Livförsäkringsmatematik II

Transkript

1 Livförsäkringsmaemaik II Hanering av översko Beng von Bahr Richard Blom (22)

2 Innehållsföreckning 1. Hur och var översko uppsår i en livporfölj Resularäkningen...3 Ekonomisk resula i allmänhe...3 Ekonomisk resula i e försäkringsföreag...4 Förklaring av varje delpos och varför den finns Balansräkningen Resulaanalysen...7 Resulakällor...7 edbryning på beräkningselemen...8 Inbördes sammanhang mellan beräkningselemen och poser Hur skall överskoe fördelas u på de som har rä ill de? Fördelningsprinciper Rerospekivmeoden...12 Idéen bakom meoden och dess härledning...12 Härledning på försäkringsnivå - individuell perspekiv...12 Härledning på porföljnivå - kollekiv perspekiv...12 Rerospekivreservens maemaiska egenskaper...14 opplingen mellan rerospekivreserven och premiereserven; verklig ekonomi vs anagen ekonomi...14 Rerospekivreservens koppling ill resulae...14 Förändring av kollekiv konsolidering andra ordningens resula - och dess koppling ill åres resula, premiereserven, allokerad åerbäring och rerospekivreserven...15 Målnivå för kollekiva konsolidering...16 Rerospekivreservens koppling ill bolages avkasning via åerbäringsränan den implicia ermosaen...16 Sambande åerbäringsräna rerobelasningar kollekiv konsolidering resula Hur goskrivs överskoe de enskilda försäkringarna rospekiv och rerospekiv synsä Rerospekivreserven Framskrivning av rerospekivreserven (22)

3 1. Hur och var översko uppsår i en livporfölj 1.1. Resularäkningen Ekonomisk resula i allmänhe är e föreag säljer en vara eller en jäns uför man en presaion. Som ersäning för presenaionen erhålles en inäk från kunden, de ekonomiska värde av presaionen. å samma sä så förbrukar föreage resurser för a kunna presera jänserna. ärde av de förbrukade resurserna definieras som kosnader. Genom a summera inäkerna under en period och från dessa dra summan av de ekonomiska värde av under perioden förbrukade resurser fås de ekonomiska resulae under perioden. En inkoms är en avalad ekonomisk ersäning som föreage har a uppbära. Inkomsen illgodogöres av föreage när bealning influi. å samma sä är en ugif en ekonomisk ersäning föreage har a ge u. Ugifen maerialiseras när bealning sker. E illverkningsföreag som illverkar en vara och säljer den ill en kund fakurerar kunden prise för varan. Föreage erhåller i och med a fakuran bokförs (regisreras) en inkoms som mosvarar prise för varan. Om varan säljs på kredi erhålles bealningen förs senare. Föreages presaion är jus leveransen av varan, varför värde av presaionen blir lika med inkomsen, de fakurerade beloppe. Inäken föreage erhåller blir allså lika med inkomsen. Föreage har samidig ugifer för insasvaror (råmaerial.ex.) som fakureras föreage av leveranörerna, för löner och lokalhyra m.m. De resurser föreage förbrukar under en period är insasvarorna som går å under perioden, löner ill säljare och lokalhyror m.m. Om ine föreage bygger upp någo lager uan använder insasvarorna direk i produkionen blir de förbrukade resurserna lika med ugiferna under perioden, dvs kosnaderna mosvarar ugiferna. i skall nu behandla begreppe periodisering. Anag a föreage gör e aval med en kund om leverans av e pari varor och a kunden fakureras parie för parie omgående. Leveransen av varorna kommer a ske successiv. resaionen, leveransen av varorna ill kunden, kommer a spridas u över en id. Med andra ord kommer inäkerna a periodiseras. Efersom kunden har e fordran på föreage (leveranören av varorna) för de varor som ej ännu har levereras, har föreage mosvarande skuld ill kunden för icke levererade varor (symmeri). All efersom varorna levereras föreage uför presaionen - skrivs skulden av i mosvarande grad och inäker uppsår. Inäken under en period är lika sor som minskningen av skulden. Lå oss nu se på hur periodisering av kosnader. Föreage köper in en maskin på kredi. Maskinen fakureras föreage av leveranören omgående och föreage får en ugif. Bealning kommer a ske senare (kredi). Maskinen är en resurs i produkionen som ine förbrukas på en gång uan successiv under maskinens ekonomiska livslängd. Den del av de resurser maskinen represenerar som ej förbrukas under den period maskinen köps in blir kvar i föreage som en illgång. Maskinen blir med andra ord en illgång som successiv förbrukas under illgångens ekonomiska livslängd. Man säger a illgången skrivs av med e belopp under varje redovisningsperiod (.ex. e år). De belopp som skrivs av är jus de ekonomiska värde av resursen som förbrukas under perioden, kosnaden. Resulae under en period definieras som periodens inäker minus periodens kosnader. 3(22)

4 Ekonomisk resula i e försäkringsföreag E försäkringsföreags redovisning skiljer sig en del från e vanlig föreags. För de försa säljer försäkringsföreage en jäns och ine en (fysisk) vara. För de andra är värde av en affärsransakion i allmänhe ine lika med värde av inäken/presaionen som levereras. Lå oss förklara. E försäkringsbolag säljer en pensionsförsäkring (e aval som definierar vilka skyldigheer och räigheer som respekive par har, bolage/försäkringsgivaren och kunden/försäkringsagaren). unden bealar en premie. Man skulle kunna lä kunna förledas a ro a premien är prise för presaionen som bolage levererar kunden, men så är de ine. Sörsa delen av premien är avsedd för a vid e senare illfälle bealas u ill kunden i form av pension. Bara en mindre del, avgifer som bolage ar u, försvinner. Resen illhör allså försäkringsagaren och är således en fordran som denne har genemo bolage så länge pensionen ine bealas u. å mosvarande sä uppsår en skuld hos bolage, lika sor som kundens fordran. Denna skuld går under benämningen premiereserv. De ubealningar som senare kommer a effekueras från bolage ill kunden är ine presaioner i sig, uan presaionen besår i de arbee som uförs av bolage för a effekuera ubealningen. Ubealningarna innebär a kunden får illbaks sina idigare inveserade premier och bolages skuld minskar således i mosvarande grad (premiereserven minskar). Försäkringsbolages inäker är de pris bolage ar för de jänser som levereras de avgifer som belasar försäkringen. En resularäkning skulle med andra ord kunna se u som följer: Avgifer (inäker) - Drifskosnader Resula Drifskosnader avser de kosnader bolage har för sin verksamhe (löner, lokaler ). Resen,.ex. neopremier (dvs premier minus avgifer), neoubealningar m.m. skulle kunna bokföras direk mo balansräkningen, dvs ej via resularäkningen (så görs.ex. med den s.k. åerbäringen; se vidare nedan). Man har emellerid val en annan väg, och en ypisk resularäkning för e (liv)försäkringsbolag ser u så här (exak erminologi kommer a ges senare): Resularäkning remieinkoms apialavkasning - Ökning av premiereserven - Ubealningar - Drifskosnader (Teknisk) Resula apialavkasning avser den förränning bolage erhåller på i bolage insaa medel (premier). Uppsällningen ovan arvar en förklaring. Märk a begreppe premieinkoms används, och ej premieinäk. Om premierna avser en annan period än den då de fakureras sker en periodisering genom a den del som ej avser perioden skuldförs som premiereserv. Denna skuldförda del åerfinns således i premiereserven. 4(22)

5 i ser a e försäkringsföreags resularäkning är oren i och med a den innehåller poser som ej är a beraka som inäker och kosnader i egenlig mening. Genom a laborera lie med poserna ovan skall vi emellerid se a neo av poserna blir en vanlig resularäkning. För enkelheens skull uesluer vi de självklara poserna kapialavkasning och drifskosnader. Förklaring av varje delpos och varför den finns i gör följande definiioner: remieinkoms (under redovisningsperioden) fakurerad premie under perioden remieinkoms eopremieinkoms premieavgifer eopremieinkoms (Injänad) neopremieinäk del som ej hänför sig ill perioden (skuldföres i premiereserven: ej injänad neopremieinäk) Ökning av premiereserv neopremieinäk ej injänad neopremieinäk ubealningar premiereservavgifer - riskpremie Observera a inäk i sammansäningarna ovan används för a indikera periodisering, och ej ersäning för uförda presaioner, dvs vi har a göra med en oren användning av begreppe. i får nu följande uppsällning: remieinkoms neopremieinäk ej injänad neopremieinäk premieavgifer apialavkasning - Ökning av premiereserven neopremieinäk ej injänad neopremieinäk - ubealningar pension - premiereservavgifer - riskpremie - Ubealningar ension - Ubealningar Risk - Drifkosnader eopremieinäk Ej injänad neopremieinäk remieavgif apialavkasning - eopremieinäk - Ej injänad neopremieinäk Ubealningar ension remiereservavgifer Riskpremie - Ubealningar ension - Ubealningar Risk - Drifkosnader remieavgif apialavkasning remiereservavgif Riskpremie - Ubealningar Risk - Drifkosnader 5(22)

6 Sålunda får vi: remieavgif apialavkasning remiereservavgif Riskpremie - Ubealningar Risk - Drifskosnader Resula Om vi vidare anar a kunden erhåller en viss garanerad räna på insaa medel (premierna) minskar periodens resula naurligvis i mosvarande grad. Ränan bealas ej u omedelbar uan förs senare i samband med de avalade ubealningarna; följakligen skuldförs den garanerade ränan, i premiereserven. Ökning av premiereserven blir med dea Ökning av premiereserv neopremieinäk illdelad räna ej injänad neopremieinäk ubealningar premiereservavgifer - riskpremie i ve från ovan a avgiferna är bolages inäker. Resularäkningen får nu följande useende: Inäker - Drifskosnader Riskpremie - Ubealningar Risk apialavkasning - Garanerad räna Resula Denna ser u som en vanlig resularäkning om vi acceperar a kapialavkasning och garanerad räna kan berakas som inäk respekive kosnad. A kapialavkasning är en inäk inses om man berakar balansräkningen. i noerar a illgångar skulder ege kapial, vid varje given idpunk. apalavkasningen ökar illgångssidan; skuldsidan måse öka i mosvarande grad. Efersom kapialavkasningen illhör bolage skall den ine skuldföras och måse följakligen moposeras i ege kapial. Men en ökning av ege kapial är likvärdig med e mosvarande öka resula under perioden av samma sorlek. A föra över en räna ill premiereserven under perioden påverkar ej illgångssidan, uan bara skuldsidans premiereserv. Efersom skuldsidans oal ej ändras måse en ökning av premiereserven innebära en lika sor minskning av ege kapial, dvs e mosvarande minska resula under perioden. i har sålunda se hur e försäkringsföreags resularäkning ser u och hur den kan kopplas ill en gängse resularäkning. Den främmande delen ugörs av riskresulae: Riskpremie Ubealningar Risk. 6(22)

7 1.2. Balansräkningen Fig. 1 ollekiv konsolidering Allokerad åerbäring Åerbäringsmedel TILLGÅGAR ( T ) (Åres) Resula FTA - remiereserv Ege apial ( E ) Figuren ovan beskriver schemaisk balansräkningen i e livförsäkringsbolag. oser som arvar en förklaring: Åerbäringsmedel ackumulerade vinsmedel Allokerad åerbäring ackumulerade vinsmedel som allokeras ill försäkringsagarna ollekiv konsolidering riskbuffer ; del av ackumulerade vinsmedel som ej allokeras ill försäkringsagarna i kommer nedan a referera ill figuren Resulaanalysen Resulakällor Genom a närmare se på hur resulae uppsår, dvs från vilka källor resulae härrör, kan vi idenifiera e anal olika resulakällor i en försäkringsrörelse. Resulae i en livförsäkringsrörelse härrör från riskrörelsen, kapialförvalningen och drifen. - Riskrörelsen hanerar de riskpremier bolage uppbär och de förfallna risker bolage sår ansvar för. - apialförvalningen hanerar de medel i verksamheen som kan inveseras och ge avkasning. - Drifen, eller omkosnadsrörelsen, omfaar de adminisraiva processer som skapar de jänser som bolage illhandahåller och säljer. Tillsammans genererar riskrörelsen, kapialförvalningen och omkosnadsrörelsen försäkringsbolages resula. i skall nedan närmare se på hur de olika resulakällorna kan bryas ned i elemena, dvs i sina besåndsdelar eller i sina beräkningselemen. 7(22)

8 edbryning på beräkningselemen Rörelseresula för riskrörelsen riskpremie 1 riskavgif 2 - neo 3 ubealning vid försäkringsfall - riskhaneringskosnad 4 rörelseresula risk Rörelseresula för omkosnadsrörelsen räneavgif 5 premieavgif 6 syckeavgif 7 övriga uag/avgifer - provisioner - kosnader, exkl. riskhaneringskosnader omkosnadsresula apialförvalningsresula kapialförvalningsresula res kapialförvalningsresula ek kapialförvalningsresula där kapialförvalningsresula res och ek definieras sålunda: apialavkasning (exklusive avkasning på illgångar mosvarande ege kapial) - räna allokerad ill reserv kapialförvalningsresula res avkasning på ege kapial kapialförvalningsresula ek Resulae kan nu skrivas: rörelseresula risk omkosnadsresula kapialförvalningsresula resula idare inför vi följande definiion av 'drifkosnadsresula' : 1 obelasad 2 belasning 3 risksumman 4 dvs verklig kosnad för a hanera/adminisrera riskhaneringen 5 belasning på ränan. 6 belasning på premien. 7 syckebelasning. 8(22)

9 riskavgif räneavgif premieavgif syckeavgif övriga avgifer - disribuörskosnader - övriga kosnader drifkosnadsresula Inbördes sammanhang mellan beräkningselemen och poser i definierar nu: riskpremier - frigjorda risksummor dödlighesvins i inser efer en del addiioner och subrakioner a: drifkosnadsresula dödlighesvins omkosnadsresula rörelseresula risk och får omedelbar: drifkosnadsresula kapialförvalningsresula dödlighesvins resula i definierar: assaflöde för rörelsen premie kapialavkasning - övriga kosnader - disribuionskosnader - ubealningar vid försäkringsfall kassaflöde förändring av illgångar för rörelsen och Förändring av kollekiv reserv premie räna allokerad ill reserv - riskpremie - premieavgif - syckeavgif - räneavgif - riskavgif - övriga avgifer frigjorda risksummor förändring av kollekiv reserv 9(22)

10 Ur denna förändring kan vi brya u den rena riskdelen. Förändring av reserv delas upp i vå delar, reserv spar och reserv risk 8 : premie räna allokerad ill reserv - premieavgif - syckeavgif - räneavgif - riskavgif - övriga avgifer reserv spar och - dödlighesvins reserv risk - reserv risk kan också definieras som bolages riskpool. In i riskpoolen flyer riskpremier och u ur riskpoolen flyer frigjorda risksummor. De inses omedelbar a riskpool dödlighesvins i ve från ovan hur resularäkningen ser u: remieinkoms apialavkasning - Ökning av premiereserven - Ubealningar - Drifskosnader (Teknisk) Resula Med hjälp av definiionen för kassaflöde ovan får vi omedelbar: kassaflöde - förändring av reserv resula och med hjälp av urycke för resula från ovan fås kassaflöde - förändring av reserv drifkosnadsresula dödlighesvins kapialförvalningsresula idare: kassaflöde - reserv spar drifkosnadsresula 8 brukar beeckna förändring. 10(22)

11 kapialförvalningsresula Sammanfaningsvis har vi således: drifkosnadsresula dödlighesvins kapialförvalningsresula resula och likydig omkosnadsresula rörelseresula, risk kapialförvalningsresula resula sam kassaflöde - förändring reserv resula Till sis också någo om inkomser och ugifer! Inäker och kosnader Inäkerna ugörs av de avgifer som as u från försäkringarna: premieavgif syckeavgif övriga avgifer räneavgif riskavgif inäker kosnader för adm., löner, hyror ec provisioner övriga kosnader för disribuion kosnader i inser snabb a: inäker - kosnader drifkosnadsresula 11(22)

12 2. Hur skall överskoe fördelas u på de som har rä ill de? 2.1. Fördelningsprinciper Rerospekiv meod id illämpning av den rerospekiva meoden sävar man a fördela överskoe ill en försäkring i proporion ill hur försäkringen, eller de delkollekiv som försäkringen ingår i, har bidragi ill överskoe (konribuionsprincipen). Med e delkollekiv kan vi mena. ex. alla försäkringar av samma försäkringsform och där de försäkrade har samma ålder. Man ugår från försäkringens förlopp hiills, och analyserar drifskosnadsresula, dödlighesvins och kapialförvalningsvins. Ren prakisk går de ill så a man skriver fram försäkringen med verkliga värden på avgifer, dödlighe och kapialavkasning och illdelar överskosmedel ugående från den så erhållna reservens sorlek (rerospekivreserven). Denna meod illämpas framför all inom individuell livförsäkring med sparande. Indexmeod Inom kollekiv försäkring,. ex. i IT-planen, illämpas normal en enklare meod för a fördela överskosmedel. Man analyserar hela försäkringsrörelsens ekonomi. Om verksamheen lämna e översko, dvs. om illgångarna översiger skulderna, höjs beloppen för de försäkringar som är under ubealning med e index, lika för alla försäkringar. Man kan också höja de framida förmånerna med dea index under sparid, dvs. före ubealningsid Rerospekivmeoden Idéen bakom meoden och dess härledning Härledning på försäkringsnivå - individuell perspekiv Härledning på porföljnivå - kollekiv perspekiv ollekiv av försäkrade U µ 12(22)

13 13(22) Beeckningar: oala kapiale i kollekive anale försäkrade oal premie in i kollekive U oal ubealning från kollekive < > anger medelvärde, dvs sorheer per individ µ medeldödligheen i kollekive, dvs uflöde ur kollekive δ kapiale förränning per idsenhe i får nu: µ U δ U U sam medelkapiale per individ idare ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) U U U U U U µ δ µ δ µ δ µ δ δ δ Q i har allså erhålli Thieles ekvaion. i ser a reserven ( pensionskapiale ) växer dels med ränan, δ, dels med µ. idare växer den naurligvis med nya premier och minska med ubealningar. Termen µ är arvsvins.

14 Rerospekivreservens maemaiska egenskaper opplingen mellan rerospekivreserven och premiereserven; verklig ekonomi vs anagen ekonomi Lå beeckna premiereserven och rerospekivreserven. i har nu: x x δ µ RS 1 ε ) s(1 ε ) ( s δ. µ RS (1 ε ) s(1 ε ) s Rerospekivreserven åerspeglar den verkliga ekonomien: verklig räna, verklig dödlighe, verkliga drifkosnader ec. remiereserven åerspeglar den anagna ekonomien: anagen räna, anagen dödlighe, anagna drifkosnader ec. Definiera ^ Allokerad åerbäring Från fig. 1 i 1.2 får vi nu omedelbar och ^ ^ Med andra ord ugör den allokerade åerbäringen kopplingen mellan den anagna och den verkliga ekonomien e ej hel oväna resula. Rerospekivreservens koppling ill resulae Definiera: Åerbäringsmedel ollekiv konsolidering Från fig. 1 i 1.2 erhåller vi i ve a x (Åres) Resula och erhåller nu ^ eller 14(22)

15 vilke också enlig ovan - kan skrivas Förändring av kollekiv konsolidering andra ordningens resula - och dess koppling ill åres resula, premiereserven, allokerad åerbäring och rerospekivreserven Hur relaeras nu skuldsidans poser ill illgångssidan? Allmän har vi (se balansräkningen, fig. 1, p. 1.2) ^ T E och följakligen T E ^ Efersom all vins går illbaks ill livförsäkringsagarna i svensk radiionell försäkring gäller a E 0, och följakligen får vi T ^ vilke också kan skrivas T, dvs Försa ordningens resula åres resula kassaflöde förändring av premiereserven åres förändring i kollekiv konsolidering rerospekivreservens förändring under åre premiereservens förändring under åre. Dea kan också formuleras som T, dvs Andra ordningens resula kassaflöde - förändring av rerospekivreserven åres resula förändring av rerospekivreserven förändring av premiereserven. i ar oss åer en i på balansräkningen, fig.1, under p och inser efer en del eferanke a: Förändring i kollekiv konsolidering erkliga ekonomiens resula för åre andra ^ ordningens resula, genom a unyja sambande ^ Sålunda: Förändringen av kollekiv konsolidering åres resula minus förändring i allokerad åerbäring. Dea kan också skrivas som: ollekiv konsolidering Allokerad åerbäring 15(22)

16 Åres resula Sammanfaningsvis: Åres resula anagna ekonomiens resula verkliga ekonomiens resula förändring av allokerad åerbäring under åre, eller erkliga ekonomiens resula anagna ekonomiens resula (ny) allokerad åerbäring under åre Med andra ord fördelas åres resula, försa ordningens resula, u på andra ordningens resula och allokerad åerbäring e enkel och elegan resula. Målnivå för kollekiva konsolidering Den kollekiva konsolideringen är en buffer bolage håller för a parera nedgångar e dålig resula. Sorleken på denna säkerhe varierar över iden men bolage besämmer regelmässig en målkonsolidering som är en del av bolages övergripande policy. Målkonsolideringen urycks normal med begreppe kollekiv konsolideringsgrad, som definieras sålunda: och följande likhe efersrävas: M Sorleken på målkonsolideringen är avhängig av den risk bolage är beredd a a och av uformningen på bolages policy vad avser placeringar. Om bolage.ex. vill kunna så emo en 20%-ig nedgång på akiemarknaden uan a den kollekiva konsolideringsgraden går under 100% (dvs uan a den kollekiva konsolideringen går under noll), give a bolage enlig placeringspolicyn får placera max 50% i akier, bör målkonsolideringen säas ill mins 110% (20% 50% 10%). Också andra aspeker av mer subjekiv naur kan vara av beydelse, såsom en allmän bedömning av vad som bör anses som rimlig give ömsändigheerna i övrig. Frågan är nu hur åerbäringsränan skall säas för a en given målkonsolidering skall kunna följas. Uppenbarligen är de så a om bolage får en god kapialavkasning e år måse åerbäringsränan höjas för a minska den illfällig förhöjda kollekiva konsolideringen, och vice versa vid en dålig avkasning. Rerospekivreservens koppling ill bolages avkasning via åerbäringsränan den implicia ermosaen Denna ermosa kan fungera manuell genom a en bedömning görs löpande där kollekiv konsolidering och åerbäringsräna jämförs, och därefer juseras vid behov. En annan meod är en ren mekanisk-deerminisisk, och kan se u så här: R r 1 T E ( 1 λ M ) R Åerbäringsränan r Genomsnilig kapialavkasning på årsbasis vid idpunken. 16(22)

17 λ beecknar dämpningen, eller dämpningsfakorn. En dämpningsfakor på 1, innebär a den kollekiva konsolideringsgraden åersälls på e års sik, all anna oförändra. En dämpningsfakor på 5 innebär a den kollekiva konsolideringsgraden åersälls på 5 år, dvs e mjuk åersällande under en längre id. Generell kan sägas a en sörre dämpningsfakor ujämnar svängningarna i kapialavkasningen under en längre period, vilke är likydig med en åerbäringsräna som svarar med en inbyggd röghe mo svängningar i kapialavkasningen. Åerbäringsränan kommer därför a förändras mjukare och mindre ryckig än kapialavkasningen som ju kan svänga krafig från en dag ill annan. Ex. r 12% λ 3 M 10% T 100,000,000,000 E 100,000,000 80,000,000,000 i får: R 1 99,900,000, % ( 110%) ,000,000,000 3 Med andra ord kommer all anna oförändra den kollekiva konsolideringsgraden a åersällas ill målnivå efer re år om åerbäringsränan säes ill knapp 17%. Sambande åerbäringsräna rerobelasningar kollekiv konsolidering resula Från ovan har vi (för perioden ) T andra ordningens resula idare gäller ( ε ).( µ ε ) RS δ δ µ (1 ε ) s(1 ε ) s x δ µ RS s( 1 ε s ) ε δ ε µ RS ε ε s s vilke kan skrivas, någo heurisisk Bruo T ( ε ), och vi får Bruo ( ε ) ( ) Bruo T ε Dea resula kan olkas som a ökade belasningar på andra ordningens plan leder ill ökad kollekiv konsolidering, all anna oförändra. 17(22)

18 Lå oss se på formeln för åerbäringsränans fassällande (vi använder här åerbäringsränans inensie i formeln): δ r 1 T E ( 1 λ M ) Anag nu a illgångsmassan neo växer konsan med r. Anag vidare a inga premier erläggs eller ubealningar görs under perioden, och a riskpremien är lien jämför med ränan. i inför nu en sörning ε δ i form av en förändrad belasning och får då approximaiv (märk a E, konsana): δ 1 T 1 T 1 1 T ( ) ( r ( δ ε )) δ λ T λ Om vi vidare anar a jämvik råder innan sörningen inroduceras får vi: δ 1 T λ 1 ε λ δ ε δ Dea kan olkas som a en ökad belasning implicerar en ökad åerbäringsräneinensie per idsenhe lika sor som belasningen reducerad med dämpningsfakorn. De kan lä visas a en förändring av åerbäringsräneinensieen, all anna oförändra, leder ill a den kollekiva konsolideringens förändring per idsenhe förändras med δ Från ovan har vi a en ändrad belasning påverkar den kollekiva konsolideringens förändring per idsenhe med ε δ i kan nu sammanfaa resulaen och ser a effeken på den kollekiva konsolideringens förändring per idsenhe av en ökad belasning approximaiv blir: eller ε δ (1 ) λ ε δ (1 ) λ där är iden som förflui sedan sörningen infördes. Urycke är gilig för 0, där är lie. [ ] Syseme fungerar som en ermosa med åerbäringsränan som svarsvariabel; sörningen klingar av med iden. En dämpningsfakor på 1 åersäller under loppe av en idsenhe förändringen av den kollekiva konsolideringen per idsenhe, medan en dämpningsfakor < 1 ger överslag, dvs syseme svarar snabb och överkompenserar, någo som leder ill en snabb försärkning av 18(22)

19 åerbäringsränan, vilke i sin ur snabb reducerar förändringen av den kollekiva konsolideringen per idsenhe sörningen släcks u snabb. En dämpningsfakor > 1 sluligen dämpar effeken av svare, dvs syseme svarar med en ökad åerbäringsräna, men med en viss röghe, någo som leder ill a förändringen av den kollekiva konsolideringen per idsenhe reduceras långsam. Syseme kompenserar långsam för en sörning i belasningen. De går a lösa differenialekvaionen ovan om man gör vissa förenklingar och approximaioner; lösningen påminner om lösningen för hur en kondensaor laddas upp/ur. Resonemange ovan innebär i princip a belasningarnas sorlek, dvs avgifernas sorlek, ine spelar någon roll för vad försäkringsagarna får u från syseme. Höga avgifer kommer a leda ill ökad kollekiv konsolidering, någo som i sin ur leder ill a åerbäringsränan höjs och vice versa. Däremo förskjus försäkringsagarnas gogörelse från syseme i iden; ersäningen goskrivs med efersläpning. De finns dock sarka skäl som alar för a avgiferna långsikig skall balansera de kosnader man har för verksamheen. Ine mins gäller dea den informaion om verksamheen som bolage implici lämnar ill försäkringsagarna jus via sorleken på avgiferna, som därigenom ger upplysning om hur väl och kosnadseffekiv bolage bedriver verksamheen. 3. Hur goskrivs överskoe de enskilda försäkringarna 3.1. rospekiv och rerospekiv synsä rospekiv synsä illämpas vid beräkning av premier, premiereserv och prognosreserv. Då uppskaas de framida penningflödena uifrån prognoser beräffande kapialavkasning, drifskosnader och dödlighe. Rerospekiv synsä illämpas för åerköpsvärde och försäkringskapial (pensionskapial, rerospekivreserv, -prim). Där härleder man reservens värde uifrån verksällda in- och ubealningar, ill försäkringen förd kapialavkasning, erlagda riskpremier och gjorda kosnadsbelasningar Rerospekivreserven Rerospekivreserven ugör för försäkringsagaren försäkringens verkliga värde. Dea innebär ine a försäkringsagaren har rä ill dea värde i varje siuaion; de kan i villkoren finnas s k åerköpsbegränsningar, som förhindrar a försäkringsagaren kan kräva a få u si värde. För försäkringsbolage ugör rerospekivreserven bolages skuld mo försäkringsagaren inklusive hiills allokerad åerbäring. Enlig nuvarande lag är den åerbäring som finns allokerad ill rerospekivreserven ine en bindande skuld ill försäkringsagaren. Om försäkringsrörelsen går med förlus under en period, kan försäkringsbolage åera (reallokera) åerbäring från försäkringen, vilke medför a rerospekivreserven minskas. Rerospekivreserven kan sägas ugöra försäkringsagarens akuella anspråk på försäkringsbolage, give försäkringsvillkoren Framskrivning av rerospekivreserven Rerospekivreserven förändras under en given idsperiod med följande poser inbealningar (premier) räna (åerbäringsräna) ± arvsvins eller riskpremie - ubealningar (försäkringsersäningar inklusive åerbäringsbelopp) - belasningar (avgifer) för kosnader I formler kan de se u såhär. i beecknar rerospekivreserven med, och idsperioden är (s,) räknad i enheen år: 19(22)

20 () (s)[1r(-s)] - µ R(-s) U A Här är r åerbäringsränesasen på årsbasis erlagda premier µ dödlighesinensieen på årsbasis R risksumman U ubealningar A avgifer Ekvaionen ska uppfaas symbolisk. Flera av ovansående sorheer är idsberoende. Om idsinervalle är kor, kan man uppfaa dem som konsana under idsinervalle och använda denna formel. Annars kan får använda någon mer sofisikerad inegraionsmeod för a skriva fram reserven. Sorheerna har få markeringen för a ydligare skilja dem från samma sorheer beräknade efer premie-, premiereserv- eller åerköpsgrunder. Alla sorheer ska avspegla verkliga förhållanden, och ine ugöra någon försikig prognos eller dylik. Åerbäringsränesasen r besäms i regel månadsvis i försko. Den ska avspegla bolages verkliga avkasning på de illgångar som förvalas för denna försäkringsgren. Hur åerbäringsränan besäms behandlas närmare i avsni X.X. är här den verklig erlagda premien. Den kan skilja sig från den premie som försäkringsagaren enlig försäkringsavale skulle erlägga under perioden. Dödlighesinensieen µ ska avspegla den verkliga dödligheen i dea försäkringsbesånd. Den beror normal av ålder och kön, men kan också vara olika beroende på ufalle av den hälsoprövning som den försäkrade genomgick vid ecknande. Ibland illämpar man högre dödlighe för dödsfallsförsäkring (R > 0) än för livsfallsförsäkring (R < 0). Då harman lag in en säkerhesbelasning. Besämning av åerbäringsdödligheen behandlas i avsnie 2.2. Risksumman R definieras genom R S -. Här är S kapialvärde av framida ubealningar om den försäkrade skulle avlida vid dea illfälle. id ren livsfallsförsäkring är S 0, vilke innebär a försäkringen avsluas vid dödsfall uan någon ubealning. Om de enlig försäkringsavale ska bealas u en försäkringsersäning S vid dödsfall, så kan den på grund av åerbäring vara höjd, dvs S > S. Här finns flera ekniker, och vi ska här behandla vå yper: åerbealningsskydd och uppblåsning. De förusäs här allså a > Å, där Å är åerköpsvärde. Åerbealningsskydd. Den avalsenliga förmånen vid dödsfall är a försäkringsbolage bealar u beloppe S αå, där α ofa är angive som en fas procensas, ex 105%. å åerbäringsplane (rerospekivreserven) beyder dea a man säer S α, vilke innebär a R (α-1). Uppblåsning. Här försöker man blåsa upp hela försäkringsavale med den åerbäring som uppså. i har Å() BA() a() Här är B de avalade försäkringsbeloppe, A() kapialvärde av framida försäkringsförmåner à 1 krona, den avalade premien och a() premiebealningslivränan, all beräkna enlig åerköpsgrunder. Man skriver då också () B()A() a() Här är B() akuell uppblås belopp och A() respekive a() är beräknade enlig åerbäringsgrunder. De senare innebär a de ugör så goda uppskaningar som möjlig av de framida bealningsflödena, med akuella uppskaningar av framida avkasning, kosnader och dödlighe. De uppblåsa beloppe B() besäms av denna ekvaion. De uppdaeras normal en gång per år. Den akuella dödsfallsförmånen är allså S() B()A (), där A () är kapialvärde av den avalsenliga dödsfallsförmånen à 1 krona, även den beräknad med åerbäringsgrunder. 20(22)

21 Ubealningarna U är verklig gjorda ubealningar under perioden. De är ofas gjorda ugående från de uppblåsa beloppe B. Avgiferna A kan vara besämda på olika sä. De kan vara belasning på kapiale, inbealningsbelasning, ubealningsbelasning, dödlighesbelasning och syckebelasning. Belasning på kapiale innebär a avgifen är besämd som ε(s). Den kan åsadkommas genom a sänka åerbäringsränan: r r - ε. Inbealningsbelasning innebär a ine hela den erlagda premien läggs ill rerospekivreserven, uan bara en viss andel: (1-ε) v, där v är verklig erlagd premie. Ubealningsbelasning går ill på mosvarande sä: U (1ε)U v. Dödlighesbelasningen appliceras på dödlighesinensieen, och den måse ha samma ecken som risksumman: väljas µ µ ± ε. Syckebelasningen appliceras ill exempel årsvis eller månadsvis. Belasningarnas sorlek besäms uifrån den uppfaning man har om bolages verkliga kosnaderna för a bedriva försäkringsrörelsen. Tekniker för a besämma belasningarna beskrivs i avsnie X.X. Exempel på uppblåsning av försäkring: Beloppshöjning av livräna under ubealningsid En livräna har e avala belopp B, men under ubealningsiden kan beloppe höjas under förusäning a bolage har överskosmedel som allokeras ill livränans rerospekivreserv. De förhöjda beloppe B vid idpunken besäms genom ekvaionen B / A och ubealas under förusäningen a de är mins lika med de garanerade. i förusäer i de följande a B B. Här är A kapialvärde vid idpunken av de framida ubealningarna à 1 kr, beräknade med prognosgrunder (eller fördelningsgrunder). Dessa grunder baseras normal på mer realisiska anaganden om framiden än premiegrunderna. i ska här beskriva hur beloppe B uvecklas med iden. För en emporär livräna är A a x() a så ( x() så )/D x() där a x är den livsvariga livränan vid åldern x, x() är den försäkrades ålder vid idpunken och n är sluålder för livränan (som kan vara, dvs a n kan vara noll). i indexerar i forsäningen funkionerna D och med i sälle för x(). i illämpar vidare diskre eknik, och ugår från a ubealningarna av livränan sker helårsvis i försko. Då gäller a Härur fås A (D D 1 D n ) / D varur D A D D l D n vilke leder ill följande rekursiva relaion D A D D 1 A 1 Här är på vanlig sä A 1 (D 1 /D )A 1 D e - δ l (1 r) - l där r är ränesasen och l är överlevnadsal i den akuella åldern vid iden. 21(22)

22 Rerospekivreserven förändras från år ill år genom illförsel av räna och arvsvins och på grund av ubealning av belopp B. Ränan som illförs under perioden (, 1) besäms av den åerbäringsräna r, som gäller under perioden. Arvsvinsen besäms av den verkliga dödligheen i försäkringsbesånde. Om vid periodens början lever l sycken personer i försäkringsbesånde med den akuella åldern och vid periodens slu lever kvar l 1 sycken av dessa, så illförs arvsvins under perioden genom muliplikaion med fakorn l / l 1. Rerospekivreserven framskrivs därför under perioden på följande sä: 1 (1 r )( l / l 1 )( - B ) Om vi här använder formeln för B ovan och unyjar de rekursiva sambande för A, så erhålles lä följande ekvaion: 1 (1 r )( l / l 1 ) (D 1 /D )(A 1 /A ) Denna ekvaion kan göras om ill en rekursiv relaion för B : B 1 1 r l l / 1 B 1 r l / l Här syns ydlig vad som händer. Beloppe är oförändra från år ill år om den verkliga ränan och den verkliga dödligheen sämmer överens med de anaganden som gjors i prognosgrunderna. Högre räna och högre dödlighe leder ill högre belopp. 1 Med koninuerlig eknik blir sambanden följande. Ekvaionen B / A urycker som idigare sambande mellan rerospekivreserven belopp a ubeala. i skriver den som och deriverar den med avseende på iden. Då fås B A B A B A A och uppfyller följande versioner av Thieles differenialekvaion: A (δ µ ) A 1 där δ och µ är räneinensie och dödlighesinensie enlig prognosgrunder. ( δ µ ) - B där δ och µ är den räneinensie och dödlighesinensie som illämpas vid framskrivning av rerospekivreserven. Om dessa uryck för derivaorna säs in i formeln ovan, fås efer förenkling B (δ µ - δ µ ) B 22(22)