Härled utgående från hastighetssambandet för en stel kropp, d.v.s. v B = v A + ω AB

Transkript

1 . Härled utgående från hastighetssambandet för en stel kropp, d.v.s. v B v A + ω AB motsvarande samband för accelerationer: a B a A + ω ω AB + a AB. Tolka termerna i uttrycket för specialfallet plan rörelse där punkten A fix är i såväl kropp som rum. v B v A + ω AB v B v A + ω AB v A a A, v B a B a B a A + ω AB + ω AB AB fix i kroppen AB ω AB, ω α a B a A + ω ω AB + α AB. VSV. Om plan rörelse kring punkt A som är fix i kropp och rum A är fix axel. a B a A + ω ω AB + α AB A är fix axel a A 0. a B ω ω AB + α AB Jämför med: a B a B,n + a B,t Där a B,n är riktad in mot A och a B,t AB. a n : Karusellekvationerna a B,n a B,n ω ω AB a b a b sin θ ω ω AB sin θ ω ω AB sin θ sin θ θ och θ 90 ty ω AB och ω ω AB ω ω AB ω L a n a B,n ω L a t : OBS: v B ωl, vilket medför följande: a n ω L v B ω a B,t a B,t α AB a b a b sin θ α AB sin θ θ 90 ty α AB α AB αl a t a B,t αl

2 I mekaniken förekommer moment i tre betydelser som inte är ekvivalenta: i. Kraftmoment M M A r F. ii. Kraftparsmoment C C har endast en vridande verkan (ingen translaterande verkan). Dess verkan kan ersättas av två lika stora och motriktade krafter, därav namnet kraftparsmoment (par av krafter som ger upphov till moment). iii. Momentsumma (d.v.s. vänsterledet i Eulers II:a: M) M A r F + C 3. Låt s vara en vektor som utgår från en stel kropps masscentrum. Visa att då gäller G:s läge ges av r dm r G. dm Med r r G + s s dm 0 Fås r G r G + s dm dm r G dm r G + s dm r G dm r G dm + s dm s dm 0. VSV.

3 4. Den allmänna definitionen av en kropps rörelsemängd är G v detta, att det för en stel kropp gäller att G mv G. dm. Visa utgående från G v dm v v G + ω s G v G + ω s dm G v G dm + ω s dm v G och ω varierar ej över kroppen (så de kan betraktas som konstanta) G v G dm + ω s dm s dm 0 från definitionen av masscentrum, samt dm m G mv G. VSV. 5. Enligt den allmänna definitionen kan rörelsemängdsmomentet med avseende på masscentrum för en kropp skrivas: H G s v dm. Visa utgående från detta, att det för en stel kropp gäller att H G s ω s dm där ω är kroppens vinkelhastighet. H G s v dm v v G + ω s,ty stel kropp H G s v G + ω s dm H G s dm v G + s ω s dm s dm 0 från definitionen av masscentrum s dm v G 0 H G s ω s dm. VSV.

4 Visa att H G s ω s dm kan skrivas på formen H G I G ω vid plan rörelse hos en plan kropp och identifiera det erhållna uttrycket för I G. 6. H G s ω s dm s xi + yj + zk, ω ωk H G xi + yj + zk ωk xi + yj + zk dm H G xi + yj + zk ωyi + ωxj dm H G ω xzi yzj + x + y k konstant densitet ρ samt plan kropp symmetrisk kring z 0 dm ty t.ex. xz xz dm yz dm xz ρdxdydz x ρdxdy dm 0, a a z dz x ρdxdy 0 0 H G ω x + y k dm H G ωk x + y dm I G x + y dm, kroppens masströghetsmoment m. a. p.g kring z axeln H G I G ω. VSV. Rörelsemängdsmomentet m.a.p. en godtycklig punkt definieras som bekant H A r v dm. Låt O vara en punkt som är fix i såväl kropp som rum. Visa, utgående från definitionen, att det för en plan stel kropp i plan rörelse gäller att H O I O ω, där I O är kroppens masströghetsmoment m.a.p. O och ω är vinkelhastighetsvektorn. 7. H A r v dm A är en godtycklig punkt, kan ersättas av O H O r v dm v v O + ω r,ty stel kropp. v O 0,ty O är kroppsfast H O r ω r dm a b c b a c c a b H O ω r r r r ω dm r ω 0 ty plan rörelse r i planet och r ω H O ωr dm H O ω r dm r dm r dm I o H O I o ω. VSV.

5 8. Visa att rörelsemängdsmomentet kan tecknas H O I O ω om O är en kroppsfast punkt som är fix i rummet. Utgå från förflyttningssatsen för rörelsemängdsmoment i det plana fallet: H A I G ω ± mv G d. Eftersom A är en godtycklig punkt: H O I G ω + mv G d. Plan kropp och O kroppsfast samt fix i rummet fixaxelrotation v G ωd H O I G ω + mωdd H O I G + md ω Steiners sats: I O I G + md H O I O ω. VSV. Utgå från definitionen av masströghetsmoment och bevisa förflyttningssatsen för masströghetsmoment (Steiners sats) för en plan kropp, d.v.s. I A I G + m AG, där I betecknar masströghetsmoment kring axlar som är vinkelräta mot kroppen, AG betecknar avståndet mellan en godtycklig punkt A och masscentrum G och m är kroppens massa. 9. I A r dm r r r AG + s AG + s AG + s dm dm AG + AG s + s dm AG dm + AG s dm + s dm dm m, s dm 0, s dm m AG + I G I G + m AG. VSV. I G

6 0. Visa förflyttningssatsen för momentsumma, godtyckliga punkter. M B M A + BA F, där A och B är två M B i BQ i F i + C jämf. med M r F + C enl. figur är BQ i BA + AQ i BA + AQ i F i + C i BA F i + AQ i F i i i + C BA F + M A M A + BA F. VSV. Visa förflyttningssatsen för rörelsemängdsmoment, H A H G + AG mv G, där A är en godtycklig punkt och G är masscentrum. Utgå från definitionen av rörelsemängdsmoment.. Enl. def: H A r v dm. r AG + s, v v G + ω s H A AG + s v G + ω s dm AG v G dm + AG ω s dm + + s dm v G + s ω s dm dm m s dm 0 s ω s dm H G AG mv G H G. VSV.

7 . Visa den plana momentlagen M A I G α ± ma G d, där A är en godtycklig punkt. Utgå från momentlagen med avseende på masscentrum, d.v.s. M G H G. Givet att M G H G och F ma G. Dessutom, förflyttningssatsen för momentsumma: M A M G + AG F. M A H G + AG ma G. I specialfallet plan rörelse H G I G ω H G I G α Beloppet AG ma G m a G AG sin θ ma G d. Så: M A H G ± AG ma G M A I G α ± ma G d med ± pga. beloppet. VSV. Visa, utgående från momentlagen med avseende på en godtycklig punkt, dvs M A I G α ± ma G d, att M O I O α, där O är fix i kropp och rum. M A I G α ± ma G d och A O ger tillsammans M O I G α + ma G,t d + ma G,n 0 Karusell-ekvationerna ger att a G,t α d, så: M O I G α + m α d d I G α + md α I G + md α Steiners sats: I O I G + m OG I G + md 3. M O I O α. VSV.

8 Utgående från Eulers rörelselagar för en stel kropp i plan rörelse, visa Lagen för Kinetiska Energin: U TOT T T. 4. Varje system av krafter kan reduceras till ett kraftparsmoment och en kraftresultant som angriper i G. Euler I: F ma G F mr G F mr G 0. Euler II: M G I G α C I G θ C I G θ 0. Skalärmultiplicera I med dr G och II med dθ och addera dem så fås: F mr G dr G + C I G θ dθ 0 F dr G + C dθ mr G r G + I G θ dθ. Integrera från läge till läge : U TOT U TOT m mr G dr G v G dv G + I G θ dθ + I G θ dθ F dr G + C dθ mr G dr G + I G θ dθ. θ dθ θ dθ, r G dr G dv G dt dr G v G dv G m v G v G + I G θ Definition: Kinetisk energi T mv G + I G θ T T. VSV. 0. Ett koordinatsystem med basvektorerna i, j, k roterar med vinkelhastigheten. Härled Coriolis ekvation i 3D ur sambanden i i etc. (som alltså får anses givna). Inför en godtycklig vektor: V V x i + V y j + V z k. V Kedjeregel, ty tidsberoende V x i + V x i + V y i + V y i + V z i + V z i V x i + V y i + V z i + V x i + V y i + V z i. Inför beteckning: V x i + V y i + V z i dv dt. xys

9 Givna samband: i i, j j, k k V x i + V y i + V z i V x i + V y j + V z k V x i + V y j + V z k V. Alltså: V dv dt xys + V. VSV. 5. För in potentialerna V g för tyngdkraften och V e för fjäderkraften i Lagen för Kinetiska Energin; U TOT T T, och visa att man då får Energiekvationen U ΔT + ΔV g + ΔV e. Varje system av krafter kan reduceras till ett kraftparsmoment och en kraftresultant som angriper i G. U TOT T T ΔT U TOT Med F F e + mg + P fås att Alltså: U TOT F e dr G F dr G F dr G + mg dr G + C dθ F e dr G + P dr G. + mg dr G + C dθ. + P dr G. U TOT V g + V e + U där U P dr G + C dθ är övriga krafters påverkan.. V g mg dr G m ge z dze z tyngdkraft konservativ ej vägberoende, inför xyz för vektorer mgdz motsvarar h, motsvarar h i z led h mgdz mg h h V g mgh V g, V g, ΔV g. h V e F e dr G fjäderkraft konservativ ej vägberoende, F e kr, r elongation av fjäder kr dr G motsvarar s, motsvarar s i r led kr s ks s ks V e, V e, ΔV e U TOT V g + V e + U U TOT ΔT, V g ΔV g, V e ΔV e ΔT + ΔV g + V e U. VSV.