Tillämpad biomekanik, 5 poäng Plan rörelse, kinematik och kinetik

Transkript

1 Pla rörelse Kiematik vid rotatio av stela kroppar Iledade kiematik för stela kroppar. För de två lijera, 1 och, i figure bredvid gäller att deras vikelpositioer, θ 1 och θ, kopplas ihop av ekvatioe Θ = Θ1 + β Eftersom vikel β är kostat (lijera ligger på e stel kropp) får vi vikelhastighets- och vikelacceleratiossambade Θ & Θ & = & = & Θ 1 Θ 1 Och då lijera 1 och är helt goyckliga visar dessa ekla sambad att varje del av e stel kropp roterar med samma vikelhastighet Θ & = ω och har samma vikelacceleratio Θ & = α. Observera att rotatioscetrum för kroppe ite behöver ligga i lijeras skärigspukt, sambade gäller ädå! Vid rotatio krig e axel gäller som förut s = Θr där s är båglägd, r är radie och Θ är vikel. v = rω där v är lijära hastighete, r är radie och ω är vikelhastighet [rad/s]. Adra valiga mått på rotatioshastighete är t.ex. varvtalet [varv/mi]. rα a = Där a är lijära acceleratioe, r är radie och α är vikelacceleratioe [rad/s ]. P. Carlsso 1

2 För allmä, pla rörelse gäller (blad aat) följade E allmä, pla rörelse (dvs. e rörelse som bara försiggår i ett pla) ka ses som sammasatt av e re traslatio och e rotatio rut e fix axel. I figure ova har kroppe e goycklig pla rörelse som visas i till väster ( va vb ). Dea rörelse ka beskrivas som summa av de rea traslatioe i mittefigure och de rea rotatioe krig e fix axel i figure till höger (motsvarade sambad gäller äve för e kropps acceleratio). P. Carlsso

3 Exempel 1 Storleke på de absoluta hastighete av pukt A på ett persobilsdäck är v A = 1 m/s då pukt A är i de positio som visas i figure. Vilke hastighet v 0 har bile i samma ögoblick och hur stor vikelhastighet ω har däcket om det rullar uta att slira? Svar: v 0 = 8,49 m/s, ω = 6,1 rad/s Fotografi av ett rullade däck P. Carlsso 3

4 Lage för tygdpuktes rörelse Vi studerar ett goyckligt partikelsystem beståede av N partiklar (t.ex. e valig kropp sammasatt av små partiklar). Partiklara umreras 1,, 3, N, deras sammalagda massa är m och F i, F j är yttre krafter. För partikelsystemet gäller följade, mycket ekla rörelseekvatio F = ma vilket kallas lage för tygdpuktes rörelse som säger att: Partikelsystemets tygdpukt rör sig på samma sätt som e täkt partikel med samma massa som hela systemet påverkad av samma yttre krafter. P. Carlsso 4

5 Kraftlage vid kroklijig rörelse Här, liksom i kiematike, uderlättas problemlösige ofta om vi håller oss till de aturliga - och t-riktigara (ormal- och tagetialriktigara). Om t.ex. r är krökigsradie för kurva vid pukt B ser kraftekvatioera ut på följade sätt för e partikel med massa m i det läget: F F t = ma t = ma = mr & ω v = m r = mrω där v är partikels hastighet i B och ω är dess vikelhastighet rut de täkta cirkels cetrum. Det går alltså åt e kraft F för att partikel ska följa kurvas krökig vid exempelvis B! Uttrycke ova gäller äve för e kropp som roterar krig e fix axel. Ekvatioera har samma utseede, me här är de aktuella radie avstådet mella rotatiosaxel och kroppes tygdpukt, r. Ekvatioera får då utseedet ( a s = a t ) F F t = ma t = ma = mr & ω v = m r = mrω P. Carlsso 5

6 Mometekvatioe För allmä, pla rörelse ka kraftbilder och rörelsetillståd illustreras eligt figure eda För rörelse rut axel geom tygdpukte G gäller för figure ova M G = I G α vilket utgör de viktiga mometlage som är motsvarighete till Newtos adra lag, ΣF = ma G, vid roterade rörelse. I G = I, dvs. masströghetsmomet för e axel geom kroppes tygdpukt. Dessutom gäller, som tidigare, Newtos :a lag, de så kallade kraftlage F = ma = G ma Ekvatioe delas lämplige upp i kompoeter i tagetial- och ormalriktige F F t = ma t = ma = mr & ω v = m r = mrω P. Carlsso 6

7 Newtos adra lag kopplar ihop acceleratioer och krafter vid lijär rörelse meda mometekvatioe kopplar ihop momet och vikelacceleratioer vid roterade rörelse. Observera att båda falle ka förekomma samtidigt, de ea lage utesluter ite på ågot sätt att de adra också gäller! I de här forme gäller mometlage bara rut tygdpukte eller rut e fix rotatiosaxel (för adra axlar tillkommer fler termer i mometekvatioes högerled). Masströghetsmomete får förstås olika värde om ite rotatiosaxel råkar gå geom tygdpukte! Förflyttigssatse för masströghetsmomet Steiers sats Hur gör ma om ma söker värde för masströghetsmometet I för e aa axel ä de som fis i formelsamlige? Uta bevis meddelas här att masströghetsmometet I för e aa axel ä e som går geom kroppes tygdpukt fås ur sambadet I = I + md där I är masströghetsmometet för de ya axel, I är masströghetsmometet för e parallell axel geom tygdpukte m är kroppes massa och d är det vikelräta avstådet mella de båda, parallella axlara. Ur formel ova ka ma dra slutsatse att masströghetsmometet har sitt lägsta värde i axlar som passerar tygdpukte (m och d har alltid positiva värde). P. Carlsso 7

8 Exempel Ekelt exempel på tygdpuktes rörelse för ett partikelsystem, beståede av edast två partiklar I figure ova utsätts de stelt förbuda partiklara m 1 och m för krafte F. Tygdpuktes läge beteckas med CM (Ceter of Mass). Hur rör sig partikelsystemet i de olika falle (dvs. vilka acceleratioer uppträder i de olika falle)? P. Carlsso 8

9 Eergilage vid samtidig traslatio och rotatio För t.ex. ett rullade hjul, som både rör sig framåt och roterar, sätts de kietiska eergi ihop av två kompoeter eligt T = T Traslatio + T Rotatio där T T Traslatio Rotatio 1 = mv 1 = Iω 0 med figures beteckigar. Vi får alltså 1 T = mv0 + 1 Iω Observera att de hastighet som räkas i T Traslatio är tygdpuktes hastighet v och att masströghetsmometet I i uttrycket för T Rotatio ska vara det masströghetsmomet som hör till e axel geom tygdpukte. I de fall där rotatio sker krig e fix axel z faller förstås T Traslatio bort i uttrycket för de kietiska eergi och I ersätts med masströghetsmometet krig aktuell rotatiosaxel z: T = I Z 1 ω. Arbetet för att t.ex. lyfta e kropp i tygdkraftsfältet, ära jordyta, bestäms av hur stor sträcka h tygdpukte flyttar sig: W = mgh P. Carlsso 9

10 Med dessa modifierigar av uttrycket för kietiska eergi (rörelseeergi) och arbetet gäller eergilage som förut, dvs. När e kropp förflyttas frå ett läge till ett aat, så är ädrige i de kietiska eergi lika med det arbete som har uträttats av samtliga krafter på kroppe. T + = 1 W1 T Exempel 3 E solid, homoge cylider släpps frå vila på ett sluttade pla. Om Θ = 40 o, μ s = 0,30, μ k = 0,0 bestäm acceleratioe för masscetrum G och storleke på de friktioskraft F μ som fis mella pla och cylider. Svar: a = 4,0 m/s, F μ = 7,57 N P. Carlsso 10

11 Något om deriverigar och tidsderivator Beteckigar för viklars tidsderivator Vikel Θ = Θ(t) Vikelhastighet dθ = Θ & = ω Vikelacceleratio d Θ = Θ && = α = dθ& = & ω Sammasatta derivator, kedjeregel Om x = x(u) och u = u(t) gäller dx = x u du Exempel: x = si Θ där Θ = Θ(t) dx y = cos Θ, dy? y = ta Θ, dy? si Θ dθ = = cos Θ Θ & = ω cos Θ Θ Exempel 4 Udersök hastigheter och acceleratioer i ett lämpligt koordiatsystem för slägga, sedd rakt uppifrå. Jämför med de tidigare härledda uttrycke för hastigheter och acceleratioer. P. Carlsso 11

12 Exempel 5 Ea äda av e balk AB med lägde l = m är fäst vid e krage som glider utefter e lodrät ståg samtidigt som de adra äda glider på ett glatt, horisotellt uderlag eligt figur. Vid det tillfälle som visas i figure är vikel Θ = 30 o samtidigt som krage vid A glider edåt med de kostata hastighete v A = 0,4 m/s. Beräka: a) Hastighete v B och vikelhastighete ω AB b) Acceleratioe a B och vikelacceleratioe α AB Svar: v A a) ω AB = Θ & = = 0,4 rad / s l si Θ va vb = = 0,693 m/ s taθ Θ& v A b) Θ && = = = 0,97 rad / s taθ l taθsi Θ a B = lθ& cosθ lθ& si Θ = 0,640 rad / s P. Carlsso 1

13 Exempel 6 E homoge, slak balk AB har massa 8 kg och rör sig i ett vertikalpla krig upphägige vid A. Om vikelhastighete Θ & = rad/s då o Θ = 30, beräka hur stor de resulterade krafte R A är i det läget. Svar: R A = 56,3 N Exempel 7 E jämtjock, 0 kg:s balk är lagrad vid O och sväger friktiosfritt i vertikalplaet. Om balke släpps frå vila i horisotellt läge, beräka de resulterade krafte i lagrige, alldeles efter det att balke släppts. Svar: R O = 49,0 N P. Carlsso 13