Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen

Transkript

1 Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen En homogen stång med massan m är fäst i ena änden i en fritt vridbar led. Den andra änden hålls uppe av en tråd med längden c som i sin tur är fäst på höjden h rakt ovanför den fritt vridbara leden. Bestäm reaktionskraften från leden som verkar på stången, om tråden bildar vinkeln! mot vertikalen. (3p). En låda belastas med tre yttre krafter enligt figuren med verkningslinjer längs tre av lådans kanter. Lådan har formen av ett rätvinkligt block med kantlängderna a, b, och c. 3. v0 R a) Bestäm kraftsystemets resultant (reduktionsresultat) i punkten A. (p) b) Bestäm sambandet mellan kantlängderna för att det skall kunna finnas en enkraftsresultant. (1p) En partikel med massan m glider friktionsfritt på banan i figuren som består av en rak horisontell del och en halvcirkelformad del med radie R. Den krökta delen löper uppåt i ett vertikalplan. Bestäm den fart v 0 som partikeln behöver i nedre delen av banan för att nå den punkt i banan som ligger 3R / högre upp. 4. En vagn med massa M som befinner sig (3p) i jämviktsläget enligt figuren ges plötsligt farten v 0 så att den påbörjar en svängningsrörelse. Fjädern som är fäst i vagnen har en känd fjäderkonstant k. Bestäm den tid det tar för vagnen att återkomma till jämviktsläget. (3p)

2 5C1107 Mekanik, baskurs S Teoritentamen 5 a) Figuren visar en trådrulle som står still på ett strävt lutande plan med hjälp av en fastspänd tråd. Tråden löper ut horisontellt från cylindern med radie r. Identifiera och rita ut de krafter som verkar på trådrullen. Ange varje krafts riktning och angreppspunkt så realistiskt som möjligt. (1p) b) Betrakta ett system av ändligt många krafter F i som verkar i respektive angreppspunkter r i. Definiera kraftsystemets totala kraftmoment med avseende på en godtycklig punkt och visa att för två godtyckliga momentpunkter A och B gäller den så kallade "sambandsformeln för kraftmoment". (p) 6 a) Vad menas med begreppet "ekvimomenta kraftsystem"? (1p) b) Formulera lagen om kraftens impuls. Definiera ingående storheter. (1p) c) Vilken information erhålls av ett känt stöttal (studstal) vid rak, central stöt? (1p) 7. a) Formulera ewtons 3 lagar. ämn något viktigt villkor för tillämpningen av dessa lagar. b) Ange uttrycket för potentiella energin till fjäderkraften F =!k ( x! l)e x, där k och l är konstanter och x är en koordinat. (p) (1p) 8. a) Ett enkelt (linjärt i utslaget x ) svängande system beskrivs av ekvationen x +!" n x + " nx = a, För vilka värden på parametern! betecknas systemet som starkt, kritiskt, respektive svagt dämpat? Svängningens jämviktsläge beror ej av värdet på!, ange detta jämviktsläge. (p) b) Vilka är de tre grundstorheterna i mekaniken? (1p) /KET

3 5C1107 Mekanik, baskurs S ) Problemlösningar Reaktionskraften delas upp i två komponenter R x och R y. Krafter och moment i jämvikt:! "T sin # + R x = 0 (1)! T cos" + R y # mg = 0 (). eller: (3) Första och sista ekvationen ger, efter eliminering av R x och förkortning av sin!, sambandet: T = mg c, som insätts i (1) och (): h Vi får: R x = mg csin! # och R y = mg 1! c cos" & % (.. h $ h '

4 5C1107 Mekanik, baskurs S a) Bestäm kraftsystemets resultant i punkten A. b) Bestäm sambandet mellan kantlängderna för att det skall kunna finnas en enkraftsresultant. Lösning: Kraftsumman blir F = ( 3P, P, P) Momentvektorn blir M A = (!Pc,!Pa, 3Pb) Dessa är resultanten i A. För att det ska kunna finnas en enkraftsresultant får inte M A ha någon komponent i F - riktningen, dvs F M A = 0, dvs!3c! a + 6b =

5 3 5C1107 Mekanik, baskurs S Lösning: Kraftanalys i figuren: Gränsfall = 0 i på höjden 3R / i banan. ewton : aturliga komponenter m v = + mg cos! R! Gränsfall m v 1 R = 1 mg (1). Energiprincipen: (1) och () ger! m v 0 = m v mgr () m v 0 = 1 4 mgr + 3 mgr = 7 4 mgr. v 0 = 7 gr. (svar)

6 4 5C1107 Mekanik, baskurs S Bara fjäderkraften F =!kx i rörelseriktningen. ewtons :a lag: M x = "kx Svängningsekvationen: x + k M x = 0 aturliga vinkelfrekvensen för svängningen: k! n = M. Svängningsperioden:.! n = " M k. Vagnen återkommer efter en halv period : Svar: t = 1! n = " M k.

7 Teoridelen 5C1107 Mekanik, baskurs S a) T=trådkraft, =normalkraft, mg=tyngdkraft, och f =friktionskraft.. ( ) b) Definitionen M A = # [r j! r A ] " F j. M B = # [ r j! r B ] " F j Skillnaden blir i detta fall: M B! M A = #[ r j! r B! (r j! r A )]" F j = # r A! r B # = [ r A! r B ]" F j [ ] " F j Detta uttryck kan lätt förenklas om vi inför totala kraften F =! F j. Vi får sambandet: M B = M A + [ r A! r B ] " F, 6a) Kraftsystemen ger samma totala moment med avseende på alla momentpunkter. Kraftsystemen ger samma kraftsumma. t 1 b) Definitioner: p = mv, I =! Fdt. Impulslagen!p = I med!p = p t t 0 ( ) " p( t 1 ). c) Stöttalet ger information om kvoten mellan relativa separationsfarten och relativa kollisionsfarten. Värdet ligger mellan 0 (fullst. oelastiskt) och 1 (fullst. elastiskt).

8 5C1107 Mekanik, baskurs S a) 1: En fri partikel befinner sig i vila eller rätlinjig rörelse med konstant hastighet. : ma = F, där F är totala kraften som verkar och a är partikelns acceleration. 3: Alla krafter skapas i motriktade par så att kraftsumman för dessa är 0. Dessa lagar måste tillämpas i inertialsystem. b) Enligt definitionen av potentiell energi: r V ( r) =! " (!k ( x! l)e x ) dr = k ( x! l) + konst. fix 8a) Svängningsekvationen för dämpad svängning: x +!" n x +" n x = 0. Stark dämpning,! >1 Kritisk dämpning,! = 1 Svag dämpning, 0<! <1 I jämviktsläget kan massan ligga still, med hastighet och acceleration lika med 0. Insättning av denna information i svaängningsekvationen ger:! n x jämv = a, dvs x jämv = a /! n. 8b) Läge, massa och tid.

9 5C1107 Mekanik, baskurs S C1107 Mekanik Bedömningar OBS: Alla ekvationer skall motiveras!! Följande brister i redovisning av uppgifter 1-8 ligger till grund för poängavdrag. En viss tolerans gällande bedömningar M, B och S finns. Helhetsbedömningen av skrivningen kan innebära att ett poängavdrag (gällande M, B och S) drabbar bara ett av flera bristfälliga svarsredovisningar. M : Otydliga motiveringar, motsägelsefulla ekvationer, odefinierade symboler, felaktiga definitioner, missuppfattning. -1p B : Vilseledande, ologiska beteckningar. Komposanter i stället för komponenter etc. -1p S : Ofullständigt svar, ''införda beteckningar'' kvar i svaret, svar innehåller obestämda storheter etc. -1p L : Ologiska matematiska operationer. -1p K : Bristfällig kraftanalys eller kinematisk analys. -1p

10 5C1107 Mekanik, baskurs S D : Dimensionsfel i svar eller viktiga ekvationer. -1p