Introduktion till Biomekanik, Dynamik härledda samband VT 2006

Transkript

1 Härledda samband (alternativ till kraftlagen) II. Impuls rörelsemängd Användbart där kraftpåverkan sker över en viss tid. Impuls: Får en kraft verka en viss tid sägs den ge en viss impuls. Impuls definieras som produkten av kraften och den tid som kraften verkar: I = F t Enhet för impuls: Ns. Motsvaras grafiskt av ytan på arean under kraft tid kurvan. Vid konstant kraft gäller det enkla sambandet ovan, dvs: I = F t Generellt, för icke konstanta krafter, är sambandet: t t I = F( t) dt 0 (dvs. ytan under grafen ) Rörelsemängd: En kropps rörelsemängd (momentum) definieras som massan gånger hastigheten: p = m v Enhet för rörelsemängd: kgm/s. Rörelsemängd är en vektor, riktad i hastighetens riktning. Det finns ett direkt samband mellan impuls och rörelsemängd: F t = m v eller F t = m v f m v0 Innebörd: En kraft som verkar på en kropp en viss tid (impulsen) ger en ändring i kroppens hastighet. Hastighetsändringen beror på kroppens massa (rörelsemängdsförändringen).

2 Exempel Under kraschtest av en 500 kg:s personbil kolliderar den mot en fast tegelvägg enligt figur. Strax före kollisionen är bilens hastighet -5,0 m/s åt vänster (höger räknas som positivt!) och efter kollisionen är hastigheten,6 m/s åt höger. Om kollisionen varar 0,50 s, beräkna impulsen under kollisionen och den genomsnittliga kraft som verkar på personbilen. Formel: F t = m v f m v0 (Impuls = 6, Ns, Medelkraft F = 76 kn) Vad är fördelen med att röra huvudet bakåt just innan man träffas av ett slag?

3 Mer om impuls Samma impuls kan åstadkommas på flera sätt. Exempel: Hård (a) eller mjuk nedslagsmatta (b) vid höjdhopp. Tillslag på golfboll (a) eller tennisboll (b). Impuls rörelsemängd Rörelsemängd impuls 3

4 Överföring av rörelsemängd När två kroppar i rörelse påverkar varandra med krafter kommer summan av kropparnas rörelsemängd vara lika stor före och efter kontakten. Formel: m v + m v = m v + m v Kallas för stöt i mekaniken. Följande fall är möjliga: Kropparna rör sig åt samma håll och den efterföljande har större hastighet Kropparna rör sig med vissa hastigheter mot varandra Den en kroppen träffar en stillastående kropp med viss hastighet Andra och tredje fallet är aktuellt i flera idrotter: Bollspel som tennis, fotboll Ishockey; tacklingar, skott mot sarg etc. Curling, biljard Exempel Wayne Gretzky (till vänster) tacklar försvaren med en hastighet av 3 m/s samtidigt som försvararen kommer mot Gretzky med en hastighet av 5 m/s. Gretzkys väger 77 kg medan motståndaren väger 9 kg. Om Gretzky rör sig med,5 m/s i sin ursprungliga riktning efter tacklingen, vilken hastighet har då försvararen direkt efter smällen? Bortse från friktion etc. under tacklingen. Hur stor är impulsen under tacklingen? Lämplig formel: m v + m v = m v + m v (v = 3,8 m/s, Impuls = 809 Ns) Impuls: F t = m v f m v0 Gretzky: m = 77 kg v = 3 m/s v =,5 m/s Motståndare: m = 9 kg v = -5 m/s v =? 4

5 Exempel En 45,9-g golfboll slås med en femmans järnklubba och får den hastighet som visas i figuren under ett tidsförlopp om 0,00 s. Bestäm hur stor medelkraft F medel som påverkar bollen under slaget. Hur stor medelacceleration a medel utsätts bollen för under slaget? (Ledning: lämplig riktning för ekvationerna ligger i hastighetens riktning) Svar: F medel = 0 N, a medel = m/s (4690g) 5

6 III. Arbete Energi Användbart där kraftpåverkan sker över en viss sträcka. Arbete, W Definieras som kraft gånger väg, dvs. W = F s, enhet Nm (J). Om kraft och väg bildar en viss vinkel (Θ) med varandra blir arbetet lika med W = F cos Θ s Observera att kraft och förflyttning ska vara utefter samma linje! Om man skjuter på en bil är det förstås bara kraft i förflyttningens riktning som utför ett nyttigt arbete. Samma sak gäller vid ett stavtag i längdlöpning. Totala arbetet för förflyttningen av bilen i bilden ovan blir W = F cos Θ s (som i formeln ovan) 6

7 Energi, E Kan sägas vara en kropps förmåga att uträtta arbete. Energi finns av flera slag, här behandlas mekanisk energi, dvs. potentiell energi och rörelseenergi. Potentiell energi (W P ): (Lägesenergi) När en kropp med viss tyngd (mg) förflyttas från en viss nivå till en högre belägen nivå och vertikala avståndet är h meter åtgår ett arbete som lagras som den potentiella energin W p. Formel: W p = m g h Detta gäller oberoende av den väg utefter vilken förflyttningen skett! Potentiell energi kan även sägas vara lagrat i fjädrar, stavar etc. Kinetisk energi (W k eller T): Energi pga. rörelsehastighet. Beräknas ur formeln W k = T v = m Här, liksom i fallet med den potentiella energin, kan man tolka det som att en viss mängd arbete lagras i kroppen. Kinetisk energi kan endast vara positiv! Lagen för den kinetiska energin När en kropp förflyttas från ett läge till ett annat, så är ändringen i den kinetiska energin T lika med det arbete W som har uträttats av samtliga krafter på kroppen. W = T T eller = ΔT T + W = T 7

8 Exempel Intjänad lägesenergi kan återvinnas som rörelseenergi. Skidåkaren startar från vila i en friktionslös backe, 0 m upp enligt figur. Hur stor hastighet har han vid slutet av backen? Lösning: All lägesenergi omvandlas till rörelseenergi vid backen slut. v W p = W k eller mgh = m där m är åkarens massa, h=0 m, v sökt hastighet. (v = 9,8 m/s eller 7,3 km/h) Diskussionsexempel Variationer i potentiell energi (dvs. vertikal förflyttning av tyngdpunkten) under gång respektive löpning. 8

9 Exempel Ett litet föremål har hastigheten v A = 5 m/s vid A. Om vi bortser från friktionen, bestäm hastigheten v B vid B. Behöver vi känna till banans form för uträkningen? Svar: v B = 3,05 m/s Exempel En 80 kg:s stavhoppare springer med en 4,9 m lång och 4,5 kg tung stav under ansatsen och når hastigheten v just innan han sätter i staven. Om han precis klarar höjden 5,5 m och hans hastighet är så gott som noll i översta läget, beräkna vilken minimihastighet v han måste ha för att klara hoppet. Både den horisontella staven och stavhopparens tyngdpunkt befinner sig, m över marken under ansatsen och mannens tyngdpunkt når upp till högsta höjden 5,5 m i hoppet. Svar: v = 9, m/s eller 3,8 km/h 9

10 Intjänad lägesenergi kan återvinnas som rörelseenergi. Brädåkaren, kusin Throckmorton åker i en ramp som har formen av en kvarts cirkel. Den totala massan av Throckmorton och brädan är 5 kg och rampen har en radie av R = 3,0 m. Beräkna Throckmortons hastighet vid läge om han startar från stillastående i läge och brädan har en konstant rullmotstånd av F R =0 N. (v = 7,4 m/s) Kan olika stora krafter uträtta samma arbete? Ja, men det tar längre tid för myran att utföra samma arbete i exemplet ovan. Frågeställningen för oss osökt över till begreppet effekt, dvs. arbete per tidsenhet. Effekt och verkningsgrad Effekt är arbete per tidsenhet. Effekten P (eng Power) beräknas ur W P = t Alternativa uttryck fås ur P=Fs/t eller P=Fv eftersom v=s/t. Effekten mäts i watt (W) eller J/s eller Nm/s. Verkningsgrad definieras som förhållandet mellan avgiven effekt (P a ) och tillförd effekt (P t ) och betecknas med den grekiska bokstaven η (eta). 0

11 Pa Verkningsgraden, i procent fås ur η = 00 P t Exempel En man och hans cykel väger tillsammans 95 kg. Hur stor (avgiven) effekt P utvecklar mannen om han cyklar uppför en backe med 5% lutning med en konstant hastighet av 0 km/h? Hur stor blir hans verkningsgrad om han under cyklingen utvecklar en total effekt om 000 W? (Svar: 59 W, η = 0,59) Exempel En 54 kg:s kvinna joggar uppför trappan i figuren på 5 sek. Beräkna hennes medeleffekt. (Svar: 9 W)

12 Rotationskinetik Grundläggande för kroppens rörelser: All rörelse (och alla krafter) skapas genom att muskler vrider kroppsdelar runt olika leder. Tillhör dessvärre de mest komplicerade delarna av mekaniken! Behandlas här endast översiktligt. Följande begrepp beskrivs: Kraftmoment vinkelacceleration; samband mellan alstrat (momentant) moment och rotation Vinkelimpuls rörelsemängdsmoment; samband mellan moment som verkar en viss tid och den rotationsförändring det åstadkommer I. Kraftmoment vinkelacceleration Grundläggande ekvation: M = J α där ΣM är det resulterande momentet, J är masströghetsmomentet och α är vinkelaccelerationen. Gäller runt Tp eller fix axel. (Jämför uttrycket ovan med kraftekvationen F = m a )

13 Masströghetsmomentet J J representerar kroppens motstånd mot ändringar i rotationstillståndet. Beräknas ur: J = m r Innebörd: Ju längre bort från rotationsaxeln en masspartikel är, desto större bidrag ger den till J. Masströghetsmomentet J påverkas av aktuell rotationsaxel; för samma kropp får J helt olika värden för olika rotationsaxlar! massfördelningen; kroppar med samma massa kan ha olika J för en viss rotationsaxel. Ju längre bort från rotationscentrum en del-partikel hamnar, desto större inverkan på J får den (beror på avståndet i kvadrat). 3

14 Människokroppens masströghetsmoment I figuren anges relativa värden för J för olika kroppsställningar och rotationsaxlar. Med olika kroppsställningar kan J påverkas betydligt! II. Vinkelimpuls - rörelsemängdsmoment Motsvarar sambanden mellan Impuls rörelsemängd vid linjära rörelser. Sambandet mellan vinkelimpuls och rörelsemängdsmoment anges i formeln M t = J ω (jämför med F t = m v ) Produkten Jω kallas ibland för spinn. Då inget yttre moment verkar är spinnet (rörelsemängdsmomentet) oförändrat, dvs. produkten Jω är konstant. När detta är fallet säger man att rörelsemängdsmomentet (spinnet) konserveras. 4

15 Exempel på konservering av rörelsemängdsmoment Hur bär sig en konståkerska åt för att variera rotationshastigheten under en piruett? Hur kan en simhopperska rotera snabbt under mittdelen av hoppet, medan hon nästan slutat rotera när hon slår i vattenytan? Varför roterar Zlatan överkroppen åt motsatt håll som underkroppen (vänsterbenet) under en spark med full kraft? 5

16 Exempel Simhopp Utgångsställning J = Hopkrupen st. J = 4 Tre gånger så snabb rotation i mitten av rörelsen, ty: J ω = 4 ω = J ω = = ω J J 3 Exempel En konståkare utför en piruett där han börjar sin rotation med armarna utsträckta enligt figur och har då en rotationshastighet av n = varv/s. Genom att i slutet av piruetten föra in armarna så de sträcks lodrätt, tätt utmed kroppen, minskar han sitt masströghetsmoment från J = 4,9 kgm till J =, kgm. Beräkna hur snabb rotation han har i läge när armarna är sträckta utefter kroppen. Friktion mellan skridskor och is försummas. (n = 4,5 varv/s) 6

17 Exempel med rörelsemängdsmoment Slalomsväng I olika delar av svängen har åkaren olika stora J vilket påverkar rotationshastigheten ω. I början av svängen djup ställning ( 4J), reser sig upp under svängen ( J) och fördubblar då sin inledande rotation. I slutet av svängen nedsjunkning igen, minskar därmed rotationen när han lämnar svängen och kan lättare styra in i ny åkriktning. Då yttre moment saknas: J ω + J ω = konst eller, i vissa fall, J ω + J ω 0 = Längdhopp: I början av hoppet; kroppen böjd i en båge (beroende på hoppstil). Vid landning; pendling framåt med benen, vilket kräver samtidig motrotation i överkroppen. 7

18 Flödesmekanik Handlar om motståndet från det medium man rör sig genom: Luftmotstånd Vattenmotstånd En generell (något förenklad) formel för motståndet ges av F L = AP v C D ρ där F L är luft/vattenmotstånd A P är den projicerade arean i rörelseriktningen v är hastigheten C D är en konstant som representerar strömlinjeformen ρ är mediets densitet (täthet) Vad går att läsa ut ur formeln? F L = AP v C D ρ Massan har ingen betydelse för strömningsmotståndet Fördubbling av hastigheten ger fyra gånger större strömningsmotstånd! Att till exempel minska den projicerade arean A P med 0 % under glid i en utförsbacke minskar luftmotståndet med lika mycket Samma gäller för förbättring av strömlinjeformen, lika mycket som den minskar, minskar också luftmotståndet 8

19 Vad händer egentligen när cyklister ligger på rulle enligt figuren? Eller när en skidåkare följer i rygg på en framförvarande? Formering Proj. area C D -värde 9

20 Skruvade bollar Oskruvad boll rör sig genom luften enl. figur t.h: Samma lufttryck finns på överoch undersida av bollen. För skruvade bollar etc. ändras detta förhållande enligt Bernoulli s ekvation: P + ρ v = konst. eller P + ρ v = P + ρ v Innebörd av Bernoulli s ekvation: Boll med topspin: På ovansidan bollen blir den resulterande lufthastigheten lägre än på undersidan av bollen (bollen river med sig luften i sin rotation). Detta medför att trycket P på översidan är högre än trycket P på undersidan eftersom summan av trycket P och termen ρ v hela tiden ska vara konstant. För bollen med backspin gäller förstås det omvända! 0

21 Fler exempel: Sidskruvar i fotboll och underskruvar i golf. Övningstal i kompendiet (sid ) Observera att lösningar till talen finns på sid. och framåt i kompendiet. Formelsamlingen i appendix, sid. A9 kan också vara användbar. Kommentarer till några av talen: Tal 35; Arbetet i matta = Pot. energi (håll reda på höjden!) Rekommenderade uppgifter: Tal 34, 35 (lurigt!), 36, 38, 39, 40.