

Hur Keplers lagar för planetrörelser följer av Newtons allmänna fysikaliska lagar. Hur Keplers lagar för planetrörelser följer av Newtons allmänna fysialisa lagar. 1. Newtons gravitationslag och Newtons andra lag. Vi placerar ett rätvinligt oordinatsystem i solsystemet med solens medelpunt

Läs mer

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning det finns ett tal k så att A=kB

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning det finns ett tal k så att A=kB MATEMATISK MODELLERING Att ställa upp en differentialevation som besriver ett förlopp Följande uttryc används ofta i olia problem som leder till differentialevationer: Text A är proportionell mot B (A

Läs mer

Om användning av potensserier på kombinatorik och rekursionsekvationer

Om användning av potensserier på kombinatorik och rekursionsekvationer Om användning av potensserier på ombinatori och reursionsevationer Anders Källén MatematiCentrum LTH andersallen@gmailcom Sammanfattning Vid analys av både ombinatorisa problem och för att lösa reursionsevationer

Läs mer

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

6.4 Svängningsrörelse Ledningar

6.4 Svängningsrörelse Ledningar 6.4 Svängningsrörelse Ledningar 6.166 b) Krafterna i de båda fjädrarna är lia stora och lia med raften på roppen (inses genom att man frilägger roppen och de två fjädrarna var för sig). Kroppens förflyttning

Läs mer

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Höstterminen 006 Introduktionskurs i matematik för civilingenjörsprogrammet F Tentamen på Introduktionskursen i matematik äger rum lördagen den 6 september

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp

Läs mer

Matematik 5 Kap 1 Diskret matematik I

Matematik 5 Kap 1 Diskret matematik I Matemati 5 Kap 1 Disret matemati I Inledning Konretisering av ämnesplan (län) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matemati/strutur_äm nesplan_matemati/strutur_ämnesplan_matemati.html Inledande ativitet

Läs mer

Trigonometri. Sidor i boken 26-34

Trigonometri. Sidor i boken 26-34 Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor

Läs mer

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n Årgång 48, 1965 Första häftet 2505. Låt M = {p 1, p 2,..., p k } vara en mängd med k element. Vidare betecknar M 1, M 2,..., M n olika delmängder till M, alla bestående av tre element. Det gäller alltså

Läs mer

Upphämtningskurs i matematik

Upphämtningskurs i matematik Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna

Läs mer

a k . Serien, som formellt är följden av delsummor

a k . Serien, som formellt är följden av delsummor Kapitel S Mer om serier I dettapitel sall vi fortsätta att studera serier, ett begrepp som introducerades i Kapitel 9.5 i boen, framförallt sa vi bevisa ett antal onvergensriterier. Mycet ommer att vara

Läs mer

Algebraiska räkningar

Algebraiska räkningar Kapitel 1 Algebraiska räkningar 1.1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller bl.a. följande enkla räkneregler, som man väl använder utan att speciellt tänka på dem:

Läs mer

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer)

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Faktorsatsen 1. Pettersson: teori och exempel på sid. 21-22 Det intressanta är följande idé: Om man på något sätt (Vilket det är en annan fråga, se nedan!) har

Läs mer

Identification Label. Student ID: Student Name: Elevenkät Fysik. Skolverket Bo Palaszewski, Projektledare 106 20 Stockholm

Identification Label. Student ID: Student Name: Elevenkät Fysik. Skolverket Bo Palaszewski, Projektledare 106 20 Stockholm Identification Label Student ID: h Student Name: Elevenät Fysi Solveret Bo Palaszewsi, Proetledare 106 20 Stocholm International Association for the Evaluation of Educational Achievement Copyright IEA,

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

RSA-kryptering. Torbjörn Tambour

RSA-kryptering. Torbjörn Tambour RSA-rytering Torbjörn Tambour RSA-metoden för rytering har den seciella och betydelsefulla egensaen att metoden för rytering är offentlig, medan metoden för derytering är hemlig. Detta an om man funderar

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs. Problemtentamen

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs. Problemtentamen 013-03-14 Tentamen i Meani SG1130, basurs. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och srivdon får användas KTH Meani 1. Problemtentamen En ub med massa m står lutad mot en vertial sträv vägg och med stöd på

Läs mer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus

Läs mer

Ledtrå dår till lektionsuppgifter

Ledtrå dår till lektionsuppgifter Ledtrå dår till lektionsuppgifter Allmänna råd vid lösning av lektionsuppgifter: Försök inledningsvis att lösa uppgiften på egen hand, genom att omsätta innehållet i den tillhörande föreläsningen samt

Läs mer

Teorifrå gor kåp

Teorifrå gor kåp Teorifrå gor kåp. 2.2 5.2 Funktioner och dess grafer 1) Vad är en funktion? 2) Vad är den naturliga definitionsmängden ge några eempel 3) Vad är en värdemängd? 4) Vad är en sammansatt funktion? 5) Varför

Läs mer

Diagnostiskt test 1 tid: 2 timmar

Diagnostiskt test 1 tid: 2 timmar Diagnostist test tid: timmar Detta är ditt första diagnostisa test i matemati å den är reetitionsursen. Ge dig själv oäng för varje rätt svar. (ge inga ½ oäng). edömning: - oäng Du ar tillräcliga förunsaer

Läs mer

Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd

Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd Block 4 - Funktioner Funktionsbegreppet Definitionsmängd Värdemängd Grafen för en funktion Polynom Konstanta polynom Linjära polynom Andragradspolynom Potenser, exponential- och logaritmfunktioner Potensfunktioner

Läs mer

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar 1 Tisdag v 2 Speglingar, translationer och skalningar Ofta i matematik och i matematiska kurser är det så att man måste kunna några grundläggande exempel utantill och man måste kunna några regler som säger

Läs mer

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS. Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät

Läs mer

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73 Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar

Läs mer

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik

Läs mer

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning. Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Årgång 54, 1971 Första häftet 8. Bestäm alla reella tal x sådana att x 1 3 x 1 + < 0 (Svar: {x R: 1 < x < 0} {x R: < x < 3}) 83. Visa att om x > y > 1 så är x y 1 > x y > ln(x/y). 84. Undersök om punkterna

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

SF2715 Tillämpad kombinatorik Kompletterande material och övningsuppgifter Del I

SF2715 Tillämpad kombinatorik Kompletterande material och övningsuppgifter Del I SF2715 Tillämpad ombinatori Kompletterande material och övningsuppgifter Del I Jaob Jonsson 2 augusti 2009 Detta häfte innehåller ompletterande material till Del I av ursen SF2715 Tillämpad ombinatori,

Läs mer

Inlämningsuppgifter i Funktionsteori, vt 2016

Inlämningsuppgifter i Funktionsteori, vt 2016 Inlämningsuppgifter i Funtionsteori, vt 2016 För att man sa bli godänd på ursen rävs att såväl tentamen som inlämningsuppgifter och laborationer är godända. Inlämningsuppgifterna är alltså obligatorisa.

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck

Läs mer

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a 2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda

Läs mer

Checklista för funktionsundersökning

Checklista för funktionsundersökning Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara

Läs mer

ENVARIABELANALYS, ht 2003 (version 17 nov) Kursansvarig: tel ,

ENVARIABELANALYS, ht 2003 (version 17 nov) Kursansvarig: tel , ENVARIABELANALYS, ht 2003 (version 17 nov) Kursansvarig: Georgi.Tchilikov@ide.hh.se, tel.035-167124, http://www.hh.se/staff/getc Ett försök till "strukturering" av innehållet (skrivet i första hand med

Läs mer

Enklare uppgifter, avsedda för skolstadiet.

Enklare uppgifter, avsedda för skolstadiet. Årgång 11, 1927 Första häftet 265. Lös ekvationssystemet { x 3 5x + 2y = 0 y 3 + 2x 5y = 0 266. Visa att uttrycket na n+1 (n + 1)a n + 1 där a och n äro positiva hela tal och a > 2, alltid innehåller en

Läs mer

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad( P(

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad( P( Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycet av type a a a 0, eller ortare a 0, ( där är ett ice-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett

Läs mer

Multiplikationsprincipen

Multiplikationsprincipen Kombiatori Kombiatori hadlar oftast om att räa hur måga arragemag det fis av e viss typ. Multipliatiospricipe Atag att vi är på e restaurag för att provsmaa trerättersmåltider. Om det fis fyra förrätter

Läs mer

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson ATT KUNNA TILL MA1203 Matte C 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov C1 Kunna kvadreringsreglerna! (...utan att titta i formelsamlingen) Kunna konjugatregeln! (...utan

Läs mer

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

Komplexa tal: Begrepp och definitioner UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte. Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.

Läs mer

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper Sommarmatte del 2 Matematiska Vetenskaper 7 april 2009 Innehåll 5 Ekvationer och olikheter 1 5.1 Komplea tal.............................. 1 5.1.1 Algebraisk definition, imaginära rötter............. 1

Läs mer

Avsnitt 1, introduktion.

Avsnitt 1, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 1:1 1:1 Kvadratkomplettering Avsnitt 1, introduktion. Det här är en viktig teknik som måste tränas in. Poängen med kvadratkomplettering är att man direkt kan se om andragradsfunktionen

Läs mer

Kvalificeringstävling den 30 september 2008

Kvalificeringstävling den 30 september 2008 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre

Läs mer

Parabeln och vad man kan ha den till

Parabeln och vad man kan ha den till Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I det här dokumentet diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den

Läs mer

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Modul 1 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation

Läs mer

ger rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0.

ger rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0. KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 2.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 2 handlar om den enklaste typen av algebraiska uttryck, polynomen. Eftersom polynom i princip

Läs mer

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013 Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter

Läs mer

Complex numbers. William Sandqvist

Complex numbers. William Sandqvist Complex numbers Hur många lösningar har en andragradsekvation? y = x 2 1 = 0 Två lösningar! Kommer Du ihåg konjugatregeln? Svaret kan ju lika gärna skrivas: x 1 = 1 x2 = + 1 Hur många lösningar har den

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Repetitionsuppgifter i matematik De fyra enkla räknesätten Här övar vi på de fyra räknesätten för hela tal (positiva och negativa), tal i bråkform och tal i decimalform Bestäm de tal på tallinjen, som

Läs mer

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Modul 4 Tillämpningar av derivata Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,

Läs mer

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3, Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5

Läs mer

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra Matematik 1a Centralt innehåll Metoder för beräkningar med reella tal skrivna på olika former inom vardagslivet och karaktärsämnena, inklusive överslagsräkning, huvudräkning och uppskattning samt strategier

Läs mer

ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011

ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011 ÖVNINGAR I MATEMATIK Göran Forsling 4 april 0 Förord. Tänker du börja studera på ett tekniskt/naturvetenskapligt program till hösten? Vill du ge dina studier en flygande start? I stort sett vilken teknisk/naturvetenskaplig

Läs mer

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem.

Läs mer

Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper

Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs kurvor som uppkommer

Läs mer

För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 10) skrivs dessa

För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 10) skrivs dessa Avsnitt Olika typer av tal För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 0) skrivs dessa 0,,2,3,...,9,0,,... Samma naturliga tal

Läs mer

geometri ma B 2009-08-26

geometri ma B 2009-08-26 OP-matematik opyright Tord Persson geometri ma 2009-08-26 Uppgift nr 1 Uppgift nr 3 26 13 z s Hur stor är vinkeln z i den här figuren? Uppgift nr 2 Hur stor är vinkeln s i den här figuren? Uppgift nr 4

Läs mer

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Reella tal. Rationella tal. a(b + c) = ab + ac Bråkräkning. Irrationella

Läs mer

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvu ISBN 91-27-51027-1 Förord Vår ambition med denna studiehandledning är att den skall guida dig genom boken Matematik 3000 kurs C/Komvu av Lars-Eric Björk,

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 44, 1961 Årgång 44, 1961 Första häftet 2298. Beräkna för en triangel (med vanliga beteckningar) ( (b 2 + c 2 )sin2a) : T (V. Thébault.) 2299. I den vid A rätvinkliga triangeln OAB är OA

Läs mer

KVADRATISKA FORMER. Definition 1. ( av en kvadratisk form) En kvadratisk form är ett uttryck av typ. Några exempel på kvadratiska former:

KVADRATISKA FORMER. Definition 1. ( av en kvadratisk form) En kvadratisk form är ett uttryck av typ. Några exempel på kvadratiska former: KVADRAISKA FORMER Definition. ( av en vadratis form) En vadratis form är ett uttryc av typ nn nn aa iiii xx ii xx jj ii= jj= Några exempel på vadratisa former: QQ = 4xx + 5xx xx + 8xx xx 3 + 9xx + xx xx

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter TM-Matematik Mikael Forsberg 074-42 Pär Hemström 026-648962 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma04a 202 06 04 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1 TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

x(t) =A cos(!t) sin(!t)

x(t) =A cos(!t) sin(!t) Lösningsförslag. Rörelseevationen för roen ger som vanligt ẍ +! =,! = som tillsamman med begynnelsevilloren () = A, ẋ() = ger a) Så varför mavärdet av hastighetens belo är!a. q m A (t) =A cos(!t) ẋ(t)

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

MATMAT01b (Matematik 1b)

MATMAT01b (Matematik 1b) Sida 1 av 6 MATMAT01b (Matematik 1b) ATT KUNNA TILL PROV MATMAT01b1 - Öka, respektive minska temperaturer - Skriva tal skrivna med text med siffror, Ex två tiondelar = 0,2 - Hitta på två bråk som ger en

Läs mer

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för

Läs mer

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson , MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8

Läs mer

Diagnostiskt test för Lp03

Diagnostiskt test för Lp03 Diagnostiskt test för Lp --6, kl. 9.5 Inga miniräknare/formelsamlingar. Redovisa dina resonemang/räkningar.. Skriv namn, vilket år du senast läste matematik, vilken kurs det var, vilket betyg du fick..

Läs mer

lena Alfredsson kajsa bråting patrik erixon hans heikne Matematik kurs 3c blå lärobok natur & kultur

lena Alfredsson kajsa bråting patrik erixon hans heikne Matematik kurs 3c blå lärobok natur & kultur lena Alfredsson kajsa bråting patrik erion hans heikne Matematik 5000 kurs c blå lärobok natur & kultur NATUR & KULTUR Bo 7, 0 5 Stockholm Kundtjänst: Tel 08-5 85 00, order@nok.se Redaktion: Tel 08-5 86

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 41, 1958 Årgång 41, 1958 Första häftet 143. I en given cirkel är inskriven en triangel ABC, i vilken b + c = ma, där m är ett givet tal > 1. Sök enveloppen för linjen BC, då hörnet A är

Läs mer

Funktioner. Räta linjen

Funktioner. Räta linjen Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.08.06 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1 FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1 Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet Ger studiepoäng Kostnadsfritt Fortlöpande anmälan på wwwmathse Eftertryck förbjudet utan tillåtelse 2007 MATHSE

Läs mer

Ekvationer och olikheter

Ekvationer och olikheter Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Studietips info r kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22

Studietips info r kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22 Studietips info r kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande

Läs mer

14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek.

14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek. PASS 10. FUNKTIONER 10.1 Grundbegrepp om funktioner Mamman i den finländska modellfamiljen från pass fyra brukade dammsuga det 100 m 2 stora huset varje lördag. Det tog 30 minuter. Efter att pappan hade

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Z

Sammanfattningar Matematikboken Z Sammanfattningar Matematikboken Z KAPitel procent och statistik Procent Ordet procent betyder hundradel och anger hur stor del av det hela som något är. Procentform och 45 % = 0,45 6,5 % = 0,065 decimalform

Läs mer

Lösningsförslag Dugga i Mekanik, grundkurs för F, del 2 September 2014

Lösningsförslag Dugga i Mekanik, grundkurs för F, del 2 September 2014 Lösningsförslag Dugga i Meani, grundurs för F, del 2 Septemer 2014 Till varje uppgift finns det ett lösningsförslag som exempel på hur uppgiften an lösas. Lösningsförslaget visar även hur lösningen ungefärligt

Läs mer

GYMNASIEMATEMATIK FÖR LÄKARSTUDENTER

GYMNASIEMATEMATIK FÖR LÄKARSTUDENTER 2015-09-02 GYMNASIEMATEMATIK FÖR LÄKARSTUDENTER Nils Karlsson INDEX MATEMATISKA TAL...2 Värdesiffror...2 Absolutbelopp...3 Skala...3 STATISTIK...4 Lägesmått...4 Spridningsmått...4 Normalfördelning...4

Läs mer

Sidor i boken 8-9, 90-93

Sidor i boken 8-9, 90-93 Sidor i boken 8-9, 90-93 Absolutbelopp Men först lite om Absolutbelopp., kallas absolutbeloppet av, och är avståndet för till origo på tallinjen. Som bekant är avståndet till origo för talet 4, 4. Detta

Läs mer

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,

Läs mer