Trigonometriska polynom

Transkript

1 Trigoometriska polyom Itroduktio Iga strägistrumet eller blåsistrumet ka producera estaka siustoer, blott lieära kombiatioer av dem, där de med lägsta frekvese kallas för grudtoe, och de övriga för övertoer. Reda Pythagoras käde till att övertoeras frekveser alltid är heltalsmultiplar av grudtoes frekves. är e piaosträg eller luftpelare i e klariett sätts i vibratio geereras således e to som beskrivs av e summa av type A sihj + p 0 t L där A œ R =1 Grudtoe i ovaståede "to" har frekvese 0. Om grudtoes frekves ormeras till 1, så ädras summa till A sihj + p t L där A œ R =1 som med hjälp av sihj + wl = sihjl coshwl + coshjl sihwl ka skrivas Ha cosh p tl + b sih p tll där a, b œ R =1 och kallas för ett trigoometriskt polyom. (1) () E härledig av () fis här. =1 A sihj + p tl = =1 A HsiHj L cosh p tl + coshj L sih p tll = =1 HA sihj L cosh p tl + A coshj L sih p tll = HŸL = =1 Ha cosh p tl + b sih p tll HŸL Låt a = A sihj L och b = A coshj L.

2 Trigoometriska polyom.b Det är ite bara vibratioer geererade av musikitrumet som ka beskrivas av trigoometriska polyom. Elektroiska istrumet (här meas ite bara elektroiska musikitrumet, uta äve t.ex. frekvesomriktare och olika styreheter) alstrar kombiatioer av växelspäigar vilka också beskrivs av trigoometriska polyom. För att ett trigoometriskt polyom skall kua beskriva e kombiatioe av späigar där äve e likspäigskompoet igår, måste ma tillfoga e kostat term till (). De mest geerella forme av ett trigoometriskt polyom är därför c 0 + Ha cosh p tl + b sih p tll =1 (3) Expoetialforme H3L ka skrivas på e extremt kompakt form som äve ka skrivas c  p t =- c z =- (4) är ma sätter z =  p t = cosh p tl +  sih p tl. Därmed får beämige trigoometriskt polyom si förklarig. Fortsättigsvis kommer vi att föredra expoetialforme (4) vid beskrivig av trigoometriska polyom. EXEMPEL 1 Grafe av =-  p t uppvisar e itressat form.

3 3 Trigoometriska polyom.b 10 HHH L pl L t = Här har du tre frågor att fudera på: Varför är fuktioe jäm? Varför blir värdet för t = 0 lika med atalet termer? Varför är det mista positiva ollstället lika med det iverterade värdet av atalet termer? Omskrivige av (3) till (4) går som e das om ma aväder Eulers formler på (3), samt coshtl =  t + -  t sihtl =  t - -  t  möblerar om lite blad termera. c 0 + =1 Ha cosh p tl + b sih p tll = c 0 + =1 Ka  p t + - p t c 0 + =1 Ka  p t + - p t c 0 + =1 J a - b + b  p t - - p t  O = -  b  p t - - p t  p t + a + b Ic  p t + c -  p H- L t M c 0 + =1 = =- c  p t H L Här iförs för > 0 beteckigara c = a - b och c - = a + b. O = - p t = H L = är ma "möblerar om" ser ma att och för är relaterade

4 Trigoometriska polyom.b 4 är ma "möblerar om" ser ma att a, b och c för > 0 är relaterade till varadra geom c = 1 Ha -  b L, c - = 1 Ha +  b L (5) Det är brukligt att låta (5) defiiera a, b äve för = 0. Dvs. c 0 = 1 Ia 0 -  b 0 M = 1 Ia 0 +  b 0 M. Det följer att b 0 = 0 och a 0 = c 0. Lägg märke till att c och c - är kojugerade, dvs. c - = c. Grafiskt ser sambade (5) ut som edaför. Om ma löser ut a, b ur (5), får ma a = ReHc L, b = - ImHc L (6) som är väl värda att lägga på miet. Omskalig Det trigoometriska polyomet c  p t =- iehåller toer med frekvesera 1,, 3,, och periodera 1, 1ê, 1ê3,, 1ê. Frå defiitioera av period och frekves följer att polyomet själv har frekvese 1 och periode 1. Geom omskalig av argumetet t ädras frekves och period. T.ex. blir polyomets period p vid skalig med skalfaktor 1 p :

5 5 Trigoometriska polyom.b c  t =- Om vi, för godtyckligt positivt tal p, skalar med 1 p blir periode p: Vikelfrekves c  p p t =- Kvote pêp är ett mått på hur stort cirkelsegmet som  p p t hier "mäta upp" på ehetscirkel uder e tidsehet. Eftersom cirkelsegmet på ehetscirkel represeterar viklar (mätta i radiaer) kallas ämda kvot för vikelfrekves och beteckas ofta med symbole W som likar e omfamig av just ett cirkelsegmet. Vi kommer att aväda omfamigssymbole ofta i fortsättige, och således skriva c  W t =- Ovaståede trigoometriska polyom iehåller således toer med vikelfrekvesera W, W, 3 W,, W. OTERA också sambadet W = p mella vikelfrekves och upprepigsfrekves, samt sambade W = pêp, = 1êp period = 1, vikelfrekves = 6 p, upprepigsfrekves = 3 3

6 Trigoometriska polyom.b 6 "Godtyckliga" periodiska fuktioer Det torde vara bekat för läsare att Taylorpolyom och Taylorserier aväds för att beskriva "godtyckliga" fuktioer (godtyckliga iom e viss klass av deriverbara fuktioer). Vi ska u se hur trigoometriska polyom c  W t där c - = c (ädliga såväl som oädliga) ka avädas för att beskriva godtyckliga periodiska fuktioer. (7) AM 1. Beteckige (7) skall i fallet med ädligt måga termer uppfattas som e summa av typ =- c  W t, och aars (i fallet med oädligt måga termer) som lim Ø I =- c  W t M, dvs. gräsvärdet av partialsummor som sväller ut symmetriskt. Uta dea kovetio skulle (7) ite säkert beskriva e reellvärd fuktio. För att e fuktio skall kua beskrivas med (7) måste koefficietera c väljas på ett listigt sätt. ästa avsitt visar hur det går till. Hur beräkas c? Låt oss först peka på aalogi mella (7) och e lieär kombiatio g 1 e 1 + g e + g 3 e 3 (8) där e 1, e, e 3 är ortoormerade vektorer i R 3 uder t.ex. stadardskalärprodukte. Ortoormerige iebär att e ÿe k = ; 1, = k 0, ¹ k Att ämda aalogi är meigsfull beror på att, -  W t, - W t, 1,  W t,  W t, är ortoormerade uder produkte Xf, g\ = 1 T Ÿ T f HtL g HtL t,

7 7 Trigoometriska polyom.b där T är ett godtyckligt ädligt itervall sådat att T W = p. Att fuktioera, -  W t, - W t, 1,  W t,  W t, är ortoormerade uder ämda produkt, dvs. att Y  W t,  k W t ] = 1 är ite svårt att visa. Försök får du se! T T  W t - kw t t = ; 1, = k 0, ¹ k u till beräkige av g och c. Atag att v och f ka skrivas på forme (9) respektive (10) edaför g 1 e 1 + g e + g 3 e 3 = v c  W t = c 1  W t + c  W t = f HtL ¹ 1 (9) (10) Låt oss börja med beräkige av g 1 och c 1. Om bägge lede i (9) och (10) multipliceras skalärt med e 1 respektive  W t erhålls respektive g 1 e 1 ÿe 1 + g e ÿe 1 + g 3 e 3 ÿe 1 = vÿe 1 c 1 Y  W t,  W t ] + c Y  W t,  W t ] = Yf HtL,  W t ] ¹ 1 Poäge med multiplikatioe är att första terme i (11):s och (1):s västerled blir lika med c 1, och att västerledes övriga termer blir lika med oll. (Allt detta är e kosekves av ortoormerige.) Det följer att g 1 = vÿe 1 c 1 = Yf HtL,  W t ] På motsvarade sätt får ma för varje att (11) (1) samt g = vÿe c = Yf HtL,  W t ] = 1 T f HtL - W t t T (13)

8 Trigoometriska polyom.b 8 Precis som g 1, g, g 3 är v:s koordiater i base e 1, e, e 3, brukar ma säga att är f :s koordiater i base, c -, c -1, c 0, c 1, c,, -  W t, - W t, 1,  W t,  W t, EXEMPEL 3 Beräka c för f HtL = t, T = H-p, pl, och jämför grafe för f med grafe för (partialsummor av) c  W t. Lösig Först kostateras att T = p, och att därmed W = pê T = 1. Formel (13) ger därför c = 1 p p t - t H-1L t partiella itegr.d = -p, ¹ 0 c 0 = 1 p p t p t = c W  t blir således lika med -p p 3 + ¹ 0 3. H-1L  t = H6L p 3 + >0 4 H-1L cosh tl Som syes edaför behövs ite särkilt måga termer i det trigoometriska polyomet för att återskapa f (blå) med god oggrahet. p H4 H-1L L cosh tl =1 -p p EXEMPEL 4 Beräka c för f HtL = t, T = H0, pl, och jämför åter f :s graf med grafe för (partialsummor av) c  W t. Lösig T = p. Det följer att W = p ê T =. Härav,

9 9 Trigoometriska polyom.b c = 1 p p t - t 1 +  p t = = 0, ¹ 0 c 0 = 1 p p t p t = 0 3. c W  t blir lika med p H6L p ¹  p  t = 3 + >0 cosh tl - p sih tl p coshh L tl J =1 - p sihh L tl 0 p I figure edaför har vi fokuserat på uppföradet ära t = 0. Varför tror du att fuktioe liksom "tar sats" vid språget? p cosh tl J =1 - p sih tl 0