Problemtentamen. = (3,4,5)P, r 1. = (0,2,1)a F 2. = (0,0,0)a F 3. = (2,"3,4)P, r 2

Transkript

1 2015-MM-DD Övningstentamen i Mekanik SG1130, grundkurs B1. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen Ett kraftsystem består av tre krafter som angriper i olika punkter enligt tabellen: F 1 = (3,4,5)P, r 1 = (0,2,1)a F 2 = (2,"3,4)P, r 2 = (0,0,0)a F 3 = (1,1,1)P, r 3 = ("1,"1,"1)a. Bestäm resultanten i origo och avgör om kraftsystemet har en enkraftsresultant. (3p) 2. En projektil med massan m har en obekant fart v 0 i en rak, horisontell bana när den träffar och fastnar i en partikelpendel med pendellängden L och massan M. Pendeln hänger i vila före träffen och den maximala utslagsvinkel " läses av efter träffen. Bestäm härur projektilens fart. (3p) 3. En satellit med massan m rör sig först i en cirkelbana runt jorden. Radien i banan är a. a) Beräkna satellitens fart i den cirkulära banan uttryckt i tyngdaccelerationen g och jordradien R. b) Satelliten förs ner till jordytan via en elliptisk bana som påbörjas genom en momentan minskning av farten (men med bibehållen riktning). Bestäm den totala mekaniska energin i denna ellipsbana som tangerar jorden. 4. En vagn med massa M befinner sig inklämd i jämviktsläget mellan två fjädrar. Plötsligt ges vagnen farten v 0 åt höger så att den påbörjar en svängningsrörelse. Bestäm svängningens amplitud och period. Fjädrarna har kända fjäderkonstanter k respektive 2k enligt figuren. (3p)

2 Teoritentamen 5. a) Vilka är mekanikens tre grundstorheter? b) Betrakta en kraft som angriper i punkten r A. Bevisa att kraftmomentet av kraften med avseende på en punkt r P inte ändras, om kraften förflyttas från r A längs sin verkningslinje till den nya angreppspunkten r B. 6. a) Om en kraftsumma F och en momentsumma M O för ett givet kraftsystem är vinkelräta med origo som reduktionspunkt, är de då vinkelräta i någon annan reduktionspunkt? Ja eller nej! b) Definiera masscentrum för ett partikelsystem. c) Ange uttrycken för en partikels hastighet och acceleration i ett cylindriskt system av koordinater och motsvarande riktningar. 7. a) En partikel med massa m, läge r och hastighet v påverkas av kraften F. Formulera för denna partikel lagen om arbete och kinetisk energi. Definiera de storheter som ingår i lagen. För vilka krafter gäller lagen. b) Härled uttrycket för potentiella energin till fjäderkraften F = "kxe x, där k är en konstant och x är en koordinat. 8. a) Antag att en civilingenjör träffar på följande ekvation: x + " 2 n x = bsin"t, där" 2 n, b, m och " är konstanter och t anger tiden. Ange den allmänna lösningen för x(t). b) Nämn två saker som kännetecknar en resonans? /KET

3 1. Problemlösningar Ett kraftsystem består av tre krafter som angriper i olika punkter enligt tabellen: F 1 = (3,4,5)P, r 1 = (0,2,1)a F 2 = (2,"3,4)P, r 2 = (0,0,0)a F 3 = (1,1,1)P, r 3 = ("1,"1,"1)a. Bestäm resultanten (reduktionsresultatet) i origo och avgör om kraftsystemet har en enkraftsresultant. Lösning: Resultanten i origo består av Kraftsumman: F = (6,2,10)P, och totala momentet uträknat i origo. e x e y e z M 1O = ap = (6,3,"6)aP, e x e y e z M 2O = 0, M 3O = "1 "1 "1aP = (0,0,0)aP Totalt: M O = (6,3,"6)aP. Eftersom M O F = ( " 60)aP # 0 finns ingen möjlighet att hitta en enkraftsresultant.

4 2. En projektil med massan m har en obekant fart v 0 i en rak, horisontell bana när den träffar och fastnar i en partikelpendel med pendellängden L och massan M. Pendeln hänger i vila före träffen och den maximala utslagsvinkel " läses av efter träffen. Bestäm härur projektilens fart. Lösning: På grund av att kraftpåverkan mellan projektil och block lyder Newtons 3:e lag ändras inte totala rörelsemängden (stötlag). före: efter: mv = mv + Mv, dvs sluthastigheten blir v = m m + M v 0, där vi fortfarande inte vet v 0. Den kinetiska energin kan bestämmas omedelbart efter stöten: T = 1 2 ( m + M)v 2 = 1 2 Pendelns maximala utslag följer ur energiprincipen: 1 m 2 2 m + M v 2 0 = (m + M)gL(1" cos#), dvs " v 0 = m + M % $ ' 2gL(1( cos)). # m & m 2 m + M v 2 0.

5 3. En satellit med massan m rör sig först i en cirkelbana runt jorden. Radien i banan är a. a) Beräkna satellitens fart i den cirkulära banan uttryckt i tyngdaccelerationen g och jordradien R. b) Satelliten förs ner till jordytan vie en elliptisk bana som påbörjas genom en momentan minskning av farten (men med bibehållen riktning). Bestäm den totala mekaniska energin i denna ellipsbana som tangerar jorden. Lösning: a) Farten i cirkelbanan följer ur Newtons 2:a lag: I (huvud-)normalriktningen till cirkelbanan gäller: mv 2 a = m GM a, 2 dvs v = GM GM. Använd " mg = m a R så att GM = 2 gr2. Då får vi svaret: v = R g a. b) I den elliptiska banan som används till landningen kan vi direkt konstatera att storaxeln är a+r. Känd storaxel innebär att totala energin också är känd: E = " mgr2. Detta är svaret. a + R

6 4. En vagn med massa M befinner sig inklämd i jämviktsläget mellan två fjädrar med olika styvhet. Plötsligt ges vagnen farten v 0 åt höger så att den påbörjar en svängningsrörelse. Bestäm svängningens amplitud och period. Fjädrarna har kända fjäderkonstanter k respektive 2k enligt figuren. Lösning: Bara fjäderkrafterna F = "kx " 2kx i rörelseriktningen. Konservativ kraft. Newtons 2:a lag: M x = "3kx Svängningsekvationen: x + 3k M x = 0 Naturliga vinkelfrekvensen för svängningen: " n = 3k M. Perioden " n = 2# M 3k. För att bestämma amplituden kan man använda att mekaniska energin bevaras. Jämför energier i jämviktsläget och vid maxutslaget. 1 2 Mv 2 0 = 1 2 3kx 2 max M dvs maxutslaget blir x max = v 0. Detta är amplituden. 3k

7 Teoridelen 5. a) Längd (läge), massa, tid. ( ) # F respektive ( ) # F. Om r A och r B ligger på b) Definitionen av kraftmoment ger M P = r A " r P M' P = ( r B " r P ) # F. Skillnaden blir M P " M' P = r A " r B samma verkningslinje som kraften så är vektorn r A " r B parallell med kraften F. Kryssprodukten för två parallella vektorer blir nollvektorn. Alltså M P = M' P. 6. a) Ja! b) r G = N! m i r i i=1 N! m i i=1, där m i är massan för partikeln som befinner sig i r i. c) v = r e r + r " e " + ze z (hastighet) a = ( r! r " 2 )e r + ( r " + 2 r " )e " + z e z (acceleration). t 1 # 7. a) Kraftens arbete: U 0"1 = Pdt, där P = F v. Kinetisk energi: T = 1 2 m v 2. Lagen: t 0 U 0"1 = T 1 # T 0, där T 1 är värdet på kinetiska energin vid tiden t 1, osv. Lagen gäller för alla fysikaliska krafter: b) Enligt definitionen av potentiell energi: ( ) = " ("kxe x ) dr V r r # =...= k 2 x 2 + konst fix 8. a) Allmän lösning: x(t) = Bcos" n t + Csin" n t + b " 2 n #" sin"t, där där" 2 2 n, b, m och " är konstanter och t anger tiden. b) Responsamplituden kan bli mycket stor (vid liten dämpning), samt responsen kan byta svängningsfas (gräns mellan med-fas och mot-fas).