= v! p + r! p = r! p, ty v och p är dt parallella. Definiera som en ny storhet: Rörelsemängdsmoment: H O

Transkript

1 1 KOMIHÅG 15: Definitioner: Den potentiella energin, mekaniska energin Formulera: Energiprincipen Föreläsning 16: FLER LAGAR-härledning ur N2 Momentlag Hur påverkas rörelsen av ett kraftmoment?? Rörelsemängden definieras som en vektor: p = mv. Newtons 2:a lag kan då skrivas som p = F. Om den lagen (N2) är sann, så är det också sant att: r! p = r! F (1) Men: d( r! p ) = v! p + r! p = r! p, ty v och p är dt parallella. Definiera som en ny storhet: Rörelsemängdsmoment: H O = r! p Vi kan nu skriva ekvation (1) som en ny lag. Momentlag, momentekvationen H O = M O där vi inför det tidigare kända kraftmomentet enligt definitionen: M O = r! F. OBS: Förväxla inte momentekvationen med definitionen av kraftmoment!

2 2 Krafter som inte vrider: Kraftmoment M O = 0. Trådkraft på partikel. Glatt, horisontellt underlag. Teorifråga: Hur ser uttrycket för accelerationen ut för partikeln i figuren? Hur stor är kraften? F Teorifråga: Kraften på jorden är utritad i figuren. Hur stor är kraften på solen? Rörelsemängdsmomentet ('rotationsmängden') kommer att bevaras. Enligt momentlagen gäller ju H O = 0! H O = konstant vektor

3 3 Övning: Bestäm uttrycket för H O med hjälp av cylinderkomponenter. Lösning: Partikeln rör sig i ett plan som vi kan ge höjdkoordinaten z = 0. Med origo i planet där kraftens verkningslinje hela tiden går igenom (hålet, solen ) fås: r = re r, p = m( r e r + r! e! ) p = m( r e r + r! e! ). Insättning i definitionen av rörelsemängdsmomentet: H O = r! p = mr r ( e r! e r ) mr2 "( e r! e " ) =0 = mr 2 " e z Svar: H O = mr 2! e z. e z Övning: Beskriv en typrörelse sådan att H O är konstant. Lösning: Rörelsen sker kring en fix axel genom ett fixt origo så att r 2! är konstant. Vinkelhastigheten anpassas efter avståndet r så att produkten r 2! är konstant, dvs på större avstånd är vinkelhastigheten mindre än på små avstånd.

4 4 Krafter som vrider: Kraftmoment M O! 0 2 Stel rotation runt fix z-axel: H O = mr 0! e z, där r 0 är massans fixa avstånd. Momentlagens z-komponent: mr 0 2! = M Oz. -Om det finns ett kraftmoment för vridning kring z-axeln, så orsakar det en vinkelacceleration! hos vridningen. -Konstanten mr 2 0 kallas tröghetsmomentet I Oz. Ett stort tröghetsmoment gör att vinkelaccelereationen orsakat av momentet kan bli litet:! = M Oz / I Oz. Tröghet Tröghet har att göra med massa. Ju mer massa desto svårare att ändra rörelsetillståndet. Tröghet påverkar translation och rotation. - Translationströghet massa - Rotationströghet tröghetsmoment Exempel: Använd tröghetsmomentet för att uttrycka en roterande partikels kinetiska energi om r är konstant. Lösning: Antag att partikeln har massa m och roterar i cirkelbana kring z-axeln (rotationsaxeln) med vinkelhastigheten!. Med cylinderkomponenter och med origo på z-axeln fås farten v = r! = r". Definition av kinetisk energi och tröghetsmoment ger T = 1 2 mv2 = 1 2 mr2! 2 = 1 2 I Oz! 2.

5 5 Exempel Ställ upp ett samband mellan vinkelaccelerationen och vinkeln för en pendel med maxutslag! max = ". Lösning: Kraftbilden för partikeln. Kraftmomentet blir: M O = r! T + r! mg = r! mg, ty trådkraften är parallell med ortsvektorn. Med figurens hjälp fås: M O =!Lmg sin"e z. Momentlagens z-komponent med avseende på trådfästet: ml 2! = "mglsin!, eller förenklat! = " g L sin!.

6 6 KOMIHÅG 16: Kraftens moment: M O = r! F. Momentlagen: H O = M O. Stel rotation kring fix z-axel: mr 2! = M Oz Föreläsning 17: Kraftens impuls och impulslagen Rörelsemängden definieras som en vektor: p = mv. Newtons 2:a lag kan då skrivas som p = F. Om den är sann, så är det också sant att: t 2 t 2! p dt =! F dt. t 1 t 1 -Vänsterledet kan räknas ut formellt till en rörelsemängdsändring!p = p ( t 2 ) " p ( t 1 ). -Högerledet får bli en ny storhet Definition: Kraftens impuls: I = t 2! t 1 F dt Slutligen har vi härlett en ny lag ur Newtons 2:a lag, den så kallade impulslagen (eller impulsekvationen):!p = I Med ord: Kraftens impuls orsakar en ändring av partikelns rörelsemängd så att ändringen är lika stor som impulsen.

7 7 Exempel: En boll med massa m studsar mot ett golv. Alldeles innan studsen vet man att hastigheten är riktad neråt med storleken v 0, och att alldeles efter studsen är bollens hastighet v 1 riktad uppåt. Ändring i rörelsemängd på grund av studsen är således m( v 1 + v 0 ), räknat positiv uppåt. Enligt impulslagen är stötkraftens impuls ( I) lika stor som rörelsemängdsändringen, dvs I = m( v 1 + v 0 ). TILLÄMPNING PÅ STÖTAR Allmän beskrivning: Mellan två partiklar m 1 och m 2 i kontakt med varandra uppstår två motriktade normalkrafter (Newtons 3:e lag). Summan av dessa krafter är noll! Summan av krafternas (tidsintegraler) impulser är likaså noll!! Konsekvensen är att summan av partiklarnas rörelsemängder inte ändras. Matematisk beskrivning: Om inga andra krafter än normalkrafterna är viktiga ger impulslagen för första partikeln:!p 1 = I, där I är impulsen av normalkraften verkande på partikel m 1. På samma sätt för partikel m 2 :!p 2 = "I, ty dess normalkraft är motriktad! Summering av dessa två imulslagar ger:!p 1 +!p 2 = 0.

8 8 Stötlag:!( p 1 + p 2 ) = 0, dvs den totala rörelsemängden bevaras vid stötar (eller explosioner). Stötar sker under kort tid och normalkrafterna blir mycket större än tyngdkrafter och annat. Bara normalkrafternas impulser (integraler) blir viktiga då. Exempel: En projektil med massan 75 gram har hastigheten 600 m/s när den träffar och fastnar i ett 50- kilos block. Blocket befinner sig i vila före träffen. Beräkna förlusten av rörelseenergi på grund av träffen. Lösning: På grund av att kraftpåverkan mellan projektil och block är ömsesidig ändras inte totala rörelsemängden. före: efter: mv = mv + Mv, dvs sluthastigheten blir m v = m + M v. 0 Om vi jämför kinetiska energier före och efter som en kvot, erhålls T e T f = 1 ( 2 m + M )v mv 2 0 = m m + M =0.015.