7 Sjunde lektionen. 7.1 Digitala filter

Transkript

1 7 Sjude lektioe 7. Digitala filter 7.. Flera svar Ett lijärt tidsivariat system ka karakteriseras med ett flertal svar, t.ex. impuls-, steg- och amplitudsvare. LTI-system ka ju äve i de flesta fall beskrivas med poler och ollställe. Uppgift I figurera 5, 6 och 7 sys tre olika svar amplitudsvaret, impulssvaret respektive stegsvaret för fem olika LTI-system. Para ihop dem med pol-ollställebeskrivigara i figur 4. Lösig I de här falle har vi ebart poler. Det vi behöver täka på är att: Nära polera fås stor förstärkig, lågt ifrå polera stor dämpig; Poler med imagiärdel iebär ågo form av svägigsbeägehet; Poler ära ehetscirkel dämpas ut lågsammare ä poler ära z = ; Stegsvaret är itegrale av impulssvaret. Vi tar ett pol-ollställediagram i taget. PN Det här systemet har två oscillativa poler som ligger ära ehetscirkel, ågostas rut Ω = π/4. A4 Polera vid ehetscirkel tyder på att systemet tycker mycket om Ω π/4: det borde fias e resoastopp där ågostas. Detta sker lokalt. Mer övergripade borde systemet vara av låpasskaraktär eftersom polera ligger ärmare Ω = ä Ω = π. Me detta stämmer ju också med A5!? Det fis ågra små skillader: A5 har större statisk förstärkig (fler poler iom ett avståd< ); A5:s amplitudsvar dyker lite ia toppe vilket tyder på e pol ära Ω =. Alltså är det A4 som gäller. I5 Eftersom systemet är svägigt passar bara I2 och I5 i. Skilladera är ite så stora, me de fis: I5 har kortare tidsfördröjig ä I2 (midre polöverskott); I5 har midre statisk förstärkig ä I2 (färre poler ära Ω = ); I5:s svägig är ite lika sabbt dämpad som I2. Impulssvar 5 får det bli! S4 Här gäller ugefär samma som för impulssvare, me framför allt är det skillad i statisk förstärkig och tidsfördröjig som skiljer S4 frå S2. PN2 Systemet utgörs av e esam icke-oscillativ pol e bit iaför ehetscirkel. A2 Systemet är av tydlig lågpasskaraktär då pole ligger ära z =. De kommer att dämpa höga frekveser vid z =. Dessutom ka vi se att förstärkige ite borde variera speciellt mycket för låga Amplitudsvaret, eller frekvesgåge, är ige fullstädig beskrivig av ett LTI-system.

2 frekveser eftersom pole ite ligger jätteära ehetscirkel. Amplitudsvaret blir platt för låga frekveser för att seda avta för höga. Därför passar ite A eller A3. I Systemet är ite svägigt (pole är reell). Det är expoetiellt dämpat i tidsdomäe (pole iaför ehetscirkel). Alltså måste PN2 motsvara I. S5 Ett ehetssteg är e ädlig isigal. Stabila system har därför ädligt stora stegsvar. PN2 är tydligt stabilt och därför ka varke S eller S3 komma i fråga. Vi vet ju också att PN2 ite är oscillativt edast S5 ka stämma. PN3 E esam pol ligger på ehetscirkel i z =. A Vid låga frekveser kommmer förstärkige att ärma sig eftersom pole ligger i z =. Detta gäller både för A och A3, me A3 har e brytpukt där lutige ädras. Detta tyder på att A3 ite hör samma med ett första ordiges system (som PN3 är). I4 Poler iaför ehetscirkel ger expoetiellt dämpade beteede; poler utaför ger expoetiellt växade beteede; poler på ehetscirkel ger statioära beteede. Impulssvaret måste alltså vara statioärt. 2 Edast alterativ I4 duger. S3 E esam pol i z = iebär att vi har överförigsfuktioe H(z) = K z Översätter vi dea till tidsdomäe får vi () h() = Ku( ) y() = y( ) + Kx( ) (2) där u() är ehetssteget. Detta är e ackumulator som samlar på sig alla isigaler. E kostat isigal (som ett steg) ger upphov till e kostat och lijärt växade utsigal. Stegsvaret är de kumulativa summa av impulssvaret H() = h(m) = K (3) m= PN4 Två icke-oscillativa poler. E i z = och e e bit iaför. A3 Precis som PN3 har det här systemet oädlig förstärkig för låga frekveser på grud av pole på ehetscirkel. För höga frekveser kommer båda polera att dämpa förstärkige sjuker sabbare. I3 Eftersom systemet är istabilt är impulssvaret ite absolut summerbart. Därför faller I, I2 och I5 bort. Impulssvaret I3 har ett expoetiellt dämpat förlopp kombierat med ackumulators kostata impulssvar. 2 Observera att ett system ka vara svägigt och statioärt: e siusvåg har statioära egeskaper. 2

3 S Blad stegsvare fis bara två istabila system. Eftersom stegsvaret är de kumulativa summa av impulssvaret ka vi sluta oss till att stegsvaret bör växa lågsamt till e börja för att seda växa lijärt. PN5 Detta system uppför sig som PN och PN2 kombierat. Två oscillativa poler och e lågpasspol. A5 Kombierar vi A2 och A4 så får vi A5. Amplitudsvaret har e tydlig resoastopp och e midre tydlig svacka ia toppe. De seare är lågpasspoles verk. Kommetar I2 Av de två oscillativa impulssvare väljer vi I2 för att: Tidsfördröjige är lägre; Dämpige är sabbare (lågpasspole); Oscillatioe iitialt större. S2 Här gäller samma argumet som i föregåede stycke. De statiska förstärkige är större för S2 ä för S4. E viktig skillad mella kotiuerlig och diskret tid är uppföradet för höga frekveser. I kotiuerlig tid kommer ma förr eller seare så lågt frå poler och ollställe att förstärkigskurva får e kostat lutig. Detta sker ite i diskret tid (vilket sys i figur 5) eftersom det maximala avstådet till polera och ollställea är begräsat. Ökar vi frekveser går rut ehetscirkel varv efter varv amplitudsvaret upprepar sig periodiskt Filterkostruktio Uppgift a) Poler och ollställe. Filter ka vi kostruera geom att placera ut poler och ollställe i z- plaet. Hur ska ma täka är det gäller: Förstärkig/dämpig? Stabilitet? Faslijäritet? Kausalitet? b) Impulsivariat metod. Ta fram ett första ordiges LP-filter med de impulsivariata metode. Gräsfrekves ω g. c) Föstermetod. Lösig Kostruera ett femtappars filter med föstermetode. Gör ett badpassfilter för itervallet [, 2] khz då vi samplar med 6 khz. a) Pol-ollställeplacerig 3

4 Förstärkig/dämpig Vi utgår frå ett ekelt exempel. H(Ω) = K ejω z e jω z p Här sys det tydligt att ju lägre vi kommer frå ollställe, desto mer bidrar det till förstärkige. Det omväda gäller för poler: lägre bort=mer dämpig. Om vi istället kommer ära polera, d.v.s. exp(jω) z p blir litet, så blir förstärkige stor. Nära eller i ollställe dämpas sigale. Placera ollställe vid frekveser som ska dämpas och poler vid frekveser som ska förstärkas. Poler och ollställe verkar åt motsatt håll, de varadras motsatser i det mesta. Stabilitet E pol iaför ehetscirkel motsvarar ett expoetiellt avtagade tidsförlopp. Sådaa poler ger aldrig upphov till istabilitet. Det gör däremot poler på eller utaför ehetscirkel, så håll polera iaför! Nollställea har iget med stabilitete att göra. Faslijäritet För att kua göra ett filter faslijärt måste polera vara i origo, meda ollställea läggs som speglade par (eller i origo). E speglig i ehetscirkel beskrivs av z 2 = z (5) där * beteckar komplexkojugerig. För mer detaljer, se uppgift Om det ite vore för stabilitete skulle vi kua ha speglade poler också. Nu iebär speglige alltid att e hamar iaför och e utaför. Kausalitet Poler och ollställe ka översättas direkt till e differesekvatio. (4) A(z)Y (z) = B(z)X(z) (z N + a z N +...)Y (z) = (b z M + b z M +...)X(z) ( + a z +...)Y (z) = (b z M N + b z M N +...)X(z) y() = a y( ) a 2 y( 2)... +b x( M + N) + b x( M + N ) +... Här ka vi se att om M > N så är systemet ite kausalt. Ordigara M och N svarar ju direkt mot atalet ollställe och poler. Ett kausalt tidsdiskret lijärt system måste ha mist lika måga poler som ollställe. b) Dea metod är tydlige ite med i kurse. Väta med de så läge de verkar ite åt vidare bra. (6) 4

5 c) Föstermetode steg för steg:. Utgå frå ett öskat frekvessvar H(Ω) (till exempel ett idealt filter). 2. Gör e ivers tidsdiskret fouriertrasform. h() = 2π π π H(Ω)e jω dω (7) Nu har vi det impulssvar vi vill ha, me trolige är det ite realiserbart (ite praktiskt tillämpbart). 3. Föstra det, förmodlige, oädliga impulssvaret till ädlig lägd. ĥ() = w()h() (8) Föstrige sker symmetriskt krig =. Valet av föstertyp kommer att påverka filtrets egeskaper. 4. Gör filtret kausalt geom att skifta ĥ() så att det startar i =. Vi vill åstadkomma ett badpassfilter som släpper igeom khz till 2 khz. Uttryckt i de ormerade frekvese Ω: Ωu = 2π 6 = π 8 Ωö = 2π 2 6 = π 4 (9) Nu gäller det att komma ihåg e sak: ett reellt impulssvar har ett jämt amplitudsvar och e udda fasgåg. Glöm ite bort de egativa frekvesera för då kommer impulssvaret att bli komplext., π/4 Ω π/8 H(Ω) =, π/8 Ω π/4 (), aars Här har vi idirekt satt fasgåge φ(ω) =. Nu har vi klarat av steg ett: Vi vill göra ett idealt badpassfilter med lijär fasgåg. Dags för steg två. π h() = H(Ω)e jω dω 2π π = π/8 e jω dω + 2π π/4 π/4 π/8 e jω dω = π (e jπ/4 e jπ/4 + e jπ/8 e jπ/8) 2j = ( ( π ) ( π )) si si π 4 8 () 5

6 Aväder vi impulssvaret i ekvatio () kommer vi att erhålla ett idealt badpassfilter. Problemet är att det är svårt att realisera oädligt låga och ickekausala impulssvar. Dags för steg tre: Klipp av impulssvaret! Uppgifte var att göra ett fem tappar lågt filter. Vi ska alltså ha ett impulssvar med lägde fem. Ett rektagulärt föster ger { h(), = 2,,,, 2 ĥ() = (2), aars Föstrige visas i figur där det ideala impulssvaret och det rektagulära föstret visas. Reda u ka vi gissa att filtret og ite blir åt vidare med bara fem tappar. Vi klipper bort alldeles för mycket viktiga delar..2 h() Figur : Rektagulär föstrig av idealt impulssvar. För att göra filtret kausalt högerskiftar vi det två steg. { h( 2), =,, 2, 3, 4 ĥ() =, aars (3) Detta var det sista steget i föstermetode. E viktig pukt sakas dock: validerige! Vi ka ite vara öjda med att vi stegat igeom de fyra puktera om resultatet är skräp. För att kotrollera vad föstrige ieburit för amplitudsvaret går vi tillbaka till frekvesdomäe. Ĥ(Ω) = =4 = ( si π ( π ) si 4 ( π )) e jω (4) 8 Vi trasslar ite fram åt slutet uttryck för frekvessvaret uta öjer oss med att studera amplitudsvaret med hjälp av Matlab (se figur 2). Vi ka kostatera att filtret är tämlige värdelöst med bara fem tappar. I figure ser vi också amplitudsvaret för ett 4-tappars filter gjort med samma metod. Då börjar det ju lika ågot. 6

7 db ^ H(Ω) 5 tappar 4 tappar Ω rad/s Figur 2: Amplitudsvar för fem- respektive 4-tappars filter. Kommetar Föstermetode geererar edast FIR-filter. Vi klipper bort iformatio är vi föstrar impulssvaret. Ju midre vi klipper desto bättre blir det. Olika val av föster ger olika resultat (jämför med periodogrammet, uppgift 7.2.). Ĥ(Ω) = H(Ω) W (Ω) (5) 7.2 Skattig av amplitudspektrum 7.2. Periodogrammets egeskaper Uppgift a) Förklara pricipe bakom periodogrammet. b) Beskriv hur upplösige påverkas av fösterlägde. c) Vad har föstrets form för betydelse. d) Vi fösöker skatta ett frekvessvar Ĥ(Ω) frå uppmätta i- och utsigaler x(), y(). Vilka val av isigal är bra respektive midre bra? Siusvåg Impuls Fyrkatvåg Vitt brus Färgat brus 7

8 Lösig a) Periodogrammet är e skattig av amplitudspektrum frå e ädlig datasekves. Skattige bygger på de diskreta fouriertrasforme. Säg att vi har e uppmätt datasekves x() som består av N mätvärde. Frå de ka vi beräka DFT: eligt X(k) = N = x()e j2π k N k =,,..., N (6) Spektrumet X(k) är ite detsamma som e determiistisk sigals saa spektrum X(ω). Dels är sigale käd bara för ett iterval [, N ], dels fis det alltid brus och adra störigar med i mätige. Periodogrammet beräkas eligt 3 X per (k) = N X(k) (7) b) Eftersom datasekvese är ädlig kommer de diskreta fouriertrasforme att se e föstrad sigal. x() = w()ˆx() (8) där w() är ett rektagulärt föster som klipper ut vår mätsigal ur e oädligt låg täkt sigal. Fouriertrasforme evisas med att jämföra vår ädliga mätserie med oädligt låga siusvågor och därför kommer föstrige att ha e avgörade betydelse för skattige av amplitudspektrum. Som vi käer till blir multiplikatio i tidsdomäe faltig i frekvesdomäe. X(k) = ˆ X(k) W (k) (9) Föstret kommer att smeta ut det öskade spektrumet (smala spikar kommer att breddas). Fick vi välja skulle W (k) vara e impuls δ(k), för då skulle vi hitta det vi söker. Ju smalare desto bättre alltså. Frå uppgift 5.2. vet vi att ett rektagulärt föster har amplitudspektrumet si ( T 2 W (Ω) = T Ω) T 2 Ω (2) där T är föstrets lägd. Studerar ma ekvatio (2) ser ma att ett större T iebär e smalare huvudlob. Mera data iebär bättre upplösig. c) Det är ju ite bara lägde på föstret som har betydelse ädrar vi forme kommer det också spela roll. Det går att visa att det rektagulära föstret har smalast huvudlob av alla föster av e give lägd. Eftersom huvudlobes bredd är mest avgörade för upplösige ger detta föster de bästa upplösige. 4 Huvudlobe påverkar främst det ma kallar utsmetig (breddig av frekvestoppar). Sidlobera medför så kallat läckage: Eergi frå e 3 Detta gäller för determiistiska sigaler. Så fort vi behadlar slumpmässiga sigaler skattar vi effekttäthetsspektrum X per(k) = (/N) X(k) 2. 4 Bäst för de här skattigsmetode. Det fis e uppsjö adra metoder ä periodogrammet som har adra egeskaper. 8

9 frekvestopp läcker ut över hela frekvesbadet via sidlobera. Läckaget ka medföra att e stark frekveskompoets sidlober dräker e svag kompoets huvudlob (äve om upplösige är tillräcklig). Små sidlober är alltså e öskvärd egeskap hos ett föster. Det fis ett flertal föster med avsevärt midre sidlober ä det rektagulära. Ett exempel är Hammigföstret (se föreläsig 7- sida 5). Aväds ett aat föster ä det rektagulära beäms metode modifierat periodogram. d) Frekvessvaret H(Ω) beskriver hur systemet reagerar på olika siusfrekveser. Beskrivige gäller alla frekveser. För att göra e skattig av frekvessvaret måste vi ha e isigal som iehåller alla de frekveser vi vill testa systemet för. Sigale ska excitera alla itressata moder (alla moder om vi vill skatta hela H(Ω)). Siusvåg E siusvåg testar edast e frekves och ger ite mycket iformatio om systemet i stort. Ett siussvep där ett flertal frekveser testas ka ge e bra uppfattig om systemet. E gaska tidsödade metod. Impuls E impuls ihåller alla frekveser och exciterar därför hela systemet (om det är lijärt). 5 X(Ω) = (2) Problemet med impulser är att geerera dem. Det ka vara mycket svårt att skapa impulslika sigaler. Fyrkatvåg E fyrkatvåg är periodisk och ka skrivas som e fourierserie. 4A π = = ( ) + 2 cos ((2 )ω (t)) (22) där ω är fyrkatvåges grudto. Dea fourierserie har spikar i spektrumet vid ω, 3ω, 5ω, o.s.v. Alltså har spektrumet stora luckor systemet testas ite på alla frekveser. 6 Vitt brus Som amet atyder iehåller vitt brus lika mycket av alla frekveser (jämför med vitt ljus). Detta är e valig sigal i systemidetifierigssammahag. Färgat brus Brus kallas färgat är det fis e eergikocetratio i vissa frekvesområde. I dessa område blir systemet bra testat skattige av frekvessvaret blir bra meda det i adra område blir sämre testat. Färgat brus aväds med fördel då vissa frekvesområde är speciellt itressata. 5 Eftersom impulssvaret är e fullstädig beskrivig av ett lijärt system är det på ågot sätt självklart att impulse måste iehålla alla frekveser. Hur skulle aars impuls- och frekvessvar kua häga ihop geom fouriertrasforme? 6 Ite e bra sigal för amplitudspektrumskattig, me däremot för att testa faslijäritet. 9

10 7.3 Kotiuerlig reglertekik 7.3. Servomotor Uppgift Vi vill få e elmotors axelläge (vikel) att följa e referessigal. Eligt uppgift 4.2. ka e elmotor modelleras som H(s) = K /τ s(s + /τ) Studera stegsvaret och orda se ett bättre! (23) Lösig Systemets dyamik bestäms av dess två poler. s p = s p2 = τ (24) Detta system är ite stabilt eftersom e pol ligger på jω-axel. Vi ka hitta stegsvaret geom att itegrera impulssvaret. Det seare fås geom ivers laplacetrasformerig av överförigsfuktioe i ekvatio (23). h(t) = L {H(s)} Nu ka vi itegrera fram stegsvaret H(t). = {Aväd L28 i βeta} ( ) = K e t/τ (25) H(t) = t h(r)dr = Kt + [ τe ] r/τ t ( ( )) = K t + τ e t/τ (26) Vi ser att stegsvaret är e fuktio som ökar med tide. Fysikaliskt betyder det att motoraxels vikel ökar obegräsat om vi lägger på e kostat späig. För stora t ökar vikel lijärt, d.v.s. hastighete är kostat. Verkar rimligt. Varför är u stegsvaret så itressat? Jo, om vi u vill få motor att följa e referessigal måste stegsvaret gå mot ett kostat värde. Som exempel: Lägger vi på 5 V ska motoraxel staa på vikel π/2 radiaer; Isigale V ska rotera axel till vikel π radiaer. Systemet måste göras stabilt! Vi ka flytta i de istabila pole i västra halvplaet med hjälp av återkopplig. I uppgift 6.3. beräkade vi överförigsfuktioe för ett system återkopplat eligt figur 3.

11 x(t) Σ H(s) y(t) L(s) Figur 3: Återkopplig av elmotor. Y (s) = = H(s) H(s)L(s) X(s) H(s) X(s) (27) H(s)k Här har vi begräsat oss till det ekla fallet är återkopplige är kostat. Kombierar vi ekvatioera (23) och (27) får vi det återkopplade systemets överförigsfuktio. De två polera ges av Y (s) = K/τ X(s) (28) s(s + /τ) kk/τ s 2 p + τ s p kk τ = s p = 2τ ± = 2τ 4τ 2 + 4kKτ 4τ 2 ) ( ± + 4kKτ (29) Polera ka uppebarlige flyttas geom att justera återkopplige k. Positiva k flyttar ut de ea pole i höger halvpla ige bra idé! Vi måste alltså ha egativ återkopplig. Eftersom e stor vikel då miskar späige på igåge verkar detta rimligt. Var ska vi då placera polera? Detta är ite på ågot sätt självklart. Vi ka öja oss med att flytta i de istabila pole till läget s = a. ( + ) + 4kKτ = a 2τ + 4kKτ = 2aτ k = ( 2aτ)2 4Kτ (3)