Tentamen i SG1140 Mekanik II. Problemtentamen

Transkript

1 Tentamen i SG1140 Mekanik II KTH Mekanik 1. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! Problemtentamen Triangelskivan i den plana mekanismen i figuren har en vinkelhastighet med storleken " när lederna O, A och C ligger på en linje. Bestäm hur stor vinkelhastigheten för länkarmen OA är! (3p). 3. är stången AB i figuren är horisontell har den då horisontella, lätta fjädern sin naturliga längd b. Bestäm fjäderkonstanten k så att stången AB vänder när den har en lutning neråt med 60 om den släpps från vila i det horisontella läget. (3p) Tre partiklar, vardera med massan m, sitter fast i en lätt, symmetrisk hållare enligt figuren. Anordningen vilar på ett glatt horisontellt bord när kulan A angrips av en kraft P parallell med x-axeln. Bestäm den resulterande accelerationen för kulan A i det första ögonblicket kraften verkar. (3p) 4. En kuggväxel består av två kugghjul på var sin axel. Det mindre kugghjulet har massan 4m och radien r, och det större har massan 9m och radien 3r. Båda kugghjulen har tröghetsmoment som homogena cylindrar med samma radier. Bestäm storleken av den tangentiella kontaktkraften mellan hjulen om det större hjulet påverkas av ett yttre kraftparsmoment M. (3p)

2 SG1140 Mekanik II Teoritentamen 5. a) Betrakta ett partikelsystem. Definiera för en godtyckligt rörlig punkt A partikelsystemets rörelsemängdsmoment H A. b) Bevisa den så kallade sambandsformeln för ett partikelsystems rörelsemängdsmoment. Beteckna momentpunkterna med A och B, samt definiera de storheter som ingår i sambandsformeln. (p) 6. a) Effekten verkande på en stel kropps plana rörelse kan skrivas P = M C ", där P är effekten, " är vinkelhastigheten, och M C de yttre krafternas moment m a p C som är kroppens momentancentrum. Hur ser uttrycket för effekten ut om masscentrum G används som momentpunkt för de yttre krafterna? Definiera införda storheter! b) Visa att två materiella punkter i en stel kropp som beskriver plan rörelse alltid har lika hastighetskomponenter med avseende på punkternas sammanbindningslinje. Ledning: hastighetssambandet mellan olika punkter i en stel kropp får användas. (p) 7. a) Härled sambandet mellan tröghetsmomenten I x, I y och I z för tunna stela kroppar som ligger i planet x = 0 i ett givet koordinatsystem. (p) b) Formulera och bevisa Steiners sats för tröghetsmoment genom att utgå från definitionen av tröghetsmoment. 8. a) Formulera den så kallade raketekvationen och definiera de ingående termerna i denna. b) Definiera momentancentrum för en stel kropp. c) Formulera accelerationssambandet mellan två kroppsfixa punkter i en stel kropp.

3 SG1140 Mekanik II Problemlösningar Som ändpunkter i två länkarmar rör sig A och B i cirkelbanor kring O respektive C. Enligt figuren får triangeln ABD ett momentancentrum i C (samma som för länkarmen CB). Betrakta punkten A dels som ändpunkt i länkarmen OA, dels som hörnpunkt i triangeln ABD med momentancentrum i C: v A = 3b" AO, respektive v A = 4b". Entydighet av denna hastighet kräver " AO = 4" 3, som är svaret.

4 SG1140 Mekanik II Lösning: Ingen glidfriktion i rörelsen. Den mekaniska energin bevaras. Energiprincipen ger för de två vändlägena: 0 = 1 k ("l) # 3 mgb (1), 4 där fjäderförlängningen är "l = ( 3 #1)b enligt figuren och tyngdkraftens potentiella energi definieras som noll i ursprungsläget. Fjäderkonstanten bestäms nu av energiprincipen (1): 3mg k = b 3 "1, eller k = 3mg 4b( " 3), eller k = 3mg b

5 SG1140 Mekanik II Vi tillämpar Eulers lagar samt använder accelerationssamband i en stel kropp. Euler I ": 3m x G = "P " x G = " P 3m och ": y G = 0 Euler II: 3mr " = Pr " " = Pr 3mr. Accelerationssambandet a A = a G + " e z # r GA som gäller i första ögonblicket ger bara bidrag i x- riktningen: x A = " P 3m " r P ( 3mr). dvs x A = " P 3m och y A = 0. (svaret)

6 SG1140 Mekanik II Vi tillämpar Eulers lag II för vardera kugghjul. Eulers lag II medurs vänster hjul: 1 9m 3r " 1 = M # 3rF (1) Eulers lag II moturs höger hjul: 1 4m r " = rf () Kinematiskt villkor (gemensam tengentacc): 3r" 1 = r" (3) () ger " = F 4mr, som enligt (3) ger " = F 1. Insatt i (1) erhålls en ekvation med F som enda 6mr obekant: 81 ( F mr 6mr) = M " 3rF " 7 ( ) Fr = M " F = 4M 39r.

7 SG1140 Mekanik II Teoridelen 5. a) Definition H A = $ r j " r A. Här är v j (absolut) hastighet för partikel med massa m j. j # m j v j b) Definition H A = $ ( r i " r A ) # m i v i, där r i är position av massa m i som har hastighet v i, i=1 och r A är momentpunkt. På samma sätt har vi för en annan momentpunkt B definitionen H B = $ ( r i " r B ) # m i v i. Skillnaden blir i=1 H A " H B = $ ( r i " r A " r i + r B ) # m iv i = r AB # $ m i v i, där vi i sista ledet använt definition av i=1 1 i=1 3 r AB masscentrums hastighet. Således: H A = H B + r AB " mv G som kallas sambandsformeln för rörelsemängdsmoment. mv G 6. a) P = F v G + M G ", där F är kraftsumman och v G är masscentrums hastighet. b) Hastighetssamband mellan två kroppsfixa punkter A och B: v A = v B + " # r BA (1). En sammanbindningslinje har riktningen e BA. Skalärmultiplikation av denna enhetsvektor på båda sidor i hastighetssambandet (1) ger e BA v A = e BA v B + e BA (" # r BA ). Således har de =0,ty r BA // e BA båda hastigheterna lika komponenter i riktningen e BA, dvs e BA v A = e BA v B. 7. a) Låt den tunna stela kroppen ligga i planet definierat av x = 0, Vi har enligt definitionerna av tröghetsmomenten: I y = " m j 0 + z j, I x = m j y " j + z j, I z = " m j 0 + y j, så att I x = I y + I z. b) Inför en z-axel som beskriver rotationsaxeln. Låt kroppens masscentrum ha koordinaterna x G y G ( z G ) där z-koordinaten inte spelar någon roll för tröghetsmomenten I z och I G z. G Definitioner: I # z = m j %[ x j " x G ] + [ y j " y G ] & ) ( och I $ ' z = m j x j + y " ( j ). u gäller I z = m j x j + y " ( j ) = ) m # j % x j " x G + x $ G = m # j [ x j " x G ] + [ y j " y G ] & ) % ( + m x $ ' G + yg [ ] + [ y j " y G + y G ] +0, & ( '

8 SG1140 Mekanik II ty # m j x j " x G = # m j y j " y G = 0. Vi tolkar detta som en uppdelning av tröghetsmomentet map kroppens G: I z = I G z + mr "G (Steiners sats). OBS: I G z avser en z-axel genom masscentrum och r "G är kvadraten av avståndet mellan två parallella z-axlar, varav en genom G. 8 a) Raketekvationen: p = F + q in v in "q ut v ut, där m = q in " q ut och q anger massflöden. Man antar att all inströmmande massa har hastigheten v in och all utströmmande massa har hastigheten v ut. p är systemets rörelsemängd och F är den yttre kraften. b) Momentancentrum för en stel kropp är en punkt i kroppen eller i dess kroppsfixa referenssystem med absoluta hastigheten noll. c) Låt A vara en godtycklig referenspunkt i kroppen och P en annan godtycklig punkt i kroppen. Då gäller sambandet: a P = a A + " # r AP + " #(" # r AP ), där " är kroppens vinkelhastighetsvektor.