Repetion. Jonas Björnsson. 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från den verkliga världen

Transkript

1 Repetion Jonas Björnsson Sammanfattning Detta är en kort sammanfattning av kursen Mekanik. Friläggning Friläggning består kortfattat av följande moment 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från den verkliga världen 2. Ersätt all yttre påverkan på kroppen med krafter, glöm inte tyngdkraften. Använd Newtons tredje lag (NIII) för att relatera krafter. Newtons andra lag, NII Det vi studerat är egentligen olika rörelsen av stela kroppen. Först jämnvikt (kap. 3 & 4 i statiken), sedan partikelgränsen (kap. 3 i dynamiken) och slutligen allmän plan rörelse (kap. 6). jmv partikel plan rörelse Fc = 0 ma c ma c Fc = 0 Īα där m är massan för partikeln/stelakroppen, Ī är tröghetsmomentet kring masscentrum. Ī finns oftast tabellerad. I tabellen ovan är a c = a c = { ax a y (1) { ar = r r θ 2 a θ = r θ + 2ṙ θ (2) där r är lika med avståndet från O till masscentrum. För enhetsvektorerna i polära koordinater gäller ê r : Riktad mot ökande r, dvs. från O till masscentrum. ê θ : Riktad mot ökande θ. 1

2 Rörelseenergi och potentialer (Integration av NII mha. position) Energilagen: W 1 2 = T + V g + V e där W 1 2 : Arbete gjort av andra krafter än gravitationen och fjädrar. M W 1 2 = F t ds + G dθ T = 1 2 mv Īω2 V g = mgh eller Gmm e r V e = 1 2 kx2 där h är den höjd som masscentrum befinner sig ovanför en vald nollnivå, r är avståndet från jordens centrum till masscentrum för kroppen och m e är massan för jorden. (G är Newtons gravitationskonstant). Ekvationen för rörelseenergin följer från Königs sats. (Observera att ekvationerna för gravitationen gäller även andra planeter än jorden) Specialfall: 2. Om W 1 2 = 0 är (den mekaniska) energin bevarad i rörelsen från position 1 till Rörelsemängd & Rörelsemängdsmoment (Integration av NII mha. tiden) Definition: P = mv (3) LO = ( Ī + md 2) ω (4) LG = Īω (5) där d är avstånder från masscentrum till O och G är masscentrum. I ekvation (4) har Sterns sats används. Ur dessa definitioner kan följande ekvationer härledas (Generaliserade NII) dp F = (6) M O = LO (7) M G = LG, (8) 2

3 där O måste vara en fix axel. Specialfallet partikel har man Ī = 0 eftersom den inte har någon utsträckning. Ur definitionerna och ekvationerna kan följande härledas: Bevarandet av rörelsemängd: Om inga yttre krafter existerar i en riktning för ett system under en stöt så är rörelsemängden bevarad i den riktningen under stöten, P = 0. Bevarandet av rörelsemängdsmoment: Om inga yttre krafter ger upphov till moment kring en axel O under en stöt så är rörelsemängdsmomentet kring O bevarat under stöten, LO= 0. Kinematiska relationer Definitioner: v = dx (9) a = dv = d2 x (10) 2 ur dessa definitioner kan följande härledas a = v dv (11) dx Observera att denna ekvation följer direkt från definitionerna ovan. Exempelvis kan följande härledas från definitionerna Tvång θ = θ d θ dθ ω = θ = dθ (12) (13) α = θ = d2 θ 2 (14) Handlar om att det kan finnas relationer för en kropps rörelse eller mellan kroppars rörelser. Ex1: Två cylindrar sammansatta med ett rep. Här gäller att linans längd, L, är konstant. Detta leder till L = x + y + C (15) d/ 0 = ẋ + ẏ (16) d/ 0 = ẍ + ÿ (17) 3

4 Figur 1: Tvång från en lina Ex2: En cylinder som rullar utan att glida. Figur 2: Tvång från en cylinder som rullar utan att glida Här gäller att den sträcka som cylindern rullat, x, är lika med vinkelförändringen, θ, gånger radien, r, plus någon eventuell konstant. Vi kan också se vad som händer om man gör en liten förflyttning dx vilket leder till en liten vinkel ändring dθ. Dessa leder i slutändan till Friktion ẋ = r θ ẍ = r θ (18) Vi har här använt följande approximation för friktion: Om vi inte har någon rörelse mellan två ytor gäller F f N µ s (19) (20) där F f är friktionskraften, N är normalkraften mellan kontaktytorna och µ s är den statiska friktionskoefficienten mellan ytorna. 4

5 Om vi har rörelse mellan två ytor gäller F f N = µ k (21) (22) där F f är friktionskraften, N är normalkraften mellan kontaktytorna och µ k är den kinetiska friktionskoefficienten mellan ytorna. Relation mellan translation och rotation I tabellen nedan visas relationerna mellan translation (i en dimension) och rotation kring masscentrum. Ökande θ är moturs och x är från en fix punkt till masscentrum. Translation x v = ẋ a = ẍ m F Rotation θ ω = θ α = θ Ī M G Ur detta kan man bland annat relatera ekvationerna för rörelsemängd och rörelsemängdsmoment, P x = mv LG= Īω, (23) arbete för krafter och moment, W 1 2 = F dx W 1 2 = M G dθ (24) och rörelseenergin för translation och rotation T = 1 2 mv2 T = 1 2Īω2 (25) 5