Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen

Transkript

1 Tentamen i Mekanik SG110, m. k OPEN. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen En boll skjuts ut genom ett hål med en hastighet v så att den precis flyger in i nästa hål, med α och l givna enligt figuren. Betäm utgångsfarten v och maxhöjden i banan, samt banans krökningsradie vid hålen. Försumma luftmotståndet. Tyngdaccelerationen g är känd. (3p). En hylsa med massan m glider på en glatt ledstång som är halvcirkelformad i ena änden. Ledstången ligger i ett vertikalplan och har radien R i den krökta delen. Bestäm normalkraften på hylsan i läget A. Bestäm också normalkraften på hylsan i läget B alldeles innan hylsan lämnar ledstången. Tyngdaccelerationen g är känd. (3p) 3. En rymdfärja med massan m startar på jordytan med en tillräckligt stark raketmotor så att vid take off färjan kan följa ellipsbanan i figuren med avstängd raketmotor. Maxhöjden ovanför jordytan i banan är R. Bestäm den fart på jordytan som krävs för att påbörja denna färd. Ledningar: Bortse från jordens rotation kring sin axel. Tyngdaccelerationen g är känd. (3p) 4. En vagn har farten v 0 då den passerar sitt jämviktsläge i origo på x-axeln. Vagnen är fäst i en fjäder och en viskös dämpare enligt figuren. a) Bestäm vagnens massa m uttryckt i fjäderns och dämparens kraftkonstanter k och c så att rörelsen blir kritiskt dämpad. b) Bestäm för denna massa det första vändläget i den fortsatta rörelsen. (p)

2 Open-SG110 Mekanik Teoritentamen 5. a) En liten tärning kan glida från översta punkten A på en glatt sfärisk yta tills dess den tappar kontakten med underlaget i B. Rita i en figur tärningens acceleration i A innan tärningen fått upp farten, samt den i B. b) Figuren visar en partikel med massan m och dess plana bana i sin rörelse åt vänster i figuren. Planet beskrivs av figurens x,y-axlar. Rita ut riktningsvektorer för partikeln: för radiell och transversell riktning, samt för tangentiell och normalriktning. c) Skriv Newtons :a lag för en partikel med användning av cylinderkomponenter. Förklara införda symboler. 6. a) I en stöt mellan två partiklar registreras de hastigheter som visas i figuren. Ange värdet på stöttalet. b) Härled lagen om kraftens arbete (och kinetisk energi). Definiera ingående storheter. (p) 7. a) Härled potentiella energin för gravitationskraften F = " mgm e r på en planet, där r är avståndet till origo (solen). (p) b) Bevisa att planetbanan i föregående uppgift ligger i ett plan. r 8. a) Bestäm konstanten A så att svängningsrörelsen x(t) = Asin"t satisfierar svängningsekvationen x + " n x = bsin"t. t är den variabla tiden och ", " n samt b är konstanter. b) Beskriv grafiskt typiska tidsfunktioner (partikelrörelser) x(t) för rak kritiskt dämpad svängning, samt för svagt dämpad svängning. c) Villken/villka av ekvationerna i)...iii) är svängningsekvationer? Ange i så fall vilken/villka svängningstyper som avses. i) x "# n x +# n x = 0, ii) x + " n x +" n x = g, iii) x " # n x +# n x = 0. /Thylwe

3 Problemlösningar Open-SG110 Mekanik Lösning: Inför horisontell x-axel och vertikal y-axel med origo i vänster hål (se fig). I banan verkar bara tyngdkraften. N med begynnelsevillkor ger: " m x = 0 => x(t) = vt cos". (1) " m y = #mg => y(t) = "g t + vt sin#. () Bestämning av utgångsfarten v. För att bollen senare ska hamna i andra hålet krävs: $ y(t 1 ) = 0=> v sin" # g t 1' & ) t % ( 1 = 0 => t 1 = v sin". Samtidigt måste gälla att x=l, dvs från (1): g l = vt 1 cos" eller l = v sin" cos". g lg Ur sista ekvationen kan v bestämmas: v = sin" cos". (3) Krökningsradien " kan bestämmas ur bollens acceleration i normalriktningen vid något av hålen: Definition a n = v (4). Hela accelerationen g är riktad neråt. Projektion på " normalriktningen ger a n = gcos", som insatt i (4) med v given i (3) ger krökningsradien: " = v gcos#. Maxhöjden inträffar då t = t 1 / pga symmatrin. Ekvation () med v given i (3) ger höjden y max = ( v sin" ) g # ( v sin" ) g ( ), dvs y max = v sin" g.

4 Open-SG110 Mekanik Lösning: Kraftanalys i figuren, bara tyngdkraft och normalkraft på hylsan. För glatt ledstång gäller energiprincipen och med lägesenergins nollnivå vid B fås: I A: mv A + mgr = mv + mgr, och i B: mv B = mv + mgr. Dessa ekvationer ger farterna: v A = v + gr respektive v B = v + 4gR. Newtons :a lag i normalriktningarna ger sedan: mv A R = N A respektive mv B R = N B " mg. Om vi löser ut normalkrafterna med insatta uttryck för farterna fås: N A = mg + mv R respektive N B = 5mg + mv R Lösning: För rörelsen i figurens ellipsbana krävs enligt banenergiformeln den totala energin E = " mgr 4R = " mgr (1), där storaxelns längd är 4R. Vid start på jordytan krävs 4 rörelseenergin mv mgr = E "V, där v är rymdfärjans fart och V = " = "mgr är potentiella R energin där. Uträkningar av farten ger efter förenklingar v = # " gr & % ( " ("gr)=> v = 3gR $ 4 '. 4. Bestäm m så att dämpningsförhållandet blir " =1. Bestäm även första vändläget i vagnens fortsatta rörelse. Lösning: Fjädern är ospänd i origo, jämviktsläget.

5 Vi har bara två krafter längs x-axeln: F x = "kx "c x. Newtons :a lag: m x = "kx "c x Svängningsekvationen: x + c x m + k m x = 0 Open-SG110 Mekanik Naturliga vinkelfrekvensen för svängningen läses av (enligt svängningsteorin): " n = k m. (*) Dämpningsförhållandet skall uppfylla " =1, där enligt teorin: "# n = c m. (**) ( ). Om ekvationerna (*) och (**) kombineras med " =1 fås för m: m = 1 c k För denna massa är rörelsen kritiskt dämpad. Den allmänna rörelsen för kritiskt dämpad svängning kring origo är: x( t) = exp(-" n t) [ B +Ct]. Begynnelsevillkoret att rörelsen börjar i origo medför att vi måste ha B = 0. Dvs rörelsen beskrivs av x( t) = exp(-" n t) Ct. Begynnelsevillkoret att hastigheten är v 0 (åt höger) kräver att C har ett speciellt värde! Derivering av x( t) ger hastigheten x ( 0) = C. Dvs C = v 0. ( ) = exp(-" n t v ) ( v 0 #v 0 " n t v ) = 0 vid tiden t v då Vid första vändläget är hastigheten 0. Dvs x t v detta inträffar. Alltså måste (för ändlig tid) t v =" #1 n. Insättning av tiden ger läget v x v = e "1 0 $ = e "1 v m # 0 n k = e"1 v c ' & % 0 ). k (

6 Teoridelen Open-SG110 Mekanik a) b) Där riktningsvektorer skall namnges. c) N: ma = F, där a är partikelns acceleration, m är partikelns massa och F är kraften som påverkar partikeln. Med cylinderkomponenter blir det de tre ekvationerna: m r " r# " + r " z = F z (axiellt). ( ) = F r (radiellt), m r ( ) = F " (transversellt), samt m Kraftens komponenter erhålls geometriskt eller m h a projektioner, t ex F " = F e " (transversellt). 6a) 0. (svar) b) Härledning av arbetslagen: Newton : m v = F. Båda leden multipliceras skalärt med hastigheten v. Man får då: m v v = F v (1). def } mv Enligt definition är VL tidsderivatan av kinetiska energin T =, ty d mv def regel regel " % } d " mv v % } m $ ' = $ ' = v dt # & dt # & } ( v + v v m ) = ( v v )= m v v. Tidsintegrering av (1) ger mv (t 1 ) " mv (t 0 ) t 1 # = F v dt, som med v dt = dr och byte av variabel kan skrivas enkelt som mv 1 " mv 0 = # F dr. HL definieras som kraftens uträttade arbete U 0"1. Ännu enklare: T 1 " T 0 = U 0#1, där T är symbolen för kinetiska energin (rörelseenergin). t 0 r 1 r 0 7 a) Enligt definitionen av potentiell energi: r # V ( r ) = " " mgm & r ) % e $ r ( dr = mgm ) dr + konst ' 1 = " mgm + konst r. Man fix r fix r väljer alltid den senare konstanten så att den är noll då avståndet r = +". Potentiella energin beror endast på avståndet r. b) Gravitationskraften F = " mgm e r är radiellt riktad och ger inget kraftmoment r med avseende på solens centrum (origo), så att momentlagen blir H O = 0. Dvs rörelsemängdsmomentet H O = { r " mv = konst. Med cylinderkomponenter r = re r def och v = r e r + r" e " så definierar dessa vektorer alltid ett rörelseplan där z=0 i ett visst ögonblick. Rörelsemängdsmomentet som är konstant får uttrycket H O = mr " e z.

7 Open-SG110 Mekanik Vektorriktningen e z är konstant och är då alltid ortogonal mot rörelsevektorerna r och v så att rörelsen blir plan. 8. a) Rörelsen x(t) = Asin"t ska satisfiera svängningsekvationen x + " n x = bsin"t. Tidsderivering av rörelsen ger x (t) = "# Asin#t. Insättning av detta i svängningsekvationen ger (" n #" )Asin"t = bsin"t. Om detta alltid ska gälla måste A vara A = b " n #". b) Exempel: c) ii) är en kritiskt dämpad svängning. Övriga alternativ är inga svängningsekvationer.